北京市丰台区2018届中考《简单的几何证明与计算》专项练习含答案
2018北京市中考数学试题(附答案解析版)
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
(真题)2018年北京市中考数学试题有答案
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a + 3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o360 （B ）o540 （C ）o720 （D ）o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
丰台区2018年初三毕业及统一练习
丰台区年初三毕业及统一练习初三数学参考答案一、选择题（本题共分，每小题分）二、填空题（本题共分，每小题分） ．； ．1y x=等，答案不唯一；．△，△，•； ．； ．； ． 2.01,75%0.34;y x x y =+⎧⎨=-⎩ ．③，④； ．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等． 三、解答题（本题共分，第题，每小题分，第题分，第，题，每小题分，第题分） 02cos 45(3π)|1-︒+-+-．211++ ……………………分 ……………………分．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………分解不等式②，得1x >-. ……………………分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………分．证明：连接. ∵＝，是边上的中点，∴∠∠. ………………………分 ∵⊥于点，⊥于点，∴＝． ………………………分（其他证法相应给分）．解：（）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>.∴Δ24421680m m --⋅=->（）． ∴2m <. ………………………分 （）∵2m <，且为非负整数，∴=0m 或1. ………………………分 当时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意；当时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去.综上所述，.………………………分．（）证明：∵，，∴四边形为平行四边形. ………………………分 ∵四边形为菱形，AB CE F∴. ∴.∴ ，即.∴四边形为矩形. ………………………分（）解：连接.由（）知，∥，且. ∴四边形为平行四边形 ∵⊥，∴四边形为菱形.∴=，=，=. ………………………分 ∵矩形中，=，，∴=，=.………………………分 （其他证法相应给分）．（）解： ∵反比例函数2y x=的图象经过点(,2)P m ，(，)， ∴1m =，1n =-．∴点，的坐标分别为(，)，(，). …….…….…….……分 ∵一次函数y kx b =+的图象经过点(，)，(，)，∴2,2 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为1y x =+．.…….…….…….……分）……………分．（）证明：∵平分∠，∴∠＝∠.∵∥，∴∠＝∠.∴∠＝∠. ∵是⊙的切线，∴∠＝°. ∴∠∠＝°，∠∠＝°.∴∠＝∠.∴=. …….…….……………分（）解：连接.∵为⊙的直径，∴∠＝°. ∵∥，∴∠＝∠.∵∠35，∴在△中，∠CE DE 35. 设，则 .由（）可知，.∴ ，.在△中，由勾股定理得． ∵半径为，∴=. ∵× ×，87654321GNMDCB∴1041025x x x =，解得x =∴ . …….…….……………分（其他证法或解法相应给分.）．解：； ………………………分（）甲； ………………………分 （）110； ………………………分 （）答案不唯一，理由需支持推断结论.如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于分的学生比甲校多. ………………………分．解： （）； ………………………分 （）如右图； ………………………分 （）或 ………………………分．解：（）∵抛物线()22432y ax ax a a x =-+=--，∴对称轴为 ．………………………………………分∵抛物线最高点的纵坐标是，∴ ． ………………………………………分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+- ……………分（）由图象可知，2b = 或≤<. ………………分由图象的对称性可得：． ……………… 分．解：（）如图； …………………分（）°； …………………分…………………分 证明：作⊥的延长线于点．∵点与点关于对称， ∴是的垂直平分线． ∴． ∴∠∠α．∵，∴．∴∠∠． ∵∠°，∴∠12（°-∠）12（°-°-α-α）°-α．∴∠∠∠α°α°．…………………分 ∵∠°，是的垂直平分线， ∴∠∠°，∠∠°．12∴∠∠． ∵⊥，∴∠°∠． ∴在△和△中，∠∠，∠∠， ，∴△≌△．∴． ∵△中，∠°，∠°， ．． …………………分 （其他证法相应给分.）．解：（）点A 和线段BC 的“中立点”的是点，点； ………分（）点和⊙的“中立点”在以点为圆心、半径为的圆上运动. 因为点在直线 上， 设点的坐标为（， ）， 则（ ），解得，. 所以点的坐标为（，）或（，）. ………分 （）（说明：点N 与⊙的“中立点”在以线段的中点为圆心、半径为的圆上运动.圆与轴相切时，符合题意.） 所以点的横坐标的取值范围为≤≤. ………分。
北京市丰台区普通中学2018年1月初三数学中考复习 相似三角形判定定理的证明 专项练习题 含答案
北京市丰台区普通中学2018年1月初三数学中考复习相似三角形判定定理的证明 专项练习题1．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE 与△ABC 相似的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AEAB2．如图，在正方形网格上，与△ABC 相似的三角形是( )A ．△AFDB ．△AEDC ．△FED D ．不能确定3．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是( )A ．△ABE ∽△DGEB ．△CGB ∽△DGEC ．△BCF ∽△EAFD ．△ACD ∽△GCF4．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )A.154B.125C.203D.174 5．两角分别__________的两个三角形相似；6．两边________且夹角__________的两个三角形相似； 7．三边______的两个三角形相似．8．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BD ⊥CD ，如果AD ＝1，BC ＝3，那么BD ＝________．9. 如图，在△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．10．如图，已知△ACB 与△DEF 分别是以∠ACB 与∠D 为直角的等腰直角三角形，且点E 在边AB 上，刚好DE 过C 点，EF 交CB 于点G. 求证：△ACE∽△BEG.11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DC 交BE 于点F ，且AD ＝13AB ，AE ＝12EC.求证：(1)△DEF∽△CBF；(2)DF·BF＝EF·CF.12．如图，在△ABC 中，点D ，E 是边AB 上的点，CD 平分∠ECB，且BC 2＝BD·BA.求证：(1)△CED∽△ACD；(2)AB BC ＝CE ED.答案： 1—4 CADA 5. 相等6. 成比例 相等7. 成比例8. 39. 4或910. 证明：∵△CAB 与△DEF 都是等腰直角三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠DEF ＝∠F＝45°，而∠CEB ＝∠DEF＋∠FEB＝∠A ＋∠ACE ，∴∠ACE ＝∠FEB，∴△ACE ∽△BEG 11. 证明：(1)∵AE＝12EC ，∴AE AC ＝13，又∵AD＝13AB ，∴AD AB ＝13，∴AE AC ＝ADAB ，又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF(2)∵△DEF∽△CBF，∴DF CF ＝EFBF，∴DF ·BF ＝EF·CF12. 证明：(1)∵BC 2＝BD ·BA ，∴BD ∶BC ＝BC∶BA，∵∠B 是公共角，∴△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A，∵CD 平分∠ECB，∴∠ECD ＝∠BCD，∴∠ECD ＝∠A，∵∠EDC ＝∠CDA ，∴△CED ∽△ACD(2)∵△BCD∽△BAC，△CED ∽△ACD ，∴AB BC ＝AC CD ，CE ED ＝AC CD ，∴AB BC ＝CEED。
2018北京中考数学试题(含答案及解析版)(可编辑修改word版)
3⎩⎩ ⎩2018 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a , b , c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ） a ＜4（B ） c - b ＜0 （C ） ac ＜0 （D ） a + c ＜0⎧3. 方程式⎨ x - y = 3 的解为⎩3x - 8 y = 14 ⎧x = -1 ⎧ x = 1⎧x = -2⎧ x = 2 （A ） ⎨y = 2 （B ） ⎨y = -2（C ） ⎨⎩ y = 1（D ） ⎨y = -14. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相当于 35 个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为 7140m 2，则 FAST 的反射面总面积约为 （A ） 7.14 ⨯103 m 2（B ） 7.14 ⨯104 m 2 （C ） 2.5⨯105 m 2 （D ） 2.5⨯106 m 25. 若正多边形的一个外角是60o ，则该正多边形的内角和为（A ） 360o （B ） 540o⎛ a 2 + b 2 （C ） 720o⎫ a（D ） 900o6. 如果 a - b = 2 ，那么代数式⎝ 2a - b ⎪ ⋅ 的值为 ⎭ a - b（A ） （B ） 2 （C ） 3 （D ） 47. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y （ 单位： m ） 与水平距离 x （ 单位： m ） 近似满足函数关系y = ax 2 + bx = c (a ≠ 0) 。
下图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为3 333（A）10m （B）15m （C）20m （D）22.5m8.上图是老北京城一些地点的分布示意图。
2018年北京市中考数学试卷及答案(题目word答案为图片格式)
2018年市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的角和为（A ）o360 （B ）o540 （C ）o720 （D ）o9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)[中考真题]
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2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c − （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=−=−14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=−=21y x （B ）⎩⎨⎧−==21y x （C ）⎩⎨⎧=−=12y x （D ）⎩⎨⎧−==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 9006. 如果32=−b a ，那么代数式b a ab a b a −⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6−−时，表示左安门的点的坐标为()6,5−；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12−−时，表示左安门的点的坐标为()12,10−；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11−−时，表示左安门的点的坐标为()11,11−；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16−−时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16−。
2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案
2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC， ∴△ADE ≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EGAG .∴AG 2＝GE·GF.4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos 30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ， ∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21.∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG. ∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠EC F ＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形． ∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠M AB ＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos 30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF 10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE ＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC＝BD.又CE ＝AC ，∴BD＝CE.∵BF＝FC ，∠BFG ＝∠EFC，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G＝∠E.12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA， ∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.。
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为 （A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x 4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯（D ）26105.2m ⨯5. 若正多边形的一个外角是o60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o540 （C ）o 720 （D ）o900 6. 如果32=-b a ，那么代数式b a a b a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为 （A ）3 （B ）32（C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A）10m （B）15m （C）20m （D）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
中考_2018年北京丰台中考数学真题及答案
2018年北京丰台中考数学真题及答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c - （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=-=-14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=-=21y x （B ）⎩⎨⎧-==21y x （C ）⎩⎨⎧=-=12y x （D ）⎩⎨⎧-==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 9006. 如果32=-b a ，那么代数式b a ab a b a -⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）347. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11--时，表示左安门的点的坐标为()11,11-；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16-。
北京市丰台区普通中学2018届初三数学中考复习 综合练习题 含答案
北京市丰台区普通中学2018届初三数学中考复习 综合练习题一、选择题1．下列运算正确的是( D )A ．－a ·a 3＝a 3B ．－(a 2)2＝a 4C ．x －13x ＝23D ．(3－2)(3＋2)＝－12．成都地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为成都市民主要出行方式之一．今年4月29日成都地铁安全运输乘客约181万乘次，又一次刷新客流纪录，这也是今年以来第四次客流纪录的刷新，用科学记数法表示181万为( B ) A ．18.1×105 B ．1.81×106 C ．1.81×107 D ．181×104 3．下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是( C )4．若点P 1(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)在反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上，且x 1＝－x 2，则( D )A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝－y 25．在平面直角坐标系中，把点P(－5，3)向右平移8个单位得到点P 1，再将点P 1绕原点旋转90°得到点P 2，则点P 2的坐标是( D ) A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，3)或(－3，－3)D ．(3，－3)或(－3，3)6．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是( C ) A ．6.3(1＋2x )＝8 B ．6.3(1＋x )＝8C ．6.3(1＋x )2＝8D ．6.3＋6.3(1＋x )＋6.3(1＋x )2＝87．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为( C )A ．40°B ．35°C ．30°D ．45°8．如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( D )A ．20海里B ．40海里 C.2033海里 D.4033海里9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( D )A.34B.43C.35D.4510．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为( C )A ．A →O →B B ．B →A →C C ．B →O →CD ．C →B →O二、填空题11．点(－1，y 1)，(2，y 2)是直线y ＝2x ＋1上的两点，则y 1__＜__y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)12．若a ，b ，c 为三角形的三边，且a ，b 满足a 2－9＋(b －2)2＝0，则第三边c 的取值范围是__1＜c ＜5__．13．如图，△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为__1∶9__．14．用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为__23__．。
北京市丰台区普通中学2018届初三数学中考复习 图形与相交线、平行线 专题复习练习 含答案
北京市丰台区普通中学2019届初三数学中考复习图形与相交线、平行线专题复习练习1．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( A )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( C )A．35° B．45° C．55° D．65°3．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( C )A．白 B．红 C．黄 D．黑4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD 于点G，若∠EFG＝52°，则∠EGF等于( B )A．26° B．64° C．52° D．128°5．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝( B ) A．140° B．130° C．120° D．110°6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( C )A. 3 B．2 C．3 D．2 37．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB ＝4，DE＝2，则AC的长是( B )A．4 B．3 C．6 D．58．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．9．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝__80__°.10．如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD∶CB＝1∶3，则DB的长度为__10__．11．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为__13__．12．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝__2__．13．平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若平面内的不同的n 个点最多可确定15条直线，则n 的值为__6__．14．如图，直线l 1∥l 2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝__140°__．15．如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C ，D 分别是线段OA ，OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2.他在反思过程中突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上或点O 在AB 所在直线外时，原有结论“CD ＝2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由．解：原有的结论仍然成立，理由如下：(1)当点O 在AB 的延长线上时，如图①，CD ＝OC －OD ＝12(OA －OB )＝12AB ＝12×4＝2；(2)当点O 在AB 所在的直线外时，如图②，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，由三角形中位线定理可得CD ＝12AB ＝12×4＝2图① 图②16．如图，AB ∥CD ，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB ，∠PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明．解：①∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD ；②∠APC ＝360°－(∠PAB ＋∠PCD )；③∠APC ＝∠PAB －∠PCD ；④∠APC ＝∠PCD －∠PAB .以①为例证明：过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PE ∥CD ，∴∠PAB ＝∠APE ，∠PCD ＝∠CPE ，∵∠APC ＝∠APE ＋∠CPE ，∴∠APC ＝∠PAB ＋∠PCD。
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)
(B)(C)(A) a >4(B ) c-b >0 (C ) ac >0 (D) a c >0仪=—1'x=1x = -2丿（B ）(C )丿(D )丿片2』一23" y —i足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为3 2(A) 7.14 10 m(B) 7.14 104m 27140m 2,贝U FAST 的反射面总面积约为5262(C ) 2.5 10 m ( D ) 2.5 10 m5.若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为 (A) 360°(B ) 540°(C ) 720°( D ) 900°6•如果a - b = 2 3，那么代数式a 2b2a-b ■—的值为 丿a— b (B) 2、3(C ) 3 3(D ) 4、一 32018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷、选择题（本题共 16分，每小题2 分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1.下列几何体中，是圆柱的为2.实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是3•方程式」x —y=3 的解为3x —8y =144•被誉为 中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相当于 35个标准7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系 y 二ax 2• bx 二c a =0。
下图记录了某运动员起跳后的 x 与y 的三组数据，根据上述函数模型(A)和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为x 轴、y 轴的正方向④当表示天安门的点的坐标为 （C ）①④（D ［①②③④NDAE 。
（填 \”，二”或 Z”）8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
最新-北京市丰台区2018年初三毕业及统一练习数学试卷 精品
北京市丰台区2018年初三毕业及统一练习数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．3的倒数是 A ．3B ．3-C ．13 D ．13-2．今年初，惊闻海地发生地震，中国政府和人民在第一时间作出支援海地的决定：1月13日，中国红十字会向海地先期捐款1 000 000美元，将1 000 000用科学记数法表示为 A ．51010⨯ B ．6101⨯C ．7101.0⨯D ．5101⨯3．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是A ．B ．C ．D ． 4．如果半径分别为2cm 和3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．小于1cm 或大于5cm5．某小组7名同学积极参加支援“希望工程” 的捐书活动，他们捐书的册数分别是（单位：本）：10，12，10，13，10，15，17，这组数据的众数和中位数分别是A ．10，12B ．10，13C ．10，10D ．17，10 6．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为A ．13B ．12C ．14D ．167⎨⎧>--≥-813,12x xA ．．C．．8．如图所示是张老师晚上出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是A ．B ．C ．D ． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．在函数yx 的取值范围是___________． 10．分解因式：324b b a -= ．11．若一个正n 边形的一个内角为144°，则n 等于 ．12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．计算：201|22sin602010-+-︒+-（π）．14．解方程：0222=--x x ．15．已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ． 求证：AB=AF ．16．已知：x 022=-,求代数式11)1(222++--x xx x 的值．17．如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数x my =2的图象相交于A 、B 两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，21y y <？EBDAF18．列方程或方程组解应用题：中国2018年上海世博会第三期预售平日门票分为普通票和优惠票，其中普通票每张150元人民币，优惠票每张90元人民币．某日一售票点共售出1000张门票，总收入12.6万元人民币．那么，这一售票点当天售出的普通票和优惠票各多少张？注：优惠票的适用对象包括残疾人士、老年人（1950年12月31日前出生的）、学生、身高超过1.20米的儿童、现役军人．四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分)19．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD =60°，若CD =3， AB =8，求梯形ABCD 的高．20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．21．国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．某中学为了了解学生体育活动情况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”．以下是根据所得的数据制成的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问B C D OA图1图2题：（1）每天在校锻炼时间超过1小时的人数是 ； （2）请将图2补充完整；（3）2018年我市初中毕业生约为9.6万人，请你估计今年全市初中毕业生中每天锻炼时间超过1小时的学生约有多少万人？22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上． 操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形． 实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．五、解答题（共3小题，共22分)23．（本小题满分7分）已知二次函数22-+-=m mx x y ． （1） 求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点；图3E 图 4图2B C 2b ＝a a ＜2b ＜2a b ＝a图1 2b ＜a图5 b ＞a（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3） 将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．24．（本小题满分7分）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF-（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．25．（本小题满分8分）已知抛物线22--=x x y ．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABC E F DDABCE F ADFC EB图1图2图3丰台区2018年初三毕业及统一练习 数学参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分 32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B A A C D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．3≥x 10．)2)(2(b a b a b -+ 11．10 12．80 三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．解：原式=12324113+⨯-+- --------4分=41． -------------- 5分14．解法一： 12122=-+-x x ， -------------- 1分3)1(2=-x ， -------------- 2分31±=-x ， -------------- 3分31±=x ． ------------- 4分∴原方程的解为311+=x ，312-=x ．--- 5分解法二：a =1，b =-2，c =-2，△=0128442>=+=-ac b , ------ 2分∴312322242±=±=-±-=a ac b b x ． ------ 4分∴原方程的解为311+=x ，312-=x ．-- 5分15．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB=CD ．∴∠F =∠2, ∠1=∠D ． --------------- 1分 ∵E 为AD 中点，∴AE =ED . --------------- 2分 在△AEF 和△DEC 中21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AEF ≌△DEC ． -------------- 3分 ∴AF =CD . --------------- 4分 ∴AB =AF . -------------- 5分 16．解：原式=22(1)1)(1)1x x x x x -++-+（ ------------ 1分=2111x x x x -+++ ------------ 2分 =112+-+x x x ． ------------- 3分∵022=-x ，∴22=x ． ∴原式=111112=++=+-+x x x x ． ------------- 5分17．解：（1）由图象知反比例函数x my =2的图象经过点B (4，3)，∴43m=． ∴m =12． ---------- 1∴反比例函数解析式为212y x =． ---------- 2分由图象知一次函数b kx y +=1的图象经过点A (－6，－2) ，B (4，3),∴⎩⎨⎧=+-=+-.3426 ，b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧==．，121b k --------- 3分∴一次函数解析式为1112y x =+． -------- 4分（2）当0<x <4或x <－6时，21y y <．------ 5分18．解：设当日售出普通票x 张，则售出优惠票（1000-x ）张， ------ 1分 根据题意,得:150x +90（1000-x ）=126000，------ 3 分解方程得 x =600． ------ 4 分∴1000-600=400． 答：当日这一售票点售出普通票600张，优惠票400张． ------- 5 分四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分）19.解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°． -----------------1分又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形．---------------- 2分 ∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． ---------------- 3分 又∵DC ∥AB ，AD =BC ，∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形． ∴AC =AE =11， ∠CAB =60°． -------------------------------------------------- 4分过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×23=．∴梯形ABCD 的高为13． -------------------------------------------------- 5分20.（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点, O 为AB 中点, ∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD ∥BC ． ----------- 1分 ∵ DE ⊥BC ， ∴∠DEC =90°.∴∠ODE =∠DEC =90°. ∴OD ⊥DE 于点D .∴ DE 为⊙O 的切线． ------------ 2分 （2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =90°． ∴DB ⊥AC ． ∴∠CDB =90°. ∵ D 为AC 中点, ∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE =2 ,tan C =21, ∴EC =4tan =CDE.------------------------- 3分 由勾股定理得：DC =52.在Rt △DCB 中， BD=5tan =⋅C DC ．由勾股定理得： BC =5.∴AB= BC =5.--------------------------- 4分 ∴⊙O 的直径为 5.--------------------------- 5分21. 解：(1)每天在校锻炼时间超过1小时的人数是390人；----------------- 1分(2)填图正确； ----------------- 3分(3)每天在校锻炼时间超过1小时的学生约为7．2万人.----------- 5分22．解：（1）a 2+b 2； ------------------ 1分 （2）剪拼成的新正方形示意图如图2—图4中的正方形FGCH ． 联想拓展：能剪拼成正方形. 示意图如图5．正确画出一个图形给1分.五、解答题（共3小题，满分22分）23．（1）证明：令y =0,则022=-+-m mx x ． ∵△)2(4)(2---=m m 842+-=m m =4)2(2+-m ,--------------------------- 1分又∵0)2(2≥-m ， ∴04)2(2>+-m ．即△>0．∴无论m 为任何实数，一元二次方程022=-+-m mx x 总有两不等实根． ∴该二次函数图象与x 轴都有两个交点． -----------------------------2分（2）解：∵二次函数22-+-=m mx x y 的图象经过点（3，6）, ∴ 62332=-+-m m .解得21=m .∴二次函数的解析式为23212--=x x y .---------------------------- 3分 （3）解：将x y =向下平移2个单位长度后得到解析式为：2-=x y .---------------------------- 4分解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=．，232122x x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．，232111y x ⎩⎨⎧-==．，1122y x∴直线2-=x y 与抛物线23212--=x x y 的交点为．，)1,1()23,21(--B AF 图2 A B C (E ) D H GF 图3A C E H D G F图5AB ED G H OF图4 A B C D E (G ) (H )∴点A 关于对称轴41=x 的对称点是)23,0('-A ,点B 关于x 轴的对称点是)1,1('B .设过点'A 、'B 的直线解析式为b kx y +=． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=．，123b k b 解得∴直线''B A 的解析式为2325-=x y .∴直线''B A 与x 轴的交点为)0,53(F .----------------------------------------------- 5分与直线41=x 的交点为)87,41(-E .----------------------------------------------- 6分则点)87,41(-E 、 )0,53(F 为所求．过点'B 做''''H AA H B 的延长线于点⊥，∴25'=H B ，1'=HA .在Rt △H B A ''中，229''''22=+=H A H B B A .∴所求最短总路径的长为''B A FB EF AE =++=.-----------------------------------------------7分 24．解：（1）EF=AFBE -；----------------------------------------------- 1分 (2) ∠α+∠BCA =180°；----------------------------------------------- 3分 (3) 探究结论： EF=BE+AF .----------------------------------------------- 4分 证明：∵∠1+∠2+∠BCA =180°, ∠2+∠3+∠CFA =180°.又∵∠BCA =∠α=∠CFA ，∴∠1=∠3. ------------------ 5分 ∵∠BEC =∠CFA =∠α,CB =CA ,∴△BEC ≌△CFA . ----------------- 6分1235232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．∴BE=CF , EC=AF .∴EF=EC+CF=BE+AF . ------------------- 7分25．解：（1）∵抛物线219()24y x =--∴顶点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-49,21． -------- 1（2）抛物线与22y x x =--与x 轴的两交点为A (-1,0) ，B （2，0）．设线段BM 所在直线的解析式为b kx y +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+.4921,02b k b k 解得3,23.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴线段BM 所在直线的解析式为323-=x y ． --------- 2分设点N 的坐标为),(t x -．∵点N 在线段BM 上，∴323-=-x t . ∴223x t =-+．∴S 四边形NQAC ＝S △AOC ＋S 梯形OQNC 21121112(2)(2)322333t t t t =⨯⨯++-+=-++． ----------- 3分∴S 与t 之间的函数关系式为331312++-=t t S ，自变量t 的取值范围为490<<t ．------4分（3）假设存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为P （m ，n ），则21>m 且22--=m m n ．222(1)PA m n =++，222)2(++=n m PC ，52=AC ．分以下几种情况讨论：①若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(,222222n m n m m m n解得251=m ， 12-=m ．∵ 21>m ．∴25=m ．∴⎪⎭⎫⎝⎛47,251P ． -----------6分②若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(,222222n m n m m m n解得233=m ，04=m ．∵21>m ，∴23=m ．∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,232P ．当点P 在对称轴右侧时，PA ＞AC ，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．∴存在符合条件的点P ，且坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛47,251P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45,232P ． ---------------- 8分。
2018年北京市中考数学试题(含答案解析版)【中考真题】
2018年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）＞4a （B ）＞0b c − （C ）＞0ac （D ）＞0c a +3. 方程式⎩⎨⎧=−=−14833y x y x 的解为（A ）⎩⎨⎧=−=21y x （B ）⎩⎨⎧−==21y x （C ）⎩⎨⎧=−=12y x （D ）⎩⎨⎧−==12y x4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为 （A ）231014.7m ⨯ （B ）241014.7m ⨯ （C ）25105.2m ⨯ （D ）26105.2m ⨯ 5. 若正多边形的一个外角是o 60，则该正多边形的内角和为（A ）o 360 （B ）o 540 （C ）o 720 （D ）o 9006. 如果32=−b a ，那么代数式b a ab a b a −⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+222的值为（A ）3 （B ）32 （C ）33 （D ）34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()02≠=+=a c bx ax y 。
下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（A ）10m （B ）15m （C ）20m （D ）22.5m8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图。
在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()3,6−−时，表示左安门的点的坐标为()6,5−；②当表示天安门的点的坐标为()0,0，表示广安门的点的坐标为()6,12−−时，表示左安门的点的坐标为()12,10−；③当表示天安门的点的坐标为()1,1，表示广安门的点的坐标为()5,11−−时，表示左安门的点的坐标为()11,11−；④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16−−时，表示左安门的点的坐标为(),5.16,5.16−。
2018年北京市中考数学试卷及答案解析(WORD精校版)
2018年北京市中考数学试题卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）（2018北京） 1．（2分）（2018北京）下列几何体中，是圆柱的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2分）（2018北京）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．|a |＞4B ．c ﹣b ＞0C ．ac ＞0D ．a +c ＞03．（2分）（2018北京）方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝33x －8y ＝14 的解为（） A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－14．（2分）（2018北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m 2，则FAST 的反射面总面积约为（ ） A ．7.14×103m 2 B ．7.14×104m 2 C ．2.5×105m 2 D ．2.5×106m 25．（2分）（2018北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ） A ．360° B ．540° C ．720° D ．900°6．（2分）（2018北京）如果a ﹣b =23，那么代数式（a 2＋b 22a －b ）• aa －b 的值为（ ）A ． 3B ．2 3C ．3 3D ．4 37．（2分）（2018北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）（2018北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）9．（2分）（2018北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE ．（填“＞”，“=”或“＜”）10．（2分）（2018北京）若x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．11．（2分）（2018北京）用一组a ，b ，c 的值说明命题“若a ＜b ，则ac ＜bc ”是错误的，这组值可以是a = ，b = ，c = ．12．（2分）（2018北京）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ⌒=CD ⌒，∠CAD =30°，∠ACD =50°，则∠ADB = ．13．（2分）（2018北京）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB =4，AD =3，则CF 的长为 ．14．（2分）（2018北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的频数，统计如下：30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计A59 151 166 124 500B50 50 122 278 500C45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．15．（2分）（2018北京）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90 100 130 150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．16．（2分）（2018北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）（2018北京）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2018北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得PQ ∥l ．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线P A ，以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，交P A 的延长线于点B ； ②在直线l 上取一点C （不与点A 重合），作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ；③作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．证明：∵AB = ，CB = ， ∴PQ ∥l （ ）（填推理的依据）．18．（5分）（2018北京）计算4sin45°+(π﹣2) 0﹣18+|﹣1|19．（5分）（2018北京）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3(x ＋1)＞x －1x ＋92＞2x20．（5分）（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．（5分）（2018北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB= 5 ，BD=2，求OE的长．22．（5分）（2018北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．23．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．25．（6分）（2018北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8 m84.5B72.2 70 83根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）（2018北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．28．（7分）（2018北京）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）（2018北京）下列几何体中，是圆柱的为（）A． B．C．D．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．2．（2分）（2018北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0【分析】本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错．【解答】解：∵﹣4＜a＜﹣3∴|a|＜4∴A不正确；又∵a＜0 c＞0∴ac＜0∴C不正确；又∵a＜﹣3 c＜3∴a+c＜0∴D不正确；又∵c＞0 b＜0∴c﹣b＞0∴B正确；故选：B．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负．3．（2分）（2018北京）方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；【解答】解：，①×3﹣②得：5y=﹣5，即y=﹣1，将y=﹣1代入①得：x=2，则方程组的解为；故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）（2018北京）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST 的反射面总面积约为（）A．7.14×103m2B．7.14×104m2 C．2.5×105m2D．2.5×106m2【分析】先计算FAST的反射面总面积，再根据科学记数法表示出来，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于249900≈250000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：根据题意得：7140×35=249900≈2.5×105（m2）故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．5．（2分）（2018北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．6．（2分）（2018北京）如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．4【分析】先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．【解答】解：原式=（﹣）•=•=，当a﹣b=2时，原式==，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．（2分）（2018北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分半代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．（2分）（2018北京）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6）；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12）；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣11，﹣5）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11）；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5）．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④【分析】由天安门和广安门的坐标确定出每格表示的长度，再进一步得出左安门的坐标即可判断．【解答】解：①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣6，﹣3）时，表示左安门的点的坐标为（5，﹣6），此结论正确；②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（﹣12，﹣6）时，表示左安门的点的坐标为（10，﹣12），此结论正确；③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广安门的点的坐标为（﹣5，﹣2）时，表示左安门的点的坐标为（11，﹣11），此结论正确；④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（﹣16.5，﹣7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，﹣16.5），此结论正确．故选：C．【点评】本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是确定原点位置及各点的横纵坐标．二、填空题（本题共16分，每小题2分）（2018北京）9．（2分）（2018北京）如图所示的网格是正方形网格，∠BAC＞∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）【分析】作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN=，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．【解答】解：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，S△ANH=2×2﹣﹣×1×1=AH•NP，=PN，PN=，Rt△ANP中，sin∠NAP====0.6，Rt△ABC中，sin∠BAC===＞0.6，∵正弦值随着角度的增大而增大，∴∠BAC＞∠DAE，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．10．（2分）（2018北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥0．【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x≥0．故答案为：x≥0．【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．（2分）（2018北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=1，b=2，c=﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．（2分）（2018北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB ﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．13．（2分）（2018北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC 于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14．（2分）（2018北京）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500C 45 265 167 23 500早高峰期间，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．【分析】分别计算出用时不超过45分钟的可能性大小即可得．【解答】解：∵A线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.752，B线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.444，C线路公交车用时不超过45分钟的可能性为=0.954，∴C线路上公交车用时不超过45分钟的可能性最大，故答案为：C．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握频数估计概率思想的运用．15．（2分）（2018北京）某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90 100 130 150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为390元．【分析】分四类情况，分别计算即可得出结论．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用为150×2+90=390元，而810＞490＞390，∴租3艘六人船或2艘八人船1艘两人船费用最低是390元，故答案为：390．【点评】此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．16．（2分）（2018北京）2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第3．【分析】两个排名表相互结合即可得到答案．【解答】解：根据中国创新综合排名全球第22，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11，再根据中国创新产出排名为第11在另一排名中找到创新效率排名为第3故答案为：3【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，解答时注意根据具体题意确定点的位置和坐标．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）（2018北京）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2018北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；（2）利用三角形中位线定理证明即可；【解答】（1）解：直线PQ如图所示；（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，∴PQ∥l（三角形中位线定理）．故答案：AP，CQ，三角形中位线定理；【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5分）（2018北京）计算4sin45°+（π﹣2）0﹣+|﹣1|【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=4×+1﹣3+1=﹣+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．（5分）（2018北京）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．20．（5分）（2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21．（5分）（2018北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=，BD=2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA==2，∴OE=OA=2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键．22．（5分）（2018北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．【分析】（1）先判断出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP=∠COP，即可得出结论；（2）先求出∠COD=60°，得出△OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，OD，∴OC=OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP=∠OCP=90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；（2）如图，连接OD，OC，∴OA=OD=OC=OB=2，∴∠ADO=∠DAO=50°，∠BCO=∠CBO=70°，∴∠AOD=80°，∠BOC=40°，∴∠COD=60°，∵OD=OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP=∠COP=30°，在Rt△ODP中，OP==．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．23．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．【分析】（1）把A（4，1）代入y=中可得k的值；（2）直线OA的解析式为：y=x，可知直线l与OA平行，①将b=﹣1时代入可得：直线解析式为y=x﹣1，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图计算边界时点b的值，可得b的取值．【解答】解：（1）把A（4，1）代入y=得k=4×1=4；（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y= x﹣1，解方程=x﹣1得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），而C（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=+b过（1，﹣1）时，b=﹣，且经过（5，0），∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．如图3，直线l在OA的上方时，∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，当直线l：y=+b过（1，2）时，b=，当直线l：y=+b过（1，3）时，b=，∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．【点评】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．24．（6分）（2018北京）如图，Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.62 4.67 3.76 3 2.65 3.18 4.37y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为3或4.91或5.77 cm．【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可；【解答】解：（1）当x=3时，PA=PB=PC=3，∴y1=3，故答案为3．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当x=y，即当PA=PC或PA=AC时，x=3或4.91，当y1=y2时，即PC=AC时，x=5.77，综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．故答案为3或4.91或5.77．【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25．（6分）（2018北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A 75.8 m 84.5B 72.2 70 83根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为=78.75，即m=78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为300×=180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．（6分）（2018北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，。
2018年中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》含答案.doc
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;(2)如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.(3)如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图1 图3例3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).( 1 )求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△ CFG的高，也可以是△ CFG的中线.思路点拨CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况.2. 高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3. 根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来.满分解答(1)由/ ACB = 90°, DE丄AC,得DE//BC .所以些=AD =1 •所以_L =!•解得EC= 6.EC DB 3 EC 3(2)^ CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当/ 1 = / 2时，由于/ 2与/ 3互余，所以/ 2与/ 3也互余.因此/ CPF = 90°.所以CP是厶CFG的高.②如图3，当/ 1 = / 3时，PF = PC.又因为/ 1与/ 4互余，/ 3与/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC= PG .所以PF = PC = PG .所以CP是厶CFG的中线.综合①、②，当CD是/ ACB的平分线时，CP既是△ CFG的高，也是中线(如图4).图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5,在厶ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E, DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形.如图6,当CD平分/ ACB时，四边形CEDF是菱形.如图7,当/ACB=90°，四边形CEDF是矩形.如图8,当/ ACB= 90° , CD平分/ ACB时，四边形CEDF是正方形.图6图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.（3）如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM + PN等于正六边形的3条边长.△ AOM ◎△ BOP , △ COP^A DON ,所以OM = OP = ON.还可以体验到，△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形.思路点拨1. 第（1）题的思路是，把PM + PN转化到同一条直线上.2•第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P •于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形.3.第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形.如果你直觉△ MOG与厶NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明/ MON = 120 ° .满分解答(1)①/ MPN = 60°②如图4，延长FA、ED交直线BC与M'、N ；那么△ ABM'、△ MPM '、△ DCN'、△ EPN都是等边三角形.所以PM + PN= M N = M B + BC+ CN = 3a.(2)如图5，联结OP .由(1)知，AM = BP, DN = CP.由AM = BP,/ OAM = Z OBP = 60°, OA = OB, 得厶AOM ◎△ BOP .所以OM = OP .同理△ COP也厶DON，得ON = OP .所以OM = ON .（3）四边形OMGN是菱形.说理如下：由（2）知，/ AOM =Z BOP,/ DON =Z COP （如图5）.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图4 图5图1 图3图6所以/ AOM + / DON = / BOP+Z COP= 60° .所以/ MON = 120° . 如图6,当OG 平分Z MON 时，Z MOG =/ NOG = 60° .又因为Z AOF = Z FOE = Z EOD = 60°,于是可得Z AOM = Z FOG = Z EON . 于是可得厶AOM ◎△ FOG ◎△ EON .所以OM = OG = ON.所以△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形.所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形.考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△ MOG与厶NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小.OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为-^a2.2OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为3a ,菱形的最小面积为色』a2.2 8例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).(1)求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.动感体验请打开几何画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.请打开超级画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.思路点拨1•数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD = AB.2. 通过计算/ PAE与/ DPO的正切值，得到/ PAE = Z DPO =Z PDA ,从而证明厶PADPEA.满分解答(1)将点c =1,P(0, 1)、Q(2, —3)分别代入y=—x2+ bx+ c,得解得b=0,以2b 1 二-3. C=1.所以该二次函数的解析式为y= —x2+ 1.(2)①如图1,设点A的坐标为(x, —x2+ 1),当四边形ABCD恰为正方形时，AD = AB.此时y A= 2x A.解方程—x2+ 1 = 2x,得x - -1 _ 2 .所以点A的横坐标为••.2-1.因此正方形ABCD的面积等于[2( 2 -1)]2 =12 _8 2 .②设OP 与AB 交于点F，那么PF =OP -OF =1 - 2( & -1) =3-= ( "2 - 1)2.所以tan N PAE = 〔)=近_1 .AF 血―1又因为tan • PDA 二tan • DPO = = 2 -1 ,OP所以/ PAE=Z PDA.考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△ PAD s\ PEA•证明如下：如图2,设点A 的坐标为(x, —x2+ 1)，那么PF = OP —OF = 1 —( —x2+ 1) = x2.2所以tan ZPA^PF =- x .AF x又因为tan . PDA =tan. DPO =x , OP所以/ PAE=Z PDA .因此△ PADPEA .。
2018年北京市中考数学试题含答案(Word版)(可编辑修改word版)
⎩⎩ ⎩1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。
满分 100 分。
考试时间 120 分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
考生须知2018 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷姓名准考证号考场号座位号一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 下列几何体中，是圆柱的为2. 实数 a , b , c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ） a ＜4（B ） c - b ＜0 （C ） ac ＜0 （D ） a + c ＜0⎧ 3. 方程式⎨x - y = 3 的解为⎩3x - 8 y = 14 ⎧x = -1 ⎧ x = 1⎧x = -2⎧ x = 2 （A ） ⎨y = 2 （B ） ⎨y = -2（C ） ⎨⎩ y = 1（D ） ⎨y = -14. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST 的反射面总面积相当于 35 个标准足球场的总面积。
已知每个标准足球场的面积为 7140m 2，则 FAST 的反射面总面积约为 （A ） 7.14 ⨯103 m 2（B ） 7.14 ⨯104 m 2 （C ） 2.5⨯105 m 2 （D ） 2.5⨯106 m 25. 若正多边形的一个外角是60o ，则该正多边形的内角和为（A ） 360o （B ） 540o⎛ a 2 + b 2 （C ） 720o⎫ a（D ） 900o6. 如果 a - b = 2 ，那么代数式⎝ 2a - b ⎪ ⋅ 的值为 ⎭ a - b33（A）（B）2 （C）3 （D）47.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y =ax2+bx =c(a ≠ 0)。
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北京市丰台区普通中学2018届初三数学中考复习简单的几何证明与计算专项复习练习1. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．解析：(1)先证△DEB≌△DFC得∠B＝∠C，由此即可证明；(2)先证AD⊥BC，再在Rt△ADC中，利用30°角性质设CD＝a，AC＝2a，根据勾股定理列出方程即可求解．解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC ＝90°，又∵BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC (2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝23，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝AD2＋CD2，∴4a2＝a2＋(23)2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝42. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．解析：(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可求解．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE ＝90°，∴∠B ＝∠AFE，∴△ABM ∽△EFA(2)∵∠B＝90°，AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝12，∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5，∵△ABM ∽△EFA ，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE，∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.93. 如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF⊥AC，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若AB ＝3，∠DCF ＝30°，求四边形AECF 的面积．(结果保留根号)解析：(1)过AC 的中点O 作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，由AAS 可证△AOF≌△COE，可得AF ＝CE ，由此即可证明；(2)由四边形ABCD 是矩形，易求得CD 的长，利用三角函数求得CF 的长，即可求解． 解：(1)∵O 是AC 的中点，且EF⊥AC，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO，可证△AOF≌△COE(AAS )，∴AF ＝CE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD CF，∠DCF＝30°，∴CF＝CDcos30°＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2，∴四边形AECF是的面积为EC·AB＝2 34．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB 边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.解：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，可证△ACE≌△BCD(SAS)(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B ＝∠CAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD＝1，∴BF ＝AC ＝36．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴CA ＝2BC 2＝2BC.∵CF＝CA ，CE 是∠ACF 的角平分线，∴E 是AF 的中点．∵E，O 分别是AF ，AC 的中点，∴EO ∥BC ，且EO ＝12CF ，∴CA ＝CF ＝2EO ＝22，∴BC ＝2，∴正方形ABCD 的边长为2 (2)EM ＝12CN.证明：∵CE 平分∠ACB，∴∠OCM ＝∠BCN，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∠ABC ＝90°，∴∠COM ＝∠CBN＝90°，∴△OCM ∽△BCN ，∴CM CN ＝OC BC ＝22.∵EO∥BC，∴△OEM ∽△BCM ，∴EM CM ＝OE BC ＝22，CM CN ·EM CM ＝22×22＝12，∴EM CN ＝12，即EM ＝12CN7．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：AG ＝CG ；(2)求证：AG 2＝GE·GF.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF8．如图，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE ＝∠DCE，∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，可证△AEF≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ，∴D 是BC 的中点(2)若AB ＝AC ，则四边形AFBD 是矩形．证明：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴平行四边形AFBD 是矩形9．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC ，∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM (2)∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°，由(1)可知BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝ 210．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，AF ，DF ，EF ，延长DB 交EF 于点N.(1)求证：AD ＝AF ；(2)求证：BD ＝EF ；(3)试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由．解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD ＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，AD ⊥AE.(1)求证：AC 2＝CD·BC；(2)过E 作EG⊥AB，并延长EG 至点K ，使EK ＝EB.①若点H 是点D 关于AC 的对称点，点F 为AC 的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC 是菱形．解：(1)∵AC 平分∠BCD，∴∠DCA ＝∠ACB.又∵AC⊥AB，AD ⊥AE ，∴∠DAC ＋∠CAE ＝90°，∠CAE ＋∠EAB＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB.又∵E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠ABC，∴∠DAC ＝∠ABC，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC BC ＝CD AC，∴AC 2＝CD·BC (2)①连接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90°，点H ，D 关于AC 对称，∴AH ⊥BC.∵EG ⊥AB ，AE ＝BE ，∴点G 是AB 的中点，∴HG ＝AG ，∴∠GAH ＝∠GHA.∵点F 为AC 的中点，∴AF ＝FH ，∴∠HAF ＝∠FHA，∴∠FHG ＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG ＝∠CAB＝90°，∴FH ⊥GH②∵EK ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴EK ∥AC ，又∵∠B＝30°，∴AC ＝12BC ＝EB ＝EC.又EK ＝EB ，∴EK ＝AC ，∴四边形AKEC 是平行四边形，又∵AC＝EC ，∴四边形AKEC 是菱形12. △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__垂直__；②BC，CD ，CF 之间的数量关系为__BC ＝CD ＋CF__；(2)数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．解析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF ＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A 作AH⊥BC 于点H ，过E 作EM⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，先求出AH ，DH ，证△ADH≌△DEM(AAS )得到EM ＝DH ，DM ＝AH ，由等量代换得到CN ＝EM ，EN ＝CM ，根据等腰直角三角形的性质得到CG ＝BC ＝4，根据勾股定理即可得到结论． 解：(2)CF⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，CD ＝CF ＋BC.证明：∵正方形ADEF ，∴AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC(SAS )，∴∠ABD ＝∠ACF，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC＝45°.∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC.∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC(3)过A 作AH⊥BC 于点H ，过E 作EM⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3，由(2)证得BC⊥CF，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM，可证△ADH≌△DEM(AAS )，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10。