分析05-插值法(上)

f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x) (n 1)! f ( n 1) ( ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x n ) (n 1)!
定理5.1 设x0, x1,…, xn是区间[a, b]上的互异节点，n(x)是过 这组节点的n次插值多项式。如果f (x)在[a, b]上n+1 次连续可导，则对[a,b]内任意点x，插值第五章 插值法 5-13
W
插值多项式的存在性和唯一性（续）
1 1 1 x0 x1 xn
2 x0 x12
Y

n
n x0 x1n
2 xn
n xn
i 1
1：插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的
插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不 同形式的插值多项式，但它们之间一定可以相互转化， 一定会相同，当然误差也一样。 2：n +1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若>n 次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,…,an, an+1 需确定，而n +1个组节点，只构成n +1个插值条 件，即 构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。 3：上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以 通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计 算量偏大，计算步骤较多，容易使舍入误差增大。因此 实际计算中不采用这种方法，而用下面介绍的几种常用 的方法。
第五章 插值法
W Y
第五章
插值法
（上）
5-1
第五章目录
1.1 插值多项式的存在性和唯一性 1.2 插值多项式的误差估计 1.3 Lagrange插值多项式
§1 拉格朗日（Lagrange）插值
§2 牛顿（Newton）插值
2.1 2.2 2.3 2.4 差商 Newton插值方式 差分 差距节点的插项公式
第五章 插值法
W Y
§3 Hermite插值
3.1 Hermite插值 3.2 误差估计 3.3 Hermite插值的一般方式
§4 多项式插值的缺陷
4.1 多项式插值的缺陷 4.2 分段多项式插值
§5 样条函数
5.1 样条函数的概念 5.2 三次样条函数
5-2
函数常被用来描述客观事物变化的内在规律——数量 关系，如宇宙中天体的运行，地球上某地区平均气温的 变化等等，但在生产和科研实践中碰到的大量的函数中， 不仅仅是用解析表达式表示的函数，还经常用数表和图 形来表示函数，其中函数的数表形式在实际问题中应用 广泛，主要原因是有相当一部分函数是通过实验或观测 得到的一些数据，这些数据只是某些离散点 xi 上的值（ 包括函数值f (xi)，导数值f (xi)等,i = 0,1,2,…,n),虽然其函 数关系是客观存在的，但却不知道具体的解析表达式， 因此不便于分析研究这类数表函数的性质，也不能直接 得出其它未列出点的函数值，我们希望能对这样的函数 用比较简单的表达式近似地给出整体的描述。
f ( n1) ( ) Rn ( x) f ( x) n ( x) n1 ( x) ξ (a,b) (5 - 4) (n 1)!
观察插值多项式的余项公式，容易看出它与台劳（Taylor） 余项有相似之外。事实上，插值余项（5-4）的导出过程与 Taylor余项的导出也类似。这并不偶然，因为两者都是研 究用多项式近似一个函数的误差。只是Taylor多项式要求 在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式则要求在个不 同点上函数值相等。
第五章 插值法 5-3
W
插值法概述
Y
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可通过精密观测仪器在不同的时间ti(i = 1,2,…)观测到行 星所在位置S(ti)，无论花费多少人力物力，所得到的只 是一批离散数据(ti,S(ti)),i=1,2,…)，而行星是在作连续运 动，它在任一时间t（与ti不同）的位置S(t)，我们只能再 去通过观测得到，插值逼近是利用这组离散数据(ti,S(ti)) 构造一个简单的便于计算的近似函数（解析表达式）， 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。 又如：据资料记载，某地区每隔10年进行一次人口普查， 自1930年到1990年的统计结果如下：
n ( xi ) f ( xi ) yi
1.1 插值多项式的存在性和唯一性
插值中，首先要解决的问题是：满足插值条件（5-2） 的插值多次式n(x)是否存在？如果存在，是否唯一？n次 多项式n(x)有n +1个待定系数，利用给出的n+1个不同的 节点x0, x1, …, xn，由插值条件（5-2）可得关于系数 a0,a1,…,an的n +1个方程 ：
积分I是很困难的，构造近似函数使积分容易计算，并且 5-5 第五章 插值法 使之离散化能上机计算求出积分I，都要用到插值逼近。
W Y
插值法概述（续2）
a
解决上述问题的方法有两类：一类是对于一组离 散点(xi,f (xi)) (i = 0,1,2,…,n)，选定一个便于计算的函 数形式(x)，如多项式，分段线性函数，有理式，三 角函数等，要求(x)通过点(xi)=f (xi) (i = 0,12,…,n), 由此确定函数(x)作为f (x)的近似。这就是插值法。 另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点 上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。 本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 5-6 第五章 插值法 等运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项式。
5-12
其系数行列式 ：
det (A)
为范德蒙(Vandermon 行列式, det(A) ( xi x j ), de)
i 1 j 0
当x0 , x1 , , xn互不相同时 行列式值不为 方程组的解 , 0 存在且唯一, 这表明, 只要n 1个节点互不相同 满足插值 , 条件(5 2)的插值多项式唯一存在 。
其中 n1 (t )
第五章 插值法
W
1.2 插值多项式的误差估计
Y
Rn ( x) (t ) f (t ) n (t ) n1 (t ) n1 ( x)
(5 - 3)
(t x )
j j 0
n
显然 :
Rn ( x) ( x) f ( x) n ( x) n1 ( x) 0 n1 ( x) 5-15
又由插值条件（5-2），Rn(xi) = 0 (i=0,1,…,n)，故函数(t) 在区间[a,b]内至少有n+2个零点x,x0,x1,…,xn。由罗尔 （Rolle）中值定理，函数 t 在(a, b)内至少有n +1个 零点。反复使用Rolle中值定理，可以得出： Rn ( x) ( n 1) ( n 1) ( n 1) ( (t ) f (t ) n (t ) nn1) (t ) 1 n1 ( x)
第五章 插值法 5-14
W
关于唯一性证明的几点说明
Y
插值多项式与被插函数之间的差： n ( x) f ( x) n ( x) R 称为截断误差，又称为插值余项。
假定f (x)在区间[a,b]上n +1次连续可导，对[a,b]上任意点x， 且x xi(i=0,1,…,n)，构造辅助函数：
在（a, b）内至少有一个零点，设为，即：
因为n(t)为至多n次多项， n+1(t)为最高次项系数为1的 n +1次多项式，因而：
第五章 插值法
W
插值多项式的误差估计（续）
Y
( n 1)
( ) 0

( n 1) (t ) n
0,
( n 1) n 1 (t )
(n 1)!
5-16
于是有：
所以：
当x = xi (i=0,1,…,n)，时，上式自然成立，因此，上式对 [a,b]上的任意点都成立。这就是插值多项式的误差估计。
第五章 插值法 5-17
W
插值多项式的误差估计（续）
Y

( n 1)
( ) f
( n 1)
Rn ( x) ( ) (n 1)! 0 n 1 ( x)
W
代数插值
Y
用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值，其 基本问题是： 已知函数f (x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0,x1,…,xn处的 函数值yi = f (xi) (i=0,1,…,n),求一个次数不超过n的多项式：
n ( x) ao a1x an x
使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件：
n ( xi ) f ( xi ) yi
n(x)称为插值多项式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点， [a,b]称为插值区间。
第五章 插值法 5-7
W
代数插值（续1）
Y
n
(5 -1)
( 5 - 2)
(i 0,1,2,, n)
代数插值（续2） 从几何上看（如图5-1所示），n次多项式插值就是 过n+1个点yi = f (xi)(i=0,1,…,n)，作一条多项式曲线 y = (x)近似曲线y = f (x) :
W
代数插值应用举例
Y
插值用于数码相机增加图像的分辩率：
如果要将一幅数码图像放大，也就是使 其具有更多的像素，而多出来的像素原本 是不存在的,需要根据周围像素的色值计算 出来，这个计算的过程即为插值。