圆的内接四边形教案及课后练习
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》是本节课的主要内容。
通过学习，学生能够理解圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
本节课的内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识。
但圆的内接四边形的性质较为复杂，需要学生通过实例探究、推理归纳等方法来理解和掌握。
同时，学生需要具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.理解圆的内接四边形的性质。
2.能够运用圆的内接四边形的性质解决相关问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的内接四边形的性质。
2.如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.实例探究：通过具体的图形，引导学生探究圆的内接四边形的性质。
2.推理归纳：引导学生运用已知的数学知识，推理归纳出圆的内接四边形的性质。
3.小组讨论：学生在小组内讨论如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解圆的内接四边形的性质。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的图形，引导学生观察圆的内接四边形，引发学生的思考。
2.呈现（10分钟）利用教学课件，呈现圆的内接四边形的性质，引导学生直观地理解。
3.操练（10分钟）让学生通过观察、思考、推理等方法，归纳出圆的内接四边形的性质。
4.巩固（10分钟）通过一些相关的练习题，巩固学生对圆的内接四边形性质的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生运用圆的内接四边形的性质解决实际问题，培养学生的运用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调圆的内接四边形的性质及其运用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业，让学生进一步巩固所学知识。
2021年浙教版数学九年级上册3.6《圆内接四边形》教案
2021年浙教版数学九年级上册3.6《圆内接四边形》教案一. 教材分析《圆内接四边形》是2021年浙教版数学九年级上册第三章第六节的内容。
本节课主要让学生了解圆内接四边形的性质，并能运用这些性质解决一些简单的问题。
教材通过实例引入圆内接四边形，让学生观察、探究、发现其性质，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于圆内接四边形的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导他们发现、总结圆内接四边形的性质，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.了解圆内接四边形的性质。
2.学会运用圆内接四边形的性质解决简单问题。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆内接四边形的性质。
2.如何运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和直观演示法，引导学生观察、操作、思考，培养他们的几何思维能力。
六. 教学准备1.准备一些圆内接四边形的图片，用于导入和展示。
2.准备一些练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）出示一些圆内接四边形的图片，让学生观察，并提出问题：“你们能发现这些圆内接四边形有什么特殊的性质吗？”引导学生观察、思考，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出圆内接四边形的性质。
讨论结束后，邀请几组代表进行分享，总结出圆内接四边形的性质。
3.操练（10分钟）出示一些练习题，让学生运用圆内接四边形的性质进行解答。
解答过程中，教师引导学生注意运用圆内接四边形的性质，提高他们的解题能力。
4.巩固（5分钟）让学生自主完成一些圆内接四边形的练习题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生的问题。
5.拓展（5分钟）出示一些综合性的练习题，让学生运用圆内接四边形的性质进行解答。
教师引导学生运用所学知识，提高他们的解决问题的能力。
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计1
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》是本节课的主要内容。
通过学习，学生能够了解圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和四边形的性质。
但对于圆的内接四边形的性质，可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而发现和证明圆的内接四边形的性质。
三. 教学目标1.理解圆的内接四边形的性质。
2.能够运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和探究能力。
四. 教学重难点1.圆的内接四边形的性质。
2.如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、探究法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，发现和证明圆的内接四边形的性质。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT、图片、例题和练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些关于圆的内接四边形的图片，引导学生关注圆的内接四边形，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现圆的内接四边形的性质，引导学生观察、思考，发现其中的规律。
在此过程中，教师引导学生进行探究，培养学生自主学习的能力。
3.操练（10分钟）通过一些例题，让学生运用圆的内接四边形的性质解决问题。
教师引导学生进行讨论，解答疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆的内接四边形的性质是否只适用于圆的内接四边形？能否推广到其他类型的四边形？从而激发学生的探究欲望。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调圆的内接四边形的性质及其运用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
圆内接四边形 初中数学第六册教案
圆内接四边形初中数学第六册教案圆内接四边形执教者：刁正久一、教学目标：掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理二、教学重点和难点：重点：圆内接四边形的性质定理难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用三、教学过程：1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念2、利用几何画板：①②（1）探索：如图点D在⊙O上（和A、C不重合）移动试讨论∠D和∠B的大小关系（学生对第一种情况比较熟悉但对于第二种情况做适当的提示：利用几何画板把D点在圆上移动！）通过学生的思维可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补利用此时的几何图形由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳从而得到定理：圆内接四边形的对角互补（书写符号语言）（2）对定理进行巩固①如图四边形ABCD为⊙O的内接四边形已知∠BOD=140°则∠BAD=°∠BCD=°②如图已知AB是圆O的直径∠BAC=40°D是弧AB上的任意一点那么∠D的度数是°（3）外角的引入紧接着前面的练习和学生共同研究探索题：（对于上面的探究性应用题针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）当学生最后得到∠E的度数后立即提问：从∠A=70°到求出∠E=110°在整个过程中个角起了关键的作用从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系从而得到∠DCF=∠A 的结论利用几何画板的优势隐藏⊙O2和线段DE、EF得到外角的基本图形再引导学生得出外角和内对角的定义让学生把刚才的结论归纳成定理即：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角（书写符号语言）（4）对定理进行必要的巩固练习如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点图中有两组相等的角每组有三只角相等你发现了（5）讲解例题：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点经过点A的直线与⊙O1相交于点C与⊙O2相交于点D,经过点B的直线与⊙O1相交于点E与⊙O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系并加以证明（突出作辅助线的必要性并在黑板上书写过程）3、课堂小结：通过本节课的学习你学会了那些知识点（学生完成）4、课堂练习：①②（1）如图已知∠BAE=125°则∠BCD=°∠BOD=°（2）如图已知在圆的内接四边形中AB=ACE是CD延长线上一点你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系并证明（3）探索：圆内接平行四边形特殊的四边形（给学生一定的时间思考然后充分利用几何画板让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形调动学生思维的积极性并且让学生的思维得到了充分的展示）思考：你能说出下面图中有几对相似三角形并说出其中一对相似三角形的证明过程（4）5、布置作业：P86—15、16、17注：参加xx年12月区评优课比赛并获一等奖圆内接四边形执教者：刁正久一、教学目标：掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理二、教学重点和难点：重点：圆内接四边形的性质定理难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用三、教学过程：1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念2、利用几何画板：①②（1）探索：如图点D在⊙O上（和A、C不重合）移动试讨论∠D和∠B的大小关系（学生对第一种情况比较熟悉但对于第二种情况做适当的提示：利用几何画板把D点在圆上移动！）通过学生的思维可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补利用此时的几何图形由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳从而得到定理：圆内接四边形的对角互补（书写符号语言）（2）对定理进行巩固①如图四边形ABCD为⊙O的内接四边形已知∠BOD=140°则∠BAD=°∠BCD=°②如图已知AB是圆O的直径∠BAC=40°D是弧AB上的任意一点那么∠D的度数是°（3）外角的引入紧接着前面的练习和学生共同研究探索题：（对于上面的探究性应用题针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）当学生最后得到∠E的度数后立即提问：从∠A=70°到求出∠E=110°在整个过程中个角起了关键的作用从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系从而得到∠DCF=∠A 的结论利用几何画板的优势隐藏⊙O2和线段DE、EF得到外角的基本图形再引导学生得出外角和内对角的定义让学生把刚才的结论归纳成定理即：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角（书写符号语言）（4）对定理进行必要的巩固练习如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点图中有两组相等的角每组有三只角相等你发现了（5）讲解例题：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点经过点A的直线与⊙O1相交于点C与⊙O2相交于点D,经过点B的直线与⊙O1相交于点E与⊙O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系并加以证明（突出作辅助线的必要性并在黑板上书写过程）3、课堂小结：通过本节课的学习你学会了那些知识点（学生完成）4、课堂练习：①②（1）如图已知∠BAE=125°则∠BCD=°∠BOD=°（2）如图已知在圆的内接四边形中AB=ACE是CD延长线上一点你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系并证明（3）探索：圆内接平行四边形特殊的四边形（给学生一定的时间思考然后充分利用几何画板让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形调动学生思维的积极性并且让学生的思维得到了充分的展示）思考：你能说出下面图中有几对相似三角形并说出其中一对相似三角形的证明过程（4）5、布置作业：P86—15、16、17注：参加xx年12月区评优课比赛并获一等奖圆内接四边形——初中数学第六册教案。
九年级数学下册《圆的内接四边形》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：圆的内接四边形的性质及其应用，特别是对角互补定理的理解和应用。
2.难点：将圆的内接四边形的性质与实际问题相结合，解决复杂的几何问题。
（二）教学设想
1.引入新课：通过生活中常见的圆形物体（如硬币、圆桌等）引导学生观察和思考，激发学生对圆的内接四边形的兴趣。接着展示一些内接四边形的实例，让学生初步感知内接四边形的特点。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，确保解题过程清晰、简洁。
2.培养良好的学习习惯，书写规范，保持作业整洁。
3.遇到问题要积极思考，可以与同学讨论，也可以向教师请教。
4.家长要关注学生的学习进度，鼓励孩子独立完成作业，培养自主学习能力。
5.课堂练习：布置一定数量的课堂练习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。教师及时批改并给予反馈，针对学生的错误进行有针对性的讲解。
6.拓展延伸：针对学有余力的学生，提供一些拓展性的问题和实际应用案例，激发学生的探究欲望，培养他们的创新思维。
7.评价反思：在教学过程中，注重过程性评价，关注学生的参与度、合作交流能力、问题解决能力等方面。课后，教师和学生共同反思教学效果，为下一步教学提供参考。
1.基础巩固题：完成课本第56页的练习题第1、2、3题，要求学生在理解圆的内接四边形性质的基础上，正确解答相关问题。
2.能力提升题：完成课本第57页的练习题第4、5题，鼓励学生运用对角互补定理解决实际问题，提高解题技巧。
3.拓展思考题：思考并解答以下问题：
a.除了对角互补定理，你还能发现圆的内接四边形的其他性质吗？
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的几何基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能够运用这些知识解决一些简单问题。在此基础上，学生对圆的内接四边形的学习将更具挑战性。他们需要将已知的圆的性质与四边形的性质相结合，理解圆的内接四边形的独特性质，并学会运用这些性质解决实际问题。在这个过程中，学生可能会遇到一些困难，如对内接四边形对角互补性质的理解、解决实际问题时思路的拓展等。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，提供适当的引导和帮助，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心，使他们在探索和解决问题中不断成长。
初中数学圆的内接四边形教案.doc
初中数学圆的内接四边形教案
圆的内接四边形
1. 知识结构
2. 重点、难点分析
重点：圆内接四边形的性质定理.它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法.
难点：定理的灵活运用.使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置.
3. 教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境(参看教学设计示例)，组织学生自主观察、分析和探究;
(2)在教学中以发现证明应用为主线，以特殊一般的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法.
一、教学目标：
(一)知识目标
(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念;
(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理;
(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明.
(二)能力目标
(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力;
(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维;
(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力.
(三)情感目标
(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情;
(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
二、教学重点和难点:
重点：圆内接四边形的性质定理.
难点：定理的灵活运用.。
浙教版初中数学初三数学上册《圆内接四边形》教案及教学反思
浙教版初中数学初三数学上册《圆内接四边形》教案及教学反思教案教学目标•理解什么是圆内接四边形；•掌握圆内接四边形的性质和判定方法；•能够应用圆内接四边形的性质解决问题。
教学重点•圆内接四边形的性质和判定方法。
教学难点•解决带有圆内接四边形的综合问题。
教学过程1.导入环节（5分钟）•引导学生回顾前面所学过的圆的相关知识，如圆的定义、圆的性质等。
•引入本节课的主题——圆内接四边形，帮助学生认识什么是圆内接四边形。
2.讲解环节（25分钟）•介绍圆内接四边形的定义和性质。
•讲解圆内接四边形的判定方法。
•指导学生通过绘图分析解决带有圆内接四边形的问题。
3.练习环节（20分钟）•给出若干道练习题，帮助学生巩固对圆内接四边形的掌握。
•引导学生自主思考、组合解决带有圆内接四边形的问题，提高综合解决问题的能力。
4.检测环节（10分钟）•设计一定数量的考试题目，检测学生对圆内接四边形的掌握情况。
5.总结反思（5分钟）•结合本节课的学习情况和学生表现，总结本节课的主要内容和重点难点。
•引导学生对自己本次学习的不足以及如何提高学习效果进行反思，并给出相应的建议与引导。
教学反思本节课的教学内容是圆内接四边形，本人是采用了国内外公认的教学法-问题解决法来进行本次课堂的教学。
在经过本人多次的教学实践之后，发现这种教学法的确非常适合解决数学类的难题，并且也极大地提高了学生们的主动性和创造性。
具体来看，本人采用了以下教学策略：1.提出问题。
在本节课的教学过程中，本人首先是通过提出学生们非常熟悉、且较为感兴趣的问题——什么是圆内接四边形来引入本课程的主题。
此时有时会将一些问题转换为生活中的实际问题，引导学生能够理解学习内容和学科间的内在联系，加以升华。
2.引入知识。
在本人引入了本节课程的主题之后，还会针对圆内接四边形的概念和性质进行深入而详细的讲解。
这样不仅能够激活学生的学习兴趣，还可以提供一些基础理论，使学生可以较好地理解圆内接四边形的性质和判定方法。
圆内接四边形教案
圆内接四边形教案教学目标：1.理解圆内接四边形的定义和性质；2.能够画出给定圆内接四边形的示意图；3.掌握计算圆内接四边形的周长和面积的方法；4.能够解决与圆内接四边形相关的实际问题。
教学重点：1.理解圆内接四边形的性质和特点；2.掌握计算圆内接四边形的周长和面积的方法。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引入圆的定义和性质，回顾学生对圆的基本概念的了解。
2.引入关于圆内接四边形的问题：同学有一个球，他想用线围绕球上下结合成一个长方形，但条件是线必须紧贴球面，不可松弛。
请问，这样的长方形是否可能存在？为什么？引导学生思考并讨论，引出圆内接四边形。
二、概念讲解（15分钟）1.定义：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点分别位于一个圆的圆周上的四个点。
2.性质：a.圆内接四边形的对角线互相垂直。
b.圆内接四边形的两对对角线互相平分。
c.圆内接四边形的对边和相等。
d.圆内接四边形的外接圆的半径等于其对角线的一半。
三、练习与讨论（20分钟）1.几何证明：对于一个圆内接四边形，如果将其内切圆的半径连接到四边形的中点的连线相交于一点，那么这个相交点到四边形的四个顶点的距离相等。
a.提示学生将这个圆内接四边形看作一个长方形b.让学生自己尝试并讨论，进行推理和证明。
2.计算圆内接四边形的周长和面积：a.周长：C=2πr，其中r为外接圆的半径。
b.面积：S=r²，其中r为外接圆的半径。
四、解决实际问题（20分钟）1.示例问题1：一个正方形纸片剪成一个圆内接四边形，该四边形的面积是多少？让学生根据所学知识解决这个问题，并进行讨论和交流。
2.示例问题2：用线围绕一个半径为5厘米的圆球，形成一个圆内接四边形，这个四边形的周长是多少？让学生使用所学的计算方法来求解这个问题，并进行讨论和交流。
五、归纳总结（10分钟）1.总结圆内接四边形的定义、性质和计算方法。
2.强调圆内接四边形在几何运用中的重要性。
六、拓展练习（10分钟）1.练习题：根据所学知识，完成若干道关于圆内接四边形的练习题，检测学生的理解和掌握程度。
圆的内接四边形数学教案
圆的内接四边形数学教案
标题：圆的内接四边形数学教案
一、教学目标
1. 理解并掌握圆的内接四边形的概念。
2. 掌握圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。
3. 培养学生的空间想象能力，提升对几何图形的理解。
二、教学重点与难点
重点：圆的内接四边形的定义及性质
难点：如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题
三、教学过程
1. 导入新课：
通过回顾圆的相关知识（如半径、直径等），引出圆的内接四边形的概念。
2. 新课讲解：
(1) 定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形就叫做圆的内接四边形。
(2) 性质：
a. 圆的内接四边形的对角互补。
b. 圆的内接四边形的任意两边之积等于其它两边之积。
c. 圆的内接四边形的外接圆直径必过对角线的交点。
3. 实例解析：
分析一些具体的实例，让学生理解和掌握如何应用上述性质解决问题。
4. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生自己动手解答，以检验他们是否真正理解了所学的内容。
5. 小结：
回顾本节课的主要内容，强调圆的内接四边形的性质及其应用。
6. 作业布置：
设计一些相关的作业题，让学生在课后继续巩固所学的知识。
四、教学评价
通过对学生课堂参与度、回答问题情况以及作业完成情况进行评价，了解学生对圆的内接四边形概念和性质的理解程度。
五、教学反思
在教学结束后，对整个教学过程进行反思，找出教学中的优点和不足，以便于改进今后的教学。
高中数学教案小学数学的圆内接四边形与外接四边形解答
高中数学教案小学数学的圆内接四边形与外接四边形解答高中数学教案：小学数学的圆内接四边形与外接四边形解答圆内接四边形与外接四边形是小学数学中的重要概念。
通过研究这两种四边形，可以帮助学生更好地理解圆的性质和相关的几何知识。
本教案将围绕这两种四边形展开讲解，并提供一些教学活动和实例，帮助学生巩固所学内容。
一、圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在一个圆上。
学生们可以通过观察和思考，发现一些有趣的性质。
1. 性质一：圆内接四边形的对角线互相垂直让学生们通过实物或图形进行观察，并引导他们发现圆内接四边形的对角线互相垂直的规律。
可以提供一些具体的例子，如正方形、长方形等，让学生们通过测量角度或使用直角三角函数来验证这一性质。
2. 性质二：圆内接四边形的两对对边互相平行同样可以通过观察和推理，帮助学生们发现这一性质。
可以利用几何软件或手工制作模型，让学生们进行实际操作，加深他们对这一性质的理解。
二、圆外接四边形圆外接四边形是指一个四边形的四个顶点都在一个圆上，并且四条边都切到该圆上。
同样，学生们可以通过研究圆外接四边形，发现一些有趣的性质。
1. 性质一：圆外接四边形的对角线互相垂直与圆内接四边形相似，圆外接四边形的对角线也互相垂直。
同样可以通过实物或图形进行观察和验证。
2. 性质二：任意两个相对的内角之和为180度这一性质可以通过学生们在实践中发现和验证。
提供一些具体的例子，让学生们进行角度测量和推理，加深对这一性质的理解。
三、教学活动与实例1. 活动一：观察与分类通过给学生们展示不同形状的圆内接四边形和圆外接四边形图形，让他们进行观察和分类。
通过讨论，引导他们发现并总结圆内接四边形和圆外接四边形的共同性质和不同之处。
2. 活动二：探究圆内接四边形的性质让学生们自主探究圆内接四边形的性质，可以提供一些实际问题，引导学生们进行观察、推理和验证。
例如，给定一个圆内接四边形的两条边长，让学生们计算并比较其对角线长度。
24.1.4.2圆内接四边形教案
一、教学内容
本节课选自教材第24章第1节第4.2小节，主题为“圆内接四边形”。教学内容主要包括以下两部分：
1.圆内接四边形的定义：引导学生理解圆内接四边形的含义，即四边形的四个顶点均在圆上。
2.圆内接四边形的性质：探讨圆内接四边形的对角互补和圆心角定理。具体包括：
a.对角互补：圆内接四边形的对角线互相垂直。
-对于抽象应用，教师需要提供不同类型的题目，如选择题、填空题和证明题，以帮助学生从多个角度理解和运用圆内接四边形的性质。
-增强学生的空间想象力，可以通过动态软件展示圆内接四边形的形成过程，或者让学生动手制作模型，从而加深对圆内接四边形空间结构的理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆内接四边形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过四个点都在一个圆上的情况？”（例如：四个朋友站在圆形操场的不同位置）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆内接四边形的奥秘。
b.圆心角定理：圆内接四边形的对角线互相平分，且每个对角线所对的圆心角相等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的几何直观和空间想象能力：通过观察和分析圆内接四边形的性质，使学生能够在脑海中构建出清晰的几何图形，提高对几何图形的理解和想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和论证能力：引导学生运用已知的圆的性质和四边形的性质，推导出圆内接四边形的对角互补和圆心角定理，培养学生严密的逻辑思维和推理能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆内接四边形的对角互补和圆心角定理这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图形和实例来帮助大家理解。
3.4第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形(教案)
在上完《圆周角和直径的关系及圆内接四边形》这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解圆周角与直径关系这一部分内容时，普遍感到较为困难。可能是因为他们对圆的相关概念还不够熟悉，导致在运用圆周角定理时出现了一些问题。在今后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，让学生充分理解和掌握圆的基本概念。
另外，我还注意到，本节课的教学难点在于几何证明的严密性。许多学生在进行几何证明时，逻辑思维不够严密，导致证明过程出现问题。为了帮助学生克服这一难点，我计划在下一节课中增加一些关于几何证明的专项训练，让学生在练习中提高自己的几何证明能力。
3.4第2课时圆周角和直径的关第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形》：本节课我们将深入探讨圆周角与直径之间的关系，包括圆周角定理及其推论；同时，引入圆内接四边形的性质和特征，让学生掌握圆内接四边形对角互补的特点。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角定理及其推论，以及圆内接四边形对角互补这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量自行车轮子的圆周角，这个操作将演示圆周角定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
数学教案：圆的内接四边形
数学教案：圆的内接四边形一、教学目标1.知道什么是圆的内接四边形；2.掌握圆的内接四边形的性质和定理；3.能够应用圆的内接四边形解决实际问题。
二、教学重点和难点重点1.圆的内接四边形的性质；2.圆的内接四边形的定理；3.圆的内接四边形的实际应用。
难点1.圆的内接四边形问题的解决方法和步骤；2.圆的内接四边形问题的实际应用分析。
三、教学内容圆的内接四边形的定义圆的内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在圆上，且四个顶点能够围成一个四边形。
圆的内接四边形的性质1.圆的直径是内接四边形的一个对角线。
2.内接四边形的对角线相交于一点，该点是对角线的中点连线所在直线与圆的交点。
3.内接四边形的两对对边互相平行。
圆的内接四边形的定理•定理1：如果一个四边形是内切于一个圆的，那么相对的角和等于180度。
•定理2：如果两个内接四边形的一对对边互相平行，则这两个内接四边形是相似的。
圆的内接四边形的应用圆的内接四边形在实际生活中具有广泛的应用，比如说：1.定义圆心、半径；2.计算圆的周长、面积；3.利用内接四边形的性质判断实际问题。
四、教学方法1.课前预习，了解相关定义、性质和定理；2.课堂讲解，帮助学生认识圆的内接四边形；3.课堂讨论，让学生相互交流和探讨圆的内接四边形问题；4.课后习题，巩固学生的掌握程度。
五、教学过程1. 引入通过引入圆的内接四边形的概念，来激发学生的学习兴趣。
2. 讲解讲解圆的内接四边形的定义、性质和定理，重点讲解定理和应用，帮助学生掌握圆的内接四边形的基础知识。
3. 练习让学生通过练习习题，熟练掌握圆的内接四边形的应用。
4. 交流通过课堂集体讨论，让学生相互交流和探讨圆的内接四边形问题。
5. 总结通过总结，让学生加深对圆的内接四边形的理解和掌握。
六、教学评价教学评价可以从以下方面进行：1.学生参与度；2.学生的成绩进步；3.学生的思维能力和解决问题的能力。
七、教学反思针对本次教学，可以从以下几方面进行反思：1.教学内容是否符合学生的年龄和认知水平；2.如何更好地组织课堂授课和互动；3.如何更好地引导学生灵活运用圆的内接四边形的知识。
圆的内接四边形
圆的内接四边形一、素质教育目标（一）知识教学点1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理；2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．（二）能力训练点1、培养学生观察、分析、概括的能力；2、培养学生言必有据和准确简述自己观点的能力．（三）德育渗透点渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，渗透数学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点、难点和疑点1．重点：圆内接四边形的性质定理．2．难点：理解“内对角”这一重点词语的意思．3．疑点：正确理解圆内接四边形外角这一概念，学生容易忽视一边和另一边延长线组成的角是外角．三、教学步骤（一）、明确目标同学们，前面我们学习了圆内接三角形和三角形的外接圆的概念．本节课我们学习圆的内接四边形概念，那么什么叫做圆的内接四边形呢？教师板书课题“7．6圆内接四边形”．根据学生已有的实际知识水平与本节课所要讲的内容，首先点题，有意让学生从圆内接三角形的概念正向迁移到圆内接四边形的概念．这样做一方面让学生感觉新旧知识有着密切的联系，另一方面激发学生从已有知识出发探索新知识的主动性．（二）、整体感知为了使学生能够顺利地从圆内接三角形正向迁移得到圆内接四边形的概念，在本节课的圆内接四边形的教学中，首先由复习旧知识出发．复习提问：1．什么叫圆内接三角形？2．什么叫做三角形的外接圆？通过学生复习圆内接三角形的定义后，引导学生来模仿圆内接三形的定义，来给圆内接多边形下定义，再由一般圆内接多边形的定义归纳出圆内接四边形的概念．这样做的目的是调动学生成为课堂的主人，通过学生积极参与类比、联想、概括出来所要学的知识点．不是教师牵着学生走，而是学生积极主动地探求新的知识．这样学到的知识理解得更深刻．接下来引导学生观察圆内接四边形对角之间有什么关系？学生一边观察，教师一边点拨．从观察中让学生首先知道圆内接四边形的对角是圆周角，由圆周角性质定理可知一条弧所对的圆周角等于它们对的圆心角的一半．如何建立圆周角与圆心角的联系呢？由学生联想到了构造圆心角，从而得到对角互补这一结论．接着由学生自己探索得到一外角和内对角之间的关系．教师首先解释“内对角”的含义后，引导学生思考，议论、发现结论．由学生口述证明结论的成立．这样由学生通过观察、比较获得圆内接四边形的性质的过程，促使知识转化为技能，发展成能力，从而提高应用的素养．（三）重点、难点的学习与目标完成过程由学生自己通过观察、探索得到圆内接四边形的性质．定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一外角都等于它的内对角．为了巩固圆内接四边形的性质出示练习题．在⊙O中，A、B、C、D、E都在同一个圆上．①指出图中圆内接四边形的外角有几个？它们是哪些？②∠DCH的内对角是哪一个角，∠DBG呢？③与∠DEA互补的角是哪个角？④∠ECB+（）=180°．这组练习题的目的是巩固圆内接四边形的性质，加强对性质中的重点词语“内对角”的理解，同时也逐步训练学生在较复杂的几何图形中，能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．接着幻灯出示例题：例已知：如图7-47，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．分析：欲证明CD∥DF，只需证明∠E+∠F=180°，要证明∠E与∠F互补，连结AB，只有证明∠BAD+∠F=180°，因为∠BAD=∠E．师生分析证题的思路后，教师强调连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．此时，教师请一名中等学生证明例题，教师把证明过程写在黑板上：证明：连结AB．∵ABCE是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD=∠E．又∵ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD+∠F=180°，∴∠E+∠F=180°．∴CE∥DF．接着引导学生一起研究出例题的两种变式的情况．提问问题：①、说出（2）图的证明思路；②、说出（3）图的证明思路；③、总结出引辅助线AB后你都用了本节课的哪些知识点？出这些问答题的目的是进一步让学生知道一道几何题的图形有不同的画法，将来遇问题要多观察、比较、分析，善于挖掘题目中的一些隐含条件，总结出证题的一般规律．师生共同总结：图7-47（1）连结AB后，构造出两个圆内接四边形，最后应用同旁内角互补，证明二直线平行．图7-47（2）连结AB后，构造出一个圆内接四边形和圆弧所对的圆周角．最后运用内错角相等，证明二直线平行．图7-47（3），连结AB后，可以看成构造一个圆内接四边形，也可以看成构造两组圆弧所对的圆周角，最后可以运用同位角相等，证明二直线平行或利用同旁内角证明二直线平行．教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新，把学生从题海里解脱出来．巩固练习：教材P．41中1、2 3．（四）总结、扩展1、本节课主要学习的内容：2．本节课学到的思想方法：①构造圆内接四边形；②一题多解，一题多变．四、布置作业教材P．44中15、16、17题．。
圆的内接四边形教案
圆的内接四边形教案教案：圆的内接四边形教学目标：1.理解什么是圆的内接四边形，以及它的特点。
2.掌握圆的内接四边形的性质和相关公式。
3.能够解决与圆的内接四边形相关的问题。
教学准备：1.教学用板书：圆的内接四边形2.教学资源：教材、课件、多边形模型、圆规、分度器等工具。
教学过程：Step 1: 导入新知识 (10分钟)1.通过观察多边形模型引入圆的内接四边形的概念。
2.引导学生观察、探索圆内接四边形与圆、多边形之间的关系。
3.提问：在一个圆内，如何作一个四边形？该四边形有什么特点？Step 2: 理解和讨论圆的内接四边形的性质 (20分钟)1.引导学生观察、分析圆的内接四边形的特点：四个顶点都位于圆上，并且四条边都切割圆。
2.结合多边形模型和教材中的图例，让学生讨论圆的内接四边形的性质。
3.提问：圆的内接四边形的对角线是否有特殊关系？如何证明？Step 3: 讨论圆的内接四边形的公式 (20分钟)1.通过快速复习周长和面积的相关公式，引导学生思考和总结圆的内接四边形的相关公式。
2.学生自主提出圆的内接四边形的周长公式和面积公式。
3.教师进行讲解和订正，确保学生正确理解公式的推导过程。
Step 4: 解决问题和练习 (30分钟)1.教师提供一些练习题，引导学生运用所学知识解决与圆的内接四边形相关的问题。
2.学生自主解答问题，并与同伴进行讨论和交流。
3.教师逐一解答问题，并帮助学生理解解题思路和方法。
Step 5: 拓展探究 (20分钟)1.引导学生思考进一步的问题和应用：a.是否存在特殊的圆的内接四边形？b.圆的内接正方形、圆的内接六边形等是否具有特殊性质？2.学生自主探究并给出相关结论。
3.教师进行总结和讲解，帮助学生理解拓展问题的解决思路。
Step 6: 小结和评价 (10分钟)1.教师对学生本堂课的表现进行评价，鼓励积极参与学习的学生。
2.学生自主总结本堂课的重点内容和学到的知识和技能。
3.教师进行总结和回顾，强调圆的内接四边形的重要性和应用。
数学教案-圆的内接四边形
数学教案－圆的内接四边形1.知识结构2.重点、难点分析重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理同时也是转移角的常用方法．难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置．3.教法建议本节内容需要一个课时．（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例）组织学生自主观察、分析和探究；（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线以“特殊——一般”的探究方法引导学生发现与证明的思想方法．一、教学目标：（一）知识目标（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究培养学生观察、分析、概括的能力；（2）通过定理的证明探讨过程促进学生的发散思维；（3）通过定理的应用进一步提高学生的应用能力和思维能力．（三）情感目标（1）充分发挥学生的主体作用激发学生的探究的热情；（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．二、教学重点和难点:重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．三、教学过程设计（一）基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上这个多边形叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．（二）创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、引导学生研究．1、边的性质：（1）矩形：对边相等对边平行．（2）正方形：对边相等对边平行邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．（三）证明猜想教师引导学生证明．（参看思路）思路1：在矩形中外接圆心即为它的对角线的中点∠A与∠B均为平角∠BOD的一半在一般的圆内接四边形中只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连能得到什么结果呢?∠A=∠C=∴∠A+∠C=思路2：在正方形中外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中把圆心与各顶点相连能得到什么结果呢?这时有2(α+β+γ+δ)=360°所以α+β+γ+δ=180°而β+γ=∠Aα+δ=∠C∴∠A+∠C=180°可得圆内接四边形的对角互补．（四）性质及应用定理：圆的内接四边形的对角互补并且任意一个外角等于它的内对角．（对A层学生应知逆定理成立4点共圆）例已知：如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点经过A的直线与⊙O1交于点C与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．（分析与证明学生自主完成）说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题连结AB以后可以构造出两个圆内接四边形然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．②教师在课堂教学中善于调动学生对例题、重点习题的剖析多进行一点一题多变一题多解的训练培养学生发散思维勇于创新．巩固练习：教材P98中1、2．（五）小结知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解一题多变．（六）作业：教材P101中15、16、17题；教材P102中B组5题．探究活动问题：已知点A在⊙O上⊙A与⊙O相交于B、C两点点D是⊙A上（不与B、C重合）一点直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时能否判定△CED的形状说明理由．分析要判定△CED的形状当运动到BD经过⊙A的圆心A时此时点E与点A重合可以发现△CED是等腰三角形从而猜想对一般情况是否也能成立进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变△CED的形状保持不变．提示：分两种情况（1）当点D在⊙O外时．证明△CDE∽△CAD’即可（2）当点D在⊙O内时．利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形外角等于内对角改变圆周角顶点位置进行角的转换；（2）本题为图形形状判定型的探索题结论的探索同样运用图形运动思想证明结论将一般位置转化成特殊位置同时获得添辅助线的方法这也是添辅助线的常用的思想方法；（3）一般地有时对几种不同位置图形探索得到相同结论但不同位置的证明方法不同时也要进行分类讨论．本题中如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时△CDE仍然是等腰三角形．数学教案－圆的内接四边形。
(完整版)圆的内接四边形教案及课后练习
S3.6 圆内接四边形一、认识圆的内接四边形1.知识要点（1）我们以前学习过圆的内接三角形圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）今天我们学习圆的内接四边形圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。
二、圆内接四边形的性质定理1.知识要点定理一：圆内接四边形的对角互补．定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．2.典型例题S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数.S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PBPA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值.三、圆内接四边形的判定定理1.知识要点（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．2.典型例题S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆.S3．6 圆内接四边形练习1.下列四边形中一定有外接圆的是（）A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( )A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（）A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180°4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______．6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD的外接圆上，则∠AEB=________．7.AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是________．8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS:S正方形ABCD等于________．9.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别交于F、G．求证：∠CFG=∠DGF．10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．。
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S3.6 圆内接四边形
一、认识圆的内接四边形
1.知识要点
（1）我们以前学习过圆的内接三角形
圆的内接三角形：如果一个三角形的各个顶点在同一个圆上，那么这个三角形叫做圆
的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）今天我们学习圆的内接四边形
圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的
内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
如右图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边
形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。
二、圆内接四边形的性质定理
1.知识要点
定理一：圆内接四边形的对角互补．
定理二：圆内接四边形的外角等于它的内对角（内角的对角）．
2.典型例题
S3.6.1如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=110°，求∠BCD 的度数.
S3.6.2如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.若PB
PA ＝12，PC PD ＝13，求BC AD 的值.
三、圆内接四边形的判定定理
1.知识要点
（1）定理：如果一个四边形的对角互补，那么它的四个顶点在同一个圆上（简称四点共圆）．
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
2.典型例题
S3.6.3如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：ABPQ四点共圆.
S3．6 圆内接四边形练习
1.下列四边形中一定有外接圆的是（）
A．对角线相等的四边形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形
2.过四边形ABCD的顶点D，B，C作一个圆，若∠A+∠C＞180°，则点A在( )
A．圆内B．圆外C．圆上D．不能确定
3.四边形ABCD内接于圆，∠A:∠B:∠C:∠D= 5:m:4:n，则m，n满足的条件是（）
A．5m=4n B．4m=5n C．m+n=9 D．m+n=180°
4.如下图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC
等于（）
A．45°B．60°
C．75°D．85°
5.圆上四点，A、B、C、D分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______．
6.如下图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=BC，∠ADC=138°，E是梯形外一点，若点E在梯形ABCD
的外接圆上，则∠AEB=________．
7.AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，
∠PQB为y°，则y与x的函数关系是________．
8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS:S正方形ABCD
等于________．
9.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC交于E，EG平分∠E，且与BC、AD分别交于F、G．求
证：∠CFG=∠DGF．
10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．。