高中数学竞赛讲义_三角函数

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全国高中数学竞赛专题_三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向.则角为正角.若旋转方向为顺时针方向.则角为负角.若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分.每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L .则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内.把角α的顶点放在原点.始边与x 轴的正半轴重合.在角的终边上任意取一

个不同于原点的点P .设它的坐标为（x ,y ）.到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r

,余弦函数co s α=r x ,

正切函数tan α=

.余切函数cot α=y x .正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r

定理1 同角三角函数的基本关系式.倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1.co s α=αsec 1

；

商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =

；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2

α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，

广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。在全国高中数学竞赛中，三

角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。

首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。在直角三角形中，定义

了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可

以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。

接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。首先是奇偶性。

正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-

x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。

其次是周期性。正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即

sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即

tan(x+π)=tan(x)。最后是相关公式。三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另

外还有和差公式、积化和差公式等。

在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。

很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行

合理的转化和变形。这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要

通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。

此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。对于这些特

高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题

高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张）林国夫整理姓名__________班级_____________学号____________

常用的三角恒等公式

1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

高中数学竞赛指导（第四讲）

⾼中数学竞赛指导（第四讲）

第四讲三⾓函数性质及其应⽤

赛点直击

⼀、三⾓函数线及其应⽤

在单位圆中（如图所⽰），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α⾓与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在⼆三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则

sinα＝→

MP 的数量，cosα＝

→

OM 的数量

tanα＝→

AT 的数量，cotα＝

→

BS的数量y

由单位圆中函数线不难看出：

（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；

（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π2

) (实质为S ΔOPM ＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT )

⼆、三⾓函数值

1.三⾓函数的诱导公式(不列出，参照课本)

2.⼋个基本关系

平⽅关系：sin 2α＋cos 2α＝1, tan 2α＋1＝sec 2α, cot 2α＋1＝csc 2α .

商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos αsin α

. 倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1cos α

, cot α＝1tan α

. 三、三⾓函数的性质

1.正、余弦函数的有界性

2.三⾓函数的单调性

3.三⾓函数的奇偶性

4.三⾓函数的周期性

赛题解析

【例⼀】设x ∈[0,π]，试⽐较cos(sinx)与sin(cosx)的

⼤⼩.

解：令x ＝0,π2

,π，分别代⼊cos(sinx)和sin(cosx)，易得: cos(sinx)＞sin(cosx);

⼜当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π2

竞赛三角函数教案模板高中

一、教学目标

1. 知识与技能

（1）掌握三角函数的基本概念和性质；

（2）熟悉三角函数的图像和性质，能够进行图像分析；（3）熟练运用三角函数进行解题，提高解题速度和准确率。

2. 过程与方法

（1）通过探究和实验，培养学生对三角函数的兴趣；

（2）通过小组合作，提高学生的团队协作能力和沟通能力；（3）通过竞赛训练，提高学生的应试能力和心理素质。

3. 情感态度与价值观

（1）培养学生对数学的热爱和兴趣；

（2）培养学生勇于挑战、积极进取的精神；

（3）培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学重难点

1. 教学重点

（1）三角函数的基本概念和性质；

（2）三角函数的图像和性质；

（3）三角函数的应用和解题技巧。

2. 教学难点

（1）三角函数图像的绘制和分析；

（2）三角函数的复合函数和反三角函数；

（3）三角函数在实际问题中的应用。

三、教学过程

1. 导入新课

（1）回顾初中所学的三角函数知识；

（2）提出本节课的学习目标和要求。

2. 探究新知

（1）三角函数的基本概念和性质；

（2）三角函数的图像和性质；

（3）三角函数的应用和解题技巧。

3. 小组合作

（1）将学生分成若干小组，进行小组讨论；

（2）各小组选择一个典型问题进行探讨，分享解题思路；

（3）教师巡回指导，解答学生疑问。

4. 实践环节

（1）布置课后练习题，让学生独立完成；

（2）教师挑选部分题目进行讲解，分析解题思路；

（3）组织学生进行竞赛，提高解题速度和准确率。

5. 总结与反思

（1）回顾本节课所学内容，总结三角函数的基本概念、性质和应用；（2）分析学生在竞赛中的表现，找出不足之处；

新编高中数学竞赛用三角函数公式大全

三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，

正弦：r y =

αsin 余弦：r x =αcos 正切：x

=αtan 二、同角三角函数的基本关系式

商数关系：α

αcos sin tan =

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵

απ

、

απ

-2

、

απ+23、απ

-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (⋅+⋅=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+ β

αβ

αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (⋅+-=

- 五、二倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r

y ,余弦函数co s α=r x ,

正切函数tan α=

x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y

定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1

；

商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；

平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;

全国高中数学竞赛专题_三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一

个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=

,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y

x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1

；

商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2

α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;

高一数学竞赛第九讲三角函数化简和求值

第九讲三角函数式的恒等变形

1基本知识与基本方法

1.1基本知识介绍

①两角和与差的基本关系式

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

.tan tan 1tan tan )tan(β

αβ

αβα ±=

②和差化积与积化和差公式

)2cos(

)2sin(

2sin sin β

αβ

αβα-+=+,

2sin(2cos(2sin sin β

αβαβα-+=-

)2cos(2cos(2cos cos β

αβαβα-+=+

sin(2sin(2cos cos β

αβαβα-+-=-

[])sin()sin(21

cos sin βαβαβα-++=

[])sin()sin(21

sin cos βαβαβα--+=

[])cos()cos(21

cos cos βαβαβα-++=

[])cos()cos(2

sin sin βαβαβα--+-=

③倍角公式

αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= .tan 1tan 22tan 2α

α-=

④半角公式

⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin α2)cos 1(α-±

=, ⎪⎭

⎫

⎝⎛2c o s α2)c o s 1(α+±=, =⎪⎭

⎫

⎝⎛2tan α)cos 1()cos 1(αα+-±

=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+ ⑤辅助角公式

如果b a ,是实数且02

≠+b a ，则)s i n (c o s s i n 22ϕααα++=+b a b a ，

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。本文将从基

本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数

学竞赛中的应用。

首先，我们来了解一下基本概念。在直角三角形中，三角函数是指与

一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。其中，正弦函数（sin）、余

弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。它们分别表

示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。在解题时，我们常常

需要利用这些基本概念进行推导和计算。

其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。比如，角的加减关系公式：

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)

这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。此外，还

有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。熟记这些特殊

角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。

然后，我们要了解一些三角函数的性质。三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切

函数在一个周期内有无穷多个零点。

最后，我们来谈一谈解题方法。在解三角函数的题目时，我们首先要

根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。

高中数学竞赛基本知识集锦

一、三角函数常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式

2cos 12

sin

-±

= 2

cos 12

cos

+±

= α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=-=+-±

积化和差

()()[]βαβαβα-++=sin sin 2

cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2

sin cos ()()[]βαβαβα-++=

cos cos 2

cos cos ()()[]βαβαβα--+-

=cos cos 2

sin sin 和差化积

cos 2

sin 2sin sin β

αβ

αβα-+=+

2sin

2cos

2sin sin β

αβ

αβα-+=-

cos

2cos cos β

αβ

αβα-+=+

sin

2cos cos β

αβ

αβα-+-=-

万能公式

α2tan 1tan 22sin +=

αα

α22tan 1tan 12cos +-=

α2

tan 1tan 22tan -=

三倍角公式

()()

αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()

αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3

二、某些特殊角的三角函数值除了课本中的以外，还有一些

高中数学竞赛第六章三角函数【讲义】

第六章三角函数

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

L ,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正

弦函数s in α=

r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x

，余切函数cot α=y x ，正割函数se c

α=x

,余割函数c s c α=.y r

定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α

sec 1

；

商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =

；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭

高中数学奥林匹克竞赛讲座 33三角函数

竞赛讲座33

－三角函数

几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.

1．角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：

（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.

(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.

例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）

（A）锐角（B）钝角（C）直角

分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.

解当A=90°时，sinA和cosA=1；

当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，

∴sinA+cosA＞

当A=45°时，sinA+cosA=

当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞

∴sinA+cosA＞

∵1, 都大于.

∴淘汰（A）、（C），选（B）.

例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）

（A）-1 （B）2-（C）-1

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一、角度公式

1.正弦函数公式：

在直角三角形中，对于角A的正弦函数，有sin A = 对边 / 斜边。

2.余弦函数公式：

在直角三角形中，对于角A的余弦函数，有cos A = 邻边 / 斜边。

3.正切函数公式：

在直角三角形中，对于角A的正切函数，有tan A = 对边 / 邻边。

4.余切函数公式：

在直角三角形中，对于角A的余切函数，有cot A = 邻边 / 对边。

5.正割函数公式：

在直角三角形中，对于角A的正割函数，有sec A = 斜边 / 邻边。

6.余割函数公式：

在直角三角形中，对于角A的余割函数，有csc A = 斜边 / 对边。

7.反三角函数公式：

反正弦函数：sin^(-1)(x) = A，其中A 为限定在[-π/2, π/2]的角。

反余弦函数：cos^(-1)(x) = A，其中A 为限定在[0,π]的角。

反正切函数：tan^(-1)(x) = A，其中A 为限定在[-π/2, π/2]的角。

二、和角差角公式

1.用角度的和角公式去证明三角恒等式：

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

co s(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)。

2.用角度的差角公式去证明三角恒等式：

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=

,其中r 是圆的半径。定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r

y ,余弦函数co s α=r x ,

正切函数tan α=

x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y

定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1

；

商数关系：tan α=α

αααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；

平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;

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三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角α的终边上任取．．

一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x

y =αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan =

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式

⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ

+2、απ

-2、απ+23、απ-2

3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

四、和角公式和差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=

+ β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*

αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

高中数学竞赛讲义_三角函数

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