2.5 计算解的精度估计和迭代改进
数值计算中的误差分析与修正方法
数值计算中的误差分析与修正方法引言：在现代科学和工程领域中，数值计算扮演着至关重要的角色，因为它能够为研究人员和工程师们提供精确、高效的解决复杂问题的手段。
然而，由于计算机的本质限制，数值计算常常会引入各种误差，从而影响计算结果的准确性和可靠性。
本文将探讨数值计算中常见的误差类型以及相应的分析和修正方法，旨在提高计算结果的精确性。
一、误差类型和来源1. 舍入误差：舍入误差是由于现代计算机内部对数字表示进行近似导致的。
由于计算机使用有限的二进制位数来表示实数，因此无法精确表示一些无理数或十进制小数。
这导致在执行算术运算时，结果会舍入到最接近的有效数字，从而引入舍入误差。
2. 截断误差：截断误差是由于截断或近似无限序列或函数而导致的。
例如，在数值积分中，将无限积分区间截断为有限部分，即使使用复杂的数值积分方法，仍然会产生截断误差。
3. 模型误差：模型误差是由于对实际问题建立的数学模型的简化或近似而引入的。
实际问题往往非常复杂，而为了进行数值计算，必须对问题进行适当建模。
然而，简化和近似会导致模型与真实情况之间存在差异，从而引入模型误差。
4. 数值不稳定性：数值计算中有些问题可能非常敏感，稍许输入变动可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况称为数值不稳定性。
例如，当计算具有较大条件数的线性系统或求根问题时，数值不稳定性可能会使结果产生较大的误差。
二、误差分析方法1. 误差界估计：误差界估计是一种常用的误差分析方法，它通过推导数值计算结果与真实结果之间的差距来提供一个误差界。
误差界估计方法利用数学技巧和数值分析原理，将误差的上界或下界与计算结果相关的因素联系起来，从而得到计算结果的误差范围。
2. 扩展精度计算：扩展精度计算是通过在计算过程中使用更高的精度，以减小舍入误差对最终结果的影响。
一种常见的方法是使用任意精度算法，例如多重精度算法。
这种方法的缺点是执行速度较慢，但可以显著减小舍入误差。
3. 自适应步长算法：自适应步长算法是为了减小截断误差而设计的一种方法。
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
应用于二进制除法位数扩展n阶预测-校正迭代算法
应用于二进制除法位数扩展n阶预测-校正迭代算法
此算法通常用于浮点数处理。
它首先会由使用者指定浮点数的精度位数。
以5位精度的浮点数为例，在第一步中，将会以二进制方式将除数乘以2的N次幂，以求得扩展的除数。
为了获得最优的精度，这个N值将会介于2的除数位数和高于被除数位数的一半之间。
若被除数位数为10位，则N值会介于6位和5位之间。
接着，就会使用扩展的除数去除被除数，最后，余数将会代入篇预测迭代算法。
它将会通过在迭代中把除数减去余数并把该结果乘以2N，去确保求得最优精度，同时，最终得出商的位数也一定会小于我们指定的位数。
一旦余数等于零，就意味着算法结束，得到了商而非余数。
《基于并行空洞卷积的2.5D胸腔CT气道自动分割》
《基于并行空洞卷积的2.5D胸腔CT气道自动分割》一、引言在医学影像处理领域，胸腔CT（Computed Tomography）图像分析是诊断呼吸系统疾病的重要手段。
其中，气道分割是CT 图像处理的关键任务之一。
传统的气道分割方法主要依赖于手动标记或半自动方法，但这些方法效率低下且易受人为因素影响。
近年来，随着深度学习技术的发展，基于深度学习的自动分割方法在医学影像处理中得到了广泛应用。
本文提出了一种基于并行空洞卷积的2.5D胸腔CT气道自动分割方法，以提高分割的准确性和效率。
二、相关工作在医学影像处理领域，深度学习已被广泛应用于图像分割任务。
其中，卷积神经网络（CNN）因其强大的特征提取能力在图像分割中得到了广泛应用。
在气道分割方面，基于U-Net架构的模型已被证明具有较好的性能。
然而，传统的卷积操作在提取上下文信息方面存在局限性，这可能导致在处理CT图像时出现细节丢失的问题。
为了解决这一问题，本文引入了并行空洞卷积（Atrous Convolution）来提高特征提取的准确性。
三、方法本文提出的基于并行空洞卷积的2.5D胸腔CT气道自动分割方法主要包括以下步骤：1. 数据预处理：对原始CT图像进行预处理，包括去噪、归一化等操作，以便于后续的模型训练。
2. 构建模型：采用U-Net架构作为基础模型，通过引入并行空洞卷积来提高特征提取能力。
在卷积层中，采用不同膨胀率的空洞卷积来扩大感受野，从而更好地捕捉上下文信息。
3. 训练模型：使用标注的CT图像作为训练数据，通过优化损失函数来训练模型。
损失函数采用交叉熵损失和Dice损失的组合，以平衡正负样本的不均衡性并提高分割准确性。
4. 模型评估与优化：使用测试数据集对模型进行评估，根据评估结果对模型进行优化。
同时，采用并行计算技术来加速模型的训练和推理过程。
四、实验与结果为了验证本文方法的性能，我们进行了以下实验：1. 数据集：使用公开的胸腔CT图像数据集进行实验，包括正常和异常气道的数据。
迭代法的改进与应用
有了上面两次大的简化。这样整个解题程序也就只有下面三步了
解：
=
这是一种全新的解法，因为是本人发现的，读者你也许将会使用这个方法，而且此法的特点是“拉”，所以本人将这个方法命名为马你拉法，谐音：马尼拉法
四助记诗。现在我们已经知道怎么用马尼法解题了，但这还不够，时间长了就会遗忘的。为了帮大家理解记忆我花了很长的时间编了一首助记诗，叫马尼拉诗，现有3个版本：
核分裂流程：每一次分裂产生一个新的核和一个未成熟的配子p,另加一个待配项 ，壁外待分配子则与待配项 进行分配，产出新生项 ，并被拉到适当的位置排好，同时，新配子p成熟并移至壁外与原有配子 结合成待分配子 并储存下来等待下一次分配。至此，一次核分裂就算完成了。如此重复下去，将会不断地有新生项诞生，队（展开式）也将排得越来越长了，象拉杆天线！象生长的乐口销，象流水线，象卷尺！。而递推公式正好给出了这种核裂变的机理。到此，我们就知道，每一个等式的第二项即新生项就是这样产生，这样“拉”出来的。
两和一降相差2：它告清楚无误地告诉我们相邻两项p的指数永远是相差1的，并且是左大右小，这是先天的，与生俱来的，所以p当然是降幂排列的。a,q的指标永远相差2=(n+1)-(n-1)，从遗传学的角度看，它正好是所隔的代数2。第二项是n+1次齐次式。核心是：首项指标和相等，和为n，a,q指标差相等，差为2，这两条就是整个递推关系的密钥！而等差是核心的核心！因为这是一条我们以前未发现的性质，也正是我们写不出展开式第二项的原因所在。通俗地讲：首项的指标就是把n折成两个正整数的和，而a,q的指标就是把常数2折成两个正整数的差，这就是这个递推公式的核心。一般地讲，不同的递推公式aq有着不同的差，也就是所隔的代数一般是不同的。
计算方法-刘师少版课后习题答案
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位.又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025(3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6932.1 用二分法求方程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
数值计算精度分析与误差修正算法
数值计算精度分析与误差修正算法数值计算是科学计算中非常常见和重要的一部分，其在各个领域的应用非常广泛。
然而，由于计算机运算精度的限制以及计算过程中所引入的舍入误差，数值计算结果往往存在一定的误差。
因此，对数值计算的精度进行分析，并针对误差进行修正是非常重要的。
1. 数值计算的误差来源在进行数值计算时，我们常常涉及到对无理数、无穷大、无穷小等抽象概念的近似表示，从而引入了舍入误差。
此外，计算过程中可能还会出现截断误差、舍入误差和传播误差等。
截断误差是指在进行数值计算时，由于为了简化计算过程或减少计算量而对计算公式进行近似，从而引入的误差。
常见的截断误差有泰勒展开式截断误差、数值积分的截断误差等。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时，无法表示无穷多位的小数而引入的误差。
舍入误差主要包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是指计算结果与真实结果的差值，而相对误差则是绝对误差与真实结果的比值。
传播误差是指在进行多个数值计算时，每个计算结果的误差不断积累和传播，最终导致整个计算结果的误差扩大。
2. 数值计算的精度分析数值计算的精度分析主要是通过估计和控制计算结果的误差来评估计算结果的可靠性。
精度分析的基本思路是对计算公式和计算过程进行分析，找出导致误差增大的因素，并设计相应的算法来减小误差。
对于截断误差，我们可以通过改进计算公式、增加计算步骤等方式来减小误差。
对于舍入误差，我们可以使用高精度计算的方法，例如使用高精度数值库或者自行实现高精度计算算法。
另外，还可以利用数值稳定性的分析，通过将计算过程中不稳定的部分进行变换或简化来减小误差。
在数值计算中，一种常用的精度分析方法是条件数的估计。
条件数是衡量问题对输入误差的敏感程度，即解的变化与输入误差的变化之间的关系。
通过计算条件数，我们可以对问题的稳定性进行量化评估，并根据条件数的大小来选择合适的计算方法。
3. 误差修正算法误差修正算法是在对数值计算的误差进行分析后，针对具体的问题采取的改进计算方法。
高精度数值计算方法的优化与应用
高精度数值计算方法的优化与应用第一章前言高精度数值计算方法是一种针对数值运算精度不够的解决方案，它可以解决数值计算中的精度问题，适合于在科学计算、金融计算、工程计算等领域应用。
本文旨在探讨高精度数值计算方法的优化和应用。
第二章高精度数值计算方法高精度数值计算方法，是指对计算机中的浮点数进行扩展，提高其计算精度的方法。
一般来说，高精度数值计算可归为两种方法，一种是基于多精度算法，一种是基于浮点数精度的扩展。
多精度算法是将数据的位数扩展至数百位或数千位，以保证运算精度，同时也增加了运算的复杂度和时间。
而浮点数精度的扩展则是通过增加尾数位数或扩充指数的方法，直接提高了精度。
第三章高精度数值计算方法的优化在实践应用中，高精度数值计算方法面临着诸多困难和挑战。
针对这些问题，可以进行一些优化。
以下是一些常见的优化方法：1. 采用高效的数据结构：在计算过程中，数据的存储结构非常重要，可以使用链表、数组或向量来存储。
其中，向量相对于链表或数组的存储方式，时间效率更高。
2. 使用快速数论变换算法（FFT）：FFT算法是多项式乘法的高效实现，使用FFT算法可以大大提高精度计算的效率。
3. 使用预处理技术：高精度数值计算涉及到很多重复计算，可以采用预处理技术，将计算结果存储下来，用于后续的计算。
4. 算法并行化：高精度数值计算的计算量较大，可以通过并行化加快计算速度。
5. 有效的指令优化：对数值计算的汇编代码进行优化，可以提高计算效率。
6. 采用合适的算法：不同的算法在不同的情况下，会有不同的效率表现。
因此，在实际应用时，要根据具体情况采用合适的算法。
第四章高精度数值计算方法的应用高精度数值计算方法广泛应用于科学计算、金融计算、工程计算等领域。
以下是一些典型的应用领域：1. 科学计算：在科学计算中，需要对粒子、分子、波动等进行计算。
由于这些计算需要高精度，因此，高精度数值计算方法在科学计算中应用广泛。
2. 金融计算：在金融领域中，需要计算一些复杂的金融衍生品的价格。
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
数值分析10误差分析和解的精度改进
数值分析
数值分析
（2）（行）比例增减改善
前面介绍的列主元法解决了Gauss消元法由于小主元的出
即正交变换后，没有增加误差。
同样，对 A Rnn 有 A A A， 则 Q A QA Q A，且 || Q A ||2 || A ||2
正交变换后，误差也没有增加。
数值分析
数值分析
三、数值稳定性及解的精度改进
1.数值稳定性. 结论：直接法解 Ax b，用顺序消元是不稳定，而用选
主元（列主元）是稳定的。
数值分析
数值分析
解的稳定性：“小的误差会不会引起解的很大变化”
有两种解的稳定性概念： （1）数值方法的稳定性：与数值方法有关。 （2）数学稳定性：是由数学问题本身故有属性所
决定的，与数值方法无关。即通常所说的 “病态问题”和“良态问题”。
数值分析
数值分析
数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰 动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长， 则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。
sr
s k in i
例4 应用按比例消元法求解 方程组
解：s1 2, s2 4, 对k 1, a11 1 ,
s1 2
s3 10 a21 3 , s2 4
x1 3 x1
2x2 4x2
x3 3 3
E1 E2
2 x1 10x2 4 x3 10 E3
a31 1 , r 2 s3 5
2.矩阵的条件数 定义 : 对非奇异n阶方阵A, 称量 A A1 为矩阵A的
PM2.5测量系统中改进神经网络控制算法优化补偿
PM2.5测量系统中改进神经网络控制算法优化补偿邹孔雨;佟国香【摘要】针对现阶段PM2.5测量系统的测量精度较低的问题,提出了改进的BP神经网络PID控制算法对其进行优化补偿.通过对粒子群优化算法的速度公式进行了改进,采用优化的粒子群算法优化了BP神经网络,将其用于PID的在线参数调节,以PM2.5测量系统作为研究对象,将改进的BP神经网络PID控制算法与传统PID分别作了仿真研究.研究结果表明,基于改进的粒子群优化算法改进的BP神经网络PID控制算法与传统的PID控制相比,提高了测量精度,在一定程度上减少了误差.【期刊名称】《电子科技》【年(卷),期】2015(028)011【总页数】4页(P25-28)【关键词】粒子群优化;BP神经网络;PID控制;测量精度【作者】邹孔雨;佟国香【作者单位】上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093;上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】TP18随着大气中PM2.5 的监测浓度上升趋势增大，其对身体健康，大气能见度以及大气环境污染具有显著地危害和潜在的影响，被称为“灰霾元凶”，PM2.5 是指空气动力学直径≤2.5 μm 的大气颗粒物。
PM2.5对大气环境有着严重的影响，由于细颗粒物质的散光作用及其对光较强的吸收作用，导致大气能见度降低，从而给交通运输和日常生活带来不便，严重时甚至可导致事故。
PM2.5 对人体健康影响严重，其浓度的增高与心肺疾病的发病率，死亡率息息相关。
由于PM2.5 测量系统在测量过程中，会受到各种环境因素的影响，使用时间一长，会使测量精度下降，在实际设计中要提高整个系统的测量精度，通常选择测量精度高的灰尘传感器，但成本较高。
故为了控制成本，需选择经济型的灰尘传感器，并在实际测量中对影响其测试精度的因素进行补偿。
文献［1］中提出了一种基于递归神经网络的加速度传感器动态性能补偿方法，文献［2］中给出了一种基于改进遗传RBF 神经网络的传感器动态特性补偿算法，文献［3］中给出了一种物联网框架下PM2.5 高精度测试模型仿真分析，文献［4］中给出了一种基于β 射线吸收法的PM2.5 测量技术的研究。
数值分析(07) 误差分析和解的精度改进
数值分析
几点注意： 1 . 当 C o n d ( A ) 1, A 是 病 态 矩 阵 , A x b 是 病态方程组。 2 . 当 C o n d ( A )较 小 时 , A 是 良 态 矩 阵 , A x b 是良态方程组。
3 . C o n d ( A )与 矩 阵 A 本 身 的 结 构 有 关 ， 与 其 他任何外部因素无关。 4 . 条 件 数 C o n d ( A )的 大 小 没 有 绝 对 的 标 准 ， 与方阵的阶数有关。
数值分析
数值分析
例1
0 .3 1 0 1 5 10
3 x1 1 5 x2 2
T T
(1 ) 顺 序 消 元 x ( 0 , 0 .3 3 3 ) , A x (1 .0 , 1 .6 6 7 ) ( 2 ) 列 主 元 消 元 x ( 0 .0 3 3 3 , 0 .3 3 3 ) ,
*
由引理的估计式得到
x
1 x
*
A
1
( b x 1 A
1
*
A )
A
由 b A x , 即
*
A b
得到
x
x
*
A
1
(
b
x
*
A )
A
A
1
(
A
A
1
b
b
)
1 A
1
A
1 A
A
数值分析
数值分析
先验估计式说明 : A 的 放 大 倍 数 .于 是 , A 矩阵的条件数.
A A A ( I A A ) 也非奇异 ,
几种迭代修正方法的比较
几种迭代修正方法的比较迭代修正方法是现代算法中应用广泛的一种优化算法，主要用于解决优化问题。
它通过多次迭代计算，不断修正当前解，逐步接近最优解。
在实践中，存在许多不同的迭代修正方法，如梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法等。
本文将比较几种常见的迭代修正方法的优缺点，包括梯度下降法、牛顿迭代法和共轭梯度法。
首先，我们来看梯度下降法。
梯度下降法是一种基于偏导数的迭代修正方法，主要用于求解无约束优化问题。
其基本思想是沿着负梯度方向迭代更新解，直到收敛或满足停止准则。
梯度下降法的优点是易于实现和理解，收敛速度较快。
然而，梯度下降法也存在一些问题，如可能陷入局部最优解、需要选择合适的学习率等。
其次，我们来看牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种基于二阶导数的迭代修正方法，主要用于求解非线性优化问题。
其核心思想是利用二阶导数信息来修正当前解，接近真实解。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，可以更快地接近最优解。
然而，牛顿迭代法也存在一些问题，如需要计算和存储二阶导数信息、可能遇到奇点或发散问题等。
最后，我们来看共轭梯度法。
共轭梯度法是一种基于共轭方向的迭代修正方法，主要用于求解对称、正定线性方程组。
其基本思想是在每次迭代中选择一个共轭方向来修正解，直到满足停止准则。
共轭梯度法的优点是收敛速度快，能够在有限次迭代内获得精确解。
然而，共轭梯度法的应用范围受到限制，只适用于求解线性方程组。
综上所述，梯度下降法、牛顿迭代法和共轭梯度法都是常见的迭代修正方法，用于解决优化问题。
梯度下降法易于实现和理解，收敛速度较快，但容易陷入局部最优解；牛顿迭代法收敛速度快，可以更快地接近最优解，但需要计算和存储二阶导数信息；共轭梯度法收敛速度快，能够在有限次迭代内获得精确解，但只适用于求解线性方程组。
综合考虑问题的特点和要求，选择合适的迭代修正方法非常重要。
在实际应用中，通常需要对不同的迭代修正方法进行比较和选择，以获得更好的优化效果。
数值分析中的迭代算法优化
数值分析中的迭代算法优化迭代算法在数值分析中是一种重要的计算方法，它通过多次迭代逼近精确解。
然而，迭代算法可能存在收敛速度慢、数值稳定性差等问题，因此优化迭代算法成为了数值分析领域中的重要任务。
本文将介绍数值分析中的迭代算法优化方法，并探讨其在实际应用中的相关问题。
一、收敛速度优化在迭代算法中，收敛速度是指迭代过程中逼近精确解的速度。
如果迭代速度过慢，可能导致计算效率低下。
为了优化迭代算法的收敛速度，常采用以下方法：1.1 收敛性分析和收敛域了解迭代算法的收敛性和收敛域是优化的前提。
通过对迭代算法进行数学分析，可以推导出收敛性的条件和收敛域的范围，从而找到改进算法的方向。
1.2 初始值的选取初始值的选取对迭代算法的收敛速度有很大影响。
合理选择初始值可以使得算法更快地逼近精确解。
可以根据问题的特点，采用启发式方法或者试-and-error方法确定初始值。
1.3 采用加速技术加速技术是常用的迭代算法优化手段。
例如，牛顿迭代法可以通过引入牛顿步长进行加速；弦截法可以通过斜率信息进行修正。
通过引入加速技术，可以大大提高算法的收敛速度。
二、数值稳定性优化在迭代计算中，数值稳定性是指算法在计算过程中是否能够保持精度和稳定性。
数值稳定性差的迭代算法可能会导致计算结果产生误差，甚至发散。
优化数值稳定性的方法如下：2.1 优化算法表达式对于原有的迭代算法，可以通过数学变换、近似理论等方法优化算法表达式。
通过合理的数学变换，可以减少数值计算过程中的误差传播，提高算法的数值稳定性。
2.2 避免除零和取模运算在迭代算法中，除零和取模运算可能会引发数值不稳定性问题。
为了避免这些问题，可以在计算过程中进行条件判断，或者采用其他替代运算方法。
2.3使用高精度计算对于特别要求精度的迭代算法，可以考虑使用高精度计算方法，如多精度计算、符号计算等。
通过提高计算精度，可以减少舍入误差对算法结果的影响，提高数值稳定性。
三、并行计算优化随着计算机硬件的发展，采用并行计算技术对迭代算法进行优化已成为可行的方法。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
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∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) T 因此 ∇f ( x0 ) = , ,L, = B v. ∂x2 ∂xn ∂x1 其中v 其中 = (ξ1 , ξ2 , ... , ξn )T, 再令
w = Bx0 , z = BTv . 则有如下定理
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . 故 || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
使用l 范数是由于该范数计算简单. 易于计算, 使用 ∞范数是由于该范数计算简单 || A ||∞易于计算 给 出相对误差界的关键是估计|| 出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ .
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
|| A ||∞易于计算, 给出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ . 易于计算 给出相对误差界的关键是估计|| 方法一：求解Ay 方法一：求解 i = ei , i = 1, 2, … , n, 则 || A－1 ||∞= || Y ||∞ , 其中Y 从而Y 其中 = (y1 , y2 , … , yn). 事实上 AY = I , 从而 = A－1 , 故上式成立. 故上式成立 由于 A = LU 已计算, 故方程 Ayi = ei , i = 1, 2, … , n 容易 已计算 求解, 容易计算. 求解 也就是 Y 容易计算
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
|| A ||∞易于计算 给出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ . 易于计算, 给出相对误差界的关键是估计|| 即可. 因 || A－1 ||∞ = || A－T ||1 , 故令 B = A－T, 计算 || B ||1 即可 方法二：优化法(P68-70) 方法二：优化法 设 B = (bij)∈Rn×n, 计算 || B ||1 . 为此定义 ∈ ×
§2.5 计算解的精度估计和迭代改进 2.5.1 精度估计
^ 设用某种方法求解 Ax = b 得计算解 x , 令 r = b－Ax (残量 剩余量 残量, － ^ 残量 剩余量) 则r = Ax－Ax = A(x－x) . － ^ －^ 从而 || x－^ || = || A－1r || ≤ || A－1 || || r ||. －x 又|| b || = || Ax || ≤ || A || || x || , 即 || x ||∞≥ || b ||∞/|| A ||∞ ,
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x为初值 为初值, 这里 f (x) = Ax – b, ▽f (x) = A, 取^为初值 则 ^－ x = ^ – A－1(Ax－b). x ^ ^ 记r = b – Ax, z = A－1r, 则 x = x + z.
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n n
f ( x) = Bx 1 = ∑ ∑bij x j , D = {x ∈ R n : || x ||1 ≤ 1}.
i =1 j =1
是有界闭凸集D上的凸函数 则f (x)是有界闭凸集 上的凸函数 且 是有界闭凸集 上的凸函数, 求解maxx∈D f (x). 求||B||1 求解 ∈ 在凸集D上的最大值问题 上的最大值问题. 求||B||1的问题 凸函数 f 回 结束
设 x0
∈Rn 且
bij x(0) ≠ 0, i =1, 2,…, n. 令 || x0 ||1 = 1, 使得 ∑ j
n
ξi = sgn
则在 x0 附近有 f ( x) =
n
(∑
n
j =1
n
j =1 ij
bx
j
(0) j
).
T
∑∑ξ b x .
i =1 j =1 i ij
定理2.5.1】假定 B , x0 , v , w , z 如上所述 则有 如上所述, 【定理 】 (1) 若 ||z||∞≤ zTx0 , 则 || w ||1 = || Bx0 ||1 是 f (x) = || Bx ||1 在D 中的极大值; 中的极大值 (2) 若 || z ||∞> zTx0, 则 || Bej ||1 > || Bx0 ||1 , 其中 j 满足 | zj | = || z ||∞ . 证明: (1)在x0附近 f (x)是线性函数 故 是线性函数, 证明 在 附近, 是线性函数 f (x) = f (x0) +▽f (x0)T(x-x0). ▽ 对∀x∈D, 有 ∈ ▽f (x0)T(x-x0) = (BTv)T(x- x0) = zT(x- x0) = zTx- zTx0 ≤ ||z||∞ - zTx0 ≤ 0 即∀x∈D, f (x) ≤ f (x0). ∈
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~ (2) 取 x = sng (zj)ej , 则 ~ ~ ~ = f (x) ≥ f (x ) +▽f (x )T(x-x ) ||Bej||1 = ||Bx||1 ▽ 0 0 0 ~ = ||Bx0||1 + zTx - zTx0 = ||Bx0||1 + |zj| - zTx0 = ||Bx0||1 + ||z||∞ - zTx0 > ||Bx0||1 算法2.5.1(P70)优化法求 优化法求||B||1. 算法 优化法求 2.5.2 迭代改进 x 的精度太低, 可应用Newton迭代法改进 迭代法改进. 若计算解 ^ 的精度太低 可应用 迭代法改进 Newton法(切线法 求解 (x) = 0, 步骤 切线法)求解 步骤: 法 切线法 求解f 一维(n=1), 迭代公式 一维 x(k+1) = x(k) – f ’ (x(k))－1 f (x(k)), k = 0, 1, … . n维, 迭代公式 维 x(k+1) = x(k) – ▽f (x(k))－1 f (x(k)), k = 0, 1, … .