14.微专题：”手拉手“模型问题——共顶点的等腰三角形【中考热点】
专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (18)【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB AC BAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，BAM CANAB AC ABM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到60DCE ∠=︒，根据平行线的判定定理得到根据全等三角形的性质得到出ACM DCN △≌△，故④60CMN ∠=︒，根据平行线的判定定理得到⑤正确．【详解】解：DAC 、ECB在ACM △与DCN 中，60CAM CDN AC CD ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，ACM DCN ∴ ≌，故④正确；CM CN ∴=，CMN ∴ 是等边三角形，60CMN ∴∠=︒，CMN ACD ∴∠=∠，MN AB ∴∥，故①正确；30DBE ∠=︒ ，60BPE APD ∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC 和等边CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．求证：(1)AD BE =；(2)CPQ 为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知60AC BC CD CE ACB DCE ==∠=∠=︒，，，从而可求出ACD BCE ∠=∠，即可利用“SAS ”证明ADC BEC △△≌，即得出AD BE =；（2）由等边三角形的性质可知60ACB DCE ︒∠=∠=，AC =BC ，即可求证60ACP BCQ ∠=∠=︒．再根据ADC BEC △△≌可得出CAP CBQ ∠=∠，利用“ASA ”证明APC BQC ≌△△，据此即可证明结论成立．【详解】（1）证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，60AC BC CD CE ACB DCE ∴==∠=∠=︒，，，ACD ACB BCD BCE DCE BCD ∠=∠+∠∠=∠+∠， ，ACD BCE ∠∠∴=，∴AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADC BEC ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）证明：ABC 和CDE 是等边三角形，60ACB DCE AC BC ∴∠=∠=︒=，，∴18060BCQ ACP ECD ∠=︒-∠-∠=︒，∴60ACP BCQ ∠=∠=︒．ADC BEC≌ △△∴CAP CBQ ∠=∠．∴CAP CBQ AC BC ACP BCQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA APC BQC △△≌．∴C P C Q =，又∵60PCQ ∠=︒，∴CPQ 为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a 和b ()a b >的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30︒，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的C DE ' ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)BE AD =，证明见解析(2)BE AD =，证明见解析(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【分析】（1）先由等边三角形判断出AC BC =，CE CD =，再由旋转判断出BCE ACD ∠=∠，进而判断出BCE ACD ≌，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a b -，即可得出结论．【详解】（1）解：BE AD=证明： 点C 与1C 重合，ABC 和1C DE △，ABC ∴ 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，30BCE ACD ∠=∠=︒，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=，（2）解：BE AD =，证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，AC BC ∴=，CE CD =，由旋转知，BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BCE ACD ∴≌△△，BE AD ∴=；（3）解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC CD a b +=+，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC CD a b -=-，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．【答案】(1)见解析(2)平行EC AC CD=+(3)有最小值，5【分析】（1）由ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，推出AB AC =，AD AE =BAC DAE ∠=∠，则BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠【详解】（1）证明：∵ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒，∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠即BAD CAE∠=∠在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ABD ACE ∆∆≌（）；（2）平行，EC AC CD =+，理由如下：由（1）得SAS ABD ACE ∆∆≌（），∴60B ACE ∠=∠=︒，CE BD ＝，∴BAC ACE =∠∠，∴AB CE ∥，∵CE BD =，AC BC =，∴CE BD BC CD AC CD ==+=+；（3）有最小值，理由如下：如图，在射线BC 上取一点M ，使得DM PC =，连接EM ，∵ABC ∆和DPE ∆是等边三角形，∴PE ED =，60DEP ACB ∠=∠=︒，∴180********ACD ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴12060180ACD DEP ∠+∠=︒+︒=︒，由三角形内角和为180︒，可知：180PCE CEP EPC ∠+∠+∠=︒，180ECD CDE CED ∠+∠+∠=︒，∴360PCE CEP EPC ECD CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，又∵180PCE ECD CEP CED ACD DEP ∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴360180180EPC CDE ∠+∠=︒-︒=︒，∵180EDM CDE ∠+∠=︒，∴EPC EDM ∠∠=，在EPC ∆和EDM ∆中，PE ED EPC EDM PC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS EPC EDM ∆∆≌（），∴EC EM =，PEC DEM ∠∠=，∵60PEC CED DEP ∠+∠∠=︒＝，∴60CEM DEM CED ∠=∠+∠=︒，∴CEM ∆是等边三角形，∴60ECD ∠=︒，180606060ACE ECD ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180，即点E 在ACD ∠的角平分线上运动，在射线CD 上截取CP CP '=，连接EP '，在CEP ∆和CEP '∆中，60PC P C PCE P CE CE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪='⎩'，SAS CEP CEP '∆∆≌（），∴PE P E '=，则BE PE BE P E '+=+，由三角形三边关系可知，BE P E BP ''+≥，即当点E 与点C 重合，BE P E BP ''+=时，PE BE +有最小值BP '，∵325BP BE CP BC CP ''=+=+=+=，∴5BE PE BE P E BP ''+=+≥=，∴BE PE +最小值为5．【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】(1)【猜想】：如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是________(2)【探究】：把DCE △绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把DCE △绕点C 在平面内自由旋转，若5AC =，22CE =，当时，则AE 的长是________．【答案】(1)BE AD =，BE AD⊥由题意可知：Q，∠=∠=︒ACB DCE90∴∠+∠=∠ACB ACE DCEDCE 是等腰直角三角形，且224DE CE CD ∴=+=，CM AD ⊥ ，122CM EM DE ∴===，在Rt ACM △中，5AC =，DCE 是等腰直角三角形，且22DE CE CD ∴=+CN AD ⊥ ，12CN NE DE ∴===在Rt ACN V 中，AC 【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，90BCA DCE ∠=∠=︒，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．(1)求证：BCE ACD △△≌；(2)求证：AB AD ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据90BCA DCE ∠=∠=︒，可得BCE ACD ∠=∠，再由等腰直角三角形的性质可得,BC AC CE CD ==，可证明BCE ACD △△≌，即可求证；（2）根据BCE ACD △△≌，可得=B CAD ∠∠，从而得到90CAD CAE ∠+∠=︒，即可求证．【详解】（1）证明：∵90BCA DCE ∠=∠=︒，∴90BCE ECA ECA ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE ACD ∠=∠，∵ABC 和DEC 是等腰直角三角形，∴,BC AC CE CD ==，在BCE 和ACD 中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCE ACD ≌△△；（2）证明：∵BCE ACD △△≌，∴=B CAD ∠∠，∵90ACB ∠=︒，∴90B CAE ∠+∠=︒，∴90CAD CAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AB AD ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB ∠的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明()SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴AC BC =，CD CE =，∴90ACE ECB BCD ECB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE BCD ∠=∠，∴()SAS ACE BCD ≌，∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠，∵90CAE AOC ∠+∠=︒，AOC BOH ∠=∠，∴90BOH CBD ∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AE BD ⊥．故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，∴45CDE CED ∠=∠=︒，∴180135AEC CED ∠=︒-∠=︒，α<<︒），连接BD和CE，此时(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（090立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接∠的度数；①ACE②若32==，3AB ACCD=，则线段DE的长是多少？=成立，证明见解析【答案】(1)BD CE(2)①45°②310【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，ABC 与CDE 都是等腰三角形，42AC BC CD CE ACB DCE AD BE ==∠=∠=︒，，，、相交于点M ．(1)试说明：AD BE =；(2)求AMB ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)42︒【分析】（1）由“SAS ”可证≌ACD BCE V V ，可得BE AD =；（2）根据全等三角形的性质可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算AMB ∠．【详解】（1）解：证明：ACB DCE ∠=∠ ，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ACD BCE ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）ACD BCE ≌，CAD CBE ∴∠=∠，18042138BAC ABC ∠+∠=︒-︒=︒ ，138BAM ABM BAC CAD ABC CBE BAC ABC ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，18013842AMB ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ≠≠．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE ∠=∠=︒时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE ∠=∠≠︒，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE ∠=∠=︒∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，∵DAC DAB BAC ∠=∠+∠，BAE CAE BAC ∠=∠+∠，∴DAC BAE ∠=∠，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =，BAE DAC ∠=∠，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ∠=∠≠︒，∴AB DB AD =≠，AC EC AE =≠，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ≠．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB ∠与DCE ∠为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ∠=︒，则∠=EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ∠=∠，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE ∠=︒可求出45DCE ACB ∠==︒，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ∠∠=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD ∠的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ∠=∠，所以ACD BCE ∠=∠．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ∠=∠．∵90ACE ∠=︒，∴45DCE ACB ∠==︒．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ∠∠=．∵MOE COD ∠=∠，∴45EMD DCE ∠=∠=︒．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠．又因为90BCP PCA ︒∠+∠=，所以90ACQ PCA ︒∠+∠=．所以90PCQ ∠=︒，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，连接BD ，CE ．则ADB △≌_______________，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式_____________________；（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；（3）如图3，分别以ABC 的两边AB ，AC 为边向ABC 外作等边ABD △和等边ACE △，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及PBC PCB ∠+∠的度数．【答案】（1）AEC △，BD CE =；（2）BD CE =且BD CE ⊥；（3）CD BE =，60PBC PCB ∠+∠=︒【分析】（1）先判断出DAB EAC ∠=∠，进而判断出△≌△ADB AEC ，即可得出结论；（2）先判断出DAB EAC V V ≌，得出BD CE =，DBA ECA ∠=∠，进而判断出DBC ECB ∠+∠，即可得出结论；（3）先判断出ACD AEB ≌，得出CD BE =，ADC ABE ∠=∠，进而求出60BPD ∠=︒，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】解：（1）DAE BAC ∠=∠ ，DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．即DAB EAC ∠=∠，在ADB 和AEC △中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴ ≌，BD CE ∴=，故答案为：AEC △，BD CE =；（2）BD CE =且BD CE ⊥；理由如下：90DAE BAC ∠=∠=︒ ，DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．即DAB EAC ∠=∠．在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴ ≌，BD CE ∴=，DBA ECA ∠=∠，90ECA ECB ABC ∠+∠+∠=︒ ，90DBA ECB ABC ∴∠+∠+∠=︒，即90DBC ECB ∠+∠=︒，180()90BPC DBC ECB ∴∠=︒-∠+∠=︒，BD CE ∴⊥，综上所述：BD CE =且BD CE ⊥；（3）如图3所示，BE CD =，60PBC PCB ∠+∠=︒，理由如下：ABD 和ACE △是等边三角形，AD AB ∴=，AC AE =，60ADB ABD BAD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，CAD EAB ∠=∠∴，在ACD 和AEB △中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD AEB SAS ∴ ≌，CD BE ∴=，ADC ABE ∠=∠，180BPD PBD BDP∴∠=︒-∠-∠180ABE ABD BDP=︒-∠-∠-∠180()ABD ABE BDP =︒-∠-∠+∠180()ABD ADC BDP =︒-∠-∠+∠180ABD ADB=︒-∠-∠=︒，60∴∠+∠=∠=︒．60PBC PCB BPD【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性ADB AEC是解本题的关键．质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△≌△。
全等三角形之手拉手模型
全等三角形之手拉手模型
本文将介绍手拉手模型，这是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。
因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。
一个基本的手拉手模型例题是：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。
可以得出三个结论：第一，△ABC≌△AB'C'（SAS），因为BC=B'C'；第二，∠BOB'=∠BAB'；第三，AO平分∠BOC'。
在共顶点的等腰直角三角形中，也可以使用手拉手模型。
例如，如果△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且
∠BAC=∠DAE=90°，则可以证明BD=CE和BD⊥CE。
另外一个例子是在共顶点的等边三角形中。
如果点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边三角形，则可以求出CD=BE，以及∠DAE＋∠BFD=180°和
∠BFA=∠DFA=60°。
等腰三角形模型在初中数学教学中的应用－－以“手拉手模型”为例
等腰三角形模型在初中数学教学中的应用－－以“手拉手模型”为例摘要：几何图形是初中数学教材中重要的知识点，也是中考试卷中的必考内容。
因此学生要掌握几何图形的解题思路，并能灵活对其进行运用，才能提升整体的学习效果。
等腰三角形模型是比较常见的几何问题，涉及的相关题目比较复杂，并且形式多变，其中“手拉手模型”的问题比较多，教师要合理地利用模型作为切入点，引导学生形成解题思路，让解决几何问题变得轻松。
基于此，本文将以“手拉手模型”为例，阐述等腰三角形模型在初中数学教学中的应用。
关键词：等腰三角形模型；初中数学；教学；应用；“手拉手模型”前言初中阶段是学生承上启下的关键时期，对学生未来学习有重要的影响。
数学科目作为基础学科，知识点不断加深，几何图形知识成为了初中阶段的教学重点。
初中学生的思维逻辑发展并不成熟，对于比较抽象的知识理解起来有一定难度，利用模型教学能够加深学生的印象。
在等腰三角形模型中“手拉手模型”比较常见，帮助学生理解模型特征，掌握解题思路，将复杂的问题进行简化，有利于提高学生的学习效果。
一、培养模型意识，发展核心素养初中数学几何图形中“手拉手模型”主要是指两个顶角相等，并且具有共顶点的等腰三角形组成的图形，该图形中的两个三角形形成了“左手拉左手，右手拉右手”的特点[1]。
换而言之，当某一图形中同时满足共顶点、等腰、顶角相等的条件，可以称其为等腰三角形手拉手模型（如图1）。
“手拉手模型”是几何模型中的经典，随着图形位置的变化，能够证明模型中全等或相似的结论。
几何模型是对图形特征的提炼与总结，在实际解决问题时，一般都需要通过添加辅助线，才能识别出模型。
如果学生对于辅助线添加的本质不理解，只是随意添加，很难形成模型。
因此，教师在教学中，需要引导学生掌握模型的特征，并且理解模型的核心，进而能够提升学生的模型意识，有利于发展学生的核心素养。
例如，在图2中，已知在四边形ABCD中，AB=AC，∠ ABC= ∠ ADC= 60°，连接BD，若CD=2, AB=2，请计算出BD的长度。
【初中数学】等腰三角形的手拉手模型
等腰三角形的手拉手模型所谓手拉手模型，指由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点。
基本图形：1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN与BM 相等吗？说明理由；连接EF，证明△ECF是等边三角形。
图（ 2） C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由；AAA如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM相等吗？说明理由．图（1）图（2）图（3）2、已知：△ABC，△EDC均为等边三角形.求证：（1）△ACN≌△BCM.（2）∠APB=60°（3）PC平分∠BPD.变形延伸：如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．3、如图两个等边三角形△ABD与△BCE，连结AE与CD，证明：（1）AE与DC之间的夹角为60°．（2）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC．4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG，CE,二者相交于点H 问：（1）AG与CE之间的夹角为多少度？（2）HD是否平分∠AHE？5、两个等腰三角形△ABD与△BCE，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=α连接AE与CD，问：（1）△ABE≌△DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠AHC？6、如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG，CE，二者相交于点H．问：（1）AG与CE之间的夹角为多少度？（2）HD是否平分∠AHE？【典型习题】1、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=2，BC=8，点A为顶点，AC为腰，作等腰△ACD，且∠DAC=120°，则BD的长为__________.2、如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt △ABC，∠C=90°，连接OB，则OB的最小值为__________．'3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得到111A B C V ，当1A 落在AB 边上时，连接1BB ，取1BB 的中点D ，连接1A D ,则1A D 的长度为_________.CC4、将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是_______________, 位置关系是______________； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；x5、如图，在平面直角坐标系中，已知A （0,2），△AOB 为等边三角形，P 是x 轴上一个动点（不与O 重合），以线段AP 为边在其右侧作等边三角形APQ ； （1）求B 点坐标；（2）在点P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？若不变，求出其大小；若改变，请说明理由；（3）连接OQ ，当OQ AB P 时，求点P 的坐标.【中考链接】1、（2016盘锦25题14分）已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF，AD，ED.（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：△BCE≌△ACD；（2）如图1，当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；图1B图2B（3）如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，四边形ADEF 还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由图2B图1B备用图B2、（2016辽阳25题12分）已知：在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是线段BD 上一动点（不与点B 、D 重合），连接AE ，以AE 为边在AE 的右侧作菱形AEFG ，且∠AEF=60°.（1）如图1，若点F 落在线段BD 上，证明EF=FD ；（2）如图2，若点F 不在线段BD 上，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若点C 、E 、G 三点在同一条直线上，请直接写出线段BE 和BD 的数量关系.。
共顶点的等腰直角三角形
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM 至点K，使得OM KM，连结BK
OA OB AOD KBO OD BK AOD OBK (SAS)
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
AOC BOD(SAS)
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论二（线的角度）： AC BD, AC BD(8字形)
证明方法：AOC BOD AC BDA 在APQ与BPO中 PAQ PBO, APQ BPO AQP BOP 90 即AC BD
或同理证明DQC DOC 90也可
OD BI OC
OI AD
1 2 90
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论三： 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线)
2
BMI CMO IBM OCM BI OC IBM OCM（AAS）
OM IM 1 OI 1 AD 22
结论三：过点O作ON AD与点N，延长NO交BC于点M，
则M 为BC中点,且OM 1 AD(高变中线) 2
过点B作BI // OC，交OM的延长线于点I
BI // OC IBO COB 180 AOD COB 180 IBO AOD AOB 90 3 2 90 ON AD
1 3 OA OB AOD IBO AOD OBI（ASA）
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论三（角的角度）： QO平分BQC，即BQO CQO 45
证明方法：
过点O作OM BD于点M 过点O作ON AC于点N AOC BOD SAOC SBOD，AC BD OM ON 点O在BQC的角平分线上 即QO是BQC的角平分线
专题：“手拉手”模型
13.13专题3：“手拉手”模型一．【知识要点】1．手拉手模型的特点：两个等腰三角形顶点顶角公共，且顶角相等，得到一对能够旋转重合的全等三角形．2．手拉手模型的基本构图：等腰∆ABC和∆DAE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．3．4．手拉手模型的性质：（1）三角形全等；（∆ABD≌∆ACE）（2）第三边或所在直线的夹角与等腰三角形的顶角相等或互补；（∠BPC＝∠BAC或∠BPC+∠BAC＝180°）（3）第三边或所在直线的交点与顶点的连线平分第三边的夹角或其邻补角；（AP平分∠BPE 或∠BPE的邻角）二．【经典例题】1.两个大小不同的等腰直角三角形三角板按如图1所示放置，图2是由图1抽象出的几何图形，A、B、D在同一条直线上，连结EB．（1）求证：△ECB≌△DCA；（2）猜测线段BE和线段AD的关系，并给予证明．2.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求证：CH平分∠AHE；(3)求∠CHE的度数.(用含α的式子表示)3.(10分)如图，线段AB 垂直直线l 于点B ，点D 在直线l 上，分别以AB ，AD 为边作等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，直线EC 交直线l 于点F. (1)当点F 在线段BD 上时，如图①，求证:DF=CE-CF;(2)当点F 在线段BD 的延长线上时，如图②;当点F 在线段DB 的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF ，CE ，CF 之间的数量关系，不需要证明;(3)在(1)(2)的条件下，若BD=2BF ，EF=6，则CF 的值为__________________.三．【题库】 【A 】1．如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．2. 如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形,BD 与CE 有什么关系？试着证明。
八年级下册 第一章 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)(解析版)
第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (21)【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMC(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明 SAS ACN MCB ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC ，继而得到ACE MCF ，证明 ASA ACE MCF ≌，得CE CF ，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN ，AC MC ，NC BC ，∴ACM MCN BCN NCM ，即ACN MCB ，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC，∴ SAS ACN MCB ≌；∴NAC BMC ；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB ，60ACM BCN ，∴180606060MCF ACE ，∵NAC BMC ，即EAC FMC ，在ACE △和MCF △中，EACFMC AC MC ACE MCF，∴ASA ACE MCF ≌∴CE CF，∵60MCF ，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC ．(1)求证：AD BE ；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF ；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH ，5CH ，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH 【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE ；（2）由“ASA ”可证BCG D CF ≌，可得BG DF ；（3）如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，由面积法可求CP CN ，可证60BH C CH A ，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ，由“AAS ”可证BCP D CN ≌，可得 5.5D N BP ，即可求解．【详解】（1）证明：BCD ∵ 和ACE △是等边三角形，BC CD ，AC CE ，60BCD ACE ，BCE DCA ，在ACD 和ECB 中，AC CE ACD ECB CD BC，()ACD ECB ≌SAS ，AD BE ；（2）证明：AC D EC B ∵ ≌，EBC ADC ，∵点C 在线段AB 上，60BCD ACE ，60DCE BCD ，在BCG 和DCF 中，90EBC ADC BC CD BCG DCF，()BCG DCF ≌ASA ，BG DF ；（3）解：如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，EBC ADC∵，DBH EBC，60DHB DCB，120BHA2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，ABD △，AEC △都是等边三角形．求证：BE DC ．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD 与BE 交于点O ，AB 与CD 交于点M ，AC 与BE 交于点N ，连接AO ，求证：AO 平分DOE ；(3)在（2）的条件下再探索OA ，OC ，OE 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)OE OA OC ，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB AD ，AE AC ，60BAD BDA DBA CAE ，求出BAE DAC ，根据SAS 证ABE ADC △≌△即可；（2）过点A 分别作AG BE ，AH DC ，垂足为点G ，H ，由得到ABE ADC △≌△，从而ABE ADC S S ，故有AM AN ，根据角平分线判定即可求证；（3）在OE 上截取一点Q ，使得OQ OA ，证明AOQ △是等边三角形，即可证明 SAS OAC QAE ≌，从而得证．由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S ，∴11··22BE AM DC AN ，∴AM AN ，由（1）知：ABE ADC△≌△， ，∴ADC ABE∴ADC BDO ABE BDO 在BOD中，为边在直线AD 右侧作等边三角形ADE ．(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE ______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE 的度数．【答案】(1)CE CD AB ；60(2)不成立，CE CD AB ，证明见解析(3)30【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B ，CE BD ，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE ≌，则可得EF DG ，当GD BC 时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE 的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，,60AB BC B ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，60ACE B ，CE DC BD DC BC AB ，即CE CD AB ，故答案为：CE CD AB ；60 ；（2）不成立，CE CD AB ，证明如下：证明：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，AB BC ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，CE CD BD CD BC AB ，即CE CD AB ；（3）解：如图，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE ，BD CE(2)BD CE ，BD CE ，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∴AB AD AC AE ，即BD CE ，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ，∴BD CE ；（2）BD CE ，BD CE ，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∵BAD BAC DAC ，CAE DAE DAC ，∴BAD CAE ，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE ，ABD ACE ，∵A F B G F C ，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ，∴90CGF BAF ，即BD CE ；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB 的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD ，AE BD ；（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明 SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴AC BC ，CD CE ，∴90ACE ECB BCD ECB ，∴ACE BCD ，∴ SAS ACE BCD ≌，∴AE BD ，CAE CBD ，∵90CAE AOC ，AOC BOH ，∴90BOH CBD ，∴90AHB ，∴AE BD ．故答案为：AE BD ，AE BD ．（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴45CDE CED ，∴180135AEC CED ，由（1）可知：ACE BCD ≌，∴AE BD ，135BDC AEC ，∴1354590ADB BDC CDE ；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM DM ME ，∴2DE CM ，∴2AD DE AE CM BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE ；CE BC ，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD 成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE ；CE BC ．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE∴90BAD DAC CAE DAC∴BAD CAE∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：∵90BAC DAEBAC CAD DAE CADBAD CAE又∵AB =AC ，AD =AEBAD CAE SAS BD CEBC BD CD CE CD（3）BC CD CE ；CE BC ；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE，(1)如图1，若30CAD ，10DCB ，求DEB 的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF ，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ，延长CD 与AB 交于点△BNM≌△BNT （SAS ），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，90ACB DCE Q ，ACB BCD DCE BCD ，ACD BCE ，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE，ACD ≌ SAS BCE ，30CAD CBE ，10DCB ∵，901080ECB ，180803070CEB ，45CED ∵，704525DEB ；（2）如图2中，过点C 作CQ DE 于Q ．∵，AD CD90ADC ，同理：ACD ≌BCE ，90ADC BEC ，90BCT ECB ∵，90ECB CBG ，BCT CBG ，在CBT 和BCG 中，90BCT CBG CB BC CBT BCG，CBT ≌ ASA BCG ，BT CG ，CT BG ，BM CG ∵，BM BT ，在BNM 和BNT 中，45BM BT NBM NBT BN BN，BNM ≌ SAS BNT ，MN NT ，CN MN CN NT CT BG ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若ABC 和ADE V 均为等腰三角形，且AB AC AD AE ，当ABC 和ADE 互余时，称ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，ABC 的边BC 上的高AH 叫做ADE V 的“余高”．(1)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，若连接BD ，CE ，判断ABD △与ACE △是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，当0180BAC 时，若ADE V 的“余高”是AH ．①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：2DE AH ．(3)如图2，当90BAC 时，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，连接BD 、CE ，若6BD ，8CE ，请直接写出AB 的长．【答案】(1)是(2)见详解(3)5【分析】（1）根据题意可得90ABC ADE ，90ACB AED ，四边形内角和为360 ，求出【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE 时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC ．(2)若60BAD CAE ，①如图2，当AB AD AC AE ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，∵DAC DAB BAC ，BAE CAE BAC ，∴DAC BAE ，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC，∴ SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC ．（2）①当AB AD ，AE AC 时，成立．理由：如图，∵AB AD ，BAE DAC ，AE AC ，∴ SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC ；②当AB DB ，AC EC 时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ，∴AB DB AD ，AC EC AE ，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC ，CD CE ，ACB 与DCE 为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ，则 EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE 可求出45DCE ACB ，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出EMD 的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ，BE AD ．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ，ACQ BCP ，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE ．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ，所以ACD BCE ．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE所以 SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE ．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ．∵90ACE ，∴45DCE ACB ．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ．∵MOE COD ，∴45EMD DCE ．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ，BE AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP ．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP所以 SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP ，ACQ BCP ．又因为90BCP PCA ，所以90ACQ PCA ．所以90PCQ ，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC 与ADE V 中，AB AC ，当BAC BAD BAE 、、、满足条件____时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMD(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD ，AD AB ，AC BC DC ，求BAD 的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD ；(2)见解析(3)60BAD【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE 、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE 于点M ，作AN CD 于点N ，再证明ABE ACD ≌得AM AN ，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE ．【详解】（1）∵在ABC 与ADE V 中，AB AC ，∴当BAC DAE 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD ，∴BAE BAC BAD ，故当BAE BAC BAD 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD ；（2）过点A 作AH BE 于点H ，作AN CD 于点N ，∵在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，∴BAC DAE ，AD AE ，∴BAE CAD ，∴ SAS ABE ACD ≌，∴AH AN （全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD ；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，如图③，∵180BAD BCD ，∴360180180 ABC ADC ，∵180ADC ADE ，∴ABC ADE ，∵AB AD ，∴ SAS ABC ADE ≌，∴AC AE BAC DAE ，，∴BAD CAE ，∵AC BC DC DE DC CE ，∴AC CE AE ，∴60CAE ，∴60BAD ．【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．。
全等三角形之手拉手模型专题
全等三角形之手拉手模型专题手拉手模型：定义：所谓手拉手模型，是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等。
因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。
基本模型：例题：已知，△ABB'和△ACC'都是等腰三角形，AB=AB'，AC=AC'，且∠BAB'=∠CAC'。
三个结论结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS) BC=B'C' 结论2：∠BOB'=∠BAB' 结论3: AO平分∠BOC'1.共顶点的等腰直角三角形中的手拉手变式精练1、下图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,求证：⑴ BD=CE ⑵ BD⊥CE2.共顶点的等边三角形中的手拉手变式精练2：如图，点A为线段BD上一点，△ABC和△ADE均是等边三角形，求：（1）CD=BE (2)∠DAE＋∠BFD=180° (3)∠BFA=∠DFA=60°模型应用1：如图，分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB =AE ，AC =AD，∠BAE =∠CAD=90°，点G为BC中点，点F 为BE 中点，点H 为CD中点。
探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。
模型应用2：如图，在五边形ABCDE中，∠ABC =∠AED =90°，∠BAC =∠EAD=α，F 为CD的中点。
求证：BF=EF练习1：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。
求：（1）AG=CE （2）AG与CE之间的夹角为多少度？（3）HD平分∠AHE全等三角形之半角模型专题半角模型:△ABE ’≌△ADE1. 如图，点E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CEF △ 的周长是2，AH EF ⊥于点H ，①求EAF ∠的度数；②求证：AH CD =．CHF ED BA2. （1）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF =BE +FD ；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、C D 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？45°E'CDA E（3）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）延长EB 到G ，使BG =DF ，连接AG ．则有AEG AEF △≌△，∴EG EF =，EF =BE +FD ．（2）成立；（3）不成立，应该是EF BE FD =-EFGDCBA在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．则有ABG ADF ∆∆≌，∴BAG DAF AG AF ∠=∠=，．∴12BAG+EAD DAF +EAD=EAF =BAD ∠∠∠∠∠∠＝，∴GAE EAF ∠=∠．∵AE AE =，∴AEG AEF ∆∆≌，∴EG EF =，∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．。
共顶点的等腰三角形
E
D
C
B
A
P
O
D C
B
A P
O
D
C
B
A
P
O
D
C
B
A 共顶点的等腰三角形
方法与技巧：
(1)如果两个等腰三角形共顶点，那么图中一定有SAS 的全等三角形，这种全等叫做手拉手全等 (2)图中有一个等腰三角形，为了解决问题，可以根据题意，添加恰当的辅助线，构造手拉手全等 强化练习：
1、已知：如图，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB ，CD=CE ，求证：（1）AD=BE （2）AD ⊥BE
2、 已知：OA=OC ，OB=OD ，∠AOC=∠BOD ，直线AB 、CD 相交于点P （1）如图1，若∠AOC=∠BOD=900
，则∠APD= （2）如图2，若∠AOC=∠BOD=600，则∠APD=
（1）如图3，若∠AOC=∠BOD=a ，则∠APD= ，请证明你的结论。
3﹑如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∠ADB=45°，(1)求∠ADC 的度数（2）求证：AD 平分∠BDC
4﹑如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，∠ADB=30，(1)求∠ADC 的度数（2）求证：AD 平分∠BDC
5﹑如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠ADB=60°，(1)求∠ADC 的度数（2）求证：AD 平分∠
BDC
B D
C B A D
C
B
A。
专题六：共顶点的等腰直角三角形
手拉手模型：共点的双等腰直角三角形一、共直角顶点的双等腰直角三角形手拉手的含义：如图，已知两个共直角顶点O的等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD正面看向△AOB，将之扶正，保持头部O在上，则A为“左手”，B为“右手”；同理，正面看向△COD，将之扶正，保持头部O在上，则C为“左手”，D为“右手”.紧接着进行拉手操作，理应产生两种情形，即“左手拉左手，右手拉右手”和“左手拉右手，右手拉左手”，分而治之！情形一：左手拉左手，右手拉右手（手拉手全等模型）连接左手A与左手C，连接右手B与右手D，请证明下列结论：（1）形的角度：如图1，△AOC≌△BOD.（2）线的角度：如图1，AC=BD且AC⊥BD.（3）角的角度：如图2，若AC和BD相交于点E，则OE平分∠BEC，即∠BEO=∠CEO=1/2∠BEC=45°.情形二：左手拉右手，右手拉左手（婆罗摩笈多模型）连接左手A与右手D，连接右手B与左手C，则又构成了所谓“婆罗摩笈多模型”，请证明下列结论：（1）如图1，S△AOD=S△BOC.（2）如图2，取BC中点M，连接MO并延长交AD于N，则ON⊥AD，且OM=1/2AD.（中线变高）（3）如图3，过点O作ON⊥AD于N，延长NO交BC于M，则M为BC中点，且OM=1/2AD.（高变中线）二、共45°底角顶点的双等腰直角三角形如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角顶点O，且公共顶点O、直角顶点与另一底角顶点均按相同顺序排列（如此图均为顺时针方向排列）. 若将两直角顶点A、C和另两个底角顶点B、D相连，则构成了经典的“手拉手相似模型”，如下图.请证明：（1）形的角度：旋转相似必成对△AOB∽△COD（老相似），△AOC∽△BOD（新相似）.（2）线的角度：AC、BD的数量关系为AC：BD=OA：OB=OC：OD=1：根号2；AC、BD的位置关系为两线夹的锐角=45°.情形二：逆序脚拉脚1.如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角顶点O，且公共顶点O、直角顶点与另一底角顶点逆序排列（如下图中O、A、B为逆时针排列，而O、C、D为顺时针排列）. 不妨将B、D看作两个等腰Rt三角形的两只脚，连接两脚，即形成了经典的“脚拉脚模型”（也叫“脚勾脚模型”）.请证明下列结论：（1）取拉脚线BD上的中点M，分别与两直角顶点相连，则有结论AM=CM且AM⊥CM2. 若将双等腰直角三角形弱化为两个逆序等腰三角形共底角顶点，且顶角互补，再连接另一组底角顶点并取中点，则该中点与两顶角顶点构成直角三角形.请证明：如上图，△ABO中，AB=AO，△COD中，CO=CD，且∠OAB+∠OCD=180°，取BD中点，则有AM⊥CM.【举一反三练习】1．【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B＝．【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找P A，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找P A，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．2．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD 叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE的面积．4.在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG＝PC．（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．思考1：以上三问中△BFG的位置均为特殊位置，若将△BFG绕点B旋转，在旋转过程中，以上结论（CP⊥PG，PG= PC）还成立吗？【思考2】如果将菱形和等边三角形换成其他图形呢，结论还成立吗？如图，正方形ABCD与正方形BEFG，点P为DF中点，连接AP、EP，则AP与EP有怎样的位置关系和数量关系？。
中考手拉手模型专题知识解读
手拉手模型专题知识解读【专题说明】手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。
因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。
手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。
【方法技巧】类型一：等边三角形手拉手（1）如图，B 、C 、D 三点共线，▲ABC 和▲CDE 是等边三角形，连接AD 、BE ，交于点P（2）记AC 、BE 交点为M ，AD 、CE 交点为N（2）连接MN结论一：△ACD ≌△BCE证明：AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→△ACD ≌△BCE （SAS）结论二：△ACN ≌△BCM ；△MCE ≌△NCD证明：MBC NAC BC AC BCM ACN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→△ACN ≌△BCM （SAS ）；MCE NCD CE CDCEM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩→△MCE ≌△NCD （ASA）（4）记AD 、BE 交点为P ，连接PC ：（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°（6）连AE:结论六：P 点是▲ACE 的费马点（PA+PC+PE 值最小）类型二：正方形手拉手如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 均为正方形，连接BE 、DG结论三：△MNC 是等边三角形．证明：60CM CNMCN =⎧⎨∠=︒⎩→△MCN是等边三角形．结论四：PC 平分∠BPD证明：△BCE ≌△ACD →CG =CH →PC 平分∠BPD．【典例分析】【类型一：等边三角形手拉手】【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC 中，BC ＝5，以AC 为边向外作等边△ACD ，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接CE 、BD ． （1）若AC ＝4，∠ACB ＝30°，求CE 的长； （2）若∠ABC ＝60°，AB ＝3，求BD 的长．【解答】解：（1）∵△ABE 与△ACD 是等边三角形， ∴AC ＝AD ，AB ＝AE ，∴∠DCA ＝∠CAD ＝∠EAB ＝60°， ∴∠EAB +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ， 即∠EAC ＝∠BAD ． 在△EAC 和△BAD 中，，∴△EAC ≌△BAD （SAS ）， ∴EC ＝BD ， 又∵∠ACB ＝30°，∴∠DCB ＝∠ACB +∠DCA ＝90°， ∵CD ＝AC ＝4，BC ＝5， ∴BD ＝＝＝，结论一：△BCE ≌△DCG证明：CB CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩→△BCE ≌△DCG （SAS ）结论二：BE =DG ，BE ⊥DG 证明：△BCE ≌△DCG →BE =DG ；∠CBE ＝∠CDG →∠DHB =∠BCD =90°（旋转角都相等）【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、定模型”．∴CE＝；（2）如图，作EK垂直于CB延长线于点K．∵△ABE与△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，∴∠EBK＝60°，∴∠BEK＝30°，∴BK＝BE＝，∴EK＝＝＝，∴EC＝＝＝7，∴BD＝EC＝7．【变式1-1】（2021九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=√2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．【答案】（1）解：如图所示，BE=2√2；（2）解：AD=BE，AD⊥BE仍然成立.证明：延长AD交BE于点H，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠ACD=∠ACB−∠BCD，∠BCE=∠DCE−∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，又∵CD=CE，AC=BC，∴△ACD≅△BCE，∴AD=BE，∠1=∠2，在Rt△ABC中，∠1+∠3+∠4=90°，∴∠2+∠3+∠4=90°，∴∠AHB=90°，∴AD⊥BE.（3）AD=√5−1或AD=√5+1【变式1-2】（2021九上·宜春期末）如图（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠ACB的度数为；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上．若CE=√2，BE=2，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E 不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【解答】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，故答案为：60°；②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≅△BEC(SAS)，∴AD=BE，∵△DCE为等边三角形，∴CE=DE，∴BE+CE=AD+DE=AE，故答案为：BE+CE=AE（2）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=CB，∠CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ADC≅△BEC(SAS)，∴AD=BE=2，∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE=√2，DE=√CD2+CE2=√(√2)2+(√2)2=2，∴∠CEB=∠CDA=180°−45°=135°，AE=AD+DE=2+2=4，∴∠AEB=∠CEB−∠CED=135°−45°=90°，∴△AEB是直角三角形，∴AB=√AE2+BE2=√42+22=2√5（3）如图3，由（1）知△ADC≅△BEC，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠ABC=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°−120°=60°，如图4，同理求得：∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．【变式1-3】（2021春•金牛区校级期中）类比探究：（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【解答】解：（1）如图1，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，∴△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠P A P′＝60°，∴△AP P′为等边三角形，∴P P′＝AP＝8，∠A P′P＝60°，∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°（2）如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，则AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠F AE′＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACE′＝90°，∴∠FCE′＝90°，∴E′F2＝CF2+CE′2，∴EF2＝BE2+CF2；（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【典例2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD ＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：过A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【变式2-1】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．【解答】解：（1）∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠B＝45°，∴直线AE，CD相交形成的较小角的度数为45°，故答案为：；45；（2）无变化，理由如下：延长AE，CD交于点F，CF交AB于点G，∵△ABC与△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，又∵，∴△ABE∽△CBD，∴，∠BAE＝∠BCD，∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；（3）如图，当DE在AB上方时，作AH⊥CD于H，由A，D，E三点在同一条直线上知，∠ADB＝90°，∴AD＝，由（2）知∠ADH＝45°，，∴AH＝＝，CD＝，∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，当DE在AB下方时，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，【类型二：正方形手拉手】【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【解答】解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500【变式3】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．【解答】解：（1）CD＝BF且CD⊥BF，理由如下：∵四边形ABED和四边形ACGF都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AF，∠DAB＝∠CAF＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB+∠BAC，∠BAF＝∠CAF+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAF，在△DAC与△BAF中，，∴△DAC≌△BAF（SAS），∴DC＝BF，∴∠AFB＝∠ACD，又∵∠AFN+∠ANF＝90°，∠ANF＝∠CNM，∴∠ACD+∠CNM＝90°，∴∠NMC＝90°，∴BF⊥CD；（2）∵AD＝AB，AC＝AF，CD＝BF，∠DAB＝∠CAF＝90°，∴△ADC可看成是△ABF绕点A顺时针旋转90°得到的．。