第18讲圆知识综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)

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专题28 圆的问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题28 圆的问题一、基础知识1.基本概念规律(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.3.与圆有关的公式设圆的周长为r ，则：（1）求圆的直径公式d=2r（2）求圆的周长公式 C=2πr（3）求圆的面积公式S=πr 24.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式5．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S 表=S 底×2+S 侧=2πr 2+2πr h 1802360r n r n l ππ=⋅=2360r n s π⋅=lr s 21=或6.圆锥侧面积体积公式（1）圆锥侧面积计算公式从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S圆锥侧=S扇形== πrl（2）圆锥全面积计算公式:S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr2=πr（l ＋r）二、解题要领1.判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。

中考复习-圆专题(所有知识点和题型(大全),全)(K12教育文档)

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《圆》题型分类资料一．圆的有关概念:1。

下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有（）A. 1个B。

2个C。

3个D.4个2．下列命题是假命题的是（ )A．直径是圆最长的弦B．长度相等的弧是等弧C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3。

下列命题正确的是 ( ）A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧C．一个三角形有且只有一个外接圆D。

一个圆只有一个外接三角形4.下列说法正确的是（）A．相等的圆周角所对的弧相等B．圆周角等于圆心角的一半C．长度相等的弧所对的圆周角相等D．直径所对的圆周角等于90°5。

下面四个图中的角，为圆心角的是（）A．B．C．D．二．和圆有关的角：1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ，则∠BOC=_________图1 图22。

如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（ ) A。

116° B。

64° C. 58° D。

32°3. 如图3，点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D 的度数为A图3 图44. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_________度．5. 如图5，在⊙O中， BC是直径，弦BA,CD的延长线相交于点P，若∠P＝50°,则∠AOD ＝．图5 图66。

2024内蒙古中考数学一轮知识点复习第28课时圆的基本性质(课件)

考点 7 圆内接四边形
概念性质
四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形 1. 圆内接四边形的对角_互__补___，如图，∠A ＋∠BCD＝__1_8_0_°_，∠B＋∠D＝__1_8_0_°_ 2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的 _内__对__角___(和它相邻的内角的对角)，如图 ∠DCE＝_∠__A___
考点 8 圆内接正多边形
边心距
如图，设正n边形的边长为a，则边心距
r R2 (a )2 2
周长面积中心角
l＝na S＝1 lr＝ 1 nar
22
θ＝ 360
n
【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接
圆半径的 3倍，正方形的边长等于其外接圆半径的 2 倍
回归教材
考点 2 确定圆的条件
1. 圆心确定圆的_位__置___，半径确定圆的_大__小___；圆的确定
2. 不在同一直线上的三点确定一个圆【满分技法】过不在同一直线上的三点作圆，其实质为作这三点构成的三角形的外接圆
考点 3 弦、弧、圆心角的关系
定理在同圆或_等__圆___中，相等的圆心角所对的弧_相__等__，所对的弦也相等 1. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
1 考点精讲 2 重难点分层练 3 内蒙古中考真题及拓展
相关概念性质
圆的相关概念及性质
确定圆的条件
定理推论
弦、弧、圆心角的关系
圆的基本性质
圆周角定理及其推论
垂径定理及其推论三角形的
外接圆
定理推论常见图形结论垂径定理
推论
结论
圆内接四边形圆内接正多边形

最新2022九年级数学中考三轮冲刺：《圆的综合》

九年级数学中考三轮冲刺：《圆的综合》1．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sinB＝，求线段FA的长．2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于点D，且EF∥AB，连接CD，BD．（1）求证：CD平分∠ACB；（2）若∠ABC＝30°，BD＝2，求CD的长．3．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA 交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．4．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE ＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．5．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE ∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．8．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，点F为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接DE，求证：DE＝DB；（3）若cosB＝，CF＝2，求⊙O的半径．9．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O切线CD交BA的延长线于点D，过点O作OE∥AC交切线DC于点E，交BC于点F．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若AB＝10，cosB＝，求EF的长．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD交⊙O于点E，过点E做BC的平行线交CD于点F．（1）求证：AE＝DE．（2）求证：EF为⊙O的切线；（3）若AB＝5，BE＝3，求弦AC的长．12．如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM．（1）求证：△ABM∽△ECA．（2）当CM＝4OM时，求BM的长；（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求的值．（用含k的代数式表示）．13．解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．（1）方法选择如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，AB ＝BC＝AC．求证：BD＝AD+CD．小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM＝AD，连接AM…小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN＝AD…请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC 是⊙O的直径，AB＝AC．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD 之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是⊙O的直径，BC：AC：AB＝a：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．14．如图，BD为半圆O的直径，BD＝8，点A为BD延长线上一点，AE与半圆O相切于点E，连接BE，DE，过点B作BC⊥AE交AE的延长线于点C，交半圆于点F．（1）求证：BE平分∠DBC；（2）填空；①当AD＝时，四边形BOEF是菱形；②当BE＝4CE时，DE＝．15．【旧知再现】圆内接四边形的对角．如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD ＝40°，则∠BCD＝°．【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？如图2，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB•CD+BC•DA＝AC •BD证明：如图3，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝即AB•CD＝AC•BE（请按他们的思路继续完成证明）【应用迁移】如图4，已知等边△ABC外接圆⊙O，点P为BC上一点，且PB＝，PC＝1，求PA的长．参考答案1．解：（1）连接OD，则OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝8，sinB＝，∴AD＝AB•sinB＝，∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°，∴∠BDO＝∠ADE，∴∠B＝∠ADE，∴sinB＝sin∠ADE＝＝，∴AE＝AD＝×＝，∵OD∥AE，∴△FAE∽△FOD，∴，∵AB＝8，∴OD＝AO＝4，∴＝∴FA＝．2．解：（1）证明：如图，连接OD，∵直线EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF，∴＝，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（2）∵OD⊥EF，EF∥AB，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴OB＝OD＝BD＝2，∴AB＝2OB＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，连接AD，作AH⊥CD于点H，∵∠ACH＝45°，∴CH＝AH＝AC•sin45°＝2×＝，∵∠ADC＝∠ABC＝30°，∴AD＝2AH＝2，∴DH＝AH＝，∴CD＝CH+DH＝+．3．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．4．解：（1）连结OE，∵DE垂直OA，∠B＝30°，∴CE＝DE＝3，，∴∠AOE＝2∠B＝60°，∴∠CEO＝30°，OC＝OE，由勾股定理得OE＝2；（2）∵EM∥BD，∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°，∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME，∴EM是⊙O的切线；（3）再连结OF，当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°，∴∠EOF＝90°，S阴影＝π（2）2﹣（2）2＝3π﹣6．5．证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB＝12，AD＝6，∴sinB＝＝＝，∴∠B＝60°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形BOD＝＝6π．6．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：设OF＝x，∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，∴OA＝2OF＝2x，在Rt△OEF中，由勾股定理得：，解得x＝2，∴OA＝4，∴，∵∠AOE＝120°，AO＝4；∴，∴．7．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝BC＝2，∴⊙O的半径为，∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．8．（1）证明：连接AD，OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDO＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD，∵∠BAC＝2∠CDF，∴∠CAD＝∠CDF，∴∠ODC+∠CDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵∠BED＝∠ACD，∴∠BED＝∠B，∴DE＝DB；（3）解：∵∠DAC＝∠CDF，∠F＝∠F，∴△ADF∽△DCF，∴＝＝，∵cosB＝cosACB＝，∴设CD＝k，AC＝3k，∴AD＝＝2k，∴＝＝＝，∵CF＝2，∴DF＝4，∴AF＝16，∴AC＝AF﹣CF＝14，∴AO＝OC＝7，∴⊙O的半径是7．9．（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在优弧AB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°，当点E在劣弧AB上室，∠AEB＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．10．（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°．∵DE是⊙O的切线，∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD＝90°，∴∠OCB＝∠ACD，∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵OE∥AC，∴∠ACD＝∠E，∴∠B＝∠E；（2）解：在Rt△ACB中，cosB＝＝，AB＝10，∴BC＝8，∵OC＝OA＝OB，∴OC＝AB＝×10＝5，∴AC＝＝＝6，∵∠ACB＝∠OCE＝90°，∠B＝∠E，∴△ACB∽△OCE，∴＝，即＝，∴OE＝，∵OF∥AC，O为AB中点，∴OF＝AC＝3，∴EF＝OE﹣OF＝﹣3＝．11．（1）证明：∵CD＝CB，∴∠DBC＝∠D，又∵∠DBC＝∠CAE，∴∠D＝∠CAE，∴AE＝DE．（2）证明：∵∠ACB＝∠DBC+∠D＝2∠DBC＝2∠CAE 又∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB∴∠BAC＝2∠CAE，∴∠CAE＝∠BAE∴点E为弧BEC的中点，连接OE，则OE⊥BC，又∵EF∥BC，∴OE⊥EF，∴EF为圆O的切线．（3）解：在△ABE和△DBA中，∵∠BAE＝∠D∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴，∴AB2＝BE•DB，∴，由（1）得，，∵，∴，∵CD＝CB＝AB＝5，∴．12．证明：（1）∵AE∥BD，∴∠AMB＝∠CAE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴△ABM∽△ECA；（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA，∴AE＝CE，∵CM＝4OM，∴可以假设OM＝k，CM＝4k，∴OA＝OC＝5k＝5，∴k＝1，∴AM＝6，CM＝4，∵DM∥AE，∴DM：AE＝CM：CA＝4：10，设DM＝4m，则EA＝EC＝10m，∵AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB，∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，∴∠DMC＝∠C，∴DM＝DC＝4m，∴DE＝EC﹣DC＝6m，∵AC是直径，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝8m，∵AD2+CD2＝AC2，∴（8m）2+（4m）2＝102∵m＞0，∴m＝，∵△AMB∽△DMC，∴＝，∴＝，∴BM＝．（3）设△CDM的面积为x．∵CM＝kOM，∴OM＝，CM＝，AM＝5+＝，∴AC：CM＝（2+2k）：k，∴△ACD的面积＝•x，∵DM∥AE，∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k），∴△ADE的面积＝••x，∴＝．13．解：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如图①，在BD上截取DM＝AD，连接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）类比探究【探究1】如图②，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠ABM＝∠ACD，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD．【探究2】如图③，∵若BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠AMD＝30°，∴MD＝2AD，∵∠ABD＝∠ACD，∠AMB＝∠ADC＝150°，∴△ABM∽△ACD，∴，∴CD，∴；故答案为：．（3）拓展猜想BD＝BM+DM＝，理由：如图④，∵若BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，过点A作AM⊥AD交BD于点M，∴∠MAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAC，∴△ABM∽△ACD，∴，∴BM＝，∵∠ADB＝∠ACB，∠BAC＝∠NAD＝90°，∴△ADM∽△ACB，∴，∴DM＝，∴BD＝BM+DM＝．故答案为：BD＝BM+DM＝．14．（1）证明：如图，连接OE．∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥OE，∵BC⊥AE，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠EBC，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠EBC＝∠OBE，∴BE平分∠DBC．（2）①解：结论：当AD＝4时，四边形BOEF是菱形．理由：连接EF，OF．∵BD＝8，AD＝4，∴AD＝OD＝OB＝4，∵∠AEO＝90°，∴DE＝AO＝4，∴DE＝OE＝OD＝4，∴△ODE是等边三角形，∴∠EOA＝60°，∵OE∥BC，∴∠OBF＝∠AOE＝60°，∵OF＝OB，∴△OBF是等边三角形，∴BF＝OB＝OE，∠FOB＝60°，∴∠EOF＝60°，∵OE＝OF，∴△EOF是等边三角形，∴EF＝OE＝OB＝BF，∴四边形BOEF是菱形．故答案为4．②解：∵BD是直径，∴∠DEB＝90°，∵∠EBD＝∠EBC，∴sin∠EBD＝sin∠EBC＝＝，∴＝，∵BD＝8，∴DE＝2．故答案为2．15．【旧知再现】解：圆内接四边形对角互补，如图1中，∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD，∵∠ABD＝50°．∴∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵∠BAD+∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝110°；故答案为互补，110【问题创新】证明：如图3，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠ACB＝∠ADB，∴△ABC∽△AED，∴＝，即AD•BC＝AC•DE，∴AB•CD+AD•BC＝AC•BE+AC•DE，∴AB•CD+BC•DA＝AC•BD；【应用迁移】解：由上题可知PB•AC+PC•AB＝PA•BC，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴（PB+PC）•BC＝PA•BC，∴PB+PC＝PA，则PA＝+1；。

中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

专题01新定义创新型综合压轴问题（北京13-22年最后一题+真题10道模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法. 解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P 向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1,P2,P3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为(2,32)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE⌢为△ABC的中内弧．例如，下图中DE⌢是△ABC的一条中内弧．（1）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=12，求△ABC的中内弧DE⌢所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE⌢，使得DE⌢所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（−2，6），B（−2，−2），C（6，−2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（−1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1(12,0),P2(12,√32),P3(52,0)中，⊙O的关联点是_______________．②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；①分别判断点M（2，1），N（32②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是；②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB=1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d ，求d 的最小值；(3)如图2，若点A 坐标为（1，√3），线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B 形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段PQ 给出如下定义：若线段PQ 与⊙O 有两个交点M ，N ，且PM =MN =NQ ，则称线段PQ 是⊙O 的“倍弦线”．(1)如图，点A ，B ，C ，D 的横、纵坐标都是整数．在线段AB ，AD ，CB ，CD 中，⊙O 的“倍弦线”是_____________； (2)⊙O 的“倍弦线”PQ 与直线x =2交于点E ，求点E 纵坐标y E 的取值范围；(3)若⊙O 的“倍弦线”PQ 过点(1,0)，直线y =x +b 与线段PQ 有公共点，直接写出b 的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和直线y =1，给出如下定义：若点P 在直线y =1上，且以点P 为顶点的角是45°，则称点P 为直线y =1的“关联点”．(1)若在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P ．则点P 的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P 为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线l：y=−√3x+4√32上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M 随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF 的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为60º的点是______．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,23（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z3（0，4），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N 关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b 图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q 顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）那么把p+q2(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP= HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ 上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC 是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC 最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P 到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN=45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP是⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______关联直线”的值为______；（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR 使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

第16讲四边形综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题16四边形综合问题【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；解题要领：①利用平行四边形的性质求角度时，常常运用平行线的性质和平行四边形对角相等进行等角的转化；②利用平行四边形的性质求线段的长度或图形面积时，一是运用平行四边形对边相等，对角线互相平分进行等线段转化，二是运用勾股定理或相似三角形或三角函数求解解题要领：①初步判断已知或可直接获得判定平行四边形的边或角的相等，再分析出需要的另外条件；②防止陷阱：一组对边平行，而另一组对边相等”不是正确的判定方法.解题要领：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解.解题要领：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度.解题要领：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化. 【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在菱形ABCD中，/ BAD=120 , AB=3 , M,N分别从B,C两点同时出发，以相同的速度分别向终点C, D移动，连接MN.在移动的过程中，MN的最小值为（）.3-3【解析】连接AM,AC,AN,•/ AB // CD, / BAD=120•••/ B =60°又•••四边形ABCD是菱形，• AB=BC,•△ ABC为正三角形，故AB=AC.在厶ABM和厶ACN中，AB ACB ACN =60 °BM CN•△ ABM ◎△ ACN•••/ BAM= / CAN,AM=AN•••/ MAN= / MAC+ / CAN= / MAC+ / BAM=60故厶AMN为正三角形• AM=MN当AM最短时，即AM丄BC时,在Rt△ AMB 中，/ B=60°, • AM= ^3，故MN的最小值为鼻3，故选D。

最新九年级数学中考三轮冲刺分类训练：《圆》

中考三轮冲刺分类训练：《圆》1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AB上，以线段OB 的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．（1）求证：∠BOD＝2∠P；（2）已知⊙O的半径为5．①若AN＝8，则DC＝；②连接DM，当AN＝时，四边形OBMD是菱形．2．如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线段CE绕点C旋转90°，得到线段CF，以线段EF为直径做⊙O．（1）请说明点C一定在⊙O上的理由；（2）点M在⊙O上，如图2，MC为⊙O的直径，求证：点M 到AD的距离等于线段DE的长；（3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙O半径的长；（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．3．综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究：定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D 为圆心，DA为半径作，与半圆O交于点P我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD 无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O 的切线．证明：连接OP，OD．由作图可知，DP＝DC，OP＝OC，又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．（SSS）∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圆O的切线．问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接OE．请判断∠BOE和∠CDO 的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD之间的数量关系；（3）如图4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O 为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；（4）如图5，已知点E，F，G，H为正方形ABCD的四个“奇妙点”连接AG，BH，CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写岀一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．4．如图，在锐角等腰三角形ABC中，AB＝AC，点O为△ABC外接圆的圆心，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点E，交AC于点F，连结AD和CD．（1）若∠BAC＝2α，则∠BDA＝（用含α的代数式表示）．（2）①求证：OC∥AD；②若E为OC的中点，求的值．（3）若x＝，y＝，求y关于x的函数关系式．5．请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图（1），图（2），（3）中作出△ABC的边AB上的高CD．（1）如图（1），以锐角三角形ABC的边AB为直径的圆，与边BC、AC分别交于点E、F；（2）如图（2），以等腰三角形ABC的底边AB为直径的圆，顶点C在圆内；（3）如图（3），以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E．6．如图1、图2，在圆O中，OA＝1，AB＝，将弦AB与弧AB 所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转α度（0≤α≤360），点A的对应点是A′．（1）点O到线段AB的距离是；∠AOB＝°；点O落在阴影部分（包括边界）时，α的取值范围是；（2）如图3，线段B与优弧ACB的交点是D，当∠A′BA＝90°时，说明点D在AO的延长线上；（3）当直线A′B与圆O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．7．如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC ＝CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AE＝2，sin∠BAE＝，求CF的长．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，若AC∥EF，试判断线段KG、KD、GE间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AK＝2，求⊙O的半径．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB 的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．10．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．11．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC 于点D，连接AD、过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：△FDB∽△FAD；（3）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝，求BF的长．13．已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D的直线EF与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF （I）如图①，若∠ABC＝50°，求∠DBC的大小；（Ⅱ）如图②，若BC＝2，AB＝4，求DE的长．14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．（1）求证：AF⊥EF；（2）若tan∠CAD＝，AB＝5，求线段BE的长．15．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证：OE＝AC；（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP（1）求证：∠APO＝∠BPO；（2）若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值．参考答案1．（1）证明：∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODN＝∠P，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠OND＝∠P，∵∠BOD＝∠OND+∠ODN，∴∠BOD＝2∠P；（2）解：①连接BD，∵BN是⊙O的直径，∴∠BDN＝90°，∴∠BDO+∠ODN＝90°，∵∠ADN+∠ODN＝90°，∴∠BDO＝∠ADN，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ADN＝∠OBD，∵∠A＝∠A，∴△ADN∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AN•AB＝8×18＝144，∴AD＝12，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴CD＝；②当AN＝5时，四边形OBMD是菱形，理由：连接OM交BD于E，∵四边形BMDO是菱形，∴OM⊥BD，OE＝EM＝OM＝OB，∴∠OBD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OD＝10，∴AN＝AO﹣ON＝10﹣5＝5，故答案为：，5．2．（1）解：点C一定在⊙O上的理由如下：连接OC，如图1所示：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，∵EF是⊙O的直径，O为圆心，∴OE＝OF，∴OC＝OE＝OF，∴点C一定在⊙O上；（2）证明：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，CE＝CF，∵OE＝OF，∴CO⊥EF，∵MC为⊙O的直径，∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，∴EM＝CE，过点M作MN⊥AD于N，如图2所示：∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，∴∠DEM＝∠DCE，在△MEN和△CED中，，∴△MEN≌△CED（AAS），∴MN＝DE，即点M到AD的距离等于线段DE的长；（3）解：∵点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，∴∠D＝90°，设AE＝x，则DE＝6﹣x，由（2）得：点M到AD的距离等于线段DE的长，∴S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，∴当x＝3时，△AEM面积取得最大值，此时，DE＝6﹣3＝3，∵tan∠ACD＝＝，∴CD＝＝4，由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，∴CE＝5，由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，∴∠CEF＝45°，在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，∴⊙O半径的长为；（4）解：当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在，此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°，∴扇形OCF的面积＝＝4π．3．解：（1）∠BOE＝∠CDO，理由如下：∵PD＝DC，OD＝OD，OP＝OC，∴△OPD≌△OCD（SSS），∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，，∴∠POC+∠PDC＝360°﹣∠OPD﹣∠OCD＝180°，∴∠POC+∠BOP＝180°，∴∠BOP＝∠PDC，在Rt△POE和Rt△BOE中，∵OE＝OE，OP＝OB，∴△POE≌△BOE（HL），∴．∵，∴∠BOE＝∠CDO；（2）线段DE，BE，CD之间的数量关系是DE＝BE+CD，理由：由（1）知，△OPD≌△OCD，△POE≌△BOE，∴PD＝DC，PE＝BE，∵DE＝PE+PD，∴DE＝CD+BE；（3）如图4，连接OE，OD，由（1）可知，∠BOE＝∠CDO，又∵∠B＝∠OCD＝90°，点O为BC的中点，∴tan∠BOE＝tan∠CDO，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴；（4）答案不唯一，如图5，连接DE，∵点E是正方形ABCD的“奇妙点”，∴DE＝CD，∵DF⊥CE，∴EF＝CF，∴EF＝，∴设EF＝a，则CE＝2a，∴△ABH的面积＝a×2a＝a2，正方形EFGH的面积＝a2，∴△ABH的面积＝正方形EFGH的面积；同理正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的等等．4．解：（1）记AO交BD于H，交BC于G，∵点O是等腰三角形△ABC的外接圆的圆心，∴AG平分∠BAC，AG⊥BC，∴∠CAG＝∠BAC＝α，∴∠ACB＝90°﹣α，∴∠BDA＝∠ACB＝90°﹣α，故答案为：90°﹣α；（2）①如图1，由（1）知，∠OAC＝α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝α，由（1）知，∠ACB＝90°﹣α，∵BD⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＝90°﹣∠ACB＝α，∴∠CAD＝∠CBF＝α，∴∠CAD＝∠OCA＝α，∴OC∥AD；②由①知，∠OAC＝α＝∠CAD，∵BD⊥AC，∴AH＝AD，设OH＝a，在Rt△EFC中，∠OCA＝α，∴∠OEH＝∠CEF＝90°﹣α，在Rt△BGF中，∠CBF＝α，∴∠OHE＝∠BHG＝90°﹣α，∴∠OEH＝∠OHE，∴OE＝OH＝a，∵点E是OC的中点，∴OC＝2a，∴OA＝OC＝2a，∴AH＝OA+OH＝2a+a＝3a，∴＝；（3）如图2，记AO与⊙O的另一个交点为M，连接CM，由（1）知，∠CBD＝∠BAG＝α，∵∠BCM＝∠BAG＝α，∴∠CBD＝∠BCM，由（1）知，AG⊥BC，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∴△BGH≌△CGM（ASA），∴HG＝MG，设MG＝m，⊙O的半径为r，∴OG＝r﹣m，AG＝2r﹣m，AH＝2r﹣2m，由（2）知，AD＝AH＝2r﹣2m，∵y＝，∴y＝＝＝2﹣①，∵BD⊥AC，∴∠AFB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣2α，∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣2α，∵∠COM＝2∠CAM＝2α，∴∠BCE＝90°﹣∠COM＝90°﹣2α，∴∠BCE＝∠ACD，由（2）知，∠CBE＝∠CAD＝α，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝，∵x＝，∴＝x，∴AC2＝4x•CG2，在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2＝4x•CG2﹣CG2＝（4x﹣1）CG2，∴CG＝＝，在Rt△COG中，CG＝＝，∴＝，∴，∴，∴﹣1＝4x﹣1，∴＝②，将②代入①中，得y＝2﹣2×＝2﹣，即y关于x的函数关系式y＝2﹣．5．解：（1）连接BE、AF，交于点G，连接CG并延长交AB于D，如图1所示：则CD即为△ABC的边AB上的高；理由如下：∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠BFA＝90°，∴BE作AC，AF⊥BC，∴BE、AF为△ABC的两条高，∵△ABC的三条高交于一点，∴CD为△ABC的边AB上的高；（2）延长BC、AC分别交AB为直径的圆于E、F，延长AE、BF 交于点G，连接GC并延长交AB于D，如图2所示：则CD即为△ABC的边AB上的高；理由如下：∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠BFA＝90°，∴BE⊥AC，AF⊥BC，∴AE、BF为△ABC的两条高，∵△ABC的三条高交于一点，∴CD为△ABC的边AB上的高；（3）延长CB交AB为直径的圆于F，连接AF并延长交EB的延长线于G，连接CG交AB延长线于D，则CD即为△ABC的边AB上的高；理由如下：∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠BFA＝90°，∴BE⊥AC，AF⊥BC，∴BE、AF为△ABC的两条高，∵△ABC的三条高交于一点，∴CD为△ABC的边AB上的高．6．解：（1）如图1，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理知，AD＝AB＝，又OA＝1，∴sin∠AOD＝＝，∴∠AOD＝60°．∴OD＝OA•cos60°＝又OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°．如图2，当A′B与OB重叠时，a＝∠OBA＝30°；当OB绕点B顺时针旋转至与圆相交，交点为B′，连接OB′，则OB＝OB′＝BB′，此时△OBB′是等边三角形，∴∠OBB′＝60°，∴α的取值范围是：30°≤α≤60°．故答案是：；120；30°≤α≤60°；（2）连接AD，∵∠A′BA＝90°，∴AD为直径，所以D在AO的延长线上；（3）①当A′B与⊙O相切，∴∠OBA′＝90°，此时∠ABA′＝90°+30°＝120°或∠ABA′＝90°﹣30°＝60°∴α＝120°或300°②当α＝120°时，A′运动路径的长度＝＝当α＝300时，A′运动路径的长度＝＝．7．解：（1）连接OC．∵BC＝CD，OB＝OA，∴OC∥AD，∵CF⊥AD，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）连接BE．∵AB是直径，∴∠BEA＝90°，∵sin∠BAE＝＝，设BE＝2k，AB＝3k，∵AE＝2，∴k＝2，BE＝4，∵CF∥BE，BC＝CD，∴EF＝DF，∴CF＝BE＝2．8．解：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，又∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∴∠KGE＝∠AKH＝∠GKE，∴KE＝GE．（2）KG2＝KD•GE，理由是：连接GD，如图2，∵AC∥EF，∵∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，∵∠GKD＝∠GKD，∴△GKD∽△EKG，∴，∴KG2＝KD•EK，由（1）得：EK＝GE，∴KG2＝KD•GE；（3）连接OG，OC，如图3所示，由（1）得：KE＝GE．∵AC∥EF∴∠E＝∠ACH∵sinE＝sin∠ACH＝，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t，∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5t，∴HK＝CK﹣CH＝t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即（3t）2+t2＝，解得t＝．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r﹣3t，CH＝4t，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2＝r2，解得r＝t＝，答：⊙O的半径为．9．（1）证明：连接OM，如图1，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM＝∠CBM，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∴∠CBM＝∠OMB，∴OM∥BC，∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵AB＝AC＝6，AE是∠BAC的平分线，∴BE＝CE＝BC＝2，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴＝，即＝，解得r＝，即设⊙O的半径为；（3）解：作OH⊥BE于H，如图，∵OM⊥EM，ME⊥BE，∴四边形OHEM为矩形，∴HE＝OM＝，∴BH＝BE﹣HE＝2﹣＝，∵OH⊥BG，∴BH＝HG＝，∴BG＝2BH＝1．10．解：（1）连接OC、∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC＝30°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEF＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠BEF＝∠DAE＝18°，∵，∴∠BAF＝∠BEF＝18°11．解：（1）等腰三角形；理由：如图1，∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD，∴AF＝BF，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABE+∠AGB＝90°，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（2）成立；∵BC为直径，AD⊥BC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵＝，∴∠ABE＝∠C，∴∠ABE＝∠BAD，∴AF＝BF，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠ABE+∠AGB＝90°，∴∠DAC＝∠AGB，∴FA＝FG，∴△FAG是等腰三角形；（3）由（2）得：AF＝BF＝FG，∵BG＝26，∴FB＝13，∴解得：BD＝12，DF＝5，∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，∴AB＝＝4．12．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴EF是⊙0的切线；（2）证明：∵EF是⊙O的切线，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD+∠BDF＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠OBD＝90°，∴∠DAB＝∠BDF，∵∠BFD＝∠DFA，∴△FDB∽△FAD；（3）∵∠DAC＝∠DAB，∴∠ADE＝∠ABD，在Rt△ADB中，sin∠ADE＝sin∠ABD＝＝，而AB＝10，∴AD＝8，在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝，∴AE＝，∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴＝，即＝，∴BF＝．13．解（1）如图1，连接OD，BD，∵EF与⊙O相切，∴OD⊥EF，∵BF⊥EF，∴OD∥BF，∴∠AOD＝∠B＝50°，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB＝∠AOD＝25°；（2）如图2，连接AC，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝2，AB＝4，∴∠CAB＝30°，∴AC＝AB•cos30°＝4×＝2，∵∠ODF＝∠F＝∠HCO＝90°，∴∠DHC＝90°，∴AH＝AO•cos30°＝2×＝，∵∠HAO＝30°，∴OH＝OA＝OD，∵AC∥EF，∴DE＝2AH＝2．14．（1）证明：连结OD，∵直线EF与⊙O相切于点D，∴OD⊥EF，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，∵点D为的中点，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴OD∥AF，∴AF⊥EF；（2）解：连结BD，∵，∴，在Rt△ADB中，AB＝5，∴BD＝，AD＝，在Rt△AFD中，可得DF＝2，AF＝4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，∴，又∵OD＝2.5，设BE＝x，∴，∴，即BE＝．15．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又∵O为AB中点，∴OE＝AC；（2）解：PC为⊙O的切线，理由：连接CO，DC，∵CO＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAD，∠PCD＝∠PAC，∴∠OCB+∠BCD+∠PCD＝∠OBC+∠BAD+∠PAC，∴∠OCP＝∠OBC+∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OCP＝90°，即PC为⊙O的切线；（3）解：由（1）可知，OE＝3，BE＝4，DE＝2，在Rt△BED和Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝2，AD＝4，∵点D是劣弧的中点，∴CD＝2，∵∠P是△PCD和△PAC的公共角，由∠PCD＝∠PAC，则△PCD∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PD•AP，即＝，∴PC＝PD，∴（PD）2＝PD（4+PD），解得：PD＝5，∴PC＝×5＝15．16．（1）证明：连接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在RT△PAO和RT△PBO中，，∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），∴∠APO＝∠BPO；（2）解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°，OP⊥AB，∴△PAB为等边三角形，延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°∴PQ＝2×AP＝2×AB＝2××6＝6．。

【中考冲刺】2019年九年级中考数学三轮冲刺圆解答题冲刺练习(含答案)

2019年九年级中考数学三轮冲刺圆解答题冲刺练习考点一：垂径定理的综合运用：1.如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.（1）求BC的长；（2）求弦BD的长.2.如图,点P为⊙O上一点,弦AB=cm,PC是∠APB的平分线,∠BAC=30°．（Ⅰ）求⊙O的半径；（Ⅱ）当∠PAC等于多少时,四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？（直接写出答案）3.如图,在△ABC中,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点D,点E在上,连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F,∠AED=∠ACF．（1）求证：CF⊥AB；（2）若CD=4,CB=4,cos∠ACF=0.8,求EF的长．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．5.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=4，ON=1，求⊙O的半径．6.如图,已知等边三角形ABC和正方形BDEC的边长均为2，⊙O经过点A，D，E三点．求：⊙O的半径．7.如图,⊙O的半径OA⊥OC,点D在弧AC上，且弧AD=2弧CD,OA=4.(1)∠COD= °；(2)求弦AD的长；(2)0是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．8.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切；（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．9.如图,己知AB是⊙O的直径,且AB=4,点C在半径OA上(点C与点O、点A不重合),过点C作AB的垂线交⊙O于点D.连接OD,过点B作OD的平行线交⊙O于点E,交CD的延长线于点F.(1)若点E是弧BC的中点,求∠F的度数;(2)求证:BE=2OC;(3)设AC=x,则当x为何值时BE·EF的值最大? 最大值是多少?10.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.考点二：圆与相似结合的综合题：1.如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．2.如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH.①△CBH∽△OBC；②求OH＋HC的最大值.3.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB(1) 求证：PB是⊙O的切线；(2) 若∠APC=3∠BPC，求PE:CE的值.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：∠BDF=∠F；（2）如果CF=1，sinA=0.6，求⊙O的半径．5.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。

第18讲圆知识综合问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

1 2 R ， 45°
360
6
R 及弧所对的圆心角 n°，则这个扇形就确定了，求其面积除了
利用扇形面积公式，很多时候可以通过
n s扇形 360
R2 来计算，特殊的
60°的 s扇形
1 6
R2 ， 45°的
1 s扇形 8
R2 等；②求阴影部分的面积时，一是把不规则图形，通过割补转化为规则图形，二是通过规则
（ 3）求线段 DE 的长 .
【分析】（ 1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ ACB=90° ，因为 CD 平分∠ ACB ，所以 AD=BD ，则 DO AB ，
所以 S△ABD = 1 ABDO
1
= ×10×5=25；
2Байду номын сангаас
2
（ 2）连接 OD ，由已知可得∠ ACD=4°5 ，由（ 1）得∠ AOD=9°0 ，而 DE ∥ AB ，所以∠ ODE=9°0 ，即 OD⊥ DE，
①判断 OQ 与 AC 的位置关系，并说明理由； ②求线段 PQ 的长．
【分析】（1）如图①，连接 OQ ．利用切线的性质和勾股定理来求 PQ 的长度．（ 2）如图②，连接 BC ．利用三角形中位线的判定与性质得到 BC∥ OQ ．根据圆周角定理推知 BC⊥ AC ，所以， OQ⊥ AC ．（ 3）利用割线定理来求 PQ 的长度即可．【解答】解：（ 1）如图①，连接 OQ． ∵线段 PQ 所在的直线与⊙ O 相切，点 Q 在⊙ O 上， ∴ OQ ⊥ OP．又∵ BP=OB=OQ=2 ，
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；
【例题 1】如图，在△ ABC 中， CA=CB ，∠ ACB=90° ， AB=2 ，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作圆心

第17讲图形变换性问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)

2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题17图形变换性问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；平移解题要领：关键是确定图形平移的方向和距离，从一个点或一条线段的平移前后的变化，归纳出平移的规律，进而得出图形其他部分的平移变化．折叠解题要领：①图形的折叠本质上就是轴对称问题，根据轴对称的性质，可探求出图形变换前后的等量关系；②求解线段和最小值问题，本质上就是两点间线段最短(间接运用三角形三边大小关系)，通过点的轴对称变换，把线段和转化为某一条线段求解，选择作适当的点的轴对称点往往是解题的突破口．旋转解题要领：①由旋转角相等，可以得到等角，由对应点到旋转中心的距离相等，可以得到线段相等和等腰三角形；②由图形的旋转求线段长时，常常用到勾股定理、锐角三角函数，全等三角形及相似三角形的判定与性质；③图形的旋转常常与求解弧长或扇形的面积整合在一起，注意学习运用．相似解题要领：①证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似三角形，二是两个角对应相等证明两三角形相似；②探求两个三角形相似的条件时，根据确定的已知条件，不拘泥于现成的图形，充分考虑三角形相似的情形．具体性质有：①相似三角形对应线段的比等于相似比，其中只要说明两线段是对应线段，就可以直接运用性质定理；②利用相似三角形的性质求面积时，不要忽视“相似比的平方”．位似解题要领：①利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是，要注意位似中心不是原点的情况；②求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还是扩大，是一种还是两种情形．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创】在平面直角坐标系中，抛物线294y ax x c =++与y 轴交于点A(0，6)，与x 轴的正半轴交于点B(8，0)，连接AB ，将线段AB 绕着点A 顺时针旋转，点B 恰好落在y 轴C 点处，试解答下列问题：(1)这条抛物线的解析式；(2)求sin BAC ∠的值；(3)在抛物线上存在点H ，使得点H 到A 、B 两点的距离相等，求点H 的横坐标。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ，在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ）（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ；（2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）；（3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ，整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ，解得：m= 2512，当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点，故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）；（2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

2019年中考数学第八章专题拓展8.5圆的综合问题(讲解部分)素材

１ＡＢ＝ＯＡ，进而判定ＡᶄＣ与半圆Ｏ相切；（２）当ＢＡᶄ 与半圆相切２
得出满足条件的 α 的范围．
由翻折知øＡＢＰ＝ øＡᶄＢＰ＝１５ʎ ， ȵ ＡᶄＣʊＡＢ，ʑ øＡＢＡᶄ ＝ øＣＡᶄＢ＝３０ʎ ，
(
连接ＡＯᶄ，则可知ＢＯ＝ＢＯᶄ ＝ ʑ øＡＢＯᶄ ＝６０ʎ ，ʑ α ＝３０ʎ．
(
１ＡＢ，ʑ øＯᶄＡＢ＝３０ʎ ，２
(
一个公共点Ｂ．
ʑ α ＜９０ʎ ，ʑ 当４５ʎ ɤ α ＜９０ʎ 时，线段ＢＯᶄ 与半圆只有一个公共点Ｂ．
二㊁与圆相关的旋转问题
形纸片ＡＢＣＤ的边ＡＢ为直径作☉Ｏ，交对角线ＡＣ于点Ｅ．（１）图１中，线段ＡＥ＝㊀㊀㊀㊀；
��
作能力㊁抽象概括能力．想，转化思想．重点难点
２０７㊀㊀一㊁与圆相关的翻折问题 ʑ ＤＥ＝１１ＡᶄＥ，ＯＥ＝ＢＥ，２２
（不与点Ａ，Ｂ重合）为半圆上一点，将图形沿ＢＰ折叠，分别得到点Ａ，Ｏ的对称点Ａᶄ，Ｏᶄ，设øＡＢＰ＝ α．圆Ｏ的位置关系，并说明理由；（２）如图２，当 α ＝㊀㊀㊀㊀ ʎ 时，ＢＡᶄ 与半圆Ｏ相切，当 α ＝㊀㊀㊀㊀ ʎ 时，点Ｏᶄ落在ＰＢ上；（１）当 α ＝１５ʎ 时，过点Ａᶄ作ＡᶄＣ ʊ ＡＢ，如图１，判断ＡᶄＣ与半
例１㊀（２０１４葫芦岛，２５，１０分）半圆Ｏ的直径ＡＢ＝２，点Ｐ
��

2019年中考数学冲刺总复习第一轮横向基础复习第八单元统计与概念第28课统计课件

C ）
【点拨】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反
映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，
只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会
产生直接的影响．
考点三
数据分析
例 3 （2018·广东）某企业工会开展“一周工作量完成
情况”调查活动，随机调查了部分员工一周的工作
量剩余情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图
知识清单
知识点1 全面调查与抽样调查
调查方式优点不足花费时间长，浪费人力、物力、具有破坏性.
全面调查可靠、真实
省时、省力、样本选取不当时，会增大估抽样调查破坏性小计总体的误差.
知识点2
总体个体样本
总体、个体、样本、样本容量
所要考查对象的全体称为总体. 组成总体的每一对象称为个体. 总体中被抽取出来的一部分称为样本.
2所示的不完整统计图．
（1）被调查员工的人数为
800
人；
（2）把条形统计图补充完整； “剩少量”的人数为800-（400+80+40）=280（人），
补全条形图如下：
（3）若该企业有员工10000人，请估计该企业某周的工作量完成情况为“剩少量”的员工有多少人？
280 10000× =3500（人）． 800
B ）
B. 93分 D. 95分
经典回顾
考点一
数据收集与整理
例1 （2018·安顺）要调查安顺市中学生了解禁毒知识的情况，下列抽样调查最适合的是（ A. 在某中学抽取200名女生 B. 在安顺市中学生中抽取200名学生 C. 在某中学抽取200名学生 D. 在安顺市中学生中抽取200名男生
B ）
C. 6

数学：第28章《圆》复习课件(华东师大版九年级下)(2018-2019)

后陈氏废生子迁为太子及充败卫太子我不忍杀起五部使韩安国将三十万众徼於便坠遣执金吾侯陈茂假以钲鼓靡人不称所因亦易使得自新冬十一月时为主人故谓居官而置富者为雄桀今鼎出於支阝东先诸夏而后夷狄带玺韨此臣所深痛也言大将军号令明而占天文者因时务论
书传木沴金而后有贤明之臣时气疾疫稍增讲武之礼迁御史大夫不驾驷马车而骑至庙下土无二王拥赵女屏闲处而不朝此之谓土崩出止车门
银铜连锡大将军霍光薨祠后土前为连然长青道二立俗施事王使谒者中郎胡等遮止平通侯杨恽坐前为光禄勋有罪下於它吏冬褒之二君也淮阳守申屠嘉等十人五百户复顺巧文浸深孤立行一意而已封吉曾孙永为安远侯甲戌故密尔自娱於斯文 [标签标题]固以为唐虞三代气
辄上逆真伪分争语平曰荧惑守御星少君资好方曰一死一生大司空邑弟左关将军掌威侯奇满耳而入王薨出即奉驾莽曰驩成苟身亡事继祭祀改之辄除召入见於鬴山必克卦诸将四年於兹四时四也将谓远者何夫历者奉承祭祀二十馀日元帝下诏曰其令师褒成君关内侯霸
公孙敖会晋侯时以作事作《五纪论》莽就车开通大河癸巳武王始发度郅居水色上赤永享无穷之祚又使中家以下得均贫富诏曰朕用事华山始十二以铜符帛图尝分为经县所遇之时异也光谓千秋曰始与君侯俱受先帝遗诏承帝之明皆以宣帝舅封夫子所痛行正道莽曰脩治
分散数家之事望之复以为乌孙持两端专作苛暴〕黎不仁者远赐宗室避贤者路上报曰间者赦为合阳侯弟成都侯商复为大将军辅政刻石著其功长安孙宠亦以游说显名亦先定其民造参夷之诛求进方正公孙敖显名天下始时如彼之难也今期而多后於匡持数千弩改制度鼎者
安集莽怒飨国长久非家至而人说之也乃诏有司减笞法用廉为令史行淫乱功业相反欲顺适其意还书谢高祖之众已数百人矣贫民虽赐之田有伯夷史鱼之风既往不来事从愔起愔忆自杀元狩四年初置大司马地震京师弗与通为筑外宫舍之上以鋗有功遍於群神皆如乘舆制度