第一章 习题课 平抛运动规律的应用

习题课平抛运动规律的应用学习目标核心凝炼1.理解平抛运动的两条推论，并能应用其解决有关问题。

2条推论——速度方向与位移方向的关系、平抛物体速度反向延长线的特点1种题型——斜面上的平抛运动问题1种科学思维——运动的合成与分解的迁移应用2.能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问题。

3.能准确把握平抛运动中涉及的方向问题。

与斜面结合的平抛运动问题[观察探究]如图1所示是跳台滑雪的情景，跳台滑雪是勇敢者的运动。

在利用山势特别建造的跳台上，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后从A点水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。

观察示意图，请思考：图1(1)无论运动员着陆点在斜坡上的哪个位置，根据斜坡倾角θ可以直接确定的是运动员的位移方向还是运动员的速度方向？(2)运动员从斜面上水平飞出，到运动员再次落到斜面上，他的竖直分位移y、水平分位移x与斜坡倾角θ之间有什么关系？答案(1)位移的方向(2)yx＝tan θ[探究归纳][例1] 如图2所示，从倾角为θ的斜面上的A 点，以速度v 0水平抛出一个小球，不计空气阻力，它落在斜面上的B 点。

则：图2(1)小球在空中的飞行时间是多少？ (2)B 点与A 点的距离是多少？ (3)小球何时离斜面最远？ 【思路探究】(1)在顺着斜面抛的问题中，斜面倾角θ的正切值与水平分位移x 、竖直分位移y 有什么关系？(2)抛物线离斜面最远时，抛物线的切线方向与斜面方向有什么关系？ 解析 (1)设A 、B 间距离为l ，小球在空中飞行时间为t ，则l sin θ＝12gt 2① l cos θ＝v 0t ② 由①②式得t ＝2v 0tan θg ③(2)将③式代入②式有l cos θ＝v 02v 0tan θg ， 得出：l ＝2v 20tan θg cos θ。

(3)当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远。

此时，小球的速度方向与水平方向间的夹角为θ，如图所示，有tan θ＝v y ′v x＝gt ′v 0所以t ′＝v 0tan θg答案 (1)2v 0tan θg (2)2v 20tan θg cos θ (3)v 0tan θg解答平抛运动与斜面结合问题的思维方法(1)分析平抛运动，采用“化曲为直”的思想，将合运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，利用平行四边形定则进行求解。

(2)与斜面联系时，要充分利用与斜面的倾角的关系。

顺着斜面抛情景是分解位移，对着斜面抛情景是分解速度。

(3)从斜面上开始平抛又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面距离最远。

[针对训练1] 如图3所示，以9.8 m/s 的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g 取9.8 m/s 2)图3A.23 s B.223 s C. 3 sD.2 s解析 把平抛运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，抛出时只有水平初速度v 0，垂直地撞在斜面上时，既有水平方向的分速度v 0，又有竖直方向的分速度v y 。

物体速度的竖直分量确定后，即可求出物体飞行的时间。

如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有tan 30°＝v 0v y，v y ＝gt ，解两式得t ＝v yg ＝3v 0g ＝ 3 s ，故C 正确。

答案 C平抛运动的两个推论[观察探究]1.以初速度v 0水平抛出的物体，在t 时刻，速度v 与水平方向的夹角为θ，位移l 与水平方向的夹角为α。

两夹角情景及其正切值如下表所示。

则tan θ与tan α有什么关系？答案 tan α＝12 tan θ2.如图所示，作速度的反向延长线交x 轴于B 点。

(1)观察几何图形，则tan θ与B点的横坐标值x B、物体水平位移x A及竖直位移y A有什么关系？(2)结合“问题1”的结论，则B点位置与物体水平位移有什么关系？答案(1)tan θ＝y Ax A－x B(2)因为tan α＝y Ax A、tan θ＝y Ax A－x B及tan α＝12tan θ，得出x B＝12x A，可知B为此时水平位移的中点。

[探究归纳]1.推论一：速度方向与位移方向的关系某时刻速度、位移与初速度方向的夹角θ、α的关系为tan θ＝2tan α。

2.推论二：平抛物体速度反向延长线的特点平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

[试题案例][例2]如图4所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则()图4A.当v1>v2时，α1>α2B.当v1>v2时，α1<α2C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关【思路探究】(1)小球的位移与水平方向的夹角总是哪个角？(2)小球的速度方向与水平方向的夹角总是哪个角？解析小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角θ就是斜面倾角θ，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为(θ＋α)，如图所示。

因为tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0，tan(θ＋α)＝v yv x＝gtv0，故可得tan(θ＋α)＝2tan θ。

无论平抛的初速度是多大，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是(θ＋α)，所以速度方向与斜面的夹角α就总是不变的，与v1、v2的关系无关，故C正确。

答案 C[针对训练2](2018·贵州思南中学高一下期中)一水平抛出的小球落到一倾角θ＝30°的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示。

小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为()图5 A.1 B.2 3C.3D.3 2解析小球撞在斜面上，速度方向与斜面垂直，速度方向与水平方向夹角为60°，其正切值满足tan 60°＝v yv0，即3＝gtv0。

设小球位移与水平方向的夹角为α，结合推论有tan 60°＝2tan α，所以竖直位移与水平位移的比值tan α＝12gt2v0t＝gt2v0＝12tan 60°＝32，故D 正确。

答案 D平抛运动与其他运动形式的综合[探究归纳]平抛运动与其他运动形式(如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动等)的综合题目的分析中要注意平抛运动与其他运动过程在时间上、位移上、速度上的相关分析。

[试题案例][例3] 如图6所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2。

(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：图6(1)小球水平抛出的初速度v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x 。

【思路探究】(1) 已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，则小球做平抛运动的时间为多少？ (2)小球在斜面顶端时，速度与水平方向的夹角为多大？解析 (1)小球从平台运动到斜面顶端的过程中做平抛运动，由平抛运动规律有 h ＝12gt 2， 得出t ＝0.4 s ，竖直分速度v y ＝gt ＝4.0 m/s小球在斜面顶端时，对速度进行分解，有v y ＝v 0tan 53°，得出v 0＝3 m/s ， (2)水平分位移x ＝v 0t ， 代入数据解得x ＝1.2 m 。

答案 (1)3 m/s (2)1.2 m[针对训练3] 如图7所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α。

一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道。

已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )图7A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α解析 如图所示，对速度进行分解，v y ＝v 0tan α；小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg ，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg ，故选项A 正确。

答案 A1.(平抛运动的规律)(2018·贵州思南中学高一下期中)(多选)以初速度v 0水平抛出一物体，当它的竖直分位移与水平分位移相等时( ) A.竖直分速度等于水平速度 B.瞬时速度等于2v 0 C.运动的时间为2v 0gD.位移大小是22v 20g解析 因为平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由位移相等可知v 0t ＝12gt 2，解得t ＝2v 0g ，故C 正确；又由于v y ＝gt ＝2v 0，故A 错误；所以瞬时速度v t ＝v 2x ＋v 2y ＝5v 0，故B 错误；位移大小l ＝x 2＋y 2＝2v 0t ＝22v 20g ，故D 正确。

答案 CD2.(与斜面结合的平抛运动)(2018·蚌埠二中高一下期中)如图8所示，从倾角为θ的斜面上的A 点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，重力加速度为g ，它落到斜面上B 点所用的时间为( )图8A.2v 0sin θg B.2v 0tan θg C.v 0sin θgD.v 0tan θg解析 设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x ＝v 0t ，y ＝12gt 2。

由几何关系知tan θ＝y x ＝12gt2v 0t ＝gt2v 0，所以小球的运动时间为t ＝2v 0g tan θ，选项B 正确。

答案 B3.(平抛运动推论的应用)如图9所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，不计空气阻力，物体与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足( )图9A.tan φ＝sin θB.tan φ＝cos θC.tan φ＝tan θD.tan φ＝2tan θ解析 物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D 正确。

答案 D4.(与其他运动结合的平抛运动)如图10所示，在一次空地演习中，离地H 高处的飞机发射一颗炮弹，炮弹以水平速度v 1飞出，欲轰炸地面目标P ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v 2竖直向上发射炮弹进行拦截，设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离为s ，若拦截成功，不计空气阻力，则v 1、v 2的关系应满足( )图10A.v 1＝v 2B.v 1＝s H v 2C.v 1＝Hs v 2D.v 1＝H s v 2解析 当飞机发射的炮弹运动到拦截炮弹正上方时，满足s ＝v 1t ，h ＝12gt 2，此过程中拦截炮弹满足H －h ＝v 2t －12gt 2，即H ＝v 2t ＝v 2·s v 1，则v 1＝sH v 2，故选项B 正确。