第七讲对数及对数函数(优秀经典公开课教案及练习解答)

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数学一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数教案

对数与对数函数［考试要求］1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2。

理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10,错误!的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型。

4.了解指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N,那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．提醒：指数式与对数式的关系2．对数的性质、换底公式与运算性质（1)对数的性质：①log a1＝0；②a log a N＝N；③log a a b＝b（a＞0，且a≠1)．(2）换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0）．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a错误!＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R）．3．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠1）叫做对数函数图像a＞10＜a＜1性质定义域:(0,＋∞)值域：R当x＝1时,y＝0，即过定点(1，0）当0＜x＜1时,y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在（0,＋∞)上为增函数在（0，＋∞）上为减函数4．反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a＞0,且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．错误!1．换底公式的三个重要结论（1）log a b＝错误!；(2）log am b n＝错误!log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图像与底数大小的关系如图，作直线y＝1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数,故0＜c＜d＜1＜a ＜b。

对数函数(优质课)教案

对数函数（优质课）教案教学目标：1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题. 知道指数函数 y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数. （a >0,a ≠1）教学过程：一、对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。

二、对数函数的图像和性质：a >1 01a <<图像性质定义域：()0,+∞值域：R过点()1,0，即当1x =时，0y =)1,0(∈x 时，0<y ；),1(+∞∈x 时， 0>y)1,0(∈x 时，0>y ；),1(+∞∈x 时，0<y在()0,+∞上是增函数在()0,+∞上是减函数三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。

四、对数不等式的解法：()()()()()()()()()()1 log log 0 01log log 0a a a a f x g x a f x g x f x f x g x a f x g x f x >⎧>>⎨>⎩<⎧<<>⎨>⎩当时，与同解。

当时，与同解。

五、对数方程常见的可解类型有：形如()()()()()log log 01,0,0a a f x g x a a f x g x =>≠>>且的方程，化成()()f x g x =求解；形如()log 0a F x =的方程，用换元法解；形如()()log f x g x c =的方程，化成指数式()()cf xg x =⎡⎤⎣⎦求解指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

对数及对数函数教案8篇

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

对数函数及其性质精品公开课教案

对数函数及其性质教学目标1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．教学重点，难点重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质．教学方法启发研讨式教学用具投影仪教学过程一.引入新课今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答)1,0(≠>=a a a y x 求反函数的过程：由得．又的值域为，x a y =y x y a a x log ,=∴=xa y =()+∞,0所求反函数为．∴∈=x x y a ,log ()+∞,0那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．对数函数 (板书)一.对数函数的概念1.定义：函数的反函数叫做对数函)1,0()(≠>=a a a x f x )1,0(log )(1≠>=-a a x x f a 数．由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为()+∞,0，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件R a a草图．教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内，如x y 2log =x y 21log =然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质性质定义域： ()+∞,0R。

对数函数及其性质教案

教学目标：1. 理解对数函数的定义和性质。

2. 学会如何求解对数函数的值。

3. 能够应用对数函数解决实际问题。

教学内容：1. 对数函数的定义与性质2. 对数函数的图像与性质3. 对数函数的求解方法4. 对数函数的实际应用5. 对数函数的进一步研究教学准备：1. 教学PPT或黑板2. 教学教材或参考资料3. 练习题和答案教学过程：第一章：对数函数的定义与性质1.1 对数函数的定义1.2 对数函数的性质1.3 对数函数的图像第二章：对数函数的图像与性质2.1 对数函数的图像特点2.3 对数函数的图像与应用第三章：对数函数的求解方法3.1 对数函数的求解步骤3.2 对数函数的求解实例3.3 对数函数的求解练习第四章：对数函数的实际应用4.1 对数函数在科学研究中的应用4.2 对数函数在日常生活中的应用4.3 对数函数在其他领域的应用第五章：对数函数的进一步研究5.1 对数函数的扩展知识5.2 对数函数的相关问题5.3 对数函数的研究方向教学评价：1. 课堂参与度与提问2. 练习题的完成情况3. 小组讨论与合作4. 课后作业的完成情况教学反思：本教案旨在帮助学生理解和掌握对数函数的定义、性质、图像以及求解方法，并能够将所学知识应用于实际问题中。

在教学过程中，应注重引导学生通过观察、思考和练习来深入理解对数函数的概念和性质。

通过实际应用的例子，让学生感受到对数函数在科学研究和日常生活中的重要性。

在教学评价方面，应综合考虑学生的课堂参与度、练习题完成情况和小组讨论等情况，以全面评估学生对对数函数的理解和掌握程度。

在教学反思中，可以根据学生的反馈和教学情况进行调整和改进，以提高教学效果。

第六章：对数函数的求解实例6.1 对数函数的求解示例一6.2 对数函数的求解示例二6.3 对数函数的求解示例三第七章：对数函数的求解练习7.1 对数函数的求解练习题一7.2 对数函数的求解练习题二7.3 对数函数的求解练习题三第八章：对数函数在科学研究中的应用8.1 对数函数在生物学中的应用8.2 对数函数在物理学中的应用8.3 对数函数在其他科学领域中的应用第九章：对数函数在日常生活中的应用9.1 对数函数在金融中的应用9.2 对数函数在信息技术中的应用9.3 对数函数在其他日常生活中的应用第十章：对数函数的进一步研究10.1 对数函数的扩展知识10.2 对数函数的相关问题研究10.3 对数函数的研究方向和未来趋势这五个章节的主要内容分别是：第六章通过对数函数的求解实例，让学生更好地理解对数函数的求解方法，巩固所学知识。

最新教案：对数与对数函数(含解析)

对数与对数函数1．对数的概念(1)对数的定义：如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：①log a1＝0.②log a a＝1.③对数恒等式：a log a N＝N.④换底公式：log a b＝log c b log c a.推广log a b＝1log b a，log a b·log b c·log c d＝log a d.(3)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log am M n＝nm log a M.2．对数函数的概念(1)把y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)函数y＝log a x(a>0，a≠1)是指数函数y＝a x的反函数，函数y＝a x与y＝log a x(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．3．对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数[基础自测]1．设A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，0<x <1，则A ∩B 为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,2)解析：选C ∵A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1.2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫23，0C ．(1,0)D ．(0,1)解析：选C 当x ＝1时y ＝0. 3．函数y ＝lg |x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg |x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析：由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ]5．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析：由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2.答案：2题型1对数式的化简与求值[例1] 求解下列各题．(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________； (2)若2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. [自主解答] (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 ＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，即m 2＝10. 解得m ＝10(∵m >0)． [答案] (1)12(2)10总结：对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．变式练习1．化简：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1；(2)⎝⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11.解：(1)原式＝lg 37×703－lg 23－2lg 3＋1 ＝lg 10－(lg 3－1)2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－(lg 4＋lg 15)lg 153－210×2－11＝⎝⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1＝－32.题型2对数函数的图象及应用[例2] (1)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)[自主解答] (1)由1－x >0，知x <1，排除选项A 、B ；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，可排除D 选C.(2)法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二：∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12 ，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A.[答案] (1)C (2)B若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，实数a 的取值范围为________．解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]总结：1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．变式练习2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：选C 由题意可得f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≥0，log 13(1－x )，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.题型3对数函数的性质及应用[例3] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围；(2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[自主解答] (1)因为f (x )的定义域为R ，所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立．显然a ＝0时不合题意，从而必有⎩⎨⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，4－12a <0，解得a >13.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞.(2)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.研究复合函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u ＝f (x )及y ＝log a u 的单调性(最值)情况确定函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)(其中a >0，且a ≠1)．变式练习3．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1， ∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．针对训练1．设a ＝log 123，b ＝⎝⎛⎭⎫130.3，c ＝ln π，则( )A ．a ln e ＝1，故a b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a解析：选B 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x 为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫320.1>⎝⎛⎭⎫320＝1；因为sin 2 012π3＝sin ⎝⎛⎭⎫670π＋2π3＝sin 2π3＝32<1，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数，所以ln sin 2 012π3＝ln 32<ln 1＝0；因为1>12>13，而函数y ＝log 13x 为(0，＋∞)上的减函数，所以0＝log 131<c ＝log 1312<log 1313＝1.所以b <0<c <1<a ，故选B.课后练习A 组1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(2,8] C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)解析：选C 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎨⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14B.12 C ．2D ．4解析：选D (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96， y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b .5．函数y ＝log 2|x |x 的大致图象是( )解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.6．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12解析：选C 依题意得f (3)＝log 122＝－1<0，log 122<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)．7．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：∵lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54.答案：548．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.答案：(－∞，－3]9．函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于________．解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数． ∴log a 2a －log a a ＝12，解得a ＝4. 答案：410．计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2. 解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.11．说明函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．解：作出函数y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图形得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．12．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )＜f (1)．解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知得(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，即a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4.∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2＞2，log 2(x 2－x ＋2)＜2 ⇒⎩⎨⎧x ＞2或0＜x ＜1，－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1. B 组1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析：选D 依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.2．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫65，b ＝f ⎝⎛⎭⎫32，c ＝f ⎝⎛⎭⎫52，则( ) A ．a 0， b ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－lg 12>0， c ＝f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝lg 12<0. 又因为lg 45>lg 12，所以0<－lg 45<－lg 12.所以c <a 0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，求实数a 的取值范围．解：因为对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．令t ＝x 2－ax ＋3，则二次函数t ＝x 2－ax ＋3的对称轴为x ＝a 2，其在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．由复合函数的单调性，可知y ＝log a x 为单调增函数，故a >1.由对数函数的定义域，可知在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上，t >0恒成立，即x 2－ax ＋3>0在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上恒成立．而函数t ＝x 2－ax ＋3在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上的最小值为⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋3＝3－a 24.故3－a24>0，解得|a|<2 3.综上可得a的取值范围是(1,23)．。

《2.7第七节对数与对数函数》教案

教学过程一、课堂导入问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函数吗？问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x时，被截取的次数y 与x之间的关系式是什么？二、复习预习1.指数幂的运算法则2.指数函数的概念、指数函数的图象与性质3.与指数函数有关的复合函数问题的处理方法三、知识讲解考点1 对数的定义如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．考点2 对数的性质与运算(1)对数的性质(a>0且a≠1)：①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N.(2)对数的换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(M·N)＝log a M＋log a N，②log a MN＝log a M－log a N，③log a M n＝n log a M(n∈R)．考点3 对数函数的图象与性质考点4 反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．四、例题精析【例题1】【题干】求解下列各题：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245＝________；(2)若3a＝2，则2log36－log316＝________；(3)已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且log x m＝24，log y m＝40，log xyz m＝12，则log z m的值为________．【答案】(1)12(2)2－2a (3)60【解析】 (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)因为3a ＝2，所以a ＝log 32.故2log 36－log 316＝2(log 33＋log 32)－log 324＝2(1＋a )－4log 32＝2＋2a －4a ＝2－2a . (3)由已知可得log m x ＝124，log m y ＝140，log m (xyz )＝112，于是log m z ＝log m (xyz )－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，故log z m ＝60.【例题2】【题干】（1）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0（2）设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a log 3x 1，所以f (x 1)的值恒为正数．（2）如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x ，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a 0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．即函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式为g (x )＝lg(3－x )，x ∈[1,2]．【例题4】【题干】(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)【答案】B【解析】 ∵0<x ≤12，∴4x >1又4x <log a x ，∴a ∈(0,1)则函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图所示．∴只需满足log a 12>2即可，解之得a >22，∴22<a <1.四、课堂运用【基础】1．已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A.1b B．－1bC．－b D．b解析：选C易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg 1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.2．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则() A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．3．(2013·丹东模拟)函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是() A．[0，＋∞) B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C y ＝log 2(x 2＋1)－log 2x ＝log 2x 2＋1x＝ log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥log 22＝1(x >0)．【巩固】4．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lg x．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：∵f(x)＝lg x，f(ab)＝1.∴lg(ab)＝1.∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝2lg a＋2lg b＝2lg(ab)＝2. 答案：25．若不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎨⎧ 0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1【拔高】6．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．解：(1)由函数f (x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )，∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ，即log 4 4x ＋14－x ＋1＝－4kx . ∴log 4 4x ＝－4kx ，即x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立．∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4 4x ＋12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ， ∵2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12. 故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.7．设函数y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)．(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)求f(x)的值域；(3)讨论f(x)的单调性．解：(1)lg(lg y )＝lg[3x ·(3－x )]，∴lg y ＝3x ·(3－x )．∴f (x )＝103x (3－x )且⎩⎨⎧3x >0，3－x >0，⇒0<x <3. (2)∵f (x )＝103x (3－x )，设u ＝3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则f (x )＝10u ，当x ＝32∈(0,3)时，u max ＝274， ∴u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，274.∴f (x )∈(1,10274]． (3)当0<x ≤32时，u ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274是增函数，而y ＝10u 为增函数，∴在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上，f (x )是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3上，f (x )是减函数．课程小结1.在运用性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a M n＝n log a|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，log a b<0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝log a x的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．。

高中数学《第7课时对数、对数函数》教学案新人教A版必修

高中数学《第7课时对数、对数函数》教学案新人教A 版必修3一、【基础训练】1．2log 510＋log 50.25的值为________．2．1732log [log (log )]0,x x -==则 .3．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．4．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log 18x )>0的x 的取值范围是__________________．5．已知0<a 0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝__________________；②log a MN＝____________；③log a M n ＝__________(n ∈R )； ④log am M n ＝nmlog a M .3，时三、【典题拓展】例1 计算：2221(1)log log 12log 4212--(2) 已知2lglg lg ,2x y x y -=+. (3)已知2342log 3,log 7,,log 56a b a b ==用表示. (4)设均不为1的正数,,a b c 满足1110xyza b c x y z==++=且，求abc 的值.变式训练1 （1）若lg()lg(2)lg 2lg lg ,x x y x y x y y-++=++求的值 (2) 设2log ,log 310log a b a bc c x x c -+=是方程的两根，求的值.例2．(1)比较大小： log 323 ___ log 565； log 1.10.7 ___ log 1.20.7；(2) 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________ (3)已知111222log log log b a c <<，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式训练2 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________． .例3求下列函数的值域：2122(1)log (32); (2)(log )2),(1).4xy x x y x x =+-=⋅≥变式训练3 设不等式2(log 21x )2+9(log21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值例4已知函数211()log .1xf x x x+=-- （1）求f (x )的定义域；（2）判断并证明f (x )的奇偶性；（3）在（0，1）内，求使关系式1()()3f x f >成立的实数x 的取值范围.四、【训练巩固】 1.22log 15x<的解集是 . 2．若函数()log (1)a f x x =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[0，1]，则a = .3.已知函数()1 ,42(1) ,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()3log 22+f = . 4. 的递增区间为，值域为 .)lg(2x x y +-=5.函数()ln(2)f x x =-在下列区间为增函数的是 .6.设a >0，a ≠1，函数2lg(23)()xx f x a -+=有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为．7 设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图像上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图像上的点(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围。

对数与对数函数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

=(lg5+lg2)2
=1.
(2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1.
(3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2
=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2
∴
log
2
x y
=log
4=4.
2
7.已知 a>b>1, 且 3lgab+3lgba=10, 求 lgab-lgba 旳值.
解: 注意到 lgab·lgba=1,
又已知
lgab+lgba=
10 3
,
∴(lgab-lgba)2=(lgab+lgba)2-464 9
.
5.已知有关 x 旳方程 lg(ax)·lg(ax2)=4 旳全部解都不小于 1, 求
实数 a 旳取值范围.
(0, 1010)
6.设 s, t>1, mR, x=logst+logts, y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s). (1)将 y 表达为 x 旳函数 y=f(x), 并求出 f(x) 旳定义域; (2)若有关
A.
2 4
B.
2 2
C.
1 2
D.
1 4
3.对于 0<a<1, 给出下列不等式, 能成立旳是( D )
① loga(1+a)<loga(1+ a1);

对数与对数函数教案

例2、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()
A．logab·logcb＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
解：由对数的运算法则及换底公式知A，C，D不恒成立，logab·logca＝ · ＝＝logcb，B恒成立．故选B.
＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
(2)原式＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ .
1、求下列各式的值：
(1) .
解：(1)原式分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2
＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3；
原式分母＝(lg6＋2)－lg
＝lg6＋2－lg ＝4；
∴原式＝ .
1、换底公式及对数恒等式
又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，
则有u(x)min＝3－a2＝2，
解得a＝±1.
(1)首先要在函数定义域内研究函数的单调性；
(2)此题中定义域为R的问题实质上与值域为R的问题正好相反，都是利用对数函数的定义域和值域进行分析。
2、已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2) (a，b是不为1的正数，c>0)；
(3)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
解：(1)原式＝log5 ＋2log 2 ＝log553－1＝2.
(2)∵logab·logbc＝＝logac，
∴ ＝＝c.
(3)原式＝(3log25＋log25＋ log25)(log52＋log52＋log52)＝ log25·3log52＝13.

中职数学（人教版）：讲指数与对数函数教学教案

第07讲指数与对数函数一、指数与对数运算：（一）知识归纳： 1．根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a nn=；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n2．幂的有关概念：①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）， 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 3．对数的概念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N aNa =log③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m = （二）学习要点：1．b N N a a N a bn ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题：（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---[解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=（2）计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43. （3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.（4）已知：36log ,518,9log 3018求==ba 值. [解析],5log ,51818b b=∴=ab a b -+-=-+-+=++=∴22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830.[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且，求证：b a ac c log 2)(= [解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+x x bxc x x a a a a a a ，2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c bc a a a a a a ⇒+=⇒=+∴=b b a a a a a ac c ac b ac log 2log )()(log log )(log =⇒=⋅（2）若0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2=-++++yx y x y y x x y x ，求)(log 2xy 的值.[解析]去分母得0)][lg()lg (lg 22=-++y x y x⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴110)lg(0lg lg y x xy y x y x ， x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根，且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0，解得251±=t ， 0)(log ,215,215,02=+∴-=+=∴>y x y x x [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数（一）学习要点： 1．指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴），3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称.③函数值的变化特征：2．对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数.②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）.4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x ya 1log log ==与的图象关于x 轴对称.③函数值的变化特征：（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数（其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.[解析]（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ，当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ，（2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ，求导得e x x f a log 12)(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数；（另解）设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a，解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。

对数函数公式优质课教学设计完美版

对数函数公式优质课教学设计完美版介绍本文档旨在提供一份完美的对数函数公式优质课教学设计，帮助教师有效地引导学生研究对数函数公式，提升学生的理解和运用能力。

以下是教学设计的细节。

教学目标- 理解对数函数的基本概念和性质。

- 掌握对数函数的常见公式和运算法则。

- 能够应用对数函数解决实际问题。

教学内容1. 对数函数的定义和性质。

2. 对数函数的常见公式和运算法则。

3. 对数函数在实际问题中的应用。

教学步骤1. 导入阶段：- 介绍对数函数的基本概念和定义。

- 引发学生对对数函数的兴趣，例如展示对数函数在实际问题中的应用场景。

- 提出研究对数函数的重要性和目标。

2. 概念讲解阶段：- 逐步讲解对数函数的定义和性质，引导学生理解。

- 与学生互动，让学生提出问题和思考。

3. 公式和运算法则研究阶段：- 介绍常见的对数函数公式和运算法则。

- 通过示例演示和练让学生掌握运用这些公式和法则的技巧。

4. 实际问题应用阶段：- 提供实际问题，让学生运用对数函数解决问题。

- 鼓励学生积极思考和合作讨论，促进跨学科的研究。

5. 总结和复阶段：- 总结对数函数的关键知识点和方法。

- 鼓励学生回顾课堂内容并互相复。

- 提供题或测验，检验学生的研究成果。

教学方法和策略- 采用问题导向的研究方式，激发学生的思考和探究。

- 结合实际问题和应用场景，增加研究的趣味性和实用性。

- 鼓励学生合作研究和互相讨论，促进交流和思维碰撞。

- 引导学生独立思考和解决问题的能力。

教学评估- 课堂互动观察：观察学生对概念的理解和运用情况。

- 练和作业：布置题和作业，检验学生的掌握情况。

- 测验和考试：通过测验和考试，评估学生对对数函数的掌握程度。

参考资料- 教材：根据教材内容设计对数函数公式优质课教学。

- 系统化的教学资源：参考教学网站、教学视频等资源，准备丰富的教学材料。

以上是对数函数公式优质课教学设计的完美版，希望能够帮助教师有效地教授对数函数相关知识，提升学生的学习成效和兴趣。

《对数和对数函数习题课》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

y log2 x 符合．将表中数据代入验证，数据基本相符．所以选D．
习题讲解
12．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_____①_______．
① y 3 1.04x ；
③ y 40 lg x 1 ；
② y 20 x10 ； ④ y 80．
解：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．
习题讲解
13．
解：A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与（4）对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对应．
am
2 an 32 9 ．
2．已知 log2 log4 log3 x log3 log4 log2 y 0 ，则x y __9_7___．
解：由题意可知 log4 log3 x 1 ，所以 log3 x 4 ，所以 x 34 81 ；
同理可得 y 24 16 ，所以 x y 97 ．
loga (x
1) 2
为增函数，
没有符合的选项．所以答案为D．
习题讲解
9．
解：因为对数函数 y log6 x 在其定义域上是增函数，所以 a log6 5 log6 1 0且 a log6 5 log6 6 1 ．因为指数函数 y x 在其定义域上是增函数，所以 b 0.3 0 1．因为在其定义域上是增函数，所以 c ln 1 ln1 0 ．综上，c＜0＜a＜1＜b，即c＜a＜b ，
则x，y最合适的函数是（）
A．y 2x
B．y x2 1

高考数学讲义对数与对数函数.参考教案.教师版

对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质 B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式A 对数函数的概念B 对数函数的图象和性质C指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B版块一：对数的定义和相关概念（一）知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1．对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．关系式a xy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈知识精讲高考要求对数与对数函数对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =．2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =L 为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N ．4．对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=． 5．指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=．log a N a N =，log N a a N =版块二：对数的运算性质和法则（一）知识内容1．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log(...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈⑷1log log a a N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）<教师备案>证明：法一：根据指数的运算性质推导设log b N x =，则x b N =．两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =，所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=．法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log b N b a a a N b b N ⋅==，所以有log log log a b a NN b=．换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=． 3．关于对数的恒等式①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a =④log log n n a a M M =⑤log log log log a b a b M M N N=版块三：对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．【例1】计算：26666[(1log 3)log 2log 18]log 4-+⋅÷ 【解析】 1；<教师备案>计算的前提是化简，运用对数的运算性质时，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子和分母的联系【例2】计算：24892(log 3log 9log 27...log 3)log 32()n n n n *++++⋅∈N【解析】 52；【例3】计算：lg 0.5lg30153⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【解析】从对数的定义和对数的运算性质出发，结合对数恒等式可求设lg30lg0.515()3x ⋅=，则lg30lg0.511lg lg[5()]lg30lg5lg lg0.533x =⋅=⋅+⋅(1lg3)lg5lg3(lg51)lg5lg3lg15=+--=+= 所以，15x =，即lg30lg0.515()153⋅=【例4】（04-北京-模拟）已知18log 9a =，185b =．用,a b 表示36log 45 【解析】 ∵ 18log 9a =，18log 5b =∴1818181818361818181818log 45log 9log 5log 9log 5log 4518log 36log 18log 22log 18log 9a ba+++====+-+【备选】解方程： 2(lg )lg 10100x x x ⋅=【解析】两边同时取对数：2(lg )lg lg lg100x x x +⋅=例题精讲22(lg )2x = ∴lg 1x =± ∴10x =或0.1x =<教师备案>将此题变为 “2(lg )lg 1020x x x +=”让学生思考作答，观察2(lg )lg 2lg10lg (lg )x x x x == 2(lg )lg lg lg 102201010x x x x x x x x ⇒=⇒=⇒=⇒=或0.1x =【例5】已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A << 【解析】由于,p q 为素数，其差29q p -=为奇数，∴2,31p q ==6lg lg lg1984A p q =+=，1000198410000<< 故34A <<【备选】（2004-3121log 202x +>的解集为_______【解析】原不等式等价于223331log 0222log 1000x x x x -++>⎪-⎨⎪>⎪>⎪⎩≥t =，则有23122t t t ⎧-+>⎪⎨⎪≥⎩ 解得01t <≤ ，即20log 11x -<≤ ∴24x <≤板块二：对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．根据对数的性质可知：当底数和真数同在)1,0(　上或),1(∞+　上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在)1,0(　上另一个在),1(∞+　上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于x y =对称，单调性一致． 3．对数函数恒过点)0,1(　，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．例如，函数1)2(log 2-+-=x x y a 0(>a 且)1≠a 恒过一定点，则该点的坐标为．我们知道01log =a ，这是与a 无关的一个等式，于是12=-x 则3=x ，从而8132=-=y ，故定点为)8,3(　4．掌握对数函数性质，在1>a 时，函数为增函数；在10<<a 时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，a 逐渐变小．6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用． 7．形如)(log 2b ax x y a ++=的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．【备选】已知函数log ()x a y a a =-，其中1a >，求它的定义域和值域．【解析】 0x x a a a a ->⇒<，又1,x a a >Q 是增函数，1x ∴<∵x a a <，且0x a >，∴x a a a -<，log ()1x a a a ∴-<∴函数log ()x a y a a =-的定义域与值域分别是{|1}x x <，{|1}y y <<教师备案>求函数定义域、值域是一个复杂的问题，一定要引起足够的重视，求定义域时，观察、思考问题要全面，把限制条件要摆全、勿遗漏，对数函数的底、真数的允许值范围要记熟；求函数值域时，千万不要忘记函数的定义域．【例6】已知5log 5log n m >，试确定m 和n 的关系．【解析】这是一个真数相同底数不同的比较大小问题，应分各种情况予以讨论．令5log 1m y =，5log 2n y =，由于5log 5log n m >，它的函数图象可能有如下三种情况，如图在图⑴中n m <<1，在图⑵中10<<<n m ，在图⑶中1>m ，10<<n ．<教师备案>这类题型应数形结合，充分利用函数图象的直观性．【例7】设10<<x ，0>a 且1≠a ，试比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小．【解析】这是一道典型的比较大小的题目，其中a 与1的大小未确定，对数双在绝对值内，这就增加了解题的难度和解法的灵活性，此题解法较多．下面主要介绍作差法，平方法和作比法．解法1 作差法：∵10<<x ，∴211<+<x ，110<-<x ，当10<<a 时，0)1(log >-x a ，0)1(log <+x a ， ∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a ++-=+-- )1(log )]1)(1[(log 2x x x a a -=+-=． ∵10<<x ， ∴1102<-<x ．故0)1(log 2>-x a ．因此 |)1(log ||)1(log |x x a a +>-．当1>a 时，0)1(log <-x a ，0)1(log >+x a ，∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a +---=+-- 0)1(log )]1)(1[(log 2>--=+--=x x x a a ．因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．综上所述，当10<<x ，0>a 且1≠a 时，总有|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．解法2平方法：∵)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |2222x x x x a a a a +--=+--)]1(log )1()][log 1(log )1([log x x x x a a a a ++-+--=)1(log 11log 2x xxa a-⋅+-= ∵10<<x ，∴1102<-<x ，10 1.1xx-<<+ 对于任意0>a 且1≠a ，)1(log 2x a -总与xxa +-11log 同号．因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．解法3 作比法： ∵10<<x ，211<+<x ，110<-<x ，xx x x x x x x a a -=--=-=+-+++11log )1(log |)1(log ||)1(log ||)1(log |1111)1(log 11log 121=+>-+=++x x xx x．因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．<教师备案>对于此题尽管同样是作差法、作比法，但过程却可千变万化，各具特色，巧妙之处常在某些“灵活”的处理上．如解析3中判断(1)1log 1x x+-与1的大小关系，处理得比较巧妙，避免了一系列的讨论．【例8】设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y，求此时a 和x 的值．【解析】由已知条件得22log 333log 3log log 3log 3(log )log log 24a a a a a a a a y x y x x x x x +-=⇒=-+=-+当3log 2a x =时，log a y 有最小值34∵01a << ∴y 有最大值34a ．依题意得33334224112()()24a -===∴14a =，此时332211()48x a ===．【例9】当a为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a ax ax ⋅+++≥有且只有一解【解析】易知：0a >且1a ≠，设25u x ax =++，原不等式可化为5331log (1)0log u a++≥⑴ 当01a <<时，原不等式为35log 1)log (1)1u ⋅+≥ ⑴由于当0u ≥时，3log 1)与5log (1)u +均为单调增函数，所以它们的乘积35()log 1)log (1)f u u =+⋅+也是单增函数因为35(4)log (21)log (41)1f =+⋅+=所以⑴等价于4u ≥，即254x ax ++≥此不等式有无穷多解 ⑵当1a >时，不等式化为35log 1)log (1)1u ⋅+≤⑵ 由(4)1f =知，⑵等价于04u ≤≤，即2054x ax ++≤≤从上式可知，只有当254x ax ++=有唯一解即240a ∆=-=时，不等式2054x ax ++≤≤有唯一解1x =-综上所述，当2a =时原不等式有且只有一个解．【备选】（00-京皖春季-理T21）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <【解析】证法一：由已知 lg ,[1,)()|lg |lg ,(0,1)x x f x x x x ∈+∞⎧==⎨-∈⎩∵0,()()a b f a f b <<> ∴,a b 不能同时在区间[1,)+∞上．又由于0a b <<，故必有(0,1)a ∈若(0,1)b ∈，显然有1ab <．若[1,)b ∈+∞，由()()0f a f b -> 有lg lg 0a b -->，故lg 0ab < 1ab ∴<证法二：有题设()()f a f b >，即|lg ||lg |a b >，上式等价于22(lg )(lg )a b >(lg lg )(lg lg )0a b a b +->，lg()lg0aab b> 由已知0b a >>，1a b ∴< lg 0ab∴<，lg()0,01ab ab ∴<<<【备选】设124()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的最大值【解析】易知()f x 的定义域为(0,)+∞因为1143log y x =+在(0,)+∞上是减函数，22log y x =在(0,)+∞上是增函数，而当12y y =，即1243log log x x +=时，4x =，所以由1143log y x =+和22log y x =的图象可知1423log ()log x f x x+⎧⎪=⎨⎪⎩ (4)(04)x x <<≥ 故当4x =时，得()f x 的最大值是2 另解：1241()3log 3log 2f x x x =+=-⑴2()log f x x = ⑵⑴×2+⑵消去2log x ，得()2f x = 又(4)2f =，故()f x 的最大值为2板块三：指数函数与对数函数<教师备案>1．复习指数函数、对数函数的概念2．反函数的概念：一般地，函数()y f x =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =可得()x y φ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y φ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y φ=就表示x 是自变量y 的函数．这样的函数()x y φ=，y C ∈叫函数()y f x =的反函数，记作：1()x f y -=．习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此()y f x =的反函数1()x f y -=2y x =通常改写成：1()y f x -=注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数② ()y f x =与1()y f x -=互为反函数③()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的值域、定义域3．奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数()y f x =是增（减）函数，则其反函数1()y f x -=是增（减）函数． 4．求反函数的步骤：由()y f x =解出1()x f y -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换,x y ，得1()y f x -=；根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域．【备选】求下列函数的反函数：①31()y x x =-∈R ； ②31()y x x =+∈R ；③1(0)y x =+≥； ④23(,1)1x y x x x +=∈≠-R 【解析】略．【铺垫】函数2()log 2f x x =-，则1()f x -的定义域是（） A ．R B ． [)2,-+∞ C ．[)1,+∞ D ．()0,1 【解析】 A ;即函数2()log 2f x x =-的值域．【例10】求函数11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数．【解析】 ∵ 12111x e y x x e e +==+--，∴211x e y =+-，即11x y e y +=-，∴1ln 1y x y +=-，∵0x >,∴1x e >．∴2111x y e =+>－． ∴11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数为1ln 1x y x +=-()1x >．【例11】已知函数21()21x f x x ⎧-=⎨-⎩，求它的反函数.【解析】1()12f x x -=⎨+⎪⎩ 11x x -<-≥<教师备案>分段函数的反函数仍是分段函数，在求其反函数时，要在每一段上分别求出它的反函数，然后分段写出，要特别注意定义域的限制作用．【例12】已知xa x f =)(，x x gb log )(-=，且0lg lg =+b a ，1≠a ，1≠b ．则)(x f y =与)(x g y =的图象（）A ．关于直线0=+y x 对称；B ．关于直线0=-y x 对称；C ．关于y 轴对称；D ．关于原点对称．【解析】此题可以采用的方法有：①分情况讨论a 和b ；②给a 和b 赋特殊值；③求出两个函数的解析式．下面给出③的解析过程．由0lg lg =+b a 得1=ab ，∴x x x x g a a b log log log )(1=-=-=-．∴)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线0=-y x 对称，故选B ．<教师备案>由0lg lg =+b a 去掉a 或者b ，再进行比较，关于直线0=+y x 对称的两点坐标为(,)x y ，),(x y --　；关于直线0=-y x 对称的两点坐标为(,)x y 和(,)y x ．【备选】（04-全国-理15）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，设()f x 的反函数是()yg x =，则(8)g -=【解析】由奇函数得当0x <时，()31x f x --=-+即31()31xx f x -⎧-⎪=⎨-+⎪⎩ 00x x <≥又由()y f x =与()y g x =互为反函数，可知求(8)g -即求()8f x =-时的x ．由()31x f x =-(0)x ≥知值域为[0,)+∞ 由()31x f x -=--(0)x <知值域为(,0]-∞故(8)g -即为求318x ---=-，2x ∴=-，即(8)2g -=-【备选】已知实数0,1a a ≠≠，函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠ 求证：函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的图象关于直线y x =成轴对称图形．【解析】要证明函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数．由1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，得(1)1y ax x -=- (1)1ay x y ∴-=- 若10ay -=，则1y a=，代入11x y ax -=-，得111x a ax -=-从而1ax a ax -=-1a ∴=，与已知矛盾，故10ay -≠ 于是，由(1)1ay x y -=-，得11()1y x y ay a -=≠-（1y a≠可通过变量分离法直接得到）∴函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的反函数为1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，即为自身故函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形【例13】设,a b 分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，求a b +及2log 2b a + 【解析】在直角坐标系内分别作出函数2x y =和2log y x =的图象，再作直线y x =和3y x =-+，由于2x y =和2log y x =互为反函数，故它们的图象关于直线y x =对称，方程2log 30x x +-=的根a 就是直线3y x =-+与对数曲线2log y x =的交点A 的横坐标，方程230x x +-=的根b 就是直线3y x =-+与指数曲线2x y =的交点B 的横坐标设3y x =-+与y x =的交点为M ，则点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以23M a b x +== 2log 223b M a y +==习题1. 已知()2x f x =，则方程11(1)()1f x f x ---+=的解集为_________．【解析】 12()log f x x -=，所以方程11(1)()1f x f x ---+=，即22log (1)log 1x x -+=，即(1)2x x -=，解得2x =或1x =-．又0x >，故2x =．习题2. 已知函数()3x f x =，且1(18)2f a -=+，()34ax x g x =-． ⑴求a 的值；⑵求()g x 的表达式；⑶当[1,1]x ∈-时，()g x 的值域并判断()g x 的单调性．【解析】 ⑴13()log f x x -=，3log 182a =+，3log 2a ∴=⑵3log 2()(3)4(3)424a x x x x x x g x =-=-=-⑶令2x u =，∵11x -≤≤，则122u ≤≤，2211()()()24g x u u u u φ==-=--+当12u =时，max 1()4u φ=；当2u =时，min ()2u φ=－．∴()g x 的值域为1[2,]4-当11x -≤≤时，122u ≤≤，()u φ为减函数，而2x u =为增函数．∴ ()g x 在[1,1]-上为减函数．习题3. 2(lg 27lg8lg 1000)lg 3lg91+--+【解析】 32-习题4. 已知,,x y z R +∈，346x y z ==家庭作业（1）求证：1112z x y-=；（2）比较3,4,6x y z 的大小；【解析】设346x y z t ===，由0,x >知1t >故取以t 为底的对数，可得 log 3log 4log 61t t t x y z === 1log 3t x ∴=，1log 4t y =，1log 6t z = ⑴易证：1112z x y-=⑵64lg8134lg 0lg3lg 4x y t -=⋅<⋅Q 34x y ∴< 又2lg 46(lg36lg64)0lg 4lg6ty z -=-<⋅46y z ∴< 346x y z ∴<<习题5. 已知)(log )(x a a a x f -=)1(>a ，⑴求)(x f 的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；⑶解不等12(2)()f x f x -->【解析】 ⑴(),1-∞，(),1-∞ ；⑵减函数；⑶11x -<<习题6. 如图曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值4313,,,3510，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是．【解析】 C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是4313,,,3510．习题7. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a=+=+ 解得6m n == ，即log (21)a x y ==±习题8. 设}1,0{　=M ，}2lg 11{a a a N a，，　，　-=，是否存在a 的值，使}1{=N M I ．【解析】不存在a 的值，使}1{=N M I1. 解方程：2lg [lg ]20x x --= （其中[]x 表示不大于实数x 的最大整数）【解析】由[]x 的定义知，[]x x ≤，故原方程可变为不等式：2lg lg 20x x --≤即1lg 2x -≤≤当1lg 0x -<≤时，[lg ]1x =-，于是原方程为2lg 1x =，lg 1x =-，110x =当0lg 1x <≤时，[lg ]0x =，原方程为2lg 2x =，lg 2x =均不符合[lg ]0x = 当1lg 2x <≤时，[lg ]1x =，原方程为2lg 3x =，所以lg 3x =，310x =当lg 2x =时，100x = 所以原方程的解为1110x =，3210x =，3100x =2. 方程x x 3)3(log 2=+有多少个实数根．【解析】可用数形结合的办法，作出函数2log (3)y x =+及3x y =的图象，如图可知，两交点A 、B 的横坐标即为原方程的解，故个数为2个．3. 设]1)(2[log 225.0+-+=xx x b ab a y ，a ，b 都是正实数，求使y 取负值时x 的取值范围．【解析】依据01log =a ，当)1,0(　∈a ，1>t ，0log <=t y a ，将对数式转化为指数不等式；再将指数式转化为一元二次不等式来求解．要使0<y ，须使11)(222>+-+x x x b ab a ，即 0)(222>-+x x x b ab a ．又因a 、b 均为正数，两边同除以x b 2，则01)(2)(2>-+x x ba b a．由ab +∈R ，所以12)(->x ba ．若0>>b a ，则1>b a，)),12((log ∞+-∈　ba x ．月测备选若0>=b a ，则1=ba，不等式恒成立．所以x ∈R ． <教师备案>通常对于较复杂的对数，指数运算，一方面要注意互化，另一方面还要注意等价转化，对含有字母的式子，要注意对底数的讨论．4. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值．【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a =+=+解得6m n ==，即log 1)a x y ==5. 设函数21()2ax y f x x b+==-的图象关于直线y x =对称，求,a b 应满足的条件．【解析】由已知得，函数21()2ax y f x x b+==-的反函数就是它自身，可以利用系数对应相等，或给x 附值法．比较系数得2b a =，此即,a b 所满足的关系．6. 已知0a >且1a ≠，试求使方程22)log ()a x ak x a -=-有解的k 的取值范围【解析】原方程即log ()log a a x ak -=即0x ak <-<分别解关于xa 的不等式、方程得：212x k k a k +<= （0k ≠时）所以212k k k+<，解得1k <-或01k <<又当0k =时，代入原式可推出0a =与已知矛盾，故k 的取值范围为(,1)(0,1)-∞-U。

对数及对数函数教案

对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化教学难点：对数概念的理解．教学过程：一、引入课题1．（对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2．尝试解决本小节开始提出的问题．二、新课教学1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式．思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备．两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．2．对数式与指数式的互化x N a =log⇔N a x =对数式 ⇔ 指数式对数底数 ← a → 幂底数对数 ← x → 指数真数 ← N → 幂例1．（教材P 73例1）巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3．对数的性质（学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a n a =log ．三、归纳小结，强化思想○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质．四、作业布置教材P 86习题2．2（A 组）第1、2题，（B 组）第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：五、引入课题3．对数的定义：b N N a a b =⇔=log ； 4．对数恒等式：b a N ab a Na ==log ,log ；六、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a =3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a (log ·)N ．（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质：学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质． ○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识． 4．利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．5．换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式．设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系． ○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）； ○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a na m log log =；（2）ab b a log 1log =．设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数． 6．课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。

高中数学对数及对数的运算优秀课件

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[尝试解答] (1)∵3－2＝19，∴log319＝－2.
(2)∵14－2＝16，∴log
1 4
16＝－2.
(3)∵log
1 3
27＝－3，∴13－3＝27.
(4)∵log 64＝－6，∴( x)－6＝64. x
2
3.指数与对数的互化添加幻灯片小标题
当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝
. 如：
∵23＝8，∴log28＝；∵25＝32，∴log232＝ .
4.对数的性质
(1)loga1＝；
(2)logaa＝；
(3)
和没有对数．
5.对数恒等式
alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．
[典例精析]
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求下列各式中 x 的值．
(1)logx27＝32； (3)x＝log2719；
2.2对数函数
对数与对数的运算
01 对数的概念
03 对数的运算性质
CATALOG
02 对数的性质及应用 04 换底公式
1
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ax b 已知a, x,求b 幂运算已知b, x,求a 开方运算已知a,b,求x ??运算
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1.定义
一般的，如果 aa 0, a 1
3
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6 .
[典例精析]
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求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
5
(2)lg
100；
(3)lg 14－2 lg 73＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.