第1章 矢量分析(2)

r en
r r r r ψ = ∫ dψ =∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ endS
r r 其中： 面积元矢量； 其中： S = endS ——面积元矢量； 面积元矢量 d
S S
r dS
面积元矢量
r ——面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量 en
r r r dψ = F ⋅ endS ——穿过面积元 dS 的通量。 穿过面积元 的通量。
∆x ∆x ∂Fx Fx (x0 − , y0 , z0 ) ≈ Fx ( x0 , y0 , z0 ) − 2 2 ∂x
通量值为
P
∆y
∆x y
x0 , y0 , z0
o
由此可知，穿出前、 由此可知，穿出前、后两侧面的净
x
在直角坐标系中计算
r ∇⋅ F
∂Fx ∆x ∆x [Fx (x0 + , y0 , z0 ) − Fx (x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z = ∆x∆y∆z 2 2 ∂x
r ∇⋅ F(x, y, z) = lim
称为矢量场的散度。 称为矢量场的散度。 散度
∫
S
r r F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∆V →0
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 体积之比的极限。
散度的表达式： 散度的表达式：
r ∂Fx ∂Fy ∂F 直角坐标系 ∇⋅ F = + + z ∂x ∂y ∂z r φ 圆柱坐标系 ∇⋅ F = ∂(ρFρ ) + ∂F + ∂Fz ρ∂ρ ρ∂φ ∂z
∇C = 0 ∇(Cu) = C∇u 梯度运算的基本公式： 梯度运算的基本公式： ∇(u ± v) = ∇u ± ∇v ∇(uv) = u∇v + v∇u ∇f (u) = f ′(u)∇u
1.4 矢量场的通量与散度
1.4.1 矢量线 概念：矢量线是这样的曲线， 概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。 的方向。 意义： 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。 布状态。 矢量线方程： 矢量线方程：
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之， 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点 P 穿出该六面体的净通量为
r r ∂Fx ∂Fy ∂Fz ∫SF ⋅ dS = ∂x ∆x∆y∆z + ∂y ∆x∆y∆z + ∂z ∆x∆y∆z
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 根据定义，
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 梯度的表达式： 梯度的表达式： 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系
r ∂u r ∂u r ∂u ∇u = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
r ∂u r 1 ∂u r ∂u ∇u = eρ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
dx dy dz = = Fx (x, y, z) Fy (x, y, z) Fz (x, y, z)
M
r dr r r r r r + dr
O
矢量线
r F
1.4.2 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 引入通量的概念。 通量的概念
r F(x, y, z)
1 ∂u r ∂u r 1 ∂u r ∇u = er + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ
梯度的性质： 梯度的性质：
• 标量场的梯度是矢量场， 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 的方向， 场的空间变化率。 场的空间变化率。 • • 标量场在某个方向上的方向导数， 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。 梯度在该方向上的投影。 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
是闭合的， 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面 内指向外， 内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是 r r r r ψ = ∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ endS
S S
通量的物理意义 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果
ψ >0
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
ψ <0
有净的矢 量线进入
球坐标系
r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ ∇⋅ F = 2 (r Fr ) + (sin θF ) + (F ) θ φ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
r r r ∇⋅ C = ∇⋅ C = 0 (C为 矢 ) 常 量 r r ∇⋅ (Cf ) = C ⋅ ∇f r r 散度的有关公式： ∇⋅ (kF) = k∇⋅ F (k为 量 常 ) r r r = + ∇⋅ ( f F)r f∇⋅ Fr F ⋅ ∇f r r ∇⋅ (F ± G) = ∇⋅ F ± ∇⋅ G
r ∂u • 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 ∂l r 特点：方向导数既与点M 有关， 特点：方向导数既与点 0有关，也与 l
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 r ∂u • 沿 方向增加； > 0 —— u(M)沿l 方向增加； ∆l ∂l M0 r M ∂u • 沿 方向减小； < 0 —— u(M)沿l 方向减小； ∂l
等值面族
u=c1 u=c2 u=c3
1.3.2 方向导数 概念： 概念：
r cos cos cos 的方向余弦。 式中： 式中： α、 β、 γ —— ∆l的方向余弦。
∂u ∆u ∂u ∂u ∂u = lim = cosα + cosβ + cosγ | ∂l M0 ∆l→0 ∆l ∂x ∂y ∂z
直角坐标系下散度表达式的推导 不失一般性，令包围 点的微体积 点的微体积∆ 为一直平行六面体， 不失一般性，令包围P点的微体积∆V 为一直平行六面体，如 图所示。 图所示。则
z ∆z
x0 , y0 , z0
∆x ∆x ∂Fx Fx (x0 + , y0 , z0 ) ≈ Fx ( x0 , y0 , z0 ) + 2 2 ∂x
r l
方向导数的概念
方向有关。 方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
1.3.3 标量场的梯度（ gradu 或 ∇u ） 标量场的梯度（
r 概念： ∇u = el 概念：
r ∂u ，其中el | ∂l max ∂u 取得最大值的方向 ∂l
ψ =0
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
r 1.4.3 矢量场的散度 ⋅ F ∇
为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（ 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系： 用极限方法得到这一关系：
r r r ∫ F ⋅ dS = ∫∇⋅ FdV
S V
散度定理是闭合曲面积 分与体积分之间的一个变换 关系， 关系，在电磁理论中有着广 泛的应用。 泛的应用。
V
S
S1 S2
en2
体积的剖分
en1
1.3 标量场的梯度
1.3.1 标量场的等值面 等值面: 等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间 意义: 的分布状态。 的分布状态。 等值面方程： 等值面方程： u(x, y, 特点： 等值面的特点： • 常数 取一系列不同的值，就得到一系列 常数C 取一系列不同的值， 不同的等值面，形成等值面族； 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。 标量场的等值面互不相交。 问题： 问题： 如何描述场量在场中任一点的邻域内沿空间坐标的变化情况？ 如何描述场量在场中任一点的邻域内沿空间坐标的变化情况？
r ∇⋅ F = lim
r r ∫ F ⋅ dS
S
∆V →0
∆V
∂Fx ∂Fy ∂Fz = + + ∂x ∂y ∂z
1.4.4 散度定理 从散度的定义出发， 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的 通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分， 通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即