现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它主要研究个体如何根据自身偏好和需求对物品或服务进行价值评估。
在保险行业中，效用理论的应用显得尤为重要。
保险产品和服务的设计、定价、风险管理等各个环节，都需要以效用理论为基础，以满足客户的需求和期望。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，并分析其重要性和优势。
二、效用理论与保险产品设计1. 客户需求分析保险公司在设计产品时，首先要了解客户的需求和偏好。
通过运用效用理论，保险公司可以分析客户对不同保险产品的效用评价，进而确定产品的设计方向。
例如，对于寿险产品，客户可能更关注保障程度、保费价格、理赔速度等方面，保险公司需要根据这些因素设计出满足客户需求的产品。
2. 产品定价策略在保险产品定价过程中，保险公司需要考虑到风险、成本、利润等因素。
效用理论可以帮助保险公司确定客户对价格的敏感度，以及不同价格水平对客户效用的影响。
通过分析这些因素，保险公司可以制定出合理的定价策略，以满足客户需求，同时保证公司的盈利。
三、效用理论与保险服务优化1. 提升客户满意度保险公司通过优化服务流程、提高服务质量等方式，可以提升客户满意度。
效用理论可以帮助保险公司了解客户对服务的期望和需求，从而针对性地改进服务。
例如，保险公司可以优化理赔流程，提高理赔速度和效率，以满足客户对快速获得赔偿的期望。
2. 增强客户忠诚度通过提供满足客户需求和期望的保险产品和服务，保险公司可以增强客户的忠诚度。
效用理论可以帮助保险公司识别出高价值客户，并针对这些客户制定个性化的服务策略。
例如，对于长期合作的客户，保险公司可以提供专属的优惠政策、增值服务等，以增强客户的忠诚度和黏性。
四、效用理论在风险管理中的应用1. 风险评估与定价在保险业务中，风险评估和定价是关键环节。
效用理论可以帮助保险公司评估不同风险水平对客户效用的影响，从而制定合理的风险定价策略。
通过分析历史数据和客户信息，保险公司可以更准确地评估风险，并制定出符合实际情况的定价方案。
精算数学
（1）保费设定； ）保费设定； （2）准备金评估； ）准备金评估； （3）再保险形式的选择及自留额的确定问 ） 题； （4）资产负债与偿付能力管理问题。 ）资产负债与偿付能力管理问题。
因为不同的人对同一潜在后果有不同的风险 态度， 态度，即使是同一个人在不同的时候对同一 个风险亦有不同的认识， 个风险亦有不同的认识，当然价值判断也就 不同，折射到保险学方面， 不同，折射到保险学方面，就会有不同保额 的产生或者保单的不同设计条款。 的产生或者保单的不同设计条款。
例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手 ， 例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手A，一个 是做梦都想发财的B，两个人手里都有10元钱 元钱， 是做梦都想发财的 ，两个人手里都有 元钱，目标是通 过购买彩票或不够买彩票这两种可能的决策方案来获得最 大的收益，结果A的决策是不作为 的决策是不作为， 却选择了购买。 大的收益，结果 的决策是不作为，而B却选择了购买。面 却选择了购买 临着同样的风险，A和B的风险态度便有了区别。 临着同样的风险， 和 的风险态度便有了区别。 的风险态度便有了区别
对于后面的两个问题， 对于后面的两个问题，构造 一个决策问题示意图来说明。 一个决策问题示意图来说明。 假如有n个决策 个决策DM1， 假如有 个决策 DM2，……，DM n为了达 ， 到某个决策目标O而提出一 到某个决策目标 而提出一 系列被选方案f, 系列被选方案 g,……,h,要 要 在其中选择一个最优秀或最 满意的方案. 满意的方案
表1中的每一项都可能形成风险，譬 中的每一项都可能形成风险， 中的每一项都可能形成风险 保险收入”如不稳定， 如“保险收入”如不稳定，假设出 现大量的退保现象， 现大量的退保现象，则会形成保费 收入现金流动风险。 税务” 收入现金流动风险。“税务”一栏 也会形成风险， 也会形成风险，假设法律法规更改 突然规定税率的提高， 突然规定税率的提高，则会形成税 金准备不足风险等等。 金准备不足风险等等。
效用理论与保险
• Absolute risk aversion coefficient： r(w) = − u (w) u (w)
• Relative risk aversion parameter: r(w) = −w u (w) u (w)
例 1.2.4（ 风 险 厌 恶 系 数 ） 给定效用函数u(x)，我 们如何近似计算风险X 最大保费P + ？ 解：设E [X ] = µ和V ar[X ] = σ 2 。u(·)在点w − µ处 展开，得
1.4 停 止 损 失 再 保 险 的 最 优 性
• 再保险合同只承保保险人的一部分风险。停止损 失再保险承保损失超过制定免赔额的超额部分。 • 定义如下：如果损失为X (X ≥ 0)，则理赔支付 为 (X − d)+ = max{X − d, 0} = X − d, X > d 0, X≤d
• 保险人保留损失小于d的风险（自留额），同时 再保险公司支付损失的剩余部分。
1.3 效 用 函 数 族
• • • • •
linear utility: u(w) = w quadratic utility: u(w) = −(α − w)2 (w ≤ α) logarithmic utility: u(w) = log(α + w)(w > −α) exponential utility: u(w) = −αe−αw (α > 0) c power utility: u(w) = w c (w > 0, c ≤ 1)
例 1.3.1（ 指 数 保 费 ） 假 设 一 保 险 人 使 用 参 数 为α的指数效用函数，对于风险X ，最小保费P − 应 为多少？ 解 ： 把U (x) = −αe−αx 带 入U (W ) = E [U (W + P − − X )]，得
《风险理论》第1章_效用理论与保险
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能 比5 稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
结论：因为这么大的损失一但发生可 能导致破产，因此可以付出比期望值 高的费用为风险投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论)
以价格 P 元参与如下的
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。 如果 E 那么保险人将以保 U W P X U W ， 费 P 承保损失 X 。 上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费， 可从反映保险人 状况的效用均衡方程中解出：
效用理论的几个基本假设
假设决策者使用函数值 u w （被称为效用函数）去衡量
其财富，而不是用财富 w 本身去衡量。 如果决策者必须在随机损失 X 和 Y 之间进行选择，他会 去比较 E u w X 和E u w Y ，并选择期望效用 较大的那个损失。 利用这个模型，对于随机损失 X，拥有财富 w 的被保险 人，就可以决定为此支付的最大保费 P 了。这可以由均 衡方程 E u w X u w P 求出。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一 个最小的保费 P 。 如果保费介于被保险人的最大保费 P 和保险人的最小 保费 P 之间，保险人与被保险人双方的效用就都增加 了。
风险偏好者的效用函数 u x 的特点：
u ' x 0, u " x 0 ，凸函数
风险中性人的效用函数 u x 的特点： ：
u ' x 0, u " x 0 ，直线
《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言在当今的社会中，保险已成为风险管理的重要组成部分，对于个体、家庭和企业而言，它都是一种重要的经济保障手段。
效用理论作为经济学的重要分支，为保险业提供了坚实的理论基础和决策支持。
本文旨在探讨效用理论在保险领域的应用，分析其如何帮助保险公司和投保人做出更合理的决策。
二、效用理论概述效用理论是经济学中研究个体如何根据自身偏好进行选择的理论。
它通过衡量个体对不同结果的主观偏好程度，即效用，来预测个体的行为决策。
在保险领域，效用理论主要关注投保人对于风险的态度以及其为了转移风险而支付的保费的心理接受程度。
三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估与定价：保险公司使用效用理论来评估风险并确定保险产品的价格。
通过分析投保人的风险偏好和预期效用，保险公司能够制定出合理的保费，既能够覆盖风险成本，又能吸引潜在客户。
2. 定制化产品：基于效用理论，保险公司可以开发出更加符合消费者需求的定制化保险产品。
通过了解客户对风险的厌恶程度和对保障的追求，保险公司能够提供个性化的保险计划，从而提高消费者的满意度和忠诚度。
四、效用理论与保险决策1. 投保决策：投保人在购买保险时，会基于自己的风险承受能力和对风险的厌恶程度进行决策。
效用理论可以帮助投保人量化其风险厌恶程度，从而决定是否购买保险以及购买多少保险。
2. 保障选择：在购买保险时，投保人需要选择不同的保障项目和保额。
效用理论可以帮助投保人权衡不同保障项目和保额的效用和成本，从而做出最优的保障选择。
五、效用理论在保险业中的应用案例以寿险产品为例，保险公司可以通过效用理论分析不同年龄、职业和健康状况的投保人对风险的厌恶程度和对未来生活保障的需求。
基于这些分析，保险公司可以设计出更加符合消费者需求的寿险产品，如定期寿险、终身寿险等。
同时，保险公司还可以通过调整保费和保障范围来满足不同消费者的需求，提高产品的竞争力。
六、结论效用理论在保险业中的应用具有重要意义。
第一章 风险理论与保险学说
如自然、生理、社会现象
不确定性（个体事件）
时间、空间、结果上的不确定性
可测性 （大量事件） 未来性 （时间） 可变性 （科技进步、政治与社会改变）
3、风险的三个概念(要素）
风险因素：产生风险的原因
实质风险因素备缺陷。 道德风险因素 心理因素
风险评价
是指在风险识别和风险估测的基础上， 把风险发生的概率、损失的程度，结合 其他因素综合起来考虑，得出系统发生 风险的可能性及其危害程度，并与公认 的安全指标比较，确定系统的危险等级， 采取相应措施的过程。
选择风险管理技术
根据风险评价结果，为实现风险管理目标，选 择风险管理技术并实施风险管理的过程。 风险管理技术： 控制型：降低损失频率和减少损失程度。 财务型：提供基金和订立保险合同等方式， 对无法控制的风险做出财务安排。
风险管理效果评价
对风险管理技术的实用性及其收益情况 进行分析、检查、修整和评估。---考察 实施风险管理的可行性、可操作性和有 效性。
自留
对风险的自我承担。 优点：减少潜在的损失、节约费用支出 和取得基金运用收益等。 缺点：一旦发生大的风险，个人可能无 法承担。
转移（转嫁）
是指一些单位和个人为避免承担损失， 有意识地将损失或与损失有关的财务后 果转嫁给另一单位或个人去承担的一种 风险管理方式。 保险转嫁：投保。 非保险转嫁：出让转嫁、合同转嫁。 如：股票转让； 将有风险的企业承包给另外一方。
损失补偿说
认为保险是一种损失补偿合同，一 方获得约定的报酬后，承担另一个 因风险引起损失的合同。 ----马歇尔（英）、马修斯（德）
损失分担说
在同一危险中，由大多数人分担 个人的损失。 -----瓦格勒（德）
中国精算师考试科目及考试内容
中国精算师考试科目及考试内容阅读(4305)中国精算师资格考试分为两部分，准精算师部分和精算师部分。
准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码中国精算师资格考试数学基础Ⅰ01 生命表基础06中国精算师资格考试数学基础Ⅱ02 寿险精算实务07中国精算师资格考试复利数学03 非寿险精算数学与实务08中国精算师资格考试寿险精算数学04 综合经济基础09中国精算师资格考试风险理论05精算师部分的考试内容包括：科目代码课程名称备注中国精算师资格考试011 保险公司财务管理必考中国精算师资格考试012 保险法及相关法规必考中国精算师资格考试013 个人寿险与年金精算实务必考中国精算师资格考试014 社会保障选考中国精算师资格考试015 资产负债管理选考中国精算师资格考试016 高级非寿险精算实务选考中国精算师资格考试017 团体寿险选考中国精算师资格考试018 意外伤害和健康保险选考中国精算师资格考试019 高级投资学选考中国精算师资格考试020 养老金计划选考中国精算师资格考试021 精算职业后续教育（PD）必修，精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。
本次考试为准精算师部分的九门课程和精算师部分的三门课程，考试科目及内容如下：（一）科目名称：数学基础I中国精算师资格考试1、科目代码：01中国精算师资格考试2、考试时间：3小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：中国精算师资格考试（1）微积分（分数比例：60%）中国精算师资格考试①函数、极限、连续中国精算师资格考试函数的概念及性质反函数复合函数隐函数分段函数基本初等函数的性质初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左、右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的比较极限的四则运算中国精算师资格考试函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质中国精算师资格考试②一元函数微积分中国精算师资格考试导数的概念函数可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分在近似计算中的应用中值定理及其应用洛必达（L’Hospital）法则函数的单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值和最小值中国精算师资格考试原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分及导数不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念及计算定积分的应用中国精算师资格考试③多元函数微积分中国精算师资格考试多元函数的概念二元函数的极限与连续性有界闭区间上二元连续函数的性质偏导数的概念与计算多元复合函数及隐函数的求导法高阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上的简单二重积分的计算曲线的切线方程和法线方程中国精算师资格考试④级数中国精算师资格考试常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数的收敛性正项级数收敛性的判断任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼茨定理幂级数的概念收敛半径和收敛区间幂级数的和函数幂级数在收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式泰勒级数与马克劳林级数中国精算师资格考试⑤常微分方程中国精算师资格考试微分方程的概念可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程的求解特解与通解中国精算师资格考试（2）线性代数（分数比例：30%）中国精算师资格考试①行列式中国精算师资格考试n级排列行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开行列式的计算克莱姆法则中国精算师资格考试②矩阵中国精算师资格考试矩阵的定义及运算矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩几种特殊矩阵可逆矩阵及矩阵的逆的求法分块矩阵中国精算师资格考试③线性方程组中国精算师资格考试求解线性方程组的消元法n维向量及向量间的线性关系线性方程组解的结构中国精算师资格考试④向量空间中国精算师资格考试向量空间和向量子空间向量空间的基与维数向量的内积线性变换及正交变换线性变换的核及映像中国精算师资格考试⑤特征值和特征向量中国精算师资格考试矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似矩阵一般矩阵相似于对角阵的条件实对称矩阵的特征值及特征向量若当标准形中国精算师资格考试⑥二次型中国精算师资格考试二次型及其矩阵表示线性替换矩阵的合同化二次型为标准形和规范形正定二次型及正定矩阵中国精算师资格考试（3）运筹学（分数比例：10%）①线性规划中国精算师资格考试线性规划问题的标准形线性规划问题的解的概念单纯形法（包括大M法和两阶段法）单纯形法的矩阵形式对偶理论影子价格对偶单纯形法灵敏度分析中国精算师资格考试②整数规划中国精算师资格考试③动态规划中国精算师资格考试多阶段决策问题动态规划的基本问题和基本方程动态规划的基本定理离散确定性动态规划模型的求解离散随机性动态规划模型的求解中国精算师资格考试5、参考书：中国精算师资格考试①《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社中国精算师资格考试②《线性代数》胡显佑四川人民出版社中国精算师资格考试③《运筹学》（修订版）1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社中国精算师资格考试除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。
《风险理论与非寿险精算》期末复习
常用分布 二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、 正态分布、伽玛分布、贝塔分布 期望、方差
第三章 损失分布的贝叶斯方法
3.1 贝叶斯方法的基本过程 3.2 先验概率的估计 3.3 先验概率与后验概率 3.4 损失函数与贝叶斯估计量 3.5 贝叶斯方法的理论基础－主观概率
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
令 s (1 )E(S) ，称θE(S)为保单组合的安全
附加保费，称θ为相对附加安全系数（或安全附 加保费率）。
第六章 短期聚合风险模型
6.1 引 言 6.2 理赔次数和理赔额的分布 6.3 理赔总量模型 6.4 复合泊松分布及其性质 6.5 聚合理赔量的近似模型
保费计算与实际相差较大； 准备金的提取不充分； 赔付过早发生； 营运成本扩大； 佣金的提高； 投资失利； 巨灾事故频繁发生； 风险聚合估计不周；
意外责任事故的赔付； 市场条件发生不利的变化； 保单责任文字界定不清晰； 宏观经济环境的不利变化； 法律法规的改变； 公司管理人员的贪污渎职行
第四章 随机模拟
4.1 引 言 4.2 均匀分布的随机数与伪随机数 4.3 服从各种分布的随机数 4.4 模拟应用举例 4.5 模拟样本的容量
4.2 均匀分布的随机数与伪随机数
产生均匀分布随机数的方法： 1、检表法 2、物理方法（可获得真正的随机数） 3、数学方法（伪随机数）
自然取中法（平方取中法） 倍积取中法 乘同余法（Skellam一阶线性同余法）
e n
fS (x)
n0
n!
p*n (x)
E(S) p1
Var(S ) p2
S的矩母函数：
M S (t) M N [ln M C (t)] e[MC (t)1]
《效用理论在保险中的应用》范文
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它描述了消费者对于物品和服务的满足程度或偏好强度。
在保险领域，效用理论同样发挥着重要作用，用于解释和分析保险消费者的行为决策。
本文将详细探讨效用理论在保险中的应用，分析其理论基础、实际应用及潜在问题，并尝试提出相应的解决方案。
二、效用理论概述效用理论主要研究个体在面对不同选择时如何根据自身偏好进行决策。
在保险领域，效用可以理解为消费者从保险合同中获得的满足感或利益。
效用理论认为，消费者在购买保险时会根据自身风险承受能力、保险需求以及保费等因素进行权衡，以实现效用最大化。
三、效用理论在保险中的应用1. 保险需求分析：效用理论可以帮助保险公司了解消费者的保险需求。
通过分析消费者的风险偏好、对风险的认知以及预期的损失，保险公司可以更好地设计符合消费者需求的保险产品。
2. 定价策略：效用理论在保险定价中发挥着重要作用。
保险公司根据风险评估和消费者效用理论，制定合理的保费价格。
同时，通过比较不同消费者的效用水平，保险公司可以制定差异化的定价策略，以满足不同消费者的需求。
3. 风险管理：效用理论有助于保险公司进行风险管理。
通过分析消费者的风险偏好和预期损失，保险公司可以评估风险水平，并采取相应的风险管理措施，如调整保险条款、提高保费等。
4. 保险合同设计：在保险合同设计中，效用理论可以帮助保险公司确定合适的保障范围、赔付条件等。
通过分析消费者的效用水平和需求，保险公司可以设计出更符合消费者需求的保险产品。
四、实际应用案例分析以车险为例，效用理论在车险中的应用主要体现在以下几个方面：1. 保费定价：保险公司根据车辆类型、驾驶者年龄、驾驶记录等因素进行风险评估，并结合消费者的风险偏好和预期损失，制定合理的保费价格。
2. 保险责任范围：保险公司根据消费者的需求和风险承受能力，设计不同的保险责任范围和赔付条件。
例如，部分消费者可能更关注车辆损失险，而另一些消费者则更关注第三者责任险。
0Avxdy《现代精算风险理论》课程简介
生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。
-----无名《现代精算风险理论》课程简介现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生内容简介:主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。
课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。
推荐教材或主要参考书：教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。
参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。
风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。
《现代精算风险理论》教学大纲现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。
掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。
二、主要内容及学时分配：第一章效用理论与保险（4学时）期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。
课后习题3-5题。
第二章个体风险模型（4学时）混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。
课后习题3-5题。
第三章聚合风险模型（4学时）复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
《效用理论在保险中的应用》
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它关注的是个体对物品或服务的偏好和价值判断。
在保险行业中，效用理论的应用尤为重要，因为它能够帮助保险公司更好地理解客户需求，设计出更符合客户需求的保险产品，同时也能帮助客户更好地评估保险产品的价值和风险。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，分析其重要性及实际运用。
二、效用理论与保险产品设计1. 客户需求分析效用理论的核心思想是个体对物品或服务的偏好和价值判断。
在保险产品设计中，保险公司需要运用效用理论来分析客户的偏好和需求。
通过调查问卷、访谈等方式，了解客户对保险产品的期望、关注点以及风险承受能力，为产品设计提供依据。
2. 保险产品定制根据客户需求分析结果，保险公司可以设计出符合客户需求的保险产品。
例如，对于风险承受能力较低的客户，可以设计出保障范围广泛、保费较低的保险产品；对于追求高保障的客户，可以提供定制化的保险方案，以满足其特殊需求。
三、效用理论与保险产品定价1. 风险评估效用理论可以帮助保险公司更准确地评估风险。
通过分析客户的历史数据、行为习惯、健康状况等因素，评估客户发生风险的概率，进而确定保险产品的定价。
这种定价方式更加合理，能够更好地反映市场的供求关系。
2. 价格策略制定在确定保险产品的定价时，保险公司需要运用效用理论来制定价格策略。
价格策略应考虑到客户的支付能力、市场竞争力以及公司的利润目标等因素。
通过合理定价，既可以吸引客户购买保险产品，又能保证公司的盈利能力。
四、效用理论与保险索赔1. 索赔决策在处理保险索赔时，保险公司需要运用效用理论来评估索赔的合理性。
通过对索赔案件的调查、审核和分析，判断索赔是否符合保险合同约定的条件。
这有助于保险公司避免虚假索赔和欺诈行为，保障公司的经济利益。
2. 客户满意度提升通过合理、公正地处理索赔案件，可以提高客户的满意度。
当客户认为保险公司的索赔处理流程公正、合理时，他们会更加信任保险公司，从而增加对公司的忠诚度。
《风险理论》第一章效用理论与保险习题课
第一章 效用理论与保险【知识要点】1、 边际效用递减原理与最大期望效用原理边际效用递减原理：个人对财富需求的满足程度是由他的效用值来衡量的，他对财富的满足程度随着财富的增加而增加，但增加的速度却在逐渐减小，这就是经济学中所述的边际效用递减原理。
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的情况下，个人行为的动机和准则是为了获得最大期望效用值。
2、 Jensen 不等式如果一个决策人是一个风险厌恶者，其效用函数()u x 是一个凹函数，即满足 ',"0u u >≤，对于随机损失X ，则有如下不等式：()[]()E u X u E X ⎡⎤≤⎣⎦这意味着，决策人认为确定性损失的效用值不低于随机损失。
3、 Arrow-Prant 指数为了比较决策者之间风险态度的差异，引入了Arrow- Prant 指数，定义如下：()"'a R x u u =-为绝对风险指数（风险厌恶系数）； ()"'r R x x u u =-为相对风险指数。
风险态度及Arrow-Prant 指数的关系4、 效用原理与保险定价保险人承保必须满足如下不等式：()()E u w P X u w ⎡⎤+-≥⎣⎦其中w 是保险人的初始资产，P 是收取的保费，X 是承保损失的随机变量，此式的含义就是承保后财产的效用期望值应不低于承保前财富的效用值。
对于被保险人而言，有下面的不等式：()()u w P E u w X ⎡⎤-≥-⎣⎦其中w 是被保险人的财富，P 是缴纳的保费，X 是其面临的损失随机变量，此式表明被保险人购买保险后财富的效用值应大于购买前财富的期望值。
当收取的保费P 介于承保人必须收取的最低保费P -和被保险人愿意支付的最高保费P +之间时，保险合同才可能成立。
5、 停止损失（再）保险在这种保险合同中，保险人只赔付超过一定限额的损失，即 () X 0,,d dI X X d X d≤⎧=⎨->⎩，其中免赔额由下式确定：()()()d dP E I x x d f x dx ∞⎡⎤==-⎣⎦⎰停止损失（再）保险不仅使其期望效用最大，而且使自留风险的方差最小。
效用理论在保险中的应用
Q
+]
[a (w - x) + b] d F (x) =
aw + b- a - ] xd F (x) = aw + b- aE (X) 。 由 ( 3 )式 , 即 u(w - H ) = E ( u (w - X ) ), 有 a (w - H ) + b= aw + b - a E (X ) 。 故有 H = H = E (X ) 。
* * * * *
2 效用理论在保险定价中的应用
2 . 1 效用理论用于保费的确定 虽然在保险教科书和保险实务中都常用 / 纯保 费 + 附加保费 0的定价模式, 但从理论上说 , 保险产 品作为一种商品 , 它也和其 他商品一样 , 其价格在 本质上由市场的供求关系决定的, 它的特殊性仅仅 体现在它不 是对有 形的产品 而是 要对无 形的 / 风 险 0定价。这里可以理解为理赔或 损失随机变量。 这样一来, 保险定价在形式上就要建立一种 ( 价格 ) 尺度, 使得可以用一种确定的量 ( 保费 ) 去衡量一个 不确定的损失。在保险中 , 由于效用函数可以较好 的反映投保人与承保人双方对同一风险的认识 , 因 而它成为分析保费收取 量与赔款的重 要工具。下 面就利用效用理论来确定保费。 为此, 我们分别从被保险人和保险人的价值结 构来看看保费定价的 / 合理性 0。 首先从被 保险人的角度来 分析。假 定某人拥 有价值为 w 的财产, 但这笔财产面临着某种潜在损 失 , 这一风险被表示为随机变量 X, 满足 0 [ X [ w, 其概率分布记为 F ( x) 。根据效用原理, 保费 H 对 财产拥有人来说是付得越少越好, 他所愿意付出的 最高保费 (临界保费 )是当 / 投保的效用 0等于 / 不投 保的效用 0时所对应的解。 若决定投保 , 则无论损失是 否发生, 财产拥有 人仅损失所付出的保费 , 仍确定地拥有 w - H, 设它 相对于财产拥有人的效用为 u (w - H ); 若决定不投 保 , 则其财产实际为随机变量 w - X, 我们记这个随 机变量的 / 效用 0为 U ( [w - X ] )。因此, 对财产拥 有人来说, H 应满足 : u(w - H ) \ U ( [w - X ] ) ( 1) H 越大 , w - H 越小 , 投保的效用 u (w - H ) 也就 越小, 当 H 高到使等号成立时 , 保与不保都无所谓 了 , 财产拥有人愿意接受的最高保费 H 是使得 ( 1 )
现代精算风险理论01：损失分布
现代精算风险理论01：损失分布⽬录第⼀讲 损失分布第⼀节 随机变量的数字特征⼀、特征函数和矩母函数特征函数和矩母函数是对分布函数的变换，常⽤于确定独⽴随机变量之和的分布。
特征函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其特征函数的定义为：ϕX (t )=E e i tX .定理：分布函数序列 F n (x ) 收敛于分布函数 F (x ) 的充分必要条件是 F n (x ) 的特征函数 ϕn (t ) 收敛于 F (x ) 的特征函数 ϕ(t ) 。
矩母函数：对于随机变量 X ，其分布函数为 F (x ) ，其矩母函数的定义为：m X (t )=E e tX .矩母函数⼀般要求 t >0 ，并且 t 的取值范围和参数分布的参数有关，使得矩母函数存在。
定理：随机变量 X 的 k 阶矩等于矩母函数的 k 阶导数在 t =0 处的取值，即E X k =d kd t km X (t )t =0.定理：如果随机变量 X 和 Y 相互独⽴，则有ϕX +Y (t )=E e i t (X +Y )=E e i tX E e i tY =ϕX (t )ϕY (t ).m X +Y(t )=E e t (X +Y )=E e tXE e tY=m X(t )m Y(t ).注意：随机变量的矩母函数可能存在，也可能不存在。
如果随机变量的矩母函数不存在，则该随机变量的分布被称为重尾分布或厚尾分布（这是重尾分布的⼀种定义）。
定理：假设随机变量 X n 和 X 的矩母函数存在，则 X n 的矩母函数 m n (t ) 收敛于 X 的矩母函数 m (t ) 的充分必要条件是 X n 的分布函数 F n (x ) 收敛于 X 的分布函数 F (x ) 。
⼆、概率母函数和累积量母函数概率母函数：对于随机变量 X ，其概率母函数的定义为：[][][]|[][][][][][]g X (t )=E t X =∞∑k =0t k Pr(X=k ).从定义可以看出，概率母函数仅⽤于取值为⾃然数的随机变量。
风险管理
1.1 效用
效用是决策者对决策后果的一种感受、反应或倾向，是决策者的价值 观和偏好在决策活动中的综合反映。在经济学中，效用是用来衡量消费者 从一组商品和服务之中获得的幸福或者满足的尺度。数学上一般用效用函 数 u(x) 来度量，x 为消费者消费商品或服务的数量。 定义 1.1.1 设 C 是后果集，u 是 C 的实值函数，若对所有的 c1 , c2 ∈ C, c1 ≥ c2 ，当且仅当 u(c1 ) ≥ u(c2 )，则称 u(C ) 为效用函数。 定义 1.1.2 消费者在某一特定时期内，消费一定量的商品或商品组合所 得到的总的满足程度，称为总效用。 定义 1.1.3 某种物品消费量增加 1 单位物品的消费所得到的效用或效 用量的增量，称为边际效用。
第一章以存在是因为人们愿意为其所面临的风险获得一定的保 障，为此需要一定额度的保费。在本章，我们概述一个经济学理论，并用 之来解释为什么被保险人愿意支付高于纯保费的保费。解释这个现象的 理论假设决策者使用函数值 u(w) 去衡量其财富，而不是用财富 w 本身 去衡量，尽管通常他们自己都没有意识到这一点。若决策者必须下随机 损失 X 和 Y 之间做出选择，那他会比较 E [u(w − X )] 和 E [u(w − Y )] 并 选择期望效用较大的那个损失。利用这个模型，对于随机损失 X , 拥有 财富 W 的被保险人就可以决定为此支付的最大保费 P + 。这可由均衡方 程 E [u(w − X )] = u(w − P ) 求出。对于由均衡方程决定的保费 P + ，被保 险人觉得投保与否的效用没有差别。这个模型也可用于保险合同的另一方。 保险人使用自己的效用函数和可能的附加费用，决定一个最小保费 P − 如 果被保险人的最大保费 P + 超过保险公司的最小保费 P − ，那么当保费介 于 P + 与 P − 之间时，保险公司与被保险人的双方效用都增加了。 尽管不能精确地决定一个人的效用函数，但我们可以给出它的一些合 理的性质。例如，更多的财富通常意味着更高的效用水平，因此 u(w) 应是
《效用理论在保险中的应用》
《效用理论在保险中的应用》篇一一、引言效用理论是经济学中一个重要的概念，它主要研究个体如何根据自身偏好和需求对物品或服务进行价值评估。
在保险行业中，效用理论的应用显得尤为重要。
保险产品和服务的设计、定价、风险管理等各个环节，都需要以效用理论为基础，以满足消费者的需求和期望。
本文将探讨效用理论在保险中的应用，分析其重要性和应用方式。
二、效用理论与保险产品设计在保险产品设计中，效用理论起着至关重要的作用。
保险公司需要根据消费者的风险偏好、需求和预期收益，设计出符合消费者需求的保险产品。
通过分析消费者的效用函数，保险公司可以了解消费者在面临风险时的决策行为，进而设计出更具吸引力的保险产品。
例如，针对不同年龄、性别、职业等人群的特定风险需求，保险公司可以设计出不同的保险产品。
对于需要保障家庭收入稳定的家庭，可以设计定期寿险等产品；对于需要保障健康安全的消费者，可以设计医疗保险等产品。
这些产品设计的核心思想是根据消费者的效用函数，为消费者提供最大化的风险保障和收益。
三、效用理论与保险定价在保险定价过程中，效用理论同样发挥着重要作用。
保险公司需要根据风险成本、资本成本、利润等因素，合理确定保险产品的价格。
而在这个过程中，效用理论可以帮助保险公司更好地理解消费者的需求和偏好，从而制定出更具竞争力的价格策略。
具体而言，保险公司可以通过分析消费者的效用函数，了解消费者对不同风险保障的偏好和需求程度。
在此基础上，保险公司可以根据不同消费者的需求和偏好，制定差异化的价格策略。
例如，对于风险偏好较高的消费者，可以提供较高的风险保障和较低的保费；对于风险偏好较低的消费者，可以提供较低的风险保障和较高的保费。
这种差异化的定价策略可以帮助保险公司更好地满足消费者的需求和期望，提高市场竞争力。
四、效用理论与风险管理在风险管理方面，效用理论同样具有重要作用。
保险公司需要根据风险评估结果，制定相应的风险管理策略和措施。
而在这个过程中，效用理论可以帮助保险公司更好地理解风险对消费者的影响和消费者的风险承受能力。
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可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
22
当b =4 时，他选择B； u(2) 1 [u(0) u(4)] 2
当b =2 时，两者等价．
这既不是凸函数也不是凹函数。
两种情形下的停止损失保费都可由下式给出
为 什 么 ？
定理1.4.l （停止损失再保险的最优性）用I X
记当损失为 X X 0 时，某再保险合同约定的理
赔支付．假设 0 I x x 对于任意 x 0成立,则
证明 因为 E V X E W X ，所以只需证明
上式成立的一个充分条件是 V X d W X d 以概率1 成立．
当且仅当
u(x) 与 au(x) b 是等价的。
效用函数的确定
效用函数是存在的。但很难给出一个明 确的解析式。
可以向决策都提出大量的问题，通过他 对这些问题的回答来决定该决策都的效 用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货币， 你愿意支付多少保费这P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
例 1.2.4 给定效用函数u x ，我们如何近似计
算风险 X 最大保费 P ？
记 和 2 分别表示 X 的均值与方差．
在后面式子的两边同时取期望，得到
P
因此，风险X 的最大保费 P近似为
于是风险X 的最大保费 P近似为
注意到 ux 用 aux b替换时，r w 并没有改
变．从（1.18) ，我们可以看到风险厌恶系数真正 反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，准 备支付的保费也越大．
本 w 的个体使用效用函数u 衡量其财富的价值．他面
临两种选择： A． 以概率 1/2 损失 b 元， B． 仅支付固定的 b/2 元． 他的决策是这样的： 当 b = 1 时，他选择 A； 当 b =4 时，他选择 B； 当 b =2 时，两种选择等价．
这个人喜欢一定程度的冒险，但他又害怕大的损失。 （这样的人会购买火灾保单，同时愿意参与抽奖的活动．）
EX=100．
如果被保险人的效用函数是参数为 a 0.005
的指数效用函数，
138.6>100
因此被保险人愿意在纯保费 EX 之上
附加相当数量的额外保费．
由例1.2.4中近似式(1.18)得
显然，近似表达式(1.22)随a 递增，如果X 是
方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的 保费也是递增的，具体证明如下。令
如果 P P ，那么交易会同时增加保险人与被保险 人双方的期望效用。
买卖成功！
实际风险是中性的，即对于任意的风险X，有 期望保费EX就够了。
由大数定律可知：
X1 X2 Xn EX n
风险厌恶系数：效用函数u(x) 在财富 W 处的风险厌
恶系数r(w) 为
r(w) u''(w) u'(w)
被保险人方面：
现在，假设一个厌恶风险型的被保险人拥有财富
w，使用效用函数是 u ，他以保费 P 获得对损失
X 的保险保障．如果
如果上面的不等号成立，那么他会提高期望效用． 如果 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以
下效用均衡方程的解
如果u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
保险人方面：
性相关．由 0 I x x 得 0 和 0 1．再由（1.42） 得 1 2 V /Var X .因此，如果给定自留风险的方差，
且再保险公司采用方差原则，则比例再保险 I X X
是最优的，其中 1 V /VarX ．
对于情形 A ，我们利用定理 1.4.1．通过对 d 求导，
摩根斯特恩（Morgenstern）于 1947 年引入的模型描
述了决策者怎样在不确定的结果中做出选择．
一个评估财富 w 的效用函数u ，
决策基于期望 E u w X 如果有二个损失 X，Y，比较 E u w X 与
E[u(w Y )] 的大小来决定
为比较X 和Y，效用函数与其线性变换是等价 的，即无论选择哪个效用函数会得出相同的决策。
由Jensen 不等式知
取 Y exp X 则 vY expa X 且
对任意 a有
例 1.3.2 （平 方 效 用 函 数 ） 假 设 被 保 险 人 的 效 用 函 数 为 u(x) 10w w2, w 5 ，对损失额为 1，以概率 1 / 2 发生的风险
进行承保的保单，其最大保费 P 作为w(w[0,5]) 的函数是何
设保险人的效用函数为U ，资本为 W．
如果 E U W P X U W ,那么保险人将以保费 P 承保
损失 X 。
如果上面的不等号成立，那么他会提高期望效用． 如果 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x) 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
种形式？如果 w 增加，保费会如何变化？
由方程(1.10)．发生损失X 之后的期望效用为 以及支付保费P之后的效用为
近似的最大保费：
P 11 w2 1 (5 w), w[0.5] 2 4
例1.3.3（不可保的风险） 某决策者使用风
险厌恶系数为 a 0的指数效用函数，他想
对分布为 n,1的风险进行投保，其中 n,1
不可保的．
1.4 停止损失再保险的最优性
再保险合同通常只承保保险人的一部分 风险．停止损失(再）保险承保损失超出指定 免赔额的超额部分． 它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假 设 X 0 ) . 则理赔支付为
对于停止损失保险合同，其纯保费 E X d 称为停止损失保费，记为
在离散情形，FX x 为阶梯函数，其在x 处的 跳为 fX x ；在连续情形，FX x有导函数 fX x
我们用两种方法计算再保险公司收取的再保费．第一 种情形（A），再保险公司按保险人原保险合同条款收
取相同的再保费，因此，再保费等于1 E I X
我们必须使再保险公司的期望利润达到最小
问题B 容易解决一些
因为右边的前两项是固定的，所以左边的最小化等价 于协方差项的最大化．因为 X 和 X I X 的方差是给 定的，所以可以取 I x x 使得 X 和 X I X 完全线
• 如果B 非常小，那么P几乎不会大于0.01B； • 如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5
稍大一些； • 如果B 非常大，那么P 就会比0.01B大很多。
因为这么大的损失一但发生可以导致破产。 结论：可以付出比期望值高的费用为风险
投保。
例 1.2.1(圣彼得堡悖论) 以价格 P 元参与如
表示参数为a, b的伽玛分布．确定 P 并证 明 P n ，何时 P 此时说明了什么？
因为log1 x x,x 1, x 0 , 我们有log1a a .
因而 P EX n 所以，计算出的保费大于纯保
费．如果 a 1 ，则 P ，这表明决策者愿
意支付任何有限的保费．按照效用理论，如果 风险厌恶系数为 a 1 .那么承保该风险的保险 人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因 为 P ．对于这些保险人来说，这种风险是
１.３效用函数族
例1.3.1（指数保费） 假设一保险人使用参
数为a 的指数效用函数，对于风险X ，最小
保费 P 应为多少？
把U x aeax 代入均衡方程（1.11）得பைடு நூலகம்
其中 mx a E eax 是X 的矩母函数．
假设损失X 服从 Exp 分布，其中 Exp
表示参数为 的指数分布．令 ＝0.01 ，则
§第1章 效用理论与保险
1.1引言
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%
的机会什么也得不到。 B：100%的机会得到10元。 选择A？或B？
喜好风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。 B：100%的机会夫去10元。 选择A？或B？
当 X d 时， W X d ．显然成立；
当 X d 时, 我们有W X X ，有