变分法1章

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弹性力学的变分原理

V ijij dv
V
定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能密度)为
有：
与前式得
比较
由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有
比较:
此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。
在状态的应变能密度为
积分代表增量不断累积的过程
容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。
3、容许应力
比较
与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。
拉伸试样发热、与周围环境热交换
声子振动、声波传播
在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。
弹簧
准静态加载
分析：从A状态到B状态外荷载做功的增量：弹性体应变能增量:
虚应力原理几何方程＋位移边界条件
由 ij, j 0, 可知
0 ij, juidv
V
分部积分
ij n juids ijui, jdv
S
V
拆分边界
ij n juids ij n juids ijui, jdv
S
Su
V
tiuids ij
Su
V
1 2
ui, j
u j,i
• 变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。

第3章_基于虚位移原理的变分法(1)

12EI
l3 6EI
k e
l2
12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3
6EI l2 12EI
l3
6EI l2
6EI
l2 2EI
l
6EI l2 4EI
l
这与第二章直接刚度法通过材料力学叠加原理得到的单元刚度矩阵完全相同。
4、两点说明
l N1N 2dx l( N 2)2 dx l N 3N 2dx l N4N 2dx
l N1N 3dx l N 2N 3dx l( N 3)2 dx l N4N 3dx
l
N
1N
4dx
l
N
2N
4dx
l l
N 3N4dx ( N4)2 dx
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N1
6 l2
x
6 l3
x2
x
3
j
写成矩阵形式 v( x) [N1N2N3N 4][ fii f j j]T
式中
N1
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
3 l2
x2
2 l3
x3
N2
x
2 l
x2
1 l2
x3
N4
1 l
x2
1 l2
x3
上述位移函数可进一步缩写成 v( x) N e
式中N [ N1 N 2；N 3 N 4] e [ fii f j j]T
在挠曲线各点上产生相应的虚位移 δ和v(虚x)转角 δ（ (即x)虚
功原理中的虚变形）。根据虚功原理得到以下方程式。

西工大最优控制课程第1章变分法-2-欧拉方程

3 泛函求极值的一般步骤
问题：由 min J ( y) x1 F (x, y(x), y'(x))dx 求 yˆ, J ( yˆ)
y
x0
（1）由EULER方程
d
Fy
dx
(
F y
'
)
0
解出y的通解。
（2）由横截条件求出
F y
'
0
的表达式。
（3）将边值条件代入y的通解与
F y
'
0
求出积分常数，得到 yˆ
当一个端点固定时（假定x0固定）
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
Fy'y x0
y(x0 ) 0
Fy'y x1 0Fy' x1 0
y(x0 ) y0
横截条件
F y x1 y' x0
0
当两个端点均可变时
y
y1(x)
y*(x)
δy1
δy0
y2(x)
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
x1 0(横截条件)
x0
写成向量形式
t f
t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
标量函数F对y的一阶偏导
梯度向量，列向量
向量形式
tf t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
n维列向量
泛函极值存在的必要条件：
Fy
d dx
Fy
0
函数极值存在的必要条件

变分法解一维谐振子

变分法解一维谐振子你知道一维谐振子吧？就是那种像弹簧一样来回摆动的物体，大家在物理课上应该都见过。

不管是教科书上的公式，还是老师讲解的那段“弯曲的轨迹”，其实都在说它的运动。

你可能会问，什么是“变分法”呢？简单来说，就是一种通过找到最优解来解决问题的方法。

好像你找不到好吃的餐厅，最后你就用大数据“帮你一把”，告诉你哪个餐厅最好。

嗯，这就是变分法的精髓。

咱们要解的是一维谐振子的问题，也就是说有个小东西沿着一条线往复摆动，像弹簧一样。

弹簧两端固定着，中间的小东西会在固定的范围内来回运动。

为了搞清楚它是怎么动的，我们就得用变分法。

什么是变分法呢？其实就是一种通过不断调整，找到最优路径的办法。

就像是你走路时，总是寻找最短最平稳的路线，而不是绕弯走远路，这就是在“变分”。

所以你可以把这看作一种“优化”的技巧。

咱们用它来求解这个小东西的运动轨迹。

好了，咱们进入正题。

假设有一个小球绑在弹簧上，弹簧的两头固定着，球能在中间来回摆动。

这个小球摆动的轨迹会受到很多因素的影响，比如弹簧的刚度、重力、甚至空气阻力，但为了简单起见，我们忽略了这些外部因素，假设弹簧的力学特性是均匀的。

根据物理学中的胡克定律，弹簧的恢复力跟小球的偏离程度成正比。

小球在弹簧上的摆动，就是一个典型的谐振子问题。

我们知道，任何物体的运动都可以用拉格朗日方程来描述。

拉格朗日方程有个特点，它考虑的是物体的“动能”和“势能”的差值。

我们就拿这个小球来说，运动中的“动能”就是小球的运动速度，而“势能”就是弹簧的弹性势能。

把这两个能量的关系搞清楚，就能给出这个小球在弹簧上运动的规律。

用拉格朗日方程描述就是：。

L = T V其中，(T) 是动能，(V) 是势能，(L) 是拉格朗日量，代表了动能和势能之间的差值。

那动能怎么写呢？动能跟物体的速度有关，记得高中的公式：。

T = frac{1{2 m v^2其中 (m) 是小球的质量，(v) 是小球的速度。

势能呢？由于是弹簧，所以我们可以用弹簧的势能公式：。

第1章变分法

接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.

变分学

变分学殷德京目录第1章变分及其特性第2章提高课程第3章固定边界的变分方法§3.1 变分法的基本预备定理§3.2 最简单的泛函，欧拉方程§3.3第7章变分问题的直接解法及反问题§7.1 直接解法概述§7.10 变分问题的反问题附录1：泛函分析简介附录2：数学课程《变分学》与物理课程《分析力学》的关系编辑版word主体篇编辑版word编辑版word第1章变分及其特性就数学学科而言，变分学隶属于泛函分析，但其创立却先于泛函分析。

泛函分析起源于对变分法的研究和积分方程的研究，同时得益于非欧几何对空间概念的推广。

见附录1。

变分问题就是研究泛函的极值问题，而泛函概念是函数概念的一种推广。

关于函数概念的一系列主要的推广可具体表述如下：假设有两个任给的集合X 和Y ,还有一个法则f ,如果对于X 中的每个元素x ,根据法则可以唯一地确定Y 中的元素y 与之对应,那么我们就说,在集合X 上定义了一个映射)(x f y =,它的值域包含在Y 内。

特别地,如果映射的值域是实数域或复数域,那么这个映射就叫做泛函。

如果是从线性空间到线性空间的对应关系,那么f 就叫做算子。

变分法中研究的泛函是一种特殊的泛函，其映射的定义域集合（又称原象集合）是函数的集合，值域集合（又称象集合）是实数域。

为了便于理解，在讲述泛函方面理论的同时，我们将伴述可与之对比的函数方面的理论。

【注】：上面已说过变分法中研究的泛函只是一般泛函中的一种特别的泛函，即从函数集到实数集的映射。

所以上述泛函定义比一般的泛函概念来得狭隘。

显然，对{})(x y 中取定的一个函数)(x y ，对应的泛函值)]([x y J 依赖于整个函数，而不是依赖于某个x 对应的一个函数值)(x y ，这是泛函与复合函数的明显区别。

由于这里的泛函是函数的函数，因此常称起自变量作用的函数为泛函的宗量。

为了强调泛函的宗量（自变量）是函数整体，有时将泛函表示为)]([⋅y J 。

变分原理与变分法.pdf

y
|x a ， y
|x b 并使泛函：
b
V F ( x, y, y ) dx 取极值。 a
计算 V 方法 1：
先用变分观点解释 G.H 曲线的增量 y
β
H
D
BC
α
A
G
x
a
b
x
dx
设想已取得了一条曲线 GACH 方程为： y= y (x) 在 GACH 附近另取一条曲线 GBDH ，令该曲线无限接近 GACH ，其方程为：
记： y1( x) y0 (x)
y( x) 0
1 ( y0及 y 固定 )
b
V ( ) a F (x, y0
y, y0
当 V 在 y0 上取极值，则相应于
极值条件：
y )dx 0 的泛函值
V ( ) 现在成为普通的函数
V ( ) | 0 0 （先不管该条件，现仅研究其导数计算）
dV ( )
V
d
d
b
[
② 试举另一泛函例子。
( x x0 ) f ( x) dx
f ( x0)
物理问题中的泛函举例
E、 J
q(x)
consts
x
① 弹性地基梁的系统势能
x = 0, 固支； x = l, 自由
i. 梁的弯曲应变能： ii. 弹性地基贮存的能量： iii. 外力位能：
b
1 2
l 0
EJ
(
d 2w dx 2
第一章变分原理与变分法
1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：
昼 / 夜，日 / 月，阴 / 阳，静止 / 运动等矛盾 / 统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 / 相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。变分原理是自然界静止 ( 相对稳定状态 ) 事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples:

动态均衡

第一章变分法第一节问题的性质（动态优化简介）一、静态优化问题如果一个企业要确定一个最优产出水平x *以最大利润F （x ）：0max ()x F x ≥ （1）这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。

通常有一阶条件()0F x *'=。

并不是有多期的时间就．．．．．．．．．．是动态问题．．．．．。

考虑企业的多期（multiperiod ）问题： 1max (,)Tt t F t x =∑(0,1)t x t T =描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。

显而易见，利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以要使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的t x ）。

但由于t 期利润只与t 期的产出有关，所以要在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在每一期最大化利润即可（这一问题似乎是一种没有资本的很简单的生产活动）。

即这一个问题的解是一个有T 个数的集合，,T x x **。

所以由于作到一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。

可有类似的T 个一阶条件。

各期的一阶条件之间没有联系。

二、动态问题具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未．．．．．来．的利润。

11max (,,)Tt t t F t x x -=∑ 00(0)0,1t x x x st x t T =⎧⎨≥=⎩给定或（3）这个问题中，每一期的利润不但取决于当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，t 期选择的产量t x 不但影响t 期的利润，还会影响到以后的利润。

注意，上述问题中已指定了0x ，因为0x 影响到了以后的利润（即总利润）。

问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T 个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要“一次性”确定一条最优路径．．．．．．．．．．．．．。

力学中的数学方法-张量-1

力学中的数学方法¾力学中的张量¾复变函数技术¾积分变换方法¾变分法第一章力学中的张量i= 1在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij σσσσσσσσσσ在力学中还有一些更复杂的量。

例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。

当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。

3. 张量所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。

张量是矢量概念的推广。

它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。

采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。

5. 应力状态每个应力分量须用两个方向描述，第一个方向为应力作用面的方向，第二个方向为应力作用方向112233i i显然，指标i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。

双重求和∑∑===31i 31j j i ij x x a S 简写成ji ij x x a S =展开式（9项）313321321131322322221221311321121111x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a S ++++++++=三重求和（27项）333ijk i j i 1j 1k 1k S a x x x ====∑∑∑ijk i j ka x x x =注意：i,j,……英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3，在该约定下，表达式后的说明(i,j=1，2，3)在以后的写法中将被略去i∂7.求和时注意的问题31i i i i i ii a b c a b c =∑是违约的，求和时要求保留求和号或特别标出Ψ=αi i不参与求和，只在数值上等于8. 自由指标jij i x a x =′例如指标i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。

变分形式1,2

§1. 二次函数的极值在n维欧氏空间Rn中引入向量和矩阵记号:
x = (ξ1, ξ 2, L, ξ n ) , b = b1, b2, L, bn
T
(
)
T
⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ M ⎜ ⎝ an1
令 y = η1, η 2, L, ηn
a12 L a1n ⎞ ⎟ a22 L a2 n ⎟ M O M ⎟ ⎟ an 2 L ann ⎠
从本章开始, 将逐步涉及用有限元方法求解微分方程的边值问题，这种方法属于变分法的范畴, 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物。这种结合使得有限元方法不仅保持了变分法的优点, 而且可以通过一种标准的过程在电子计算机上实现, 从而弥补了古典变分方法的不足。 “有限元方法” (Finite Element Method) 这一术语首次出现于R. W. Clough 1960年9月发表的一篇讨论平面弹性力学问题的力学论文中。然而, 这种方法的思想却早已有之。故“谁首先”、“在何时” 提出有限元方法的问题在数学家、物理学家和工程师之间就有三种不同的答案。
⎡( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) − 2 ( b, x ) ⎤ + ( Ax, x ) ⎦ 2 2⎣
λ2
2
⎡( Ax0 , x ) + ( Ax, x0 ) − 2 ( b, x ) ⎤ + ( Ax, x ) ⎦ 2⎣ 2 2
λ
由于A=AT, 则 ( Ax0 , x ) = ( x0 , AT x ) = ( x0 , Ax ) = ( Ax, x0 ) , 故
完全的线性赋范的内积空间hilbert空间是banach空间的特例它具有较banach空间更丰富的性质现在回过来看二次泛ju假定显然应要求所谓完全是指cauchy收敛定理于l为基本序列则必有并记为lim然而仅限于此还是不够的因为为此我们引进广义导数广义微商概念

泛函分析：变分法

2020/6/9
北京师范大学网络教育-云南学习中心
5
第二章变分法及其在最优控制中的应用
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链
线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t) R n , J R 函数 x(t) t x
泛函 J x(t) x(t) J ; x(t)又称为泛函的宗量
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而
4
第二章变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。
2
第二章变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果:
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。

变分法

18
方法II 使用第二种试探波函数
( x ) Ae

x2
1. 对第二种试探波函数确定归一化系数：
1 ( x )* ( x )dx | A |
| A|
2
2
2

e
2
x2
dx | A |
2
2
2.求能量平均值

H( ) | A | | A |
2
ˆ * H dx

e e
x2
ˆ x 2 dx He [
2 d2 2 dx 2
2
x2

1 2
x ]e
2 2
x2
dx
2 1 2 1 2 8
19
3.变分求极值
dH ( ) 2 1 2 2 0 d 2 8
0 j j
I c* y* k k
k
ˆ G G c y d
j

ˆ = c* y* c j G G0 y j d k k
= c* c j G j G0 k
k j

j
y y d
* k j
= c* c j G j G0 kj k

1 2
1
2

代入上式得基态能量近似值为：
2 1 1 1 2 2 H 2 2 8 2
这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将代入试探波函数，得：
( x ) Ae
x
2
1 2

9

变分原理-第1章

§1-2 变分及其特性函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义定义如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元），然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所

数学中的变分方法与分析力学

● 02
第2章欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程的导出
欧拉-拉格朗日方程是变分法的重要应用之一。通过极值原理和变分法推导，可以得到系统的运动方程。欧拉-拉格朗日方程可以描述多自由度系统的运动规律。
欧拉-拉格朗日方程的应用
经典力学
广泛应用于描述各种机械系统的
运动规律
量子力学
01 数学方法研究力学问题
变分法和分析力学
02 拉格朗日方程推导
分析力学中的应用
03 深入理解系统性质
运动规律探究
总结
通过变分方法和分析力学的介绍，可以进一步了解数学中这两个重要领域的关系和应用。变分法的历史源远流长，而分析力学则是经典力学的重要组成部分。它们共同帮助我们理解物体的运动规律和系统的性质，对于解决复杂的物理问题具有重要意义。
在路径积分和量子力学中有重要
应用
简化系统描述
减少计算量，便于分析系统的性
质
连续介质力学
用于描述流体力学和固体力学系
统的运动方程
欧拉-拉格朗日方程的推广
01 广义坐标的引入
简化系统描述，减少自由度
02 约束条件
限制系统运动，提供额外信息
03 数学工具
ห้องสมุดไป่ตู้为研究复杂系统提供理论支持
欧拉-拉格朗日方程实例分析
解决矩阵优化和最优控
制问题
实践应用
矩阵变分法的推广
01 推广到广义函数空间和算子空间
泛函分析
02 处理复杂系统的分析问题
约束条件
03 数学工具
机器学习
矩阵变分法实例分析
主成分分析
数据处理模式识别
正则化

变分基本知识及变分法

第一章变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。

Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分：函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。

Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。

弹性力学总结与复习全文

4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2）由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3）将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想；（2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）

泛函分析(变分法)

约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化.
欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
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泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将21/4/11
中心
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第二章变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1 函数的定积分
1.连续时间系统：
1
J 0 x(t)dt
是泛函吗？
q
2. 离散系统 J x2 (i) 2u2 (i) i 1
2
第二章变分法及其在最优控制中的应用
2.1 变分法简介
作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果:
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。
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第二章变分法及其在最优控制中的应用
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链
线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出

数学建模必备讲义-变分法模型

也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
ΔJ = J ( x0 (t ) + δx (t )) − J ( x 0 (t ))
如果 ΔJ 可以表为
-336-
ΔJ = L( x0 (t ), δx (t )) + r ( x0 (t ), δx (t )) 其中 L 为 δx 的线性项，而 r 是 δx 的高阶项，则 L 称为泛函在 x0 (t ) 的变分，记作 δJ ( x0 (t )) 。用变动的 x(t ) 代替 x0 (t ) ，就有 δJ ( x (t )) 。
再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有
d Fx & ]δxdt = 0 t0 dt 因为 δx 的任意性，及 δx (t 0 ) = δx (t f ) = 0 ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程
δJ = ∫ [ Fx −
Fx −
它是这类最简泛函取极值的必要条件。（9）式又可记作
d Fx & =0 dt
对应在 S 上的泛函，记作 J ( x (t )) 。 S 称为 J 的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。绕x轴例如对于 xy 平面上过定点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) 的每一条光滑曲线 y ( x ) ，旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 y ( x ) 的泛函 J ( y ( x )) 。由微积分知识不难写出
J ( y ( x)) = 2π ∫ y ( x) 1 + y ' 2 ( x) dx
x1
x2
S = { y | y ∈ C [ x1 , x2 ], y ( x1 ) = y1 , y ( x2 ) = y 2 }
1
解