高一数列
高一数列知识点归纳总结
高一数列知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域和学科。
在高中数学中，数列是一个重要的学习内容，掌握数列的性质和运算法则对于进一步深入学习数学至关重要。
本文将对高一数列的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握相关概念。
一、数列的定义和基本性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
通常用字母表示数列的一般项，如a₁，a₂，a₃，…，aₙ。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
等差数列是指数列中各项之间的差值保持一致的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中n为项数。
等比数列是指数列中各项之间的比值保持一致的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为an=a₁*q^(n-1)，其中n为项数。
斐波那契数列的定义是从第3项开始，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34等。
二、数列的运算法则1. 数列的加法：两个数列相加，对应项相加即可。
如数列{1，3，5，7，9}与数列{2，4，6，8，10}相加，得到数列{3，7，11，15，19}。
2. 数列的减法：两个数列相减，对应项相减即可。
如数列{1，3，5，7，9}与数列{2，4，6，8，10}相减，得到数列{-1，-1，-1，-1，-1}。
3. 数列的数乘：一个数列的每一项都乘以同一个数k，所得的数列称为原数列的数乘。
如数列{1，3，5，7，9}乘以2，得到数列{2，6，10，14，18}。
4. 数列的除法：一个数列的每一项都除以同一个非零数k，所得的数列称为原数列的除法。
如数列{2，4，6，8，10}除以2，得到数列{1，2，3，4，5}。
三、数列的前n项和数列的前n项和是指数列前n个数项之和。
对于等差数列和等比数列，有一般公式来计算前n项和。
1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a₁+an)*n/2，其中a₁为首项，an为第n项，n为项数。
高一数学-数列基础知识归纳
一、等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
文字定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
符号定义
如： （下标成等差数列）
3. 等比，则
也等比。
4.等比数列的通项公式类似于 的指数函数，
即：
等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即：
5.等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。
证明方法
证明一个数列为等差数列的方法：
1.定义法
2.中项法
证明一个数列为等比数列的方法：
1.定义法
即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3.裂项相消法 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列 和 （其中 等差）可Βιβλιοθήκη 项为：分类递增数列：
递减数列：
摆动数列：
常数数列：
通项
前n项和
中项
主要性质
等和性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相加，则和相等
等积性：
若 则
推论：若 则
即：首尾颠倒相乘，则积相等
其
它
性
质
1.等差数列中连续 项的和，组成的新数列是等差数列。即：
等差，则有
2.从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
2.中项法
设元技巧
三数等差：
四数等差：
三数等比：
高中高一数学公式知识点：高中数列基本公式
高中高一数学公式知识点：高中数列基本公式【】高中如何复习一直都是考生们关注的话题，下面是查字典数学网的编辑为大家准备的高中高一数学公式知识点：高中数列基本公式一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：an= a1qn-1an= akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n 的正比例式);当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
高一数学数列知识点
高一数学数列知识点数列作为数学中的一种重要的数学工具和概念，不仅在高中阶段的数学学习中占据着重要的地位，同时也在其他学科中有着广泛的应用。
在高一数学课程中，学生将学习数列的定义、性质和应用等内容，以下将对数列相关知识点进行介绍。
一、数列的概念及表示方法数列指的是按照一定顺序排列的一组数字集合。
其中，每一个数字称为数列的项，而数列的顺序则由项之间的位置关系来确定。
数列可以用文字描述、图形表示和符号表示等多种方式来表达。
以数列 {an} 为例，其中 a1、a2、a3 分别表示数列的第一项、第二项、第三项，an 表示数列的第 n 项。
此外，数列也可以用递推公式表示，该公式表明每一项的值与前一项的关系，如 an = an-1 + 1。
二、等差数列等差数列是指数列中，每一项与它前一项之间的差值都相等的数列。
这个公差可以是整数、小数甚至负数。
一般来说，等差数列的递推公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示第一项，d 表示公差。
等差数列是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律让人们在各个领域中广泛应用。
例如在物理学中，等差数列可以表示匀速直线运动的位置随时间的变化规律。
三、等比数列等比数列是指数列中，每一项与它前一项之间的比值都相等的数列。
这个公比可以是正数、小数甚至负数。
一般来说，等比数列的递推公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 表示第一项，r 表示公比。
等比数列同样也是数学中十分重要的数列之一，它的性质和规律在金融、工程等领域中有广泛的应用。
例如在金融中，等比数列可以用来计算复利的增长规律。
四、数列的求和在数学中，我们经常需要计算数列的前 n 项和。
对于等差、等比数列，我们可以使用求和公式来计算。
等差数列的前 n 项和为 Sn = (a1 + an) * n / 2，等比数列的前 n 项和为 Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中 Sn表示前 n 项和。
高一数学人选择性必修课件数列
05
等差中项：如果三个数 $a$，$G$，$b$依次组 成等差数列，则$G$叫做
的等差中项，且 $2G=a+b$（等差中项的 二倍等于前项与后项之和
）。
等比数列及其性质
等比数列性质
中项性质：在等比数列中，如果 $m+n=p+q$，则$a_m cdot a_n = a_p cdot a_q$。
数列表示方法
通常用带下标的字母表示，如$a_n$，其中$n$为正整数，表示数列的第$n$项 。
等差数列及其性质
等差数列性质
中项性质：在等差数列中 ，如果$m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
01
02
等差数列定义：从第二项 起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数的一
种数列。
建立数列
将每期付款金额按照时间顺序排列 ，形成一个等差或等比数列。
求解方法
利用等差或等比数列的求和公式， 结合实际问题中的约束条件，求解 分期付款的总金额或每期应付款项 。
储蓄问题建模与求解
描述问题
明确储蓄的方式、期限、利率等 要素，构建数学模型。
建立数列
将每期储蓄金额及产生的利息按 照时间顺序排列，形成一个复利
03
分析
根据等差中项性质，$a_3 + a_7 = 2a_5$， 由此可求出$a_5$的值。
05
02
分析
根据等差数列前n项和与通项的关系，可以 通过求差得到通项公式。
04
例题2
已知等差数列${ a_n }$中，$a_3 + a_7 = 10$，求$a_5$的值。
06
解答
由$a_3 + a_7 = 2a_5 = 10$，得$a_5 = frac{10}{2} = 5$。
高一数列的概念及简单表示方法知识点+例题+练习 含答案
1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项． 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋3 (n ∈N *)，则a 10＝________. 答案128解析 由题意得1a n ＋1－1a n＝3.∴1a 2－1a 1＝3，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝3，1a 5－1a 4＝3，…，1a 10－1a 9＝3，对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是________． 答案 28解析 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ≥1，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__________． 答案 a n ＝3n －1解析 由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1 (n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，a 3＝3·a 2＝32·a 1＝32， a 4＝3a 3＝33… a n ＝3a n －1＝3n －1.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －45．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为________．①a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) ②a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)③a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *) ④a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)③ (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 (1)130 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝________. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∵b n ＝2a n ＋1，∴b n ＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ， n ≥2，n ∈N *.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴c n ＋1<c n .∴数列{c n }为递减数列． 命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_____________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是________．答案119解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5．数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝__________.(用式子表示)(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是____________．思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解．(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝(2 016＋4)×2 0132＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013.(2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ，化简得t (n －2)＞1. 当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1)1 010×2 013 (2)(1，＋∞)温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．[方法与技巧]1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．4．数列的性质可利用函数思想进行研究．[失误与防范]1．数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件．2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．3．由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________． 答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝__________.答案 n 2(n －1)2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝________. 答案 30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30. 4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．答案 充分不必要解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．6．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________. 答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n n ＝2，则a n n的最小值为________． 答案 10.5解析 由题意可知a n ＋1＝a n ＋2n ，由迭代法可得a n ＝a 1＋2[1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)]＝n 2－n＋33，从而a n n ＝n ＋33n －1.当n ＝6时，a n n取得最小值10.5. 12．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 13．定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案 a n ＝4n －3解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N *可得k ＝4. 15．(2015·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
高一数列知识点的梳理总结
高一数列知识点的梳理总结数列是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模、微积分等领域的基础知识。
本文将对高一数列的基本概念、性质和常见的数列类型进行梳理和总结。
1. 数列的基本概念和性质- 数列：按照一定的顺序排列的一组数。
- 公式：数列中每一项与其位置之间的关系可以用一个公式来表示。
- 项数：数列中的元素个数。
- 通项公式：用公式表示数列的每一项。
- 首项：数列中的第一项。
- 公差：数列中相邻两项的差值。
- 递推公式：用前一项来表示后一项的公式。
2. 常见的数列类型- 等差数列：数列的相邻两项之差是一个常数。
通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$d$表示公差。
- 等比数列：数列的相邻两项之比是一个常数。
通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第$n$项，$a_1$表示首项，$r$表示公比。
- 斐波那契数列：数列中的每一项是前两项的和。
通项公式为：$f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$，其中$f_n$表示第$n$项，$f_1 = 1$，$f_2 = 1$。
3. 数列的应用- 数列在数学建模中的应用：数列可以用来描述一定规律的变化过程，通过数列的性质和规律，可以解决实际问题。
- 数列在微积分中的应用：数列是微积分的基础，通过研究数列的趋势和极限，可以刻画函数的性质和变化规律。
以上是对高一数列知识点的基本梳理和总结，掌握这些知识对于学习高中数学和应用数学都具有重要意义。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结在高一数学课程中，数列是一个重要的概念。
数列是一种按照一定规律排列的一系列数，通过研究数列的规律和特性，我们可以掌握很多解题技巧和方法。
本文将对高一数学数列相关的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，d为公差。
以下是等差数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an) =n(a1 + an)/2，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d) = (n/2)(a1 + an) ，其中Sn为前n项和；4. 等差数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的中值；5. 若m项等于n项差相等，则m至n项也是等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方式为a1，a2，a3，...，an，其中a1为首项，q为公比。
以下是等比数列的一些重要性质和公式：1. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中n为项数；2. 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；3. 通项求和：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和；4. 等比数列的性质：任意三个连续项中，第二项是这三个数的几何平均数；5. 如果q的绝对值小于1，那么等比数列的前n项和存在极限，即Sn = a1 / (1 - q)。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
斐波那契数列的性质有：1. F(n) = F(n-1) + F(n-2)；2. 斐波那契数列的前n项和可以通过递推公式进行求解。
高一数学数列知识点总结
高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。
通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。
数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。
二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。
等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。
等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。
2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。
3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。
三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。
等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。
等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。
2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。
3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。
四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。
递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。
递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。
递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。
2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。
3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。
五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。
高一数学数列全章知识点
高一数学数列全章知识点数列是数学中比较重要的一个概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在高一数学课程中，数列是一个重要的章节，它是以高中数学的理论与实践紧密结合的一门学科。
下面将介绍高一数学数列全章的知识点。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
我们用a表示首项，d表示公差。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项。
等差数列有以下几个重要的性质：1. 等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2。
通过将首项和末项相加，再乘以项数的一半可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之和等于常数项，即an+an+1=常数。
这是等差数列的一个重要性质，它说明了等差数列中相邻两项的和是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公差已知，则可通过等差数列的前n项和公式求出项数n。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
我们用a 表示首项，q表示公比。
等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，其中an表示第n项。
等比数列有以下几个重要的性质：1. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
通过将首项乘以1与公比的n次方之差再除以1与公比之差可以得到数列的前n项和。
2. 相邻两项之比等于常数项，即an/an+1=常数。
这是等比数列的一个重要性质，它说明了等比数列中相邻两项的比值是一个常数。
3. 若数列的首项、末项和公比已知，则可通过等比数列的前n 项和公式求出项数n。
三、求和公式的推导除了等差数列和等比数列的求和公式外，我们还可以通过数学推导得到其他类型数列的求和公式。
如一个比较常见的例子是求和公式Sn=1^k+2^k+...+n^k，其中k为常数，n为项数。
我们可以通过写出Sn与Sn-1的差值来进行推导。
假设Sn-Sn-1=an，则Sn=an+Sn-1。
我们可以观察到，当n增加时，an的值具有一定的规律性。
通过观察可以得到以下结论：1. 若k=1，则an=n，所以Sn=n(n+1)/2。
知识点：高一数学数列公式大全
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高一数学是高中生学好高中数学的重要组成部分，学好化学直接影响着高中三年理综的成绩。
下面是查字典数学网为大家汇总的高一数学数列公式大全。
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n 的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q1时，Sn=
Sn=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、
1) 是等差数列。
13. 在等差数列
中：
(1)若项数为
，则
(2)若数为
则，
14. 在等比数列
中：
(1) 若项数为
，则
(2)若数为
则，
以上就是小编为大家整理的高一数学数列公式大全。
高一知识点归纳数学数列
高一知识点归纳数学数列高一知识点归纳：数学数列数学数列是高中数学中重要的概念之一，它在高一阶段的学习中起着基础和桥梁的作用。
数列可以说是数学中非常基础的概念之一，它不仅在高中数学中出现，也在大学数学及其他科学领域中有着广泛的应用。
本文将对高一阶段学习的数学数列进行归纳总结。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列常用于描述某个事物中的数量的变化规律，通过数列我们可以更好地了解事物的发展趋势和规律。
在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式表示。
二、等差数列等差数列是指数列中，任意一项与它的前一项之差都是相等的数列。
即对于等差数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列在数学中占有重要地位，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
三、等比数列等比数列是指数列中，任意一项与它的前一项之比都是相等的数列。
即对于等比数列{an}，它的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列在数学中也有着重要的应用，尤其在利滚利、金融工程、自然科学等方面。
四、数列的求和求和是数列中常见的问题之一，它可以帮助我们了解数列中各项的和以及规律。
对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算其和。
等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，等比数列的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
五、数列的递推关系与通项公式数列的递推关系和通项公式是数学中研究数列重要的内容。
通过找到数列中项与项之间的关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而可以方便地计算数列中任意一项的值。
对于等差数列和等比数列，递推关系和通项公式是可以很容易得到的。
六、数列的性质数列在数学中具有一些重要的性质，这些性质在解题过程中起到了关键的作用。
一些常见的数列性质包括：有界性、单调性、有序性、周期性等。
高一数列和不等式知识点
高一数列和不等式知识点数列和不等式是高一数学学习中重要的知识点，对于理解和解决实际问题有着重要的应用价值。
下面将分别介绍数列和不等式的基本概念、性质及其应用。
一、数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。
通常用{a1, a2,a3, ... , an}表示，其中ai称为数列的第i个项。
数列中的规律可以通过等差数列和等比数列来体现。
1. 等差数列等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
设首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，当|r|<1时成立。
二、不等式的概念和性质不等式是含有不等关系的数学式子。
常见的不等关系有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。
不等式的解称为不等式的解集，是使不等式成立的所有实数的集合。
1. 不等式的解集表示不等式的解集用集合的形式来表示，例如解集A={x | x > 1}表示满足x > 1的所有实数x的集合。
2. 不等式的性质- 加减性：不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；- 乘除性：不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；若乘（除）同一个负数，不等号方向改变；- 同底指数幂的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则a^n<b^n，若0<a<b<1，则a^n>b^n；- 平方根的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则√a<√b；- 倒数的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则1/b<1/a。
高一数学知识点带例题大全
高一数学知识点带例题大全一、数列与数列求和1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
记作：an=a1+(n-1)d。
例题：已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，求该数列的首项和公差，并计算第10项的值。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
记作：an=a1*q^(n-1)。
例题：已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求该数列的通项公式，并计算第5项的值。
3. 数列求和数列求和是指对数列中一定范围内的项进行求和。
常用的求和公式有等差数列求和公式、等比数列求和公式以及部分和公式。
例题：已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。
二、函数与方程1. 函数表示与性质函数是一种具有确定性的映射关系。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。
例题：已知一次函数y=2x+1，求该函数的定义域、值域以及它的奇偶性和单调性。
2. 方程的解与解法方程是指两个代数式之间相等的关系。
常见的方程类型有一次方程、二次方程、指数方程、对数方程等。
解方程的方法有代入法、因式分解法、配方法、公式法等。
例题：求解方程2x^2-5x+2=0，并判断解的个数和属性。
三、几何与三角形1. 向量与平面几何向量是具有大小和方向的量，可以表示位移、速度、力等。
平面几何研究的是平面内点、线、面的关系及性质。
例题：已知两个向量a=3i-2j和b=i+4j，求它们的数量积和夹角，并判断是否垂直。
2. 三角形的性质与定理三角形是由三条线段组成的闭合图形。
常见的三角形类型有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
三角形的性质包括角度关系、边长关系、面积公式等。
例题：已知三角形ABC，AB=AC，∠BAC=60°，求证：BC=AB。
四、概率与统计1. 概率计算与事件关系概率是指某个事件发生的可能性大小。
常见的事件关系有互斥事件、独立事件、事件的并、交与差等。
高一数学数列的概念知识点
高一数学数列的概念知识点数列是数学中的一个重要的概念，在高一数学学科中也是一个基础的知识点。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
它的重要性在于通过研究数列的性质和规律，可以揭示数学中的许多重要概念和理论，同时也可以应用到许多实际问题的解决中。
本文将重点介绍高一数学数列的概念和知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、数列的定义和表示数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数称为项，通常用字母来表示，如$a_1$，$a_2$，$a_n$等。
数列可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示方法有公式表示法和递归表示法。
公式表示法是通过给出数列中每一项与前一项之间的关系用一个公式来表示整个数列。
比如等差数列$a_1$，$a_2$，$a_3$，...，$a_n$的公式表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。
递归表示法是通过给出数列中前两项的值和一个递推关系来表示整个数列。
比如斐波那契数列$F_1$，$F_2$，$F_3$，...，$F_n$的递归表示为$F_1=1$，$F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$。
二、数列的分类和性质根据数列的性质和规律，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等不同类型的数列。
不同类型的数列有不同的性质和特点。
等差数列是每一项和前一项之间的差恒定的数列，可以用公差$d$来表示。
等差数列的常见性质包括：前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$、任意相邻两项和的公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$、通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$等。
等比数列是每一项和前一项之间的比值恒定的数列，可以用公比$r$来表示。
等比数列的常见性质包括：前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$、无穷项和公式$S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}$、通项公式$a_n=a_1 \times r^{n-1}$等。
高一数列归纳知识点总结
高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。
在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。
本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。
一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。
（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。
二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。
4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。
例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。
通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。
三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。
2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。
3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。
4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。
高一年级数学数列知识点
高一年级数学数列知识点数学是一门既让人望而却步又充满挑战的学科。
而在高一的数学课程中，数列是一个非常重要的知识点。
所以，我们有必要系统地学习和理解数列的相关概念和应用。
本文将介绍高一年级数学中与数列相关的知识点。
一、数列的定义与分类数列是由一列按顺序排列的数字组成的列表。
它为我们研究和描述数字之间的规律提供了一个有效的工具。
根据构成数列的数字的特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是一个常见的数列类型。
它的特点是每个相邻的数字之间的差是相同的。
我们用公式an = a1 + (n-1)d来表示等差数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，d表示公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
相比之下，等比数列的特点是每个相邻的数字之间的比值是常数。
我们用公式an = a1 * r^(n-1)来表示等比数列的通项公式，其中an表示第n个数字，a1表示第一个数字，r表示公比。
例如，1，4，16，64，256就是一个公比为4的等比数列。
二、数列的求和公式在数列的研究中，我们经常需要求出数列的前n个数字的和。
根据数列的类型不同，我们可以使用不同的求和公式。
对于等差数列，求和公式是Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
而对于等比数列，求和公式是Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)。
在应用求和公式时，我们需要注意数列的边界条件。
特别是在使用等差数列求和公式时，我们必须确认数列的首项、公差和终项。
三、数列的应用数列作为一种有序的数字排列方式，可以在各种实际问题中发挥重要的作用。
首先，数列可以用于描述一些规律或模式。
通过观察和推理数列的数字，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解决问题。
例如，一个数列的通项公式可以帮助我们预测和计算数列中的任意一个数字。
其次，数列可以应用于计算和统计。
例如，我们可以使用数列的求和公式计算某个连续数列的总和。
数列知识点总结高一
数列知识点总结高一数列是数学中非常重要的一个概念，高中数学中也有很多关于数列的考点和应用题。
本文将对高一数学学习中的数列知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握数列的概念和性质。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每个数称为这个数列的项，用通项公式表示为An。
二、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
1. 等差中项公式对于等差数列，如果知道了首项和末项，可以用等差数列中项公式求解中间项。
它的公式为An = A1 + (n-1)d。
2. 等差数列的性质（1）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
（2）通项和前n项和的关系：可以通过前n项和公式推导得到通项公式An = A1 + (n-1)d，其中d = (an - a1) / (n-1)。
三、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An = A1 * q^(n-1)，其中A1为首项，q为公比，n为项数。
1. 等比数列的性质（1）前n项和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中Sn为前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。
（2）通项和前n项和的关系：可以通过前n项和公式推导得到通项公式An = A1 * q^(n-1)，其中q = (an / a1)^(1/(n-1))。
四、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍一些常见的数列应用。
1. 等差数列的应用（1）求和问题：通过等差数列的前n项和公式，可以快速求解等差数列前n项的和，常用于计算问题。
（2）算术平均数问题：等差数列的项之间都有相等的差值，因此可以利用这个性质进行算术平均数的计算。
2. 等比数列的应用（1）求和问题：通过等比数列的前n项和公式，可以快速求解等比数列前n项的和，常用于计算问题。
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等差数列的概念与通项公式1．等差数列的概念：如果一个数列从第二项起， 都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示． 2．等差数列{}n a 的通项公式为： ． 随堂训练：1、求下列等差数列的通项公式： （1）13，9，5，…； （2）21-，21，23，…．2、在等差数列{}n a 中，（1）已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20；（2）已知5a ＝10，15a ＝25，求25a ； （3）354a =,734a =-，求15a 的值.练习：1．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：（1）（ ），5，10； （2）1，2，（ ）； （3）31，（ ），（ ），10．2．已知等差数列x ，12-，y ，8-，…，其中第一个正项为第 项． 3．等差数列{}n a 中，已知103=a ，289=a ，则12a =_______________．4．在等差数列{}n a 中，若3754,1a a a =-=+，则此数列的通项1a = ；公差d = ．5．等差数列n a 中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a6、．等差数列的首项是31．若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 ．7．在等差数列n a 中，12501125a a a ++⋅⋅⋅+=，51521003625a a a ++⋅⋅⋅+=，求数列{}n a 的通项公式．8、在1-与7之间顺次插入三个数c b a ,,，使这五个数成等差数列，求此等差数列．9、若{a n }为等差数列，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，85a a += ． 10．已知等差数列{}n a 中，2087654=++++a a a a a ，则=+102a a ． 11．在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是 ． 12．等差数列{a n }中，已知a 1 + a 4 + a 10 + a 13 = 36 ,求a 5+a 9 .等差数列的前n 项和1．等差数列的前n 项和的公式：n S = = ． 2．在等差数列}{n a 中，（1）已知71=a ，4310-=a ，求10S ； （2）已知1001=a ，2-=d ，求50S ；（3）已知1015-=a ，2=d ，求20S ； （4）已知85=a ，249=a ，求n a 和n S ．（5）已知1166S =，求6a ； （6）已知1012=a ，求数列的前23项之和．3．（1）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，求n a（2）在共有n 项的等差数列{}n a ，若前三项之和为12，最后三项之和为75，各项之和为145，求项数n ．（3）等差数列}{n a 中，已知1008=S ，39216=S ，试求24S ．4．在等差数列}{n a 中，20141084=+++a a a a ，则前17项的和为 ． 5．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＋a 12＋a 15＝36，S 16= ． 6．在等差数列{a n }中，已知a 6＝20，S 11= ．7．已知等差数列{}n a 的前30项的和S 30=45，则526a a += ； 若113a =-，则公差d = ．8、在等差数列{n a }中，已知n a n 222-=，（*N n ∈），则n s =______________；当n=__________时，n s 取最大值，最大值为 ．练习1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且164=a ，810=a ，则13S 等于 ． 2．等差数列{}n a 中，405=S ，1952=+a a ，则=1a ． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n n S n 352+=，求这个数列的通项公式．5．在等差数列{n a }中, 415a =-，公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值6．在共有n 项的等差数列{}n a ，若前四项之和为40，最后四项之和为80，各项之和为720，求项数n ．等比数列的概念与通项1．等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第二项起， 都等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用q 表示． 思考：等比数列的公比可以为0吗? 可以有为0的项吗? 2．练习：求出下列等比数列中的未知项： ①2，a ，8；②4-，b ，c ，21．3．求下列各等比数列的通项公式：（1）1a = -2, 3a = -8 （2）243,,,,3a b c（3）320a =，6160a = （4）203=a ，1606=a4．（1）等比数列{}n a 中，已知574a a =，求6a ,48a a（2）等比数列{}n a 中，已知2435460,225n a a a a a a a >++=, 求3a a +（3）等差数列{}n a 中，236,,a a a 依次成等比数列，求相应的公比．随堂训练：1、等比数列{}n a 中 （1）已知154510,90a a ==,求60a ； （2）已知392,128a a ==,求6a ；（3）已知910111264a a a a ⋅⋅⋅=，求813a a ⋅的值． 2、在等比数列{}n a 中，（1）若274=a ，公比3-=q ，求7a ； （2）已知81842= =a a ，，求1a 和q ；（3）已知6475= =a a ，，求9a ； （4）若1515=-a a ，624=-a a ，求3a ．3．已知数列{}n a 的通项公式为n n a 23=，求证：数列{}n a 是等比数列．4．在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前七项之积．5．判断：（1）已知)02(1≠≥⋅=-q n q a a n n ，，则{}n a 成等比数列． （ ） （2）已知)0(≠⋅=cq q c a n n ，则{}n a 成等比数列．（ ） （3）已知cba222 ，，成等比数列，则c b a ，，成等差数列． （ ） （4）已知c b a lg lg lg ，，成等差数列，则c b a ，，成等比数列．（ ）6．已知{}n a 成等比数列，32,184352=⋅=+a a a a ，求n a ．7．（1）45和80的等比中项为 ；（2）已知两个数9+k 和k -6的等比中项是k 2，则=k ． 8．在等比数列{}n a 中，120304321=+=+a a a a ，，则65a a +的值是___________．9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=⋅a a ，求1032313log log log a a a +++ 的值．等比数列的前n 项和1．等比数列求和公式：n S =_______________=_______________． 2．在等比数列{}n a 中，（1）====n S n q a ，，，6231_____；（2）==-=-=n S n q a ，，，53111_____； （3）==-=101214S q a ，， ；（4）====n n S a q a ，，，212181_____； （5）===-=n S n q a ，，，10181_____；（6）====k k S q a a ，，，324311____；3、在等比数列{}n a 中，若93,48n n S a ==，公比q=2，求n4、求数列 ，，，，，n n 21813412211+ + + +的前n 项和．分层作业1．在等比数列{}n a 中，42231==S a ，，则公比=q ．2．等比数列{}n a 的公比为整数，且12183241=+=+a a a a ，，则前8项和为 ． 3．在等比数列{}n a 中，6284==S S ，，则=+++20191817a a a a ． 4．等比数列的首项为2，公比为1-，则它的前99项和为 ． 5．等比数列{}n a 中，151==q a ，，则=100S ． 6．等比数列{}n a 中，若267,91S S ==，则S 4为 ．7．在正实数组成的等比数列中，若4563a a a =，则31323839log log log log a a a a +++= ． 8、．在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则30S ＝ .9．若等比数列}{n a 的前n 项之和a S n n +=3，则=a ．10. 已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.数列求和例1．求和：（1）1111.....12123123...n S n=+++++++++++（2）.....n S =+（3）求和()()()2211121221222n n S -=++++++++++（4）求和()()11357121n n S n -=-+-++--（5）已知 21210,1,2)32n nn n k a k n k- =+⎧⎪= (=⎨ =⎪⎩例2．（1）数列{}n a 满足111,43n n a a a +==+，(1,2,3.....)n = ，求a n ；（2）已知a 1 = 1，且a n + 1 = a n +1(2)n n ⋅+，求a n ．例3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （1） 求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T例4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n例5．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1＝4a n ＋2(n ＝1，2，…)，a 1＝1 （1）设b n ＝a n +1－2a n (n ＝1，2，…)，求证{b n }是等比数列；（2）设c n ＝a n2n (n ＝1，2，…)，求证{c n }是等差数列；（3）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式.分层作业 一 基础题1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S = ．2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S , 则2a 等于 ．3．数列2211,13,133,,1333n -+++++++的前n 项和n S 等于 ．4．数列{}n a 的通项公式为n a =，若9n S =，则n 等于 ．5．已知a 1 = 1，且a n + 1 = a n +21n +，求a n6．已知a 1 = 1，且a n + 1 = a n + )1(1+⋅n n ，求a n7．已知a 1 = 1，a n =11n n a n++⋅，求a n8．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋2n －1，则前n 项和S n ＝ ．二 提高题9．（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，(1,2,3.....)n = 求a n 。