高中数学竞赛标准讲义：第二章：二次函数与命题
高中数学竞赛教材讲义 第二章 二次函数与命题讲义
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直≠a 线x =-，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-，下同。
a b 2ab 22．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-}和空集，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
ab 2-≠∅3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和.f (x )图象与x 轴无公共∅点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=,若a <0，则当x =x 0=ab ac 442-a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, ab ac 442-n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。
第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)
一、基础知识2.二次函数的性质:当a>0时,f(x的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减,在[x0, -∞上随自变量增大函数值增大(简称递增。
当a<0时,情况相反。
1当△>0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<x2,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数f(x图象与x轴有两个不同的交点,f(x还可写成f(x=a(x-x1(x-x2.2当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集,f(x的图象与x轴有唯一公共点。
3当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是r和 .f(x图象与x轴无公共点。
当a<0时,请读者自己分析。
定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2 原命题:若p则q(p为条件,q为结论;逆命题:若q则p;否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。
注2 原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p则q”为真,则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中,如果已知p q,则p是q的充分条件;如果q p,则称p是q的必要条件;如果p q但q不p,则称p是q的充分非必要条件;如果p不 q但p q,则p称为q的必要非充分条件;若p q且q p,则p是q的充要条件。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
数学竞赛试题汇编三-《二次函数、方程、不等式》讲义
高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）(A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）(A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -，则x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是 .。
高中数学竞赛讲义(常考知识点归纳汇总)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
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三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
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三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛讲义(全套)
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三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试)与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1。
平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴.面积方法,复数方法，向量方法,解析几何方法。
2。
代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式,切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程＊3。
初等数论同余，欧几里得除法,裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理＊.4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
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三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
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注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学第二章函数-二次函数(竞赛精讲)
§2.2 二次函数一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- （4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、 综合应用：例1：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
高中数学竞赛讲义(免费)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛试题汇编三 《二次函数、方程、不等式》讲义
高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ） (A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞ (D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） (A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y 满足228624=0x x y y -+-+，则2x y -的最大值是 .。
高中数学：第2章 第2章 2.2.2 二次函数的性质与图象
2．2.2 二次函数的性质与图象1．会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．(重点) 2．通过图象研究二次函数的性质．(重点)3．掌握研究二次函数常用的方法——配方法．(重点)4．会求二次函数在闭区间上的最值(值域)．(难点)基础·初探]教材整理二次函数的性质与图象阅读教材P57～P60“例3”以上部分，完成下列问题．1．二次函数的概念函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R. 2．二次函数的性质与图象函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)性质抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是－b2a，4ac－b24a对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是增函数在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是减函数函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)性质抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y min＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y max＝4ac－b24ab＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋c在y轴的左侧是减函数．()(2)函数y＝2x2＋3是偶函数，对称轴为x＝－32.()(3)二次项系数|a|的大小决定着二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口大小．()【答案】(1)×(2)×(3)√2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则()【导学号：97512022】A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】∵y＝f(x)关于x＝1对称，∴－b2a＝－m2＝1，∴m＝－2.【答案】 A小组合作型]二次函数的图象(1)()A B C D(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？【解析】A图，a＜0，c＜0，－b2a＜0，∴b＜0，∴abc＜0，不合题意．B图，a＜0，c＞0，－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．C图，a＞0，c＜0，－b2a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．D图，a＞0，c＜0，－b2a＞0，∴b＜0，此时abc＞0满足题意，故选D.(2)y＝x2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y＝x2＋1的图象，则m＝1.【答案】 (1)D (2)1(3)由二次函数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≠0，m 2＋m －4＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，m ＝－3或m ＝2， 所以m ＝－3.所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－\f(b,2a )的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.再练一题]1．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C D【解析】 由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b 2a ＜0，结合图选项可知，选C.【答案】 C二次函数的性质(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)； (3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小. 【导学号：60210049】【精彩点拨】 f (x )＝3x 2＋2x ＋1→配方得顶点式→写出顶点坐标及对称轴→根据性质求f (0)→【解】 f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23. (1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13， 所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1. (3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.1．求二次函数图象的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法，掌握抛物线的顶点坐标公式⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .2．比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．再练一题]2．已知函数f (x )＝－12x 2－3x －52. (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52； (3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小． 【解】 f (x )＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5)＝－12(x ＋3)2＋2.(1)顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f (－3＋34)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94. ∵－14，－94∈－3，＋∞)，而f (x )在－3，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154. 探究共研型]二次函数的最值探究1 值？【提示】 函数在对称轴处取得最值．探究2已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．【提示】∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈2,3]时，求f(x)的最值．【精彩点拨】首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．【自主解答】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∴抛物线的对称轴为x＝1.(1)∵x＝1∈0,4]，∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.(2)∵x＝1∉2,3]．∴f(x)在2,3]上是单调增函数．∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，当x＝3时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(3)＝5.求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在m，n]上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间m，n]外，则f(x)在m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间m，n]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在m，n]端点处取得.再练一题]3．本题中解析式不变求“当x ∈t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )．”【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1；当t ≥1时，函数在t ，t ＋1]上为增函数，g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，(t <0)，1，(0≤t <1)，t 2－2t ＋2，(t ≥1).1．若f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－3,1)上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先增后减D ．先减后增【解析】 当m ＝0时，f (x )是偶函数，此时f (x )＝－x 2＋3，所以f (x )的图象是开口向下的抛物线，所以函数f (x )在区间(－3,1)上先增后减．【答案】 C2．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2,0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14【解析】 由抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2,0)得a ＝3，∴y ＝3x 2－6x ＝3(x －1)2－3，此抛物线顶点为(1，－3)，到原点距离为12＋(－3)2＝10.【答案】 B3．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则()A．f(4)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(1)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)【解析】f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．【答案】 B4．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的递减区间是(－∞，1－a]．又∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]．【答案】(－∞，－3]5．求函数f(x)＝x2＋2x在t,1]上的值域．【解】函数f(x)＝x2＋2x的对称轴为x＝－1，则(1)当－1<t<1时，t,1]是单调增区间，值域为f(t)，f(1)]，即t2＋2t,3]．(2)当－3≤t≤－1时，函数在x＝－1处取最小值，在x＝1处取最大值，值域为f(－1)，f(1)]，即－1,3]．(3)当t<－3时，函数在x＝－1处取最小值，在x＝t处取最大值，值域为f(－1)，f(t)]，即－1，t2＋2t]．。
高中数学竞赛试题汇编《二次函数、方程、不等式》讲义
高中数学竞赛试题汇编二《二次函数、方程、不等式》1. 如果不等式21x x a <-+的解集是()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）(A) (),7-∞ (B) (],7-∞ (C) (),5-∞(D) (],5-∞2. 若[]1,1a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）(A) 3x >或2x < (B) 2x >或1x <(C) 3x >或1x < (D) 13x <<3. 函数2()20112012f x x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和为 .4. 已知2()2f x x x a =++，2()441f bx x x =-+，则()0f ax b +>的解集为 .5. 设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 .6. 实数,x y 满足224+3=0x x y -+，则22x y +的最大值与最小值之差是 .7. 已知,x y R ∈，且221x y +≤，则x y xy +-的最大值是 .8. 已知,x y 满足14xy x y +=+，且1x >则()()12x y ++的最小值是 .9. 已知,x y 为实数，22(,)f x y x xy y x y =++--的最小值是 .10. 已知实数,x y 满足22116y x +=，则的最大值是 .11. 若,x y R ∈，满足2222222()5x x y y x x x --+-=，则x = ，y = .12. 已知,x y 为实数，则()22225410max x y x x y +=+= .13. 实数,x y 满足x -x 的取值范围是 .14. 已知0,0x y ≥≥，且221x y +=，则()x x y +的最大值是 .15. 实数,x y满足22-+-+，则2x x y y8624=0-的最大值是.x y。
2013届高中数学竞赛教案讲义(2)二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2 二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
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高中数学竞赛标准讲义：第二章：二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab 2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
f (x )在[m, n ]上的最小值为f (m)；当x 0>n 时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )（以上结论由二次函数图象即可得出）。
定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1 “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。
定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。
注2 原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ⇒q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中，如果已知p ⇒q ,则p 是q 的充分条件；如果q ⇒p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ⇒q 但q 不⇒p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不⇒q 但p ⇒q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件。
二、方法与例题1．待定系数法。
例1 设方程x 2-x +1=0的两根是α，β，求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ).【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a +b +1]=0，因为方程x 2-x +1=0中△≠0，所以α≠β，所以(α+β)a +b +1=0.又α+β=1,所以a +b +1=0.又因为f (1)=a +b +c =1，所以c -1=1，所以c =2.又b =-(a +1)，所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2.再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β,所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0.即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0，所以a =1,所以f (x )=x 2-2x +2.2．方程的思想。
例2 已知f (x )=ax 2-c 满足-4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围。
【解】 因为-4≤f (1)=a -c ≤-1,所以1≤-f (1)=c -a ≤4.又-1≤f (2)=4a -c ≤5, f (3)=38f (2)-35f (1), 所以38×(-1)+35≤f (3)≤38×5+35×4, 所以-1≤f (3)≤20.3．利用二次函数的性质。
例3 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R, a ≠0)，若方程f (x )=x 无实根，求证：方程f (f (x ))=x 也无实根。
【证明】若a >0，因为f (x )=x 无实根，所以二次函数g (x )=f (x )-x 图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的x ∈R,f (x )-x >0即f (x )>x ，从而f (f (x ))>f (x )。
所以f (f (x ))>x ，所以方程f (f (x ))=x 无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0<x 1<x 2<a1, （Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；（Ⅱ）设函数f (x )的图象关于x =x 0对称，求证：x 0<.21x 【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根，所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2)，即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x .（Ⅰ）当x ∈(0, x 1)时，x -x 1<0, x -x 2<0, a >0，所以f (x )>x .其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+a1]<0，所以f (x )<x 1. 综上，x <f (x )<x 1.（Ⅱ）f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2,所以x 0=ax x a x x a 21221)(2121-+=-+, 所以012121222210<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-a x a x x x ，所以.210x x <5．构造二次函数解题。
例5 已知关于x 的方程(ax +1)2=a 2(a -x 2), a >1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
【证明】 方程化为2a 2x 2+2ax +1-a 2=0.构造f (x )=2a 2x 2+2ax +1-a 2,f (1)=(a +1)2>0, f (-1)=(a -1)2>0, f (0)=1-a 2<0, 即△>0，所以f (x )在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
例6 当x 取何值时，函数y =2224)1(5+++x x x 取最小值？求出这个最小值。
【解】 y =1-222)1(511+++x x ,令=+112x u,则0<u ≤1。
y =5u 2-u+1=5201920191012≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-u , 且当101=u 即x =±3时，y m in =2019. 例7 设变量x 满足x 2+bx ≤-x (b <-1)，并且x 2+bx 的最小值是21-，求b 的值。
【解】 由x 2+bx ≤-x (b <-1)，得0≤x ≤-(b +1).ⅰ)-2b ≤-(b +1)，即b ≤-2时，x 2+bx 的最小值为-214,422-=-b b ，所以b 2=2，所以2±=b （舍去）。
ⅱ) -2b >-(b +1)，即b >-2时，x 2+bx 在[0，-(b +1)]上是减函数， 所以x 2+bx 的最小值为b +1,b +1=-21,b =-23. 综上，b =-23. 7.一元二次不等式问题的解法。
例8 已知不等式组⎩⎨⎧>+<-+-12022a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。
【解】 因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a ,若a ≤0，则x 1<x 2.①的解集为a <x <1-a ，由②得x >1-2a .因为1-2a ≥1-a ，所以a ≤0,所以不等式组无解。
若a >0，ⅰ）当0<a <21时，x 1<x 2,①的解集为a <x <1-a . 因为0<a <x <1-a <1，所以不等式组无整数解。
ⅱ）当a =21时，a =1-a ，①无解。
ⅲ）当a >21时，a >1-a ，由②得x >1-2a ，所以不等式组的解集为1-a <x <a .又不等式组的整数解恰有2个，所以a -(1-a )>1且a -(1-a )≤3，所以1<a ≤2，并且当1<a ≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，a 的取值范围是1<a ≤2.8．充分性与必要性。
例9 设定数A ，B ，C 使得不等式A (x -y )(x -z )+B (y -z )(y -x )+C (z -x )(z -y )≥0 ①对一切实数x ,y ,z 都成立，问A ，B ，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A ，B ，C 的等式或不等式表示条件）【解】 充要条件为A ，B ，C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ).先证必要性，①可改写为A (x -y )2-(B -A -C )(y -z )(x -y )+C (y -z )2≥0 ②若A =0，则由②对一切x ,y ,z ∈R 成立，则只有B =C ，再由①知B =C =0，若A ≠0，则因为②恒成立，所以A >0，△=(B -A -C )2(y -z )2-4AC (y -z )2≤0恒成立，所以(B -A -C )2-4AC ≤0，即A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA )同理有B ≥0，C ≥0，所以必要性成立。