2015届高三高考考前精品卷数学(理) Word版含答案

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高考精品模拟试卷_浙江省建人高复2015届高三上学期第三次月考数学(理)试卷 Word版含答案(精校完美版)

浙江建人高复2015届第一学期第三次月考试卷理科数学第I 卷(选择题共40分)一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上） 1．已知函数 f (x )＝267,0,100,,x x x x x ++<≥⎧⎪⎨⎪⎩ 则 f (0)＋ f (-1)＝（ ▲ ）(A) 9 (B)7110 (C) 3 (D)11102．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ▲ ）(A) 1a b >- (B)1a b >+ (C)||||a b > (D)22a b>3．若实数,x y 满足不等式组20,10,210,x x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩则3y x -的最大值为（ ▲ ）(A) 6-(B)3-(C)2- (D)1-4．若实数a ，b ，c 满足l o g 2l o g 2l o g ab c<<，则下列关系中不可能成立．．．．．的是（ ▲ ）(A) a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)a c b <<5．若正实数x ，y满足1911x y+=+，则x +y的最小值是（ ▲ ）（A ）15（B ）16 （C ）18 （D ）196．已知圆22:1C x y +=，点A （－2，0）及点B （2，a ），从A 点观察B 点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（ ▲ ）A.（－∞，－1）∪（－1，+∞）B.（－∞，－2）∪（2，+∞）C.（－∞，，+∞） D.（－∞，－4）∪（4，+∞） 7．设1AB =,若2CA CB =,则CA CB ⋅的最大值为（ ▲ ）（A ）13 （B ）2 （C （D ）38．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② (0)y x =≤≤；③1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ▲ ） (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（本题共7道小题，第9题到12题每空3分，第13到15题每空4分，共36分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）9．已知全集{},|3U R A x x ==≥，{}2|870,B x x x =-+≤{}|=≥C x x a .则=A B▲ ；若=C A A ，则实数a 的取值范围是 ▲ .10．若cos α=，π02α<<，则sin 2α= ▲ ， πsin (2)6α－= ▲ . 11．在等差数列{}n a 中，25=a ，1412+=a a ，则=n a ▲ ，设211=-n n b a *()∈n N ，则数列{}n b 的前n 项的和=n S ▲ .12．函数=y 的最大值是 ▲ ；最小值是 ▲ .13．点A 在单位正方形OPQR 的边,PQ QR 上运动，OA 与RP 的交点为B ，则OA OB ⋅的最大值为 .14．在直角ABC ∆中，两条直角边分别为a b 、，斜边和斜边上的高分别为c h 、，则c ha b++的取值范围是 ▲ ．15．设),(b a P 是直线x y -=上的点，若对曲线)0(1>=x xy 上的任意一点Q 恒有3≥PQ ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 16．（本题满分15分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (∈x R ，0>A ，0>ω，20πϕ<<)图象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且2||=OQ ，25||=，213||=．（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数)()()(x g x f x h ⋅=的最大值．17．（本题满分14分）已知x 满足不等式0l o g )(l o g 2222≤-x x ，求函数1224221++⋅-=-a a y xx (R a ∈)的最小值.18．(本题满分15分) 已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．⑴求圆C 的方程；⑵设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；⑶过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本题满分15分）设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,48a S ==，数列{}n b 满足24log n n b a =．（第16题）（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在m N *∈，使得12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分15分）设12,x x 是函数2()(1)1(,,0)f x ax b x a b R a =+-+∈>的两个零点．（Ⅰ）如果1224x x <<<,求(2)f -的取值范围；（Ⅱ）如果12102,2x x x <<-=，求证：41<b ；（III ）如果212,2a x x ≥-=，且12(,)x x x ∈，函数2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最小值．理数答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） CADA A C BC二、填空题（本题共7道小题，共36分） 9．[3,7][3,)+∞10．4511．21n + 44nn +12．213．114．(1,415．([7,)-∞+∞ 三、解答题（本大题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解（Ⅰ）由余弦定理得51||||2cos 222==∠OQ OP POQ ，∴52sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21(．∴ 1=A ，6)212(42=-=ωπ，3πω=．由1)6sin()21(=+=ϕπf ，20πϕ<<得3πϕ=．∴)(x f y =的解析式为)33sin()(ππ+=x x f ．（Ⅱ）x x g 3sin)(π=，x x x x x x g x f x h 3cos 3sin 233sin 213sin )33sin()()()(2ππππππ+=+=⋅=41)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=ππππx x x．当]2,0[∈x 时，]67,6[632ππππ-∈-x ， ∴ 当2632πππ=-x ，即1=x 时43)(max =x h ． 17．解：解不等式 0log )(log 2222≤-x x ，得 41≤≤x ，所以 1622≤≤x1)2(21122)2(211224222221+-=++⋅-=++⋅-=-a a a a a y x xx xx当2<a 时，1)2(212min +-=a y ；当162≤≤a 时，1min =y 当16>a 时，1)16(212min +-=a y18．5．（1）222=+y x ；（2）-4；（3）OP ∥AB ；理由祥见解析．:⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯++=+-+-001)1(22022222000000y x x y y x ,所以圆C 的方程为:222r y x =+,又因为圆C 过点P（1，1）,所以有211222=⇒=+r r ,故知:⊙C 的方程为：222=+y x（2）设Q （x 、y ），则222=+y x ，从而可设θθsin 2,cos 2==y x )(R ∈θ则(1)(2)(1)(2)22sin()24PQ MQ x x y y x y πθ⋅=-++-+=+-=+-所以PQ MQ ⋅的最小值为-4.（3）设PA 的方程为：)1(1-=-x k y ，则PB 的方程为：)1(1--=-x k y由⎩⎨⎧=+-=-2)1(122y x x k y 得22112k k k x A +--=，同理可得：22112k k k x B +-+= OPAB A B A B A B A B A B ABk k k k k k k x x x x k k x x x k x x x y y k ==++-⋅-=-+-=-----=--=∴1141222)(2)1()1(k 222∴OP ∥AB ．19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则有211181228a q q a a q ⎧⋅=⇒=⎨+=⎩或12q =-（舍）. 则12832a q==，16132()22n n n a --=⋅=， 6224log 4log 2424n n n b a n -===-+.即数列{}n a 和{}n b 的通项公式为16132()22n n n a --=⋅=，424n b n =-+.（Ⅱ）12(244)(204)4(6)(5)(164)(4)m m m b b m m m m b m m ++⋅----==--，令4(3,)t m t t Z =-≤∈,所以 124(6)(5)4(2)(1)24(3)(4)m m m b b m m t t t b m t t++⋅--++===++-, 如果12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项,设为第0m 项，则有024(3)4(6)t m t ++=-，那么23t t ++为小于等于5的整数，所以{2,1,1,2}t ∈--. 当1t =或2t =时,236t t ++=,不合题意;当1t =-或2t =-时,230t t++=,符合题意.所以,当1t =-或2t =-时,即5m =或6m =时,12m m m b b b ++⋅是数列{}n b 中的项.20．解：（Ⅰ） (2)0(4)0f f <⎧⎨>⎩ 得421016430a b a b +-<⎧⎨+->⎩，(2)423f a b -=-+得(2)f -的范围(3,)+∞（Ⅱ）212x x -==所以22(1)44b a a -=+，又(2)4210f a b =+-<，得1240b a ->>，所以22212(1)44(12)2b b a a b -⎛⎫-=+<+- ⎪⎝⎭即22121()(12)4b b b b b -+<-++-，得41<b ；（III ）122122()()()2()()()2()g x a x x x x x x a x x x x x x =---+-=--+-221212221()()(1)2x x a a x x x x a a a a ⎛⎫-+ ⎪=-+-≤=+ ⎪⎪⎝⎭当1212x x x a+=-取等号，所以211()(1)2h a a a aa =+=++，()h a 在[2,)+∞上是增函数，所以()h a 的最小值是9(2)2h =．。

2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年重庆，理1】已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（）（A ）A B = （B ）A B =∅ （C ）A B （D ）B A【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠，且，故选D ．（2）【2015年重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =，故选B ．（3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32．中位数是20+20202=，故选B ．（4）【2015年重庆，理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-，故选B ．（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．（6）【2015年重庆，理6】若非零向量,a b 满足22||||3a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（）（A ）4π （B ）2π （C ）34π （D ）π 【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=，结合22||||3a b =，可得2||3a b b =，2cos ,,,[0,],24||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=，故选A ．（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==是，是，114+24k s ⇒==，是，1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否，判断框内应该填11111++=24612s ≤，故选C ．（8）【2015年重庆，理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（）（A ）2 （B）（C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=，其圆心坐标为2,1C （），半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线，它过圆心2,1C （），所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=知，6AB ==，故选C ．（9）【2015年重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tansin cos 5cos5ππαααπ=⇒=⊗，3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos 1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-，故选C ．（10）【2015年重庆，理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a ）（A ）()()1,00,1- （B ）()(),11,-∞-+∞ （C ）()()0,2 （D ）((),2,-∞+∞【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中，由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-，由题意得：22()()c a c a a +-<01ba a c a+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a =±∴∈-，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年重庆，理11】设复数()i ,a b a b R +∈()()i i a b a b +-= ．【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈223a b =+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=．（12）【2015年重庆，理12】53x ⎛+ ⎝的展开式中8x 的系数是（用数字作答）．【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r rrr r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=．故35()2x x +的展开式中8x 的系数为2521522C =．（13）【2015年重庆，理13】在ABC ∆中，0120B =，2AB =，P ABC -的角平分线3AD =，则AC = ．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin 2AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠， 30C ∴∠=，再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）【2015年重庆，理14】如图，圆O 的弦,AB CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2015年重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=由 222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及．故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）．（16）【2015年重庆，理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5，则实数a = __．【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5，|1|54a a +=⇒=，综上，可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则()11123531014C C C P A C ==．（Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2，且()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===， ()21283101215C C P X C ===．故分布列见表：且X 0 1 2 P715715 115()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）．（18）【2015年重庆，理18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫--⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期 T π=，最大值为23-．（Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减．因此，()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减．（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==，22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值．解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC DE ⊥．又2CD DE ==，2CE =，故CDE ∆为等腰直角三角形，且CD DE ⊥．因PC CD C =，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图，取CE 的中点F ，连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形，故DF CE ⊥，1DF CF FE ===．又2ACB π∠=，故//DF AC ，因此23DF FB AC CB ==，从而32AC =．以C 为原点，,,CA CB CP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0E ，()1,1,0D ，()0,0,3P ，故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,3DP =--，()1,1,0DE =-．设()1111,,n x y z =为平面APD 的法向量，则110n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩，取11y =得()12,1,1n =．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故DE 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅，故所求二面角A PD C --的余弦值为3．（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e +=∈．（Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x ee+-+-+-+'==，因()f x 在0x =处取得极值，故()00f '=，得0a =．因此()23x f x x e -=，()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e =，()31f e'=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e-=-即30x ey -=．z yxF PEDC BA（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立，故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减，故()()max 932g x g ==-，所以92a ≥-，即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且 1PQ PF ⊥．（Ⅰ）若1||22PF =+，2||22PF =-，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若1||||PF PQ =，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=，故2a =．又222124||||12c PF PF =+=，故23c =，因此2221b a c =-=，从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ，由题()1114||||||22||a F P PQ QF F P =++=+，故()1||222F P a =-，从而21||2||F P a F P =-()221a =-，因此()2222124||||4962c PF PF a =+=-，所以()2296263e =-=-，得63e =-．（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中，13a =，()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=，2μ=-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++．解：（Ⅰ）由0λ=，2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>，故0n a >，得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列，从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因130a =>，故1230n a a a =>>>>>．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=-⎪+⎝⎭，故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，因此001212k k a a a a +>>>>>，从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+⎪++⎝⎭∑．综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。

2015年陕西高考数学(含答案word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中u 恒成立的是A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =A28 B10 C4 D29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= 15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若a =2b =求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ； ()II 若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值； ()II 的最大值．参考答案：一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.A7. B8.C9. B 10.D 11.D 12.A 二、填空题13. 5 14. 15.（1,1） 16. 1.2 三．解答题17. （满分12分）（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =.故∆ABC 的面积为1bcsinA 22=.2sin sin 3=B ，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B .故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ⎛⎫=+=B +=+= ⎪⎝⎭所以∆ABC 的面积为1bcsinA 2.18.（本小题满分12分）（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A , BCED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,)22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x yz =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉== 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为319.（本小题满分12分）0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯= 故(A)1P(A)0.91P =-=. 20.（本小题满分12分）解：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bcd a ==，由12d c =，得2a b ==c a =.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==- 因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.21.（本小题满分12分）解：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x xx ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k kkh x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x-+<,()0k m x '<, 当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90，又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD =,又BC AB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.23. （本小题满分10分）解：（I ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(3t,t),22P +又,则|PC |==故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.24. （本小题满分10分）解：（I）由||x a b+<，得b a x b a--<<-则2,4,b ab a--=⎧⎨-=⎩解得3a=-,1b=（II=≤4==，即1t=时等号成立，故max4=.。

2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（）（A）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）（A ）11（B ）9 （C ）5 （D ）3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，万元家庭年支出为（）（A ）11.4万元（B ）11.8万元（C ）12.0万元（D ）12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点p 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（）（A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，AP =即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为144t t +≥=，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅的最大值等于13，故选A ．（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于（用数字填写答案）．【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于．【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是．【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2．（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __．【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=．（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X所以()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12G H A B =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ，又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ，因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-，()2,2,1AF =-，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z =得()2,1,2n =-．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ．（2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B两点，判断点9,04G⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22142x y +=．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m +，1223=2y y m +，从而0222y m =+．所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+．从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β；（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x +=+)x x =+)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一．（2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，s i n (βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+(于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()g x kx k R =∈．（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x -<．解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <．（2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()21x k x k M x k x -+-+-'=--=+故当)x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -，此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x kN x k x x x --++-'=--=++，当(0,x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<，所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．解法二：（1）解法一．（2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-．从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102kx -<<，2()()f x g x x ->，记0x 与12k-的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()12x xM x x --'=--=，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β．（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ．（2）由=ACB 得11()AC A B --A =，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ．（21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12|2m --+=，解得3m =-± （21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b >>，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=．（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立，故2221149a b c ++的最小值为87．。

精品高考模拟试卷_浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题word版含答案

浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则R AC B =（）（A ）{}0x x ≤ （B ） {}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x ≤<>或（D ）{}024x x x ≤<≥或 2．在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（）（A ）12 （B ）3 （C ）36 （D ）6 3．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（）（A ）1- （B ） 1 （C ）5- （D ）5 4．已知直线,l m ，平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 5．函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）（A ）向左平移2π个单位长度（B ）向右平移2π个单位长度（C ）向左平移4π个单位长度（D ）向右平移4π个单位长度7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（）（A ）①③ （B ）③④ （C ）①② （D ）②③④8．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）（A ）23λ>（B ）32λ> （C ）23λ< （D ）32λ<9．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（）（A ）[8,10]-（B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）[7,8]-10．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（）（A ）5个（B ）6个（C ）7个（D ）8个非选择题部分（共100分）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为_____▲____．12．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为_____▲____． 13．已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos 2α=_____▲____． 14．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则 (2013)(2015)f f +=_____▲____． 15．设12n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ，且1(1,1)n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ___▲____．16．设向量2(2,2)λλα=+-a ，(,sin cos )2mm αα+b =，其中,,m λα为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围为_____▲____．17．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为____▲____．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知30B ∠=,ABC ∆的面积为32．（Ⅰ）当,,a b c 成等差数列时，求b ；（Ⅱ）求AC 边上的中线BD 的最小值．19．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -如图放置，//,AB CD BC CD ⊥,2AB BC ==，1CD PD ==，PAB ∆为等边三角形．（Ⅰ）证明：面PD PAB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CB A --的平面角的余弦值．20．本题满分15分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n nT -<-<．22．（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数()f x 的定义域为[1,)+∞．（Ⅰ）若(1,1)是函数()f x 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ；（Ⅱ）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x =函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（Ⅲ）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与22x+的大小，并说明理由．2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形ABCD中，AD ，而12，PD AP ==，则PD PA ⊥ 同理PD PB ⊥，故面PD PAB ⊥；…………6分（Ⅱ）取AB 中点M ,连,PM DM ，作PN DM ⊥,垂足为N ,再作NH BC ⊥,连HN 。

高考精品模拟试卷_福建省漳州八校2015届高三年联考数学(理)试卷 Word版含答案(精校完美版)

2014—2015学年漳州八校高三第一次联考理科数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）命题人：程溪中学许飘勇审核人：王友祥第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）. 1．复数i(i 1)-等于A ．1i +B ．1i -C ．－1+iD ．－1－i 2．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是A ．不存在3210x x x ∈-+R ，≤ B ．存在3210x x x ∈-+R ，≤ C ．存在3210x x x ∈-+>R ， D ．对任意的3210x x x ∈-+>R ，3.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π4.设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( )A 8B 4C 1 D145.如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于( ) A 54 B 45 C 65 D 566.若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A 14B 15C 16D 17 8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9.设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为( )A 6B 7C 8D 2310.设非空集合|||S m l χχ=≤≤满足：当S χ∈时，有2S χ∈。

2015年湖南高考理科数学试题及答案word精校版(湖南卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.设A,B 是两个集合，则”AB A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.67 B.37 C.89 D.494.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.25.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）A.3B.3-C.6 D-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P μσμσ-≤+=(22)0.9544P μσμσ-≤+=8.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.99.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)π- D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1)x dx ⎰-= .12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .14.设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15.已知函数32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 三、解答题16.（本小题满分12分）本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。

2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（i ） 180=∠+∠NOM MEN ；（ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明：（i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与同向.（i ）若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明：由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a ta n =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B .(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ，因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2）联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因AC 与同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3）设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5）将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+，所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<. 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）. 设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，第11页共11页且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.。

2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ．（，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015年浙江省高考试卷(理科数学)(word版)含答案

2015年浙江省高考试卷（理科数学）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合P ＝{x|x 2－2x≥0}，Q={x|1<x ≤2}，则( R P)∩Q ＝A.[0，1)B.(0，2]C.( 1，2)D.[1，2]2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 3 3、已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n 。

若a 3，a 4，a 8成等比数列，则A.a 1d>0，dS 4>0B. a 1d<0，dS 4<0C. a 1d>0，dS 4<0D. a 1d<0，dS 4>04、命题“∀ n ∈N *，f(n)∈N *且f(n)≤n”的否定形式是A. ∀ n ∈N *，f(n)∉N *且f(n)>nB. ∀ n ∈N *，f(n)∉N *或f(n)>nC. ∃n 0∈N *，f(n 0)∉N *且f(n 0)>n 0D. ∃n 0∈N *，f(n 0)∉N *或f(n 0)>n 05、如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比为 A.||1||1BF AF -- B. 22||1||1BF AF -- C. ||1||1BF AF ++ D. 22||1||1BF AF ++6、设A ，B 是有限集，定义：d(A ，B)=card(A ∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数。

命题①：对任意有限集A ，B ，“A≠B”是“d(A ，B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d(A ，C)≤d(A ，B)+d(B ，C)A.命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7、存在函数f(x)满足：对于任意x ∈R 都有A.f(sin2x)=sinxB. f(sin2x)=x 2+xC.f(x 2+1)=|x+1|D. f(x 2+2x)=|x+1|8、如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD翻折成△A′CD ，所成二面角A′－CD －B 的平面角为α，则A.∠A′DB≤αB. ∠A′DB≥αC. ∠A′CB≤αD. ∠A′CB≥α非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年湖北，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（3）【2015年湖北，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．（4）【2015年湖北，理4，5分】设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．（5）【2015年湖北，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）（A ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（B ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当时，成立；②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件．故选A ．（6）【2015年湖北，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年湖北，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年湖北，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <（C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．（9）【2015年湖北，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B⊕中元素的个数为（）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．（10）【2015年湖北，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2015年湖北，理11，5分】已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥，3OA =，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．（12）【2015年湖北，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．（13）【2015年湖北，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD BC ︒==，所以1006CD =m ．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．（14）【2015年湖北，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2015年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==．【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（16）【2015年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB =．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t 得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2015年湖北，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期（1．．．．．．．．．．．（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．（18）【2015年湖北，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-，故12362nn n T -+=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年湖北，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：解法一：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥．而PD PB P =，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E =，所以PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+，解得2λ=．所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，2DC BC =．【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年湖北，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．（21）【2015年湖北，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年湖北，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；（2）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ，证明：e n n T S <．解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞．当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<． ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=．由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，②成立．②假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kk b b b k a a a =+．当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++．所以当1n k =+时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．（3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S ．即e n n T S <．【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

2015届高三数学(理)模拟试题Word版含答案(1)

重庆市潼南柏梓中学2015届高三数学（理）模拟试题Word 版含答案（1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，复数7412ii+=+ A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -2．集合{}{}20,2A x x a B x x =-≥=<，若R C A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(],4-∞B ．[]0,4C ．(),4-∞D ．()0,43．若随机变量()()~1,4,00.1X N P x ≤=，则()02P x <<= A ．0.4 B ．0.45 C ．0.8 D ．0.94．下列四个结论： ①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”. 其中正确结论的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设01a <<，则函数11x y a =-的图象大致为6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是A ．12B ．24C ．36D ．487．直线10x my ++=与不等式组30,20,20x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是A ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦8．已知向量()()0,sin ,1,2cos a x b x ==，函数()()2237,22f x a bg x a b =⋅=+-，则()f x 的图象可由()g x 的图象经过怎样的变换得到A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度9．已知抛物线28y x =的准线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>相交于A 、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是y x =，点F 是抛物线的焦点，且△FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是 A ．221366x y -= B ．221163x y -= C ．221632x y -= D ．221316x y -= 10．对于函数()xf x ae x =-，若存在实数,m n ，使得()0f x ≤的解集为[](),m n m n <，则实数a 的取值范围是A ．()1,00,e ⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,00,e ⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦ C ．10,e⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题11．为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用茎叶图表示（如图），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为_________.12．执行如图所示的程序，则输出的结果为________. 13．若函数()()2221fx x x a g x x x a=++=-++与有相同的最小值，则()1af x dx =⎰___________.14．已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，若AC AB =，则ACBC =． 15．在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为sin()104πρθ++=，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧+-=+-=，，ϕϕsin 1cos 1y x (ϕ为参数，πϕ≤≤0)，则C 1与C 2有 1 个不同公共点．16．已知函数()2123f x x x =++-，若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，则实数a 的取值范围是CB三、解答题17．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为()()(),,,2sin cos sin a b c f x x A x B C =-++()x R ∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=，求△ABC 的面积.18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望.19．如图，在多面体111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是正方形，1ACB ∆是等边三角形，11111,//,2AC AB B C BC BC B C ===. （1）求证：111//AB AC C 平面；（2）若点M 是边AB 上的一个动点（包括B A ,两端点），试确定点M 的位置，使得平面11CAC 和平面11MAC所成的角（锐角）的余弦值是320．已知函数()22,0,ln ,0,x x a x f x a x x ⎧++<=⎨>⎩其中是实数，设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <.（1）当0x <时，讨论函数()()()xg x f x f e =⋅的单调性；（2）若函数()f x 的图象在点A,B 处的切线重合，求a 的取值范围.21．已知圆22:0C x y x y +--=经过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点F 和上顶点D .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点()2,0P -作斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，直线BF AF ,分别交椭圆E 于点H G ,，设),(,2121R ∈==λλλλ（i ）求12λλ+的取值范围；（ii ）是否存在直线l ，使得AF GF BF HF ⋅=⋅成立？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由.22．已知数列{}n a 的首项为1，记1212()knn n k n n nf n a C a C a C a C =+++++(*N n ∈). （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立?若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．BACCB ADBDC 11．90 12．36 13．328 14．33 15．1 16．53>-<a a 或22．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈.∴12344444(4)15f C C C C =+++=……………4分（2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.……………6分∴1231()242n nn n n nf n C C C C -=++++， ∴1223312()12222n nn n n nf n C C C C +=+++++，(12)3n n +=……………8分故31()2n f n -=. ……………10分（3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2nf n n -=-对一切*N n ∈都成立，设公差为d ，则121121()kn nn n k n n n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++ ……………12分且121121()n n kn n n n k n n nf n a C a C a C a C a C --=++++++，相加得 121112()2()()kn n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++，∴12111()()2k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=++++++11(22)2nn n a a a -+=+-[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[]1()1(2)2(2)2n f n d n d --=-++-(1)2nn =-恒成立，即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.……………15分故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为21n a n =-....................... 16分（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）。

2015年高考全国2卷理科数学试题及答案(精校word解析版)

8．B
【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．
9．C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
10．B
【解析】由已知得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即时，，当时，；当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列满足a1=3， =21，则
A．21 B．42 C．63D．84
5．设函数 ,
A．3 B．6 C．9 D．12
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
6．D
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
7．C
【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．

2015四川高考数学试题(Word版含答案)

绝密☆启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生考试全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则AB =（）（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<<（C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x << 2、设i 是虚数单位，则复数32i i-=（）（A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i3、执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）（A ）（B （C ）12- （D ）12 4、下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ （C ）sin 2cos 2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+5、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（）（A （B ）（C ）6 （D ）6、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个7、设四边形ABCD 为平行四边形，||6AB =，||4AD =。

精品高考模拟卷—-河北省唐山一中等五校2015届高三上学期第二次联考数学(理)试题Word版含答案

河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 2．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于A ．11B ．8.5C ．8D ．7 6．已知()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ= A ．43 B ．34 C ．247- D ．2477．已知1,3O A O B ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,O C m O An O B =+(),m n R ∈，则nm等于（） A ．31 B ．3 C ．33D ．3 8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2 9．函数1)3(l o g -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0m n >>，则21m n +的最小值为( ) A． B ．4 C ．52 D ．9210．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴（） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A．28+ B．30+ C．30+ D．28+12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13．()522x x -+的展开式中3x 的系数为＊＊．14．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为＊＊．15．设点(,)P x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥≤2200x y y x ，点(,)(0,0)Q a b a b ≤≥满足1≤⋅OQ OP 恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是＊＊． 16．在ABC ∆中，,sin 22tanC BA =+若1AB =，则12AC BC +的最大值＊＊．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+=（Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求n T ． 18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为:a b 的值．20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅． 23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学(答案)第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：BDADC CBADB AC 二、填空题： 13． -200 ．14．．15． 12．16．．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （Ⅰ）求证数列{}n a 是等差数列；（Ⅱ）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T 解：（Ⅰ）)(2)1(*N n a a S n n n ∈+=①)2(2)1(111≥+=---n a a S n n n ②①-②得：21212----+=n n n n n a a a a a ()2≥n 整理得：()111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a数列{}n a 的各项均为正数，,01≠+∴-n n a a )2(11≥=-∴-n a a n n1=n 时，11=a ∴数列{}n a 是首项为1公差为1的等差数列 6分（Ⅱ）由第一问得22n n S n += 222112(1)1n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭1111111122(1)()2122334111n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 12分18．市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．所以 0.0125x =． 3分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为12000.12144⨯=，所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分（Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 10分0123412566412864256EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1． 12分19．已知四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是边长为a 的菱形，120BAD ∠=︒，PA b =．（Ⅰ）求证：PBD PAC ⊥平面平面；（Ⅱ）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O PM D --的正切值为，求:a b 的值．19．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分从而平面PBD ⊥平面PAC ．……………6分（Ⅱ）方法1．过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD因为DO ⊥平面PAC ，可以推出DH ⊥PM,所以∠OHD 为O-PM-D 的平面角………………8分又3,,44a aOD OM AM ===，且OH AP OM PM =………………10分从而·4a OH ==………………11分 tan ODOHD OH ∠===所以22916a b =，即43a b =． ………………………12分法二：如图,以A 为原点,,AD AP 所在直线为y轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a,3,,0)8M a ,1,,0)4O a …………8分从而333(0,,),(,,)8PD a b PM a b =-=-3(,,0)4OD a =-………………9分因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为3(,,0)4OD a =-．……10分设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得3330,08PDn ay bz PM n ay bz ⋅=-=⋅=+-=取,,x y b z a ===，即,,)n b a = (11)分设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等从而tan θ=cos 15θ=531cos 5||||ab abOD n OD n a θ-+⋅===⋅从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分20．已知抛物线24y x =，直线:l 12y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）联立2124y x by x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=．依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-，设圆心00(,)Q x y ，则应有121200,422x x y y x y ++===-．因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，又||AB ．所以||28AB r ==，解得85b =-．所以12124822224165x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．故所求圆的方程为2224()(4)165x y -++=．（Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<，直线l ：12y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l的距离d ，所以1||42AOB S AB d ∆==-．令32()2g b b b =+，20b -<<， 24()343()g b b b b b '=+=+，由上表可得()g b 的最大值为432()327g -= ．所以当43b =-时，AOB ∆ 21．已知函数2()()xf x ax e a R =-∈（Ⅰ）当1a =时，判断函数()f x 的单调区间并给予证明；（Ⅱ）若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：1()12ef x -<<-．解：（Ⅰ）1a =时，2(),()2,x x f x x e f x x e '=-=-()2x f x e ''=-易知m a x ()(l n 2)2l n 220,f x f ''==-<从而()f x 为单调减函数．………………４分（Ⅱ）()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，即()20x f x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，所以()20x f x a e ''=-=，得ln 2x a =．(ln 2)2ln 220f a a a a '=->，得ln 212a a e >⇒>．………………6分又(0)10f '=-<，(1)20f a e '=-> 所以101ln 2x a <<<………………8分111()20x f x ax e'=-=，得112x e ax =111121111()122x x x x x e f x ax e x e e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭1(01)x <<………………10分1111()02x x f x e ⎛⎫-'=< ⎪⎝⎭，1(1)()(0)12ef f x f -=<<=-………………12分另解：2()x e a p x x ==由两个实根，2(1)()x e x p x x -'=，当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件．当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>，故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x=→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．()20xf x ax e '=-=有两个实根1212,()x x x x <，0x =不是根，所以2()xe a p x x==由两个实根，2(1)()x e x p x x-'=，当0x <时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x =<，不能满足条件．当01x <<时，()0,p x '<所以()x e p x x =单调递减且()0xe p x x => 当1x >时，()0,p x '>所以()x e p x x =单调递增且()0xe p x x=>，故当0x <时，min ()(1)p x p e ==，当0x →时()xe p x x =→+∞，当x →+∞时②()x e p x x =→+∞，所以2()xe a p x x==由两个实根需要2(1)a p e >=．即2e a >1()0,f x '=即112x e a x =，111122111111()(1),((0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=-=-∈，从而可以构造函数解决不等式的证明．请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．解：(Ⅰ)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆∴CDF ABC ∠=∠．………………2分AB AC =ABC ACB ∴∠=∠且ADB ACB ∠=∠,EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠,……………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠,所以BAD ∆与FAB ∆相似,AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= ……………………………………………2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，[所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--… ………6分令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC ……8分所以1MN MC r +=≤………………………10分24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b +≥--+恒成立，求x 的取值范围．解：∵ a ＞0，b ＞0 且a+b=1 ∴1a +4b =(a+b)( 1a +4b )=5+b a +4a b ≥9 ，故1a +4b的最小值为9，……5分因为对a ，b ∈(0，+∞)，使1a +4b≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9， 7分当 x ≤-1时，2-x ≤9， ∴ -7≤x ≤-1，当 -1＜x ＜12时，-3x ≤9，1 2，当 x≥12时，x-2≤9，∴12≤x≤11，∴ -7≤x≤11 …… 10分∴ -1＜x＜。

【恒信】2015届云南省部分高三12月份统一考试数学(理科)试题及参考答案【纯Word版】

云南省部分学校（玉溪一中等）2015届高三12月份统一考试数学（理）命题：玉溪一中高三命题组第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B ⋂=（） A ．[1,2) B ．[1,1]- C ．[1,2)- D ． [2,1]--2．已知11aii+-为纯虚数（i 是虚数单位）则实数a =（） A ．1 B ．2 C ． D ．3．在ABC ∆中，点在边上，且，，则= （）A ．B ． C．1D ．04．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（）A ．2B ．4C ．14-D ．12- 5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A ．870B ．30C ．6D ．36．在中，若，则是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,221z x y =--，则z 的取值范围是（）A ．5[,5]3B ．[0,5]C ．[0,5)D ．5[,5)38．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（） A ．4π B ．π3 C ．π2 D ．π1-2-D BC 2=AC s AB r CD +=s r +3234ABC ∆1tan tan >B A ABC ∆9．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（） A ．49 B ．13 C ．29 D ．1910．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（） ABC D 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC = ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）12．已知函数，若，使成立，则称为函数的一个“生成点”，函数的“生成点”共有（） A ．2个 B .3个C .4个D . 5个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）。

2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【年，理1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（）（A q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）（A ）77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==．（16）【2015年，理16，5分】（选修4-4O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥．而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ，解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．W 12 15 18 P0．30．50．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

2015年高考理科数学山东卷(word版含答案)

2015山东高考文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1. 已知集合A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则A B=( ) （A ）（1,3）（B ）（1,4）（C ）（2,3）（D ）（2,4）【答案】C2. 若复数Z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】C3. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C4.要得到函数y=sin （4x-）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（）（A ）．向左平移个单位（B ）向右平移个单位（C ）.向左平移个单位（D ）向右平移个单位 5. 设,命题“若m>0,则方程有实根”的逆否命题是( )A. 若方程有实根，则>0B.若方程有实根，则.若方程没有实根，则>0.若方程没有实根，则6. 为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：⋂1zi-3π12π12π3π3πm R ∈20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=20x x m +-=①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A ）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】B7. 在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“”发生的概率为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A8. 若函数是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1）（D ）（1，+）【答案】C9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （）（）（）（）【答案】B121-1log 2x ≤+≤（）13423131421()2x x f x a+=-22π42π10. 设函数，若，则b=( ) （A ）1 （B ）（C ） (D) 【答案】D 试题分析：由题意，由得，或，解得，故选D. 考点：1.分段函数；2.函数与方程.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 . 【答案】12. 若x,y 满足约束条件则的最大值为 . 【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为. 考点：简单线性规划. 13. 过点P （1，）作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则= .3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩5(())46f f =783412555()3,662f b b =⨯-=-5(())46f f =51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩12b =1313,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+730x y +=30x y +=(1,2)A 3z x y =+1327z =+⨯=【答案】14. 定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .15. 过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 . 【答案】三、解答题：本大题共6小题，共75分 16. （本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率.【答案】(1)；(2). 【解析】试题分析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，利用公式计算即得.(2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：32⊗22x y x y xy-⊗=,0x y R xy ∈≠，00x y >>，(2)x y y x ⊗+⊗C ：22221x y a a-=0,0a b >>（）CP P 2a C 21321530453015-=1531111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 应用公式计算即得.试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 (2)从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个. 因此被选中且未被选中的概率为. 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率. 17. (本小题满分12分)中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知求和的值. 【答案】由正弦定理可得，结合即得. 试题解析：在中，由，得. 因为，所以， 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B 151A 1B 1213{,},{,}A B A B 230453015-=1151.453P ==531111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B A B A B A B A B A B A B 414243515253{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B 151A 1B 1213{,},{,}A B A B 21A 1B 215P =ABC∆cos ()B A B ac =+==sin Ac3a=ac =ABC∆cos 3B=sin 3B =A BC π++=sin sin()C A B =+=因为，所以，为锐角，因此. 由可得，又，所以. 考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.18. 如图，三棱台中，分别为的中点.（I ）求证：平面；（II ）若求证：平面平面.【答案】证明见解析思路二：在三棱台中，由为的中点，可得为平行四边形，在中，分别为的中点，得到又，得到平面平面.(II)证明：连接.根据分别为的中点，得到由得，又为的中点，得到四边形是平行四边形，从而又，得到.试题解析：（I ）证法一：连接设,连接，在三棱台中，分别为的中点，可得，所以四边形是sin sin CB <C B<C cos C =sin sin()sin cos cos sin A BC B C B C =+=+=+=,sin sin a c A C =sin sin c Aa C ===ac =1c =DEF ABC -2AB DE G H =，，AC BC ，//BD FGH CF BC AB BC ⊥⊥，，BCD ⊥EGH DEF ABC -2,BC EF H =BC HBEF //.BE HF ABC ∆G H ，AC BC ，//,GH AB GH HF H ⋂=//FGH ABED HE G H ，AC BC ，//,GH AB ,AB BC ⊥GH BC ⊥H BC EFCH //.CF HE CF BC ⊥HE BC ⊥,.DG CD CD GF M ⋂=MH DEF ABC -2AB DE G =，AC //,DF GC DF GC =DFCG平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以, 又平面，平面，所以平面.证法二：在三棱台中，由为的中点，可得所以为平行四边形，可得在中，分别为的中点，所以又，所以平面平面，因为平面，所以平面.(II)证明：连接.因为分别为的中点，所以由得，又为的中点，所以因此四边形是平行四边形，所以又，所以.又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面考点：1.平行关系；2.垂直关系. 19. （本小题满分12分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为. （I ）求数列的通项公式；（II ）设，求数列的前项和.M CD H BC //HM BD HM ⊂FGH BD ⊄FGH //BD FGH DEF ABC -2,BC EF H =BC //,,BH EF BH EF =HBEF //.BE HF ABC ∆G H ，AC BC ，//,GH AB GH HF H ⋂=//FGH ABED BD ⊂ABED //BD FGH HE G H ，AC BC ，//,GH AB ,AB BC ⊥GH BC ⊥H BC //,,EF HC EF HC =EFCH //.CF HE CF BC ⊥HE BC ⊥,HE GH ⊂EGH HE GH H ⋂=BC ⊥EGH BC ⊂BCD BCD ⊥.EGH {}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭n 21n n +{}n a ()12n an n b a =+⋅{}n b n n T【答案】（I ） (II) 【解析】试题分析：（I ）设数列的公差为，令得，得到. 令得，得到. 解得即得解. （II ）由（I ）知得到从而利用“错位相减法”求和.试题解析：（I ）设数列的公差为，令得，所以. 令得，所以. 解得，所以（II ）由（I ）知所以所以两式相减，得所以考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”. 20. (本小题满分13分)2 1.n a n =-14(31)4.9n n n T ++-⋅={}n a d 1,n =12113a a =123a a =2,n =12231125a a a a +=2315a a =11,2a d ==24224,n n n b n n -=⋅=⋅121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅23141424......(1)44,nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅{}n a d 1,n =12113a a =123a a =2,n =12231125a a a a +=2315a a =11,2a d ==2 1.n a n =-24224,n n n b n n -=⋅=⋅121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅23141424......(1)44,nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅121344 (44)nn n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=设函数. 已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数（min{p ，q}表示，p ，q 中的较小值），求m(x)的最大值.【答案】（I ）；(II) ；(III). 【解析】试题分析：（I ）由题意知，，根据即可求得. （II ）时，方程在内存在唯一的根.设通过研究时，.又得知存在，使.应用导数研究函数的单调性，当时，单调递增. 作出结论：时，方程在内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，得到.当时，研究得到(1,(1))f ()()f x g x =(,1)k k +()min{(),()}m x f x g x =1a =1k =24e '(1)2f ='()ln 1,af x x x=++1k =()()f x g x =(1,2)2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-(0,1]x ∈()0h x <2244(2)3ln 2ln 8110,h e e=-=->-=0(1,2)x ∈0()0h x =()h x (1,)x ∈+∞()h x 1k =()()f x g x =(,1)k k +()()f x g x =(1,2)0x 0(0,)x x ∈()()f x g x <0(,)x x ∈+∞()()f x g x >020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩0(0,)x x ∈0()().m x m x ≤当时，应用导数研究得到且. 综上可得函数的最大值为. 试题解析：（I ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以. （II ）时，方程在内存在唯一的根.设当时，.又所以存在，使. 因为所以当时，，当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III ）由（II ）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以.当时，若若由可知故 0(,)x x ∈+∞24()(2),m x m e≤=0()(2)m x m <()m x 24e (1,(1))f 2'(1)2f ='()ln 1,af x x x=++1a =1k =()()f x g x =(1,2)2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+-(0,1]x ∈()0h x <2244(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-=0(1,2)x ∈0()0h x =1(2)'()ln 1,x x x h x x x e -=+++(1,2)x ∈1'()10h x e>->(2,)x ∈+∞'()0h x >(1,)x ∈+∞()h x 1k =()()f x g x =(,1)k k +()()f x g x =(1,2)0x 0(0,)x x ∈()()f x g x <0(,)x x ∈+∞()()f x g x >020(1)ln ,(0,](),(,)x x x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩0(0,)x x ∈(0,1],()0;x m x ∈≤0(1,),x x ∈1'()ln 10,m x x x=++>00()();m x m x <≤0()().m x m x ≤当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且. 综上可得函数的最大值为. 考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值.21. (本小题满分14分)平面直角坐标系中，已知椭圆C ：的离心率为，且点）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.（i ）求的值； (ii)求面积的最大值.【答案】（I ）；（II ）（i ）；（ii ）【解析】试题分析：（I ）由题意知又，解得. （II ）由（I ）知椭圆E的方程为. （i ）设由题意知. 0(,)x x ∈+∞(2)'(),x x x m x e-=0(,2)x x ∈'()0,()m x m x >(2,)x ∈+∞'()0,()m x m x <24()(2),m x m e ≤=0()(2)m x m <()m x 24e xOy 2222+=1(>>0)x y b bαα2122222+=144x y a b=+y kx m ||||OQ OP ABQ ∆2214x y +=||2||OQ OP =22311,4a b +=2a =224,1ab ==221164x y +=00||(,),,||OQ P x y OP λ=00(,)Q x y λλ--根据及，知. （ii ）设将代入椭圆E 的方程，可得，由可得……………………①应用韦达定理计算及的面积设将直线代入椭圆C 的方程，可得，由可得……………………②由①②可知当且仅当，即时取得最大值由（i ）知，的面积为即得面积的最大值为试题解析：（I ）由题意知又，解得，所以椭圆C 的方程为（II ）由（I ）知椭圆E 的方程为. （ii ）设由题意知. 因为又，即所以，即 2200 1.4x y +=2200()()1164x y λλ--+=2λ=1122(,),(,),A x y B x y y kx m =+222(14)84160k x kmx m +++-=0,∆>22416m k <+122||14x x k-=+OAB∆121||||2S m x x =-===22.14m t k=+y kx m =+222(14)8440k x kmx m +++-=0,∆≥2214m k ≤+01,t S <≤==1t =2214m k =+ABQ ∆3S ABQ∆22311,4a b +=2a =224,1ab ==22 1.4x y +=221164x y +=00||(,),,||OQ P x y OP λ=00(,)Q x y λλ--2200 1.4x y +=2200()()1164x y λλ--+=22200() 1.44x y λ+=2λ=|| 2.||OQ OP =（ii ）设将代入椭圆E 的方程，可得，由可得……………………①则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积设将直线代入椭圆C 的方程，可得，由可得……………………②由①②可知故当且仅当，即时取得最大值由（i ）知，的面积为，所以面积的最大值为考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.1122(,),(,),A x y B x y y kx m =+222(14)84160k x kmx m +++-=0,∆>22416m k <+21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++122||14x x k -=+y kx m =+y (0,)m OAB ∆121||||2S m x x =-===22.14m t k=+y kx m =+222(14)8440k x kmx m +++-=0,∆≥2214m k ≤+01,t S <≤==S ≤1t =2214m k =+ABQ ∆3S ABQ ∆。

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2015年高三年级模拟考试（精品卷）理科数学试卷命题人：高三理科备课组一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位，复数iiz +=12，则=-2z （）A. 2B.22C.2D.12.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“1=a ”是“φ≠⋂B A ”的充分条件，则b 的取值范围是 ( )A ．-2≤b<2 B．-2<b≤2 C ．-3＜b ＜-1 D ．-2＜b ＜23.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）B．34.若程序框图如图示，则该程序运行后输出k 的值是（）A 5B ．6C ．7D ．85.已知变量y ,x 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003202x y x y x ，则()yx z +=22的最大值为（）A. 2B. 22C. 2D.46.定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为（）A. (]1,2B. (1,2)C.(0,2)D.(0,1)7.某厂生产的零件外径)04.0,10(~N ξ，今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm,9.3cm,则可认为（） A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均不正常8.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a > ，则B ∠= （）A .6π B. 3π C.32π D.65π9.已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值 ( )A.63B. 147C.155D.10510.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF = （）A .25 B.38C. 3D.6 11.若G 是ABC ∆的重心，a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若30aG bG cGC A +B +=，则角=A （） A . 90 B.60 C.45 D.3012.已知函数()x f 的导函数为)('x f ，满足()2'12)(x x f x xf =+，且1)1(=f 则函数()x f 的最大值为（）A . 0 B. e C.2eD. e 2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若xdx a cos 22ππ-⎰=，则二项式41⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中的常数项为．14.过点O 作圆0208622=+--+y x y x 的两条切线，设切点分别为Q P ,，则线段Q P ,的长度为．15.在2015年高考来临之际，食堂的伙食进行了全面升级．某日5名同学去食堂就餐，有米饭，花卷，包子和面条四种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的食物搭配方案种数为______16.△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，3=CA ，分别在边AB 、BC 、CA 上取点D 、E 、F ，使△DEF 是等边三角形（如图1）。

设∠FEC=α，问当sin α=＿＿＿＿时，△DEF 的边长最短.图1三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．18. (本题满分12分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2==PD PA ，121==AD BC ，3=CD ．（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M ﹣BQ ﹣C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值．19. (本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．20.(本题满分12分)已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率2e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''⋅+⋅+=，若点S 满足：O S O P O Q =+，证明：点S 在椭圆2C 上. 21.(本题满分12分)设函数()()()bx x x a x f +++=1ln 12，其中1->x ，曲线()x f y =过点()1,12+--e e e ，且在点()0,0处的切线方程为0=y . 1）求b a ,的值；2）证明：当0≥x 时，()2x x f ≥；3）若当0≥x 时，()2mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲.如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ,AD 交BC 于点F .（1）求证：DE BC //;（2）若F C E D ,,,四点共圆，且弧AC 与弧BC 相等，求BAC ∠23.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=t y tx 2122（t 为参数），以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 312+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点()1,2-M ，曲线1C 与曲线2C 交于B A ,,求MB MA ⋅的值.24. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()a x x f -=（1）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；（2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f精品卷答案一选择题: 1.C 2.D 3.B 4 .A 5. D 6.B 7.A 8. A 9.B 10. B 11.D 12. C 二填空题:13. 24 14. 4 15. 132 16. 772 三解答题:17.解析：（Ⅰ)由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311(2)n n a a a a n a n -+++++-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+，所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)，因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列（Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+，故{}n T n 是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=，当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=，因为11b =满足该式，所以n b n = 所以不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++，即为2123912222n n n m -+++≥-，令21231222n n n R -=+++，则23112322222n nnR =+++，两式相减得231111112(1)122222222n n n n n n R -+-=++++-=-，所以1242n n n R -+=-由92n n R m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立，又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=，故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=；当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=；则2542nn--的最小值为6116，所以实数m的最大值是611618.解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．19.（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． 3分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，则，，．所以，的分布列为所以，． 12分20.解析：（Ⅰ）抛物线21:2C y px =上一点0(3,)M y 到其焦点F 的距离为4；抛物线的准线为2px =-抛物线上点0(3,)M y 到其焦点F 的距离||MF等于到准线的距离d 所以342pd =+=,所以2p = 抛物线1C 的方程为24y x = 椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率2e =,且过抛物线的焦点(1,0)F所以1b =，22222112c a e a a -===,解得22a = 所以椭圆的标准方程为22121y x += (Ⅱ)直线1l 的斜率必存在,设为k ,设直线l 与椭圆2C 交于1122(,),(,)A x y B x y 则直线l 的方程为(1)y k x =-, (0,)N k -联立方程组:24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 所以2222(24)0k x k x k -++=216160k ∆=+>,所以212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ (*) 由,NA AF NB BF λμ==得:1122(1),(1)x x x x λλ-=-= 得: 1212,11x xx x λμ==--所以121221121212121212(1)(1)211(1)(1)1()x x x x x x x x x x x x x x x x x x λμ-+-+-+=+==-----++ 将(*)代入上式,得12121212211()x x x x x x x x λμ+-+==--++(Ⅲ)设(,),(,)p p Q Q P x y Q x y 所以(,)p Q p Q S x x y y ++,则''(,0),(,0)P Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21P Q P Q x x y y +=-(1) 2212P P y x +=,(2) 2212Q Q y x +=(3) (1)+(2)+(3)得:22()()12P Q P Q y y x x +++=即(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆222:121y x C +=的方程命题得证 21.(1）()()()()b x a x x a x f +++++=11ln 12'，()00'=+=∴b a f()()()11122+-=-+=-e e a e b ae e f 12+-=e e1=∴a ，1-=b -------4分(2)()()()x x x x f -++=1ln 12，设()()()221ln 1x x x x x g --++=，()0≥x ，()()()x x x x g -++=1ln 12'()()()011ln 2''>++=x x g ，()x g '∴在[)+∞,0上单调递增，()()00''=≥∴g x g ，()x g ∴在[)+∞,0上单调递增，()()00=≥∴g x g ．．…………………8分(3）设()()()221ln 1mx x x x x h --++=，，由(2) 中知，，()mx x x h 23'-≥∴，①当02-3≥m ，即23≤m 时，()0'≥x h ，()x h ∴在[)+∞,0单调递增，()()00=≥∴h x h ，成立．②当023<-m ，即23>m 时，()()()()x m x x x h 211ln 12'-+++=，- 11 - ()()m x x h 231ln 2"-++=，令()0"=x h ，得0123-20>-= m e x ，当[)0,0x x ∈时，()()00''=<h x h ，()x h ∴在[)0,0x 上单调递减，()()00=<∴h x h ，不成立．综上，23≤m .………………………12分 22.（1）DE 与圆相切，DAB DCB EAD EDC ∠=∠∠=∠, AD 平方EAB ∠,所以DCB EDC ∠=∠DCB EDC ∠=∠∴-------------5分（2）弧AC 与弧BC 相等，设θ=∠=∠CBA CAB ，DBA EDA ∠=∠θθ23,21=∠∴=∠=∠ACB CAD DBC ,ππθ72,27=∠∴=BAC 23. （1）14,122=++-=y x x y -----------4分（2）将()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=221222代人2C 直角坐标方程得0821252=+-t t 5821=⋅t t -------------------10分 24.（1）因为m a x ≤-所以m a x m a +≤≤-3,251==∴⎩⎨⎧=+-=-m a m a m a -------------5分（2）2=a 时等价于x t x ≥+-2当20,2,2<≤≥+-≥t x t x x 所以舍去当,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立当x t x x -≥+-<2,0成立所以，原不等式解集是⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,t -----------10分。