2018年5月高考前数学回归教材,查缺补漏(保分法宝)

2018年5月高考前数学回归教材，查缺补漏（保分法宝）1．集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． [回扣问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________．(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)答案 等腰三角形2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． [回扣问题2] 集合A ＝{x |x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝________． 答案 ∅3．遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况．[回扣问题3] 集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a ＝________． 答案 0，1，124．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，2n －1，2n －1，2n －2. [回扣问题4] 满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 有________个．答案 75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[回扣问题5] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于________． 答案 [0，＋∞)6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．[回扣问题6] 已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________． 答案 否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ； 命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7．在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”．[回扣问题7] 若“x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1”的否命题是______________________________． 答案 若x 2－3x －4≤0，则－1≤x ≤48．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题8] 设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件． 答案 充分不必要9．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是_________________________________________________________．解析 不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎨⎧≤≤0)3(0)1(f f 解得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,1-，则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，32答案 (－∞，－1)∪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，3210．复合命题真假的判断．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”． [回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； (2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； (3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件； (4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件． 其中正确的是________．答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多．[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个．答案 8 62．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域．[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________．答案 [1，3]3．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等． [回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x )＝－15x ，则f (x )＝________．答案 x ＋4x4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0－tan x ，0≤x ＜π2，则f (f (π4))＝________．答案 －2 5．函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |); f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系．[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式．答案f (x )＝⎩⎨⎧x （1＋x ）＋1，x ＞00，x ＝0－x 2＋x －1，x ＜06．函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得： ①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； ②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a .[回扣问题6] 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______． 答案 －0.5 7．函数的单调性①定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数；②导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件． ③复合函数由同增异减的判定法则来判定．④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [回扣问题7] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调递增区间是________． 答案 (－∞，－1)，(1，＋∞) 8．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可导函数； (5)换元法(特别注意新元的范围)； (6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域． [回扣问题8] 函数y ＝2x 2x ＋1(x ≥0)的值域为________． 答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,219．常见的图象变换 (1)平移变换①函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位得到的． ②函数y ＝f (x )＋a 的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位得到的． (2)伸缩变换①函数y ＝f (ax )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴伸缩为原来的1a 得到的． ②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的． (3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； ②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[回扣问题9] 要得到y ＝lg x ＋310的图象，只需将y ＝lg x 的图象________． 答案 向左平移3个单位，再向下平移1个单位 10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[回扣问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．答案 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞41-，11．指、对数函数(1)对数运算性质已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0. 则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a MN ＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ， 对数换底公式：log a N ＝log b Nlog ba .推论：log am N n ＝n m log a N ；log a b ＝1log b a .(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0，1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)． [回扣问题11] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 a ＞b ＞c 12．幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数为幂函数． (1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0，1)外的直线．③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的． ④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．[回扣问题12] 函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=21)(21的零点个数为________． 答案 113．函数与方程(1)函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． (2)y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a )f (b )＜0，那么f (x )在(a ，b )内至少有一个零点，即至少存在一个x 0∈(a ，b )使f (x 0)＝0.这个x 0也就是方程f (x )＝0的根． (3)用二分法求函数零点[回扣问题13] (判断题)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是(－1，0)．( ) 答案 √ 14．导数的几何意义和物理意义(1)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)v ＝s ′(t )表示t 时刻即时速度，a ＝v ′(t )表示t 时刻加速度． 注意：过某点的切线不一定只有一条．[回扣问题14] 已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，则此切线的方程是________． 答案 3x ＋y ＝0或24x －y －54＝015．利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )＜0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常数．注意：如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[回扣问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0，得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0，∴a ＝13符合题意．答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，3116．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． [回扣问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________．答案 x ＝13.三角函数与平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为______．答案 －15 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题2] ⎭⎝3．三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )； y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．(4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．[回扣问题3] 函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-πx 的递减区间是________．答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k (k ∈Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2 tan α 1－tan 2α. [回扣问题4] cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝________．答案 －28755．在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β， 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ α＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα－π4.[回扣问题5] 已知α，β∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43，sin(α＋β)＝－35，in ⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ＝1213，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝________．答案 －5665 6．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍，在△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[回扣问题6] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________． 答案 27．有关三角形的常见结论(1)面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B . (2)内切圆半径 r ＝2S ΔABC a ＋b ＋c.(3)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B . [回扣问题7] △ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________．答案 －1665 8．平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →.(2)向量满足三角形不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0，λa ＝0. (4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．[回扣问题8] 已知a ＝(4，2)，与a 共线的单位向量为________．答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55552，或⎪⎪⎭⎫⎝⎛55-552-， 9．向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a ，b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，特别地，a 2＝a ·a ＝|a |2，|a |＝a 2；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a ，b 不同向．a ·b ＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a ，b 不反向；a ·b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件； (3)|a ·b |≤|a ||b |.[回扣问题9] 已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案 ⎪⎭⎫⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，，3131034--10．向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ＝a ·b|a |.[回扣问题10] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________．答案 125 11．几个向量常用结论：①PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|PA→|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心． [回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______．答案 直角三角形4．数列、不等式1．等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d .[回扣问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝49，a 4和a 8的等差中项为11，则a n ＝________，S n ＝______________．答案 2n －1 n 2 2．等差数列的性质(1)当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差d ＞0，则为递增等差数列；若公差d ＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． (3)当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8＝________．答案 433．等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n －1或a n ＝a m q n －m .(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A ＞B . [回扣问题3] 已知等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，求a 1与q . 答案 a 1＝32，q ＝1或a 1＝6，q ＝－12 4．等比数列的性质(1)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n b n }也是等比数列；(2)若数列{a n }为等比数列，则数列{a n }可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列； (3)等比数列中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m a n ＝a p a q ；[回扣问题4] 在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________． 答案 5125．数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加．关键找通项结构． (1)分组法求数列的和：如a n ＝2n ＋3n ；(2)错位相减法求和：如a n ＝(2n －1)2n ；(3)裂项法求和：如求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n；(4)倒序相加法求和．[回扣问题5] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }前n 项和，则S 21的值为________．答案 92 6．求数列通项常见方法(1)已知数列的前n 项和S n ，求通项a n ，可利用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.由S n 求a n 时，易忽略n＝1的情况．(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )可采用累加求和法，例如{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，求a n ； (3)形如a n ＋1＝ca n ＋d 可采用构造法，例如a 1＝1，a n ＝3a n －1＋2，求a n .(4)归纳法，例如已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，求S n ，a n .[回扣问题6] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________． 答案 ⎩⎨⎧2，n ＝12n －1，n ≥27．不等式的基本性质(1)a ＞b ⇔b ＜a ； (2)a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ； (3)a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ； (4)若c ＞0，则a ＞b ⇔ac ＞bc ； 若c ＜0，则a ＞b ⇔ac ＜bc ； (5)若a ＞0，b ＞0，则a ＞b ⇔a n ＞b n (n ∈N *，n ≥2)[回扣问题7] 已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的取值范围是________．答案 [1，7] 8．解不等式包括一元一次不等式，一元二次不等式，分式不等式和含绝对值的不等式等． 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [回扣问题8] 不等式－1＜1x ＜1的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 9．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b ＞0) (1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ∈R ＋)．(2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [回扣问题9] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________． 答案 910．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[回扣问题10]已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求：①可行域所在区域面积________； ②z ＝x ＋2y 的最大值________；③z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值________． ④z ＝y ＋1x ＋1的范围是________； ⑤z ＝ax ＋y 仅在C (3，1)处取最小值，求a 的范围______． 答案 ①12 ②25 ③92 ④[12，2] ⑤(－2，1)5.立体几何1．空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱( ) ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．( )③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱．( )④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．( ) 答案 ①× ②× ③√ ④× 2．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)． (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)， S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)． (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)． (6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[回扣问题2] 棱长为a 的正四面体的体积为________，其外接球的表面积为________． 答案 212a 3 32πa 23．空间点、线、面的位置关系 (1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a ⊂α，a ∩α＝A (a ⊄α)，a ∥α (4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a[回扣问题3] 判断下列命题是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“×”． ①梯形可以确定一个平面．( )②圆心和圆上两点可以确定一个平面．( )③已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d .( ) ④两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线．( )⑤若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( ) 答案 ①√ ②× ③√ ④× ⑤×4．空间的平行关系(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α； (2)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ； (3)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b . [回扣问题4] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． ①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面．( ) ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行．( ) ③如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( )④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 ①× ②× ③× ④√ 5．空间的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α；⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (2)面面垂直：二面角90°；⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β； (3)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [回扣问题5] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是________．答案 16．三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底．[回扣问题6] 过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC . (1)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点． (2)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．(3)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心． (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心． 答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内6.解析几何1．直线的倾斜角α与斜率k (1)倾斜角α的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )．[回扣问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π2．直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线． (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线． (4)截距式：x a ＋yb ＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[回扣问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[回扣问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________．答案 1710 4．两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[回扣问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时，l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－13 5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[回扣问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________．答案 －16．直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d ＜r ⇔相交；d ＞r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，且r 1＞r 2，则①当O 1O 2＞r 1＋r 2时，两圆外离；②当O 1O 2＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当r 1－r 2＜O 1O 2＜r 1＋r 2时，两圆相交；④当O 1O 2＝r 1－r 2时，两圆内切；⑤当0≤O 1O 2＜r 1－r 2时，两圆内含．若两圆相交把两圆x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋C 1＝0与x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋C 2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(C 1－C 2)＝0.[回扣问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．答案 内切7．对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．[回扣问题7] 方程（x ＋3）2＋y 2＋（x －3）2＋y 2＝6表示的曲线是________． 答案 线段y ＝0(－3≤x ≤3)8．求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． (2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．[回扣问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为________． 答案 4x 29－y 24＝19．(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系．有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]. [回扣问题9] (判断题)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( )答案 ×7.概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[回扣问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭，在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.答案 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[回扣问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x－)2]．(2)简化计算公式s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx－2]，或写成s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[回扣问题3]已知一个样本中的数据为0.12，0.15，0.13，0.15，0.14，0.17，0.15，0.16，0.13，0.14则该样本的众数、中位数分别是________．答案0.15，0.1454．互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(1)公式适合范围：事件A与B互斥．(2)P(A－)＝1－P(A)．[回扣问题4]抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________．答案235．古典概型P(A)＝mn(其中，n为一次试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数)．[回扣问题5]若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________．答案1 126．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的度量D的度量.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[回扣问题6]在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是________．解析根据几何概型的概率公式求解．“S1＞2S2”即“AP＞2PB”，故所求概率为1 3.答案1 3。