第三章___空间向量测试题.doc123

合集下载

空间向量测试卷试题.doc

空间向量练习1．在空间直角坐标系中，点P 12，，3 关于平面 xoz 对称的点的坐标是A. 1， 2，3 B. 1，2， 3 C. 1， 2，3 D. 1， 2， 3v2,2, 2 v1,1, 1 ，则2 ．若直线l的一个方向向量a ，平面α的一个法向量为 b （）A. l αB. l l α D. A 、 C 都有可能3．以下四组向量中，互相平行的有（）组．（v1,2,1v1, 2,3 ．（2）v8,4, 6 ，v4,2, 3 ．1） a ， b a b（v0,1, 1 ，v0,3, 3 ．（ 4v3,2,0v4, 3,3 ．3 ） a b ） a ， bA. 一B. 二C. 三D. 四4．若ABCD 为平行四边形，且 A 4,1,3 ， B 2, 5,1 ， C 3,7, 5 ，则顶点D的坐标为（）．A. 1,13, 3B. 2,3,1C. 3,1,5D. 7, 4, 1 2uv uuv v v uv uuv 5．如上图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a 用基底 e1， e2表示为 ( )uv uuv uv uuv uv uuv uv uuvA.e1＋e2 B. 2 e1－e2 C.－2e1＋e2 D. 2 e1＋e26．已知A(4，6)，B3 v14,9v 9 v 143 ；3, ，有下列向量：① a ；② b 7, ；③ c ,2 2 3v7,9 其中，与直线 AB平行的向量( )④ cA. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于 ( )A. B. ) C. D.r2, 1,3r4,2, xr r r r）8．已知向量a ,b ，使 a b 成立的 x 与使a / / b 成立的x分别为（A.10, 6 B. - 10 , 6 6 C. -6, 10 , 6 D. 6,- 10 , 63 3 3 3r r4, 1r r）9．若a =(2 ， 3) ，b = y ，且 a ∥ b ，则y=（A. 6B. 5C. 7D. 8r rr2, 1,2r）10．已知向量a ,b 2,2,1 ，以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积（A. 65B.65C. 4D. 8211 ．如图所示，空间四边形OABC 中，uuur uuur uuurc ，点 M 在OA上，且OA a,OB b,OCuuuur uuur uuuurOM 2MA ， N 为 BC 中点，则 MN 等于（）A.1a 2 b1c B. 2 a 1 b1c C. 1 a 1 b2c D. 2 a 2 b 1 c2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 12．在空间直角坐标系O xyz 中，点1,2, 2 关于点1,0,1 的对称点是（）A. 3, 2,4B. 3, 2, 4C. 3,2, 4D. 3,2,4r1,1,0r1,0,2r r r（）13．已知向量a ,b , 且ka b 与 a 互相垂直，则 kA.1B. 1C. 1D. 13 2 3 214．设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则( ) A. 18 B. 12 C. D.15．已知，点在轴上，，则点的坐标是（）A. B. C. 或 D.r）16．与向量a＝（ 0， 2，－ 4）共线的向量是（A．（ 2， 0，－ 4） B ．（ 3， 6，－ 12）C．（ 1， 1，－ 2） D ．10, , 12r1,2,0 r2,0,117．若向量a ， b ，则r r120 B r r r r r rA．cos a,b ． a b C．a∥b D．a b18．若向量、的坐标满足，，则·等于A．B．C．D．19．已知点 A 2,3,6 与点 B 3,5,4 ，则AB的中点坐标为__________．20．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知 A1( a, 0，c)，C(0，b, 0)，则点 B1的坐标为________．21．如图所示的长方体中，，，，则的中点的坐标为__________ ，___________．22．点P 2, 1,3 在坐标平面 xOz内的投影点坐标为______________；23．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 _______．24．已知a ( 3, 1,0), b ( k,0,1), a, b 的夹角为 60o, 则 k .25．若A(0, 2,19)，B(1, 1,5) ， C ( 2,1,5) 是平面内的三点，设平面的法向量ra ( x, y, z) ，则x : y : z 8 8 8．26．已知向量a (2, 1,2) , b ( 4,2, m) ,且a b ，则m的值为27．在空间坐标系中，已知三点A（1， 0， 0），B（ 0，1， 0），C（ 0， 0，1），则平面 ABC的单位法向量是．28．若向量a (4,2, 4), b (6, 3,2) ，则 2a b a 2b _______________. 32． P 是平面 ABCD外的点，四边形 ABCD是平行四边形，AB ( 2， 1， 4), AD (4，2,0),AP ( 1，2， 1) ,求证 PA 垂直平面 ABCD .33．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB 2, BC 1,AA1 1（1）求直线AD1与B1D所成角；（2）求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦 .34．（本大题 12 分）如图，在棱长为ɑ的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F、 G分别是 CB、 CD、CC1的中点．（1）求直线A1 C 与平面 ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面 A B1D1∥平面 EFG；（3）求证：平面 AA1C⊥面 EFG ．29．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B， AC， BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4， AC=6，BD=8，则 CD的长为 _________。

空间向量与立体几何测试题答案(可编辑修改word版)

PA PB PC 空间向量与立体几何测试题一、选择题1. 若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是答案：ＡＡ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形2. 在长方体 ABCD - A B C D 中，下列关于的表达中错误的一个是（ b ）AA 1 + A 1B 1 + A 1D 11 1 1 1AC 1AB + DD 1 + D 1C 1Ｃ． 1AD + CC 1 + D 1C 1Ｄ． 2( AB 1 + CD 1 ) + A 1C 13. 若a ， b ， c 为任意向量， m ∈ R ，下列等式不一定成立的是（ d ）Ａ． (a + b ) + c = a + (b + c )Ｂ． (a + b ·) c = a · c + b · cＣ． m (a + b ) = m a + m bＤ． (a · b ·) c = a · (b · c )4. 若三点 A ， B ， C 共线， P 为空间任意一点，且+ =，则- 的值为（b ）Ａ．1Ｂ． -1Ｃ． 12Ｄ． -25．设a = (x ， 4，3)， b = (3， 2，z ) ，且a ∥b ，则 xz 等于（b）Ａ． -4Ｂ．9Ｃ． -9Ｄ． 649 6. 已知非零向量 e ， e 不共线，如果 = e+ e ， = 2e + 8e ，= 3e - 3e ，则四点1 2A ，B ，C ，D （ c ） AB 1 2 AC 2 2 AD 1 2 Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面7. 如图 1，空间四边形 ABCD 的四条边及对角线长都是 a ，点 E ， F ， G 分别是 A B ， AD ， CD 的中点，则 a 2 等于（b ）Ａ． 2BA · ACＣ． 2FG · CA2 A D · BD2EF · CBＡ．Ｂ．Ｂ．Ｄ．1，，为空间四点，若 5 5 OP OA OB OC 8．若a = e 1 + e 2 + e 3， b = e 1 - e 2 + e 3， c = e 1 + e 2 - e 3 ， d = e 1 + 2e 2 + 3e 3 ，且d = x a + y b + z c ，则 x ， y ， z 的值分别为（ a）Ａ． 5， - 1，- 1 2 25， 1，-1 2 2Ｃ． - 5 1- 12 25 1，，12 29. 若向量a = (1，， 2) 与b = (2， - 1， 2) 的夹角的余弦值为 8，则= （c ）9Ａ． 2Ｂ． -2Ｃ． -2 或 2 55 Ｄ．2 或- 25510. 已知 ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2， - 5，1)，C (3，7， - 5) ，则顶点D 的坐标为（d ）Ａ． ⎛ 7， 4， - 1⎫Ｂ． (2， 4，1) Ｃ． (-2，14，1) Ｄ． (5，13， - 3)2 ⎪ ⎝ ⎭11. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， O 为 A C ，BD 的交点，则C 1O 与A 1D 所成角的（ d ）Ａ． 60° Ｂ． 90°Ｃ． arccos 33Ｄ． arccos 3612. 给出下列命题：①已知a ⊥ b ，则a · (b + c ) + c · (b - a ) = b · c ；② A ， B ， M ，N BA ， BM ， BN 不构成空间的一个基底，那么A ， B ， M ， N 共面； ③已知a ⊥ b ，则a ， b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a ， b 共线，则a ， b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ c ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题13．已知a = (3，1，5)， b = (1， 2， - 3) ，向量c 与 z 轴垂直，且满足c · a = 9， c · b = -4 ，则 c =．答案： ⎛ 22， - 21 ⎫ ，0 ⎪⎝ ⎭14. 已知 A ， B ， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量= 1 + 2 +5 3确定的点 P 与 A ， B ， C 共面，那么=．答案： 21515. 已知线段 AB ⊥ 面， BC ⊂ ， CD ⊥ BC ， DF ⊥ 面于点 F ， ∠DCF = 30° ，且 D ， A 在平面的同侧，若 AB = BC = CD = 2 ，则 AD 的长为．答案： 216. 在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60° 和45° ，则异面直线 B C 和C D 所成角的余弦值为．答案： 61 1 4三、解答题22Ｂ．Ｄ．AC 1 n⎩ ⎩ GE ·BD 17．设a 1 = 2i - j + k ， a 2 = i + 3 j - 2k ， a 3 = -2i + j - 3k ， a 4 = 3i + 2 j + 5k ，试问是否存在实数，，，使a 4 = a 1 + a 2 +a 3 成立？如果存在，求出，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设a 4 = a 1 + a 2 +a 3 成立．∵a 1 = (2， - 1，1)， a 2 = (1，3， - 2)， a 3 = (-2，1， - 3)，a 4 = (3， 2，5) ，∴(2+ - 2， - + 3+， - 2- 3) = (3， 2，5) ．⎧2+ - 2= 3， ⎧= -2，∴⎪-+ 3+= 2，解得⎪= 1， ⎨ ⎪- 2- 3= 5， ⎨ ⎪= -3，所以存在 = -2，= 1， v = -3 使得 a 4 = -2a 1 + a 2 - 3a 3 ．18．如图 2，正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 的底面边长为 a ，侧棱长为ABB 1 A 1 所成的角．2a ，求 AC 1 与侧面解：建立如图所示的空间直角坐标系， ⎛ 3 a ⎫ 则 A (0，0，0)， B (0， a ，0)，A 1 (0，0， 2a )， C 1 - a ，， 2 2 2a ⎪ ．⎝⎭由于 n = (-1，0，0) 是面 ABB 1 A 1 的法向量，cosAC ， n = AC 1· n 3 a = 2 = 1 ⇒ AC ， n = 60° ． 1 3a 2 1故 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角为30° ．19.如图 3，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB = 90° ，侧棱 AA 1 = 2， D ， E 分别是CC 1 与 A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，求点 A 1 到平面 AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA = 2a ，则 A (2a ，0，0)， B (0， 2a ，0)， D (0，0，1)， A (2a ，0， 2)， E (a ， a ，1)， G ⎛ 2a ， 2a ， 1 ⎫ ．1 3 3 3 ⎪ 从而 ⎛ a a⎝ ⎭ 2 ⎫GE = ，， ⎪， BD = (0， - 2a ，1) ．⎝ 3 3 3 ⎭由GE ⊥ BD ⇒= 0 ，得 a = 1，34 2 62 - (2 - t )2 2 - (2 - t )2 2 - (2 - t )2 则 A 1(2，0， 2)， A (2，0，0)，E (1，1，1) ．自 A 1 作 A 1H ⊥ 面 AED 于 M ，并延长交 xOy 面于 H ，设 H (x ， y ，0) ，则A 1H = (x - 2， y ， - 2) ．又 AD = (-2，0，1) ， AE = (-1，1，1) ．由⎧ A 1H ⊥ AD ， ⇒ ⎧-2(x - 2) - 2 = 0，⇒⎧x = 1，得 H (1，1，0) ． ⎨ A H ⊥ AE ⎨-(x - 2) + y - 2 = 0 ⎨y = 1， ⎩ 1 ⎩ ⎩又 A 1M =A 1 A · cos A 1 A ， A 1M = A 1 A · cos A 1 A ， A 1H = 2 ⨯ = 2 6 ． 320.已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2， P ， Q 分别是 B C ， CD 上的动点，且 PQ =，确定 P ， Q 的位置，使QB 1 ⊥ PD 1 ．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 BP = t ，得CQ = ， DQ = 2 - ．那么 B (2，0， 2)， D (0， 2， 2)，P (2， t ，0)， Q (2 - 2 - (2 - t )2， 2，0) ，11从而 2QB 1= ( 2 - (2 - t ) ， - 2， 2) ， PD 1 = (-2， 2 - t ， 2) ，由QB ⊥ PD ⇒= 0 ，1 1 QB 1· PD 1 即-2 - 2(2 - t ) + 4 = 0 ⇒ t = 1．故 P ， Q 分别为 B C ， CD 的中点时， QB 1 ⊥ PD 1 ．21.如图 4，在底面是直角梯形的四棱锥 S - ABCD 中， ∠ABC = 90° ， SA ⊥ 面 ABCD ，SA = AB = BC = 1，切值．AD = 1，求面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正2解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (0，0，0)， B (-1，0，0)， C (-1，1，0)， D ⎛ 0 10 ⎫， S (0，0，1) ．， 2， ⎪ ⎝ ⎭延长CD 交 x 轴于点 F ，易得 F (1，0，0) ，作 AE ⊥ SF 于点 E ，连结 DE ，则∠DEA 即为面 SCD 与面 SBA 所成二面角的平面角．242 2 ⎪ = =3 又由于 SA = AF 且 SA ⊥ AF ，得 E ⎛ 1，0， 1 ⎫ ，⎝ ⎭ 那么⎛ 1 1 ⎫⎛ 1 1 1 ⎫ EA = - ，0， - ⎪ ， ED = - ，， - ⎪ ，⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 2 ⎭ 从而cos EA ， ED E A · ED 6， EA ED因此tan EAF ， ED ． 2故面 SCD 与面 SBA 所成二面角的正切值为 2．222.平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 是菱形，且∠C 1CB = ∠C 1CD = ∠BCD ，试问：当 CD 的值为多少时， AC ⊥ 面C BD ？请予以证明．CC 1 1解：欲使 A 1C ⊥ 面C 1BD ，只须 A 1C ⊥ C 1D ，且 A 1C ⊥ C 1B ．欲证 AC ⊥ C D ，只须证= 0 ，1 1 即CA 1· C 1D (CA + AA 1 ·) (CD - CC 1 ) = 0 ，也就是 (CD + CB + CC 1 ·) (CD - CC 1 ) = 0 ，即2 2 CD - CC 1 + CB CD cos ∠BCD - CB CC 1 cos ∠C 1CB = 0 ．由于∠C 1CB = ∠BCD ，显然，当CD = CC 1 时，上式成立；同理可得，当 CD = CC 1 时， A 1C ⊥ C 1B ．因此，当 CD= 1时， AC ⊥ 面C BD ．CC 151= 1 1。

空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．cb a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定图8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，OA = （）A ．21B ．22 C ．21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为． 13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是．14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 图评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6，令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

空间向量与立体几何基础测试题

空间向量与立体几何基础测试题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章：空间向量与立体几何专题复习1. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则（） A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-2.在空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则21AB +→--(→--BD +→--BC )等于 ( )A 、→--ADB 、→--GAC 、→--AGD 、→--MG 4．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是（）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ=2.已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则向量a 与b 之间的夹角,〈〉a b 为（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）以上都不对6.已知线段AB 、BC 都在平面α内，BC ⊥AB,线段DA ⊥α,若AB=1,BC=2,CD=3,则DA= . 6. 已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为7.已知 b a ,c 两两之间的夹角都是︒60且1||=a ，1||=b ，1||=c 则2)2(c b a +-=1. 已知向量(0,2,1)=a ，(1,1,2)=--b ，则a 与b 的夹角为（）（A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180°3.设|m |＝1，|n |＝2，2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则,〈〉a b ＝4. 已知→-a =（3，-3，-1），→-b =（2，0，3），→-c =（0，0，2），求→-a ·（→-b +→-c ）=__________。

第三章空间向量与立体几何单元检测参考答案

第三章空间向量与立体几何单元检测一、选择题1．(2013·佛山高二检测)与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2) C ．(－12，32，－1) D ．(2，－3，－22)【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)．【答案】 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.应选D. 【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．【答案】 B4．(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是 A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0 ( )【解析】如图AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A 、B 、C 选项均正确．【答案】 D5．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之由于a 、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B6．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5 ( )【解析】设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝12＋(－2)2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B7．(2013·岳阳高二检测)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－2或255D ．2或－255【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255. 【答案】 C8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33 C.23D.63【解析】设正方体的棱长为1，建系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)．平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1,1,1)．又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－(33)2＝63.【答案】 D9．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A ．(407，－157，－4)B ．(407，－157，－3)C ．(337，－157，4)D ．(337，－157，－3)【解析】∵AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝3＋5－2z＝0，∴z＝4，∴BC→＝(3,1,4)．∵BP→⊥平面ABC，∴BP→·AB→＝0，BP→·BC→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x－1)×1＋y×5＋(－3)×(－2)＝0(x－1)×3＋y×1＋(－3)×4＝0解得⎩⎨⎧x＝407y＝－157，∴BP→＝(337，－157，－3)．【答案】 D10．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝435，那么二面角A－BD－P的大小为()A．30°B．45°C．60° D．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB→＝(3,0，－453)，BD→＝(－3,4,0)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·PB→＝0n·BD→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x，y，z)·(3，0，－453)＝0，(x，y，z)·(－3，4，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x－453z＝0，－3x＋4y＝0.令x＝1，则n＝(1，34，543)．又n1＝(0,0，453)为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n1，n〉＝n1·n|n1||n|＝32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．(2013·北京高二检测)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【解析】由题意得2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32. 【答案】16－3212．(2013·重庆高二检测)已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．【解析】∵AC→＝(5,1，－7).BC→＝(2，－3,1)，∴AC→·BC→＝10－3－7＝0.∴AC→⊥BC→，∴∠ACB＝90°，又∵|AC→|≠|BC→|，∴△ABC为直角三角形．【答案】直角三角形13．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．【解析】如图所示，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，∴a·b＝a·c＝b·c＝1×1×cos 60°＝12.又AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝a＋b＋c，|AC1→|＝(a＋b＋c)2＝3＋3×2×12＝ 6.【答案】614．命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在惟一的实数λ，使b＝λa；④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中的真命题是________．【解析】当b＝0时，①不正确；a、b、c共面于平面α，则a，b，c所在的直线可能异面，但都与α平行，所以②不正确；③不正确．因为a∥b⇔b＝λa(a≠0)；由空间向量基本定理可知④正确．【答案】④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中，求证：AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.图1【证明】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，AB′→＝AB→＋AA′→，AD′→＝AD→＋AA′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)．又AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.16．(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．图2(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1.【解】 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→，∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.图317．(本小题满分12分)如图3，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．【解】 (1)证明连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O . 由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO .又AC ∩SO ＝O ，∴BD ⊥平面SAC .又AE ⊂平面SAC ，∴BD ⊥AE.(2)由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ， ∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2.∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )．设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝|SC →·SA →||SC →|·|SA →|＝|－3a 2＋a 2|(3＋1)a 2·(3＋1)a 2＝12，即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418．(本小题满分14分)(2012·浙江高考)如图4，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．【解】 (1)证明连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，以过O 点且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6.又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中，AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4.由此知各点坐标如下；A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M (－32，－32，6)，N (－32，32，6)，Q (33，0，263)．设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量，由AM →＝(32，－32，6)，AN →＝(32，32，6)知⎩⎨⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，由QM →＝(－536，－32，63)，QN →＝(－536，32，63)知⎩⎨⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.。

2016-2017学年高二数学2-1第三章空间向量与立体几何复习+练习含答案

第三章空间向量与立体几何一、空间向量的概念与运算1．在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．2．向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向．3．向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作AB．4．模（长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a-．6．方向相同且模相等的向量称为相等向量．7．求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O起点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．8．求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O,作OA a=，OB b=，则=-．BA a b9．实数λ与空间向量a的乘积aλ是一个向量,称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．10．设λ，μ为实数，a ,b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律:()a b a b λλλ+=+;结合律：()()a a λμλμ=．11．如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．12．向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，(0)b b ≠，a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=．13．平行于同一个平面的向量称为共面向量．14．向量共面定理:空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使AP xAB yAC =+；或对空间任一定点O ，有OP OA xAB yAC =++;或若四点P ，A ，B ，C 共面,则()1OP xOA yOB zOC x y z =++++=．15．已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠称为向量a ,b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,πa b 〈〉∈．16．对于两个非零向量a 和b ，若π,2a b 〈〉=,则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．17．已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b 〈〉称为a ，b 的数量积,记作a b ⋅．即cos ,a b ab a b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0． 18．a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积．19．若a ,b 为非零向量，e 为单位向量，则有①cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉； ②0a b a b ⊥⇔⋅=；③()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅; ④cos ,a b a b a b ⋅〈〉=；⑤ a b a b ⋅≤．20．向量数乘积的运算律:①a b b a ⋅=⋅;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅; ③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．例1如右图所示，空间四边形OABC 中，错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则错误!等于（ )．A ．错误!a －错误!b ＋错误!cB ．－错误!a ＋错误!b ＋错误!cC ．错误!a ＋错误!b －错误!cD ．－错误!a ＋错误!b －错误!c答案：B解析：错误!＝错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!）－错误!错误!＝－错误!a＋错误!b＋错误!c．例2已知|a｜＝1，|b|＝错误!，且a－b与a垂直，则a 与b的夹角为（）．A．60°B．30°C．135°D．45°答案:D解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a｜·｜b|·cos<a，b〉＝1－1·错误!·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝错误!．∵0°≤<a，b〉≤180°，∴〈a，b>＝45°．二、空间向量的坐标与坐标运算1．若i,j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p,存在有序实数组{}x y z，使得p xi yj zk,,=++，称xi，yj，zk为向量p在i，j,k上的分量．2．空间向量基本定理：若三个向量a，b,c不共面，则对空间任一向量p,存在实数组{}x y z，使得p xa yb zc,,=++．3．若三个向量a，b,c不共面，则所有空间向量组成的集合是{，=++}p p xa yb zcx y z∈R．这个集合可看作是由向，，量a,b，c生成的，{}a b c称为空间的一个基底，a，b,c，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．4．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =．存在有序实数组{},,x y z ,使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ,3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(),,x y z ．5．设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则①()121212,,a b x x y y z z +=+++． ②()121212,,a b x x y y z z -=---．③()111,,a x y z λλλλ=．④121212a b x x y y z z ⋅=++．⑤若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ⑥若0b ≠，则121212,,ab a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ⑦21a a a x =⋅=+．⑧21cos ,x a ba b a b x ⋅〈〉==+⑨()111,,A x y z ,()222,,B x y z =,则(ΑΒd ΑΒx ==例1已知空间四点A （4，1，3)、B (2,3，1)、C (3，7，－5)、D(x，－1，3）共面,则x的值为（）．A．4 B．1 C．10D．11答案：D解析:错误!＝（－2，2，－2），错误!＝(－1，6,－8），错误!＝(x－4，－2，0）,∵A、B、C、D共面，∴错误!、错误!、错误!共面，∴存在λ、μ，使错误!＝λ错误!＋μ错误!，即（x－4,－2，0）＝（－2λ－μ,2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴错误!∴错误!例2已知a＝(1，2,－y)、b＝（x,1,2)，且(a＋2b）∥（2a －b）,则( ）．A．x＝错误!，y＝1 B．x＝错误!，y＝－4 C．x＝2,y＝－错误!D．x＝1，y＝－1答案：B解析:a＋2b＝(2x＋1,4,4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y －2）,∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴错误!∴错误!例3已知a＝（2，4，x)、b＝（2,y，2），若|a｜＝6，a⊥b,则x＋y的值是( ）．A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1答案：A解析：∵｜a｜＝6，∴｜a｜2＝36，∴4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4．又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，∴x＋2y＋2＝0．当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时,y ＝1，∴x＋y＝1或－3．例4已知空间三点A(0，2，3)、B(－2，1，6)、C（1，－1,5）．（1）求以错误!、错误!为邻边的平行四边形面积；（2)若｜a|＝错误!，且a分别与错误!、错误!垂直，求向量a的坐标．解：(1）由题中条件可知错误!＝(－2，－1,3）,错误!＝(1,－3，2），＝错误!＝错误!，∴cos〈错误!，错误!〉＝AB ACAB AC∴sin〈错误!，错误!〉＝错误!，∴以错误!、错误!为邻边的平行四边形面积：S＝｜错误!|·| AC，→｜·sin〈错误!，错误!〉＝7错误!．（2）设a＝(x，y，z)，由题意得错误!，解得错误!,或错误!．∴a＝(1，1，1)或a＝(－1,－1,－1)．三、立体几何中的向量方法1．在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来表示．向量OP称为点P的位置向量．2．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A 以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量,则对于直线l上的任意一点P，有=，这样点A和向量a不仅可以确定直线l的位置,还AP ta可以具体表示出直线l上的任意一点．3．空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O，它们的方向向量分别为a，b．P为平面α上任意一点，存在有序实数对(,)x y，使得OP xa yb=+,这样点O与向量a，b就确定了平面α的位置．4．直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ,则向量a 称为平面α的法向量．5．若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则a b a b a b λ⇔⇔=()λ∈R ，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．6．若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则a a a n αα⇔⇔⊥0a n ⇔⋅=，a a an a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=． 7．若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ,则a b a b αβλ⇔⇔=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．8．设异面直线a ,b 的夹角为θ，方向向量为a ,b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a ba b θϕ⋅==．9．设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n ,l 与α所成的角为θ，l与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n θϕ⋅==． 10．设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ,2n 的夹角(或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．11．点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 12．在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,PA nd PA PA n n ⋅=〈〉=．13．点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,PA n d PA PA n n ⋅=〈〉=．例1在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0，0，1）; ②直线BC 1的一个方向向量为（0,1,1)； ③平面ABB 1A 1的一个法向量为（0，1，0）； ④平面B 1CD 的一个法向量为(1，1,1)．其中正确的个数为（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：DD 1∥AA 1,错误!＝（0,0,1）；BC 1∥AD 1，错误!＝（0，1,1），直线AD ⊥平面ABB 1A 1，错误!＝（0，1，0)；C 1点坐标为（1，1，1），错误!与平面B 1CD 不垂直,∴①②③对，④错．例2平面α的法向量u ＝(x ，1，－2），平面β的法向量v ＝错误!，已知α∥β，则x ＋y ＝__________________．答案：154解析：∵α∥β，∴u ∥v ，∴错误!＝错误!＝错误!，∴错误!∴x ＋y ＝错误!．例3在正四棱锥P －ABCD 中,底面正方形边长为3错误!,棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，求证：（1)EF ⊥PA ; (2)EF ∥平面PBD ；(3）直线PA 与平面EFG 不平行．解：设AC 与BD 的交点为O ,∵P －ABCD 为正四棱锥,∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点,OB ,OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD边长为3错误!，∴OB＝OC＝3，又PC＝5，∴OP＝4，∴点A（0,－3，0)、B(3，0,0)、C(0，3,0）、D(－3,0，0)、P(0,0，4）．（1)∵E、F分别为BC、CD的中点，∴点E（错误!，错误!，0）、F（－错误!，错误!，0），∴错误!＝（－3，0,0）,错误!＝（0，－3，－4)，错误!·错误!＝0，∴EF⊥PA．（2）显然错误!＝（0，3，0）为平面PBD的一个法向量,∵错误!·错误!＝0，∴EF∥平面PBD．(3）∵G为PC中点,∴点G（0，错误!，2），设平面EFG 的法向量为n＝(x，y，z),则n·EF，→＝0，n·EG→＝0，∴错误!，∴错误!．取n＝（0，1，0），∵n·错误!＝－3≠0，∴PA与平面EFG不平行．例4如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2,BC＝2错误!，E、F分别是AD、PC的中点，求证：PC ⊥平面BEF．解：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2错误!，四边形ABCD是矩形，∴点A(0,0，0)、B（2,0，0）、C（2，2错误!，0)、D（0，2错误!,0）、P（0，0，2)．又E、F分别是AD、PC的中点,∴点E（0，错误!,0)、F(1，错误!,1)．∴错误!＝（2，2错误!，－2）、错误!＝(－1，错误!，1）、错误!＝(1,0，1)，∴错误!·错误!＝－2＋4－2＝0，错误!·错误!＝2＋0－2＝0，∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF．例5如图，在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，AB＝4,AD＝2错误!，CD＝2,PA⊥平面ABCD，PA＝4．（1)求证：BD⊥平面PAC；（2）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC 所成角的正弦值．解:建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．则点A （0,0，0）、D (0,2错误!，0）、B （4,0，0)、P (0，0，4)、C （2，2错误!,0)、Q (2,0，2）．(1)错误!＝（－4，2错误!，0），错误!＝(0，0,4)，错误!＝（2,2错误!,0），∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝－8＋8＝0，∴BD ⊥AP ,BD ⊥AC ,又AP ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面PAC ．（2）错误!＝(0,－2错误!,2)．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则00AP AC n n ，∴错误!，∴错误!．∴n ＝（1，－错误!，0)．设直线QC 与平面PAC 所成的角为θ，则sin θ＝｜cos 〈错误!,n 〉｜＝CQ CQ nn ＝错误!＝错误!．故直线QC与平面PAC所成角的正弦值为错误!．例6如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1）求证：B1E⊥AD1；（2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在,说明理由；（3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．解：（1）以A为原点，错误!，错误!,错误!的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如下图）．设AB＝a,则点A(0,0,0）、D(0，1，0）、D1(0,1,1)、E（a 2，1，0）、B1(a，0，1），故错误!＝（0，1，1），错误!＝(－错误!，1，－1)，错误!＝(a，0，1)，错误!＝（错误!，1，0）．∵错误!·错误!＝－错误!×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1．（2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE．此时错误!＝（0，－1，z0）．又设平面B1AE的法向量n＝（x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥错误!，n⊥错误!，得错误!，取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1,－错误!，－a)．要使DP∥平面B1AE,只要n⊥错误!，有错误!－az0＝0，解得z0＝错误!．又DP⊄平面B1AE，∴存在点P,满足DP∥平面B1AE，此时AP＝错误!．（3）连接A1D、B1C,由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1,得AD1⊥A1D．∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴错误!是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时错误!＝（0，1，1）．设错误!与n 所成的角为θ，则cos θ＝AD AD n n ＝错误! ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ｜＝cos30°，即错误!＝错误!．解得a ＝2，即AB 的长为2．例7三棱柱ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．（1)求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1;（2）求点C 到平面AB 1D 的距离．解：（1）证明：如图所示，取AB 1中点M ，则错误!＝错误!＋错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋错误!＋错误!．∴2DM ，→＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!． ∴2错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·错误!＝0,2错误!·错误!＝（错误!＋错误!)·(错误!－错误!）＝|错误!｜2－｜错误!|2＝0,∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，∴DM ⊥平面ABB 1A 1．又∵DM ⊂平面AB 1D ,∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1．(2）∵A 1B ⊥DM ,A 1B ⊥AB 1．∴A 1B ⊥平面AB 1D ． ∴错误!是平面AB 1D 的一个法向量． ∴点C 到平面AB 1D 的距离为： d ＝11122()AC A B AC A A AB AC AB a a A B ＝错误!＝错误!a ．。

3.1空间向量及其运算测试题(答案)

精心整理新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（）A ．c b a 213221+-B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则?BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，?AOB=?AOC=600，则cos BC ，OA = （）图A ．21 B ．22 C ．?21D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．2610．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积；19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.O'N MD'C'B'A'C B ADzy x 图（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB .又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD AB V =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5 ∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c 图∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23.则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6，令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

人教选修第三章空间向量试题[含答案]

第三章空间向量与立体几何<时间：120分钟，满分：150分）第I卷<选择题）班别姓名成绩一、选择题<本大题共12小题，每小题5分，共60分）μ的值分别为( >A.错误!，错误!B．5，2C．－错误!，－错误!D．－5，－2b5E2RGbCAP解读：选A.a∥b，则存在m∈R，使得a＝mb，又a＝(λ＋1,0,2λ>，b＝(6,2μ－1,2>，则有p1EanqFDPw错误!可得错误!DXDiTa9E3d2．已知A(1，－2,11>，B(4,2,3>，C(6，－1,4>三点，则△ABC是( > A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形解读：选 A.错误!＝(3,4，－8>，错误!＝(2，－3,1>，错误!＝(－5，－1,7>，RTCrpUDGiT∴错误!·错误!＝－10＋3＋7＝0.5PCzVD7HxA∴BC⊥CA.∴△ABC是直角三角形．3．已知向量，，且与互相垂直，则的值是<）A．1 B． C． D．【答案】D试卷分析：依题意可得，由可得，所以，解得，选D.4．已知a＝(1,0,1>，b＝(－2，－1,1>，c＝(3,1,0>，则|a－b＋2c|等于( >jLBHrnAILgA．3错误!B．2错误!C.错误!D．5xHAQX74J0X解读：选A.|a－b＋2c|＝错误!，∵a－b＋2c＝(1,0,1>－(－2，－1,1>＋2(3,1,0>＝(9,3,0>，∴|a－b＋2c|＝错误!＝3错误!.5．给出下列命题：①已知a⊥b，则a·(b＋c>＋c·(b－a>＝b·c；②A、B、M、N为空间四点，若错误!、错误!、错误!不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N四点共面；LDAYtRyKfE③已知a⊥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量m＝a＋c 构成空间另一个基底．其中正确命题的个数是( >A．1 B．2C．3 D．4解读：选C.当a⊥b时，a·b＝0，a·(b＋c>＋c·(b－a>＝a·b＋a·c＋c·b－c·a＝c·b＝b·c，故①正确；Zzz6ZB2Ltk当向量错误!、错误!、错误!不能构成空间的一个基底时，错误!、错误!、错误!共面，从而A、B、M、N四点共面，故②正确；dvzfvkwMI1当a⊥b时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b 构成空间的一个基底，故③错误；当{a，b，c}是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故④正确．rqyn14ZNXI6．已知空间三点A(1,1,1>,B(-1,0, 4>,C(2,-2,3>,则与的夹角θ的大小是(>(A> (B>π (C> (D>π【答案】B【解读】由题意知=(-2,-1,3>,=(-1,3,-2>,故cosθ===-,所以θ=π.7．已知平面α内有一点M(1，－1,2>，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6>，则下列点P中，在平面α内的是( >EmxvxOtOcoA．P(2,3,3> B．P(－2,0,1>C．P(－4,4,0> D．P(3，－3,4>解读：选A.逐一验证法，对于选项A，错误!＝(1,4,1>，∴错误!·n＝6－12＋6＝0，∴错误!⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．SixE2yXPq58．已知在空间四边形OABC中，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则错误!等于( >6ewMyirQFLA.错误!a－错误!b＋错误!cB．－错误!a＋错误!b＋错误!cC.错误!a＋错误!b－错误!cD.错误!a＋错误!b－错误!ckavU42VRUs解读：选B.因错误!＝错误!－错误!＝错误!(错误!＋错误!>－错误!错误!＝错误!b＋错误!c－错误!a.y6v3ALoS89考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.9．已知非零向量a,b及平面α,若向量a是平面α的法向量,则a·b=0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的(>M2ub6vSTnP(A>充分不必要条件 (B>必要不充分条件(C>充要条件 (D>既不充分也不必要条件【答案】C【解读】∵a,b是非零向量,且a是平面α的法向量,∴当a·b=0时,向量b所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.0YujCfmUCw10．已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式A．平行 B．垂直C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角【答案】B试卷分析：由，，可得，所以，而，分别是平面，的法向量，所以，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是(>eUts8ZQVRd(A> (B> (C> (D>【答案】D【解读】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM⊥OP恒成立,即AM与OP所成的角为.12．如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为(>sQsAEJkW5T(A> (B>- (C> (D>-【答案】A【解读】如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点.GMsIasNXkA以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0>,B(2,0,0>,D(0,0,2>,G(1,0,0>,F(0,2,1>,=(0,-2,2>,=(-1,2,1>,∴||=2,||=,·=-2,∴cos<,>==-.∴直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.第II卷<非选择题）二．填空题<每题5分，总20分）13．已知向量a＝(2，－1>，b＝(－1，m>，c＝(－1,2>，若(a＋b>∥c，则m ＝________.TIrRGchYzg【答案】-1【解读】∵a＝(2，－1>，b＝(－1，m>，∴a＋b＝(1，m－1>，∵(a＋b>∥c，c＝(－1,2>，∴1×2－(－1>(m－1>＝0，∴m＝－17EqZcWLZNX14．在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，则线段的长度等于. 【答案】10【解读】试卷分析：点关于坐标平面的对称点，故线段．考点：空间中的距离． 15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 是棱CC1的中点，则异面直线D1E 与AC 所成的角的余弦值是________．lzq7IGf02E16．若，，则为邻边的平行四边形的面积为．【答案】；试卷分析：计算，，得，所以为邻边的平行四边形的面积为三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤>17.如图，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，CM ＝2MA ，A1N ＝2ND ，且错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝c ，试用a ，b ，c 表示向量错误!.zvpgeqJ1hk 解：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!错误!NrpoJac3v1＝－错误!错误!＋错误!＋错误!错误!1nowfTG4KI＝－错误!(错误!＋错误!>＋错误!＋错误!(错误!＋错误!>fjnFLDa5Zo ＝－错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!tfnNhnE6e5＝－错误!a ＋错误!b ＋错误!c ，∴错误!＝－错误!a ＋错误!b ＋错误!c.HbmVN777sL18．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心．求证：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.V7l4jRB8Hs证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0>，P错误!，M错误!，N(1，y,1>．83lcPA59W9∴错误!＝错误!，错误!＝错误!.mZkklkzaaP∴错误!·错误!＝(－1>×错误!＋0×错误!＋错误!×1＝0，∴错误!⊥错误!，AVktR43bpw即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP. 19．<12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．【答案】试卷分析：解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B<a，a，0），A'<a，0，a），<0，a，a），<0，0，a）．ORjBnOwcEd由于M为的中点，取中点O'，所以M<，，），O'<，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N<，，a）．2MiJTy0dTT根据空间两点距离公式，可得．20．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．(1>求证：EF∥平面ACD1；(2>求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；解：如图，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，由已知得D(0,0,0>、A(2,0,0>、B(2,2,0>、C(0,2,0>、B1(2,2,2>、E(1,0,2>、F(0，2,1>．gIiSpiue7A(1>证明：易知平面ACD1的一个法向量错误!＝(2,2,2>．uEh0U1Yfmh∵错误!＝(－1,2，－1>，∴错误!·错误!＝－2＋4－2＝0，IAg9qLsgBX ∴错误!⊥错误!，而EF⊄平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.WwghWvVhPE (2>∵错误!＝(0,2,0>，∴cos〈错误!，错误!〉＝错误!＝错误!＝错误!，asfpsfpi4k∴异面直线EF与AB所成的角的余弦值为错误!. 21、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.ooeyYZTjj1(1>求证：AM⊥PD；(2>求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．解：(1>证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2>如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0>，P(0,0,2>，B(1,0,0>，C(1,2,0>，D(0，2,0>．∵AM⊥PD，PA＝AD，∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1>．∴错误!＝(1,2,0>，错误!＝(0,1,1>，错误!＝(－1,0,0>．BkeGuInkxI设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z>，由n⊥错误!，n⊥错误!可得错误!，PgdO0sRlMo令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1>．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sin α＝错误!＝错误!.3cdXwckm15∴cos α＝错误!，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为错误!.h8c52WOngM22.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.v4bdyGious(1>证明：PA⊥BD；(2>若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1>证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝错误!AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又因为AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD. (2>如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0>，B(0，错误!，0>，C(－1，错误!，0>，P(0,0,1>，错误!＝(－1，错误!，0>，错误!＝(0，错误!，－1>，J0bm4qMpJ9错误!＝(－1,0,0>．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z>，则错误!即错误!XVauA9grYP因此可取n＝(错误!，1，错误!>．设平面PBC的法向量为m，则错误!bR9C6TJscw可取m＝(0，－1，－错误!>，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos〈m，n〉＝错误!＝－错误!.pN9LBDdtrd故二面角A－PB－C的余弦值为－错误!.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝（）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是（） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为（）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

人教A版选修2-1第三章第十一课时同步练习本章测试题

人教A 版选修2-1第三章：空间向量测试题时间：120分钟，满分：150分班级姓名学号得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则--------------------------------( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝232．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是------------------------( )A ．6B ．5C ．4D ．33．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为-------------------------------------------------------------------------------------------------( )A ．3B ．2C ．1 D.124．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的---------------------------------( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，＝c ，＝b .若点D 满足＝2，则＝------------( )A ．23b ＋13cB ．53c －23bC ．23b －13cD ．13b ＋23c 6．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是------------------------------------------------------------( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对7．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．647D ．6578．与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是-------------------------------------------------------( )A ．(27，37，67)B ．(－27，－37，－67) C ．(27，－37，－67)和(－27，37，67) D ．(27，37，67)和(－27，－37，－67)9．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为-----------------() A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．110．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是() A．x>4 B．x<－4 C．0<x<4 D．－4<x<0.11．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为---------------------------------------------------------------------------() A．30°B．45°C．60°D．90°12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为--------------------------------------------------() A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－2k，则向量a＋b与向量a－2b的坐标分别是________；________.14．在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC＝________.15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为________．16．在下列命题中：①若a，b共线，则a，b所在的直线平行；②若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；③若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；④已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c，其中不正确的命题为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，空间四边形OABC中，E，F分别为OA，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.18．(12分)设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k，(i, j, k是不共面的向量)试问是否存在实数a，b，c使a4＝a a1＋b a2＋c a3成立？如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由．19．(12分)四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，求AC′的长．20．(12分)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点．求证：DM∥平面PFB.21．(12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.C⊥平面BED；(1)证明A(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．22．(12分)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．解析由a ∥b 知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝13，x ＝16，y ＝－32. 答案 C2．解析 a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.答案 B3．解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2. 答案 B4．解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，而a ·b ＝|a ||b |.∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0.∴a 与b 共线．反之，若a 与b 共线，也可能a ·b ＝－|a |·|b |，因此应选B. 答案 B5．解析如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC →＝13c ＋23b . 答案 A6．解析 ∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底．答案 C7．解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)．∴|AD →|＝1＋4＋4＝3.答案 B8．解析 |a |＝22＋32＋62＝7，∴与a 共线的单位向量是±17(2,3,6)，故应选D. 答案 D9．解析由|a |＝6，a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋16＋x 2＝36，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1. ∴x ＋y ＝1，或－3.答案 A10．解析 ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉<0，即3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.答案 B11．解析设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)，由n ·AB →＝0及n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋z ＝0，－4x －2y －z ＝0，令z ＝1，得x ＝12，y ＝－32，∴n ＝(12，－32，1)．又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝－1＋32＋314×142＝12， ∴θ＝30°.答案 A12．解析过点P 分别作平面α，β的垂线l 1和l 2，则l 1与l 2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P 与直线l 1，l 2成65°角的直线有几条，与l 1，l 2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．解析依题意知，a ＝(－1,1,3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2,1)，a －2b ＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)．答案 (1，－2,1) (－5,7,7)14．解析 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝10102＝22， ∴〈AB →，BC →〉＝π4，∴∠ABC ＝π－π4＝3π4. 答案 3π415．解析建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．∴D 1A →＝(1,0，－1)，D 1B →＝(1,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)．设平面ABD 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则由m ·D 1A →＝0，m ·D 1B →＝0，可得m ＝(1,0,1)，由n ·D 1B →＝0，n ·D 1B 1＝0，得n ＝(1，－1,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴所求二平面的大小为60°. 答案 60°16．解析 ①a ，b 共线，包括a 与b 重合，所以①错．②空间任意两个向量均共面，所以②错．③以空间向量的一组基底{a ，b ，c }为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．④当与a ，b ，c 共面时，不成立，所以④错．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解 EF →＝EO →＋OF →＝－12OA →＋12(OB →＋OC →)＝－12a ＋12b＋12c .18．(12分)解假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立．由已知a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)，a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，可得(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3,2,5)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b －2c ＝3，－a ＋3b ＋c ＝2，a －2b －3c ＝5，解得：a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3.综上知，满足题意的实数存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.19．(12分)解 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴(AC ′→)2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→)＝25＋9＋49＋2(5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°)＝98＋56 2.∴|AC ′→|＝98＋562，即AC ′的长为98＋56 2.20．(12分)证明以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC 与平面ABCD 所成的角为45°，即∠PCD ＝45°，得PD ＝2，则P (0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，F (1,0,0)，D (0,0,0)，M (0,1,1)，∴FB →＝(1,2,0)，FP →＝(－1,0,2)，DM →＝(0,1,1)．设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则∴⎩⎪⎨⎪⎧ FB →·n ＝0，FP →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0.令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1.故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2,1，－1)．∵DM →·n ＝0，∴DM →⊥n .又DM ⊄平面PFB ，则DM ∥平面PFB .21．(12分)解以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．(1)∵A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →、n ⊥DA 1→.∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝1442. ∵〈n ，A 1C →〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442.22．(12分)解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，n 1·DE →＝(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)．∵n 1·n 2＝0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M →＝(0,2λ，λ－2)．要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，25)时，A 1M ⊥平面DAE.。

高中数学选修2-1第三章空间向量检测题(2)

第三章单元质量评估(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．以下四组向量：①a ＝(1，－2,1)，b ＝(－1,2，－1)；②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)；③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)；④a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b＝(4，－3,3)．其中互相平行的是( )A ．②③B ．①④C ．①②④D ．①②③④ 2.在四面体O －ABC 中，点P 为棱BC 的中点．设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，那么向量AP →用基底{a ，b ，c }可表示为( )A ．－12a ＋12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12c C ．a ＋12b ＋12c D.12a ＋12b ＋12c3．已知四棱锥O －ABCD 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN→＝( ) A.12a －23b ＋12c B.12a ＋12b －12c C ．－23a ＋12b ＋12cD.23a ＋23b －12c4．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)5．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，O ′是上底面的中心，设AB→＝a ，AD →＝b ，AA ′＝c ，则AO ′＝( ) A.12a ＋12b ＋12c B.12a ＋12b ＋c C ．a ＋12b ＋cD.12a ＋b ＋c6.已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列向量的数量积一定不为0的是( )A.AD 1→·B 1C →B.BD 1→·AC →C.AB →·AD 1→D.BD 1→·BC →5题图 6题图7．已知A (－4,6，－1)，B (4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB 的一个法向量的是( )A ．(0,1,6)B ．(－1,2，－1)C ．(－15,4,36)D ．(15,4，－36)8．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则P A 与底面ABCD 的关系是( )A ．相交B ．垂直C ．不垂直D ．成60°角9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个直二面角，点C 到达点C 1，则异面直线AB 与C 1D 所成角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 10．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 11．A ，B ，C 三点不共线，点O 为ABC 平面外一点，则下列条件中，能得出M ∈平面ABC 的条件是( )A.OM →＝12OA →＋12OB →＋12OC →B.OM →＝13OA →－13OB →＋OC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.OM →＝2OA →－OB →－OC →12．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，GC 垂直于正方形ABCD 所在平面α，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为( )A ．3 B.5 C.1111 D.21111第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．在空间直角坐标系中，已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )．若a ⊥b ，则x ＝________.14．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE→＝________. 15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．15题图 16题图16．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体，AA ′的中点为E ，点F 为D ′C ′上一点，且D ′F ＝23D ′C ′.(1)化简：12AA ′＋BC →＋23AB →；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA ′，试求α，β，γ的值．18．(12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．19.(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．20.(12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．21．(12分)如图，已知四棱锥P－BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.(1)求证：P A⊥BD；(2)求二面角P－DC－B的大小；(3)求证：平面P AD⊥平面P AB.22．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．参考答案1．D 因为①a ＝(1，－2,1)＝－b ＝－(－1,2，－1)，所以a ∥b ； ②a ＝(8,4,0)，b ＝(2,1,0)，a ＝4b ，所以a ∥b ； ③a ＝(1,0，－1)，b ＝(－3,0,3)，a ＝－13b ，所以a ∥b ；④a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－43，1，－1，b ＝(4，－3,3)，a ＝－13b ，所以a ∥b ，因此选D.2．B 由向量减法的三角形法则可知AP→＝OP →－OA →，因为P 为棱BC 的中点，由向量加法的平行四边形法则可知OP →＝12(OB →＋OC →)，所以AP →＝OP →－OA →＝12(OB →＋OC →)－OA →＝－a ＋12b ＋12c .故B 正确．3．C MN→＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12(OC →－OB →) ＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .4．B 对于A 中的向量a 1＝(－1,1,0)，cos 〈a ，a 1〉＝a ·a 1|a ||a 1|＝－12×2＝－12，a 1与a 的夹角为120°，不合题意；对于B 中的向量a 2＝(1，－1,0)，cos 〈a ，a 2〉＝a ·a 2|a ||a 2|＝12×2＝12，a 2与a 的夹角为60°，符合题意；对于C 中的向量a 3＝(0，－1,1)，cos 〈a ，a 3〉＝a ·a 3|a ||a 3|＝－12×2＝－12，a 3与a 的夹角为120°，不合题意；对于D 中的向量a 4＝(－1,0,1)，cos 〈a ，a 4〉＝a ·a 4|a ||a 4|＝－22×2＝－1，a 4与a 的夹角为180°，不合题意，故选B.5．B AO ′＝AA ′＋A ′O ′＝AA ′＋12(A ′D ′＋A ′B ′)＝12a ＋12b ＋c .6．D 当长方体的侧面AA 1D 1D 与BB 1C 1C 为正方形时，AD 1→⊥B 1C →，所以AD 1→·B 1C →＝0；当长方体的底面为正方形时，BD 1→⊥AC →，所以BD 1→·AC→＝0；由长方体的性质知AB ⊥平面AA 1D 1D ，所以AB →⊥AD 1→，所以AB →·AD 1→＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有BD 1→⊥BC →，也就不可能有BD 1→·BC →＝0，故选D.7．D 设法向量为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋6y －z ＝0，4x ＋3y ＋2z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝154y ，z ＝－9y ，令y ＝4，则得法向量为(15,4，－36)． 8．B ∵AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0， ∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，∴P A ⊥平面ABCD . 9．B方法一：如图，则AB ∥CD ，所以C 1D 与CD 所成的角即为异面直线AB 与C 1D 所成角，设正方形边长为2，则OC ＝OC 1＝2，所以CC 1＝2，所以△CC 1D 为等边三角形，故异面直线AB 与C 1D 所成角是60°.方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－2，0)，B (2，0,0)，C 1(0,0，2)，D (－2，0,0)．所以AB →＝(2，2，0)，DC 1→＝(2，0，2)，所以AB →·DC 1→|AB →||DC 1→|＝(2，2，0)·(2，0，2)2×2＝12，故异面直线AB 与C 1D 所成角是60°.10．B 设正方体的棱长为a .建立空间直角坐标系，如图所示．则D (0,0,0)，D 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，P ⎝⎛⎭⎪⎫23a ，23a ，13a ，则|PB →| ＝19a 2＋19a 2＋19a 2＝33a ，|PD →|＝49a 2＋49a 2＋19a 2＝a ， |PD 1→|＝49a 2＋49a 2＋49a 2＝233a ，|PC 1→|＝|P A 1→|＝49a 2＋19a 2＋49a 2＝a ， |PC →|＝|P A →|＝49a 2＋19a 2＋19a 2＝63a ，|PB 1→|＝19a 2＋19a 2＋49a 2＝63a ，故共有4个不同取值，故选B 项．11.B 因为A ，B ，C 三点不共线，所以可以以BA→，BC →为基底表示平面内任意一个向量．假设点M 在平面ABC 内，则可得存在实数x ，y 使得BM →＝xBA →＋yBC →.所以可得OM →－OB →＝x (OA →－OB →)＋y (OC →－OB →)．整理可得OM→＝xOA →＋(1－x －y )OB →＋yOC →. 所以OA→，OB →，OC →的系数和为1，故只能选B.12．D 如图，建立空间直角坐标系，则B (0,4,0)，E (2,4,0)，F (4,2,0)，G (0,0,2)，GE→＝(2,4，－2)，GF →＝(4,2，－2)，设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·GE→＝0，n ·GF→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y －2z ＝0，4x ＋2y －2z ＝0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，则n ＝(1,1,3)，而EB→＝(－2,0,0)，故d ＝|n ·EB→||n |＝21111.13.103解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x ＝0，解得x ＝103.14．－112AB →－13AC →＋34AD →解析：GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM → ＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →) ＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC → ＝－112AB →－13AC →＋34AD →.15．90°解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，则MA 1→＝(2，－1,2)，DN →＝(0,2,1)，MA 1→·DN →＝0，故异面直线A 1M 与ND 所成角为90°.16.⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，1解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设DC ＝DA ＝DD 1＝1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，并设点P (0,1，t )且0≤t ≤1.则OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，t ，A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1B →＝(0,1，－1)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n ·A 1D →＝0， n ·A 1B →＝0，即{－x 0－z 0＝0， y 0－z 0＝0，取x 0＝1，y 0＝－1，z 0＝－1， ∴n ＝(1，－1，－1)．∴sin α＝|cos 〈OP →，n 〉|＝|－1－t |3t 2＋12(0≤t ≤1)，∴sin 2α＝t 2＋2t ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋12，0≤t ≤1.令f (t )＝t 2＋2t ＋13⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋12，0≤t ≤1.则f ′(t )＝2t 2＋t －1－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋122＝－(2t －1)(t ＋1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋122，可知当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12时，f ′(t )>0；当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，f ′(t )≤0. 又∵f (0)＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (1)＝89， ∴f max (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f min (t )＝f (0)＝23. ∴sin α的最大值为1，最小值为63.∴sin α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，1. 17．解：(1)由AA ′的中点为E ，得12AA ′→＝EA ′→，又BC →＝A ′D ′→，D ′F →＝23D ′C ′→，因此23AB →＝23D ′C ′→＝D ′F →.从而12AA ′→＋BC →＋23AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→，因此α＝12，β＝14，γ＝34.18．(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB . 又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ， ∴AB ⊥PD .又∵AE ⊥PD ，AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD .(2)解：以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C ，D 的坐标分别为(a ，a,0)，(0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°.于是，在Rt △AED 中，由AD ＝2a ，得AE ＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF＝60°，得AF ＝a 2，EF ＝32a ，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a .于是，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．设AE→与CD →的夹角为θ，则由cos θ＝AE →·CD→|AE→||CD →|＝0·(－a )＋12a ·a ＋32a ·002＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2×(－a )2＋a 2＋02＝24.AE 与CD 所成角的余弦值为24.19．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB→，OC →，AP →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2. 又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )．因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(2)由(1)知AD→＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)，设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0，得{ －3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0，得{ 3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝18，故二面角B －AF －D 的正弦值为378.20．(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ， ∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ， ∴EF ∥HG .∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC . ∴AD ⊥BC .∴EF ⊥FG .∴四边形EFGH 是矩形．(2)解法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)， DA→＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵EF ∥AD ，FG ∥BC ， ∴n ·DA →＝0，n ·BC→＝0，得{ z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)．∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n | ＝25×2＝105. 解法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别是BD ，DC 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)．∴FE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1,1,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE →＝0，n ·FG→＝0.得⎩⎨⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)． ∴sin θ＝|cos 〈BA→，n 〉| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105.第三章单元质量评估(二)21.解法一：(1)证明：∵PB＝PC，∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，∴∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.∵P A在平面ABCD内的射影为AO，∴P A⊥BD.(2)∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC.∵PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC，∴∠PCB为二面角P－DC－B的平面角．∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，即二面角P－DC－B 的大小为60°.(3)证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC＝BC，∴CN⊥PB，①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PBC.∵AB ⊂平面P AB ，∴平面PBC ⊥平面P AB . ②由①，②知CN ⊥平面P AB .取P A 的中点M ，连接DM ，MN ，则由MN ∥AB ∥CD ，MN ＝12AB ＝CD ，得四边形MNCD 为平行四边形，∴CN ∥DM ，∴DM ⊥平面P AB ，∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .解法二：取BC 的中点O ，因为△PBC 是等边三角形，由侧面PBC ⊥底面ABCD ，得PO ⊥底面ABCD .以BC 中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .(1)证明：∵CD ＝1，在直角梯形中，AB ＝BC ＝2，在等边三角形PBC 中，PO ＝3，∴A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)，∴BD→＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)，∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴P A →⊥BD→，即P A ⊥BD .(2)取PC 中点N ，则BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，32.∵DC →＝(0,1,0)，CP →＝(1,0，3)，∴BN →·DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋0×1＋32×0＝0，BN →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×1＋0×0＋32×3＝0，∴BN →⊥平面PDC ，显然OP →＝(0,0，3)，且OP →⊥平面ABCD ，∴BN →，OP →所夹角等于所求二面角的平面角．∵BN →·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋0×0＋32×3＝32，|BN →|＝3，|OP →|＝3，∴cos 〈BN →，OP →〉＝323×3＝12，∴二面角P －DC －B 的大小为60°.(3)证明：取P A 的中点M ，连接DM ，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.又DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)，∴DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，DM →⊥PB →，即DM ⊥P A ，DM ⊥PB .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB ，∴平面P AD ⊥平面P AB .22．解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)证明：向量BE→＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC→＝0，所以BE ⊥DC .(2)向量BD→＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0， n ·PB →＝0，即{ －x ＋2y ＝0， x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE→|＝26×2＝33. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33.(3)向量BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)．由点F 在棱PC 上，设CF→＝λCP →，0≤λ≤1. 故BF→＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC→＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎨⎧ n 1·AB →＝0， n 1·BF →＝0，即⎩⎨⎧ x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0. 不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－310×1＝－31010. 易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.。

(完整word版)高中数学选修2-1第三章空间向量测试题

1 .2 .3 .4. 选修2-1第三章空间向量检测题（一）、选择题（每小题5分，共60分）已知向量2A. 3在长方体A.AD i 5. a = (2,—3,5)与向量b= (3,人号）平行，则X=（9B.2ABCD—A1B1C1D1 中，A B+ B C+ C C1 —D7C1 等于(B.AC1C.ADD.AB若向量a= (1, m,2), b= (2, —1,2)，若8 rcos〈a, b〉= 9,贝" m的值为（）A . 2 B.—2 C.—2或552 D. 2或—55已知空间向量a= (1,1,0), b= (—1,0,2), (0,1,2)已知A,共面的是（则与向量a+ b方向相反的单位向量的坐标是（）1 B. (0,—1,—2) C. (0, ，5, D . (0，- 15,-B, C三点不共线，对平面ABC内任一点0,下列条件中能确定M与点A , B , C 一定) A.O M = O A+OB + O C B.O M= 2OA —OB —OtC.OM = 0A + joB + 100D.OM = 1(5A + 1(5B+1(5C6•如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB, AC , M , N分别是对边0A , BC的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN ,现用基向量0A , OB , Oc表示向量，设0G=xOA+yOB+zOC ,则x, y, z的值分别是（1 A . x= 3,1y=3,1z= 31 1B. x=3, y= 3,c. x= 3,1y =6,1Z= 31 1D. x=6, y=11Z= 37•如图所示，已知三棱锥A—BCD, O BCD内一点，则AO + AD）是0 BCD的重心的（）G NB1(A B+A CA •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件E8已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，若ABCD 是边长为2 的正方形，AA i = 1，/ A i AD = Z A i AB=60°贝V BD i 的长为（）A . 3B. .' 7C. . 13D . 99•如图所示，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC = AA i ,Z ABC = 90° 点E , F 分别是棱AB , BB i 的中点，则直线 EF 与BC i 所成的角是（） A . 45°B . 60°C . 90°D . i20°iO .把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A , B , C , D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A . 90 °B . 60 °C . 45 °D . 30 °ii.如图所示，在三棱锥 P —ABC 中，/ APB =Z BPC =Z APC = 90° M 在厶 ABC 内，/ MPA = 60° / MPB = 45° 则/ MPC 的度数为（）A . i50°B . 45°C . 60°D . i20°i2 .已知直二面角 a — PQ — 3, A € PQ , B € a, C € 3, CA = CB ，/ BAP =45° ,直线CA 和平面a 所成的角为30° ,那么二面角 B — AC — P 的正切值为（）i3.已知四面体 ABCD 中，AB = a — 2c , CD = 5a + 6b — 8c , AC , BD 的中点分别为 E , F ,则 =14. 在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ ACB = 90 ° / BAC = 30 ° , BC = 1 , AA1 = ： 6 , M 是 CC i 的中点，则异面直线 AB i 与A i M 所成角的大小为 _____________ .15. 已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，ABCD 是边长为 a 的正方形，AA i = b , / A i AB =Z A i AD = I20 °,贝U AC i 的长为 __________ .i6.如图，平面 ABCD 丄平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形，四题号 i2 3456789I0iiI2答案B . 3C.|、填空题（每小题5分，共20分）iD .3Ci边形ABEF是矩形，且AF = 2AD = a, G是EF的中点，贝U GB与平面AGC所成角的正弦值为__________ .8已知平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，若ABCD是边长为 2 的正方形，AA i= 1，/ A i AD = Z A i AB三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)已知A(1，- 2,11), B(6 , - 1,4), C(4,2,3), D(12,7 12)，证明:A, B, C, D 四点共面.18. (12分)如图，已知点P在正方体ABCD —A1B1C1D1的体对角线BD1上，/ PDA = 60 °(1)求DP与CC1所成角的大小；⑵求DP与平面AA1D1D所成角的大小.19. (12分)如图所示，已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证A1E丄BD ; (2)若平面A1BD丄平面EBD，试确定E点的位置.20.(12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面ABCD ，/ BAD21.(12分)如图所示，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形, AB = 1 , BM 丄 PD 于点 M.(1)求证AM 丄PD ; (2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.22.(12分)如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面是边长为 2^3的菱形，且/ BAD = 120 ° PA 丄平面ABCD , PA = 2 6, M , N 分别为PB , PD 的中点.(1)证明MN //平面ABCD ; (2)过点A 作AQ 丄PC ,垂足为点Q ,求二面角A — MN — Q 的平面角的余弦值.1=/ ADC = 90° AB = AD = 2CD = a , PD = >/2a.(1)若M 为PA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求平面PAD 与平面 PBC所成锐二面角的大小.PA 丄平面 ABCD , PA = AD = 2,第三章单兀质量评估(一■)1. C T a // b ,「. b = ma(m € R),2= Y= 15，得入——7 8 92AB + BC + CC i — D 1C 1 = AC 1 — D iG = AC 1 + CD 1 = AD 1. ab = 6-m |a 匸.m 2 + 5 |b| = 3, cos 〈a，b 〉=|a||b|=3 m 2 + 57 C8 A BD 1=BA +AD + DTD 1 = E B A +BC + BB 1, |BD 1|2= BD 12 = (BA + BC + BB 1)2= |BA|2 + |BC|2 + |BB 1|2 + 2BA BC + 2BA BIB 1 + 2BC BIB 1 = 4 + 4+1 + 1 10+ 2X 2X 1 X ( — 2 + 2X 2X 1X 2= 9, |就|= 3, 即卩 BD 1 的长为 3.2. A3. C 8 =9解得、 2m = — 2 或 m = 55.由已知得a + b = (0,1,2)且|a + b|= 5,则与向量a +b 方向相反 1 1的单位向量为一 5(°,1,2)= (0,-5,-5. D16. D 连接ON , T M , N 分别是对边OA , BC 的中点，二OM = -Q A , 1 Oh=2(O B + O C),OG = oM + MG = oM + 3MN = oM + 3(O~N - oM) = 30M +X 舟0^+|x ^(OB +OC) = 6O A +3O B +^OC ,二x = 6, y = z = 3.故选 D.4. D.故选D.9. B以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2, 则E(0,1,0), F(0,0,1), G(2,0,2), B(0,0,0),则EF = (0, - 1,1), BC i = (2,0,2),2 i••• cos <EF, BC I〉=頁2迄=2，二〈EF, BC i>= 60° A直线EF 与BC i 所成的角为60°10. C 翻折后A, B, C, D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC 丄平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则/ DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°11. CAB如右图所示，过M作MH丄面PBC于H，贝S MH // AP,「./ MPH =12. A 在平面B 内过点C 作CO 丄PQ 于O ,连接OB.又a 丄B,则OC X OB , OC X OA ,又 CA = CB ,所以△ AOC ^A BOC , 故 OA = OB.又 / BAP = 45°所以OA X OB.以O 为原点，分别以OB , OA , OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图).不妨设AC = 2,由/ CAO = 30°,知OA = 3, OC = 1.在等腰直角三角形 OAB 中，/ ABO =/ BAO = 45° 贝卩 OB = OA = 3，所以 B( 3, 0,0), A(0, 一3, 0), C(0,0,1), AB = ( .3,- , 3, 0), AC = (0,— 3, 1)，设平tt m AC = — V 3y +z = 0面ABC 的法向量为n 1 = (x , y , z),由_ _ ，取x = 1,n 1 AB = V 3x —V 3y = 0则y = 1,z =Q 3,所以n 1= (1,1,3),易知平面B 的一个法向量为n 尸(1,0,0), 则 cos < n 1, n 2>= |；||：2厂丁5：〔二中，又二面角 B — AC — P 为锐角，由此可得二面角B — AC — P 的正切值为2.13. 3a + 3b — 5c30° 二 cos45 = cos / HPB cos30 °6 ~3，cos / HPC =cos / HPB•••/ MPC= 60° 又 cos / HPC cos30解析：A 1M = 0，— 3，— ~2 ， cos <AB 1， A 1M 〉= 0，二〈AB 1， A 1M 〉= n即直线AB 1与A 1M 所成角为扌15/, 2a 2 + b 2— 2ab如图所示，取BC 的中点M ,连接EM , MF ,则EF = EM + M F = 2A B +1(a —2c) + 2(5a + 6b — 8c) = 3a + 3b — 5c.14. 扌解析：由条件知AC , BC , CG 两两垂直，图，以C 为原点，CB ，CA ，CC i 分别为x 轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),A(0, 3 0)，B i (1,0，.'6)，M 0，0,屮，几(0，3'6)，A解析：设AB= a，AD = b，A/A1 = c，则|a|= |b|= a，|c|=b ,• • AkC i = AB + B C + cC i = a + b + c ,• • |AC i |2 = (a + b + c)2 = 2a 2 + b 2 — 2ab ,「. |/AC i |= 2a 2 + b 2 — 2ab.'616可解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a), G(a ,a,0), F(a,O,O), AG = (a , a,0), AC = (0,2a,2a),BG = (a , — a,0),设平面AGC 的一个法向量为n i = (x i ,AG n i = 0 y i,i)，由—AC n i = 0AGC 所成的角为B,则 |BG n i |=2a _^6 |BG||n i | ；2a x 3 3i7.证明：AB = (5,i ,— 7), AC = (3,4,— 8), AD = (ii,9,— 23)，设AD = X AB +yAC ,5X + 3y = ii得 x +4y = 9 ,—7X — 8y = — 23解得 X = i , y = 2.ax i + ay i = 0 2ay i + 2a = 0 ，则 x i = 1 y i = — i,故n i = (i ,— i,i).设GB 与平面 sin 0=所以AD = AB+2AC,则AD, AB, AC为共面向量，又A B,A D, AC有公共点A,因此A, B, C, D四点共面.18. 解:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1, 则DA = (1,0,0), CC i = (0,0,1),连接BD, B i D i，在矩形BB i D i D 中，延长DP交B1D1于H点.设DH = (m, m,1)(m>0),〈DH , DA> = 60° 则DA DH = DA|DH|cos 〈DH , DA >,可得2m= 2m2+1,得m^-^,所以DH =(承孑,1).(1) cos〈D H , CC1 > = DH C C1 = 1，所以〈D H , CC1 > = 45°,即IDH11CC1I 72DP与CC1所成的角为45°DH DC(2) 平面AA1D1D 的一个法向量为DC = (0,1,0), co〈DH , DC> = ——|DH||DC| 1=2,所以〈DH , DC > = 60°故DP与平面AA1D1D所成的角为30°19. (1)证明：如图所示，以D为原点，DA,D C,D D I所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,O,O), B(a, a,0)，C(0，a,0),A i(a,0，a)，C i(0，a，a)，设E(0，a，e)，则A i E=(—a，a，e —a)，BD = (—a，—a,0)，A i E BD =—a (—a) + a (-a) + (e- a) 0=0，A A i E丄BD，贝A i E丄BD.(2)解：当E为CC i的中点时，平面A i BD丄平面EBD.由题意可得DE=BE，••• E0 丄BD.同理A i O丄BD，/ A i OE为二面角A i - BD —E的平面角，EO ==^23a，A i O = ^Ja2+^|2a2 = ^a，A i E2= ^/2a)2+ p 29 9=4a2，二EO2+ A i O2= 4a2= A i E2，：/ A i OE = 90° •平面A i BD 丄平面EBD.20 .解：T四边形PDCE是矩形，且平面PDCE丄平面ABCD，平面PDCE A平面ABCD = CD，二PD 丄平面ABCD，贝S PD丄AD，PD丄DC，又/ ADC =90° • PD，AD，DC两两垂直.以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知，得D(0,0,0),A(a,O,O), P(0,0, 2a), E(0,2a , 2a), C(0,2a,0), B(a , a,0).(1) T M 为 PA 的中点，二 M(|, 0,今),则AC = (— a,2a,0), DM = (2, 0,手)，DE = (0,2a , 2a).设平面MDE 的法向量为m = (x , y , z),m DE = 0 2y + 2z = 0取 m = (2,1,— 2).而AC m = (— a) 2 + 2a + 0= 0,且 AC?平面 MDE ,••• AC //平面 MDE.⑵平面 FAD 的一个法向量 n i = (0,1,0), PC = (0,2a ,—2a), PB = (a , a , — 2a).设平面PBC 的法向量为七=(x °, y °, %),则有取 n 2 = (1,1, 2).设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为0,则有..n 1 n 2 . 1cos = |cos 〈n 1, n 2〉ITjn^= 2, m DM = 0x + 2z =0由题意得则0= 60°•平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°21 . (1)证明：T PA丄平面ABCD, AB?平面ABCD,••• FA X AB.v AB 丄AD , AD A FA = A 」.AB 丄平面 FAD.v PD?平面 FAD ,• AB 丄PD.v BM 丄 PD , AB A BM = B ,. PD 丄平面 ABM.v AM?平面 ABM ,. AM 丄 PD.⑵解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB , AD , AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0),D(0,2,0), M(0,1,1)，贝SAC = (1,2,0)，AM = (0,1,1)，CD = (-1,0,0).设平面ACM 的一个法向量为n = (x , y , z),由n 丄AC , n 丄AM 可得平面ACM 所成的角为a,贝卩sin a= CD n = 乂6，二COS a= W3，.・.直线ICDII n| 3 3CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为 §.22. (1)证明：连接BD ，因为M , N 分别为PB , PD 的中点，所以MN 是厶PBD 的中位线，所以MN // BD.又因为MN?平面ABCD ,所以MN //平面 ABCD.x + 2y = 0,y +z = 0, 令 z = 1,得 x = 2, y =- 1,. n = (2,- 1,1).设直线 CD 与(2)解法1:连接AC 交BD 于0,以0为原点，OC, OD 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示.在菱形ABCD 中，/ BAD =120° 得 AC = AB = 2书，BD = ^3AB = 6,又因为 PA 丄平面 ABCD ，所以FA X AC ,在直角三角形 FAC 中，AC = 2,3, FA = 2 6, AQ 丄PC ,得 QC = 2, PQ = 4•由此知各点坐标如下:A(- 3, 0,0), B(0,— 3,0), C( 3, 0,0), D(0,3,0), P(— 3, 0,2 6), M -于，-1, 6 , N — f, |, .6 , Q -f, 0,響•设m = (x i , y i , z i )为平面AMN 的一个法向量，AM = 于，—3, 6 , AN =彊 2 6 ,由 m 丄 AM , m 丄AN 知 y 2, Z 2)为平面 QMN 的一个法向量， QM = -563,— 2, , QN =取 z i = — 1,得 m = (2 2, 0,— 1).设 n = (X 2,5/3 3丄0一—T x2—2y2+T Z2= 0,n丄QN知—，-5/3 3 卡门帝X2 + 刃2 + -^2= °MN —Q的平面角的余弦值为解法2:如图所示，在菱形ABCD中，/ BAD = 120°得AC= AB = BC= CD = DA，BD = ,'3AB.又因为PA丄平面ABCD，所以PA X AB, FA X AC, FA X AD，所以FB= FC= FD，所以△ FBC^^ PDC.而M , N 分别是1 1PB, PD的中点，所以MQ = NQ,且AM = 2PB = 2PD= AN.取线段MN的中点E,连接AE, EQ,贝S AE X MN , QE X MN,所以/ AEQ为二面角A —MN —Q 的平面角，由AB= 2.3 PA= 2：6,故在△ AMN 中，AM = AN1 3X/3=3, MN =尹D = 3,得AE=〒.在直角三角形PAC中，AQ X PC,得AQ=2 2, QC= 2, PQ= 4,在厶PBC 中，cos/ BPC= PB［黑/' '得MQ = *PM2+ PQ2—2PM PQcos Z BPC= '5.在等腰三角形MQN 中，MQ =NQ= ：5, MN= 3,得QE = \MQ2—ME2=,11 , 亠3 3“ 4 “2 .在△ AEQ 中，AE=〒,QE= 2, AQ3于•由n丄QM,取Z2=5,得n = (2 '2, 0,5).故cos〈m,n —归*|m||n|=药，所以一面角 A —所以二面=6, P4玄2AE QE=2 2 得cos/ AEQ = AE"：严二AQ =雰,33 33。

高二第三章空间向量单元测试

选修2-1第三章空间向量与立体几何检测题一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量00b a、是与非零向量b a 、同方向的单位向量，则下列各式中正确的是（）A 、00b a =B 、00b a =或00b a -=C 、10=aD 、||||00b a=2.在空间直角坐标系中，已知点p (x,y,z )，那么下列说法正确．．的是（） A ．点p 关于x 轴对称的坐标是(),,x y z - B ．点p 关于yoz 平面对称的坐标是(),,x y z -- C ．点p 关于y 轴对称点的坐标是(),,x y z - D ．点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z --- 3．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4．三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=，=，=1，则等于（）A ．)(21++ B ．)(21-+ C ．)(21+ D ．)(21-+5．在空间直角坐标系中，),3,1,4(),4,0,3(),5,0,1(),3,2,1(D C B A -则直线CD AB 与的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定6．已知正方体ABCD －A`B`C`D`，E 是底面A`B`C`D`的中心，c z b y a x c b AA a++====312121，则（）A 、2312===z y x ，，B 、21211===z y x ，，C 、12121===z y x ，，D 、322121===z y x ，，7．下面可以作为空间向量的一组基底是（）A ．)5,2,4(),2,0,3(),3,2,1(===B ．)2,1,0(),4,2,0(),1,2,1(-=-=-=C ．)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(-===c b aD ．)5,2,4(),6,4,2(),3,2,1(===c b a 8．在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为z y x ++=．其中正确命题的个数为（）A ． 0B ．1C ． 2D ．39．在平行六面体ABCD －A`B`C`D`中，AB ＝1，AD ＝2，AA`＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA`＝∠DAA`＝60°，则AC`的长为（）A 、13B 、23C 、33D 、4310．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题：（3×6＝21分）11．已知点M C B A ),10,3,4(),5,6,2(),7,3,5(是AB 的中点，则=MC12．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.13．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 14．=(x ,2,1), =(-3,x 2,-5),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为。

空间向量与立体几何测试题1

选修2-1第三章空间向量与立体几何测试题学生姓名：一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量总可以唯一表示为z y x ++=．其中正确命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C、11C A 是（）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（）Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ（） A ．//B ．⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能5．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（） A ．627B ．637C ．647D ．6576．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对7．若、均为非零向量，则=⋅是与共线的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分又不必要8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，G 1是OG 上一点，且OG =3OG 1，则（） A ．OC OB OA OG ++=1B ．3131311++=C ．OC OB OA OG 9191911++=D ．4343431++= 10．已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP = ，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（） A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)33311．底面边长为2的正三棱锥P -ABC 中，E 是BC 的中点，若△P AE 的面积为41，则侧棱P A 与底面所成角的正切值是（） A ．1B ．21C ．31D ．41 12．正三角形ABC 的边长为a ，P 、Q 分别是AB 、AC 上的点，PQ //BC ，沿PQ 将△ABC 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，设折叠后A 、B 两点间的距离为d ，则d 的最小值为（）A ．a 85B ．a 85C ．a 810D ．a 410 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）13．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．14．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为 15．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB yAC zAS ++，则x y z ++= ．16．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________三．解答题（本大题共4个小题，共40分．）17．（8分）已知空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面P AD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若∠PDA＝45︒，求EF与平面ABCD所成的角的大小．19．（8分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．20．（12分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A=AD=2，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求二面角P-CD-B的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD；（3）求点P到平面MND的距离．PA DCMN。

3.1空间向量及其运算测试题(答案).docx

新课标高二数学同步测试（2－1第三章3. 1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）．．在平行六面体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若 A 1B = a ，1A 1 D 1 =b ， A 1 A =c . 则下列向量中与B 1 M 相等的向量是（）A ． 1 a1 b cB ． 1a1b c2 222C ． 1a1b cD ． 1 a1b c图2 2222．在下列条件中，使 M 与 A 、B 、C 一定共面的是（）A ． OM2OA OB OCB ． OM1OA1OB1OC532C ． MA MBMC 0D ． OM OA OBOC 03．已知平行六面体 ABCD A ' B 'C ' D ' 中， AB=4，AD=3， AA '5， BAD900 ，BAA 'DAA ' 600 ，则 AC ' 等于（）A ．85B ． 85C ．5 2D ．50r(1, 3, 2) 平行的一个向量的坐标是（）4 ．与向量 aA ．（ 1，1，1） B ．（－ 1，－ 3， 2）3 C ．（－ 1 ， 3，－1） D ．（ 2 ，－ 3，－2 2 ）2 2uuur uuur5．已知 A （－ 1，－ 2， 6）， B （ 1， 2，－ 6）O 为坐标原点，则向量 OA,与OB 的夹角是（）A ．0B ．C ．D ．3226．已知空间四边形 ABCD 中，，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，则MN =OA a ，OB b ，OC c（）A ． 1 a 2 b 1 c． 21 12 32322 C ． 1 a 1 b 1 c． 2 2 12 223327．设 A 、B 、 C 、D 是空间不共面的四点，且满足 AB ? AC0，AC ? AD0，AB ? AD 0 ，则 BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定OA ，BC =（）8．空间四边形 OABC中， OB=OC， AOB=AOC=60，则cosA ．1B ．2C ．1D ．022 29．已知 A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则 ABC 的面积为（）A ． 3B ．2 3C ． 6D ．6210．已知 a(1 t,1 t, t ), b (2, t, t) ，则 | a b |的最小值为（）A ．5B ．55C ．3 5D ．115 5 55二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．11．若 a (2,3, 1) ， b ( 2,1,3) ，则 a,b 为邻边的平行四边形的面积为．12．已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB 、 AC ，M 、N 分别是对边 OA 、 BC 的中点，点 G 在线段 MN上，且 MG2GN ，现用基组 OA,OB,OC 表示向量 OG ，有 OG =x OA yOB zOC ，则 x 、y 、z 的值分别为．13．已知点 A(1， 2，11) 、B(4，2，3) ，C(6， 1，4) ，则 ABC 的形状是．14．已知向量 a (2, 3,0) ， b (k,0,3) ，若 a, b 成 1200 的角，则 k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76分) ．15．（ 12 分）如图，已知正方体 ABCD A'B 'C ' D ' 的棱长为 a ，M 为 BD '的中点，点 N 在 AC ' '上，且 | A'N | 3| NC ' | ，试求 MN 的长．BC ，原点 O 是 BC 的z中点，16．（ 12 分）如图在空间直角坐标系中 D'C'=2O'N点 A 的坐标是(3 , 1,0) ，点 D 在平面 yOz 上，且∠ BDC=90°，∠ DCB=30° .22（1）求向量 OD 的坐标；（2）设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ，求 cos θ的值A'B'MDCyA B17．（12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这体的对棱两两垂直．x个四面18．（ 12 分）四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， AB ={2 ，－1，－ 4} ， AD ={4 ， 2， 0} ， AP ={ －1，2，－ 1}.图（1）求证： PA ⊥底面 ABCD ；（2）求四棱锥 P —ABCD 的体积； 19．（ 14 分）如图所示，直三棱柱 ABC — A B C 中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA=2，M 、N 分别是1 1 1 1A 1B 1、A 1A 的中点 .（1）求 BN 的长；（ 2）求 cos< BA 1 ,CB 1 >的值；（3）求证： A 1B ⊥ C 1M. 20．（ 14 分）如图，已知平行六面体 ABCD — A 1 B 1C 1 D 1 的底面 ABCD是菱形且∠ C 1CB C 1CD BCD=∠ =∠ =60°. （）证明： C 1C ⊥ BD ；（）假定 CD ，CC 3 ，记面 C BD 为面α，12=21=12CBD 为 β，求二面角 α—BD —β的平面角的余弦值；（ 3）当CD的值为多少时，能使 A 1C ⊥平面CC 1C 1BD ？请给出证明 .参考答案一、1．A ；解析： B 1M B 1 B BM A 1 A1(BA BC) = c + 1（－ a b ）=－ 1a + 1b +c ．评述：22 2 2用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法 . 考查学生的空间想象能力 .2．A ；解析：空间的四点 P 、A 、B 、C 共面只需满足 OP xOA yOB zOC, 且 xy z 1 既可．只有选项 A ．3．B ；解析：只需将 ACAB ADAA ，运用向量的内即运算即可， | AC | 2AC ．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即 b 0,a // bab ．5．C ；解析： cos a b，计算结果为－ 1．| a | | b |6．B ；解析：显然 MNONOM1(OB OC)2OA ．237．B ；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量 OA,OB, OC ，再来处理 OA BC 的值．9．D ；解析：应用向量的运算，显然cosAB, ACAB ACsin AB, AC，|AB||AC |从而得 S 1| AB || AC | sin AB, AC．10． C ； 2二、11． 6 5 ；解析： cosa,ba b2，得 sina, b3 5，可得结果．| a || b |7712． 1OA1OB1OC ；633解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： |AB|2 |BC|2 | AC |2．14．39；解析： cos a,ba b2k 1，得 k39 ．| a | | b | 13 9 k 22三、15．解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以 B （ a ， a ， 0）， A'（ a ，，a ），C ' （， a ， a ），D ' （，， a ）．0 0由于 M 为BD ' 的中点，取A'C ' 中点O' ，所以 M （ a ，a， a ），（ a ，a，a ）．因为 | A' N | 3| NC '|，2 2 2 O' 2 2所以 N 为 A'C' 的四等分，从而 N 为 O'C ' 的中点，故 N （ a ， 3，）． 44根据空间两点距离公式，可得 |MN |(aa )2 ( a3a ) 2 ( aa)26a ．2 42 42416．解：（1）过 D 作 DE ⊥ BC ，垂足为 E ，在 Rt △BDC 中 , 由∠ BDC=90°, ∠DCB=30°，BC=2，得 BD=1，CD3，∴ DE CD ·sin30 °=3 OE OB －BE OB － BD ·cos60 ° －11==2. ===1.2 2∴D 点坐标为（ 0，－ 1 ,3），即向量 OD[TX → ] 的坐标为 {0 ，－ 1 ,3}.2 22 2（）依题意：OA3 1 ,0},OB{0, 1,0}, OC { 0,1,0} ，2{,2 2所以 ADOD OA {3, 1,3}, BCOC OB{0,2,0} .22设向量 AD 和 BC 的夹角为 θ ，则ADBC3 0 ( 1) 23 012210 .cos θ=5|AD| |BC|3 )2 ( 1)2( 3)2 0222(022217．证：如图设 SA r 1 , SB r 2 , SC r 3 ，则 SE, SF, SG, SH , SM, SN 分别为 1 r 1 ，1 (r 2 r 3 ) ，1(r 1 r 2 ) ，2 2 21r 3 ， 1(r 1 r 3 ) ， 1r 2 ，由条件 EH=GH=MN 得：222展开得 r 1 r 2 r 2 r 3 r 1 r 3∴r 1 (r 3 r 2 ) 0，∵ r 1 ≠ ， ≠ ，0 r 3 r 2 0∴ r 1 ⊥（ r 3 r 2 ）即 SA ⊥BC ．同理可证 SB ⊥ AC ， SC ⊥ AB ．18．（ 1）证明：∵ AP AB =－2－2+4=0，∴ AP ⊥ AB.又∵ AP AD =－4+4+0=0，∴ AP ⊥ AD.∵AB 、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，∴ AP ⊥底面 ABCD.（2）解：设AB与AD的夹角为θ，则AB AD8 23cosθ=4 116164105|AB| |AD|V1AB·|AD·sinθ·|AP2105191411610533（3）解： | （AB×AD）·AP |=| －4－32－ 4－ 8|=48 它是四棱锥 P—ABCD体积的 3 倍 .猜测： | （AB×AD）·AP | 在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、 AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等 .主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力 .19．如图，建立空间直角坐标系O— xyz .（1）依题意得 B（0，1，0）、 N（1，0，1）∴| BN |= (10)2(01) 2(10)2 3 .图（2）依题意得A1（，，）、B（，，）、C（，，）、B1（，，）1020 1000 0012∴ BA1={－1，－1，2}， CB1={0，1，2，}， BA1· CB1=3，|BA1|= 6 ，| CB1|=5∴cos< BA1，CB1 >=BA1 CB1130 . | BA1 | |CB1 |10（）证明：依题意，得C1（，，）、M（11，），AB={－，，2}，C M 1 1，0}.002222∴A1 B · C1 M =－1 1+0=0，∴ A1 B ⊥ C1 M ，∴A1B⊥C1M. 2 2评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（ 1）证明：设CB = a，CD =b，CC1 =c，则 | a |=| b | ，∵BD CD CB =b－a，∴BD · CC1=（b－a）·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0，∴C1C⊥BD.（2）解：连 AC、BD，设 AC∩BD=O，连 OC1，则∠ C1OC为二面角α— BD—β的平面角 .∵ CO 1(BC CD)1（ a +b ），C1O CO CC11（ a +b ）－ c 222∴ CO· C1O 11（a +b ）－c ］（ a +b ）·［22=1（ a 2+2a · b +b 2）－1a · c －1b ·c 422=1（4+2· 2· 2cos60°+4）－1·2·3cos60°－1·2·3cos60°=3. 422222则| CO |=3，| CO|=3，∴ cosC1 OC=CO C1O312|CO | |C1O |3（3）解：设CD=x，CD=2，则 CC1=2. CC1x∵BD⊥平面 AAC C，∴ BD⊥ AC111∴只须求满足： A1 C C1 D=0 即可.设 A1 A =a， AD =b， DC =c，∵ A1 C =a+b+c， C1 D =a－c，∴ A1 C C1 D =（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=42－6，x2x令6－24，得或－2（舍去） . x x2=0x=1x=3评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题 .。