高等数学第七章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算

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课件7-1向量坐标

第一节向量及其线性运算
一、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2 a
向量表示：a 或 M1M2
M1
几何上：以 M1为起点 M2 为终点的有向线段.
以坐标原点为起点的向量称为向径 r OM .
向量的模：向量的大小,记为
|
a
|或
MM 12
单位向量：模长为1的向量. a0 或
零向量：模长为0的向量.
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k

数乘：
(ax
bx ,
ay
by,
az
bz )
a (ax )i (ay ) j (az )k (ax , ay , az )
a (ax , ay , az )
有序数
R
C
z
B
M
xo y
Qy
xP
A
空间点 M r OM 11 有序数组 ( x, y, z)
称x, y, z为点M的坐标，记作M x, y, z .
也称x, y, z为向量r OM的坐标,记作r x, y, z.
z
特殊点的坐标表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
2,
cos z 3 z 3 1 z 4, z 2,
AB AB x2 x1 2 + y2 y1 2 + z2 z1 2
例5 设 P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
解因为P在x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
2
PP1 ( x)2 2 32 x2 11,

高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

高等数学(下册) 骈俊生 (1)

第七章向量代数与空间解析几何
第四节曲面、空间曲线方程
第七章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其线性运算第二节向量的数量级与向量积第三节平面、空间直线方程第四节曲面、空间曲线方程
第七章向量代数与空间解析几何
第四节曲面、空间曲线方程
第四节曲面、空间曲线方程
本节主要内容:
一.曲面方程的概念二.旋转曲面三.柱面四.二次曲面五.空间曲线的方程
表示的曲面称为圆锥面，点 O 称为圆锥的顶点.
14
第七章向量代数与空间解析几何
第四节曲面、空间曲线方程
例5 求出下列旋转曲面的方程：
x2 y2
（1）xOy平面上的椭圆
a
2
b2
1
绕x轴(长轴)和
绕y轴(短轴)旋转；
z 0
解 (1) 绕x轴旋转所生成的旋转曲面的方程为
x2 z2 y2 a2 b2 1
M 的坐标应满足的方程为
f ( x2 y2 , z) 0.
这就是所求的旋转曲面方程.
★ 由此可见, 在曲线 C 的方程 f ( y , z ) = 0 中, 只要将 y 换为 x2 y2 , 就可以得到曲线 C 绕 z 轴的旋转
曲面方程.
提问: 曲线f(y, z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？
第七章向量代数与空间解析几何
一.曲面方程的概念
第四节曲面、空间曲线方程
定义7.4.1 如果曲面S与三元方程F(x, y, z) =0有下述关系:
(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,那么, 方程F(x, y, z)0

高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课

A12

B12

C
2 1
A22

B
2 2

C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos

2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析：向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解：由已知条件得
3

3

1 3
易得
1

4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。此时向量为

第七章第1节向量及其线性运算

定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量的分量 (坐标)，aj 称为向量的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则此向量组

专升本高等数学第七章向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何【考试要求】1．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦． 2．掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法． 3．掌握两向量垂直、平行的条件．4．会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的垂直、平行． 5．会求点到平面的距离．6．了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程、参数方程．会判定两直线平行、垂直． 7．会判定直线与平面的关系（垂直、平行、直线在平面上）．【考试内容】一、向量及其运算（一）向量的相关概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），用有向线段AB （起点为A 终点为B ）或小写字母a 表示． 2．向量的模向量的大小称为向量的模，记为AB 或a ．3．向量的坐标表示向量的坐标表示法有两种：axi y j zk =++或(,,)a x y z =．（二）向量的运算1．线性运算设111(,,)ax y z =，222(,,)b x y z =，则有：加法：121212(,,)a bx x y y z z +=+++；减法：121212(,,)a b x x y y z z -=---；数乘：111(,,)ax y z λλλλ=．2．向量的数量积（点乘积）向量a 、b 的数量积记为cos(,)a ba b a b ⋅=．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 121212a b x x y y z z ⋅=++．3．向量的向量积（叉乘积）向量a 、b 的向量积是一个向量，记为a b ⨯，它的模和方向分别定义为：（1）sin(,)a ba b a b ⨯=；（2）a b ⨯同时垂直于a 和b ，且a 、b 、a b ⨯成右手系．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 111222ij k a b x y z x y z ⨯= ．4．基本性质（1）交换律和反交换律交换律：a b b a +=+，a b b a ⋅=⋅；反交换律：a b b a ⨯=-⨯．（2）结合律()()a b c a b c ++=++，()()()a a a λμλμμλ==，()()a b a b λλ⋅=⋅，()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯．（3）分配律 ()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯．（三）平行与垂直的充要条件设向量111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，1．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得b a λ=． 2．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得21x x λ=，21y y λ=，21z z λ=．或者说，向量a 与b 平行的充要条件是它们的对应坐标成比例． 3．两个向量a ，b 平行的充要条件是0a b ⨯= 或 111222x y z x y z ==．4．两个向量a ，b 垂直的充要条件是0a b ⋅= 或1212120x x y y z z ++=．二、平面及其方程1．点法式方程设平面π过点0000(,,)M x y z ，(,,)n A B C =为其一法向量，则平面π的点法式方程为：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．2．一般式方程0Ax By Cz D +++= （A ，B ，C 不同时为零）．3．截距式方程1x y za b c++= （a ，b ，c 均不为零）．其中a ，b ，c 分别称为平面在x ，y ，z 轴上的截距．4．两平面之间的关系设有两个平面1π和2π，它们相应的方程为1π：11110A x B y C z D +++=，2π：22220A x B y C z D +++=，它们的法向量分别为 1111(,,)n A B C =，2222(,,)n A B C =．若12//n n ，即111222A B C A B C ==（若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面1π与2π平行．若12n n ⊥，即 1212120A A B B C C ++=，则两平面1π与2π垂直．两平面的夹角θ就是它们的法向量的夹角，即1212cos n n n n θ⋅=，02πθ≤≤．三、直线及其方程1．点向式方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的点向式方程为：000x x y y z z m n p---== ．2．一般式方程空间直线可以看成是两个平面的交线：111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ ． 3．参数方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的参数方程为000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩， t -∞<<+∞ ．其中 t 称为参数． 4．两直线之间的关系设有两条直线1L 和2L ，它们的方程分别为1L ：111111x x y y z z m n p ---==，方向向量 1111(,,)s m n p =，2L ：222222x x y y z z m n p ---==，方向向量2222(,,)s m n p =，两直线的方向向量的夹角θ叫做两直线的夹角（通常指锐角），1212cos s s s s θ⋅=，02πθ≤≤．若12//s s ，即111222m n p m n p ==，则两直线1L 与2L 平行．若12s s ⊥，即 1212120m m n n p p ++=，则两直线1L 与2L 垂直．5．直线与平面的关系设平面π的方程为π：0Ax By Cz D +++=，法向量 (,,)n A B C =，直线L 的方程为L ：000x x y y z z m n p---==，方向向量(,,)s m n p =，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角θ，即sin n s n sθ⋅=，02πθ≤<．若//n s ，即A B Cm n p==，则直线L 与平面π垂直．若 n s ⊥，即 0Am Bn Cp ++=，则直线L 与平面π平行．【典型例题】【例7-1】在z 轴上求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点．解：因所求的点M 在z 轴上，所以设该点为(0,0,)M z ，依题意有MA MB =，即=两边去根号，解得149z = ．因此，所求的点为14(0,0,)9M 【例7-2】已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e ．解：因为(3,1,2)AB=-，所以23AB == 故2)14AB e AB==-．【例7-3】已知两点1M 和2(1,3,0)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角．解：因12(12,32,0(1,1,M M =---=-，故12(2M M =-=，方向余弦 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos 2γ=-，方向角 23πα=，3πβ=，34πγ=．【例7-4】设(2,1,1)a=-，(1,1,2)b =-，计算a b ⋅ 和 a b ⨯．解：211(1)(1)21a b ⋅=⋅+⋅-+-⋅=-，211(1,5,3)112i j ka b ⨯=-=---．【例7-5】已知三角形ABC 的三个顶点分别是(1,2,3)A =、(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，求三角形ABC 的面积．解：根据向量积的定义可知，三角形的面积11sin 22ABC S AB AC A AB AC ∆=∠=⨯，由于(2,2,2)AB =，(1,2,4)AC =，因此222(4,6,2)124i j kAB AC ⨯==-，于是112ABCS AB AC ∆=⨯==．【例7-6】已知向量3a =，向量4b =，向量a 和b 的夹角3πθ=，求23a b -．解：因为223(23)(23)4669a b a b a b a a a b b a b b -=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅2246cos 6cos 9a a b b a bθθ=--+22431234cos943633π=⋅-⋅⋅⋅+⋅=⋅，故2363a b -=．【例7-7】求过三点(2,1,4)A -、(1,3,2)B --和(0,2,3)C 的平面方程．解：先找出这平面的法向量n ．由于n 与向量AB 、AC 都垂直，而(3,4,6)AB=--，(2,3,1)AC =--，所以可取它们的向量积作为法向量n ，即346(14,9,1)231i j kn AB AC =⨯=--=---，根据平面的点法式方程，所求平面方程为 14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即 149150x y z +--= ．说明：此题也可用平面的一般方程求解，步骤如下：设所求的平面方程为0Ax By Cz D +++=，将(2,1,4)A -、(1,3,2)B --、(0,2,3)C 三点的坐标值代入可得方程组240320230A B C D A B C D B C D -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪++=⎩ ，解之得 149953A BB C D B ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，代入原方程，得 14150993Bx By Bz B +--=，将B 约掉（0B≠）并化简可得平面方程为 149150x y z +--= ．【例7-8】求平行于平面1π：(6,3,2)A -，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面的方程．解法1：设所求的平面方程为 0Ax By Cz D +++=，由平面过原点可知0D =，由平面过点(6,3,2)A -可知，6320A B C -+=，又因为(4,1,2)n ⊥-，所以420A B C -+=，故23A B C ==-，所求平面方程为2230x y z +-=．解法2：设平面的法向量为n ．由于n 与向量(6,3,2)OA =-、平面428x y z -+=的法向量1(4,1,2)n =-都垂直，所以可取与它们的向量积平行的向量作为法向量n ，而1632(4,4,6)2(2,2,3)412i j kOA n ⨯=-=---=--，故可取法向量 (2,2,3)n =，平面方程为2(0)2(0)3(0)0x y z -+-+-=，即2230x y z +-= ．【例7-9】求平行于平面1π：2340x y z +++=，且与球面2229x y z ++=相切的平面方程．解：因所求平面平行于已知平面1π：2340x y z+++=，故可设所求平面方程为π：230x y z D +++=，又π与球面2229x y z ++=相切，可得球心(0,0,0)到平面π的距离等于半径3，故3=，即D =D =±故所求平面π的方程为230x y z +++= 和 230x y z ++-=．【例7-10】求过两点(3,2,4)M -和(2,1,1)N --的直线方程．解：因向量(1,3,3)(1,3,3)MN=--=--，故可取直线的方向向量(1,3,3)s =-，故所求直线方程为211133x y z -++==- ．【例7-11】求过点(1,1,1)且平行于直线12212x y -+==的直线方程．解：因所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s 可取为 (2,1,2)s =，所求直线又过点(1,1,1)，故所求直线的方程为1121x y --== ．【例7-12】求直线L ：132321x y z --+==-与平面π：53160x y z -+-=的交点．解法1：根据直线L 的对称式方程可得直线L 的参数方程为 13322x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩ ，故可设交点坐标为(13,32,2)t t t +--+，然后代入平面方程可得5(13)3(32)2160t t t +--+--=，得 1t =，故交点坐标为 (4,1,1)-．解法2：直线方程与平面方程联立，可得三元一次方程组1332123153160x y x z x y z --⎧=⎪-⎪-+⎪=⎨⎪-+-=⎪⎪⎩，解此方程组得 411x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即交点坐标为 (4,1,1)-．【例7-13】求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线的方程．解法1：因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法向量1n 、2n 垂直，所以可以取12104(4,3,1)215i j ks n n =⨯=-=---，因此所求直线方程为325431x y z +--==．解法2：过点(3,2,5)-且与平面43x z-=平行的平面方程为 423x z -=-，过点(3,2,5)-且与平面251x y z --=平行的平面方程为 2533x y z --=-，所求直线为上述两平面的交线，故其方程为 4232533x z x y z -=-⎧⎨--=-⎩ ．【例7-14】确定直线L ：3102230x y z x y z +-+=⎧⎨--+=⎩ 与平面π：250x y z +++=的位置关系．解：因为直线L的一般方程中的两个平面的法向量分别为1(3,1,1)n =-和2(2,1,2)n =--，而直线L 的方向向量s 同时垂直于1n 和2n ，故直线L 的方向向量s 可取为12311(3,4,5)212i j ks n n =⨯=-=----，而平面π的法向量(1,2,1)n =，由(3)142(5)10s n ⋅=-⋅+⋅+-⋅= 可知，s n ⊥，故//L π．又L 上一点14(0,,)33不在平面π上，故//L π但L 不在π上．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知向量(1,2,1)a=--与向量(1,2,)b t =垂直，则t 等于（）（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 解：因向量a与b 垂直，故0a b ⋅=，即(1)1(2)210t -⋅+-⋅+⋅=，也即50t -+=，故5t =．选项（D ）正确．2．（2009年，1分）直线l ：34273x y z ++==--与平面π：42230x y z ---=的位置关系是（）（A ）平行（B ）垂直相交（C ）l 在π上（D ）相交但不垂直解：直线l 的方向向量(2,7,3)s =--，平面π的法向量(4,2,2)n =--，由于81460s n ⋅=-+-=，故s n ⊥，所以直线与平面的关系为//l π．又直线上的点(3,4,0)--不在平面π上，故直线与平面的关系为//l π但l 不在π上．选（A ）．3．（2008年，3分）过点(,0,0)a 且垂直于x 轴的平面方程为（）（A ）z a = （B ）ya = （C ）z y = （D ）x a =解：垂直于x 轴的平面方程可设为xC =，又平面过点(,0,0)a ，故所求的平面方程为x a =．选项（D ）正确．4．（2008年，3分）直线121122x y z --+==--与下列平面垂直（）（A ）4100x y z +-+= （B ）2350x y z -++=（C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-=解：直线与平面垂直，故直线的方向向量(1,2,2)s =--与平面的法向量n 平行，s 的分量与n 的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项（C ）的法向量(2,4,4)n =-，且122244--==-，故选项（C ）正确． 5．（2007年，3分）直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（）（A ）平行但不共面（B ）直线垂直于平面（C ）直线在平面上（D ）两者斜交解：直线的方向向量(3,1,4)s =-，平面π的法向量(6,2,8)n =-，由于314628-==-，即s 与n 的对应分量成比例，故//s n ，所以直线与平面垂直．选（B ）．二、填空题1．（2009年，2分）通过点(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三点的平面方程是．解：设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++=，将以上三点代入该方程可得，0020D A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，即 02D A C B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ，代入一般方程可得， 20Cx Cy Cz -++=，即平面方程为 20x y z --=．2．（2009年，2分）设a ，b 为向量，若2a =，3b =，a 与b 的夹角为3π，则a b += ．解：根据2()()a b a b a b+⋅+=+ 及cos3a b a b π⋅= 可得，222()()22cos 3a b a b a b a a a b b b a a b bπ+=+⋅+=⋅+⋅+⋅=++22122233192=+⋅⋅⋅+=，故 19a b +=．3．（2006年，2分）点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离是．解：根据点到平面的距离公式，点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离为2d ===．三、计算题1．（2010年，5分）求平行于y 轴且过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -的平面方程．解：设平面的法向量为n ．因平面与y 轴平行，且沿y 轴正向的单位向量为(0,1,0)k =，故nk ⊥；又平面过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -，且(2,0,4)PQ =-，故n PQ ⊥，所以n 可取为与 k PQ ⨯ 平行的向量．因 010(4,0,2)204i j kk PQ ⨯==---2(2,0,1)=-，故可取 (2,0,1)n =，又平面过点(1,2,3)P （也可用点(3,2,1)Q -），故平面方程为2(1)0(3)0x z -++-=，即250x z +-=．说明：此题也可用平面的一般方程来解． 2．（2009年，5分）求通过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M 且垂直于平面8310x y z -+-=的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ．因平面过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M ，且12(1,6,1)M M =，故12n M M ⊥；又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向量1(1,8,3)n =-，故1n n ⊥．所以n 可取为与 121M M n ⨯ 平行的向量．因121161(26,2,14)2(13,1,7)183i j kM M n ⨯==--=---，故可取(13,1,7)n=--，又平面过点1(3,5,1)M -，故所求平面的方程为13(3)(5)7(1)0x y z --+--=，即 137370x y z ---=．说明：此题也可用平面的一般方程来解．。

高等数学第七章 (8)

b
a
两向量同向或反向时等号成立。
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三. 向量与数的乘法
是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
它的模 :
1a a ; 1 a a ;
可见
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运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
三、把 ABC
的 BC
边五等分，设分点依次为连接，试以
D 1 , D 2 , D 3 , D 4 ，再把各分点与点A
AB c , BC a 表示向量 D 1 A , D 2 A , D 3 A 和 D 4 A .
(a b ) a b 1 则有单位向量 a a . 因此 a a a
a
a
分配律
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
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例. 设 M 为解:
ABCD 对角线的交点,
b
a
a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c 三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a 2 a 3 a4 a5
a4
a5 a3
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a

空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程6、掌握平面方程和直线方程及其求法。

7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

8、会求点到直线以及点到平面的距离。

二、教学内容及学时分配：第一节向量及其线性运算2学时第二节数量积向量积和混合积2学时第三节曲面及其方程2学时第四节空间曲线及其方程2学时第五节平面及其方程2学时第六节空间直线及其方程2学时三、教学内容的重点及难点：重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题四、教学内容的深化和拓宽：1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。

2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

第一节向量及其线性运算一、内容要点1、向量：有大小、方向的量。

向量相等：大小、方向。

单位向量、零向量2、向量的坐标表达式及其运算1)向量的加法、减法满足：交换律、结合律。

高等数学第七章向量代数与空间解析几何

第四节空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα；当λ=0时

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何精编版

M OQ F OP F sin
O Q
P
F L
向量积
定义给定两个向量 a和b,a和b的向量积(或外积)仍是一个
向量,记作a
b,其大小为
ab
a
b
sin
(a，b),其
方向规定为与
a和b都垂直,且a,b,
a
b 构成右手系.
向量积模的几何意义以 a，b为邻边的平等四边形的面积.
右手系规则图示
x1 x2
x
O M1 P
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
，则：
a
b
ay by
az bz
， ax bx
az bz
， ax bx
ay
by
例题
已知ABC的顶点分别是A(1，2，3)，B(3，4，5)，
C(2，4，7)，求ABC的面积.
解：

高等数学第7章向量代数与空间解析几何

30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
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35
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式设有两个向量
37
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39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如图7.17所示。
第7章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ

高等数学第七章向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。

第7章向量代数与空间解析几何

第7章向量代数与空间解析几何7.1 向量及其线性运算7.1.1 基本要求1. 理解向量的概念.2. 掌握向量的线性运算.3. 理解向量的几何表示.7.1.2 答疑解惑1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？解答在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头，若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ，v ，F ，12M M 等都可表示向量.2. 向量的起点都在坐标原点吗？解答本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？解答不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量叫做相等的向量. 在这里由于AB 与BA 平行移动后，它们的方向总是不同的，所以它们不相等.4. 向量在轴上的投影是不是向量？解答向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负，而不是一个向量.7.1.3 经典例题解析例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b . 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 5(13)112⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭a b 522=--a b . 例2 设向量a 和b 都为非零向量，a 和b 的夹角平分线为l ，求与l 平行的向量.解设0,a 0b 分别表示向量a , b 的单位向量，则0=a a a ，0=b b b. 因为以0,a 0b 为邻边第7章向量代数与空间解析几何 2 的平行四边形为菱形，所以这个平行四边形的对角线平分顶角，又00+=+=a b a b a b +b a a ba b ，于是与l 平行的向量为λ+b a a ba b ，其中λ为实数.注以上求解过程中应用了向量的加法运算和菱形的对角线平分对角的性质. 例3 在平行四边形ABCD 中，设AB = a ，AD = b . 试用a 和b 表示向量MA ，MB ，MC ，MD ，其中M 是平行四边形对角线的交点. 分析根据平行四边形的对角线互相平分的性质和向量运算的三角形法则进行计算. 解如图7-1所示，因为平行四边形的对角线互相平分，所以 +=a b 22,AC AM M A ==- 于是MA = 1()2-+a b ，MC MA =-= 1()2+a b . 又因为2BD MD -+==a b ，所以MD = 1()2-b a ，MB MD =-= 1()2-a b . 例4 在四边形ABCD 中，AB = 2+a b ，BC = 4--a b ，CD = 53--a b ，证明四边形ABCD 为梯形．分析利用向量关系证明四边形ABCD 中的一组对边互相平行，则可知四边形ABCD 为梯形.证明因为四边形ABCD 中， AD AB BC CD =++= (2)(4)(53)82++--+--=--a b a b a b a b 2BC = ，所以向量AD ∥BC ，即四边形ABCD 中的一组对边AD 和BC 互相平行，于是四边形ABCD 为梯形．例5 设一直线上三点A ，B ，P 满足AP ＝PB λ (其中λ是实数且1λ≠-)，O 是空间任意一点，求证： OP ＝1OA OB λλ++ . 证明如图7-2所示，因为AP OP OA =- ，PB OB OP =- ，所以()OP OA OB OP λ-=- ，也就是(1)OP OA OB λλ+=+ ，从而OP = 1OA OB λλ++ . 7.1.4 习题全解1. 设,,A B C 为三角形的三个顶点，求AB BC CA ++ . 解 AB BC CA AC CA ++=+= 0.2. 设2=-+u a b c ,3=-+-v a b c , 试用,,a b c 表示23-u v .解 232(2)3(3)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c .3. 设向量a 的模为4，它与轴u 的夹角为60 ，求a 在轴u 上的投影.图7-1 图 7-27.2 空间直角坐标系与向量的坐标3 解 a 在轴u 上的投影为Prj u 1cos60422==⨯=a a °. 4. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 解如图 7-1 所示，四边形ABCD 中，令点M 为对角线AC 与BD 的交点，则AM MC = , BM MD = ,因为AB AM MB MC DM DC =+=+= ,所以//AB DC 且AB DC = ,即四边形ABCD 中的一组对边AB 和DC 互相平行且相等，于是四边形ABCD 是平行四边形.7.2 空间直角坐标系与向量的坐标7.2.1 基本要求1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.2. 掌握空间两点间的距离公式.3. 掌握向量的坐标表示法.4. 掌握向量的模、单位向量及方向余弦的坐标表达式.7.2.2 答疑解惑1. 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗？解答空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的，即以右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向以π2的角度转向y 轴的正向时，竖起大拇指的指向就是z 轴的正向.画的时候，一般z 轴向上，y 轴向右，x 轴向左下方.2. 引入向量的坐标对向量的运算有什么作用？解答引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 3. 向量的坐标是如何建立的？解答在空间直角坐标系中，向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例如，设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(,,)x y z ，点N 的坐标为222(,,)x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为21x x -，21y y -, 21z z -, 于是向量212121{,,}MN x x y y z z =--- †.7.2.3 经典例题解析例1已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 解由1M 和2M 两点的坐标可知12{1,}M M =- ，于是12M M =2=, 与12M M同方向的单位向量为121211,,222M M M M ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭，方向余弦____________________________________________________________† 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量，而用圆括号形式表示点的坐标.第7章向量代数与空间解析几何411cos ,cos ,cos 222αβγ=-==, 方向角α=23π, β=34π, γ=3π. 例2 已知,,A B C 三个点的坐标如下：（1）在平面直角坐标系下，(0,1),(2,2),(2,4)A B C --；（2）在空间直角坐标系下，(0,1,0),(1,0,2),(2,3,4)A B C ---.判别,,A B C 三点是否共线？解（1）因为向量{2,3},{2,3}AB AC =-=- ，所以AB AC =- ，即向量AB 和AC 平行，又这两个向量有共同的起点，于是,,A B C 三点共线；（2）因为向量{1,1,2},{2,2,4}AB AC =---=- ，不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以向量AB 和AC 不平行，于是,,A B C 三点不共线.例3 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0,0,1)A ，(2,1,0)B ，(1,2,3)C ．解根据点A 的坐标可知，A 点在z 轴上，B 点在xOy 坐标面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 坐标面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作z 轴的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C ，如图7-3所示.例4 求点(3,2,1)A 关于各坐标面对称的点的坐标．解点(3,2,1)A 关于xOy 坐标面对称的点的坐标为1(3,2,1)A -，关于yOz 坐标面对称的点的坐标为2(3,2,1)A -，关于zOx 坐标面对称的点的坐标为3(3,2,1)A -．例5 求点(4,2,3)A -到xOy 坐标面及y 轴的距离．解点A 到xOy 坐标面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 坐标面的距离为3；过点A 作垂直于xOy 坐标面的直线AB ，垂足为点B ，过点B 再作垂直于y 轴的直线BC ，垂足为点C ，于是直线AC 垂直于y 轴，即线段AC 的长度为点A 到y 轴的距离，而在直角三角形ABC 中，AC ==5=，于是点A 到y 轴的距离为5．例6 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．解因为所求的点M 在z 轴上，所以可设M 点的坐标为(0,0,)z ，又因为MA MB =，=27z =，即所求的点为20,0,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.2.4 习题全解1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,3,1)A -，(7,1,2)B --，(2,3,C -- 1)-，(1,2,3)D --.图 7-37.2 空间直角坐标系与向量的坐标5 解 (2,3,1)A -在第Ⅳ卦限，(7,1,2)B --在第Ⅷ卦限，(2,3,1)C ---在第Ⅶ卦限，(1,2,3)D --在第Ⅵ卦限.2. 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：(1,2,0)A -，(0,2,3)B -，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -. 解 (1,2,0)A -在xOy 坐标面上，(0,2,3)B -在yOz 坐标面上，(1,0,0)C 在x 轴上，(0,1,0)D -在y 轴上.3. 求点(2,3,5)--分别关于下列条件的对称点的坐标：（1）xOy 坐标面；（2）y 轴；（3）坐标原点.解（1）点(2,3,5)--关于xOy 坐标面对称点的坐标为(2,3,5)-；（2）点(2,3,5)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3,5)；（3）点(2,3,5)--关于坐标原点对称点的坐标为(2,3,5)-.4. 求点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O ，z 轴及zOx 坐标面的距离.解点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O =；点(4,3,5)A -到z 5=；点(4,3,5)A -到zOx 坐标面的距离为3.5. 在yOz 坐标面上，求与(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点等距离的点.解因为所求点在yOz 坐标面上，所以可设它的坐标为(0,,)M y z . 又因为该点到(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点的距离相等，所以AM CM =，BM CM =，即=，=由以上两等式解得1,2y z ==-，于是所求点的坐标为(0,1,2)-.6. 已知(1,0,2)A ，(4,5,10)B ，(0,3,1)C ，(2,1,6)D -和54=+-m i j k ，求：（1）向量=a 43AB CD +- m 在三个坐标轴上的投影及分向量；（2）a 的模；（3）a 的方向余弦；（4）与a 平行的两个单位向量. 解（1）由已知，得{}{}3,5,8,2,4,5AB CD ==- ,所以向量a 的坐标表示为 {}{}{}4343,5,832,4,5{5,1,4}13,7,51AB CD =+-=+---=a m ，可得向量a 在三个坐标轴上的投影分别为13,7,51x y z a a a ===；向量a 在三个坐标轴上的分向量分别为x a i 13=i ，y a j 7=j ，z a k 51=k .（2）向量a 的模为=a ==（3）向量a 的方向余弦为 cos α=1a x a =, cos β=1a y a =, cos γ=1a z a =. （4）与向量a 平行的两个单位向量为}013,7,51=±=a a a . 7. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos 0α=；（2）cos 1β=；（3）cos cos 0βγ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解（1）由cos 0α=可知，该向量与x 轴夹角为π2，即垂直于x 轴，并且平行于yOz 坐标面；第7章向量代数与空间解析几何 6（2）由cos 1β=可知，该向量与y 轴夹角为0，于是该向量的指向与y 轴正向一致，并且垂直于xOz 坐标面；（3）由cos cos 0βγ==可知，该向量与y 轴和z 轴夹角均为2π，于是该向量平行于x 轴，并且垂直于yOz 坐标面. 8. 已知(2,1,7)A -，(4,5,2)B -，线段AB 交xOy 坐标面于点P ，且AP PB λ= ，求λ的值. 解由于点P 在xOy 坐标面上，可设点P 的坐标为(,,0)x y ，则{}2,1,7AP x y =-+- ，{}4,5,2PB x y =--- ,又因为AP PB λ= ，即217452x y x y λ-+-===---，于是72λ=. 9. 一个向量的终点在点(2,1,7)B -，且其在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标.解设此向量的起点A 的坐标为(,,)x y z ，则向量{}2,1,7AB x y z =---- ,于是向量AB 在三个坐标轴上的投影分别为Pr j x 24AB x =-= ，Pr j y 14AB y =--=- ，Pr j z AB = 77z -=，由这三个等式解得2x =-,3y =,0z =，所以A 点的坐标为(2,3,0)-. 10. 从点(2,4,7)A 沿8912=+-a i j k 方向取||34AB = ，求点B 的坐标. 解设点B 的坐标为(,,)x y z ,则向量{}2,4,7AB x y z =--- ，又8912=+-a i j k 的一个方向向量为{}8,9,12=-s ，于是向量AB 和向量s 互相平行，可得2478912x y z ---==-，令2478912x y z k ---===-，则34AB === ，解得2k =，于是8218x k =+=，9422y k =+=，12717z k =-+=-，所以B 点的坐标为(18,22,17)-.7.3 向量的数量积向量积7.3.1 基本要求1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.2. 掌握两个向量夹角的求法.3. 熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件.7.3.2 答疑解惑1. 给出向量a 和b ，如何求以向量a 和b 为邻边的平行四边形的面积？解答以向量 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积为 sin(,)=⨯a b a b a b ，这也是向量积的模的几何意义；同时可知，以向量a 和b 为邻边的三角形的面积为 11sin(,)22=⨯a b a b a b .7.3 向量的数量积向量积7 2. 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦，向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，这两种说法正确吗？解答第一种说法是正确的；第二种说法是不正确的，因为向量的向量积的结果是一个向量，这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，方向与这两个向量都垂直.3. 在空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别表示沿x 轴，y 轴，z 轴正向的单位向量，它们的坐标表示式分别为i = {}1,0,0，j ={}0,1,0，k ={}0,0,1，为什么⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0，而⋅=⋅=⋅=i i j j k k 1？解答两种乘法的意义不一样. 因为sin 00⨯==i i i i ，所以⨯=i i 0，同理⨯=j j ⨯=k k 0；而2cos01⋅===i i i i i ，同理1⋅=⋅=j j k k .4. 向量的乘法有几种？解答向量的乘法主要有如下四种：（1）向量与数的乘法；（2）向量与向量的数量积，两个向量的数量积是一个数，满足交换律和结合律；（3）向量与向量的向量积，两个向量的向量积仍然是一个向量，满足结合律但不满足交换律；（4）三个向量的混合积，先作两个向量的向量积，把得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量的混合积.注意，向量没有除法运算！5.（1）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（2）若向量≠a 0，且⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（3）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c , 为什么？解答（1）不能推出=b c . 这是因为，当≠a 0时，由已知条件⋅=⋅a b a c ，可得0⋅-=()a b c ，即⊥-a b c ()，这里的向量-b c 不一定是零向量. 例如，当a ={1,0,0}, b ={0,1,0}和c ={0,0,1}时，0⋅=⋅=a b a c ，但是≠b c ;（2）不能推出=b c . 这是因为，当≠0a 时，由已知条件⨯=⨯a b a c ，可得⨯-=()0a b c .即-//()a b c ，这里的向量-b c 不一定是零向量.例如，当a ={1,0,0}, b ={1,1,0}和c ={2,1,0}时，{0,0,1}⨯=⨯=a b a c , 但是≠b c ; （3）可以推得=b c . 这是因为⋅=⋅a b a c ，所以0⋅-=()a b c ，即a 垂直于-b c . 又因为⨯=⨯a b a c ，所以⨯-=()0a b c ，即a 平行于-b c ，这样，a 既垂直于-b c ，a 又平行于-b c ，且≠0a ，只有-=0b c ，即=b c 成立.由（1）和（2）可知，向量的数量积和向量积运算不同于数的运算，不满足消去律.7.3.3 经典例题解析例1 下列各命题是否正确？（1）⨯=⨯a b b a ；（2）若0⋅=a b ，则=a 0或=b 0，若⨯=a b 0，则=a 0或=b 0.解（1）不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是⨯=-⨯a b b a ，这是因为按右第7章向量代数与空间解析几何 8手规则从a 转向b 定出的方向恰好与按右手规则从b 转向a 定出的方向相反；（2）不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律，即0⋅=a b 不能推出=0a 或者=0b ，⨯=0a b 不能推出=0a 或者=0b .例如，令{}1,0,0=a ，{}0,1,0=b ，此时0⋅=a b ，但是,≠≠00a b ；又令{}1,0,0=a ，{}2,0,0=b ，此时⨯=0a b ，但是,≠≠00a b .例2 设,,a b c 为单位向量，且++=0a b c ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a .解因为1===a b c 且++=0a b c ，所以向量,,a b c 首尾相接构成一个边长为1的正三角形，故cos 3π⎛⎫⋅=π-= ⎪⎝⎭a b a b 21cos 32π=-，同理可得12⋅=-b c ，12⋅=-c a ，所以 ⋅+⋅+⋅=a b b c c a 32-. 例3 已知2=||a , 5=||b , 7=||c , 并且++=0a b c ，计算⋅+⋅+⋅a b b c c a 和⨯+⨯a b b +⨯c c a 的值．解因为++=0a b c , 所以+=-a b c ，又因为+==-=+a b c c a b ，所以向量a 与向量b 同向，向量a 与向量c 反向，向量b 与向量c 反向，于是⋅+⋅+⋅a b b c c a 25cos057cos 72cos =⨯+⨯π+⨯π103514=--39=-，并且sin00⨯==a b a b ，sin 0⨯=π=b c b c ，sin 0⨯=π=c a c a ，因此⨯=⨯=⨯a b b c c =0a ，即⨯+⨯+⨯=0a b b c c a .例4 已知||3⋅=a b , ||4⨯=a b , 求||||a b ．解由已知可得cos 3θ⋅==a b a b ，sin 4θ⨯==a b a b ，将上述两式平方后相加得()225=a b ，所以5=a b .例5 已知向量{}1,0,0=a ，{}0,1,2=-b ，{}2,2,1=-c ，求一单位向量n 0，使得n 0垂直于c ，并且向量0,n a 和b 共面.解设向量n 0{},,x y z =，因为n 0是单位向量，所以2221x y z ++=. 又因为向量n 0垂直于c ，所以00⋅=n c ，即220x y z -+=，又因为向量0,n a 和b 共面，所以向量n 0垂直于⨯a b ，即0()0⋅⨯=n a b ，又100{0,2,1}012⨯==-i j ka b ，于是{,,}{0,2,1}20x y z y z ⋅=+=.联立方程组2221,220,20,x y z x y z y z ⎧++=⎪-+=⎨⎪+=⎩解得212,,333x y z ===-或212,,333x y z =-=-=，于是所求单位向量0=n 212,,333⎧⎫±-⎨⎬⎩⎭. 例6 已知向量b 和{}1,5,2=-a 共线，且满足3⋅=a b , 求向量b 的坐标．解设向量b 的坐标为{},,x y z ，由a //b , 得152x y z ==-, 令152x y z k ===-，得,x k = 5,2.y k z k ==-7.3 向量的数量积向量积9 将它们代入到523x y z +-=中，得到2543k k k ++=, 即1.10k =所以1,10x = 1,2y = 15z =-，即向量=b 111,,1025⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 例7112233a b a b a b ++，其中i a , i b（i =1，2，3）为实数，并指出等号成立的条件.分析将{}123,,a a a 和{}123,,b b b 分别看作向量a 和b 的坐标，由⋅≤a b a b 可得结论.证明令=a {}123,,a a a ，=b {}123,,b b b ，因为 cos(,)⋅=a b a b a b ，所以⋅≤a b a b ，即112233a b a b a b ++. 当且仅当 cos(,)1=a b 时，上述不等式中等号成立，此时 (,)0=a b 或 (,)=πa b ,即//a b . 因此，当且仅当312123a a ab b b ==时，有112233a b a b a b ++=.例8 若1=a ，4=b 且()3⨯⨯=-a b a b a ，问向量a 和b 的夹角θ等于多少？解因为向量()⨯⨯a b a 与向量a 垂直，所以[()]0⨯⨯⋅=a b a a ，于是[()](3)3⨯⨯⋅=-⋅=⋅-⋅a b a a b a a b a a a =0，即23⋅=b a a ，亦即2cos 3θ=b a a ，从而233cos 4θ==a a b ，即3arccos 4θ=. 例9若=a ，1=b ，且a 和b 的夹角θ=6π，求：（1）向量+a b 和-a b 的夹角；（2）以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解（1）设向量+a b 和-a b 的夹角为α，则()()cos α+⋅-=+-a b a b a b a b，在以向量a , b 和+a b 为边的三角形中应用余弦定理得2222cos 76π⎛⎫+=+-π-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，即+=a b ，在以向量a ,b 和-a b 为边的三角形中应用余弦定理得22-=+a b a22cos 16π-=b a b ，即1-=a b ，又因为22()()2+⋅-=⋅-⋅=-=a b a b a a b b a b，所以cos α=α=；（2）以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积为(2)(3)5()55sin 62π+⨯-=-⨯=⨯==a b a b a b a b a b . 注平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的，在这里向量积(2)+⨯a b (3)-a b 的模|(2)(3)|+⨯-a b a b 表示以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.第7章向量代数与空间解析几何 107.3.4 习题全解1. 求向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b 上的投影.解向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b上的投影为Prj 2.b ⋅=a b a b 2. 设32=--a i j k ，2=+-b i j k ，求：（1）⋅a b 及⨯a b ；（2）(2)3-⋅a b 及2⨯a b ；（3）a 与b 夹角的余弦. 解（1）⋅a b ()()()3112213=⨯+-⨯+-⨯-=，⨯a b 12323131257211112121----=--=-+=++---i j k i j k i j k ；（2）(2)3(624)(363)(6)3264(3)18-⋅=-++⋅+-=-⨯+⨯+⨯-=-a b i j k i j k ，2(32)(242)31224212323110214;422224⨯=--⨯+-=-------=-+=++--i j ka b i j k i j k i j k i j k（3）a 和b 夹角的余弦为cos(,)⋅==a b a b a b 3. 已知OA = 3+i k ，OB = 3+j k ，求三角形OAB 的面积. 解法一根据向量积的定义可知，三角形OAB 的面积为()11sin ,22OAB S OA OB OA OB OA OB ==⨯ △，又因为OA OB ⨯= 10333013=--+i j k i j k ，所以2OAB S ==△ 解法二在三角形OAB 中，{}1,0,3OA = 与{}0,1,3OB = 的夹角余弦为()9cos ,10OA OB OA OB OA OB ⋅===，于是 ()sin ,OA OB =，所以三角形OAB 的面积为()1sin ,2102OAB S OA OB OA OB === △. 4. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.。

第7章空间解析几何与向量代数

在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。（又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2

而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中是单位向量, 的方向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的正向时大拇指所指的方 . 向

(整理)第七章向量代数与空间解析几何

第七章向量代数与空间解析几何讲授内容：§7-1向量及其线性运算教学目的与要求：1．理解向量概念.2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件. 教学重难点：重点――向量的线性运算.难点――两向量平行的条件的运用.教学方法：讲授法教学建议：掌握用向量的理论证明几何问题.学时：2学时教学过程：一、向量概念向量: 既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量.其中|AB|表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向或者表示为: a、b、c 或者、、等.自由向量: 与起点无关的向量.向量a=b 大小相等、方向相同.向量的模: 向量的大小|AB| .单位向量: 模等于1的向量.零向量: 模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意.向量a∥b: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;k 个向量共面: k 个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.例: 把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面二、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量a 与b ,任取一点A ,作AB =a ,再以B 为终点,作BC =b ,连接AC ,则AC =c , 称为a 与b 的和,记作c =a +b .三角形法则平行四边形法则加法的运算规律（1）交换律a +b =b +a （2）结合律(a +b )+c = a +(b +c )(结合律示意图) (s =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5示意图)推广: 任意有限个向量1a ,2a ,…, n a 的和可记为1a +2a +…+n a .作图法,由向量的三角形求和法则推广到多边形法则即 n n n A A A A OA OA 1211-+++= （当A n 与O 重合时=n OA ）2. 向量的减法a 的负向量: 与a 的模相同,方向相反的向量.记作 –a .a －b ∆ a +(- b )任给向量AB 及点O ,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |;3.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量,其模为: |λa|=λ|a|,其方向为: 当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.运算规律:(1)结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.向量的线性运算: 向量相加及数乘向量4.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a≠0,则向量b∥a ⇔∃| λ∈R: 使b=λa.证明:充分性显然(必要性) 设b∥a.取|λ|=|b|/|a|,且规定:b与a同向时,λ>0; b与a反向时,λ<0.则有: b=λa.唯一性设b=λa ,b=μa ,则(λ－μ)a=0 ⇒|λ－μ||a|=0因|a|≠0, ⇒λ=μ5.向量a的单位向量e a:e a=a/|a|.例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2作业：高等数学练习册C习题三十六第4题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半.讲授内容：§7-2点的坐标与向量的坐标教学目的与要求：1．理解空间直角坐标系的概念.2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离.3．掌握定比分点的坐标公式.教学重难点：重点――用坐标进行线性运算.难点――理解空间直角坐标系的概念.教学方法：讲授法教学建议：在解题过程中要掌握数形结合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之.学时：2学时教学过程：一、空间直角坐标系坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则.坐标面: 任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限: 坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.卦限内点的坐标如下表.向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=x i; OQ=y j; OR=z k.则r =OM=x i+y j+z k. 称为r的坐标分解式.空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:M ↔ r =OM=x i+y j+z k ↔ (x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).向径:向量OM称为点M关于原点O的向径.点与此点的向径有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM. 坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:x 轴: (x ,0,0); y 轴: (0,y ,0); z 轴:(0,0,z ).xoy 面:(x ,y ,0); yoz 面: (0,y ,z );xoz 面: (x ,0,z ).原点: (0,0,0). 二、利用坐标作向量的运算设a =(a x ,a y ,a z ),b =(b x ,b y ,b z ) ⇒ a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k , 则a +b =( a x + b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )ka-b =( a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )kλa =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k向量平行充分必要条件:设: a =(a x ,a y ,a z )≠0, b =(b x ,b y ,b z )b ∥a ⇔ b=λa ⇔ (b x ,b y ,b z )= (a x ,a y ,a z )⇔zz y y x x a b a b a b == 三、向量的模、两点间的距离1．向量的模设向量r =(x ,y ,z ),作OM =r ,则r =OM =OP+OQ+OR| r |=|OM |=2||2||2||OR OQ OP ++OP =x i , OQ =y j , OR =z k |OP |=|x|, |OQ |=|y |,|OR |=|z |2. 两点间的距离公式设有点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2),则AB=OA-OB =(x 1,y 1,z 1)-(x 2,y 2,z 2)=(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)点A 和点B 的距离|AB |为:四、定比分点对于有向线段P 1P 2 (P 1≠P 2)，如果点P 满足P 1P ＝λPP 2（λ≠－1），我们就称点P 为有向线段P 1P 2的λ分点.说明：○1λ≠－1使得P 1≠P 2； ○2λ>0，则P 1P 与PP 2同向，P 为P 1P 2内部的点； ○3λ<0，则P 1P 与PP 2反向，P 为P 1P 2外部的点：且若λ<－1，则P 点在P 2右侧；若－1<λ<0，则P 点在P 1左侧.例1. 已知点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2)和实数λ≠-1,在直线AB 上求点M,使AM =λMB .解: AM=OM-OA , M B=OB-OM ,OM-OA=λ(OB-OM )⇒ OM=λ+11(OA+λOB )=λ+11[(x 1,y 1,z 1)+λ(x 2,y 2,z 2)]⇒ OM=(λλ++121x x ,λλ++121y y ,λλ++121z z ) ⇒ 此为点M 的坐标.此为定比分点公式.当λ=1时,为中点公式. 例2. 求证:以M 1(4,3,1)、M 2(7,1,2)、M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解: |M 1M 2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M 1M 3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M 2M 3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)、B (3,5,-2)等距离的点.解: 设所求点的坐标为 (0,0,z ), 则有:|MA |2=|MB |2 ⇒(0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z )2,⇒ z=19=4/9 所求点为: (0,0,14/9)例4. 求点A (a ,b ,c )关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.解: (1) 关于x 轴:(a ,-b ,-c ); 关于y 轴:(-a ,b ,-c ); 关于z 轴: (-a ,-b ,c );(2) 关于xoy 面: (a ,b ,-c );关于xoz 面: (a ,-b ,c );关于yoz 面: (-a ,b ,c );(3) 关于坐标原点:(-a ,-b ,-c ) 例5. 已知两点A (4,0,5)和点B (7,1,3),求与AB 方向相同的单位向量. 解: AB=OB-OA =(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)⇒ |AB |=222)2(13-++=14⇒ e AB =||AB AB =141(3,1,-2) 作业：练习册C 习题三十六第2、3题.教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：已知两点)2,1,0(1M 和)0,1,1(2-M ，求平行于向量−→−21M M 的单位向量.讲授内容：§7-3 向量的方向余弦及投影教学目的与要求：1．理解方向角、方向余弦及向量的投影的概念.2．会求方向角、方向余弦.教学重难点：重点――向量的方向余弦.难点――向量在轴上的投影.教学方法：讲授法教学建议：向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握.学时：2学时教学过程：一、方向角与方向余弦1. 两向量的夹角:设有非零向量a,b,任取一点O,作OA=a,OB=b,称不超过π的角φ=∠AOB为向量a,b的夹角.记为(a^b)或(b^a).2.向量的方向角:非零向量r=OM与三条坐标轴的夹角α, β,γ(0≤α,β,γ≤π)称为向量r的方向角.3. 向量的方向余弦设r =(x ,y , z )由图可知,OP =x i , ⇒cos α=||OM x =||r x;同理: c os β=||r y ; cos γ=||r z⇒ (cos α,cos β,cos γ)=(||r x ,||r y ,||r z )=||1r ( x ,y , z )=||r r=e r . cos α,cos β,cos γ叫做r 的方向余弦.|r |=222z y x ++⇒cos α=222z y x x ++;cos β=222z y x y ++;cos γ=222z y x z ++性质:例1.已知两点M 1(2,2,2)和M 2(1,3,0),求向量M 1M 2的模、方向余弦和方向角.解: M 1M 2=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2).|M 1M 2|=222)2(1)1(-++-=2 cos α=-1/2, cos β=1/2, c os γ=-2/2 α=2π/3,β=π/3,γ=3π/4例2.设点A 位于第Ⅰ卦限,向经OA 与x 轴,y 轴的夹角依次为π/3和π/4,且|OA |=6,求点A 的坐标.解: α=π/3; β=π/4由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ⇒ cos 2γ=1/4 又点A 在第Ⅰ卦限,⇒ cos γ=1/2.OA =|OA |e OA =6 (21,2121)=(3,32,3) 此为点A 的坐标. 二、向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定轴u(相当于坐标轴).给定向量r,作r=OM,过点M作与轴u垂直的平面交轴u于点M′,(点M′称为点M在轴u上的投影)向量OM′称为向量r在轴u上的投影,记为prj u r(或(r)u.由此向量a在坐标系Oxyz中的坐标a x,a y,a z为a在三条坐标轴上的投影.即有:a x=Prj x a, a y= Prj y a, a z= Prj z a,或a x=(a)x, a y=(a)y, a z=(a)z向量投影的性质:向量的投影具有于向量坐标相同的性质:性质1：(a)u=|a|cosφ[或Prj u a=|a|cosφ]其中φ为a与轴u的夹角.性质2: (a+b)u=(a)u+(b)u [或Prj u(a+b)=Prj u a+Prj u b ]Prj u(a1+a2+…+a n)=Prj u a1+Prj u a2+…+ Prj u a n.性质3: (λa)u=λ(a)u[或Prj u(λa)=λPrj u a]例3.设向量a=(4,－3,2),又轴u的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a在u轴上的投影;(2)向量a与u轴的夹角θ.解:设e u的方向余弦为cosα,cosβ,cosγ.则由题义有:0<α=β=γ<π/2.由cos2α+cos2β+cos2γ=1,得: cosα=cosβ=cosγ=3/3.e u=3/3i+3/3j+3/3k.a=4i-3j+2k.Prj u a = Prj u (4i )+ Prj u (-3j )+ Prj u (2k )=4Prj u i -3Prj u j + 2Prj u k=4•3/3-3•3/3+2•3/3=3. 由于Prj u a =|a |cos θ=29cos θ=3,⇒ θ=arccos 3/29.例4.设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA ,且|OA |=a ,求OA 在OM 上的投影Prj OM OA . 解: 设 φ=∠MOA ,则 φ=||||OM OA =31⇒ Prj OM OA =|OA |•cos φ=3a作业：高等数学练习册C 习题三十六第一大题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：已知单位向量→a 与x 轴正向夹角为3π，与其xoy 面上的投影向量夹角为4π，试求向量→a .讲授内容：§7-4数量积向量积教学目的与要求：1、理解向量的数量积、向量积的概念.2、掌握向量的数量积、数量积的性质和运算律.3、掌握用数量积，向量积证明两向量垂直、平行的方法.4、熟练掌握数量积、向量积的坐标表达式，并会用数量积、向量积解决相关实际问题.教学重难点：重点――数量积、向量积的计算与运用.难点――数量积与向量积的混合运用教学方法：讲授法教学建议：为帮助学生记忆向量积的坐标表达式，可先简要介绍三阶行列式及其记忆的方法.学时：2学时教学过程：一、两向量的数量积1.向量a,b的数量积: a•b ∆|a||b|cosθ. [θ=(a^b)]当a≠0时, |b|cosθ=|b|cos(a^b)= |b|Prj a ba•b=|a|Prj a b(a≠0),同理a•b=|b|Prj b a(b≠0)性质:(1)a•a=|a|2(2)a•b=0 ⇔a⊥b2.运算规律(1)交换律: a•b = b•a(2)分配律: (a+b)•c= a•c+b•c(3)结合律: (λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b) 证明:(1) a•b = |a||b|cosθ;b•a = |a||b|cosθ;⇒a•b = b•a(2) 当c=0时,显然成立.当c≠0时,(a+b)•c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a•c+b•c(3) 当b=0时,结论成立.当b≠0时,(λa)•b=|b|Prj b(λa)= |b|•λPrj b a =λ|b|Prj b a=λ(a•b)=a•(λb).(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b)例1.试用向量证明三角形的余弦定理.证明:设在△ABC中,∠B C A=θ, |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c记CB=a, CA=b, AB=c. ⇒c=a-b⇒c2=|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)=a•a+b•b-2a•b⇒c2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=a2+b2-2ab cosθ3.数量积的坐标表达式设a=a x i+a y j+a z k , b= b x i+b y j+b z k则a•b =(a x i+a y j+a z k)•( b x i+b y j+b z k)= a x b x+a y b y+a z b z从而 cos θ=b a b a ∙=2z2y 2x 2z 2y 2x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++例2. 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB .解:作MA ,MB , ∠AMB 为MA 与MB 的夹角 ⇒ MA =(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB =(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)MA •MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1; |MA |=2;|MB |=2cos ∠AMB =21 ⇒ ∠AMB=π/3.例3. 已知a ,b ,c ,两两垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求s =a +b +c 的长度与它和a ,b ,c 的夹角.解: |s |2 =s • s =(a +b +c )•(a +b +c )=a •a +b •b +c •c +2a •b +2b •c +2a •c 由于: a •a =|a |2=1,b •b =|b |2=4,c •c =|c |2=9;a •b =b •c =a •c =0 ⇒ |s |2=14,⇒|s |=14cos(s •a )=a s a s ∙= 14a c)b (a ∙++=14aa ∙=1/14. ⇒ (s ^a )=arcos(1/14); 同理: (s ^b )= (s ^c ) =accos(1/14)例4.设a ,b ,c 为单位向量,且满足a +b +c =0,求a •b +b •c +c •a .解: (a +b +c )• a =a 2+b •a +c •a =1+a •b +c •a ;(a +b +c )• b =a •b +b 2+c •b =1+a •b +b •c ; (a +b +c )• c =a •c +b •c +c 2=1+c •a +b •c ; 三式相加:⇒ 3+2[a •b +b •c +c •a ]= (a +b +c )• (a +b +c )=0⇒ a •b +b •c +c •a =-3/2.例5.利用向量证明不等式:232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3| 其中a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3为任意常数,并指出等号成立的条件. 证明:设a =( a 1,a 2,a 3),b =( b 1,b 2,b 3)cos(a ^b )=b a b a ∙=232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++⇒232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|等号“=”成立 ⇔a //b例6.有一个△ABC 和一个圆,三角形边长BC =a ,CA =b ,AB =c ,圆的中心为A ,半径为r .引圆的直径PQ ,试求当BP •CQ 取得最大、最小时PQ 的方向,并用a ,b ,c ,r 表示BP •CQ 的最大值、最小值.解:AQ =-AP , |AP |=|AQ |=r ,AB •AC =|AB ||AC |cos A =bc [(b 2+c 2-a 2)/2bc ]=( b 2+c 2-a 2)/2⇒ BP •CQ =(AP －AB )•(AQ －AC )=(AP －AB )•(－AP －AC ) =－|AP |2+(AB －AC )•AP +AB •AC =( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+CB •AP=( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+BC •PA⇒ 当BC •PA 最大(小)时,BP •CQ 最大(小).⇒ 当BC •PA 同向即PQ 与BC 同向时,BC •PA 最大,其最大值是ar .⇒ 当BC •PA 反向即PQ 与BC 反向时,BC •PA 最小,其最小值是-ar .⇒ PQ 与BC 同向时, max{ BP •CQ }=( b 2+c 2-a 2)/2-r 2+ar ;PQ与BC反向时, min{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2-ar二、两向量的向量积1.定义: a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,(1)|c|=|a||b|sinθ, θ=(a^b)(2)c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向按右手从a转向b确定.性质:由定义可得:(1)a×a=0(2)a∥b a×b=0几何意义: | a×b |为以a,b为边的平行四边形的面积.2.运算律:(1)a×b= - b×a(2)分配律: (a＋b)×c=a×c+b×cc×(a＋b)=c×a+c×b(3)结合律: (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)3. 向量积的坐标表达式设 a = a x i+a y j+a z k , b = b x i+b y j+b z k则a×b =(a x i+a y j+a z k)×( b x i+b y j+b z k)=(a y b z-a z b y)i+(a z b x-a x b z)j+ (a x b y-a y b x)ka ×b =z y z yb b a a i -zx z xb b a a j +yx y xb b a a k =zy xz y xb b b a a a k j i例7. 设a =(2,1,-1),b =(1,-1,2),计算 a ×b .解: a ×b =211112--k j i=2111--i -2112-j +1112-k =i -5j -3k.例8.已知△ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7),求△ABC 的面积.解: S ∆ABC =21|AB |•|AC |•sin ∠A=21|AB ⨯AC | AB =(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,), AC =(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).S ΔABC =21|AB ⨯AC |=421222kj i =4222i -4122j +4121k =4i -6j +2k. 例9. 利用向量积证明三角形的正弦定理.证明：如图S △abc =1/2|a ×b |=1/2|b ×c |=1/2|c ×a |⇒ |a ||b |sin C =|b ||c |sin A =|c ||a |sin B例10. 已知M 1(1,-1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位向量.解: M 1M 2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M 2M 3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的一个向量为:a =M 1M 2⨯M 2M 3=220142--k j i=2214--i -2012-j +2042-k=6i -4j -4k .|a|=222)4()4(6-+-+=217⇒ a =±171(3i -2j -2k ) 作业：高等数学练习册C 习题三十七教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习参考题：设向量→→→→++=k j i a 32，→→→→--=k j i b 2 （1）求向量→a 在→b 上的投影；（2）若|→c |=3，求向量→c ，使得三向量→a ，→b ，→c 构成的平行六面体的体积最大.|讲授内容：§7-5 平面及其方程教学目的与要求：1 掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.教学重难点：重点――求平面的方程.难点――根据相应条件灵活选取平面方程的形式.教学方法：讲授法教学建议：用点法式求平面方程的关键是确定平面上的一个已知点和平面的法向量学时：2学时教学过程：一、平面的点法式方程1.法线向量: 与平面垂直的非零向量.2.平面的点法式方程设M0(x0,y0,z0)是平面П上的已知点,n=(A,B,C)是平面П的法线向量,M(x,y,z)是平面П上的任一点.则有n•M0 M=0.由于n=(A,B,C) ; M0M=( x－x0,y－y0,z－z0)即有此为平面的点法式方程.例1.求过点(2,-3,0)且以n =(1,-2,3)为法线向量的平面方程.解:代入方程得:(x -2)-2(y +3)+3(z -0)=0 ⇒x -2y +3z -8=0例2.求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解:由于n ∥M 1M 2×M 1M 3=132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为 ⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0 ⇒14x +9y -z -15=0二、平面的一般方程1. 平面的一般方程为其中n =(A ,B ,C )为法向量2. 各种特殊情形a) D =0,平面Ax +By +Cz =0经过原点; b) A =0,平面By +Cz +D =0平行于x 轴; c) B =0,平面Ax +Cz +D =0平行于y 轴; d) C =0,平面Ax +By +D =0平行于z 轴; e)A =B =0,平面Cz +D =0平行于xoy 平面;f)A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面;g)B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0, ⇒A=0;平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程称为平面的截距式方程,a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.三、两平面的夹角1.两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(n 1^n 2)和π-(n 1^n 2)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(n 1^n 2)|,即有:2. 两平面垂直、平行的充分必要条件例1. 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角. 解:n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=2222221122)1(1|121)1(21|++∙+-+⨯+⨯-+⨯=21⇒ θ=π/3例2. 一平面通过两点M 1(1,1,1)和M 2(0,1,-1)且垂直于平面x +y +z =0,求它的方程. 解:设所求平面的一个法向量为 n ={A ,B ,C }.由n ⊥M 1M 2=(-1,0,-2) ⇒ -A -2C =0 由n ⊥(1,1,1)⇒ A +B +C =0 ⇒ A =-2C ,B =C ,代入点法式方程:A (x -1)+B (y -1)+C (z -1)=0消去C 得所求方程为:2x -y -z =03. 点到平面的距离例3.设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离. 解:在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作一法向量n ={A ,B ,C }.则所求距离:d =│Prj n P 1P 0│. 又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有:Prj n P 1P 0= P 1P 0•e n而e n =(222CB A A ++,222CB A B ++,222CB AC ++)P 1P 0=(x 0－x 1,y 0－y 1,z 0－z 1)由于: Ax 1+By 1+Cz 1+D =0, 所以:Prj n P 1P 0=222000CB A DCz By Ax +++++即:222000CB A DCz By Ax d +++++=例1.求点(2,1,1)到平面x +y －z +1=0的距离解: d =222)1(11|1121121|-+++⨯-⨯+⨯=3作业：高等数学练习册C 习题三十八教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习参考题：求经过点)1,1,1(1p 和)2,2,2(2p 且与平面0=-+z y x 垂直的平面的方程.讲授内容：§7-6空间直线及其方程教学目的与要求：1、掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程.并会根据相关条件求直线的方程2、理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角.3、掌握两直线平行垂直的充分必要条件.4、理解直线与平面夹角的概念，掌握直线与平面垂直平行的充分必要条件.5、掌握用平面束方程的解题方法.教学重难点：重点――空间直线方程的三种形式及其求法.难点――熟知向量的概念和运算.教学方法：讲授法教学建议：平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明. 学时： 2学时教学过程：一、空间直线的方程 1、空间直线的一般方程定义:方程组⎩⎨⎧=+++=+++0222111D z C y B x A D z C y B x A 叫做空间直线的一般方程或面交式方程.2、空间直线的对称式方程1）．方向向量:与已知直线平行的非零向量. 2）．直线的对称式方程或点向式方程:设M 0(x 0,y 0,z 0)为直线L 上的已知点, M (x ,y ,z )为直线L 上的任一点. s =(m ,n ,p )为L 的方向向量.由于 M 0M ∥s ,即有:此方程称为直线的对称式方程或点向式方程直线L 的任一方向向量s 的坐标m ,n ,p 称为这直线的一组方向数,而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.注:当m ,n ,p 中有一个为零时,如m =0,而n ,p ≠0时,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z ny y x x 0000当m ,n ,p 中有两个为零时,如m =n =0,而p ≠0时,则方程组为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x 3、直线的参数方程由t pz z n y y m x x =-=-=-000得:称此方程组为直线的参数方程.例1．对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x解:两平面的法向量分别为n 1={1,1,1}和n 2={2,1,-3},则s = n 1×n 2=312111-kj i令x =1,代入方程,求得直线上得一点: (1,0,-2) 对称式方程为:32141-+=-=-z y x 参数式方程为:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241 二、两直线的夹角1、直线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)2、设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1,n 1,p 1),s 2=(m 2,n 2,p 2), 则其夹角为φ=(s 1^s 2)中的锐角.且有3、两直线相互垂直和平行的充分必要条件例2．求直线L 1:13141x y z -+==-和L 2: 2221x y z+==--的夹角. 解: s 1=(1,-4,1),s 2=(2,-2,-1)⇒ cos φ=222222)1()2(21)4(1|)1(11)2()4(21|-+-+∙+-+-⨯++-⨯-+⨯=21⇒ φ=π/4.三、直线与平面的夹角1、线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ.(0≤φ＜π/2）当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.设直线L 的方向向量为s =(m ,n ,p ),平面Π的法向量n =(A ,B ,C ),其夹角为φ，则 φ=|π/2-(s ^n )| 因此,sin φ=|cos(s ٨n )|且有2、直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件例3. 求过点(1,-2,4)且与平面2x -3y +z -4=0垂直的直线的方程.解: 所求直线的方向向量为: s =(2,-3,1)直线过点(1,-2,4)直线方程为:21-x =32-+y =14-z 四、平面束解题方法平面束:通过定直线的所有平面.设直线 L 为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 其中系数A 1,B 1,C 1和A 2,B 2,C 2不成比例,则过L的平面束方程为例4. 求直线1010x yz x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面x +y +z =0上的投影直线方程.解:设经过直线L : ⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x的平面束方程为 (x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0, 即:(1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0由于此平面与已知平面垂直,所以:(1+λ)+(1-λ)+(-1+λ)=0 即有λ=-1代入平面束方程得投影平面的方程为y -z -1=0从而得投影直线l 的方程:⎩⎨⎧=++=--001z y x z y五、杂例例5. 求与平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程. 解:s =n 1×n 2=512401---kj i=-(4i +3j +k )则所求直线方程为:153243-=-=+z y x例6. 求直线234112x y z ---==与平面2x +y +z -6=0的交点. 解: 直线的参数方程为: x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 将其代入平面方程:⇒t =-1.将其代入直线方程得:交点坐标为:(1,2,2).例7. 求过点(2,1,3)且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程x =-1+3t ,y =1+2t ,z =-t代入平面方程得t =3/7从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为s =(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=－6/7(2,-1,4)故所求直线的方程为:431122-=--=-z y x (法二)设所求直线的参数方程为x =mt +2,y =nt +1,z =pt +3, 由于所求直线与已知直线垂直,从而有: (m ,n ,p )⊥(3,2,-1),⇒3m +2n -p =0又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有x =3t -1=mt +2, y =2t +1=nt +1, z =-t =pt +3⇒(m -3)t =-3,(n -2)t =0,(p +1)=-3显然t ≠0,从而解得:m =-4,n =2,p =-8,t =3/7故有所求直线的参数方程为: x =-4t +2,y =2t +1,z =-8t +3或者所求直线的方程为:431122-=--=-z y x . 例8. 求与已知直线L 1:351231x y z +--==及L 2:147510z y x =+=-相交且和直线L 3:137182-=-=+z y x 平行的直线L . 解(法一):将L 1与L 2都化为参数方程:L 1:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=1115332tz t y t x ; L 2:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=22274105tz t y t x 由于L 与L 1和L 2都相交且与L 3平行,则两交点对应坐标的差应与L 3的方向数成比例,即有:17)74()53(8)105()32(212121t t t t t t -=--+=+-- ⇒⎩⎨⎧=--=-123413362121t t t t 解得t 1=－25/2,由此得L 和L 1的交点为:x 1=-28,y 1=-65/2,z 1=-25/2故所求直线的方程为:12/2572/65828+=+=+z y x 解(法二)设直线经过点(a ,b ,c ),下面求点(a ,b ,c ) 由所求直线与L 3平行有:x =8t +a ,y =7t +b ,z =t +c ;由所求直线与L 1相交,即有t 1,满足8t 1+a =2t 1-3,7t 1+b =3t 1+5,t 1+c =t 1,⇒6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.⇒2a-3b=-21,c=0 (1)又由所求直线与L2相交,即有t2,满足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,⇒3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.⇒a-b=17,c=0 (2) 由(1),(2)⇒a=72,b=55,c=0故所求直线的方程为:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例9.求过直线3220260x yx y z-+=⎧⎨--+=⎩且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+λ(x-2y-z+6)=0 ⇒(3+λ)x-(2+2λ)y-λz+(2+6λ)=0,由点到平面的距离公式d=222)22()3()6 2(12)22(1)3(λλλλλλλ+++++ +∙-∙+-∙+=1 ⇒λ=－2,或λ=－3,故所求平面的方程为x+2y+2z-10=0, 或4y+3z-16=0.例10.求两直线L1:1011x y z-==和L2:212+=-=zyx的公垂线L的方程.解:公垂线的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-2) 过L与L1的平面法向量为:n 1= s ×s 1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直线L 1上取点(1,0,0),则过L 与L 1的平面方程为:4x -y +z -4=0过L 与L 2的平面法向量为:n 2= s ×s 2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直线L 2上取点(0,0,-2) 则过L 与L 2的平面方程为:2x +4y +5z +10=0于是公垂线的方程为:⎩⎨⎧=+++=-+-010542044z y x z y x 作业：高等数学练习册C 习题三十九教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：设12122:,21221:21zy x l z y x l =-=-++==-是两条异面直线，求（1） 1l 与2l 的公垂线方程. （2） 1l 与2l 的距离.讲授内容：§7-7旋转曲面和二次曲面教学目的与要求：1、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程.2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法.3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程.4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法.5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状.教学重难点：重点――旋转曲面、柱面方程的求法.难点――二次曲面的方程和大致形状.教学方法：讲授法教学建议：为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想学时：2学时教学过程：一．曲面方程的概念1.曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0 (1)满足（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形.例1.建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,⇒(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2.设有点A(1,2,3)和B(2,－1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解:设点M(x,y,z)在平分面上,则|AM|=|BM|,⇒(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.⇒2x-6y+2z-7=0.例3.方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面.解: 将方程配方: ⇒(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半径为5的球.由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题(2)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(3)已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.例1、例2为问题(1),例3为问题(2).二．旋转曲面旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yoz面上有一已知曲线C,它的方程为f(y,z)=0,将其绕z轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下:设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C 上的任一点,则有f (y 1,z 1)=0 (2)当曲线C 绕z 轴旋转时,点M 1也绕z 轴旋转到另一点M (x ,y ,z ), 此时z =z 1保持不变,且点M 到旋转轴的距离d =22y x +=|y 1| 将 z =z 1, y 1=±22y x + 代入(2)中,⇒f (±22y x +,z )=0这就是所求曲面的方程.同理,曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (y ,±22z x +)=0类似地有:曲线 C : f (x ,y )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22z x +, y )=0曲线 C :f (x ,z )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22y x +,z )=0例4.直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<α<π/2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程.解:在yoz 平面上,直线L 的方程为:z =y cot α,⇒ 旋转曲面的方程为:z =±22y x +cot α 或者 z 2=a 2(x 2+y 2), 其中,a =cot α例5. 将xoz 坐标面上的双曲线2222cz a x -=1分别绕x 轴和z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解:绕x 轴旋转生成的旋转双叶双曲面: 22222c z y a x +-=1绕z 轴旋转生成旋转单叶双曲面: 22222cz a y x -+=1三、柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.例6.方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面解: 准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线.例7.方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线.一般地,在空间直角坐标系下,F(x,y)=0: 母线平行于z轴的柱面,其准线是xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.F(x,z)=0: 母线平行于y轴的柱面,其准线是xoz面上的曲线C: F(x,z)=0.F(y,z)=0: 母线平行于x轴的柱面,其准线是yoz面上的曲线C: F(y,z)=0.平面为柱面.例如: 平面x -z =0表示:母线平行于y 轴,准线为xoz 平面上的直线:x -z =0.四、二次曲面二次曲面: 三元二次方程F (x ,y ,z )=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面二次曲面共九种.利用截痕法可以了解二次曲面的形状.1. 椭球锥面: 22222z by a x =+ 以平面z=t 截曲面:当t=0时,得一点(0,0,0).当t ≠0时,得平面z=t 上得椭圆: 2222)()(bt y at x +=1; 当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:平面z =t 于曲面F (x ,y ,z )=0的交线称为截痕.通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法.下面用伸缩变形法讨论曲面的形状平面xoy 上的图形的伸缩变形:将平面上的点M (x ,y )变为点M ′(x ,λy ),此时点M (x ,y )的轨迹C 变为点M ′(x ,λy )的轨迹C ′,称将图形C 沿y 轴方向伸缩λ倍变成图形C ′.下面讨论C 于C ′的方程关系:设C 的方程为F (x ,y )=0,点M (x 1,y 1)∈C ,将M (x ,y )变为M ′(x 2,y 2),此时 x 2=x 1,y 2=λy 1⇒ x 1=x 2, y 1=λ1y 2 由 M (x 1,y 1)∈C ⇒ F (x 1,y 1)=0 ⇒ F (x 2,λ1y 2)=0 因此M ′(x 2,y 2)的轨迹C ′的方程为: F (x ,λ1y )=0. 例如将圆x 2+y 2=1沿y 轴方向伸缩ab 倍,则圆的方程变为:2222b y a x +=1,即图形由圆变为椭圆. 将圆锥面222a y x +=z 2沿y 轴方向伸缩ab 倍,则圆锥面变为椭圆锥面: 22222z by a x =+2. 椭球面: 222222c z b y a x ++=1 将xoz 平面上的椭圆2222cz a x +=1绕z 轴旋转得旋转椭球面:222a y x ++22c z =1, 再将旋转椭球面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得椭球面: 222222cz b y a x ++=1 当a =b =c 时,椭球面为球面: x 2+y 2+z 2=a 2.3. 单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕z 轴旋转得旋转单叶双曲面:222a y x +-22c z =1 再将旋转单叶双曲面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=14. 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕x 轴旋转得旋转双叶双曲面:22a x -222c z y +=1 再将旋转双叶双曲面沿y 轴方向伸缩cb 倍,得双叶双曲面: 222222cz b y a x --=15. 椭圆抛物面: 2222by a x +=z。

高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算

课件7-1向量坐标

高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题

高等数学(下册) 骈俊生 (1)

高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课

第七章第1节向量及其线性运算

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高等数学第七章 (8)

空间解析几何与向量代数教案

高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何精编版

高等数学第7章 向量代数与空间解析几何

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第7章向量代数与空间解析几何

第7章 空间解析几何与向量代数

(整理)第七章 向量代数与空间解析几何

高等数学第七章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算

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