2.7 尺规作图

2.7 尺规作图
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课标要求
掌握尺规作图的方法及一般步骤；掌握五种基本作图。

本节重点是熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教材详解
1.尺规作图
在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。

其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
2.尺规作图题的规范语言
(1)用直尺作图的几何语言：
①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；
②连结两点××；或连结××；
③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；
(2)用圆规作图的几何语言：
①在××上截取××＝××；
②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；
③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；
④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .
3.尺规作图题的一般步骤
(1)写已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；
(2)写求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；
(3)写作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.
在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图
痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留
作图痕迹很重要.
4.基本作图
(1)作一条线段等于已知线段
已知：如图2.7-1，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
①作射线AP；
②在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。

(2) 作已知线段的中点
已知：如图2.7-2，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
a
图2.7-2
作法：
①分别以M 、N 为圆心，大于21MN
为半径画弧，两弧相交于P ，Q ；
②连接PQ 交MN 于O ．
则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。

(3) 作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AOB ，
求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP
（即OP 平分∠AOB ）。

作法：
①以O 为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA ，OB 于M ，N ； ②分别以M 、Ｎ为圆心，大于2
1MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ；
③作射线OP。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

(4) 作一个角等于已知角
已知：如图2.7-4，∠AOB.
求作：∠A'o'B',使∠A'o'B'=∠AOB, 作法：
①作射线O′B′；
②以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ；
③以点O′为圆心，以OC 的长（或OD 的长）为半径画弧，交O′B′于点D′；
④以点D′为圆心，以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点C′；
⑤过点C′作射线O′A′，∠A′O′B′即为所求．
(5) 过一点作已知直线的垂线
过直线上一点作已知直线的垂线
已知：如图2.7-5，P 是直线AB 上一点。

求作：直线CD ，使CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。

作法：
①以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
②分别以M 、N 为圆心，大于MN 2
1的长为半径画弧，两弧交于点Q ； ③过D 、Q 作直线CD 。

则直线CD 是求作的直线。

过直线外一点作已知直线的垂线
已知：如图2.7-6，直线AB 及外一点P 。

图2.7-4 图2.7-5
求作：直线CD ，使CD 经过点P ，
且CD ⊥AB 。

作法：
①以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ；
②分别以M 、N 圆心，大于MN 2
1长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； ③过P 、Q 作直线CD 。

则直线CD 就是所求作的直线。

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例题精析
例1 已知线段a 、b ，作一条线段，使其等于a+2b ．
(1) (2)
图2.7-7
分析 所要作的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．
作法 (1)画线段AB=a ．
(2)在AB 的延长线上截取BC=2b ．线段AC 就是所作的线段．
说明 (1)尺规作图要保留作图痕迹，作图时作出的所有点和线不可随意擦去；(2)其它作图都可以通过基本作图来完成，写作法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．
例2 已知：如图2.7-8，线段a ，b ，c.求作：△ABC ，使AB=c ，AC=b ，BC=a. 作法：
(1)作线段AB=c ；
(2)以A 为圆心，以b 为半径作弧，以B 为圆心，以a 为半径作弧与前弧相交于C ；
(3)连接AC ，BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

例3 已知线段A ，B ，H,求作三角形ABC ，
使BC=a AC=b AB 边上的高CD=h 。

分析 先作底边所在的直线，再作高CD ，再
作CA,CB 即得。

作法：如图2.7-10，
(1)画直线l ，在直线l 上任取一点D ；
(2)过D 作DC 垂直l ，并截取DC=h ；
图2.7-6 c b a 图
2.7-8 图2.7-10
(3)以C 为圆心，a 为半径作弧交直线l 于点B ；
(4)以C 为圆心，b 为半径作弧交直线l 于点A ；
(5)连接BC ，AC ，则三角形ABC 即为所求三角形。

这样的三角形有两个，即图中三角形ABC 和三角形AB ′C 。

说明 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高CD ，再作CB ，最后确定CA ．
例4 如图2.7-11，已知钝角△ABC ，∠B 是钝角．
图2.7-11 图2.7-12
求作：（1）BC 边上的高；（2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形）．
分析 （1）作BC 边上的高，就是过已知点A 作BC 边所在直线的垂线；（2）作BC 边上的中线，要先确定出BC 边的中点，即作出BC 边的垂直平分线．
作法 如图2.7-12：
（1）①在直线CB 外取一点P ，使A 、P 在直线CB 的两旁；
②以点A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线CB 于G 、H 两点；
③分别以G 、H 为圆心，以大于2
1GH 的长为半径画弧，两弧交于E 点； ④作射线AE ，交直线CB 于D 点，则线段AD 就是所要求作的△ABC 中BC 边上的高． （2）①分别以B 、C 为圆心，以大于
21BC 的长为半径画弧，两弧分别交于M 、N 两点； ②作直线MN ，交BC 于点F ；
③连结AF ，则线段AF 就是所要求作的△ABC 中边BC 上的中线．
说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．
为什么错
1.方向不对
例5 如图2.7-13，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a -b ．
图2.7-13
错解 如图2.7-14（1），
（1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．
分析 首先是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，其次在求线段差时，要交待截取的方向．错解作线段CD 时就犯了方向性错误。

A
图（1）图（2）
图2.7-14
正解如图（2），
（1）作射线AM；
（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；
（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．
2.语言不准
例6 如图2.7-15，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．
图2.7-15
错解如图2.7-16.
①以O为圆心作弧交OA于C，交OB于D，
②以O′为圆心作弧，交O′B′于C′，
③以CD长为半径作弧交前弧于D′，
④过D′作射线O′B′．
∠A′O′B′为所求．
图2.7-16
分析错解作图语言不准确，在作出一条弧时，应说以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解①以O为圆心，任意长为半径作弧交OA于C，交OB于D，
②以O′为圆心，以同样长（OC长）为半径作弧，交O′B′于C′，
③以C′为圆心，CD长为半径作弧交前弧于D′，
④过D′作射线O′B′．
∠A′O′B′为所求．
3.考虑不周
例7 如图2.7-17：（1）已知：∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）根据上面你作出的图分析回答：PC与OB一定平行吗？
图2.7-17 图2.7-18
错解（1）只考虑如图2.7-18中的一种情况，即∠APC；（2）PC与OB一定平行.
分析错解漏掉了如图2.7-18中的∠APC′这种情况。

显然PC′与OB不平行．
正解（1）以∠O的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，交∠O的两边于两点；以点P为圆心，刚才的半径为半径，交射线PA于一点，以这点为圆心，∠O两边上两点的距离为半径画弧，交前弧于点C、C′，过这点作射线PC、PC′，则∠APC，∠APC′就是所求的角；（2）PC与OB不一定平行．
探究平台
例8 实践操作！如图2.7-19：
图2.7-19 图2.7-20
（1）过点A画出直线l1的垂线，并注明垂足C．
（2）过点A画直线l1的平行线l2．
（3）在直线l1上任取一点D（D不与C重合），过点D画直线l2的垂线DB，并注明垂足B．
（4）通过画图，试判断直线AC与BD的位置关系．
分析（1）直接利用尺规过点A作CA⊥l1的垂线即可；（2）利用尺规通过平移作图两条平行线即可；（3）直接过点D作直线l2的垂线DB即可；（4）利用同位角相等两直线平行可知AC∥BD，且AC=BD．
解（1）（2）（3）如图2.7-20；（4）平行．
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知识达标
1. 尺规的作图是指（）
A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具
2. 下列关于作图的语句中正确的是（）
A．画直线AB=10厘米
B．画射线OB=10厘米
C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行
3. 尺规作图所用的作图工具是指（）
A．刻度尺和圆规B．不带刻度的直尺和圆规
C．刻度尺D．圆规
4. 下列尺规作图的语句正确的是（）
A．延长射线AB到点C B．延长直线AB到点C
C．延长线段AB到点C，使BC=AB D．延长线段AB到点C，使AC=BC
5.下列作图语言中，正确的是（）
A．过点P作直线AB的垂直平分线
B．延长射线OA到B点
C．延长线段AB到C，使AB=BC
D．过∠AOB内一点P，作∠AOB的平分线
6. 下列画图语言表述正确的是（）
A．延长线段AB至点C，使AB=AC
B．以点O为圆心作弧
C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧
D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b
7.下列作图属于尺规作图的是（）
A．画线段MN=3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
8. 下列尺规作图的语句错误的是（）
A．作∠AOB，使∠AOB=3∠α
B．以点O为圆心作弧
C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
D．作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
9.下列作图语句错误的是（）
A．过直线外的一点画已知直线的平行线
B．过直线上的一点画已知直线的垂线
C．过∠AOB内的一点画∠AOB的平分线
D．过直线外一点画此直线的一条垂线
10. 下列作图语句正确的是（）
A．作射线AB，使AB=a B．作∠AOB=∠α
C．延长直线AB到点C，使AC=BC D．以点O为圆心作弧
能力挑战
11. 如图2.7-21，已知线段AB，以下作图不可能的是（）
图2.7-21 图2.7-22 A．在AB上取一点C，使AC=BC
B．在AB的延长线上取一点C，使BC=AB
C．在BA的延长线上取一点C，使BC=AB
D．在BA的延长线上取一点C，使BC=2AB
12. 如图2.7-22所示，已知线段a，b，c（a＞b+c），求作线段AB，使AB=a-b-c．下面利用尺规作图正确的是（）
A．B．C．D．
13. 已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）
①作射线OC ；②在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD=OE ；③分别以D ，E 为圆心，大于2
1DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于C ． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①
14.图2.7-23是小明按照语句画出的四个图形：（1）直线EF 经过点C ；（2）点A 在直线l 外；（3）经过点O 的三条线段a 、b 、c ；（4）线段AB 、CD 相交于点B ．他所画图形中，正确的个数是（ ）
图2.7-23
图2.7-24 图2.7-25
18. 尺规作图：请在图2.7-25上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的2
3倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必有要的字母，不写作法和结论）
19. 如图2.7-26，请同学们动手用圆规和直尺完成下面作图：
（1）已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线OP ；
（2）已知线段CD ，求作CD 的垂直平分线EF ．（不要求写作法，不要求证明，保留作图痕迹即可）
在图2.7-28中作出AB的中点M；作出∠BCD的平分线CN；延长CD到P，使DP=2CD。

22.如图2.7-29，∠AOB内有一点P．
（1）过点P画线段PC∥OB交OA于点C，画线段PD∥OA交OB于点D；
（2）写出图中相等的角．
图2.7-29 图2.7-30
自主创新
23.已知：如图2.7-30，△ABC，过点A画BC的平行线（说明：只允许尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
24.如图2.7-31，已知点P和点Q分别在直线l外和l上．过点P画下列图形．
（1）过点Q的直线；
（2）垂直于l的直线；
（3）平行于l的直线．
图2.7-31 图2.7-32 图2.7-33
25.如图2.7-32，点P在∠AOB内．
（1）过点P画PC∥OA，交OB于点C；
（2）过点P画PD∥OB，交OA于点D；
（3）探索∠AOB与∠CPD的大小关系，并说明你的理由．
26.作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
如图2.7-33，已知，∠α、∠β．
求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．
答案与提示
1. C 提示：根据尺规作图的定义可知：尺规的作用是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
2. D 提示：直线没有长度，A错误；射线没有长度，B错误；三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，C错误．
3. B 提示：尺规作图的定义。

4. C 提示：射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，A错误；直线是无限延伸的，不用延长，B错误；线段的有具体的长度，可延长，C正确；延长线段AB到点C，使AC＞BC，D错误．
5. C 提示：直线没有长度，所以也不存在平分线，A错误；射线OA本来就是由O向A无限延伸，只能说反向延长射线OA，B错误；线段有具体的长度，可以延长，C 正确；由于两点确定一条直线，如果过∠AOB内一点P，作射线OP，则OP的位置唯一确定，它不一定是∠AOB的平分线，D错误．
6. C 提示：延长线段AB至点C，AB≠AC，A故错误；以点O为圆心作弧，没有指明半径，故B错误；C正确；在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b或OC=a-b，故D错误．
7. D 提示：画线段MN=3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，A错误；用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，B错误；用三角尺作过点A垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，C错误；D正确．
8. B 提示：画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长．
9. C 提示：过∠AOB内的一点画∠AOB的平分线，此说法不正确，故本选项正确。

10. B 提示：射线是不可度量的，故A错误；B正确；直线是向两方无线延伸的，故C错误；需要说明半径的长，故D错误．
11. C 提示：不可能，因为BC始终大于AB。

12. D 提示：A中AB=a；B中AB=a-c；C中AB＞a．
13. C 提示：必须先选择圆心，再求半径，最后作出OC，故其顺序为②③①．
14. C 提示：（1）、（2）、（3）正确。

15. 已知、求作、作法，图形，结论，作图痕迹．
作图如图2.7-36，∠BCD即为所求作的∠γ．
为圆心，PQ为半径作弧，交直线l于另一点H，②作QH的中垂线即可．（3）此题的作法较多，以构造特殊四边形为例进行说明；首先以Q为圆心，QP为半径作弧交l于M，然后分别以P、M为圆心，PQ长为半径作弧，交于点N，那么四边形PQMN是菱形，故PN
所在直线即为所作的直线．如图2.7-40：直线a为过P、Q的直线，直线b为过P且垂直于l的直线，直线c是过P且平行于l的直线．（3）题作法：①以Q为圆心，PQ为半径作弧，交直线l于M；②分别以P、M为圆心，以PQ为半径作弧，交于点N；③连接PN，那么PN所在直线c即为所求的直线．
25.（1）、（2）根据要求画出平行线即可．画图如图2.7-41．（3）相等。

∵PC∥OA，∴∠AOB=∠BCP，∵PD∥OB，∴∠BCP=∠CPD，∴∠AOB=∠CPD．
图2.7-41 图2.7-42
26.分析：先作∠BOC=∠α，再以OC 为一边，在∠BOC 的外侧作∠COD=∠α，再以OD 为一边，在∠BOD 的外侧作∠AOD=∠β，∠AOB 即是所求．如图2.7-42。