一道可用拉格朗日乘数法求最值的题

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利用Lagrange乘数法求函数最值问题

利用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法求函数最值问题季佳佳(浙江省台州市仙居城峰中学㊀３１７３００)摘㊀要:近几年ꎬ在高考㊁高校自主招生以及各类数学竞赛中ꎬ多元函数的值域ꎬ不等式的最值问题ꎬ及其衍生问题在试题中频频出现ꎬ因其技巧性强㊁难度大㊁方法多㊁灵活多变而具有挑战性ꎬ考生面对该类问题解题思路狭窄ꎬ往往不知所措.教师在教学过程中试图寻找通法ꎬ而Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法是解决该类问题非常有效的方法ꎬ尽管涉及偏导数ꎬ但是对大多数高三学生不难理解.一般中学阶段求多元函数最值问题ꎬ最多涉及两个约束条件.本文通过Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的应用ꎬ对多元函数最值问题给出统一的ꎬ具有普适性的解答.关键词:偏导数ꎻ乘数法ꎻ函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００５４－０２㊀㊀已知约束条件Ｆｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬＧｘꎬｙꎬｚ()＝０{下ꎬ求ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)的极值时ꎬ我们可以构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数ꎬＬｘꎬｙꎬｚ()＝ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)－λＦｘꎬｙꎬｚ()－μＧｘꎬｙꎬｚ().由Ｌｘᶄ＝０ꎬＬｙᶄ＝０ꎬＬｚᶄ＝０ꎬìîíïïï结合Ｆｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬＧｘꎬｙꎬｚ()＝０ꎬ{解出(ｘꎬｙ)可能的极值点ꎬ其中ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)称为目标函数ꎬλꎬμ为Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数ꎬＬｘᶄꎬＬｙᶄꎬＬｚᶄ为Ｌａｇｒａｎｇｅ函数关于ｘꎬｙꎬｚ的偏导数(分别以ｘꎬｙꎬｚ为主元求得的导数ꎬ其它非主元视为常数).特别的ꎬ若在单约束条件Ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)＝０下ꎬ求ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)的极值时ꎬ只要构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌｘꎬｙꎬｚ()＝ｆ(ｘꎬｙꎬｚ)－λＦｘꎬｙꎬｚ()即可.㊀㊀一㊁单约束条件下的最值问题例１㊀(２０１１年浙江)㊀设ｘꎬｙ为实数ꎬ若４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１ꎬ则２ｘ＋ｙ的最大值.解㊀方法一因为１＝４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝(２ｘ＋ｙ)２－３２(２ｘ) ｙȡ(２ｘ＋ｙ)２－３２(２ｘ＋ｙ２)２得到１ȡ５８(２ｘ＋ｙ)２ꎬ所以－２１０５ɤ２ｘ＋ｙɤ２１０５.看到这类题ꎬ学生的第一反应是用基本不等式的知识去解决ꎬ这种思路是对的ꎬ但是用不等式的方法是有局限性的ꎬ如果碰到更复杂的问题ꎬ高中的知识就很难胜任 ꎬ这时ꎬ我们就可以看到Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的巨大威力.方法二㊀因为４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１ꎬ得４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ－１＝０.构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ｘꎬｙ)＝２ｘ＋ｙ－λ(４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ－１).由Ｌｘᶄ＝２－λ(８ｘ＋ｙ)＝０ꎬＬｙᶄ＝１－λ(２ｙ＋ｘ)＝０ꎬ{得ｙ＝２ｘ.由ｙ＝２ｘꎬ４ｘ２＋ｙ２＋ｘｙ＝１ꎬ{解得ｘ＝－１０１０ꎬｙ＝－１０５ꎬìîíïïïï或ｘ＝１０１０ꎬｙ＝１０５.ìîíïïïï所以２ｘ＋ｙ最大值为２１０５ꎬ最小值为－２１０５.例２㊀要设计一个容量为Ｖ的长方形无盖水箱ꎬ试问水箱的长ꎬ宽ꎬ高各等于多少时ꎬ其表面积最小?解㊀设水箱的长ꎬ宽ꎬ高分别为ｘꎬｙꎬｚꎬ则体积Ｖ＝ｘｙｚꎬ表面积Ｓ＝２ｘｚ＋２ｙｚ＋ｘｙ.构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ｘꎬｙꎬｚ)＝２ｘｚ＋２ｙｚ＋ｘｙ－λ(ｘｙｚ－Ｖ).由Ｌｘᶄ＝２ｚ＋ｙ－λｙｚ＝０ꎬＬｙᶄ＝２ｚ＋ｘ－λｘｚ＝０ꎬＬｚᶄ＝２ｘ＋２ｙ－λｘｙ＝０ꎬＶ＝ｘｙｚꎬìîíïïïï得ｘ＝３２Ｖꎬｙ＝３２Ｖꎬｚ＝１２３２Ｖ.ìîíïïïï所以表面积最小值Ｓ＝３３４Ｖ２.㊀㊀二㊁双约束条件下的最值问题例３㊀(２０１４年浙江)已知实数ａꎬｂꎬｃ满足ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ则ａ的最大值.解㊀由ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１ꎬ得ａ２＋ｂ２＋ｃ２－１＝０.构造Ｌａｇｒａｎｇｅ函数Ｌ(ａꎬｂꎬｃ)＝ａ－λ(ａ＋ｂ＋ｃ)－μ(ａ２＋ｂ２＋ｃ２－１).由Ｌａᶄ＝１－λ－２μａ＝０ꎬＬｂᶄ＝－λ－２μｂ＝０ꎬＬᶄｃ＝－λ－２μｃ＝０ꎬａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬａ２＋ｂ２＋ｃ２＝１.ìîíïïïïïï得ａ＝６３ꎬｂ＝ｃ＝－６６ꎬλ＝１３ꎬμ＝６６ꎬìîíïïïïïïïïïï或ａ＝－６３ꎬｂ＝ｃ＝６６ꎬλ＝１３ꎬμ＝－６６.ìîíïïïïïïïïïï所以ａ的最大值６３ꎬ最小值－６３.以上例子说明了Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法的巨大作用ꎬ它能有效回避不等式中复杂的思维过程和代数变形ꎬ对提高学生解题能力ꎬ树立学生学习数学的信心ꎬ拓宽学生思路ꎬ提高学生分析问题㊁解决问题的能力有很大帮助.㊀㊀参考文献:[１]华东师大数学系.数学分析(下册)[Ｍ].北京:高等数学出版社ꎬ１９９６.[２]沈晨ꎬ宋冬梅ꎬ刘珊.关于用Ｌａｇｒａｎｇｅ乘数法求函数最值的充分条件[Ｊ].河南科学ꎬ２０１２ꎬ３０(１):２４－２６.[责任编辑:李㊀璟]化归思想在高中数学解题过程中的应用张娟娟(福建省惠安第三中学㊀３６２１００)摘㊀要:高中数学知识难度大ꎬ且知识体系化程度较高ꎬ对学生有着较高层面的要求.数学解题时应用化归思想ꎬ有助于活跃学生思维ꎬ将各数学知识点联系起来ꎬ依据题目情况合适选用知识点.通过分析化归思想优势ꎬ探讨数学解题过程中应用化归思想的措施.关键词:数学解题ꎻ化归思想ꎻ具体应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００５５－０２㊀㊀一㊁高中数学解题时应用化归思想的必要性通过解决数学问题方式学习化归思想ꎬ也能让学生明白化归思想在数学解题中的作用.化归思想学习要依托学生知识掌握程度ꎬ整体角度把握数学知识ꎬ熟练掌握数学化归思想ꎬ这些都表明数学滑轨思想本质上就是利用现有知识解决数学问题ꎬ搭建合适的学习体系ꎬ简化解题过程并提升效率.高中数学课程学习实质上就是学习思想方法ꎬ整个数学学习过程充满化归思想的身影ꎬ从简单的四则运算到几何学习ꎬ一步步引导学生掌握化归思想ꎬ明白解题时不是非要选择与题目相关知识解答ꎬ只要是学习过的或。

条件极值拉格朗日乘数法

切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为

拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用(一)

拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用(一) 拉格朗日乘数法或者增广拉格朗日乘数法求条件极值问题在几何学中的应用什么是拉格朗日乘数法？拉格朗日乘数法是一种经典的优化方法，用于求解带有条件的多元函数的极值问题。

该方法在数学、物理、经济、工程等领域都有广泛的应用。

拉格朗日乘数法在几何学中的应用拉格朗日乘数法和增广拉格朗日乘数法在几何学中有着重要的应用。

举例来说，可以用拉格朗日乘数法来求解这样一个几何问题：在半径为 r 的圆中，如何放置一条不经过圆心的线段，使得这条线段的两个端点到圆心的距离之差为 d ？求解过程设点 P (x,y ) 为线段的中点，则线段的两个端点分别为 Q (x −a,y −b ) 和 R (x +a,y +b )，其中 a ，b 是常数。

则问题可以表示为：{(x −a )2+(y −b )2=(r −d )2(x +a )2+(y +b )2=(r +d )2 化简之后得到：ax +by =−12(a 2+b 2)−rd 这是一个标准的线性规划问题，可以用拉格朗日乘数法求解。

定义拉格朗日函数为：L (x,y,λ)=f (x,y )+λg (x,y )其中 f (x,y )=(x −a )2+(y −b )2，g (x,y )=(x +a )2+(y +b )2。

则拉格朗日函数为：L (x,y,λ)=(x −a )2+(y −b )2+λ[(x +a )2+(y +b )2−(r +d )2] 求偏导得：{ ∂L ∂x =2(x −a )+2λ(x +a )=0∂L ∂y=2(y −b )+2λ(y +b )=0∂L ∂λ=(x +a )2+(y +b )2−(r +d )2=0 解得：{ x =−12a 2+b 2r +d y =−12a 2+b 2r +d λ=−r −d r +d代入式子得到最终结果：{Q (−a 2+b 2r +d ,−a 2+b 2r +d )R (a 2+b 2r +d ,a 2+b 2r +d ) 结论通过拉格朗日乘数法，我们得到了一条线段的两个端点的坐标，使得这条线段的两个端点到圆心的距离之差为 d 。

条件极值拉格朗日乘数法例题

条件极值拉格朗日乘数法例题假设有一个函数 $f(x,y)=x^2+y^2$，同时有一个限制条件$g(x,y)=xy-1=0$，求在该约束条件下$f(x,y)$的最小值和最大值。

首先根据拉格朗日乘数法，可以得到如下的方程组：$$begin{cases}abla f(x,y)=lambdaabla g(x,y)g(x,y)=0end{cases}$$其中，$abla f(x,y)$ 和 $abla g(x,y)$ 分别是 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 的梯度向量。

对于本题来说，有：$$abla f(x,y) = begin{bmatrix} 2x 2y end{bmatrix}, qquad abla g(x,y) = begin{bmatrix} y x end{bmatrix}$$把上面的式子带入到拉格朗日方程组中可以得到：$$begin{cases}2x = lambda y2y = lambda xxy - 1 = 0end{cases}$$解这个方程组，我们可以得到两组解：$$begin{aligned}& (x, y, lambda) = (sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (-sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)& (x, y, lambda) = (-sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)end{aligned}$$接下来需要判断这些解的类型，即是极大值还是极小值。

为了方便起见，我们可以先计算函数 $f(x,y)$ 在条件$g(x,y)=0$ 下的取值范围。

根据限制条件 $g(x,y)=xy-1=0$，有$x=frac{1}{y}$，把它代入到函数 $f(x,y)$ 中可以得到：$$f(x,y) = left(frac{1}{y}ight)^2 + y^2 = frac{1}{y^2} + y^2$$由于 $yeq 0$，所以 $f(x,y)$ 的定义域为 $mathbb{R}-{0}$。

拉格朗日乘数法求极值例题

拉格朗日乘数法求极值例题拉格朗日乘数法是求解多元函数极值问题的一种常用方法，它被广泛应用于经济学、物理学等领域。

本文将通过一个例题来详细介绍拉格朗日乘数法的应用。

例题：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束条件$g(x,y)=x+y-1=0$ 下的最小值。

解析：首先，我们需要确定拉格朗日乘数法的基本思路。

其核心是将约束条件与目标函数合并成一个函数，再通过求导的方式求得该函数的极值点。

具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数设 $L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda g(x,y)$，其中$lambda$ 为拉格朗日乘数。

2.求解拉格朗日函数的偏导数$$begin{cases}frac{partial L}{partial x}=2x+lambda =0frac{partial L}{partial y}=2y+lambda =0frac{partial L}{partial lambda}=x+y-1=0end{cases}$$3.解方程组由上面的方程组可以解得 $x=frac{1}{2}$，$y=frac{1}{2}$，$lambda=-1$。

4.判断极值通过二阶导数判断可得，此时为函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值。

因此，该例题的最小值为$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$。

通过这个例题，我们可以看到拉格朗日乘数法的应用非常灵活，不仅可以求解二元函数的最值问题，还可以处理多元函数的极值问题。

而且，在实际问题中，拉格朗日乘数法常常被用于约束条件较为复杂的情况下，例如非线性约束条件或多个约束条件等。

总之，拉格朗日乘数法是一种非常实用的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用价值。

一道可用拉格朗日乘数法求最值的题

何时可用拉格朗日乘数法．．．．．．．求最值？题目:已知x y -=，求x y +的最小值．法一：变式:0x y +=,则有123x y +++=;m =n =，则有22333m n m n +=++；从而有223315()()222m n -+-=；再令32m θ-=，32n θ-，其中θ确保m n 、同时取非负数；则有32m θ=，32n θ=;所以2223152()3cos )22m n θθ+=⨯+++即9153)12)2244x y ππθθ++=++=+；当34πθ=-时，3x y ++取最小值12x y +取最小值9；检验：当34πθ=-时，33(022m θ===<,矛盾；不适合；故此路不通．．．．．．法二：与法一相同：变式：0x y +=≥，则有123x y +++=；m =n =，则有22333m n m n +=++；从而有223315()()222m n -+-=,(＊)其中有：0m ≥,0n ≥；它的图象是圆的一部分；又设22(1)(2)33t x y x y m n =+=+++-=+-；于是有223m n t +=+，(*＊）下面利用数形结合方法求最小值：画出图象如下：方程(*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；方程（**）是以原点为圆心,向外扩张的圆；当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，恰好在坐标轴上的点，而A 为 0)，（B 为(0,)；min 3213t ++=即min 9321t +;故x y +9321+ max max 3303293152t t +=+．数缺形时少直观．．．．．．．，形缺数时难入微．．．．．．．．此法数形结合,一目了然．法三：拉格朗日．．．．乘数法．（拉格朗日是法国的超一流的数学家，有空时百度一下看其事迹。

）首先举例说明一下如何使用新方法．题目:设长4m 的绳子围成长为x ，宽为y 的矩形，矩形最大面积为多少？步骤:1．相关条件：x 、y 永远满足：2x y +=，令(,)2g x y x y =+-，即(,)0g x y =恒成立；2．目标函数：所求的最大式子：(,)S f x y xy ==；3．构造拉格朗日函数．．．．．．：(,)(,)(,)F x y f x y ng x y =+； 4．求偏导数:（'(,)x F x y 代表函数(,)F x y 偏x 求导数，具体求导方法是视x 为变量，y 为常数即可) 一元函数中，有极值点'()0f x =，在这里,同样满足：'(,)0x F x y =,'(,)0y F x y =；再联立()g x 解出最大的,x y （因为此题有最大值,无最小值，解出的答案即可取，否则需要讨论）解:由题意可得：(,)2g x y x y =+-，(,)f x y xy =；(,)(,)(,)(2)F x y f x y ng x y xy n x y =+=++-；'(,)0x F x y y n =+=，'(,)0y F x y x n =+=；与(,)20g x y x y =+-=联立，解得1x y ==，由于只存在最大值，所以最大面积：1xy =．回到本题中．解:由题可得:(,)g x y x y =+-(,)f x y x y =+;(,)(F x y x y n x y =+++-；123'(,)1(1)02x n F x y n x -=+-+=,123'(,)1(2)02y n F x y n y -=+-+=; 即有231()2(1)n x n +=+，232()2(1)n y n +=+；此时，302(1)nn >+与(,)0g x y x y =+-联立,可得:233(1)(2)32()632(1)2(1)nnx y n n +++-⇒-⋅=++；解得:32(1)n n ==+,舍负，取32(1)nn =+所以2(1)(2)339x y x y +=+++-=-=+结合“法二”，发现求出来的是“最大值”!！！Why?？？道理很简单:多元求导数,最值是在“驻点"处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也! 可见：用拉格朗日乘数法．．．．．．．,所求得的是“驻点”处的最值．由法二的图象可知:最小值是在端点处取得的,而端点处是不可导的,故无法实施拉格朗日乘数法．．．．．．．，此意义一定要弄明白, 不能乱用方法诶．综合上述，本题解法二，是可能的方法,答案也就明确了．。

拉格朗日乘数法

设 L( x, y, z, ) 2(xy yz xz) (xyz V )
L x 2( y z) yz 0,
并令 L y 2( x z) L z 2( x y)
xz 0, 解得 x y z 3 V
xy 0,
L xyz V 0,
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体 .
3.求空间一点 ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0 的最短距离 .
D)
.
所以
C. 2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 (z z0 ) 2
1 2 ( A2 B 2 C 2 ) 4
Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2
故d
Ax0 By0 Cz0 D
为所求最短距离 .
A2 B 2 C 2
4.证明 : 在 n 个正数的和为定值条件 x1 x 2
x n a 下 ,这 n 个正数的乘积 x1x2 x n 的
解 : 由题意 , 相当于求 f (x, y, z) d 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 在条件
Ax By Cz D 0 下的最小值问题 .由几何学知 ,空间定点到平面的最短距离存在 .
设 L( x, y, z, ) f ( x, y, z) ( Ax By Cz D ) 且
k1
n
于是， f 在条件
x
2 k
k1
n
1
n
a 2 下的最大值为 a(
a
2 k
)
2
.
故
f
在条件
x
2 k
k1
k1
1 下的最大值为
0
sup a

拉格朗日乘数法的λ怎么求

拉格朗日乘数法的λ怎么求
在高考数学中，如何求解拉格朗日乘数法的λ是考试的重点和难点，今天，我们就来谈谈这个问题。

条件最值问题是高中数学一大类难题,常用的方法有代入消元后配凑均值不等式或三角换元等,需要一定的数学基础。

但有一个方法比较巧妙:利用拉格朗日乘数法“秒杀”条件最值问题,很多同学喜欢该方法却并不清楚其需要考虑边界点,导致时常因约束条件复杂而无法得出正确答案。

1条件最值问题定义
形如已知f(x,y)=0,求z=g(x,y)取值范围的问题,我们称之为条件最值问题。

2条件最值问题举例
已知x2+y2=1,(x≥0,y≥0),求f=x+xy+y取值范围。

解法：三角换元法
由题意知
解法二拉格朗日乘数法
(1)拉格朗日乘数法步骤概述
对于形如已知f(x,y)=0,求z=g(x,y)取值范围的问题,构造拉格朗日函数
该拉格朗日函数将x视作变量,y,λ视作常数对x进行求导,并令其导函数等于0;同理,分别对y,λ求导,得到三元方程组,解出对应的x,y,λ值。

其中,坐标(x,y)即为可能的极值点,对应的z=g(x,y)为可能的极值,但注意要验证边界点(很多同学不清楚这一点)。

(2)拉格朗日乘数法求解
由题意,该拉格朗日函数分别对x,y,λ求导,并令其导函数等于0,得
解方程组,注意到题中x≥0,y≥0,解得其可能的极值。

再往后有些同学就不会做了,对比前面三角换元求出的答案,显然最小值没有被求出,主要是该二元函数最小值恰好在已知条件的曲线边界上,对于边界点,拉格朗日乘数法无法求出,需要进行验证。

用拉格朗日乘数法求极值步骤

用拉格朗日乘数法求极值步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：拉格朗日乘数法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的极值问题。

在实际问题中，很多情况下都会存在一些条件限制，而拉格朗日乘数法正是针对这种情况而提出的一种解决方法。

下面我们将详细介绍使用拉格朗日乘数法求极值的步骤。

我们先来看一个简单的例子，假设我们要求函数f(x, y) = x^2 +y^2 在条件g(x, y) = x + y = 1下的最小值。

这个问题可以用如下的拉格朗日函数表示：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y) = x^2 + y^2 - λ(x + y - 1)λ为拉格朗日乘数。

接下来的步骤就是通过对L(x, y, λ) 求偏导数来确定函数f(x, y) 在条件g(x, y) 下的极值点。

步骤一：计算L(x, y, λ) 对x, y的偏导数，并令其等于0，即求解以下方程组：步骤二：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

在本例中，解方程组可得x = y = 1/2，λ = 1。

代入原函数f(x, y) = x^2 + y^2 可得最小值为1/2。

问题的解是f(x, y) = 1/2。

上面是一个简单的例子，下面我们将详细介绍拉格朗日乘数法求极值的一般步骤：步骤一：建立带有约束条件的拉格朗日函数。

假设我们要求函数f(x1, x2, ..., xn) 在条件g(x1, x2, ..., xn) = 0下的极值，那么其对应的拉格朗日函数为：步骤二：求解拉格朗日函数的梯度，令其等于零。

即求解以下方程组：∂L/∂x1 = ∂f/∂x1 - λ∂g/∂x1 = 0∂L/∂x2 = ∂f/∂x2 - λ∂g/∂x2 = 0...∂L/∂xn = ∂f/∂xn - λ∂g/∂xn = 0g(x1, x2, ..., xn) = 0步骤三：解方程组得到极值点，并判断是否为极值点。

解方程组可能有多个解，需要通过二阶导数判断哪一个是极值点。

条件极值拉格朗日乘数法

解构造拉格朗日函数，
F (x, y) x2 2 y2 (x2 y2 1)
则 Fx 2x 2x 0 Fy 4 y 2y 0
x2 y2 1 0
解得可能条件极值点为（0，1）（, 0，1）（, 1，0）（, 1，0）
计算出 f (0,1) f (0,1) 2, f (1,0) f (1,0) 1,
曲面上通过M 的一切曲线在点M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点M 的切平面.
切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
2 y
2z,2z
2 x,2 x
2
y 1,2,1
2 3,0,3 61,0,3
切线方程：
x1 y2 z1
1
0
1
法平面方程： x - z = 0
(Tangent plane and normal line of surface)
1 设曲面方程为
F(x, y, z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
0
z02 c2
1
0
y0
b， 3
z0
c 3
当切点坐标为 (a，b，c
)时,
333
四面体的体积最小Vmin
3 abc. 2
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
无条件极值
多元函数的最值
条件极值
拉格朗日乘数法
11.4 微分法在几何上的应用
(Applications of differential calculus in geometry)

用拉格朗日求最值例题解析

用拉格朗日求最值例题解析
拉格朗日乘子法是一种求解带有约束条件的优化问题的方法。

它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数中的惩罚项，从而将原问题转化为无约束的优化问题。

下面我们以一个简单的例题来解析使用拉格朗日乘子法求最值的过程。

假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2 的在约束条件g(x, y) = x + y - 1 = 0下的最小值。

首先，我们定义拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λ * g(x, y)，其中λ是拉格朗日乘子。

然后，我们要求L(x, y, λ)对x、y和λ的偏导数分别为0，即：
∂L/∂x = 2x + λ = 0，
∂L/∂y = 2y + λ = 0，
∂L/∂λ = x + y - 1 = 0。

解这个方程组可以得到x = -1/2，y = -1/2，λ = -1/2。

将x和y的值代入原函数f(x, y)中，可以得到f(-1/2, -1/2) = (-1/2)^2 + (-1/2)^2 = 1/2。

因此，在约束条件x + y - 1 = 0下，函数f(x, y)的最小值为1/2。

这就是使用拉格朗日乘子法求解带有约束条件的优化问题的过程。

通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件转化为目标函数中
的惩罚项，从而简化求解过程，得到最值。

用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值

用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值北京丰台二中㊀㊀１０００７１㊀㊀甘志国（特级教师）临沂大学附中㊀㊀２７６００５㊀㊀戴桂斌㊀㊀㊀㊀㊀１㊀凸函数的定义及性质凸函数的定义㊀当ｘɪ区间Ｉ时，若函数ｆ（ｘ）满足ｆᵡ（ｘ）ɤ（ȡ）０恒成立且ｆᵡ（ｘ）＝０的解集是孤立的点集，即ｆᶄ（ｘ）是减（增）函数，则ｆ（ｘ）是Ｉ上的上（下）凸函数．例如，ｆ（ｘ）＝ｘα（０＜α＜１，ｘ＞０），ｇ（ｘ）＝ｌｏｇａｘ（ａ＞１，ｘ＞０），ｈ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（０ɤｘɤπ）都是上凸函数．凸函数的性质１㊀函数ｆ（ｘ）是区间Ｉ上的上凸函数⇔函数－ｆ（ｘ）是区间Ｉ上的下凸函数．凸函数的性质２㊀（琴生不等式）若函数ｆ（ｘ）是区间Ｉ上的上（下）凸函数，则∀ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪＩ（ｎȡ２），总有ｆ１ｎðｎｉ＝１ｘｉæèçöø÷ȡ（ɤ）１ｎðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ），当且仅当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ时取等号．２㊀与凸函数有关的一类多元函数条件最值定理１㊀若ｆ（ｘ）是闭区间［ａ，ｂ］上的上凸函数，变量ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪ［ａ，ｂ］（ｎȡ２），且ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ＝定值ｓ（有ｎａɤｓɤｎｂ），则（１）ðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ɤｎｆｓｎæèçöø÷，当且仅当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ｓｎ时取等号．（２）ðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ȡｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúｆ（ａ）＋ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúæèçöø÷ｆ（ｂ）＋ｆｓ－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúａ－ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúæèçöø÷ｂæèçöø÷（ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúú表示不超过ｎｂ－ｓｂ－ａ的最大整数，下同），当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有（请注意这里的有并不是有且仅有的意思，而是至少有的意思，下同）ｎ－１个取ａ或ｂ时取等号，具体的情形是：①当ｎｂ－ｓｂ－ａ∉Ｎ时，当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúú个取ａ，ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúú个取ｂ，１个取ｓ－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúａ－ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúæèçöø÷ｂ时取等号；②当ｎｂ－ｓｂ－ａɪＮ时，当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ａ，ｎ－ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ｂ时取等号．定理２㊀若ｆ（ｘ）是闭区间［ａ，ｂ］上的下凸函数，变量ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪ［ａ，ｂ］（ｎȡ２），且ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ＝定值ｓ（有ｎａɤｓɤｎｂ），则（１）ðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ȡｎｆｓｎæèçöø÷，当且仅当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ｓｎ时取等号．（２）ðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）ɤｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúｆ（ａ）＋ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúæèçöø÷ｆ（ｂ）＋ｆｓ－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúａ－ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａéëêêùûúúæèçöø÷ｂæèçöø÷，当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎ－１个取ａ或ｂ时取等号，具体的情形与定理１（２）相同．由凸函数的性质２立得定理１（１），由凸函数的性质１及定理１立得定理２，所以下面只需证明定理１（２）．定理１（２）的证明㊀当ｓ＝ｎａ时，得ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ａ，可得欲证成立；当ｓ＝ｎｂ时，得ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ｂ，也可得欲证成立．下面再证当ｎａ＜ｓ＜ｎｂ时欲证成立．先用数学归纳法证明：若ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的上凸函数，变量ｘ１，ｘ２，，ｘｎɪ［ａ，ｂ］（ｎȡ２），且ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ＝定值ｓ（ｎａ＜ｓ＜ｎｂ），则当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎ－１个的值是ａ或ｂ时，ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）取到最小值．先证ｎ＝２时成立，即证：若ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的上凸函数，变量ｘ１，ｘ２满足ｘ１，ｘ２ɪ［ａ，ｂ］且ｘ１＋ｘ２＝定值ｓ（２ａ＜ｓ＜２ｂ），则当且仅当ｘ１ɪａ，ｂ{}或ｘ２ɪａ，ｂ{}时，ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）取到最小值．设Ｌ（ｘ１，ｘ２，λ）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋λ（ｘ１＋ｘ２－ｓ），由拉格朗日乘数法知，函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）的最小值点（ｘ∗１，ｘ∗２）在所给区域的边界上或满足ｆᶄ（ｘ∗１）＝ｆᶄ（ｘ∗２）＝－λ，ｘ∗１＋ｘ∗２＝ｓ．{４３㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第９期对于后者，由ｆᶄ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的减函数，得ｘ∗１＝ｘ∗２＝ｓ２，所以得最小值点（ｘ∗１，ｘ∗２）＝ｓ２，ｓ２æèçöø÷．而由定理１（１）知，函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）的最大值点是ｓ２，ｓ２æèçöø÷，所以函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）即ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｓ－ｘ１）的值域是单元素集．可得ｘ１能在某个区间上取值，所以０＝（ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｓ－ｘ１））ᶄ＝ｆᶄ（ｘ１）－ｆᶄ（ｓ－ｘ１），ｆᶄ（ｘ１）＝ｆᶄ（ｓ－ｘ１），ｘ１＝ｓ－ｘ１，ｘ１＝ｓ２，这与ｘ１能在某个区间上取值矛盾！所以前者成立，即ｘ∗１ɪａ，ｂ{}或ｘ∗２ɪａ，ｂ{}．得ｎ＝２时成立．假设ｎ＝ｋ（ｋȡ２）时成立，下证ｎ＝ｋ＋１时也成立．即证：若变量ｘ１，ｘ２，，ｘｋ＋１ɪ［ａ，ｂ］（ｋȡ２）且ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ＋１＝定值ｓ（有（ｋ＋１）ａ＜ｓ＜（ｋ＋１）ｂ），则当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘｋ＋１中有ｋ个的值是ａ或ｂ时，ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）取到最小值．设Ｌ（ｘ１，ｘ２，，ｘｋ＋１，λ）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）＋λ（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ＋１－ｓ），由拉格朗日乘数法知，函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）的最小值点（ｘ∗１，ｘ∗２，，ｘ∗ｋ＋１）在所给区域的边界上或满足ｆᶄ（ｘ∗１）＝ｆᶄ（ｘ∗２）＝＝ｆᶄ（ｘ∗ｋ＋１）＝λ，ｘ∗１＋ｘ∗２＋＋ｘ∗ｋ＋１＝ｓ．{对于后者，由ｆᶄ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的减函数，得ｘ∗１＝ｘ∗２＝＝ｘ∗ｋ＋１＝ｓｋ＋１．所以最小值点（ｘ∗１，ｘ∗２，，ｘ∗ｋ＋１）＝ｓｋ＋１，ｓｋ＋１，，ｓｋ＋１æèçöø÷．而由定理１（１）知，函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）的最大值点是ｓｋ＋１，ｓｋ＋１，，ｓｋ＋１æèçöø÷，所以函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）即ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ）＋ｆ（ｓ－ｘ１－ｘ２－－ｘｋ）的值域是单元素集．可得ｘ１，ｘ２，，ｘｋ均能在某个区间上取值，所以０＝（ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ）＋ｆ（ｓ－ｘ１－ｘ２－－ｘｋ））ᶄ＝ｆᶄ（ｘ１）－ｆᶄ（ｓ－ｘ１－ｘ２－－ｘｋ），ｘ１＝ｓ－ｘ１－ｘ２－－ｘｋ，ｘ１＋（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ）＝ｓ．同理，有ｘ１＋（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ）＝ｘ２＋（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ）＝＝ｘｋ＋（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｋ）＝ｓ，所以ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｋ＝ｓｋ＋１．这与ｘ１，ｘ２，，ｘｋ均能在某个区间上取值矛盾！所以前者成立，即ｘ∗１ɪ｛ａ，ｂ｝或ｘ∗２ɪ｛ａ，ｂ｝或或ｘ∗ｋ＋１ɪ｛ａ，ｂ｝．可不妨设ｘ∗ｋ＋１ɪ｛ａ，ｂ｝，得函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ＋１）取到最小值⇔函数ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｋ）取到最小值．再由假设ｎ＝ｋ（ｋȡ２）时成立可得ｎ＝ｋ＋１时也成立．下面再用已证的结论来证定理１（２）．当ðｎｉ＝１ｆ（ｘｉ）取最小值时，可设ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｍ（ｍ＝０，１，２，，ｎ－１）个取ａ，ｎ－１－ｍ个取ｂ，另１个取ｓ－ｍａ－（ｎ－１－ｍ）ｂ，所以ａɤｓ－ｍａ－（ｎ－１－ｍ）ｂɤｂ，ｎｂ－ｓｂ－ａ－１ɤｍɤｎｂ－ｓｂ－ａ（ｍ＝０，１，２，，ｎ－１），因为ｎａ＜ｓ＜ｎｂ（得０＜ｎｂ－ｓｂ－ａ＜ｎ），所以①显然成立，下证②成立．此时取等号的条件有两种情形：（ⅰ）得ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ａ，ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ｂ，另１个取ｓ－ｎｂ－ｓｂ－ａａ－ｎ－１－ｎｂ－ｓｂ－ａæèçöø÷ｂ＝ｂ即ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ａ，ｎ－ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ｂ．（ⅱ）得ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａ－１个取ａ，ｎ－ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ｂ，另１个取ｓ－ｎｂ－ｓｂ－ａ－１æèçöø÷ａ－ｎ－ｎｂ－ｓｂ－ａæèçöø÷ｂ＝ａ即ｘ１，ｘ２，，ｘｎ中有ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ａ，ｎ－ｎｂ－ｓｂ－ａ个取ｂ．欲证②成立．证毕．推论㊀设ｎ（ｎȡ２）个不小于ａ的变数ｘ１，ｘ２，，ｘｎ之和是定值ｐ（ｐ＞ｎａ）．（１）若函数ｆ（ｘ）（ｘȡａ）是上凸函数，则ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）的取值范围是（ｎ－１）ｆ（ａ）＋ｆ（ｐ－（ｎ－１）ａ），ｎｆｐｎæèçöø÷éëêêùûúú（当且仅当某ｎ－１个ｘｉ＝ａ（ｉ＝１，２，，ｎ）时ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）＝（ｎ－１）ｆ（ａ）＋ｆ（ｐ－（ｎ－１）ａ）；当且仅当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ｐｎ时ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）＝ｎｆｐｎæèçöø÷；（２）若函数ｆ（ｘ）（ｘȡａ）是下凸函数，则ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）的取值范围是５３中学数学杂志㊀２０１４年第９期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀ｎｆｐｎæèçöø÷，（ｎ－１）ｆ（ａ）＋ｆ（ｐ－（ｎ－１）ａ）éëêêùûúú（当且仅当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ＝ｐｎ时ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）＝ｎｆｐｎæèçöø÷；当且仅当某ｎ－１个ｘｉ＝ａ（ｉ＝１，２，，ｎ）时ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）＋＋ｆ（ｘｎ）＝（ｎ－１）ｆ（ａ）＋ｆ（ｐ－（ｎ－１）ａ））．证明㊀（１）设ｆ（ｘ）是闭区间［ａ，δ］上的上凸函数．当ｘ１＝ｘ２＝＝ｘｎ－１＝ａ时，ｘｎ＝ｐ－（ｎ－１）ａ．所以δȡｐ－（ｎ－１）ａ．当δ＞ｐ－（ｎ－１）ａ＞ａ时，得ｎ－１＜ｎδ－ｐδ－ａ＜ｎ，所以由定理１（２）①可得欲证成立．当δ＝ｐ－（ｎ－１）ａ时，得ｎδ－ｐδ－ａ＝ｎ－１，所以由定理１（２）②也可得欲证成立．（２）由凸函数的性质１及（１）可得．３㊀结论的应用例１㊀已知０ɤｙｉɤ１６（ｉ＝１，２，，１０），ð１０ｉ＝１ｙｉ＝１１０，当ð１０ｉ＝１ｙ２ｉ取得最大值时，在ｙ１，ｙ２，，ｙ１０这１０个数中等于０的数共有（㊀㊀）．Ａ．１个㊀㊀㊀Ｂ．２个㊀㊀㊀Ｃ．３个㊀㊀㊀Ｄ．４个解㊀Ｃ．因为ｆ（ｘ）＝ｘ２是下凸函数且是二阶可导函数，所以由定理２（２）知：当ð１０ｉ＝１ｙ２ｉ取得最大值时，在ｙ１，ｙ２，，ｙ１０这１０个数中有９个数为０或１６．可设其中有ｍ（ｍ＝０，１，２，，９）个０，９－ｍ个１６，另一个数为１１０－１６（９－ｍ）＝１６ｍ－３４．再由０ɤ１６ｍ－３４ɤ１６，得ｍ＝３．练习１：（２０１２年华约自主招生数学试题第１０题）已知－６ɤｘｉɤ１０（ｉ＝１，２，，１０），ð１０ｉ＝１＝５０，当ð１０ｉ＝１ｘ２ｉ取得最大值时，在ｘ１，ｘ２，，ｘ１０这１０个数中等于－６的数共有（㊀㊀）．Ａ．１个㊀㊀㊀Ｂ．２个㊀㊀㊀Ｃ．３个㊀㊀㊀Ｄ．４个答案：Ｃ．练习２：（ＣＭＯ１２第１题）设实数ｘ１，ｘ２，，ｘ１９９７满足如下两个条件：（１）－１３ɤｘｉɤ３（ｉ＝１，２，，１９９７）；（２）ｘ１＋ｘ２＋＋ｘ１９９７＝－３１８３．试求：ｘ１２１＋ｘ１２２＋＋ｘ１２１９９７的最大值，并说明理由．答案：当且仅当ｘ１，ｘ２，，ｘ１９９７这１９９７个数中有１７３６个数是－１３，２６０个数是３，１个数是２３时，ｘ１２１＋ｘ１２２＋＋ｘ１２１９９７取到最大值，且最大值是１８９５４８例２㊀在锐角әＡＢＣ中，求证：（１）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＞２；（２）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＋ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３．证明㊀（１）因为函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ在０，π２éëêêùûúú上是上凸函数且是二阶可导函数，所以由定理１（２）可得：若Ａ，Ｂ，Ｃɪ０，π２éëêêùûúú，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣȡ２（当且仅当Ａ，Ｂ，Ｃ中有两个均取π２时取等号）．所以欲证成立．（２）因为函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ在０，π２éëêêùûúú上是上凸函数且是二阶可导函数，所以由定理１（２）可得：若Ａ，Ｂ，Ｃɪ０，π２éëêêùûúú，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，则ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣȡ１（当且仅当Ａ，Ｂ，Ｃ中有两个均取π２时取等号）．再由（１）中证得的结论得，若Ａ，Ｂ，Ｃɪ０，π２éëêêùûúú，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，则ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＋ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣȡ３（当且仅当Ａ，Ｂ，Ｃ中有两个均取π２时取等号）．所以欲证成立．练习３：在әＡＢＣ中，求ｔａｎＡ２ｔａｎＢ２＋５＋ｔａｎＢ２ｔａｎＣ２＋５＋ｔａｎＣ２ｔａｎＡ２＋５的取值范围．答案：取值范围是（６＋２５，４３］．例３㊀（首届世界数学锦标赛（青年组）团体赛第８题）已知ａ，ｂ，ｃɪＲ＋，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的整数部分．解㊀设ｆ（ｘ）＝３ｘ＋１（ｘȡ０），得ｆᵡ（ｘ）＝－９４（３ｘ＋１）－３２＜０（ｘȡ０），所以函数ｆ（ｘ）是上凸函数．由推论（１）可得３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的取值范围是（４，３２］，所以３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的整数部分是４．练习４：（第二届世界数学锦标赛（青年组）团体赛第８题）已知ａ，ｂ，ｃɪＲ＋且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求３ａ２＋１＋３ｂ２＋１＋３ｃ２＋１的整数部分．答案：整数部分是３．６３㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第９期。

一道可用拉格朗日乘数法求最值的题

一道可用拉格朗日乘数法求最值的题题意：有两组0-8的分数分别为32和60,其中乘以(1+2)/3即4÷2=5。

求出 A组的值最大。

例1:已知, A=1为1与2的积, B+3的乘积为4÷2=3.34。

若得到整数x24,即得 C。

则求最值。

(5+4),再求x24。

解析：从两个数字间没有关联关系，考虑到3×6=9,可以计算出答案正确率为95%以上。

一、假设其中一个分数，乘得其整数而不是整数，用公式：得分数 x+4的结果是10, x+3的结果是9。

解：取0-5的个数5而不是6,再将5加4中的个数7作7就得到结果是13x3=16。

这道题中，利用拉格朗日乘数法计算 C得正率有三种方法：第一种方法：首先根据题目中要求的乘积数值列出一个清单，然后把清单中所有的项目都列出来。

第二种方法：根据答案给出的乘积值列出来之后再列清单。

1、将乘积数字用乘数运算符(10)列出来。

首先，先乘以数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,19,20,21,23,24,25,26,27和28;在这25个数字中，最多可以写2个数字或3个数字（两个以上相减）。

再在25中写两个数字（等于或小于25)。

注：本题中5、6、9、12、15、21、23和24都可以写成乘积数字，不一定要写成乘积数字。

例如12可以写成12×2=12+12=12;14可以写成14×2=14+12=14;15可以写成15+12=16;16可以写成16+12=16。

用乘数量运算符进行乘积数字计算得正率时，先要计算这个数目占整数的比例，然后再计算这个数目占0或1比例。

2、根据答案给出的乘积值列出来之后再列清单。

以 C、 C为例，如果计算三个分数，依次取小数5、3、2,这样可以得到其中最值(5-2)。

再把 C相乘求得最结果。

第三种方法：将 C相加之后求得最值，求解后有不同数量的 C相加得出了N (N× N),这就可以直接应用第二办法了。

(完整word版)拉格朗日乘数法

故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体.
（2）设长方体的长、宽、高分别为，体积为 ,则表面积 ,
限Hale Waihona Puke 条件: .设并令解得
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
3.求空间一点到平面的最短距离.
解:由题意,相当于求在条件下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.
设且
由(1),(2),(3)得 , , .
1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
（1）若
（2）若（其中）；
（3），若 .
解(1)设对L求偏导数,并令它们都等于0,则有
解之得由于当时, .故函数必在唯一稳定点处取得极小值,极小值
(2)设且
解方程组得由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c, c ,c, c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c, c ,c, c)=4c .
(3)设 ,并令
解方程组得的六组值为:
, , , , .
又在有界闭集
上连续,故有最值.因此,极小值为
极大值为
2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；
（2）求体积一定而表面积最小的长方体。
解：（1）设长方体的长、宽、高分别为，表面积为，
则体积为，限制条件为。
设
并令
解得。
因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值。
代入(4)解得 .
所以
故为所求最短距离.
4.证明:在个正数的和为定值条件下,这个正数的乘积的最大值为 .并由此结果推出个正数的几何中值不大于算术中值 .
证:设 ,
, ,

高等数学C(二)4-6-2

4-6-2 条件极值与函数的最值学习要求：一、会用拉格朗日乘数法求条件极值二、会求二元函数的最值一、条件极值拉格朗日乘数法实例：某人有20元，现用来购买笔和本子，设他购买x支笔，y本本子达到最佳效果，效果函数为u(x, y)=ln x+ln y如果笔每支２元，本子每本5元，问他如何分配这20元以达到最佳效果？问题的实质：求函数u(x, y)=ln x+ln y在2x+5y=20条件下的极值.条件极值：对自变量有附加条件的极值．拉格朗日乘数法：要找函数z=f(x, y)在条件φ(x, y)=0下的可能极值点，其步骤如下：（1）构造拉格朗日函数F(x, y, λ)=f(x, y)+λφ(x, y) λ——拉格朗日乘数. （2）令F'=0, F'y=0, F'λ=0,解出x, y, λ ,其中(x, y)x就是可能的极值点的坐标.（3）判断求出的(x, y)是否为极值点，一般实际问题中由问题的实际意义判定.拉格朗日乘数法的推广拉格朗日乘数法可推广到条件多于两个的情况：要求函数u=f(x,y,z,t)在条件φ(x,y,z,t)=0和ψ(x,y,z,t)=0下的极值.（1）构造拉格朗日函数F(x,y,z,t,λ1,λ2)=f(x,y,z,t)+λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)其中λ1,λ2为参数.（2）令对所有自变量和参数偏导数为零解出，即得可能极值点的坐标.二、二元函数的最值1、有界闭区域D上连续函数的最值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.2、实际问题中的最值实际问题中，如果根据实际意义确定函数的最值一定能在D的内部取得，且D的内部只有一个驻点，那么函数在该点上一定取得最值.例1 求函数 f (x , y )=xy -x 2-y 2在有界闭区域D ： x 2+y 2≤1上的最大值和最小值.解先求D 内的驻点令 ⎩⎨⎧=-='=-='02),(02),(y x y x f x y y x f y x 求得驻点(0,0)经验证，在（0,0）取得极大值f (0,0)=0再求函数在D 的边界上的最大值和最小值.该问题就是求f (x , y )在条件x 2+y 2=1下的极值.——拉格朗日乘数法设F (x , y , λ)=xy -x 2-y 2+λ(x 2+y 2-1),令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+-='=+-='010*******y x F y y x F x x y F y x λλλ解得 22,22±=±=y x 可能的极值点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,22,22,22,22,22,22,22,2122,2222,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 2322,2222,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 综上，f (x ,y )在D 上的最大值是0，最小值是 .23-解 x yo 6=+y x DD如图,先求函数在D 内的驻点22(,)(4)6,z f x y x y x y x y x y D ==--+=例求函数在直线轴及轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 200,AC B A -><，故 f (2,1)=4为极大值解方程组再求f (x , y )在边界上的最值求得区域D 内唯一驻点(2,1)在边界x =0和 y =0上，函数值均为0.在边界6=+y x 上，即x y -=6于是)2)(6(),(2--=x x y x f ,由 02)6(42=+-='x x x f x,得4,021==x x ,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f x y o 6=+y x D 比较可知 f (2,1)=4为最大值，f (4,2)=-64为最小值.解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ例3 设某工厂生产甲产品数量S (吨)与所用两种原料A 、B 的数量x , y (吨)间的关系式S (x ,y )=0.005x 2y ，现准备向银行贷款150万元购原料，已知A ,B 原料每吨单价分别为1万元和2万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多?该问题就是求S (x , y )=0.005x 2y 在条件x +2y =150下的最大值.作拉格朗日函数20.0100.0052021500x y F xy F x x y λλ'=+=⎧⎪'=+=⎨⎪+-=⎩令25,100==y x 解得因仅有一个驻点，且最大值一定存在，故在点(100,25)处取得最大值S (100,25)=125（吨）即购A 原料100吨，B 原料25吨时，可以使产量达到最大.例4 求表面积为a 2体积为最大的长方体的体积.分析：该问题可以看成，求在表面积为a 2条件下的长方体的体积的最大值.目标函数： =V xyz 条件： 220xy yz xz a ++=（）-2(,,,)(222)F x y z xyz xy yz xz a λλ=+++-66x y z a ===求偏导，解方程组，得解设驻点唯一,最大值存在,故最大体积在驻点取得3366a V =。

拉格朗日乘数法

拉格朗⽇乘数法拉格朗⽇乘数法通常我们求函数极值的时候，通常我们会求导，并求出导函数等于0时变量的取值，例如求⼀下函数的极值：f(x)=x2+x求导得：f′(x)=2x+1使f′(x)=0f′(x)=2x+1=0x=−1 2所以当x=−12时，f(x)有最值。

但如果在约束条件下求最值呢？例如在双曲线xy=3上找出距离原点最近的点。

⽬标函数为f(x,y)=√x2+y2，约束条件为g(x,y)=xy=3注意：这两个函数的变量之间是不独⽴的，也就是说他们之间存在某种关系，从⽽限制了各变量的取值，例如这⾥的函数g=3就限制了各变量的取值我们现在要求f的最⼩值，因为x2+y2恒⾮负，所以我们可以求f(x,y)=x2+y2的最⼩值。

当f取不同的值时，与g会有不同的交点，或者没有交点。

当f与g相切时，f就能取最⼩值。

看其中⼀个交点因为f与g相切，所以他们的法向量是互相平⾏的，在这些法向量中，其中⼀个就是函数在该点的梯度。

在这⾥，蓝⾊为f在该点的梯度，红⾊为g在该点的梯度。

∵\therefore \triangledown f= \lambda \triangledown g\therefore \frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}即2x=\lambda y2y=\lambda x结合约束条件xy=3解得(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}),(\sqrt{3}, \sqrt{3})(\lambda可以为负，只是这⾥正好\lambda为负是⽆解⽽已)这种⽅法具有⼀般性吗？证明：举三个变量的例⼦。

在g=c这⼀⽔平集上（我不知道为什么称为⽔平集，因为它并不⽔平，只是表⽰g=c这⼀曲⾯）的⼀动点P，当P保持横坐标不变时，\frac{\partial f}{\partial x}也是不变的，那么当\frac{\partial f}{\partial y}=0时，该点就是这⼀曲线上的最值，如果我们把极值连成⼀曲线，再求导数（即\frac{\partial f}{\partial x}）为0的点，不就是曲⾯的极值吗？当然，这⾥只是简单地讲了x,y两个⽅向，动点P在曲⾯运动时可以取⽆数个⽅向（就像零向量有⽆数个⽅向），这些⽅向都与曲⾯相切(切平⾯)，当P任⼀⽅向(\widehat{u})的偏导数都为0时，P就是我们要求的点。

多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值驻点最值可疑点偏导不存在的点边界上的最值点我们可以把最值问题分为两类：
（1）连续函数在开区域上的最值；
方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的
函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. （2）连续函数在闭区域上的最值：
问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值.
2
注意：如果 AC − B 2 = 0 ，只能用定义判定是否是极值！
例5.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
z
O
x
y
推广如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
无其他条件. 如引例1。
条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件
极值. 如引例2。思考：为什么一元函数的极值没有分类！
一、多元函数极值的定义

条件最值问题用拉格朗日乘子法

条件最值问题用拉格朗日乘子法条件最值问题是数学中一个重要的问题类型，常常需要用到拉格朗日乘子法来解决。

拉格朗日乘子法是一种求多元函数在约束条件下取得极值的方法，其原理和步骤复杂而深奥，但是却能帮助我们解决许多实际问题中的最值求解。

我们来看一下条件最值问题的基本概念。

条件最值问题是指在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。

比如在一定的约束条件下，求某个函数的最大值或最小值。

这类问题在实际生活中随处可见，比如求某一形状的最大面积、最小周长等等。

接下来，大家可能会想到的是如何用拉格朗日乘子法来解决这类问题。

拉格朗日乘子法的基本思想是将原问题转化为一个新的无约束问题，通过引入拉格朗日乘子来构造一个新的函数，然后利用该函数的极值来解原问题的极值。

这一方法在求解带约束条件的最值问题时非常实用，尤其是对于复杂的多元函数函数。

在应用拉格朗日乘子法解决条件最值问题时，我们首先需要构造拉格朗日函数。

拉格朗日函数是原函数与约束条件的函数之和，用拉格朗日乘子来引入新的变量，构造一个新的函数。

通过对新函数求偏导数，并令其等于零，可以得到极值点的一些约束条件。

结合这些约束条件，就能解出原问题的最值点。

举个简单的例子，我们来求函数f(x, y)在g(x, y)=0的约束条件下的最值点。

我们可以构造拉格朗日函数L(x, y, λ)=f(x, y)+λg(x, y)，然后对L(x, y, λ)分别对x, y, λ求偏导，并令其等于零，得到关于x, y, λ的方程组。

通过求解这个方程组，就能得到原问题的最值点。

在实际应用中，拉格朗日乘子法能够帮助我们解决许多复杂的条件最值问题。

无论是在经济学、物理学、工程学还是其他领域，都可以看到拉格朗日乘子法的应用。

它不仅帮助我们求解最值问题，更重要的是提供了一种通用的方法，使我们能够将带约束条件的最值问题转化为一个无约束问题。

综合以上的讨论，我们可以得出结论：拉格朗日乘子法是一种强有力的工具，在解决条件最值问题时非常实用。

运用拉格朗日乘数法求函数最值

运用拉格朗日乘数法求函数最值高考命题源于课本又高于课本，它既重视对一般方法的考察，也讲究对能力题能够独辟蹊径、直捣黄龙以达到出奇制胜的效果。

在遇到具有区分度的题目时一般方法的运用就会捉襟见肘，使解题裹足不前。

因此，在平时学习中适当积累一些奇妙的解题方法或技巧就显得至关重要。

本文小编为您介绍求函数最值的一种神奇方法——拉格朗日乘数法。

01 何为拉格朗日乘数法？为求二元函数f（x,y）在限制条件Φ（x,y）=0下的最值，先构造出拉格朗日函数F（x,y,λ）=f（x,y）+λΦ（x,y）,（λ为常数），然后分别求出F（x,y,λ）关于x,y,λ的一阶偏导数，最后令F（x,y,λ）关于x,y,λ的一阶偏导数为0，解方程组求出x,y，代入f（x,y）中求得其最值。

02 方法总结①构造拉格朗日函数：F（x,y,λ）=f（x,y）+λΦ（x,y）,λ为常数。

②求F（x,y,λ）关于x,y,λ的一阶偏导数。

③令②中的一阶偏导数为0，解方程组求出x,y，代入f（x,y）中最值得解。

03 典例精析.5102510101022.510,1010.014,021,082142,,2011.214:,max22'''2222=+⨯=+∴±=±=⎪⎩⎪⎨⎧=-++==++==++=-++++=+=++）（解得：），则有（）（数讲解：构造拉格朗日函高考浙江卷试题）（的最大值，求满足已知实数yxyxxyyxFxyFyxFxyyxyxyxFyxxyyxyxyxλλλλλλλ04 牛刀小试。

拉格朗日乘数法求极值例题

拉格朗日乘数法求极值例题在数学中，求解极值问题是一个非常重要的课题，而拉格朗日乘数法则是一种常用的求解多元函数极值的方法。

本文将以一个具体的例题为例，介绍拉格朗日乘数法的具体应用过程。

例题：求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值。

解题步骤：1.建立拉格朗日函数$L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambdag(x,y)$将$f(x,y)$和$g(x,y)$代入，得到：$L(x,y,lambda) = x^2+y^2+lambda(x+y-1)$2.求$L(x,y,lambda)$的一阶偏导数：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1$3.将一阶偏导数都置为0，解出$x,y,lambda$的值：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda = 0 Rightarrow x = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda = 0 Rightarrow y = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1 = 0 Rightarrow x+y=1$由第三个式子可知，$x$和$y$的和为1，将$x$和$y$代入前两个式子中，得到：$-lambda + lambda = 0$$-lambda + lambda = 0$由此可知，$lambda$可以为任意数值，因此需要进一步求解。

4.将$x$和$y$代入条件$g(x,y)=x+y-1=0$中，得到：$-frac{lambda}{2} - frac{lambda}{2} -1 = 0 Rightarrow lambda = -2$5.将$lambda$代入$x$和$y$的表达式中，得到：$x = -frac{lambda}{2} = 1$$y = -frac{lambda}{2} = 1$因此，函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值为$2$，此时$x=y=1$。