1.4无穷小与无穷大

1)设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M
1 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)

M
,

1
0
当 0 x x0 1 , 有 f ( x ) M . 故当 0 x x0 1 , 有 f ( x ) g( x ) 0

f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) M 0 . M
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推论 （１）常量与无穷小的积仍是无穷小；
2x lim x 2 x 2
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注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一 定是无穷大量。
例３：证明函数 y x sin x 在 (0,) 是无界的，但 x 时，不是无穷大量。
证明：取 xn 2n , yn 0
xn 2n , ( n ), yn 0, 不是无穷大.
注3 一个函数是无穷小量，必须指明自 变量的变化趋势；
注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。
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例如：
lim cos x 1, lim cos x 0
x 0 x

1 lim 0, x x
例1 用定义证明
( 1) n lim 0, n n x lim 0 x 0 x 1
2
证明：x 0, 取 1, x ( 1,1), 即 x 1
x x x 0, x x 1 x 1 1 x
取 1
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x min(1, ), 当 x 0 1时， x 1
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2 无穷小量和极限的关系
1)若 lim f ( x ) A, 则f ( x ) A
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四 无穷小的运算法则
定理１ 有限个无穷小的和仍是无穷小。
lim 0, lim 0
lim( ) 0.
证：设及 是当x 时的两个无穷小,
0, X 1 0, X 2 0, 使得 当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ;
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定理２ 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 lim 设g(x)在某定义域内有界， f ( x )存在，
则 lim f ( x ) g( x ) 0.
证明：g(x)有界，故存在M >０，使
0, lim f ( x ) 0 对于 0
x x0
f ( x) M
x 2x 2 M 0, 2 x2 x2 x2
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要使
2x M x2
只须
2 2 M , 也 就 是, x 2 x2 M 2 取 min{1, }, So, when x 2 , get M
2 M x2
所以，
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（1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；
无穷小量和无穷大量，及其倒数关系
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小.
（3） 无界变量是无穷大.
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2)设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 . 恒有 f ( x ) , 即 f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
且
x n ( n )

2 sin(2n
2
yn 2n

2
) 2n

2
取
N 0 M 1, x0 2 N 0 yn 2 N 0

2
0,

2
M.
所以，
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y x sin x
在 (0,) 上是无界的。
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2）若 f ( x ) =A+，则=
f ( x ) -A, 为无穷小
量,由于为无穷小量，故对
0, 0, 当 x x0 时，
f 即有 f ( x ) A . 所以， ( x )以A为极限。
x 1 1, 有 例如： lim x x
说明：证明函数的极限不存在时，只须找 一串点 x1 , x2 , xn , 使 f ( xn ) 的极限不存在。
2013-12-13 11 Nhomakorabea100 75 50 25 20 -25 -50 -75 40 60 80 100
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下面证明
上是无界的。 y x sin x 在 (0,) M 0, x n 2n
2
2 取 X max{ X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 2 2
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故 lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定 是无穷小。 例４：
n n n lim( 2 2 ... 2 )1 n n n 2 n n
x 1 1 1 x x
1 0( x ) 其中 x
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思考题：
当x x0时， ( x )是无穷小
是“当 x x 0 时， ( x ) 是无穷小”的
(A) 充分但非必要条件；
(B) 必要但非充分条件；
(C) 既非充分也非必要条件；
(D) 充分必要条件
（为无穷小量）
2)若f ( x ) A , 则 lim f ( x ) A
lim 证明 1）不妨设 x x f ( x ) A 0, 0,
0
当 x x0 时， 有 f ( x ) A
令
f ( x) A
则当 x x0 为无穷小量，也有 f ( x )=A+
（２）有限个无穷小量的积仍是无穷小。
1 例５ lim x arctan 0 x 0 x
1 lim x cos 0 x 0 x
sin x 1 lim lim sin x 0 x x x x
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五 小结与判断题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
内容: 判断题
1) lim f ( x )
x x0
M 0, 0,
f ( x) M .
当 x x0 时，有
故
x x0
lim f ( x )
2) lim f ( x )
x
有 M 0, X 0, 当 x X时， f ( x ) M .
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二 无穷大量
(Infinitely Large Quantity)
1 当x 0时，函数 无限接近于 轴, y y x 1 y 无限增大，趋向于无穷大，称 y x 是一个无穷大量。
简单地说， 绝对值无 限增大的 变量叫无 穷大量.
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Y
0
X
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精确地讲：
故 lim f ( x)
x
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注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增 大的变量； 注5 函数是无穷大量，必须指明其变化 趋势。 1 1 lim , lim 0 比如 x 0 x x x 例2证明 2x lim x 2 x 2 证： x 2, 取 1, x ( 3,1), 即 x 2 1
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三 无穷小量与无穷大量的关系
1) lim f ( x ) 0 and f ( x ) 0, 则 x
1 lim . x f ( x )
2) lim f ( x ) and f ( x ) 0,则
x
1 lim 0. x f ( x )
注（倒数关系）
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第四节 无穷小量与无穷大量
一 无穷小量
二 无穷大量
三 无穷小量与无穷大量的关系 四 无穷小的运算法则
五 小结与判断题
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一 无穷小量(Infinitely Small Quantity)
1 定义 极限为0的变量叫无穷小量。
说明：
注1 注2 不要认为无穷小量是一个很小很小的数； 无穷小量是个变量；