【KS5U解析】江苏省苏州市2015届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

江苏省苏州市2015届高三上学期期中数学试卷一、填空题（每小题5分）1．（5分）集合A={1，2}的子集个数为．2．（5分）“∀x＞0，x+1＞”的否定是．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最大值是．4．（5分）已知tanα=﹣且，则cosα=．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2=2，a7+a8=8，该数列前十项的和S10=．6．（5分）平面向量，则与的夹角是．7．（5分）已知f（x）=﹣ax3+cx+2，若f（5）=7，则f（﹣5）=．8．（5分）如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=．9．（5分）已知直线ax﹣by﹣3=0与f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线相互垂直，则=．10．（5分）函数y=lg|x﹣1|+的零点个数是．11．（5分）已知平行四边形ABCD中，||=2，，则平行四边形ABCD的面积为．12．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=4，则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围为．14．（5分）x的不等式ax2+x﹣2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为．二．解答题15．（14分）已知向量（1）求函数f（x）的单调减区间及其图象的对称轴方程；（2）当x∈时，若f（x）=﹣1，求x的值．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且=S（1）求tanA的值；（2）若B=，c=3，求△ABC的面积S．17．（14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？18．（16分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，F（x）=f（x）﹣g（x）（1）若a=2，x∈，求F（x）值域；（2）若a＞2，解关于x的不等式F（x）≥0．19．（16分）设函数f（x）=x3+（1）b=2，c=﹣1，求y=|f（x）|的单调增区间；（2）b=6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx对一切x∈恒成立，求k的最小值h（c）的表达式．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．江苏省苏州市2015届高三上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分）1．（5分）集合A={1，2}的子集个数为4．考点：子集与真子集．专题：常规题型．分析：集合{1，2，}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．解答：解：集合A={1，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}共4个．故答案为4．点评：本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．2．（5分）“∀x＞0，x+1＞”的否定是∃x＞0，x+1≤．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为∃x＞0，x+1≤，故答案为：∃x＞0，x+1≤点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）函数f（x）=sinxcosx的最大值是．考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：利用二倍角的正弦函数公式将函数解析式变形，根据正弦函数的值域，即可得到函数f（x）的最大值．解答：解：f（x）=sinxcosx=sin2x，∵﹣1≤sin2x≤1，∴﹣≤sin2x≤，则f（x）的最大值为．故答案为：点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．4．（5分）已知tanα=﹣且，则cosα=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．解答：解：已知tanα=﹣且，故有sinα＜0，cosα＞0，∴cosα===故答案为：点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2=2，a7+a8=8，该数列前十项的和S10=30．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知结合等差数列和的性质求得a3+a4=4，a5+a6=6，进一步由等差数列的性质求得a9+a10，则S10可求．解答：解：在等差数列{a n}中，由a1+a2=2，a7+a8=8，结合等差数列的性质得：a3+a4=4，a5+a6=6，则a9+a10=2（a5+a6）﹣（a1+a2）=2×6﹣2=10．∴S10=30．故答案为：30．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．6．（5分）平面向量，则与的夹角是120°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与夹角为θ，由两个向量的夹角公式得cosθ=，把向量的模代入，并利用两个向量的数量积公式化简运算．解答：解：设与夹角为θ，由两个向量的夹角公式得cosθ===﹣，∴θ=120°故答案为：120°．点评：本题考查两个向量的夹角公式的应用，以及两个向量的数量积公式的应用．7．（5分）已知f（x）=﹣ax3+cx+2，若f（5）=7，则f（﹣5）=﹣3．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（5）=﹣25a+5c+2=7，从而5c=﹣125a+5，由此能求出f（﹣5）．解答：解：∵f（x）=﹣ax3+cx+2，f（5）=7，∴f（5）=﹣125a+5c+2=7，∴﹣125a+5c=5，∴5c=﹣125a+5，∴f（﹣5）=﹣125a﹣5c+2=﹣125a﹣（﹣125a+5）+2=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查函数性质的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据余弦定理弦求出C的大小，利用正弦定理即可求出AB的长度．解答：解：∵AD=10，AC=14，DC=6，∴由余弦定理得cosC===，∴sinC=，由正弦定理得，即AB==，故答案为：点评：本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理和正弦定理是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的公式．9．（5分）已知直线ax﹣by﹣3=0与f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线相互垂直，则=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由导数的几何意义可求曲线f（x）=xe x在（1，e）处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可求的值．解答：解：设曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线斜率为k，由f（x）=xe x，得f′（x）=e x+xe x，则k=f′（1）=2e，∵直线ax﹣by﹣2=0与曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线互相垂直．∴=﹣．故答案为：．点评：本题主要考查了导数的几何意义：曲线在点（x0，y0）处的切线斜率即为该点处的导数值，两直线垂直的条件的运用．属于中档题．10．（5分）函数y=lg|x﹣1|+的零点个数是3．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=lg|x﹣1|，g（x）=﹣，画出函数的图象，通过读图一目了然．解答：解：令f（x）=lg|x﹣1|，g（x）=﹣，画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，由图象得f（x），g（x）有3个交点，故答案为：3．点评：本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，是一道基础题．11．（5分）已知平行四边形ABCD中，||=2，，则平行四边形ABCD的面积为2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意，利用平面向量的数量积运算法则变形，得到平行四边形ABCD为边长为2的菱形，且锐角为60°，求出菱形ABCD面积即可．解答：解：∵+=，∴||=||，∴||=||，利用勾股定理的逆定理得到⊥，∴平行四边形ABCD为边长为2的菱形，且锐角为60°，则菱形ABCD面积S=2S△DAB=2××2×2×sin60°=2，故答案为：2点评：此题考查了平面向量的数量积运算，以及三角形面积公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=4，则的最小值为1．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式求解，变形为==+（），符合条件再求解．解答：解：∵正实数x，y满足x+2y=4，y=2，则==+（）=1（x=y时等号成立）∴的最小值为1故答案为：1点评：本题考查了均值不等式的成立问题，属于容易题．13．（5分）已知函数f（x）=，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），则实数a的取值范围为专题：函数的性质及应用．分析：若函数f（x）=，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），则函数不为单调函数，进而根据二次函数和一次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．解答：解：若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），则函数f（x）函数不为单调函数，由y=﹣x2+2ax在（a，+∞）上为减函数，故函数f（x）=为单调函数时只能是减函数，此时a＜0，故函数f（x）函数不为单调函数时，a≥0，即实数a的取值范围为：时，若f（x）=﹣1，求x的值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用向量的数量积定义表示出函数再利用三角函数的单调减区间及其图象的对称轴方程公式求得．（2）据已知列出三角方程，注意解三角方程必须先求出角的范围再求出特殊角．解答：解：（1）f（x）=2﹣1=2sinxcosx+2cosxsinx﹣1=（+1）sin2x﹣1．∴由+2kπ≤2x≤+2kπ得，k∈Z．∴函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．由2x=+kπ得，x=，k∈Z．∴函数f（x）的对称轴方程x=，k∈Z．（2）由f（x）=﹣1，得（+1）sin2x﹣1=﹣1．∴sin2x=0∵x∈，∴2x=0或2x=π，即x=0或x=．点评：本题考查向量的数量积公式及三角函数的周期公式，解三角方程时注意一定要求出角的范围．16．（14分）已知△ABC的面积为S，且=S（1）求tanA的值；（2）若B=，c=3，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tanA的值即可；（2）由tanA与tanB的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，进而求出sinC 的值，利用正弦定理求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出S．解答：解：（1）∵•=bccosA，S=bcsinA，且•=S，∴bccosA=bcsinA，即sinA=2cosA，∴tanA=2；（2）∵tanA=2，tanB=1，∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=3，∴cos2C==，sinC==，由正弦定理=得：b===，由tanA=2，得到cos2A==，sinA==，则S=bcsinA=××3×=3．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．（14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA=θ（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出时，由A到C所用的时间t最少．解答：解：（1）在Rt△ABD中，AB=50km，∴BD=50cotθ，AD=，∴DC=100﹣BD=100﹣50cotθ．∴t（θ）=+2﹣cotθ=+2（θ∈，求F（x）值域；（2）若a＞2，解关于x的不等式F（x）≥0．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）将a=2代入F（x），然后分类讨论去绝对值号，分段求值．（2）先得到不等式，然后分x≥1和x＜1两类讨论解不等式．解答：解：∵f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，∴F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣a|x﹣1|，（1）若a=2，F（x）=x2﹣1﹣2|x﹣1|，x∈，则当x∈上单调递增，F（x）∈即x﹣1≥0时，F（x）=x2﹣1﹣2（x﹣1）=x2﹣2x+1为二次函数，在上单调递增，F（x）∈，综上，x∈，F（x）值域为=（2）F（x）=x2﹣1﹣a|x﹣1|，当a＞2时，F（x）≥0得不等立式x2﹣1﹣a|x﹣1|≥0，当x=1时，F（x）=0，不等式成立，当x＞1时，F（x）≥0即为x2﹣1﹣a（x﹣1）≥0化简得（x﹣1）（x+1﹣a）≥0，则x≥a﹣1又∵a＞2，∴a﹣1＞1，∴x≥a﹣1；当x＜1时，F（x）≥0即为x2﹣1+a（x﹣1）≥0，化简得（x﹣1）（x+1+a）≥0，则x≤﹣a﹣1又∵a＞2，∴﹣a﹣1＜﹣3∴x≤﹣a﹣1，综上，若a＞2，关于x的不等式F（x）≥0的解集为{x|x≥a﹣1，x=1或x≤﹣a﹣1}．点评：解题的关键在两点，一是去绝对值号，二是对参数a的理解．19．（16分）设函数f（x）=x3+（1）b=2，c=﹣1，求y=|f（x）|的单调增区间；（2）b=6，g（x）=|f（x）|，若g（x）≤kx对一切x∈恒成立，求k的最小值h（c）的表达式．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）由题意，f（x）=x3+x2﹣x=x（x﹣）（x﹣），从而写出y=|f（x）|的表达式，对函数f（x）求导并由导数说明函数f（x）的单调性，进而有函数图象的变换写出函数的单调增区间；（2）由题意，f（x）=x3+3x2+cx，若x=0，则对任意k，都有g（0）=0≤k•0成立；若x≠0，则即x∈（0，2]时，通过独立参数法化g（x）≤kx为k≥|x2+3x+c|，令m（x）=x2﹣3x+c，从而求|x2+3x+c|在上的最大值，则将g（x）≤kx对一切x∈恒成立化为k≥，|x2+3x+c|max，从而求出k的取值范围，再求k的最小值h（c）的表达式．解答：解：（1）由题意，f（x）=x3+x2﹣x=x（x﹣）（x﹣），则y=|f（x）|=，又∵f′（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），∴f（x）=x3﹣x2﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，∴y=|f（x）|的单调增区间有：（，﹣1），（0，），（，+∞）；（2）由题意，f（x）=x3+3x2+cx，若x=0，则对任意k，都有g（0）=0≤k•0成立；若x≠0，则即x∈（0，2]时，g（x）≤kx可化为k≥|x2+3x+c|，令m（x）=x2+3x+c=（x+）2﹣+c，∴m（x）=（x+）2﹣+c在上的最小值为m（0）=c，最大值为m（2）=7+c，则当|c|＞|7+c|，即c＜﹣3.5时，|x2+3x+c|max=|c|=﹣c，当|c|≤|7+c|，即c≥﹣3.5时，|x2﹣3x+c|max=|7+c|=7+c，则k≥|x2+3x+c|，对一切x∈（0，2]恒成立可化为，当c＞﹣3.5时，k≥﹣c；当c≤﹣3.5时，k≥7+c；则k的最小值h（c）=．点评：本题考查导数的综合应用，同时考查了函数图象的变换应用及恒成立问题的处理方法，化简与思路都比较难，属于难题．20．（16分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，2m+1）内的项的个数记为{b m}①求数列{b m}的通项公式；②记c m=，数列{c m}的前m项和为T m，求所有使得等式=的正整数m，t．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列的性质列方法求解a1=1，d=2，即可得出通项公式．（2）求解2n﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，得出2m﹣1＜n＜22m﹣1，即可得出项数b m（3）求出{c n}通项公式，前n项和，再代入求解即可．解答：解：（1）∵等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S4=4S2，a2n=2a n+1，∴4a1﹣2d=0，a1=d﹣1，∴a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1（2）∵a n=2n﹣1，∴2n﹣1＞2m，2n﹣1＜22m，∴2m﹣1＜n＜22m﹣1，即项数22m﹣1﹣2m﹣1，∴①∵c m=，∴C m=，∴c1=2，=，∴{c n}是等比数列，数列{c m}的前m项和为T m=即，∵所有使得等式=∴（4﹣t）2m=4+2t﹣1存在符合条件的正整数m=t=3，点评：本题综合考察了数列的性质，几何不等式等知识，运算思维量大，属于难题．。