人教版初三数学下册三角形相似的性质与判定
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
相似三角形的性质和判定知识点
相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。
相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。
3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。
4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。
5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。
这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。
三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。
3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。
这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。
四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。
2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。
通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。
3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。
数学人教版九年级下册相似三角形的性质
练习2 （3）．判断 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个
三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ）
一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个 三角形的面积也扩大为原来的9倍． （
√
×）
应用提高
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE， AC＝2DF，∠A＝∠D．若△ABC 的边 BC 上的高是 6，面积为 1 2 5 ，求△DEF 的边 EF上的高和面积． 解：在△ABC 和△DEF 中， ∵AB＝2DE，AC＝2DF，
对应角平分线的比等于相似比
归纳1 结论：相似三角形对应高的比，对应中线 的比与对应角平分线的比都等于相似比． 对应边的比 相 对应高的比 似 对应中线的比 ＝相似比k 三 角 对应角平分线的比 形 …… 推广：相似三角形对应线段的比等于相似 比．
练习1 （1）已知△ABC与△ A′B′C′的相似比为2：3， 2：3 ，对应高的比为 则对应边上中线之比 2：3 ，对应角平分线的比为 2：3 ． （2）两个相似三角形对应高的比为3∶7，它 们的对应角平分线的比为（ D ） A.7∶3 B.49∶9 C.9∶49 D.3∶7
1．如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分 别为60和72，且AB＝15，B′C′＝24，求BC、AC、 A′B′、A′C′的长． A
解： ∵△ABC∽△A′B′C′
60 5 k 72 6
A B B C 5 BC 6 AB
5 5 B C 2 4 B C 2 0 6 6 6 A B 6 1 5 A B 1 8 5 5
AB BC AC A B B C A C k A B k B C k A C A B B C A C k.
相似三角形的性质+课件+人教版数学九年级下册
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以证明吗？
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
=k2
A
A’
B
B’
C’
C
已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
相似三角形的周长比等于相似比吗?
A B
C D
相似三角形的周长比等于相似比. E
F
已知：如图， △ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K，
AD、A’D’分别是高.
A
求证：S ABC : S A'B'C ' = K 2
证明： ∵△ABC∽△A’B’C’
B
DC
A’
BC = AD = K B'C' A' D'
A
D
解: ∵AD∥BC
O
∴△AOD∽△COB S△AOD:S△COB=4:9
∴OD:OB=2:3
B
C
∴S△AOD:S△AOB=2:3
∴S△AOB=6cm2 ∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2
做一做：
如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠ADE=∠B， AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5。 求：（1） AG ;
A'B' B'C' 72
C B'
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
C'
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
九年级下册数学 两个三角形相似的判定
在九年级下册数学中，我们学习了关于两个三角形相似的判定。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
这一概念对于我们理解图形的性质和解决实际问题都至关重要。
首先要判断两个三角形是否相似，我们可以运用如下几种方法：1. 直角三角形的判定：当一个三角形中有一个角为直角时，可以直接利用两个直角三角形的斜边比相等的条件来判定两个三角形是否相似。
2. 两角对应相等的判定：如果两个三角形中分别有两个角各相等，则这两个三角形一定相似。
这是利用相似三角形的特性之一，即对应角相等。
3. 边对应成等比例的判定：如果两个三角形的对应边长成等比例，则这两个三角形也是相似的。
这个方法是根据相似三角形的定义进行判定的。
以上三种方法是我们在九年级下册数学学习中经常使用的三角形相似的判定方法。
通过这些方法，我们可以在解决实际问题中运用相似三角形的性质，比如利用相似三角形进行测量距离、高度等问题的解决。
在我看来，相似三角形的判定方法不仅仅是学习数学知识，更是培养我们逻辑思维和解决问题的能力。
通过对相似三角形的学习，我们可以锻炼自己的观察力和分析能力，培养自己对于形状和结构的认知。
九年级下册数学中关于两个三角形相似的判定是一个非常重要且有价值的内容。
通过深入学习和理解这一内容，我们可以提升自己的数学水平，同时也培养自己的思维能力和解决问题的能力。
希望通过本文的阐述，你能更深入地理解并应用这一知识点。
：九年级下册数学中关于相似三角形的判定，不仅在数学知识上具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
通过学习相似三角形的判定方法，我们可以更好地理解图形的形状和特性，从而更准确地解决实际问题。
除了学习相似三角形的判定方法，我们还需要掌握利用相似三角形解决实际问题的技巧。
在实际测量中，如果无法直接测量某个物体的高度或距离，可以利用相似三角形的性质进行间接测量。
通过测量已知物体的高度和距离，以及与被测物体的对应角度，可以利用相似三角形的比例关系计算出被测物体的高度和距离。
初中数学知识归纳相似三角形的性质与计算
初中数学知识归纳相似三角形的性质与计算相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在几何学中具有很大的应用价值。
了解相似三角形的性质和计算方法，对于解决各种几何问题以及日常生活中的实际问题都有一定的帮助。
本文将对初中数学中与相似三角形相关的知识进行归纳总结，包括相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的计算方法等。
一、相似三角形的性质相似三角形的性质主要包括比例关系和角度关系两个方面。
1.1 比例关系设两个三角形ABC和A'B'C'相似，对应边的比例关系为：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'其中，AB与A'B'、BC与B'C'、AC与A'C'的比值相等。
根据比例关系，我们可以得出以下结论：1）相似三角形的对应边成比例；2）相似三角形的对应线段中点连线与其余两边也成比例。
1.2 角度关系相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。
根据角度关系，我们可以得出以下结论：1）相似三角形的对应角以及对应角的余角相等；2）相似三角形的对应边与其对应角的正弦、余弦、正切等三角函数值相等。
二、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似，一般需要满足以下条件之一：2.1 AAA判定法则如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2.2 AA判定法则如果两个三角形的两对对应角相等，则这两个三角形相似。
2.3 SAS判定法则如果两个三角形的一对对应边成比例，且这两对对应边所夹的角相等，则这两个三角形相似。
2.4 SSS判定法则如果两个三角形的三对对应边成比例，则这两个三角形相似。
三、相似三角形的计算方法在解决相似三角形问题时，我们常常需要运用比例关系进行计算。
以下是一些常见的计算方法：3.1 求相似三角形的边长比例已知两个相似三角形的一个对应边的长度比例，可以通过设置比例等式求解另一个对应边的长度比例。
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲一. 本周教学内容：相似三角形的性质与判定二. 学习重点和难点1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边的比相等.（3）相似三角形的对应线段成比例.（4）两个相似三角形的周长比等于相似比.（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.2. 相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：C推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边．．．的比相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC和△'C'B'A中，'A 'C CA 'C 'B BC 'B 'A AB ==， ∴△ABC ∽△'C 'B 'A .（3）如果两个三角形的两组对应边．．．的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，'C 'A AC 'B 'A AB =，∠A=∠'A ABC ∆∴∽△'C 'B 'A . （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应．．相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，∵∠A=∠'A ，∠B=∠'B ，∴△ABC ∽△'C 'B 'A .三. 我们的目标：通过学习进一步理解相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理的应用.例1. 如图，BC ⊥AF ，FD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，那么图中有_________对相似三角形.FCEA D B分析：观察图形，我们可以发现，图中有4个∆Rt ，它们是ADF R t ABC R t ∆∆，，E DB Rt ∆，CFE Rt ∆.这四个∆Rt 每两个之间都相似，所以一共有6对三角形相似.△ABC ∽△EBD ，△ABC ∽△AFD ，△ABC ∽△EFC△AFD ∽△EBD ，△AFD ∽△EFC ，△BED ∽△FEC答：6对注意：在复杂图形中辨认相似三角形时，要着重抓住图形的特征.如本题重在找相等的角，然后再判定.例2. 如图，∠ADE=∠B ，则)()()()(AC AE ==.B C分析：∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABCABAD BC DE AC AE ==∴ 注意：首先要判断△ADE ∽△ABC ，然后正确找出对应边.例3. 如图，已知DE//BC ，DF 与AC 交于G ，则图中的相似三角形有：△__________∽△__________，△__________∽△__________.答案：△ADE △ABC ，△DEG △FCG. 注意：要抓住DE//BC 的条件，利用基本图形进行判定.例4. 如图，AD=DF=FB ，DE//FG//BC ，则=321S :S :S __________.AD EF GB C 1 2 3答案：1：3：5分析：∵DE//FG//BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC又∵AD=DF=FB∴AD ：AF ：AB=1：2：3.4121S S 2AFG 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆ 3:1S :S 21=∴9432S S 2ABC AFG =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆ 53S S 32=∴ 5:3:1S :S :S 321=∴注意：要抓住AD=DF=FB ，DE//FG//BC 的条件，利用基本图形进行判定三角形相似，然后利用性质解题.例5. 如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连结AE.（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形，若有请写出来，并说明理由；若没有请说明理由.（3）求△BEC 与△BEA 的面积比.BEC D A解：（1）DE=DA ，EC=EA=EB.证明： ∵∠DEC=90°，∠BDC=60°，∴∠DCE=30°.DA CD 21DE ==∴，即DE=DA. ∴∠DEA=∠DAE.又∵∠EDC=∠DEA+∠DAE=60°，∴∠DAE=∠DEA=30°.又∵∠BAC=45°，∴∠EAB=∠BAC －∠DAE=15°.又∠DEA=∠EAB+∠EBA ，∴∠EBA=∠DEA －∠EAB=15°.∴∠EBA=∠EAB.∴EA=EB.∵∠DCE=∠DAE=30°，∴EC=EA.∴EC=EA=EB.（2）①△ADE ∽△CEA ，或②△BCD ∽△ACB① 理由：△ADE ，△CEA 均为底角为30°的等腰△，∴△ADE ∽△CEA.② 理由：∵∠CBD=∠CAB=45°，∠CDB=∠ABC=60°，∴△BCD ∽△ACB.（3）过点A 作AF ⊥BD ，交BD 延长线于点F ，则∠AFD=∠CED=90°.又∠ADF=∠CDE ，∴△CED ∽△AFD.2ADAD 2AD CD AF CE ===∴， 2AF CE AF BE 21CE BE 21S S BEA BEC ==⋅⋅=∴∆∆. 即2S S BEA BEC =∆∆.（答题时间：60分钟）一、选一选1. 下列四条线段成比例的是（ ）A. 2，3，2，3B. 3，2，6，4C. 4，5，6，10D. 12，8，11，162. 用一个3倍放大镜照一个△ABC ，下列说法正确的是（ ）A. △ABC 放大后，∠A 是原来的3倍B. △ABC 放大后，周长是原来的3倍C. △ABC 放大后，面积是原来的3倍D. 以上答案都不正确3. 若23b a =，则ba b +等于（ ） A. 3：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 5：24. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形D. 有一个角是120°的两个等腰三角形5. 如图所示，下列各式能使△ACB ∽△DCA 的是（ ）A. AB AC BDCD = B.CD AC AC CB = C. BC AC AB AD = D. AB AD AD AC =6. 过三角形一边上一点画直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 如图所示，已知EF//BC ，△AEF 和梯形EBCF 的面积分别为18，80。
相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题
考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活的各种场景中有着广泛的应用。
今天，咱们就来好好聊聊相似三角形的判定与性质。
先来说说相似三角形的判定方法。
第一种方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
想象一下，有两个三角形，它们对应的两个角分别相等，就好像两个形状相同但大小可能不同的“模型”，这就足以说明它们是相似的。
比如说，一个三角形的两个角分别是 60 度和 80 度，另一个三角形也有两个角分别是 60 度和 80 度，那么这两个三角形就是相似的。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假如有两个三角形，其中一组对应边的比例相等，并且它们所夹的角也相等，那就可以判定这两个三角形相似。
打个比方，一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 70 度；另一个三角形对应的两条边是 8 和12，夹角也是 70 度，那它们就是相似的。
第三种是“三边成比例的两个三角形相似”。
如果两个三角形的三条边对应的比例都相等，那它们肯定相似。
就像用不同大小的尺子去量同一个形状的东西，比例一样，形状也就一样。
接下来，咱们看看相似三角形都有哪些重要的性质。
相似三角形的对应边成比例，这是最基本也是最重要的性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们对应边的长度之比是一个固定的值。
比如一个三角形的三条边分别是 3、4、5，另一个与之相似的三角形对应边分别是 6、8、10，那么它们对应边的比例就是 1 ： 2 。
相似三角形的对应角相等。
这意味着相似三角形的形状是完全一样的，只是大小可能不同。
就像前面提到的例子，不管三角形大小如何变化，只要它们相似，对应的角的度数就不会改变。
还有，相似三角形的周长之比等于相似比。
相似比就是对应边的比值。
假设一个三角形的周长是 12，另一个与其相似的三角形的相似比是 2 ： 1，那么后者的周长就是 24 。
人教版九年级数学下册相似三角形全章课件
∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
A A′
B
B′ C
C′
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似.
【例】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
A C
B
D
P2 P3
P1 P4
E
P5 F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，
得
， ，BC=5；
，，
.
∵
，∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
A C
B
P3 E
D P1 P2
P4
P5 F
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
4.（成都中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与B
C相交于点K，E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC，
求 的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明．再探究：当AE= AD (n>2)，而其余
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 152c . m
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_:_4__. A
人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形的性质与判定教学设计
2.利用多媒体教学资源，如动态图、实物模型等，直观演示相似三角形的性质和判定方法，帮助学生形象地理解。
-通过动态图展示相似三角形的性质，让学生清晰地看到对应角相等、对应边成比例的关系。
3.采用任务驱动法，设计不同层次的练习题，引导学生逐步掌握相似三角形的判定方法。
3.教学目标：使学生掌握相似三角形的性质与判定方法，为解决实际问题奠定基础。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：教师提出具有挑战性的问题，引导学生以小组为单位进行讨论，共同解决问题。
2.教学实施：教师将学生分成若干小组，每组针对给定的问题进行讨论。讨论过程中，教师巡回指导，引导学生运用相似三角形的性质与判定方法解决问题。
3.教学目标：培养学生团队合作意识，提高学生运用相似三角形知识解决问题的能力。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：教师设计不同难度的练习题，让学生在课堂上独立完成，巩固所学知识。
2.教学实施：教师给出基础题、提高题和拓展题，要求学生在规定时间内完成。教师对学生的解答进行点评，针对错误进行讲解，确保学生真正掌握相似三角形的性质与判定。
3.教学目标：通过课堂练习，使学生熟练运用相似三角形的性质与判定方法，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的性质与判定方法。
2.教学实施：教师与学生一起总结相似三角形的性质与判定方法，强调重点、难点。同时，鼓励学生提出疑问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
学生在学习过程中，可能对相似三角形的定义和性质理解不够深入，对判定方法的运用不够熟练。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
人教版九年级下册数学 相似三角形的性质与判定
人教版九年级下册数学相似三角形的性质与判定归纳总结:1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.相似三角形的判定：①如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的面积比等于 .（2）相似三角形对应边，对应角。
（3）相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）之比和周长之比都等于 .5. 相似三角形的概念：对应角、对应边的两个三角形叫做相似三角形，对应边之比叫做 .当相似比为1时，则两个三角形称 .6.四种相似三角形模型：A字、8字、K字、重叠型.1. 如图，点D在△ABC的边AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为．2. 如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为．3. 如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D 到线段AB的距离等于（结果保留根号）．4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为．5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是．6. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为．8. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连接AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为．9. 如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则= ．10.如图，在△ABC中，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且AD=3，AB=8，AC=10，若△ADE与△ABC相似，则AE的长为．11. 如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为．12. 如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为13. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，且MG⊥BC，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）用含t的式子表示MG；（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积；（3）若△BMN与△ABC相似，求t的值．16. 如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．。
人教版数学九年级下册《相似三角形的性质》相似
A
D
E
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9， ∴ AE : EC=2:3，
B
F
C
则 AE : AC =2 : 5， ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
6.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，
4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF= EH,则EH的长为____32____.
5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .A
（1）求证：△AEH∽△ABC；
E
H
（2）求这个正方形的边长与面积.
B FD G
C
解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥FG，EF＝FG＝GH＝EH，
∴AEH∽△ABC；
A
E
H
P
B FD G
C
课堂小结
相似三角形对应线段的比等于相似比
BC
AD k k k 2.
S△A'B'C' 1 B 'C ' A' D ' B 'C ' A' D '
2
A
A'
BD
C
B' D'
C'
例3
解：过点A 作AQ ⊥ BC 交BC 于点Q，交DE 于点P. ∵ 四边形DEFM 是正方形， ∴ DE ∥ BC，DE ＝ PQ， ∴ AP ⊥ DE，即AP 是△ ADE 的高.
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相似三角形的判定复习（一）教学案例
【学习目标】
1.掌握三角形相似的判定方法。
2.会用相似三角形的判定方法和性质来判断及计算
【学习重点】三角形相似的判定性质及其应用。
【学习难点】三角形相似的判定和性质的灵活运用。
相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。
【学法指导】设置问题、探究讨论、展示讲解、小组讨论。
【导学过程】
【复习案】
一、知识点回顾：
相似三角形的判定方法
二、随堂练习：
１．已知，△ABC中，DE‖BC，AD=2，BD=3，ＤＥ＝１，求ＢＣ＝。
２．已知，DE‖BC，ＤＥ=2，ＢＣ=４，ＢＤ＝９，求ＡＤ＝。
３．如图，AB与CD交于点E，∠A=∠C，ＡＤ＝２，BC=3，AE=1，DE=4，求EC= 。
三、例题讲解：
1.如图，锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D．
求证(1)△AEC ∽△ABF
(2)AE·AB=AF·AC
2.如图，弦AB、CD相交于点P，试证明：AP·PC=CP·PD
3..如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，
求证：AB·AC＝AD·AE
6. 过平行四边形A B C D 的一个顶点A 作一直线分别交对角线B D ,边B C , 边D C 的延长线于E 、
F 、
G . 求证：E A 2 = E F · E G .
四、小结：。