[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：(六)-含解析

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配套K122018-2019学年高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：(七)-含解析

课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 求函数的最值1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．无最值 B ．有极值 C ．有最大值 D ．有最小值2．函数f (x )＝x 2e x 在区间(－3，－1)上的最大值为( ) A ．9e －3 B ．4e －2 C ．e －1 D ．4e 23．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．4．已知函数f (x )＝ln xx.(1)求f (x )在点(1，0)处的切线方程； (2)求函数f (x )在[1，t ]上的最大值．题组2 由函数的最值确定参数的值5．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2 D.526．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .当0<a <2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．题组3 与最值有关的恒成立问题7．若对任意的x >0，恒有ln x ≤px －1(p >0)，则p 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(1，＋∞) C ．(0，1) D ．[1，＋∞)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1，5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值2．函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值 C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足x ≠1时(x －1)·f ′(x )>0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)<2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)≤2f (1)4．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12C.52 D.225．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．8．设函数f (x )＝2ax －b x ＋ln x ，若f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，(1)求a 、b 的值；(2)在⎣⎡⎦⎤14，1上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 的取值范围．答案题组1 求函数的最值1．解析：选A f ′(x )＝2＋sin x >0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上无最值．2．解析：选B ∵f ′(x )＝e x (x 2＋2x )，令f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0(舍)． ∴f (x )在(－3，－2)上递增；在(－2，－1)上递减． ∴f (x )在(－3，－1)上的最大值为f (－2)＝4e －2. 3．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算得f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，所以M －m ＝32. 答案：324．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f (x )的导数f ′(x )＝1－ln x x 2.(1)f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －1. (2)令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0，解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当1<t <e 时，f (x )在[1，t ]上单调递增， f (x )max ＝f (t )＝ln t t，当t ≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递增，在[e ，t ]上单调递减，f (x )max ＝f (e)＝1e ，综上，f (x )max ＝⎩⎨⎧ln tt，1<t <e ，1e，t ≥e.题组2 由函数的最值确定参数的值5．解析：选C y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋12，又f (1)＝m ＋52，f (－2)＝m －2，所以f (1)＝m ＋52最大，所以m ＋52＝92，所以m ＝2.6．解：令f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)．又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)，所以f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为f (2)＝103.题组3 与最值有关的恒成立问题7．解析：选D 原不等式可化为ln x －px ＋1≤0，令f (x )＝ln x －px ＋1，故只需f (x )max≤0，由f ′(x )＝1x －p 知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1p 上单调递增；在⎝⎛⎭⎫1p ，＋∞上单调递减．故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1p ＝－ln p ，即－ln p ≤0，解得p ≥1.8．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1，3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴x ∈[－2，6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ， ∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ， ∴c <－18，∴c 的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．[能力提升综合练]1．解析：选B f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，而f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.2．解析：选D f ′(x )＝2x ＋x ·(2x )′＝2x ＋x ·2x ·ln 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1ln 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－1ln 2，＋∞时，f ′(x )>0，故函数在x ＝－1ln 2处取极小值，也是最小值． 3．解析：选A 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )在x ＝1处取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，得f (0)＋f (2)>2f (1)．4．解析：选D |MN |的最小值，即函数h (t )＝t 2－ln t 的最小值，h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，显然t ＝22是函数h (t )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 5．解析：f ′(x )＝e x －2.由f ′(x )>0得e x －2>0， ∴x >ln 2.由f ′(x )<0得，x <ln 2. ∴f (x )在x ＝ln 2处取得最小值．只要f (x )min ≤0即可． ∴e ln 2－2ln 2＋a ≤0， ∴a ≤2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2]6．解析：f (x )≥2，即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 12，且当0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时，g ′(x )<0， ∴当x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ， ∴a ≥e.答案：[e ，＋∞)7．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 8．解：(1)∵f (x )＝2ax －bx ＋ln x ，∴f ′(x )＝2a ＋b x 2＋1x.∵f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，∴f ′(1)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋1＝0，2a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝－13.∴所求a 、b 的值分别为－13、－13.(2)在⎣⎡⎦⎤14，1上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－（2x －1）（x －1）3x 2，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； ∴f ⎝⎛⎭⎫12是f (x )在⎣⎡⎦⎤14，1上的最小值．而f ⎝⎛⎭⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2， ∴c ≥13－ln 2.∴c 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13－ln 2，＋∞.。

高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升(十) Word版含解析

(－)(－)＝.
．计算下列定积分．
．已知()＝－(＋)，()＝[()＋]，求函数()的最小值．
答案
题组求简单函数的定积分
.解析：选(－)＝＝×－＝.
.解析：选(＋)＝(＋)＝(＋)－＝.
.解析：选∵(＋ )′＝＋，
.
答案：
题组求分段函数的定积分
．解析：选()＝＋(－)
＝＋＝.
．解：()∵－＝
∴－＝－＋－
．已知≤(＋)≤，则实数的取值范围为．
．已知()是二次函数，其图象过点()，且′()＝，()＝，求()的解析式．
[能力提升综合练]
．已知()＝，则[()＋]＝()
．．
．．
．若函数()＝＋的导函数是′()＝＋，则()
．若＝(＋· )，则的最大值是()
．．．－．
．若()＝＋()，则()等于()
．－．－
．
＝(－)＋(－)
＝＋＝.
＝＋＝－.
题组根据定积分求参数
．解析：选(－)＝(－)︱＝－＝，∴＝(舍)或＝.
．解析：显然()＝＝，()＝＋＝，得＝，＝.
答案：
．解析：(＋)＝︱＝(＋)－＝＋，所以≤＋≤，解得≤≤.
答案：
．解：设()＝＋＋(≠)，
∴＋＋＝.
∵′()＝＋，①
∴′()＝＝.②
()＝(＋＋)
＝
＝＋＋＝.③
由①②③得
∴()＝－＋－.
[能力提升综合练]
．解析：选[()＋]＝()＋＝＋︱＝＋＝.
．解析：选∵()＝＋的导函数是′()＝＋，
∴()＝＋，
∴(－)＝(－)
＝︱＝.
．解析：选＝( ＋ · )
＝＋＝－︱－︱
＝－＋－( －)

高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升(四) Word版含解析

课下能力提升(四)[学业水平达标练]题组简单复合函数求导问题．设函数()＝(－)，则′()等于( )．．．－．－．函数()＝＋＋的导数为( )．－＋．－．－．－．求下列函数的导数．()＝(＋)；()＝＋；()＝＋.题组复合函数与导数运算法则的综合应用．函数＝的导数为( )．′＝－．′＝－．′＝－．′＝＋．函数＝(＋)的导数为( )．(＋)－．(＋)＋．(＋)．函数＝的导数是．．已知()＝ππ，求′()及′.题组复合函数导数的综合问题．曲线＝(－)上的点到直线－＋＝的最短距离是( )．．．．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯的衰变过程中，其含量(单位：太贝克)与时间(单位：年)满足函数关系：()＝－，其中为＝时铯的含量．已知＝时，铯含量的变化率是－(太贝克年)，则()＝( )．太贝克．太贝克．太贝克．太贝克[能力提升综合练] ．函数＝( －)的导数′＝( )．( －) ．－．－( －) ．( －)．函数＝(＋－)的导数是( )(－－) (＋－)．－－．＋－．已知直线＝＋与曲线＝(＋)相切，则的值为( )．．．－．－．函数＝在＝处的导数为．．设曲线＝在点()处的切线与直线＋＋＝垂直，则＝.．()＝且′()＝，则的值为．．求函数＝＋(，是实常数)的导数．．求曲线＝·在点()处的切线方程．答案题组简单复合函数求导问题．解析：选∵′()＝·(－)·(－)，∴′()＝.．解析：选′()＝()′＋( )′＋()′＝－＋＝－.．解：()令＝＋，则＝ .∴′＝′·′＝·(＋)′＝·(＋)＝.。

高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升(一) Word版含解析

课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组求函数的平均变化率
．如图，函数＝()在，两点间的平均变化率等于( )
．．－
．．－
．已知函数＝()＝的图象上点(，)及邻近点(＋Δ，＋Δ)，则的值为( )
．．．＋Δ ．＋Δ
．求函数＝()＝在区间[，＋Δ]内的平均变化率．
题组求瞬时速度
．某物体的运动路程(单位：)与时间(单位：)的关系可用函数()＝－表示，则此物体在＝时的瞬时速度(单位：)为( )
．．．－．
．求第题中的物体在时的瞬时速度．
．若第题中的物体在时刻的瞬时速度为，求的值．
题组利用定义求函数在某一点处的导数
．设函数()在点附近有定义，且有(＋Δ)－()＝Δ＋(Δ)(，为常数)，则( )
．′()＝．′()＝
．′()＝．′()＝
．设函数()＝＋，若′()＝，则等于( )
．．－．．－
．求函数()＝在＝处的导数′()．
[能力提升综合练]
．与，都有关
．仅与有关，而与无关
．仅与有关，而与无关
．以上答案都不对
．函数＝在到＋Δ之间的平均变化率为，在－Δ到之间的平均变化率为，则与的大小关系为( )
．> ．<
．＝．不确定
．，两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()，()与时间(天)的关系如图所示，则一定有( )
．两机关节能效果一样好
．机关比机关节能效果好
．机关的用电量在[，]上的平均变化率比机关的用电量在[，]上的平均变化率大
．机关与机关自节能以来用电量总是一样大
．一个物体的运动方程为＝－＋，其中的单位是：，的单位是：，那么物体在
末的瞬时速度是( )
．．
．．
.如图是函数＝()的图象，则。

教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：(六)-含解析

课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1 求函数的极值1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．－1和2C ．－1D ．－3 2．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值3．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．题组2 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1，3 C ．－1，3 D ．－1，－35．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <126．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．题组3 含参数的函数的极值问题7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．8．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．[能力提升综合练]1．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，＋∞)内 C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎫－13，1，(1，＋∞)内 D ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(0，1)，(1，＋∞)内2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32 4．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．6.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的极大值为5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．答案题组1 求函数的极值1．解析：选C f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1，2)上，f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值．2．解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0；当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值． 3．解析：由图象知，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理，f (x )在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③题组2 已知函数的极值求参数 4．解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0，1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 题组3 含参数的函数的极值问题7．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝3.8．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．[能力提升综合练]1．解析：选A 利用导数法易得函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内递减，在⎝⎛⎭⎫－13，1内递增，在(1，＋∞)内递减，而f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内． 2.解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）<0，f ′（1）>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.故选D.5．解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或2 6. 解析：由题图得依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝5，f ′（1）＝0，f ′（2）＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝5，3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0. 解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 答案：2 －9 127．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 8．解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，函数在x ＝0处有极大值，极大值为f (0)＝－a ；在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。

高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升(七) Word版含解析

课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组求函数的最值．函数()＝－在(－∞，＋∞)上( )．无最值．有极值．有最大值．有最小值．函数()＝在区间(－，－)上的最大值为( )．－．－．－．．已知函数()＝－＋在区间[－，]上的最大值与最小值分别为，，则－＝．．已知函数()＝).()求()在点(，)处的切线方程；()求函数()在[，]上的最大值．题组由函数的最值确定参数的值．若函数＝＋＋在[－，]上的最大值为，则等于( )．．．．设()＝－＋＋.当<<时，()在[，]上的最小值为－，求()在该区间上的最大值．题组与最值有关的恒成立问题．若对任意的>，恒有≤－(>)，则的取值范围是( )．(，] ．(，＋∞)．(，) ．[，＋∞)．已知函数()＝－＋＋(，，∈)．()若函数()在＝－和＝处取得极值，试求，的值；()在()的条件下，当∈[－，]时，()<恒成立，求的取值范围．[能力提升综合练]．函数()＝－在区间[－，]上( )．有最大值，无最小值．有最大值，最小值－．有最小值－，无最大值．既无最大值也无最小值．函数()＝·，则下列结论正确的是( )．当＝)时，()取最大值．当＝)时，()取最小值．当＝－)时，()取最大值．当＝－)时，()取最小值．对于上可导的任意函数()，若满足≠时(－)·′()>，则必有( )．()＋()>()．()＋()<()．()＋()≥()．()＋()≤()．设直线＝与函数()＝，()＝的图象分别交于点，，则当达到最小值时的值为( ) ．．已知函数()＝－＋有零点，则的取值范围是．．已知函数()＝＋(>)．若当∈(，＋∞)时，()≥恒成立，则实数的取值范围是．．已知函数()＝(－).()求()的单调区间；()求()在区间[，]上的最小值．。

2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：课下能力提升(五) Word版含解析

课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1 综合法的应用1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( )A ．13B ．12C ．11D ．103．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．题组2 分析法的应用 4. 3a －3b <3a －b 成立的充要条件是( )A ．ab (b －a )>0B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab (b －a )<05．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．6．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2. 题组3 综合法与分析法的综合应用7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lga ＋b 2，n ＝lg a ＋b 2，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m ＞n B ．m ＝nC ．m ＜nD ．不能确定3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是( )A ．a ＜34B ．a ＜34，且a ≠－1 C ．a ＞34或a ＜－1 D ．－1＜a ＜344．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜c d，则( ) A.a b ＜a ＋c b ＋d ＜c d B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜c dC.a b ＜c d ＜a ＋c b ＋dD ．以上均可能 5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2x y＝________. 6．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝________. 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜74. 8．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．答案[学业水平达标练]1．解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋B )＞0，－cos C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．2．解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.3．证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B .∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝32. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴B ＝C .又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π3. 从而△ABC 是等边三角形．4. 解析：选D 3a －3b <3a －b ， ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3，⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ， ⇔ 3ab 2< 3a 2b ，⇔ab 2<a 2b ，⇔ab (b －a )<0.5．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0，所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2. 即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．7．证明：法一：要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因为a ＋b ＞0，所以只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，(a ＋b ) (a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )．所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.8．证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°.所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1，所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[能力提升综合练]1．解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数． 2．解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0，所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ，所以(a ＋b )2＞(a ＋b )2，所以a ＋b 2＞a ＋b 2，所以lga ＋b 2＞lg a ＋b 2，即m ＞n ，故选A.3．解析：选D ∵f (x )以3为周期，∴f (2)＝f (－1)．又f (x )是R 上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，则f (2)＝f (－1)＝－f (1)．再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1，即3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34. 4．解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜c d，可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋c b ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋c b ＋d ＜c d . 要证a b ＜a ＋c b ＋d， ∵a ，b ，c ，d 为正实数，∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc .只需证a b ＜c d .而a b ＜c d成立， ∴a b ＜a ＋c b ＋d .同理可证a ＋c b ＋d ＜c d. 故A 正确．5．解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即⎝⎛⎭⎫x y 2－5⎝⎛⎭⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2x y＝log 24＝4. 答案：46．解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为π2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. 答案：－7257．解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n .① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)．② ①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n .整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(3)由(2)可知a n n＝n ，即a n ＝n 2. ∵1a n ＝1n 2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74. 8．证明：要证f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0，只需证a ＝－b (中间结果)，由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b 2a关于y 轴对称．所以－b 2a－1＝－⎝⎛⎭⎫－b 2a . 于是得a ＝－b (中间结果)．所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．。

【高中同步练习】2018人教A版选修2-2创新应用能力提升：(五) Word版含解析

课下能力提升(五)[学业水平达标练]题组1 函数与导函数图象间的关系1．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )2．若函数y ＝f ′(x )在区间(x 1，x 2)内是单调递减函数，则函数y ＝f (x )在区间(x 1，x 2)内的图象可以是( )3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2，5]上函数f (x )的单调递增区间为________．题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ． (2，＋∞) 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤138．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．9．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上增，在⎝⎛⎭⎫1e ，5上减 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性．8．已知函数f (x )＝ln x ， g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．答案题组1 函数与导函数图象间的关系1．解析：选A 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先减后增，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2．解析：选B 选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.3．解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝e x (x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5．解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6．证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin xx 2.由于x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0. 故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题组3 与参数有关的函数单调性问题 7．解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax ，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋a x >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋ax <0，得0<x <－a ，所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．[能力提升综合练]1．解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝⎛⎭⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝⎛⎭⎫1e ，5上增．2．解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．3．解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4．解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )> 0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 8．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以 a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞.。

2019-2020学年度高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：(三)-含解析

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升：（三）-含解析______年______月______日____________________部门[学业水平达标练]题组1 利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④′＝ .其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )A. B. C. D.14题组2 利用导数的运算法则求导数3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x4．函数y＝的导数为________．5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.题组3 利用导数研究曲线的切线问题7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．[能力提升综合练]1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝( )A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A．3 B．2 C．1 D.123．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )A．－ B. C．－ D.224．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( ) A．1 B．±1 C．－1 D．－25．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f＝________．6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a ＋2)x＋1相切，则a＝________．8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答案题组1 利用导数公式求函数的导数1．解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．2．解析：选D ∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(1)＝α＝.题组2 利用导数的运算法则求导数3．解析：选 B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.4．解析：y′＝′＝（x2）′（x＋3）－x2（x＋3）′（x＋3）2＝＝.答案：x2＋6x（x＋3）25．解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：36．解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′＝－sin x·ln x＋.(3)y′＝′＝（ex）′·sin x－ex·（sin x）′sin2x＝ex·sin x－ex·cos xsin2x＝.题组3 利用导数研究曲线的切线问题7．解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋18．解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.答案：29．解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：110．解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x －10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．解析：选 C 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.2．解析：选 A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3．解析：选B y′＝cos x（sin x＋cos x）－sin x（cos x－sin x）（sin x＋cos x）2＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．4．解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax ＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.5．解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.∴f＝1.答案：16．解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.答案：1×2×3×…×n7．解析：法一：∵y＝x＋ln x，∴y ′＝1＋，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由消去y ，得ax2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x0，ax ＋(a ＋2)x0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′x ＝x0＝2ax0＋(a ＋2)．由＋（a ＋2）x0＋1＝2x0－1，))解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8.答案：88．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋1，所以f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. 令x ＝1，得f′(1)＝3＋2a ＋b ，又f′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f′(2)＝12＋4a ＋b ，又f′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－. 则f(x)＝x3－x2－3x ＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9．解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率分别为k1＝y′x＝x0＝cos x0，k2＝y′x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.。

高中数学人教A版高二选修2-2创新应用课下能力提升：(一)

课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 求函数的平均变化率1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1，2)及邻近点Q (1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2Δx 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率．题组2 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．05．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度．6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，求t 0的值．题组3 利用定义求函数在某一点处的导数7．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2 B．－2 C．3 D．－39．求函数f(x)＝x在x＝1处的导数f′(1)．[能力提升综合练]A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．以上答案都不对2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不确定3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有()A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s5.如图是函数y＝f(x)的图象，则(1)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为________． 6．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________． 7．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．8．路灯距离地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯O 在地面上的射影点O ′沿某直线离开路灯，求人影长度在任意时刻t 0的瞬时变化率．答案题组1 求函数的平均变化率1．解析：选B 平均变化率为1－33－1＝－1.2．解析：选D Δy Δx ＝2（1＋Δx ）2－2×12Δx ＝4＋2Δx .3．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－（1＋Δx ）（1＋1＋Δx ）1＋Δx＝－Δx（1＋1＋Δx ）1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1（1＋1＋Δx ）1＋Δx. 题组2 求瞬时速度 4．答案：B5．解：物体在t 0时的平均速度为 v ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt＝（t 0＋Δt ）3－2－（t 30－2）Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0（Δt ）2＋（Δt ）3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s.6．解：由v ＝s （t 0＋Δt ）－s （t 0）Δt ＝（t 0＋Δt ）3－2－（t 30－2）Δt＝3t 20Δt ＋3t 0（Δt ）2＋（Δt ）3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2，所以由3t 20＝27，解得t 0＝±3，因为t 0>0，故t 0＝3，所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 题组3 利用定义求函数在某一点处的导数 7．8．9．[能力提升综合练]1.解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关． 2．解析：选D k 1＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝（x 0＋Δx ）2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx ＝x 20－（x 0－Δx ）2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．3．解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．解析：选C ∵Δs Δt＝1－（3＋Δt ）＋（3＋Δt ）2－（1－3＋32）Δt＝5＋Δt ，5. 解析：(1)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为f （1）－f （－1）1－（－1）＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为f （2）－f （0）2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx （4＋Δx ＋2）.∴Δy Δx ＝124＋Δx （4＋Δx ＋2）.＝12×4×（4＋2）＝116.∴y ′|x ＝4＝116. 答案：1167．即物体的初速度为3 m/s.即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝s （2）－s （0）2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s. 8．解：如图，设人的高度为AB ，则AB ＝1.6，人的影子长AC ＝h ， 84 m/min ＝1.4m/s ，由直角三角形相似得1.68＝hh ＋1.4t，。

2018～2019学年度高中数学选修2-2教师用书配套课件整理学案能力深化提升第二章

能力深化提升类型一合情推理【典例1】(1)已知f(x+1)＝,f(1)＝1(x∈N*),猜想f(x)的表达式为( ) A.f(x)＝ B.f(x)＝C.f(x)＝D.f(x)＝(2)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.【试题解析】(1)选B.f(1)＝1排除C,D,取x＝1,得f(2)＝,取x＝2得f(3)＝,排除A,故选B.(2)由题中数表知:第n行中的项分别为n,2n,3n,…,组成一个等差数列,所以第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n【方法总结】归纳推理的特点及一般步骤:【巩固训练】1.三角形的面积为S＝(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A.V＝abcB.V＝ShC.V＝(S1+S2+S3+S4)·r(S1,S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V＝(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)【试题解析】选C.此题为平面几何与立体几何的类比,类比的知识有面积与体积,边长与面积,圆与球.2.若把正整数按如图所示的规律排序,则从2 016到2 018的箭头顺序方向依次为 ( )A.↓→B.→↓C.↑→D.→↑【试题解析】选B.从题图可看出是以4为周期的循环,2 016能被4整除,因此2 016→2 017↓2 018类型二演绎推理【典例2】设f(x)＝,g(x)＝(其中a＞0,且a≠1).(1)5＝2+3请你推测g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示.(2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.【试题解析】(1)由f(3)g(2)+g(3)f(2)＝·+·＝,又g(5)＝,因此g(5)＝f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)能.由g(5)＝f(3)g(2)+g(3)f(2),即g(2+3)＝f(3)g(2)+g(3)f(2),于是推测g(x+y)＝f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:因为f(x)＝,g(x)＝.所以g(x+y)＝,g(y)＝,f(y)＝,所以f(x)g(y)+g(x)f(y)＝·+·＝＝g(x+y).【方法总结】用三段论证明几何问题需要注意的地方:应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结论.如果大前提是显然的,则可以省略.【巩固训练】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的几个值x1,x2,…,x n总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f,则称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)＝sin x在(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是________.【试题解析】因为[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f,(大前提)因为f(x)＝sin x在(0,π)上是凸函数,(小前提)所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,(结论)即sin A+sin B+sin C≤3sin＝,所以sin A+sin B+sin C的最大值是.答案:类型三综合法与分析法【典例3】用综合法和分析法证明.已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤.【证明】(分析法)要证明2sin 2α≤.只要证明4sin αcos α≤.因为α∈(0,π),所以sin α＞0.只要证明4cos α≤.上式可变形为4≤+4(1－cos α).因为1－cos α＞0,所以+4(1－cos α)≥2＝4, 当且仅当cos α＝,即α＝时取等号.所以4≤+4(1－cos α)成立.所以不等式2sin 2α≤成立.(综合法)因为+4(1－cos α)≥4,(1－cos α＞0,当且仅当cos α＝,即α＝时取等号)所以4cos α≤.因为α∈(0,π),所以sin α＞0.所以4sin αcos α≤.所以2sin 2α≤.【方法总结】综合法与分析法的特点:(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表达,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.【巩固训练】求证:－2cos(α+β)＝.【证明】因为sin(2α+β)－2cos(α+β)sin α＝sin[(α+β)+α]－2cos(α+β)sin α＝sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α－2cos(α+β)sin α＝sin(α+β)cos α－cos(α+β)sin α＝sin[(α+β)－α]＝sin β,因为sin α≠0,两边同除以sin α得－2cos(α+β)＝.类型四反证法【典例4】若x,y都是正实数,且x+y＞2,求证:＜2与＜2中至少有一个成立.【证明】假设＜2和＜2都不成立,则有≥2和≥2同时成立.因为x＞0且y＞0,所以1+x≥2y且1+y≥2x,两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2.这与已知x+y＞2矛盾.故＜2与＜2中至少有一个成立.【方法总结】反证法的关注点:反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时,也常用反证法. 【巩固训练】已知:ac≥2(b+d).求证:方程x2+ax+b＝0与方程x2+cx+d＝0中至少有一个方程有实数根.【证明】假设两方程都没有实数根,则Δ1＝a2－4b＜0与Δ2＝c2－4d＜0,有a2+c2＜4(b+d),而a2+c2≥2ac,从而有4(b+d)＞2ac,即ac＜2(b+d),与已知矛盾,故原命题成立.类型五数学归纳法【典例5】用数学归纳法证明当n∈N*时,1·n+2·(n－1)+3·(n－2)+…+(n－2)·3+(n－1)·2+n·1＝n(n+1)·(n+2). 【证明】(1)当n＝1时,1＝·1·2·3,结论成立.(2)假设n＝k时结论成立,即1·k+2·(k－1)+3·(k－2)+…+(k－2)·3+(k－1)·2+k·1＝k(k+1)(k+2). 当n＝k+1时,则1·(k+1)+2·k+3·(k－1)+…+(k－1)·3+k·2+(k+1)·1＝1·k+2·(k－1)+…+(k－1)·2+k·1+[1+2+3+…+k+(k+1)]＝k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)＝(k+1)(k+2)(k+3),即当n＝k+1时结论也成立.综合上述,可知结论对一切n∈N*都成立.【方法总结】数学归纳法的步骤:数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时,结论成立,推得n＝k+1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上,它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.【巩固训练】数列{a n}满足:a1＝1,a n+1＝a n+1.(1)写出a2,a3,a4.(2)求数列{a n}的通项公式.【试题解析】(1)因为a1＝1,a n+1＝a n+1,所以a2＝a1+1＝+1＝. a3＝a2+1＝·+1＝.a4＝a3+1＝·+1＝.(2)猜想a n＝.下面用数学归纳法证明,①当n＝1时,a1＝＝1,满足上式,显然成立;②假设当n＝k时a k＝,那么当n＝k+1时,a k+1＝a k+1＝·+1＝+1＝＝满足上式,即当n＝k+1时猜想也成立,由①②可知,对于任意n∈N*都有a n＝.。

2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：课下能力提升(十) Word版含解析

课下能力提升(十)[学业水平达标练]题组1 复数的乘除运算1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i2．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i3．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i4．(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)4＋4i 1－3i ＋1i； (3)(2＋i )(1－i )21－2i. 题组2 共轭复数5．复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i6．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________，________.7．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .题组3 复数范围内的方程根问题8．设x ，y 是实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________. 9．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[能力提升综合练]1．在复平面内，复数10i 3＋i对应的点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)2．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－24．设i 是虚数单位， z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i5．若21－i＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________. 6．若z ＝－1－i 2时，求z 2 016＋z 106＝________. 7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.8．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 答案[学业水平达标练]题组1 复数的乘除运算1．解析：选B 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i. 2．解析：选B 7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝20－10i 10＝2－i. 3．解析：选A z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i. 4．解：(1)原式＝(3＋2i －3i ＋2)＋(4＋8i －4)＝(5－i)＋8i ＝5＋7i.(2)原式＝(4＋4i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＋i i·i ＝4＋43i ＋4i －434＋i －1＝(1－3)＋(3＋1)i －i ＝(1－3)＋3i.(3)原式＝(2＋i )(1－2i －1)1－2i ＝(2＋i )·(－2i )1－2i ＝2－4i 1－2i＝2. 题组2 共轭复数5．解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，z ＝－1－i. 6．解析：∵x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 答案：－1 17．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.题组3 复数范围内的方程根问题8．解析：x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ，而51－3i ＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：49．解：(1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i. (2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. [能力提升综合练]1．解析：选A 由10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)． 2．解析：选A 法一：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i 1－3－23i ＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2×4＝－34＋14i ， ∴z ＝－34－14i.∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 法二：∵z ＝3＋i (1－3i )2，∴|z |＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14. 3．解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i )2－2(1－i )1－i －1＝－2－i＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i )2－1－i＝2i ＝－2i. 4．解析：选A 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )，则z ＝a －b i ，又z ·z i ＋2＝2z ， ∴(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，∴a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．解析：因为21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，所以1＋i ＝a ＋b i ，所以a ＝1，b ＝1，所以a ＋b ＝2.答案：26．解析：z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 016＋z 106＝(－i)1 008＋(－i)53＝(－i)1 008＋(－i)52·(－i)＝1－i.答案：1－i7．解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.8．解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由ω＝z 2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ，∴7x －y ＝0.①又|ω|＝52，∴x 2＋y 2＝50.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－7. ∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.。

【高中同步练习】2018人教A版选修2-2创新应用能力提升：(二) Word版含解析

课下能力提升(二)[学业水平达标练]题组1 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15 2．求曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线方程．题组2 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－14．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 5．已知抛物线y ＝2x 2＋1，请求出分别满足下列条件的切点坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.题组3 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在7．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ． f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在8．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图象是( )9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．[能力提升综合练]1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 2．曲线y ＝1x －1在点P (2，1)处的切线的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.3π43．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1，0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋24．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1，0) B．(2，8)C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．答案题组1 求曲线的切线方程 1．∴切线的方程为y －12＝3(x －1)．令x ＝0得y ＝12－3＝9. 2．所以曲线在点⎝⎛⎭⎫12，2的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝⎛⎭⎫x －12，即4x ＋y －4＝0. 题组2 求切点坐标3．解析：选A ∵点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1.∴过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1. 4．解析：设P (x 0，2x 20＋4x 0)，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3，30)．答案：(3，30)5．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ，(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1，3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8.故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2. ∴切点坐标为(2，9)．题组3 导数几何意义的应用6．解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．7．解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12<0.8．解析：选D 不妨设A 固定，B 从A 点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x 很小，即弧AB 长度很小，这时给x 一个改变量Δx ，那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时，同样给x 一个改变量Δx ，那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着B 点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D 正确．9．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时，f ′(x )＝0，当x >0时，f ′(x )<0，故②符合．答案：②[能力提升综合练]1．答案：B2．解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx，斜率为－1，倾斜角为3π4.3．解析：选A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx所以在点(1，0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．5. 解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6 解析：由题意，f ′(4)＝－2. f (4)＝－2×4＋9＝1.因此，f (4)＋f ′(4)＝－2＋1＝－1. 答案：－17．解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快； (2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快． 8．解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．。

【高中同步练习】2018人教A版选修2-2创新应用能力提升：(九) Word版含解析

课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1 求曲边梯形的面积1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎡⎦⎤2i n，2(i ＋1)n 2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127D.1303．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．题组2 求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.325．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，求a 的值．题组3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( )7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012x d xB.⎠⎛01(2x －1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x8．S 1＝⎠⎛01x d x 与S 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ． S 21＝S 2C ．S 1>S 2D ．S 1<S 29．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.10．用定积分的几何意义计算下列定积分：[能力提升综合练]1．若⎠⎛a bf(x)d x ＝1，⎠⎛a bg(x)d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f(x)＋g(x)]d x ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．－1 D ．4 2．若f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 3．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝|sin x|，y ＝0，x ＝2，x ＝5；答案题组1 求曲边梯形的面积1．解析：选C 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n .2．解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为 S ＝03·13＋⎝⎛⎭⎫133·13＋⎝⎛⎭⎫233·13＝981＝19.3．解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －(i －1)n ＝1n.把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第i 个小曲边梯形的面积 ΔS i ＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫i －1n ·Δx＝⎪⎪⎪⎪⎣⎡⎦⎤(i －1)n ·⎝⎛⎭⎫i －1n －1·1n ＝i －1n 2·⎝⎛⎭⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和 S n ＝∑i ＝1n⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝⎛⎭⎫1－i －1n ＝16·⎝⎛⎭⎫1－1n 2，从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·⎝⎛⎭⎫1－1n 2. (4)取极限即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.题组2 求变速直线运动的路程4．解析：选B 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．5．解：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为a (i －1)n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为an，用小矩形面积⎝⎛⎭⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫ai n 2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．∴a 33＝9，解得a ＝3. 题组3 定积分的计算及性质6．解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022xd x ＝4，但⎠⎛022xd x ≠⎠⎛02xd x ·⎠⎛022d x .7．解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x.8．解析：选C ⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以S 1>S 2. 9．解析：由定积分的性质可知⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛021d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋2 ＝13＋73＋2＝143. 答案：14310．而S ＝52×52＝254，(2)令y ＝4－x 2＋2，则y ＝4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，[能力提升综合练]1．解析：选C ⎠⎛a b[2f(x)＋g(x)]d x ＝2⎠⎛a bf(x)d x ＋⎠⎛a bg(x)d x ＝2×1－3＝－1. 2．解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． 3．解析：选A∵⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6， ∴⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6. 4.又y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：05.解析：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.S 矩形＝AB·BC ＝2 3.答案：2π3＋ 36．解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S ，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．7.解：如图，。

2018-2019学年高二数学人教A版选修2-2练习：课下能力提升(十二)第二章 2.1 第1课时

姓名，年级：时间：课下能力提升(十二）［学业水平达标练]题组1 数(式）中的归纳推理1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n（n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3,a4，猜想a n等于（)A。

2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.错误!解析:选B 由a1＝1，S2＝22·a2＝a1＋a2得a2＝错误!，由a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝错误!，由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4得a4＝110，…，猜想a n＝错误!，故选B.2．将正整数排列如下图：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则2 018出现在A．第44行第81列 B．第45行第81列C．第44行第82列 D．第45行第82列解析:选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝n2，因为442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行,又第45行有2×45－1＝89个数,2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D。

3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A．n＋（n＋1）＋（n＋2)＋…＋（3n－2)＝n2B．n＋(n＋1）＋（n＋2)＋…＋(3n－2）＝（2n－1）2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋（3n－1）＝n2D．n＋(n＋1）＋(n＋2）＋…＋(3n－1)＝（2n－1)2解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n－1（n∈N＊）项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2,即n＋（n＋1)＋(n＋2）＋…＋(3n－2)＝(2n－1）2，故选B.4．设f(x)＝错误!，先分别求f(0)＋f（1），f(－1）＋f(2),f(－2)＋f(3）,然后归纳出一个一般结论，并给出证明．解：f(0)＋f(1)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.同理f(－1)＋f(2)＝错误!，f(－2）＋f（3）＝错误!。

高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升(三) Word版含解析

课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组利用导数公式求函数的导数．给出下列结论：①( )′＝；②′＝；③若＝，则′＝－；④′＝ .其中正确的个数是( )．．．．．已知()＝α(α∈*)，若′()＝，则α等于( )题组利用导数的运算法则求导数．函数＝ ·的导数是( )．′＝＋．′＝－．′＝ ·．′＝ ·．函数＝的导数为．．已知函数()＝，∈(，＋∞)，其中为实数，′()为()的导函数．若′()＝，则的值为．．求下列函数的导数．()＝－；()＝ ·；()＝).题组利用导数研究曲线的切线问题．曲线＝＋＋在点(，)处的切线方程为．．若曲线()＝·＋在＝处的切线与直线＋＋＝互相垂直，则实数＝．．已知函数()＝＋＋的图象在点(，())处的切线过点(，)，则＝．．在平面直角坐标系中，点在曲线：＝－＋上，且在第一象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，求点的坐标．[能力提升综合练]．()＝，()＝′()，()＝′()，…，＋()＝′()，∈，则()＝( )．．－．．－．已知曲线＝－的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )．．．．曲线＝＋ )－在点处的切线的斜率为( )．－．－．已知直线＝＋与曲线＝＋相切，则的值为( )．．±．－．－．已知函数()＝′＋，则＝．．设()＝(＋)(＋)…(＋)，则′()＝．．已知曲线＝＋在点(，)处的切线与曲线＝＋(＋)＋相切，则＝．．设()＝＋＋＋的导数′()满足′()＝，′()＝－，其中常数，∈.求曲线＝()在点(，())处的切线方程．．已知两条直线＝，＝，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答案题组利用导数公式求函数的导数．解析：选因为( )′＝－，所以①错误．＝，而′＝，所以②错误′＝＝＝，所以③错误′＝－＝＝－＝，所以④正确．。