信号与系统例题
信号与系统第二章习题
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
重庆大学《841信号与系统》例题
1-1 已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400 bit/s 。
(1) 求此信号的码速率和码元宽度；(2) 将此信号变为四进制信号，求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。
解 (1) R B =R b /log 2M =(2400/log 22)Bd=2400 BdT =BR 1=24001 s=0.42 ms(2) R B =(2400/log 24)Bd=1200 Bd T=BR 1=12001 s=0.83 ms R b =2400 b/s 1-2 进制离散信源输出四个独立符号A 、B 、C 、D 。
(1) A 、B 、C 、D 出现的概率分别为41、81、81、21，求A 、B 、C 、D 每个符号所携带的信息量和信源熵； (2) A 、B 、C 、D 等概，求信源熵。
解 (1) 根据式(1.4-3)，有 =)(A I (-log 241)bit=2 bit ==)()(C I B I (-log 281)bit=3 bit =)(D I (-log 221)bit=1 bit 根据式（1.4-9），有H (X )=（41×2+818×3+81×3+21×1）bit/符号=143bit/符号 (2) 根据式(1.4-9)，有H (X )=(log 24)bit/符号=2 bit/符号1-3、 一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D 。
每个脉冲宽度为5ms（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。
（2） 若每个字母出现的概率为P A =1/5, P B =1/4, P C =1/4, P D =3/10,试计算传输的平均信息速率。
解：首先计算平均信息量。
(1) H=-ΣP(x i )log 2 P(x i ) =441log )41(2⨯-⨯=2bit/字母平均信息速率=s /200bit /5m s 2/2=⨯字母字母bit(2) H= -ΣP(x i )log 2 P(x i ) =1.985 bit/字母平均信息速率=s /bit .198/5ms 2/985.1=⨯字母字母bit 3-1 计算机终端通过电话信道传输计算机数据，电话信道带宽为3.4 kHz ，信道输出的信噪比S/N=20 dB 。
信号与系统试卷总
信号与系统题目汇总 选择题：1.试确定信号()3cos(6)4x t t π=+的周期为 B 。
A. 2πB.3π C. π D. 3π2. 试确定信号5()2cos()cos()466x k k k πππ=++的周期为 A 。
A. 48B. 12C. 8D. 363.下列表达式中正确的是 B 。
A. (2)()t t δδ= B. 1(2)()2t t δδ= C. (2)2()t t δδ= D. 12()(2)2t t δδ= 4.积分55(1)(24)t t dt δ---+=⎰C 。
A. -1B. 1C. 0.5D. -0.55.下列等式不成立的是 D 。
A. 102012()()()()f t t f t t f t f t -*+=* B. ()()()f t t f t δ*= C. ()()()f t t f t δ''*= D.[][][]1212()()()()d d df t f t f t f t dt dt dt*=* 6. (3)(2)x k k δ+*-的正确结果是 B 。
A. (5)(2)x k δ-B. (1)x k +C. (1)(2)x k δ-D. (5)x k +7.序列和()k k δ∞=-∞∑等于 D 。
A. (1)x k +B. ∞C. ()k εD. 18. 已知某系统的系统函数H(s)，唯一决定该系统单位冲激响应h(t)函数形式的是（ A ） A. H(s)的极点B. H(s)的零点C.系统的输入信号D.系统的输入信号与H(s)的极点9. 已知f(t)的傅立叶变换F(jw)，则信号f(2t-5)的傅立叶变换是（ D ）A.51()22j j F e ωω-B.5()2j j F e ωω- C. 52()2j j F e ωω- D.521()22j j F e ωω- 10.已知信号f1(t)如下图所示，其表达式是（ D ）A. ε(t)+2ε(t -2)-ε(t -3)B. ε(t -1)+ε(t -2)-2ε(t -3)C. ε(t)+ε(t -2)-ε(t -3)D. ε(t -1)+ε(t -2)-ε(t -3)11. 若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ C ） A.()()f t h tB.()()f t t δC.()()f h t d τττ∞-∞-⎰D.()()tf h t d τττ-⎰12.某二阶系统的频率响应为22()32j j j ωωω+++，则该系统的微分方程形式为 B 。
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
信号与系统课件第3章例题
X
2 22
R22
j
(M )2
R222
X
2 22
X 22
R22 X22 则 Zf1 0
Is C1 G1 L1
22
解 (3)如果ωL2=1/(ωC2),反射到初级的阻抗等于什么?
由
L2
1
C2
X 22 0
(M )2
(M )2
从
Zf1
Rf 1
jX f 1
R222
X
2 22
R22
j
R222
3L2 L1 L2 L1 500H
L1 375H L2 125H
24
X
2 22
X 22
(M )2
Z f 1 R22
R22
R2 QL2
R2 ( R1 Rx )QL21
QL
R2
L2
C2
G2
(M )2
Z f 1 R2 / QL2
(M )2
R2
QL2
(M )2
R2
(C2
G2
)2
(M
)2(C2 )2
G2
23
3-18 有一双电感复杂并联回路如图3-7所示。已知
所以 Cx 200 pF
+
L
R
1 1
Rx
Vs _ 1MHz 0.1V
C
Cx
12
4）求加入Zx 时Rx
QL
0L
R Rx
Vcm Vsm
2.5 25 0.1
Q0
0L
R
100
R 0L
Q0
Rx
0L
QL
R
0L
QL
信号与系统第二章例题
r (0 ) 2 r (0 ) 3 r (0 ) r (0 ) 2
代入r (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
A1 A2 3 2 得 3 A1 A2 6 3
r (t ) -4e3t 3et 3e2t
解：1）求自由响应的形式
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 0
特征方程为： 2 4 3 0 1 3, 2 1
rh (t ) Ae3t A2et 1
2）求强迫响应
利用筛选 特性
e(t ) e2t u(t ) e '(t ) 2e2t u(t ) e2t (t ) 2e2t u(t ) (t )
0 t 0
8
代入方程得
a 2 b 4a 1 c 4b 3a 0
a (t ) b 4a) (t ) (c 4b 3a)u (t ) （ 2 (t ) (t )
a 2 b 7 c 22
4 B 8B 3B 3
rp (t ) 4Be2t
B 3
rp (t ) 3e2t
3）求完全响应
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
利用冲激函数匹配法求初始条件r (0 )和r(0 )
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 2 (t ) 3u(t ) r (t ) a (t ) bu (t )
1 3t 5 t (e e )u (t ) 2
注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的始终点问题。
信号与系统-第1章例题
2 6
(6)(t 2t 3) (t 2)
3 2
4
(7)e4t (2 2t )
(8)e2t u(t ) (t 1)
[解 ]
(1) sin( t ) (t )dt sin( ) 2 / 2 4 4
1.5
1
f(2t)
1
f(2t+6)
1
t
1.5
4
t
例：判断下列关于信号波形变换的说法是否正确
(1) f (-t+1) 是将 f (-t) 左移一个时间单位而得 。 (2) f (-t+1) 是将 f (-t) 右移一个时间单位而得 。
错 对 对 错 错 对
(3) f (2t+1) 是将 f (t+1) 波形压缩0.5而得 。
[例题] 计算下列各式的值
(1) sin( t ) (t )dt 4
(2) e5t (t 1)dt
(3) e2t (t 8)dt
(4) e t (2 2t )dt
3
t (5) (t 3t ) ( 1)dt 2 3
(2)
3
0
e
2 t
k
(t 2k )dt
解：
1 2 (t 4 )sin( t )dt sin( t ) t 14 sin 4 2
3
0
e
2 t
k
2 t ( t 2 k ) dt e (t ) (t 2)dt 3 0
信号与系统 第六章典型例题
∞
e(t) = ∑δ (t − nT), k =−∞
e(t)
＋
－
延迟Ｔ (a)
n = 0,±1,±2,L,其波形如图(b)所示。
e(t )
rzs (t)
∫
L
(1)
LБайду номын сангаас
-T 0 T 2T
t
(b )
解：系统的单位冲激响应为：
h(t )
=
∫t
−∞
[δ
(τ
)
−
δ
(τ
− T )]dτ
=
u(t) − u(t
−T)
∴ rzi (t) = c1e−t + c2 e−2t
又
rz′ri (zi0()0)==−cc11
+ −
c2 2c
=1 2=
1
∴
cc21
=3 = −2
∴ rzi (t) = (3e −t − 2e−2t )u(t)
2）求冲激响应 h(t)
由特征根及 n > m ，得： h(t) = (k1e−t + k2e−2t )u(t) h′(t) = (k1 + k2 )δ (t) + (−k1e−t − 2k2e−2t )u(t) h′′(t) = (k1 + k2 )δ ′(t) + (−k1 − 2k2 )δ (t ) + (k1e −t + 4k 2e −2t )u(t) 将 e(t) = δ (t) ， r (t) = h(t ) 代入微分方程，各系数对应相等，有
∴ r4 (t ) = 2rzi(t) + 0.5rzs (t) = 6e −3tu(t ) − 0.5e−3tu(t ) + 0.5 sin 2t ⋅ u(t) = (5.5e −3t + 0.5sin 2t )u(t )
北京交通大学信号与系统第四章典型例题讲解
第四章 典型例题【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。
t周期矩形信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为⎩⎨⎧>≤=2/02/ )(~ττt t A t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。
解：根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有t t x T C t n T T n d e )(~1000j 2/2/0ω--⎰===--⎰t A T t n d e 10j 2/2/0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2(Sa 00τωτn T A =故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞-∞=∞-∞===利用欧拉公式2e e )cos(00j j 0tn t n t n ωωω-+=可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为()t n n T A T A t x n 00010cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑∞=+=结论：实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。
【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。
t周期三角波信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=2321 )1(221 2)(~t t A t At t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。
解：由于该三角波信号)(~t x 的周期T 0=2，所以ππ200==T ω。
信号与系统 第一章典型例题
（２）
１
f ( − 2t )
f ( 2t )
f ( 2t + 3)
f ( −2t + 3)
２
− 1 2
２
２
０
－１
1 3 2 2
5 2
t
－２ －１ ０ －１
１
t
－１
０ －１ห้องสมุดไป่ตู้
１
２
t
结论： 1）不同变量方式得到的最终结果相同。 2）需特别注意先尺度后时移的情况，此时的时移量与尺度有关 3）由 f (t ) → f ( at + t 0 ) 最安全方式是先根据 t 0 值将 f (t ) 时移，然后根 据 a 值对时移后的 f (t + t 0 ) 进行尺度变换和（或）反褶变换。 4） 尺度变换相对纵轴，横坐标每一点都变为原来的
2
１ t−2 ２
τ
3）当 4 ≤ t < 5 时， g ( t ) = ∫ 2(τ − 1) dτ = 1
1
０
t−4
2 t− 4
１ ２
t −2
τ
4）当 5 ≤ t < 6 时， g ( t ) = ∫ 2(τ − 1) dτ = −t 2 + 10t − 24
１
t−4
２
τ
5）当 t ≥ 6 时，
g (t) = 0
f ( 2t )
１
t
信号与系统4-22例题
信号与系统4-22例题
【例题背景介绍】
信号与系统是一门研究信号及其处理、系统及其特性之间的关系的学科。
在课程中，例题的解析对于理解概念和掌握方法至关重要。
今天，我们来解析4-22例题，这是一道关于线性时不变系统（LTI）的题目。
【例题解析】
（1）问题分析
本题要求我们分析一个线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
给定系统函数H（s），输入信号x（t），求输出信号y（t）。
（2）解决方案
根据线性时不变系统的性质，输出信号y（t）可以表示为：
y（t）= x（t）*h（t）
其中，h（t）是系统函数H（s）的逆傅里叶变换。
（3）步骤详解
步骤1：根据系统函数H（s）求其逆傅里叶变换H（-t）
步骤2：将输入信号x（t）与H（-t）相乘，得到输出信号y（t）
【类似题型总结】
本题考查了线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
解决这类问题的关键是掌握系统函数H（s）与输入输出信号之间的关系，以及如何利用逆傅里叶变换求解输出信号。
【知识点拓展】
线性时不变系统（LTI）在信号与系统课程中占有重要地位。
了解其性质和特点，可以帮助我们更好地理解信号处理和系统分析。
【练习建议】
为巩固所学知识，建议同学们多做类似题型，加强对线性时不变系统（LTI）的理解。
同时，也要注意知识点之间的联系，将信号与系统的基础知识打牢。
通过以上解析，希望能帮助大家更好地掌握线性时不变系统（LTI）的相关知识。
在学习过程中，遇到问题时，可以参考课程教材、请教老师和同学，共同进步。
信号与系统-第4章例题-s域变换及分析
| f (t ) | e t dt C
的取值范围。
例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值
s2 I ( s) s( s 2 )
解：
初值
终值 初值 终值
2 s 3 10 V ( s) 3 s (s 1) s2 i (0 ) lim sI ( s ) lim s 1 s s s ( s 2)
求导得
0
2
4
t
df (t ) 1 1 u (t ) u (t 2) u (t 2) u (t 4) dt 2 2
df (t ) 1 1 e2 s 1 e2 s e4 s 1 F1 ( s) (1 e2 s )2 dt 2 s 2 s 2s
e3t u(t ) e3t u(t )
cos 2t u(t )
2
[ ( 2) ( 2)]
[例] 由F(s)求F(j )
s ( s 4) 2
4
1 ( s 2 9) s
j ( j 4) 2
0
解：
1)收敛域-4包含j 轴
F ( j ) F ( s)
1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换
1 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 例：周期冲击序列 T (t )u (t )的拉氏变换为 1 e Ts 1 T (t )u (t ) Ts
1 e
例 解：
已知
f (t) t u (t 1), 求 F( s)
F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。
k3 k1 k2 s2 s 2 F ( s) 3 2 s s 1 s 3 s 4s 3s s( s 1)(s 3)
信号与系统
450 400 1.1
400
0.19
1
P
X
4001.1 400 0.19
1.147
1 (1.147) 0.1357;
主讲:俞能福
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安徽建筑工业学院数理系
(2)以Y 记有一名家长来参加会议的学生数, 则 Y ~ b(400, 0.8), 由德莫佛－拉普拉斯定理知, P{X 350}
定理三表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大
时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
主讲:俞能福
近似地有
n np N (0,1)
npq
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安徽建筑工业学院数理系
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
主讲:俞能福
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安徽建筑工业学院数理系
三、典型例题
100 20
100 20
1
12
0.387
1
t2
12
e 2 dt 1 (0.387) 0.348.
2π
主讲:俞能福
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安徽建筑工业学院数理系
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次 纵摇角大于 3º的概率是多少？
解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 则 X ~ B(n, p),
其中 n 10000, p 0.017, 由德莫佛－拉普拉斯定理知,
主讲:俞能福
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安徽建筑工业学院数理系
保险公司亏本的概率 P{10000X 10000 200} P{X 200}
信号与系统-第2章例题
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t ) 时，其全响应
为 r1 (t ) 2e
3t
sin(2t ) u (t ) ； 当 激 励 为 2e(t ) 时 ， 其 全 响 应 为
3t r2 (t ) e 2sin(2t ) u (t ) 。求：
例：求微分方程的完全解 d2 d t y(0) y '(0) 0 y ( t ) 6 y ( t ) 5 y ( t ) e dt 2 dt d2 d 解: 齐次方程为 y (t ) 6 y (t ) 5 y (t ) 0 2 dt dt
特征方程：
2 6 5 0
d2 d r ( t ) 7 r (t ) 10r (t ) 2 (t ) 12 (t ) 8u(t ) 2 dt dt
例： 求系统的零输入响应
d2 d y ( t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt
1 5，2 1
特征根：
该方程的齐次解为：
yh (t ) C1e5t C2et
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
y p (t ) C t et
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
零输入响应
例： 求系统的零输入响应 d2 d y (t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt 解：特征方程
信号与系统经典例题答案解析
习题三——P142
∫ ∫ 3.5(b)
a0
=
2 T
T 2
−
T 2
f ( t )dt
=A, bn
=
2 T
T
2 f ( t ) sin n Ω tdt = 0
−
T 2
∫ an
=
2 T
T 2
−
T 2
f (t)cos nΩtdt
=2
A
sin(nπ nπ
/ 2)
=
ASa( nπ ) 2
∑ f (t) = 1 A + ∞ ASa( nπ )cos(nΩt)
∫ = 2 1τdτ −2
=
2
⎡ ⎢⎣
1 2
τ
2 ⎤1 ⎥⎦ −2
=
−3
P52，例2-2
1
-2
0
1
-2
2.28(2) ( p2 + 2p + 1) y(t) = ( p + 1) f (t) y(0− ) = 1, y' (0− ) = 2, f (t ) = e−2tε (t )
解： A( p) = p2 + 2p + 1 = ( p + 1)2
F1( jω) = FT[ f '(t)]= 2−e−jω −e jω
= 2(1 − cosω ) = 4sin2(ω )
2
F(
jω )
=
F1( jω ) jω
+
πF1 (0)δ
(ω )
=
4 jω
sin 2
(ω 2
)
f(t) 1
t0= 1
y f (t) = 0
-1 0 1 t
信号与系统复习试题含答案信号与系统例题
信号与系统复习试题含答案信号与系统例题电⽓《信号与系统》复习参考练习题⼀、单项选择题：14、已知连续时间信号,)2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B .200 rad ／s C 。
100 rad ／s D.50 rad ／s15、已知信号)(t f 如下图（a ）所⽰，其反转右移的信号f 1（t ）是（ d ）16、已知信号)(1t f 如下图所⽰，其表达式是（ )A 、ε（t ）＋2ε（t －2)－ε（t －3)B 、ε（t －1）＋ε（t －2）－2ε(t－3)C 、ε（t)＋ε(t－2）－ε（t －3）D 、ε(t－1)＋ε(t－2）－ε（t －3)17、如图所⽰：f （t ）为原始信号,f 1(t ）为变换信号，则f 1（t ）的表达式是( )A 、f （－t+1)B 、f(t+1)C 、f(－2t+1）D 、f(－t/2+1)18、若系统的冲激响应为h （t ），输⼊信号为f （t ）,系统的零状态响应是（ c )19。
信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f ππ与冲激函数)2(-t δ之积为（）A 、2B 、2)2(-t δC 、3)2(-t δD 、5)2(-t δ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,651)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、⾮因果稳定系统C 、因果稳定系统D 、⾮因果不稳定系统21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所⽰，该系统微分⽅程的特征根是（ )A 、常数B 、实数C 、复数D 、实数+复数22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所⽰,则系统的输⼊应当是（）A 、阶跃信号B 、正弦信号C 、冲激信号D 、斜升信号23。
积分∞∞-dt t t f )()(δ的结果为（ ) A )0(f B )(t f C 。
信号与系统第一章习题
(2)
1 2,为时变系统
X
图解说明
xt
1
x t
经系统 1 2
O 1t
O
右移1
2t
x t 1 12 O1
第 17 页
3t
xt
xt 1
1
右移1 1
经系统
x t 1 1 2
O 1t
O 1 2t
O
2
4t
X
例1-7
第 18
页
系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下,判断系统是否
是因果系统。
X
例1-6
第 16
页
判断系统 yt x t 是否为线性时不变系统？
2
此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是 对t而言
xt
经系统, t t 2
x t 2
时移, t t0
x t t0 2
(1)
xt 时移, t t0
xt t0
经系统, t t 2
x
t 2
t0
X
例1-5
第 14
页
判断方程 yt x2t 描述的系统是否为线性系统？
在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须 同时满足可加性和齐次性。
设x1t, x2t为两个输入信号
先经系统
x1t y1t x12 t
x2 t y2 t x22 t
再线性运算
ay1t by2t ax12t bx22t
2
1
O 1 2 3t
d f 6 2t
dt
1
(1) (1)
3
O 12
t
(2)
对信号的波形进行微分变换时， 应注意在函数的跳变点处会出 现冲激信号。
信号与系统(习题课)
求系统的零输入响应yx(t)。
解：系统特征方程为 s2+4s+4=0 ,
解得特征根 s1= s2= -2
by wky
零输入响应与齐次解的形式相同： yx(t)= (K1 + K2t)e-2t 根据初始状态，有 y(0-) = yx(0-) = K1= -2 y’(0-) = y’x(0-) = -2K1 + K2 = 3
求系统的零输入响应yx(t)。
解：系统特征方程为 s2+5s+4=0 ,
解得特征根 s1=-1, s2=-4
by wky
零输入响应与齐次解的形式相同： yx(t)=K1e-t + K2e-4t 根据初始状态，有 y(0-) = yx(0-) = K1+ K2 = 1 y’(0-) = y’x(0-) = -K1 -4 K2 = 5
by wky
2-4 利用单位阶跃信号u(t)表示下列信号 (b)
3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t f(t)
u(t+1)u(1-t) u(t+2) u(2-t)
u(t+3) u(3-t)
f(t)=u(t+3)u(3-t) +u(t+2)u(2-t)+u(t+1)-u(t-1) =u(t+3)-u(t-3) +u(t+2)-u(t-2) +u(t+1)u(1-t)
by wky
【采用经典法：】
齐次解 uCh(t) = K1e－t 特解 uCp(t) = A+Be－3t 特解代入原微分方程 －3Be－3t + A+Be－3t = 1+e－3t 解得 A = 1， B =-1/2 ∴ 特解 uCp(t) = 1 －1/2e－3t 全解(完全响应)=齐次解 + 特解 uC(t) = K1e－t + (1 －1/2e－3t )
信号与系统第二章习题
方法一
1. 完全响应
该完全响应是方程
d2 rt
dt2
3
dr d
t
t
2r
t
2δ
t
6ut
且满足r0 2, r0 0的解
方程（1）的特征方程为
特征根为
α 2 3α 2 0
α1 1，α2 2
（1）
方程（1）的齐次解为
r t A1 et A2 e2t
因为方程（1）在t>0时，可写为
1
1
1 t1 eτ 1 dτ 1 1 et u t 1
注意：1 et1 ut 1 et1 ut 1
X
例2-5
对图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已知各子系 统的冲激响应如图(b)所示。 (1)求复合系统的冲激响应h(t) ，画出它的波形；
(2)用积分器、加法器和延时器构成子系统 ha t和hb t
2
5
dr d
t
t
6r
t
3
de d
t
t
2et
试 求 其 冲 激 响 应 h(t )。
冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。 在系统分析中，它起着重要的作用。下面我们用两种方 法来求解本例。
方法：奇异函数项相平衡法
奇异函数项相平衡法
首先求方程的特征根，得
α1 2,α2 3
因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次，
A1 A2 t 3A1 2A2 t 3 t 2 t
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut
例2-3
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
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即
转移算子为பைடு நூலகம்
故得单位冲激响应为
故得
=
=
=
= -
的波形如图1.1（c）所示。
3.求图1.2(a)所示信号 的傅立叶变换 。
解 引入辅助信号 ，如图1.2（b）所示，并由图可得
因有
取
则得
故
即
又因有
故
的模频和相频特性分别如图1.2（c）和1.2(d)所示。
4.如图1.3（a）所示系统中，已知 且 ，理想低通滤波器的 如图1.3（b）所示。求 。
解 。
故得L=2H，C=0.25F。
7. 如图1.6(a)所示为反馈系统，已知子系统的单位冲激响应为 。（1）为使系统稳定，实系数k应满足什么条件？（2）在边界稳定的条件下，求整个系统单位的冲激响应 。
图 1.6(a) 图 1.6（b）
解 （1）s域系统图如图1.6(b)所示。
又
解之得整个系统的系统函数为
解 令 ，对于给定差分方程取z变换得
即
=
故
9. 利用z变换性质求下列序列 的z变换 。
（1） （2）
解 （1）设 则根据移序性质， 。因 故由线性性质和z域微分性质有
或 根据线性性，z域微分性及时域移序性，有
=
（2）设 则
根据z域积分性质，有
=
10.已知 ，|z|>1,求 。
解 部分分式展开法
因
故
11．描述某线性时不变离散系统的差分方程为
。求系统响应 。
解
F（jW）的频谱如图1.3（c）所示。
X（jw）的频谱如图1.3（d）所示。
故
=
=
=
的频谱图如图1.3（e）所示，故
故得
5．如图1.4（a）所示电路，已知 。求响应
解 当t>0时的s域电路如图1.4（b）所示。于是 为变量对节点①，②可列出KCL方程为
经整理并联解得
故得全响应 （V）
6.如图1.5所示系统中，已知 。求L和C的值。
=
欲使整个系统稳定，则必须有3-k>0,故得k<3。
（2）欲使系统临界稳定，则必须使3-k=0，故得k=3。代入上式得
故得在临界稳定条件下的单位冲激响应为
8．已知差分方程 系统的初始条件 。求全响应 。
解 （1）求零输入响应
得特征根为 故
联解得 故
（2）求
故得
（3）求零状态响应
=
查卷积和表得
（4）全响应
1.一线性时不变系统在相同的初始条件下，当激励为f(t)[t<0时，f(t)=0]时，其全响应为y1(t)=2e-t+cos2t,t>0时；当激励为2f(t)时，其全响应为y2(t)=e-t+2cos2t,t>0;试求在同样的初始条件下，当激励为4f(t)时系统全响应。
解：设系统的零输入响应为 ,激励为f(t)时的零状态响应为 ,则有
y1(t) = + =2e-t+cos2t
y2(t)= + = e-t+2cos2t
联解得 =-e-t+cos2t
=3e-t
故得当输入激励为4f(t)时的全响应为
y(t)= +4 =3e-t+4[-e-t+cos2t]=-e-t+4cos2t t>0
2.如图2.1（a）所示电路，激励f(t)的波形如图2.1(b)所示。试求零状态响应 ，并画出波形。