新课标人教A版高中数学选修2-1导学案1.3-1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3～1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【知识要点】 1．简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 2．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有的”“任意一个”，用符号“∀”表示． (2)存在量词：“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示．(3)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题；简记为：∀x ∈M ，p (x )． (4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)． 3．含有一个量词的命题的否定【试一试】1．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥02．有下列四个命题，其中真命题是( )A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n ∈R ，∀m ∈R ，m ·n ＝mC ．∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2<nD ．∀n ∈R ，n 2<n 3．已知命题p ∧q 为假命题，下列结论正确的是( )A ．p ∨q 为真命题B ．(¬p )∧q 为真命题C ．p ，q 有且只有一个假命题D ．¬p ，¬q 至少有一个真命题4．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1x2≤2，命题q 是命题p 的否定，则命题p 、q 、p ∧q 、p ∨q 中是真命题的是________．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1x 20≤2；命题q ：x 2－7x ＋12<0的解集是{x |3<x <4}．给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题．其中正确的是________．考向一 含有逻辑联结词的命题的真假例1(1)已知命题p ：函数y ＝2－a x ＋1(a >0且a ≠1)恒过(1,2)点；命题q ：若函数f (x －1)为偶函数，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．¬p ∧¬q C ．¬p ∧q D ．p ∧¬q(2)给定命题p ：函数y ＝sin(2x ＋π4)和函数y ＝cos(2x －3π4)的图象关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k∈Z )时，函数y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )取得最小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．¬p ∨q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．¬p ∨q 是真命题变式(1)已知命题p ：存在实数x ，使sin x ＝π2成立；命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集为(1,2)．给出下列四个结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∧q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题．其中正确的结论是( )A ．②③B ．②④C ．①②④D ．①②③④(2)已知命题“¬p 或¬q ”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③¬p 或q ；④¬p 且q ，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考向二 含有一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则¬p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 (2)已知命题p ：所有指数函数都是单调函数，则¬p 为( )A ．所有的指数函数都不是单调函数B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数 变式(1)已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1 (2)若命题p ：∀x ∈(π2，π2)，tan x ＞sin x ，则命题¬p 为( )A ．∃x 0∈(π2，π2)，tan x 0≥sin x 0B ．∃x 0∈(－π2，π2)，tan x 0＞sin x 0C ．∃x 0∈(－π2，π2)，tan x 0≤sin x 0D ．∃x 0∈(－∞，－π2)∪(π2，＋∞)，tan x 0＞sin x 0考向三 全称命题、特称命题的真假判断 例3(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0B ．∀x ∈R,2x －1>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(2)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．¬p ∧qC ．p ∧¬qD ．¬p ∧¬q变式(1)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (m )C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m ) (2)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈[0，π2]，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈(π2，π)，tan x >sin x 易错警示 对含有量词的命题的否定不当致误例4.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“¬p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a ＞1D ．－2≤a ≤1 变式：已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“¬q 且p ”为真，则x 的取值范围是________． 【巩固训练】1．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >02．命题“∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)>0”的否定为( )A ．∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)≤0B ．∃x 0∈R ，使得ln(x 20＋1)>0C ．∀x ∈R ，都有ln(x 2＋1)<0D ．∃x 0∈R ，使得ln(x 20＋1)≤0 3． “p ∨q 是真命题”是“¬p 是假命题”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1a≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬q )是真命题D ．(¬p )∧q 是真命题6．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题 q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 47．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(¬q )是真命题D ．命题p ∨(¬q )是假命题8．已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是A ．(¬p 1)∧(¬p 2)B ．p 1∨(¬p 2)C ．(¬p 1)∧p 2D ．p 1∧p 29．下列命题为真命题的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“x ＝5”是“x 2－4x －5＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x <－1，则x 2－2x －3≤0”D ．已知命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0－1<0，则¬p ：∀x ∈R ，使得x 2＋x －1>0 10．已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；命题q ：若a >b ，则ac >bc ，则下列命题为真命题的是( )A ．p 或qB ．¬ p 或qC ．¬p 且qD ．p 且q11．下列命题中是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点12．已知命题p ：函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则下列命题中是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∧¬qC ．¬p ∧qD ．¬p ∨¬q 二、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是________．14．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是________．15．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“¬p ”、“ ¬q ”中，是真命题的有________．16．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假的实数m 的取值范围是________．。