1.1.1计数原理
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
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共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
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类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
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2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
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1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
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5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
课件3 ：1.1基本计数原理（二）
中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
典型例题
例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
1.1基本计数原理第二课时
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”
区别1
完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”
区别2
区别3
每类办法都能独立地完成这件事情，只须一种方法就可完成这件事。
每一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 种 .
典型例题
例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，
……
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?
计数器
引言计数器是数字系统中用的较多的基本逻辑器件，也是现代最常用的时序电路之一，它不仅能记录输入时钟脉冲的个数，还可以实现分频、定时、产生节拍脉冲和脉冲序列。
例如，计算机中的时序发生器、分频器、指令计数器等都要使用计数器。
计数器的种类不胜枚举，按触发器动作动作分类，可以分为同步计数器和异步计数器；按照计数数值增减分类，可以分为加计数器、减计数器和可逆计数器；按照编码分类，又可以分为二进制码计数器、BCD码计数器、循环码计数器。
此外，有时也会按照计数器的计数容量来区分，如五进制、十进制计数器等等。
1设计构思及理论根据电路的设计要求，要实现二―五―十进制计数，可以先实现十进制计数，然后通过倍频产生五进制计数和二进制计数；也可以先实现二进制计数和五进制计数，然后把它们连接起来进而产生十进制计数。
对比以上两种方法，明显后面的方法比较容易实现，而且实现所需的门电路也比较少，因而选择用第二种方法来进行设计。
1.1 二进制计数的原理二进制计数的原理图如图1.1.1所示，可以用一个T触发器接成一个'T触发器，这样在时钟的作用下，每来一个时钟触发器的输出与前一个状态相反，这样就够成了一个二进制计数器。
图1.1.1 二进制计数原理图图1.1.2 二进制计数波形图1.2 五进制计数的原理五进制计数的原理图如图2.2.1所示，要进行五进制计数，至少要有3个存储状态的触发器，本原理图中选用两个JK 触发器和一个'T 触发器构成五进制计数器，在时钟的作用下就可以进行五进制计数。
图1.2.1 五进制计数原理图图1.2.2 五进制计数波形图2 系统电路的设计及原理说明2.1 系统框图及说明图2.1.1 十进制计数框图图2.1.2 二-五进制计数框图根据设计的要求，在构成十进制计数器时，只需将二进制计数器和五进制计数器级联起来，即将二进制计数器的输出作为五进制计数器的时钟输入接起来就可以实现十进制计数了。
而在进行二-五进制计数时，可以将五进制计数器的输出作为二进制计数器的时钟输入，外部时钟输入到五进制计数器的时钟输入端即可在一个外部输入时钟的控制下分u oClk u ou 1别产生二进制计数和五进制计数了。
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
1.1基本计数原理
1.1 基本计数原理
教学目标
知识目标
（1）理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理；
（2） 会利用两个原理分析和解决一 些简单的应用问题.
能力目标
培养学生的归纳概括能力.
情感目标
（1）了解学习本章的意义，激发学生 的兴趣； （2）引导学生形成 “自主学习”与 “合作学习”等良好的学习方式.
教学重难点
3. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的 五位偶数共有______.B A.48个 B.36个 C.24个 D.18个
分析：
先分类，再分步，据题意，当个位数是2时， 万位数是3，4，5，其他随意，共有 3×3×2×1=18种；当个位数是4时，万位数是2， 3，5，其他随意，共有3×3×2×1=18种 所以共有36种.
5+4=9（种）
探究
N=m1+m2+m3
如果完成一件事有三种不同方案，在第1 类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2 种方法，在第3类方案中有m3种方法那么完 成这件事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
2.分步乘法计数原理
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯 数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？
如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？
例题3
一名同学有7枚明朝不同古币和10枚 清朝不同古币 (1）从中任取一枚，有多少种不同取 法？ (2）从中任取明清古币各一枚，有多 少种不同取法？
分析
由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币， （1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理， （2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数 原理.
1.1.1 计数原理
与 分步乘法计数原理
红旗中学数学组 姚辉
创 设 情 境
我们班总共有46名学生，男生26人，女生20，现从班级 选出一名班长和副班长，要求不能全是男生，也不能全 是女生，有多少种选择方案呢？
2
问题1：从天津到大连，可以乘火车，也可以乘轮船.一天中火车 有4班，轮船有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从天津到大连共 有多少种不同的选择？ 完成这件事可以有两类办法，在第一类办法中有4种方法，在 第二类办法中有2种方法，那么完成这件事共有多少种方法？
少种不同的走法?
A村
B村
C村
D村
推 广到 一 般
分步乘法计数原理
小试牛刀:一个四层的书架，第一层放有5本不同的数学书，第
二层放着3本不同的语文书，第三层放着2本不同的英语书，第 四层放着4本不同的物理书，从书架上取数学书、语文书、英语 书和物理书各一本，有多少种取法？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点？
放着4本不同的物理书，从书架上任取一本书,有多少种取法？
问题3：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从 A村经B村去C村，共有多少种不同的走法? A村 B村
C村
问题4：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，由 由C村去D村的道路有2条，从A村经B村和C村再到D村，共有多
例2.某小组9人，每人至少会日语、英语中的一种， .若7人会英语，2人会日语，从中选出一人，共有多少种选择？ .若7人会英语，2人会日语，从中选出会英语、日语各一人，共
有多少种选择？
.若7人会英语，3人会日语，从中选出一人，共有多少种选择？ .若7人会英语，3人会日语，从中选出会英语、日语各一人，共 有多少种选择？
1.1.1计数原理
2010年夏季在南非举行的第十
九届世界杯足球赛共有32支队伍参 决出16强，这16强按确定的程序进
行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外 还决出了三、四名。 问：一共安排了多少场比赛？
加。他们先分成八个小组进行循环赛，
1.1.1分类计数原理
与分步计数原理
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以
北 A村 中 南 B村 北 南 C村
问题剖析
我们要完成什么事情
完成这件事情有几个步骤
每步中的任一方法能否独立完成这件事情
每步中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
说明
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
（1）、标准必须一致、正确。
（2）、“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺 一不可; 但也不能重复、交叉。
（3）、若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能 完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情 才算完成。
例2、设某班有男生30名，女生24名。 （1）现要从中选出一名担任班长，共有多少种不同 的选法？ （1）现要从中选出男、女生各一名担任班长，共有 多少种不同的选法？ （1）现要从中选出男、女生各一名担任正负班长， 共有多少种不同的选法？ 例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后 面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同 的电话号码?
区别三
各类办法是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是相关联的
分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
1.1.1计数原理
探究 如果完 成一件事有三类不同方 案, 在第1类方法中有m1种不同的方法 , 在第2 种方案中有m2 种不同的方法 , 在第3 类方 案中有m3 种不同方法 .那么完成这件事共 有多少种不同的方法 ?
如果完成一件事情有n类不同方案， 在每一类中都有若干种不同方法，那么应 当如何计数呢？
图1.1 1是解决计数间题常用的 " 树形 图".请你用树形图列出所有 可能号码 .
字 母
A
数 得到的 字 号码 A1 1 A2 2 A3 3 A4 4 A5 5 A6 6 A7 7 A8 8 A9 9
我们还可以这样来思考 : 由于前6个英文字母的任意一个 都能与9 个数 字中的任何一个组成一 个号码, 而且它们各不 相同,因此共有6 9 54 个不同的号码 .
探究 你能说说这个问题的特 征吗?
上述问题中 , 最重要的特征是 " 和" 字的出现 : 每个座位由一个英文字 母和一个阿拉伯数 字构成, 每个英文字母与不同的 数字组成的 号码是各不相同的 .
一般地, 有如下原理 : 分步乘法计数原理 完 成一 件事需 要两个步骤, 做第1步有m种不同方法, 做第2步有n种不同方法, 那么完成这 件事共有 N m n 种不同的方法.
思考 用前6个大写英文字母和 1 ~ 9九个 阿拉伯数字,以 A 1, A 2 , ,B1,B2 , 的方式给 教室里的座位编号 ,总共能编出多少个不 同的号码?
这个问题与前一个问题 不同.在前一 个问题中 , 用26个英文字母中的任何 一个或10 个阿拉伯数字中的任何 一 个, 都可以给出一个座位号 码.而在这 个问题中 , 号码必须由一个英文字 母 和一个作为下标的阿拉 伯数 字组成, 得到一个号码必须经过先确定一个 英文字母, 后确定一个阿拉伯数字 这 两个步骤.用图 1.1 1的方法可以列出 所有可能的号码 .
计数原理
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1.3 二项式定理
(a+b)ⁿ=Cn°aⁿb°+....+Cnⁿbⁿ这个公式所表示的规律叫做二项式定律，等式右边的多项式(a+b)ⁿ的 二项式展开式，它一共有n+1项，其中各项系数Cnr(r=0、1、2....n)叫做展开式的二项式
系数。展开式中的Cnran-rbr 项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第n+1项。 即Tr+1=Cnran-rbr （其中0≤r≤n).我们把上面的公式叫做二项式的通项公式。 在二项式定理中，如果a=1,b=ᵡ ，则得到公式 (1+x)ⁿ=1+Cn1x+Cn2x² +......+Cnrxr+......+Cnⁿxⁿ 归纳总结： （1）“二项式系数”指的是组合系数，“该项的系数”除二项式系数外还包括a、b本身的系数。 （2）式中的a是二项式的第一项，b是第二项，a和b的位置不能颠倒，且a、b要带符号。 （3）Tr+1是(a+b)ⁿ的二项展开式的第r+1项，而不是第r项。 （4）字母b的次数和组合数的上标相同，且a与b的次数之和为n. 二项式系数的性质：对称性 与首末两端”等距离‘的两个二项式系数相等，事实上，这一性质 是由Cnr=Cnn-r得到的。增减性 因为Cnk=n-k+1/k Cnk-1,所以当k<n+1/2时，二项式系数逐渐 增加，由对称性知后半部分是逐渐减小的。最大值 当n为偶数时，中间一项（第n/2+1)的二 项式系数最大，最大值为Cnn/2,当n为奇数时，中间两项（n+1/2项和n+3/2项）的二项式系数 相等，且同时取最大值，最大值为Cnn-1/2或Cnn+1/2 注意：根据二项展开式的通项公式求展开式中的特定项，是高考中考察二项式定理的核心点，是 高考中出现频率最高的题目类型。
三段式学案1 ：1.1基本计数原理（二）
基本计数原理（二）【学习目标】1. 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2. 用两个原理分析和解决一些简单应用问题3. 通过比较这两个原理的异同，培养学生比较、类比、归纳等数学思想和灵活应用的能力. 【自主学习】1.在使用两个计数原理解决计数问题前，最重要的工作是区分分类还是分步。
2.在应用加法原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类办法是彼此独立的、并列的；应用乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的。
3.分类要做到不重复不遗漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法计数原理求和，得到总数；分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数。
你能准确地驾驭这两个原理计数吗？【自主检测】1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x· y可表示不同的值的个数是()A．2B．3C．6D．92．已知集合A={1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有()A．2个B．3个C．4个D．5个3．火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，则乘客下车的所有可能情况共有()A．510种B．105种C．50种D．以上都不对4．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种5．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法()种A．756B．56C．28D．255【典型例题】例1、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容，交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？变式1：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G 或U～Z , 后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？例2.（1）8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？变式2：用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个：(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于500的无重复数字的三位整数？【目标检测】1.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个2．如图1－1－4所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．图1－1－43. 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图10－1－5①②)，要求在A、B、C、D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．图10－1－5(1)若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？(2)若为②着色时共有120种不同的方法，求n.4. “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，求第30个“渐升数”．【总结提升】1.弄清两个计数原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,2.这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事! 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决生活遇到的计数答案自我检测：1.D2.D3.A4.C5.D例1：【解析】将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法;第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法;第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;第6步,从剩下的8个数字中选1个,放在第6位,有8种选法.根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11 232 000(个).同理,字母组合在右的牌照也有11 232 000个.所以共能给11 232 000+11 232 000=22 464 000辆汽车上牌照.变式1：第一步，先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有7＋6＝13(种)选法；第二步，中间字符和末位字符各有9种不同的选法．根据分步乘法计数原理，最多可以有13×9×9＝1 053(种)不同的选法，即最多可以给1 053个程序命名．例2.（1）7×7×6=294；（2）【解析】要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7(个)数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数．变式2：【解析】由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．(1)百位数字有9种选择，十位数字和个位数字都各有10种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．(3)百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择．由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．目标检测：1.C 2. 133.【解析】(1)分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的方法．(2)由题意，得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，注意到n∈N*，可得n＝5.4.【解析】渐升数由小到大排列，形如12××的渐升数共有：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)．形如134×的渐升数共有5个．形如135×的渐升数共有4个．故此时共有21＋5＋4＝30个渐升数．因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.。
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿
人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。
一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。
2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。
3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。
教学重点是两个基本计数原理的内容。
难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。
二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。
三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。
采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。
四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。
1.1.1基本计数原理
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙 地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁 地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种 不同的走法？
甲地 乙地
例4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3 条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有 2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解：先分两类， 第一类：从甲地经过乙地到 丙地有m1=2×3种不同走法； 第二类：从甲地经过丁地到 丙地有m2=4×2种不同走法； 所以根据计数原理，得到不 同的走法种数共有 N=2×3+4×2=14种。
Bqr6401@
七、布置作业
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
课本第6页，练习B，1，2
弹性作业：
《新教材新学案》第 ~ 页
Bqr6401@
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
下课
Bqr6401@
Bqr6401@
二、提出问题
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
问题2.由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道 路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走 法?
北 A村 北 B村 南 C村
中
南
从A村经 B村去C村有2步, 第一步: 由A村去B村, 有3种方法, 第二步: 由B村去C村, 有2种方法, 所以,从A村经 B村去C村共有: 3×2=6 种不同的方 法
例3.一个四位密码锁,各位上数字由1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字组成, (1)可以设置多少种四位数的密码(各位上的数字允许 重复)？ (2)首位数字不为0的密码数是多少？ (3)首位数字是0的密码数又是多少？ 分析(1)： 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三 位、第四位需分为四步完成， 第一步：m1=10；第二步：m2 =10；第三步：m2=10，第 四步m4=10。 根据分步计数原理，共可以设置 N=10×10×10×10=104 种四位数的密码。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第一章 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事有
N＝m1 · m2· …· mn 种不同的方法．原理的核心是每一个步 ________________ 骤都依次完成后，这件事情才能完成． 例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层 有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人
栏 目 链 接
且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事，
在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好
分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方 法，必属于某一类且仅属于某一类．
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变 式 迁 移
1．(1)某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学
为数学科代表，则不同选法的种数有( A．50种 B．26种 C．24种 D．616种 (2)一项工作可以用A或B这两种方法中的一种方法完 成，有4人会用A方法完成，另外8人会用B方法完成，从中 选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( A．12种 B．32种 C．24种 D．64种 )
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高三(3)
31
20
51
(1)从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同 的选法？ (2)从(1)班、(2)班女生中或从(3)班男生中选一名学 生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解析：(1)从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三(1)班任选一名学生，有54种不同选 法； 第2类，从高三(2)班任选一名学生，有50种不同选 法； 第3类，从高三(3)班任选一名学生，有51种不同选
)
A．8个 B．9个 C．10个 D．12个
变 式 训 练
解析：根据分步乘法计数原理，得不同的值
高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.1(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
解
本 课 时 栏 目 开 关
这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所．在 A 大学中
有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由 于两所大学没有共同的强项专业， 因此根据分类加法计数原理， 这名同学可能的专业选择种数为 5＋4＝9.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、 人力资源学，那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ 答 这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所．在 A
本 课 时 栏 目 开 关
大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方 法，在 C 大学中有 3 种专业选择方法．又由于三所大学没有 共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可 能的专业选择种数为 5＋4＋3＝12.
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
本 课 时 栏 目 开 关
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 【学法指导】 两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据，其基 本思想贯穿本章始终，理解两个原理的关键是分清分类与 分步.
填一填·知识要点、记下疑难点
本 课 时 栏 目 开 关
两个计数原理 1．分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法. 2．分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第 1 步 有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法.
1.1计数原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
2
二、分步计数原理
完成一件事，需要两个步骤。做第1步有m种不 同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事 共有
N= m×n种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
练习1， 要从甲、乙、丙3名工人中 选出2名分别上日班和晚班，有多少 种不同的选法？ 第一步：选1人上日班； 有3种方法 第二步：选1人上晚班. 有2种方法
N＝3×2＝6（种）
8Hale Waihona Puke 2.三个比赛项目，六人报名参加。 １）每人参加一项有多少种不同的方法？ ２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ ３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
3
课堂重点
分类计数与分步计数原理的区别和联系：
分类计数原理：针对的是“分类”问题。各类方法相互独立
分步计数原理：针对的是“分步”问题。 每步相互依存 ➢ 相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数 ➢ 区的别问在题于．：分类计数原理针对的是“分类”问题， 其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以 做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤 都完成才算做完这件事．
课件7：1.1.1 算法的概念
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水 (8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤．从下列选项 中选出最好的一种算法( C )
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第 五步吃饭、第六步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步 吃饭、第五步听广播
算法 2： 第一步，取 n＝6； 第二步，计算nn＋ 2 1； 第三步，输出运算结果． 算法 3： 第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7； 第二步，计算 3×7； 第三步，输出运算结果．
『规律总结』 设计此类问题的算法通常有两种．一种称为累乘法， 将步骤一直写下去，便得到任意有限个数相乘的算法．另一种具有代表 性，是对这一类问题的机械的、统一的求解方法．
.就是方程组的解．
算法 2： 第一步，方程②两边都乘 2 得 14x－2y＝36.③ 第二步，用方程③－ ①得关于 x 的方程 11x＝38.
第三步，解第二步得到的方程得 x＝3118. 第四步，将 x＝3118代入方程②，求得 y＝6118.
第五步，x＝3118 y＝6118
.就是方程组的解．
互动探究学案 命题方向1 ⇨算法含义的正确理解
(2)算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯 一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．
〔跟踪练习1〕 下列说法中，能称为算法的是( B ) A．巧妇难为无米之炊 B．炒菜需要洗菜、切菜、刷锅、炒菜这些步骤 C．数学题真有趣 D．物理与数学是密不可分的 【解析】算法是做一件事的步骤或程序，不是解决问题的办法，因 而只有选项B正确．
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丁
戊
升华提高
例4：将3种作物种植在5块试验田里(连成一 排)每块种一种作物,且相邻的试验田不能种 同一种作物。问有多少种不同的种植方法？
解：第一块可以种3种不同的植物， 第二块与第一块不同，就只能种2种不同的植物， 余下的几块都只能种2种不同的植物。 但要注意：这样会造成5块田只种2种植物的情况， 应排除之。 具体做法是：3 × 2 × 2 × 2 × 2 － 3 × 2 =42
第1类，乘火车，有5种不同方法 ;
第2类，乘飞机，有10种不同方法 ;
所以，从杭州到北京共有5 + 10 = 15种方法.
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1
类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案 中有m2种不同的方法。那么完成这件事共 有N=m1+m2种不同的方法。
火车1 火车2
例6
0
例7
【巩固训练】
1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排 多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数 为( ) A．120 B．324 C．720 D．1280 【解】分五步：5×4×4×4×4＝1280．故选D．
2．有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其 中取出不是同一学科的书2本，共有多少 种不同的取法． 【解】有7×5 + 7×4 + 5×4 = 83种． 3．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又 增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不 同的插法种数为（ ） A．504 B．210 C．336 D．120 【解】三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9 种方法. ∴插法种数为7×8×9=504 ,故选A．
州乘飞机到北京。一天中，汽车有6班，飞机有 10班，那么两天中，从丽水到北京共有多少种 不同的走法？
汽车1 汽车2
飞机1
飞机2
丽水
…
汽车6
杭州
北京
…
飞机10
分析：完成从丽水到北京这件事需要两个步骤， 第1步，从丽水到杭州，有6种不同方法； 第2步，从杭州到北京，有10种不同方法； 所以，从丽水到北京共有6×10=60种方法.
4 求乘积
. a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5
解：3×4×5=60
展开后共有多少项？
解答计数问题的一般思维过程：
完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
两个计数原理
升华提高
要栽4种颜色的花装点花坛 ，每个区域种植一种颜色的 花，若要求相邻（有公共 边）区域不同色，共有多 少种不同的种植方法？
涂色问题
解：4×3×2×1=24
A
B
D
C
【例
8】某城市在中心广场建造一个
涂色问题（提升）
扇环形花圃，花圃分为 6 个部分，如 右图，现要栽种 4 种不同颜色的花， 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽 种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？ 解析 利用欧拉思想进行拉伸变形，
分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘 不同点 每类方案中的每一 独立 种方法都能______ 完成这件事 依次完成 才 每步_________ 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成 这件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
图1
可使图 1 变形为图 2，这两种图形的涂 ，在右侧图形中，先 在 1、2、3 区域涂上 1、2、3 三种颜色， 然后依次涂第 4、5、6 三个区域，涂区域 4 可用 2、4 颜色．
图2
①若区域 4 涂颜色 2， 则整个花圃有 123243、 123234 两种涂法． ②若区域 4 涂颜色 4，则整个花圃有 123434、 123424、123423 三种涂法．
【例11】 从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5 个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的 和不等于11，这样的子集共有多少个? 【解】和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8， 4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的 两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每 个数的取法有2种， 所以子集的个数为2×2×2×2×2=32． 【点评】解本题的关键是找出和为11的5组数，然 后再用分步计数原理求解．
十一长假中，小明跟着父母去北京旅游 情境1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给北京部分景点编号，总共能够编出多少
种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
伯数字，以A1，A2，· · · ，B1，B2，· · · 的方式给北 京部分景点编号，总共能编出多少种不同的号 码？
字母
数字
那么完成这件事共有 种不同的方法.
N= m1×m2 ×…×mn
典例分析
例3 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中选 出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置， 问共有多少种不同的挂法？ 解：从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上，可以分两个步骤完成： 第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5 种选法； 丙 甲 乙 第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上， 有4种选法。 根据分步计数原理，不同挂法的种数是： N=5×4=20.
8
树形图
9
A B C D 9 9 E F 9 9
十一长假中，小明跟着父母去北京旅游
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
伯数字，以A1，A2，· · · ，B1，B2，· · · 的方式给北 京部分景点编号，总共能编出多少种不同的号码 ？
分析：完成给景点编号这件事需要两个步骤，
第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法；
1 2 3
得到的号码
A B C D 1 1 E F 1 1 A B C D 2 2 E F 2
2
B C D A E F
4
A B C D 3 3 E F 3 3 A B C D 4 4 E F 4
4
5
6
A B C D 5 5 E F 5 5 A B C D 6 6 E F 6
6
7
8
A B C D 7 7 E F 7 7 A B C D 8 8 E F 8
…
杭州
火车5
飞机1 飞机2
北京
…
飞机10 汽车1 汽车2
分析：完成从杭州到北京这件事有3类方案， 所以，从杭州到北京共有5 + 10 +2= 17种方法.
分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案,
在第1类方案中有m1种不同的方法, 在第2类方案中有m2种不同的方法，……， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.
十一长假中，小明跟着父母去北京旅游 情境1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给北京部分景点编号，总共能够编出多少
种不同的号码？ 分析：完成给景点编号这件事有两类方案， 第1类，用一个英文字母，有26种不同方法;
第2类，用一个阿拉伯数字，有10种不同方法;
所以，给景点编号共有26 + 10 = 36种方法.
四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸，变成 平面图形(图1)，则空间图形的涂色就能变成平面图 形的涂色，继而将点扩展为平面区域，则又可变为平 面内圆形区域的涂色问题(图2)．
方法同上，解略．有420种涂色方法．
两个计数原理综合解题
【例10】某学校高二年级甲、乙、丙、三个班级分别有象棋爱好者3人、
初试身手
例5 设A=｛a，b，c，d｝，B=｛e，f，g｝， 则从A到B的不同映射有多少个？ 解：分别给a,b,c,d找象，是分步进行， 每个字母都有3个象可选， 故映射个数3*3*3*3=3^4=81
练习： 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z}, 则从A到B共有多少种不同的映射?
十一长假中，小明跟着父母去北京旅游
火车1 情境2：已知从杭州到北京，可以乘火车，也
火车25班，直达飞 可以乘飞机．一天中，直达火车有 … 火车5 机有 10 班。那么一天中，乘坐这些交通工具从 杭州 北京
飞机1 杭州到北京共有多少种不同的走法？ 飞机2
…
飞机10
分析：完成从杭州到北京这件事有两类方案，
m1 +m2 +…+mn
典例分析
例1
A网站：
故宫 天安门广场 天坛 北海公园
B网站：
奥林匹克公园 颐和园 景山公园 鼓楼 故宫
如果从中选择一个景点参观，共有多少种选法？ 8
注意：分类——不重不漏
升华提高
【例2】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数 是多少? 【思路点拨】设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11， 由三角形的性质知x+y>11 【解】因为x、y∈N*，所以 当x=1时，y=11； 当x=2时，y=10，11； 当x=3时，y=9，10，11； 当x=4时，y=8，9，10，11； 当x=5时，y=7，8，9，10，11； 当x=6时，y=6，7，8，9，10，11； 当x=7时，y=7，8，9，10，11； …… 当x=11时，y=11， 所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．
【巩固训练】
1：若x、y∈N*，且x+y≤5，则在直角平面内的点 （x,y）共有 多少个． 【解】按x分类，当x分别取等于1、2、3、4， y的值分别有4个、3个、2个、1个， 由加法原理知点（x,y） 共有4+3+2+1=10（个） 2:在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于 20的不同取法共有 多少种． 【解】按和分类： 和为21,22,…,39这几类, 依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种. 由分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+…+2+2+1+1=100种.