2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷
2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准
………………10 分
注意到，若 i, j 固定，则显然至多有一个 k 使得①成立．因 i < j ，即 i 有 j −1 种选法，
故 g j (r) ≤ j −1． 同样地，若 j, k 固定，则至多有一个 i 使得①成立．因 k > j ，即 k 有 n − j 种选法，故
g j (r) ≤ n − j ．从而
又因为 Q 为 BD 的中点，所以 ∠CQB = ∠DQF ． 又 ∠AQB = ∠DQF ，所以 ∠AQB = ∠CQB ．
………………40 分
2011 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）答案第 1 页（共 4 页）
二、（本题满分 40 分）证明：对任意整数 n ≥ 4 ，存在一个 n 次多项式
i = m +1
即第 2 行至第 3 行、第 m +1列至第 n 列组成一个“好矩形”，从而至少有 2 个小方格不是“坏
格”，矛盾．
类似地，也不存在 m, n, 0 ≤ m < n ≤ 9 ，使 S m + Tm ≡ S n + Tn (mod10) ． …………30 分
因此上述断言得证．故
9
9
9
∑ ∑ ∑ S k ≡ Tk ≡ (S k + Tk ) ≡ 0 +1+ 2 +L + 9 ≡ 5(mod10) ，
f (x) = (x +1)(x + 2)L(x + n) + 2 ，
①
………………10 分
将①的右边展开即知 f (x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式．
下面证明 f (x) 满足性质（2）．
对任意整数 t ，由于 n ≥ 4 ，故连续的 n 个整数 t +1, t + 2,L, t + n 中必有一个为 4 的倍数，
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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
高二数学竞赛试题参考答案
参考答案：一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；15．130 16．)1,21[-三、解答题： 17．解: (Ⅰ)由cos C =C是三角形内角，得sin C ==∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+22== (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，sin sin BC ACA B=，sin sin AC BC A B ==6=132AC CD BC ===, cos 5C =, 由余弦定理得:AD ==18．解：（1(2)(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.9219．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-=又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。
故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2222=+++=-+-y x y x 或20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；连结MO ，,O M 分别为1,DB DD 的中点，1//OM BD ∴，OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM1//BD ∴平面ACM ． （II ）AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，∴1AC DD ⊥；且1BDDD D =，∴ AC ⊥平面11BDD B1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，连结1B M ，在1B MO ∆中，22213MO =+=，222126B O =+=，(222119B M =+=，∴22211B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；法二：211==BB DO BO MD, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒∠+∠=，∴1B O OM ⊥．（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积∴111111332O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，11132==． 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，则111111111133232O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则1)(='c f 与已知矛盾。
玉泉高中第二届高二数学竞赛试题
玉泉高中第二届高二数学竞赛试题命题人：郑本红 一．选择题：共60分。
每小题5分 1．下列集合恰有2个元素的集合是（ ） A {x 2-x=0} B {y|y 2-y=0} C {x|y=x 2-x} D{y|y=x 2-x} 2.已知平行四边形ABCD 的顶点A （3，-1），C （2，-3），点D 在直线3x-y+1=0上移动，则点B 的轨迹方程是（ ） A 3x-y-20=0(x ≠13) B 3x-y-10=0(x ≠3) C 3x-y-9=0 () (x ≠2) D 3x-y-12=0(x ≠5) 3．已知集合A={f(x)|f(x+1)= -f(x) x ∈R},B={f(x)| f(x+2)= -f(-x),x ∈R}, 若f(x)=sin πx,则（ ） A f(x)∈A 但f(x)∉B B f(x)∈A 且f(x)∈BC f(x)∉A 但f(x)∈BD f(x)∉A 且f(x)∉B 4.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的两个根,实数a,b,α,β的大小关系可能是 ( ) A α<a<b<β B a<α<β<b C a<α<b<β D α<a<β<b5.如果直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx+my-4=0交于M,N 两点,且M,N关于直线x+y=0,对称则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-001y my kx o y kx 表示的平面区域的面积是( )A.41B.21C 1D 26.设a>b>c,n ∈N*,且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为（ ）Ａ. 2 Ｂ. 3 Ｃ. 4 Ｄ. 5 7.已知E ＝}{2|),(x y y x ≥，F ＝}(0)(|),(22=-+a y x y x那么使E ∩F ＝F 成立的充分条件是（ ）A a 45≥ B a=45 C 1≥a D a>08.a,b 是异面直线，A,B ∈a, C,D ∈b, AC ⊥b, BD ⊥b 且 AB=2,CD=1,则a 与b 的成角为 （ ） A 30度 B 60度 C 90度 D 45度 9.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,E,F 分别 是 AA 1,CC 1的中点，P 是 CC 1上的 动点（包括端点），过E,D,P 作正方体的截面，若截面是四边形，则P 的轨迹为（ ） A 线段CF. B 线段C 1F . C 线段CF 和一点C 1 D 线段C 1F 和一点C 10.设f(x)=66323-+-x x x ,且f(a)=1,f(b)= -5,则a+b 等于（ ）A -2B 0C 1D 2 11.设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于任意 的x 1∈D,存在唯一的x 2∈D,使c x f x f =+2)()(21(c 为常数)成立，则称函数y=f(x)在D 的均值为c ，给出下列四个函数：①y=x 3②y=4sinx ③y=lgx④y=2x则满足在其定义域上均值为2的函数是（ ） A ①② B ③④ C ①③④ D ①③12.若当p(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式m+n+c≥0恒成立，则c 的取值范围（ ） A 1221-≤≤--c B 1212+≤≤-c C 12--≤c D 12-≥c二填空题：共16分,每题4分。
高中数学竞赛模拟习题15
2011 年全国高中数学联赛模拟试题一一试一．填空 （每小 8 分，共 64 分）1．函数 f (x)5 4x x 2 在 (,2) 上的最小 是．2 x2. 函数 ysin x cos x的 域是．sin x1 cos x3. 将号 分 1、 2、⋯、 9 的九个小球放入一个袋中， 些小球 号 不一样，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号 a ，放回后，乙此后袋中再摸出一个球，其号b 。
使不等式a?2b+10>0 建立的事件 生的概率等于．4． 数列 { a n } 的前 n 和 S n 足： S na nn1， n 1,2, L， 通 a n =．n(n1)x 2 y 2 1(ab0) 与直x y 1 交于 M,N 两点 ,且 OM ON ,(O5.已知b 2a 2原点 ),当 的离心率e[ 3 ,2] , 的取 范 是 ．3 26．函数 y 5 x 110 2x 的最大 是．7 ． 在 平 面 直 角 坐 系 中 ， 定 点P x 1, y 1、Q x 2, y2之 的“直角距离”d (P, Q) x 1x 2y 1 y 2 . 若 C x, y 到点 A1,3 、 B 6,9 的“直角距离”相等，其中 数 x 、 y足 0x10、y10， 所有 足条件的点C 的 迹的 度之和．8．一个半径1 的小球在一个内壁棱4 6 的正四周体容器内可向各个方向自由运， 小球永 不行能接触到的容器内壁的面 是．二 .解答题 （共 56 分）5 9.（ 16 分） 已知定 在R 上的函数 f (x) 足：f (1)，且 于随意 数x 、y ，2有 f (x) f ( y)f ( xy)f ( xy) 建立 .（ 1）若数列 { a n } 足 a n（ 2）若 于随意非零 数2 f (ny ， 有1) f (n)( n 1,2,3,L ) ，求数列f ( y) 2 . 有理数 x 1, x 2 足 | x 1{ a n } 的通 公式； | | x 2 |，判断 f ( x 1 )和 f (x 2 ) 的大小关系，并 明你的.10.（ 20 分）设b 0，数列{ a n}知足a1b， a nnba n 1(n 2) ．an 12n2（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）证明：对于全部正整数n ， a n b n 11．2n 111.（ 20 分）若a 、b、 c R，且知足kabc(a b) 2( a b4c)2，求k 的最a b c大值。
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高一下学期期中考试试题(数学)(无答案)
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题考试时间：120分钟 总分：160分 出卷人：史振毅 审卷人：江文友 一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题卡相应的位置上）1.在ABC ∆中，若ac b c a +=+222，则=∠B .2.在数列{}n a 中，111,2n n a a a +=-=，则2011a 的值为 .3.等比数列{}n a 中，991,a a 为方程016102=+-x x 的两根，则2080a a ⋅ 的值为 .4.ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，若4:1:1::=C B A ，则c b a ::= .5．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为__________________________________6. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥62363200y x y x y x ，则y x z +=的最大值为______________7. 已知二次函数2)(2+--=x x x f 的定义域为A, 若对任意的A x ∈,不等式042≥+-k x x 成立, 则实数k 的最小值为__________________8．若△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B co s 的值为9. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C 则ABC ∆为 三角形.10．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，则下列两条直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=和22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系是11.实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤-≤a y x y x 233||,若在平面直角坐标系中,由点),(y x 构成的区域的面积是22，则实数a 的值为12.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则220715a a b b +=+ .13. 把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a 44=1，则表中所有数的和为_______.14.把公差为2的等差数列}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 中，将}{n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12-n 项的各组，得到数列}{n c ：3765423211,,,,,,,,,a b b b b a b b a b ，…，数列}{n c 的前n 项的和为n S .若11=c ，22=c ，=3S 413．则数列{}n c 的前100项之和100S = .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.(14分)已知△ABC ，内角A,B, C 所对的边分别为c b a ,,，且满足下列三个条件：①ab c b a +=+222 ②C c sin 143= ③13=+b a 求 (1) 内角C 和边长c 的大小；(2)△ABC 的面积16．(14分) (1)求不等式452-≤x x 的解集A ；(2)设关于x 的不等式02)2(2≤++-a x a x 的解集为M ，若A M ⊆，求实数a 的取值范围．17.(15分) 人民商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：18．(15分) 设数列{}n a 的前n 项和为22,{}n nS n b =为等比数列，且112211,()a b b a a b =-=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）设nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．19．(16分)已知函数2()()f x x ax a a R =-+∈同时满足：○1不等式()0f x ≤ 的解集有且只有一个元素；○2在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为()n S f n = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足10i i c c +⋅<的正整数i 的个数．．称为这个数列{}n c 的变号数，令1n nac a =-（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数 （3）设数列｛n c ｝满足：111nn i ii c a a=+=⋅∑，试探究数列｛n c ｝是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．20．(16分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．。
高二数学竞赛测试题参考答案
参考答案1．18【解析】sin10sin50sin70︒︒︒=000001sin80sin10cos10cos20cos4018sin10cos20cos40cos10cos108===2．8【解析】由f(x)=x 2−1，得f ′(x)=2x ，则x n+1=x n −x n2−12x n =x n2+12x n，所以x n+1−1==(x n −1)22x n，x n+1+1==(x n +1)22x n，所以x n+1−1x n+1+1=(x n −1)2(x n+1)2，所以ln xn+1−1x n+1+1=ln (x n −1)2(x n+1)2＝2ln x n −1x n+1，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则．3．{}1,0-【解析】当()0,12x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1200x -⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦当[)12,20x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()111⨯-=- 所以值域为{}1,0-4．1322i -± 【解析】由题意可设(),,,0,x yi x y R y x yi αβ=+∈≠=- ，由2R αβ∈得()()232322303x yi x yi R x y y y x x yix y++=∈⇒-=⇒=±-+所以αβ= ()()2222234x xi x yi x yi x yi x y x ±++===-+ 1322i -± 5．【解析】 【分析】 由正弦定理得，，由此能sinβ，cosβ，tanα＝sin∠BAC＝sin（α+β）得cosα，sinα，从而得到cos∠BAC，由此利用余弦定理能求出BC．【详解】∵在△ABC中，AB＝2，AC＝4，是的中点，记∠CAD＝α，∠BAD＝β，∴，，∴sin，sin＝CD sin∠ADC，∵BD＝CD，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴sinα：sinβ＝：CD sin∠ADC2：1．即得sinβ，cosβ，∴tanα＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sinα，∴，∴cos2α+cosα2，解得cosα，或cosα（舍），sinα，∴sin∠BAC，cos∠BAC，∴BC．故答案为．【点睛】本题考查三角形边长的求法，解题时要认真审题运算，注意正弦定理和余弦定理的合理运用,是中档题. 6． 【解析】 【分析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P 点坐标，借助向量夹角公式得到结果. 【详解】,设∵∴,故答案为：【点睛】本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题. 7．223x y +=【解析】设点P 为()11,x y ，则1l 方程为()11y y k x x -=- ，与2212x y +=联立方程组得()()()2221111124220k x k y kx x y kx +--+--= ，所以()222111102210k x kx y y ∆=⇒--+-= ，由题意得()22211112210k x kx y y --+-=的两根乘积为-1，所以222111211132y x y x -=-⇒+=-，当1l 的斜率不存在时也满足，因此点P 轨迹方程为223x y += 8．()2,4【解析】设直线方程x ty m =+ ,与抛物线方程联立得()22440160y ty m t m --=∴∆=+>中点()2222,2,13230MC l M t m t k k m t t +=-∴=-∴->当0t = 时,显然有两条直线满足题意,因此0t ≠时,还有两条直线满足题意,即()2,4r ==点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围． 9．165【解析】由题意得22112t at b a b t t ⎛⎫⎛⎫+++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即][()22211120,2,,22,4t a t b b u au u t u t t t ⎛⎫⎛⎫++++=∴-=+=+∈-∞-⋃+∞⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此224a b +()()()()246422342222414112121141u u u u u a au u u u u u+-=+++≥==++-+++ 116142145≥++-=+ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．32,e e --（）【解析】令()()()()23,xxf x f xg xh x ee==，则()()()()()()23230,0xxf x f x f x f xg xh x e e --=>=''<'()()()()220162201732016320172016201720162017,f f f f e e e e ⨯⨯⨯⨯∴()()()()2320162016,,20172017f f e e f f --∴即()()20162017f f 的范围是32,e e --（）点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等11．【解析】试题分析：()1由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭，再次代入得a b c ==时，取等号()2由（1）知， a b c ==时， 0∆=，此时()f x 仅有一个零点；当a b c 、、不全相等时， 0∆<，此时()f x 零点个数为0 解析：（1）由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭()()22223332222a b c b c ac b a a b c ab bc ac++=++⇒++≥++，当且仅当222222b c a a b c==，即a b c ==时，取等号.12．（1）2， 1；（2）()813y x =--. 【解析】试题分析：（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==，联立解得a ；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得：()2224240kx kx k +-+-=，设点P 的坐标为(),P P x y ，由根公式，得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．由 10AP AQ ⋅=，即可得出k 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B 是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==可得设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2a =， 1b =． （2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥， 易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠）， 代入1C 的方程，整理得： ()2224240k x kx k +-+-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 同理，由()()()210,{10,y k x k y x y =-≠=-+≤得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．依题意可知AP AQ ⊥，∴()22,44kAP k k =-+， ()1,2AQ k k =-+． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，即()2224204k k k k -⎡⎤-+=⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-， 经检验， 83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--． 13．见解析【解析】试题分析:根据平角得R A S 、、三点共线，根据同弦所对角相等得 F R S E 、、、四点共圆．根据四点共圆性质得MRB FRA ∠=∠，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+．试题解析:解：延长1BO 、2BO 分别与圆1O 、圆2O 相交于点R S 、，连结RM RF RB SA SE SN AB 、、、、、、．则90BAR BAS ∠=∠=︒，所以R A S 、、三点共线．又90RFS SER ∠=∠=︒，于是F R S E 、、、四点共圆．故MRF MBF EFB ERS ∠=∠=∠=∠，从而MRB FRA ∠=∠，因此MB FA =，同理NB AE =．所以MN AE AF =+．14．见解析【解析】试题分析： 放缩证明：先证12n a n ≤+，再证()111xn x x ++＞．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当2n ≥， n N ∈时， 12n a n ≤+， ①当2n =时， 222111111124422a a a a ⎛⎫=-=--+≤= ⎪+⎝⎭，上述结论成立；②设n k = 2k ≥（）时， 12k a k ≤+成立，则当1n k =+时 21k k k a a a +=-+=2211112422k a k ⎛⎫⎛⎫--+≤-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭211444k k k ++=++＜ 2114312k k k k +=++++，（） 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②得，对任意的2n ≥， n N ∈都有12n a n ≤+． 当1n =时， 11121113S a n+==+＜； 当2n ≥时， 2112nn i S i =++∑＜． 下面证明： 21211123ni n n i =++++∑＜，即证明212123ni n n i =++∑＜ 2n ≥（）． 设函数()()111xf x n x x =+-+ 0x （＞），则 ()()()22110111x f x x x x =-=+++'＞， 所以()f x 在0+∞（，）上是增函数，所以()()00f x f =＞恒成立，即()111xn x x ++＞． 令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜． 故()()22121211123nn i i n n n n n n i ==+⎡⎤+-+=⎣⎦+∑∑＜ 所以2121123ni n n i =+++∑＜．综上可得2113nn S n +≤+．。
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高二竞数学赛试题班别＿＿＿ 姓名 ＿＿＿＿座号 ＿＿＿＿ 总分＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( ) A ．1292-+-x xB ．1292-+x xC ．1292+--x x D.1292+-x x2．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．3．如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181B ．91 C ．61 D ．1813 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++二、填空题（每题5分，共 5．在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．满足方程2=所有实数解为 ．8．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．三．解答题（每题15分，共60分）1. 已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时， cosC 有最小值为257. (1)建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. (2)过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的 最小值的集合.4.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当 10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n xx += ).高二数学竞赛答案A D A C 5.55 6． 50 7．20102011x ≤≤ 8．223+．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（4分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（7分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（13分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（15分）2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………3分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………12分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………15分 3．解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.4.解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++==()02232221≤++-x x x 所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则 10ni i x ==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分。
高二数学竞赛试题
高二理科数学竞赛试题考试时间：120分钟 满分：150分（请将试题答案做在答题纸上）第Ⅰ卷（选择题 50分）选择题（每小题5分，共10题）1.在等差数列{}10411,,,3a a a a a n 且中，=成等比数列，则n a 的通项公式为 （ ） A. 12+=n a n B. 2+=n a n C.312=+=n n a n a 或 D. 2+=n a n 或3=n a2.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A= ( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）01503、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是( )A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=-C 、2Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=-4.已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。
若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B.33 C.31 D.295、在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π6、a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（ ）（A ）01<<-a （B ）10<<a （C ）31<<a （D ）63<<a 7．已知不等式(x+y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.88.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定9. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为 ( ). A.625 B.38 C. 311D. 4 （10）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当取得最大值时，+--的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ） （D ）3 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 将答案直接填写在答题纸给定的横线上.11、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 12、若对任意0x ＞，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ． 13.在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A 的值等于 ，AC 的取值范围为 14、设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .15．设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥， 则m 的取值范围是 ．学案装订线三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。
2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷
2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．每小题有且只有一个正确选项） 1． 已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c = ． (1) 若a 与b 是异面直线，则c 至少与a 、b 中的一条相交； (2) 若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直； (3) 若a ∥b ，则必有a ∥c ；(4) 若a b ⊥，a c ⊥，则必有M N ⊥． 其中正确的命题的个数是（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 ［答］ ( C )2． 已知22(,),(,)()A a a B b b a b ≠两点的坐标满足2sin cos 1a a θθ+=，2sin cos 1b b θθ+=，记原点到直线AB 的距离为d ，则其的取值范围适合（ B ）(A)1d > (B)1d = (C)1d < (D)不能确定 3．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 1=22，AD 1=17。
则AC 的取值范围是（ C ）5AC <<(B) 3AC <<(C) 35AC <<AC <<4．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点。
那么，线段PQ 中点的轨迹方程是 ( B)．(A)221y x =- (B)222y x =- (C)221y x =-+ (D)222y x =-+5． 四面体S-ABC 中，三组对棱的长分别相等，且分别为34、41、5，则此四面体的体积为 （ A ）(A) 20 (B) 710 (C) 320 (D) 306． 一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+ (B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．过点(1,1)M 的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3，这样的直线有 4 条.8．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 2 9．设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b =4110． 如图，正四面体ABCD 的棱长为8cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E、F，若3AE ==CF cm ，则线段EF．11．如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥且2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆的面积的最小值是 4ABFDE12已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____29π______.三、解答题（共4小题，满分48分）14.（本题满分15分）如图，已知三棱锥P —ABC ，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC ．（I ）求证：//DM 平面PAC ；（II ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅲ）若M 为PB 的中点，求三棱锥M —BCD 的体积．（1）【证明】∵△PAB 中， D 为AB 中点，M 为PB 中点，∴//DM PA ∵DM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴//DM 平面PAC（2）【证明】∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB=20， ∴.10AB 21AD DB PD ==== ∴△PAB 是直角三角形，且AP ⊥PB ，又∵AP ⊥PC ，.P PC PB =∴AP ⊥平面PBC ． ∴AP ⊥BC ． 又∵AC ⊥BC ， AP∩AC=A ， ∴BC ⊥平面PAC ． ∵.ABC BC 平面⊂∴平面PAC ⊥平面ABC ．（3）【解】由（1）知//DM PA ，由（2）知PA ⊥平面PBC ， ∴DM ⊥平面PBC ．∵正三角形PDB中易求得DM =，111142224BCM PBC S S BC PC ∆∆==⋅⋅=⋅= ∴.7102123531=⨯⨯==--BCM D BCD M V V已知椭圆159x 22=+y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，过2F 的直线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB ⊥，垂足为P ．（1）设P 点的坐标为),(00y x ，求59220y x +的最值； （2）求四边形ACBD 的面积的最小值．解：（１）由已知得1F （－２，０），2F （２，０），Ｐ1F ⊥Ｐ2F ，∴Ｐ),(00y x 满足220202x =+y ， ∴4x 0,4y 202020≤≤-=且x ，∴592020y x +＝20x 45454-，A 11∴它的最小值为94，最大值为54． （２）若直线AB 的斜率k 存在且不为０，因CD AB ⊥，∴直线AB 的方程为2)k(x y +=，直线CD 的方程为2)(x k1-y -=． 联立159x 22=+y 和2)k(x y +=，消去y 得：0453636)5(9k 2222=-+++k x k x ，0)1(3022>+=∆k ， 设),A(x 11y ，),(22y x B ，则5936x 2221+-=+k k x ，5945362221+-=k k x x ，AB =59)130(k 22++k ； 联立159x 22=+y 和2)(x k 1-y -=，消去y 得：0453636)9(5k 222=-+++k x x ，0)1(30222>+=∆kk ， 设),C(x 33y ，),(44y x D ，则2435936x k x +-=+，2243594536kk x x +-=， CD =2259)130(k k++； 2222222222)59()59()1(450)59)(59()1(45021⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≥+++=⋅=k k k k k k CD AB S ACBD =49450，当1k ±=时等号成立．当k 为0或不存在时，10310621S ACBD =⨯⨯=49450>；综上，四边形ACBD 的面积的最小值为49450．15． （本题满分12分）椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点．已知12PF PF ∙的最大值为3，最小值为2．(１) 求椭圆C 的方程；(２) 若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以MN 为直径的圆过点A ．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：(1) P 是椭圆上任一点,12||||2PF PF a ∴+=且1||a c PF a c -≤≤+，121212||||cos y PF PF PF PF F PF =∙=∠222121[||||4]2PF PF c =+- 222111[||(|2||)4]2PF a PF c =+-- 2221(||)2PF a a c =-+-．当1||PF a =时，y 有最小值222a c -；当2||PF a c =-或a c +时, y 有最大值22a c -．2222322a c a c ⎧-=∴⎨-=⎩， 2241a c ⎧=⎨=⎩， 2223b a c =-=．∴椭圆方程为22143x y +=． (2) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程得222(43)84120k x kmx m +++-=．21212228412,4343km m x x x x k k --∴+==++．11y kx m =+，22y kx m =+，22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++， MN 为直径的圆过点A 0AM AN ∴∙=，2271640m km k ∴++=，27m k ∴=-或2m k =-都满足0∆>，若2m k =-直线l 恒过定点(2,0)不合题意舍去， 若27m k =-直线l ：2y k(x )7=-恒过定点2(,0)7．17． （本题满分13分）设,199}{1,2,3,I =，I },,,,{A 100321⊂=a a a a ，且A 中元素满足：对任何100j i 1≤<≤，恒有200≠+j i a a ． （1）试说明：集合A 的所有元素之和必为偶数；（2）如果10002100321=++++a a a a ，试求2100232221a a a a ++++ 的值． 解：（1）将集合,199}{1,2,3,I =的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A 的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成． ∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A 的所有元素之和必为偶数．（2）不妨设9921,,,a a a 为依次从以上前99个集合中选取的元素，100100=a ， 且记各集合的落选元素分别为9921,,,b b b ，则200=+i i b a ，)99,,2,1( =i ， 由于2222321n ++++ =6)12)(1(++n n n∴ )(2100232221a a a a ++++ +)(2992221b b b +++=2222199321++++ =6)11992)(1199(199+⨯+=2646700，……①而)(9921a a a +++ +)(9921b b b +++ =1980099200＝⨯， )(9921a a a +++ =10002-100=9902，∴ )(9921b b b +++ =19800-9902=9898 ∴ )(2100232221a a a a ++++ -)(2992221b b b +++=)(2121b a -+)(2222b a -+…+)(299299b a -+2100a =))((1111b a b a -++))((2222b a b a -++…+))((99999999b a b a -++2100a=200)[(9921a a a +++ -)](9921b b b +++ ）+10000=108001000098989902200＝）（+- ……② 由①②得：)(2100232221a a a a ++++ =1328750 ．。
高二数学竞赛试题及答案
高二年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题:p 方程11522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<<m B ．1>m C ．51<<m D ．54<<m2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满足()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（ ）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（ ）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)3f x x π=+ B ．()2sin(2)6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等比数列，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A.)21,1 B.21,1⎤⎦C.(21⎤⎦D.20,2⎛⎝⎦12． 已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为（ ）A ．24B ．104C ．14D ．248+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有 ②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在ABC ∆中, 点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点,3272,cos ,273AE B ADB π==∠=. （1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线3y x =-相切. ⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．参考答案一、选择题1．D 解析：方程表示焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.3.D 解析：由已知1n na a +=4.A解析：,e ca =⇒==，渐近线方程222202x y xb b-=⇒=±，因此左顶点到一条2a b =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β⊂，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=，即OP AM ⊥，故夹角为2π，故选C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形111ABCC B A A 的对角线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对角线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥⇒≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线cos (4)sin 1x y θθ+-=的距离直线cos (4)sin 1x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合， ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=，其对称中心()0,4M如图所示：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =⎧⎨=⎩，可得M '（4，8）． 设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ∆的周长为小值，二、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0， 得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所示，①)(x f 的最大值为1，最小值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④由题意，可得，)22,2(+∈k k x ，kx f 21)(max =，1k 1x k min+=）（．证明k 211k 1≥+，即证明1k 2k +≥，又1k 2k +≥， )1(≥k ，所以k 211k 1≥+，所以对任意0>x ，不等式x k x f ≤)(恒成立，所以对任意0>x ，不等式()2f x x≤恒成立正确．故答案：①③④.三、解答题17. 解析：若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ ∴1212a -<≤.若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数， 即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴1021,201a a a ⎧<≤->⎪⎨⎪<≤⎩或即021a <≤-或112a <≤.∴实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦. 18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ∆中，2cos B =)2112732127214ADB ⎛⎫+∠=-+= ⎪⎝⎭, BD, 知 cos AD CD ADC ∠2250DC DC ∴--=,解得1DC =+.1sin 2AD DC ADC ∠=⨯ 332ADC S ∆+=20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩，所以()()max 13f x f ==， 因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ∀∈-都成立，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ∀∈-恒成立，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ⎧-+≥⎨++≥⎩，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ⎧+≤⎨-≤⎩， 所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>；联立22221x y a by x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯一根； 所以()()()222222223430ab a a a b =--+-=，得223b a +=又221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的方程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的方程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联立()22222212142202x y k x k x k y kx k⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩得，则12PQx =-= 同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ⎛⎫ ⎪++===- ⎪++++ ⎪⎝⎭=2211442410k k⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭， 因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 所以2211164,2429410k k ⎛⎫⎪⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪++⎝⎭，所以四边形PQMN 面积的最小值为169，最大值为2。
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高二下学期期中考试试题(数学理)
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题2012。
4时间120分钟 满分160分 命题人： 滕士杨审题人： 江文友一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．14C +24C = 。
2．已知5910⨯⨯⨯= m nA，则m n +为.3。
已知复数12123,,zi z i z z z =+==+，则z 的虚部为___________。
4。
5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有 种（用数字作答） 5。
已知复数z 满足i zi24111+=-，则z ＝___ ．6。
矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为____________.学 7. ()()34121x x +-展开式中2x 的系数为_______________ 8．332除以9的余数是9．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）10. 对于两个复数:i i 2321,2321-=+=βα,有如下几个结论： ①在复平面内，βα、表示的点关于实轴对称；②2βα=;③201020102αβ+=；④βα>。
其中正确的结论序号为 。
11．若2009220090122009(12)x a a xa x a x ，则20091222009222a a a 的值为 ．12．某城市的交通道路如图，从城市的西南角A 到城市的东北角B ，不．经过十字道路维修处C ，最近的走法种数有______(用数字作答）。
科22211113.t ,,,,,,ABC a b h ABC h a b a b c ∆=+-在R 中，两直角边分别为设为斜边上的高，则由此类比，三棱锥S 中的三条侧棱SA,SB,SC 两两垂直，且长度分别为设棱锥底面ABC 的高为h,则__________________. 14．用n 个不同的实数a 1,a 2，…,a n 可得n ！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n ！行的数阵．对第i 行a i 1，a i 2,…，a in ,记b i ＝－a i 1＋2a i 2－3a i 3＋…＋(－1)n na in ，i＝1，2，3,…,n!．用1，2,3可得数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以,b 1＋b 2＋┄＋b 6＝－12＋2⨯12－3⨯12＝－24．那么,在用1,2，3,4， 5形成的数阵中，b 1＋b 2＋┄＋b 120=二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知z∈C ,2z i 和2z i 都是实数．（１）求复数z ;（２)若复数2()z ai 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．B AC16．（本小题满分14分）已知二项式1()2nxx（n∈N ＊ ， n ≥2）．(１）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n 的值；（２)在(１)的条件下，求展开式中x 4项的系数；（３）若该二项式的展开式中没有常数项，求正整数n 应满足的条件．17.（本小题满分15分)变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应的变换矩阵是21412M-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦. （1)求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；（2）求直线1=+y x 依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程.(3）若向量α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡47，计算α521)(MM 的值。
高二数学竞赛试卷及参考答案
高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值 为（ ）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它 的最大内角的度数是（ ）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（ ）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖 典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等 奖的人数有 人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式 、 ．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为 ．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为 ．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分 解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除 ， ， ， ，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ． 按上述规定，明文good 的密文是 ，密文gawqj 的明文是 ．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）． （Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π， 上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211， P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围； （Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +． （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：2<n T ； （Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01， 对称． （Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。
无锡市玉祁高级中学数学竞赛高二预赛考试试题(教师版)
无锡市玉祁高级中学数学竞赛高二预赛试题（教师版）出卷人：史振毅 审卷人： 考试时间：120分钟 总分120分一、填空题（本题满分50分，每小题5分）1、在四面体中，最多有 4 个面是直角三角形.2、给出下列关于互不相同的直线,,m l n 和平面,αβ的四个命题：①若,,m lA αα⊃=点A m ∉，则l 与m 不共面；②若,m l 是异面直线，l //,m α//α且,n l n m ⊥⊥，则n α⊥； ③若//,//,//l m αβαβ，则//l m ； ④若,,,//,//l m lm A l m ααββ⊂⊂=，则//αβ.其中为真命题的是 ①②④ .3、已知直线12:sin 10,:2sin 10l x y l x y θθ+-=++=，若12//l l ，则θ=()4k k Z ππ±∈ .4、设命题p ：函数2lg(2)y x x c =+-的定义域为R ，命题q ：函数2lg(2)y x x c =++的值域为R . 若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，则c 的取值范围为 [1,1]- .5、已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离是8. 则椭圆C 的标准方程是2212516x y += . 6、在四面体ABCD 中，5,3,4AB AC AD DB BC CD======，该四面体的体积是7、已知圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于,A B 两点，O 是坐标原点，若20OA OB +=，则||AB =. 8、已知椭圆2222:1(0),(,0)x y C a b A a a b +=>>为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0,||2||AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-，则椭圆的离心率为3. 9、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l ax by +=的距离为，则直线l 的倾斜角的取值范围是 5[,]1212ππ. 10、在棱长为2的正四面体木块ABCD 的棱AB 上有一点(1)P PA <，过点P 要锯出与棱AB 垂直的四面体的截面，当锯到某个位置时因故停止，这时量得在面ABD 上的锯痕1PM =，表面ABC 上的锯痕13PN =，则锯缝MN =.11、（14分）已知: 命题:()p g x 函数的图象与函数x x f 31)(-=的图象关于直线y x =对称,且()2g a <.命题:q 集合{}R x x a x x A ∈=+++=,01)2(2,{}0>=x x B ,且φ=⋂B A .求实数a 的取值范围,使命题p 、q 有且只有一个是真命题. 解:因为x x f 31)(-=,所以1()3xg x -=……………1分 由()2g a <,得231<-a,解得75<<-a ……………3分 φ=⋂B A ,且{}0>=x x B ,故集合A 应分为φ=A 和φ≠A 两种情况……………4分(1) 当A=φ时,04)2(2<-+=∆a ,解得04<<-a ……………7分(2) A φ≠时,⎩⎨⎧<+-=+≥-+=∆0)2(04)2(212a x x a ,解得0≥a ……………9分故4a >-…………………………10分若p 真q 假,则45≤<-a ，若p 假q 真,则7≥a ……………12分实数a 的取值范围为(][),74,5+∞⋃-,使命题p 、q 有且只有一个是真命题. ……14分12、（14分）已知22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由O 外一点(,)P a b 向O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =. （1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所作的P 与O 有公共点，试求半径最小值时P 的方程.13、（14分）如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点． （1）求证：面PCC 1⊥面MNQ ；（2）求证：PC 1∥面MNQ ； （3）若1,AA AB ===求三棱锥P MNQ -的体积.证明：（1）∵AC=BC ， P 是AB 的中点，∴AB ⊥PC ， ∵AA 1⊥面ABC ，CC 1∥AA 1，，∴CC 1⊥面ABC 而AB 在平面ABC 内 ∴CC 1⊥AB ， ∵CC 1∩PC =C ∴AB ⊥面PCC 1；又∵M 、N 分别是AA 1、BB 1的中点，四边形AA 1B 1B 是平行四边形，MN ∥AB ， ∴MN ⊥面PCC 1 ∵MN 在平面MNQ 内，∴面PCC 1⊥面MNQ ；……… 5分（2）连PB 1与MN 相交于K ，连KQ ，∵MN ∥PB ，N 为BB 1的中点，∴K 为PB 1的中点． 又∵Q 是C 1B 1的中点∴PC 1∥KQ ，而KQ ⊂平面MNQ ，PC 1⊄平面MNQ ∴PC 1∥面MNQ ． …………………………10分 （3）Q 为11B C 的中点，Q ∴到平面11AA B B 的距离h 等于CP的一半，故h =， A 1 A BC PMNQB 1C 1所以3111332P MNQ Q PMN PMNV V S h--∆==⋅=⋅=.……………14分14、（12分）如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，其左焦点到点Ｐ（２,不过原点．．．．Ｏ的直线ｌ与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ平分。
江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷【含答案】
江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷一．选择题（共7小题）1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．2．已知平面α的一个法向量为＝（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），且A∉α，B∈α，则点A 到平面α的距离为（）A．B．C．D．13．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x+y+z，则x、y、z的值分别是（）A．x＝，y＝，z＝B．x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝4．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为（8，6，4），则向量在基底下的坐标是（）A．（10，12，14）B．（14，12，10）C．（12，14，10）D．（4，3，2）5．设A（﹣2，3），B（1，2），若直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是（）A．[﹣2，3]B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）6．设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，则△ABC周长的最小值是（）A．B．C．D．7．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点H在棱AA1上，且，在侧面BCC1B1内作边长为的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是（）A．B．C．D．二．多选题（共3小题）（多选）8．已知直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，则直线l 的方程可能为（）A．2x+3y﹣18＝0B．2x﹣y﹣2＝0C．x+2y+2＝0D．2x﹣3y+6＝0（多选）9．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．BD′⊥ACB．平面A′C′D的一个法向量为（﹣2，﹣3，6）C．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为D．平面C′A′D与平面A′DD′夹角的余弦值为（多选）10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N．设BM＝x，x∈[0，1]，以下正确的是（）A．平面MENF⊥平面BDD1B1B．当且仅当时，四边形MENF的面积最小C．四边形MENF的周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数D．四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变三．填空题（共3小题）11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为．12．直线l经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是．13．正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到AD的距离为．四．解答题（共2小题）14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求点D到平面PBC的距离；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．15．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在轴正半轴上，点B在第一象限内．（1）若|AB|＝3，求△OAB的面积的最大值和取得△OAB面积最大值时的直线AB的方程；（2）设|OA|＝a，|OB|＝b，若，求证：直线AB过一定点，并求出此定点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．【解答】解：因为空间向量，，所以＝10，，所以向量在向量上的投影向量为＝．故选：C．2．【解答】解：＝（﹣1，﹣1，2）故点A到平面α的距离为，故选：B．3．【解答】解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，∴，．∴＝＝＝＝＝＝，因此，．故选：D．4．【解答】解：由已知得＝＝+6（）+4（）＝12+14+10＝（12，14，10）．故选：C．5．【解答】解：如下图，直线ax﹣y﹣1＝0过定点C（0，﹣1），斜率为a，且与线段AB相交，即过定点C（0，﹣1），斜率为a的直线l绕点C从CB逆时针旋转到CA，中间经过y轴，则a≤k CA或a≥k CB，因为，，所以则a≤﹣2或a≥3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．故选：D．6．【解答】解：设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，如图，设点A（2，1）关于直线l：y＝x+1的对称点为A′（x1，y1），则由AA′⊥l，AA′的中点在直线l上可得：，解得，即A′（0，3），作点A（2，1）关于x轴的对称点A″（2，﹣1），连接A′A″，交直线y＝x+1于点C，交x轴于点B，则AC＝A′C，AB＝A″B，此时△ABC周长最小，∴△ABC周长的最小值为．故选：B．7．【解答】解：根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，设P（x，1，z），（0≤x≤1，0≤z≤1）∵点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，∴，化简得，则6x﹣1≥0，解不等式可得，又0≤z≤1，可得≤，解得x≤，综上可得≤x≤．，所以当时，HP取最小值．故选：D．二．多选题（共3小题）8．【解答】解：直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，∴点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，∴＝，解得k＝﹣，或k＝2，当k＝﹣时，直线l的方程为，整理得2x+3y﹣18＝0，当k＝2时，直线l的方程为y﹣4＝2（x﹣3），整理得2x﹣y﹣2＝0．综上，直线l的方程可能为2x+3y﹣18＝0或2x﹣y﹣2＝0．故选：AB．9．【解答】解：由题意可得A（3，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D′（0，0，1），A′（3，0，1），C′（0，2，1），B′（3，2，1），选项A：，，即BD′⊥AC不成立；选项B：设平面A′C′D的一个法向量为，由，则，即，所以，取z＝6，得；选项C：，所以，所以异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为；选项D：由上可得平面A′C′D的一个法向量为，又平面A′DD′的法向量为，则，所以两个平面夹角的余弦值为，则D正确．故选：BD．10．【解答】解：对于A，连接EF，BD，B1D1，AC，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，则，由BB1∥FC且EA∥BB1，得EA∥FC，则四边形EACF是平行四边形，则EF∥AC，由正方形ABCD中，AC⊥BD，由BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AC，又BB1∩BD＝B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1，则EF⊥平面BDD1B1，又EF⊂平面MENF，所以平面MENF⊥平面BDD1B1，故A正确；对于B，连接MN，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，即平面EMFN∩平面A1B1BA＝EM，平面EMFN∩平面D1C1CD＝NF，平面A1B1BA∥平面D1C1CD，所以EM∥NF，同理可得EN∥MF，则四边形MENF是平行四边形，因为EF⊥平面BDD1B1，MN⊂平面BDD1B1，所以EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．设MN∩EF＝O，则O为EF的中点，如图，在正方形BCC1B1中，过M作MM1⊥C1C，垂足为M1，则，在Rt△MOF中，，则，四边形MENF的对角线，四边形MENF的面积，所以当且仅当时，四边形MENF的面积最小，且最小值为1，故B正确；对于C，因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．则四边形MENF的周长，即，当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数L＝f（x），x∈[0，1]不单调，故C错误；对于D，四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C1EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥M﹣C1EF，N﹣C1EF，因为三角形C1EF的面积是常数，又BB1∥CC1，CC1⊂平面A1ACC1，BB1⊄平面A1ACC1，则BB1∥平面A1ACC1，又点M∈BB1，则M到平面C1EF的距离即点B到平面AA1C1C的距离，是常数，同理，则N到平面C1EF的距离也是常数，所以四棱锥C1﹣MENF的体积是常数，即四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共3小题）11．【解答】解：取A1B1中点D，连结C1D，AD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，∵C1D＝＝，AD＝＝3，∴tan∠DAC1＝＝，∴∠DAC1＝．∴AC1与面ABB1A1所成的角为．故答案为：．12．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为K＝＝1﹣m2，易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，即tanθ≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是．13．【解答】解：由正四面体ABCD的棱长为12，则其高为，则其体积为，设正四面体ABCD内切球的半径为r，则，解得，如图，取AD的中点为E，则，显然，当PE的长度最小时，取得最小值，设正四面体内切球的球心为O，可求得，则球心O到点E的距离，所以内切球上的点P到点E的最小距离为，即当取得最小值时，点P到AD的距离为．故答案为：．四．解答题（共2小题）14．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，又AB⊥BC，且AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，在平面PAB内作AH⊥PB，垂足点为H，则易得AH⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为AH，又AB＝AP＝1，且易得AP⊥AB，∴AH＝PB＝，易知AD∥平面PBC，∴点D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，∴点D到平面PBC的距离为AH＝；（2）易知AP，AB，AD两两相互垂直，建系如图，∵AB＝1，AD＝3，∠ADC＝45°，∴可得BC＝2，∴B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0），∴，，，设平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为，则，，取，，又两法向量同时指向二面角B﹣PC﹣D的外部，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为：﹣cos＜，＞＝＝＝．15．【解答】解：（1）设．由|AB|＝3，得（m﹣n）2+3n2＝9，即m2+4n2﹣2mn＝9．∵，∴，当且仅当时取等号．所以△OAB的面积，当△OAB的面积取最大值时，，直线AB的方程为：y＝，即．（2）证明：，若直线AB的斜率不存在，有，又，解得，即直线AB的方程为；若直线AB的斜率存在，则直线AB的方程，化简得，两边同除，又，所以，整理得，得过定点所以直线AB恒过定点．。
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高二下学期期中考试试题(数学文)
江苏省无锡市玉祁高中2011-2012学年高二下学期期中考试数学（文）试题高二文科数学2012。
4时间120分钟 满分160分 命题人： 郭玉秀审题人： 顾婷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分）1。
已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}1,2P =，{}2,3Q =，则)(Q P C U 等于______________2.已知””是“则“a aa R a 22,2<<∈的 条件（充要，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要） 3。
函数y=432++-x x 的定义域是 。
4。
已知函数)(x f 满足2)1(x x f =+，则)(x f 的解析式是=)(x f _________________5.已知{}{}|(1)(2)0,|A x x x B x x a =-+≤=≤ ，若“x A ∈"是“x B ∈”的充分不必要条件,则a 的取值范围是 。
6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为7．函数21y x x =++的值域是________________。
8．已知函数)10(≠>=a a a y x 且经过点)4,2(-，则函数322-+=x x a y 的单调增区间为_______________ 9．若命题“034,2<+-∈∃b bx x R x 使得"是假命题，则实数b 的取值范围是10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为122+=xy ,值域为}19,3{的“孪生函数"共有 个11．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是______ 12.已知集合{}20A x xx x =-∈,R ≤,设函数a x f x +=-2)(（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 13.定义在R 上的奇函数()f x ,当),0(+∞∈x 时,x xx f 2)(2+=,则3)(<x f 的解集是_____14. 若函数()132=+-f x x tx （t *∈N ）的最大值是正整数M ，则M = 二、 解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15。
2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准
2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1. 答案：B.解析：不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立的充要条件是}11|{-≠<x x x 且，故充分而不必要的条件选B 。
2. 答案：D.解析：本题应知“P B A ,,共线，等价于存在,,R ∈μλ使μλ+=且1=+μλ”。
故选D 。
3. 答案：A.解析：由13)3()(=+⋅x f x f ，知13)6()3(=+⋅+x f x f ，所以)6()(+=x f x f ，即()f x 是周期函数，周期为6．所以213)1(13)4()456()34(===+⨯=f f f f ．选A ． 4. 答案：C.解析：由已知可得 222(1)(2)y x zy z x y x z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩①②③，又由②-③得 2z x =，代入①得 23x y =，从而43z y =，再代入②，得12y =. 故选C . 5. 答案：D.解析： 令()u f u a =，lg u t =，3t ax =-，在[1,1]x ∈-上，3t ax =-为减函数，lg u t =为增函数. 要使[1,1]x ∈-上()f x 为减函数，()u f u a =应为增函数，故1a >. 为了保证3t ax =-在[-1,1]上0t >恒成立，只需min (3)(1)30t ax f a >-==->，即3a <. 因此，13a <<. 故选D .6. 答案：C.解析：由1n x n <<+得 111()()(1)()222n n x x n n -<-<++，又)21(-n n ，)21)(1(++n n 中必有一个是正整数，且 111(1)()()2222n n n n n ++--=+， 故2n a n =. 选C .二、填空题（每小题9分，共54分） 1．答案：250.解析：因为1112(2)n n n a S S n n -=-=-≥，119112a S ===-，所以 112n a n =-. 又510a =>，610a =-<。
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2011年玉祁高中高二数学解题竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．每小题有且只有一个正确选项） 1． 已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c = ． (1) 若a 与b 是异面直线，则c 至少与a 、b 中的一条相交； (2) 若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直； (3) 若a ∥b ，则必有a ∥c ；(4) 若a b ⊥，a c ⊥，则必有M N ⊥． 其中正确的命题的个数是（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 ［答］ ( C )2． 已知22(,),(,)()A a a B b b a b ≠两点的坐标满足2sin cos 1a a θθ+=，2sin cos 1b b θθ+=，记原点到直线AB 的距离为d ，则其的取值范围适合（ B ）(A)1d > (B)1d = (C)1d < (D)不能确定 3．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 1=22，AD 1=17。
则AC 的取值范围是（ C ）5AC <<(B) 3AC << (C) 35AC <<AC <4．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点。
那么，线段PQ 中点的轨迹方程是 ( B)．(A)221y x =- (B)222y x =- (C)221y x =-+ (D)222y x =-+5． 四面体S-ABC 中，三组对棱的长分别相等，且分别为34、41、5，则此四面体的体积为（ A ）(A) 20 (B) 710 (C) 320 (D) 306． 一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+ (B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．过点(1,1)M 的直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于3，这样的直线有 4 条.8．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 2 9．设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b =4110． 如图，正四面体ABCD 的棱长为8cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若3AE ==CF cm ，则线段EF．A BFDE11．如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥且2,23==CB DA ，动点P 在 AB 上移动，则PCD ∆的面积的最小值是 412已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中为_____29π点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积______.三、解答题（共4小题，满分48分）14.（本题满分15分）如图，已知三棱锥P —ABC ，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC ． （I ）求证：//DM 平面PAC ；（II ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅲ）若M 为PB 的中点，求三棱锥M —BCD 的体积．（1）【证明】∵△PAB 中， D 为AB 中点，M 为PB 中点，∴//DM PA ∵DM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴//DM 平面PAC（2）【证明】∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB=20， ∴.10AB 21AD DB PD ==== ∴△PAB 是直角三角形，且AP ⊥PB ，又∵AP ⊥PC ，.P PC PB =∴AP ⊥平面PBC ． ∴AP ⊥BC ． 又∵AC ⊥BC ， AP∩AC=A ， ∴BC ⊥平面PAC ． ∵.ABC BC 平面⊂∴平面PAC ⊥平面ABC ．（3）【解】由（1）知//DM PA ，由（2）知PA ⊥平面PBC ， ∴DM ⊥平面PBC ．∵正三角形PDB中易求得DM =111142224BCM PBC S S BC PC ∆∆==⋅⋅=⋅= ∴.7102123531=⨯⨯==--BCMD BCD M V V已知椭圆159x 22=+y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，过2F 的直线交椭圆于C 、D 两点，且CD AB⊥，垂足为P ．A 11（1）设P 点的坐标为),(00y x ，求592020y x +的最值； （2）求四边形ACBD 的面积的最小值．解：（１）由已知得1F （－２，０），2F （２，０），Ｐ1F ⊥Ｐ2F ，∴Ｐ),(00y x 满足220202x =+y ， ∴4x 0,4y 202020≤≤-=且x ，∴592020y x +＝20x 45454-， ∴它的最小值为94，最大值为54． （２）若直线AB 的斜率k 存在且不为０，因CD AB ⊥，∴直线AB 的方程为2)k(x y +=，直线CD 的方程为2)(x k1-y -=．联立159x 22=+y 和2)k(x y +=，消去y 得：0453636)5(9k 2222=-+++k x k x ，0)1(3022>+=∆k ， 设),A(x 11y ，),(22y x B ，则5936x 2221+-=+k k x ，5945362221+-=k k x x ，AB =59)130(k 22++k ； 联立159x 22=+y 和2)(x k 1-y -=，消去y 得：0453636)9(5k 222=-+++k x x ，0)1(30222>+=∆kk ， 设),C(x 33y ，),(44y x D ，则2435936x k x +-=+，2243594536k k x x +-=，CD =2259)130(k k++； 2222222222)59()59()1(450)59)(59()1(45021⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≥+++=⋅=k k k k k k CD AB S ACBD =49450， 当1k ±=时等号成立．当k 为0或不存在时，10310621S ACBD =⨯⨯=49450>；综上，四边形ACBD 的面积的最小值为49450．15． （本题满分12分）椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点．已知12PF PF ∙的最大值为3，最小值为2．(１) 求椭圆C 的方程；(２) 若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以MN 为直径的圆过点A ．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.解：(1) P 是椭圆上任一点,12||||2PF PF a ∴+=且1||a c PF a c -≤≤+，121212||||cos y PF PF PF PF F PF =∙=∠222121[||||4]2PF PF c =+- 222111[||(|2||)4]2PF a PF c =+-- 2221(||)2PF a a c =-+-．当1||PF a =时，y 有最小值222a c -；当2||PF a c =-或a c +时, y 有最大值22a c -．2222322a c a c ⎧-=∴⎨-=⎩， 2241a c ⎧=⎨=⎩， 2223b a c =-=． ∴椭圆方程为22143x y +=． (2) 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程得222(43)84120k x kmx m +++-=．21212228412,4343km m x x x x k k --∴+==++． 11y kx m =+，22y kx m =+，22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++， MN 为直径的圆过点A 0AM AN ∴∙=，2271640m km k ∴++=，27m k ∴=-或2m k =-都满足0∆>，若2m k =-直线l 恒过定点(2,0)不合题意舍去， 若27m k =-直线l ：2y k(x )7=-恒过定点2(,0)7．17． （本题满分13分）设,199}{1,2,3,I =，I },,,,{A 100321⊂=a a a a ，且A 中元素满足：对任何100j i 1≤<≤，恒有200≠+j i a a ． （1）试说明：集合A 的所有元素之和必为偶数；（2）如果10002100321=++++a a a a ，试求2100232221a a a a ++++ 的值．解：（1）将集合,199}{1,2,3,I =的所有元素分组为{1,199}、{2,198}、……、{99,101}、{100}，共100组；由已知得，集合A 的100个元素只能从以上100个集合中各取一个元素组成．∵以上100个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共50个， ∴集合A 的所有元素之和必为偶数．（2）不妨设9921,,,a a a 为依次从以上前99个集合中选取的元素，100100=a ， 且记各集合的落选元素分别为9921,,,b b b ，则200=+i i b a ，)99,,2,1( =i ， 由于2222321n ++++ =6)12)(1(++n n n∴ )(2100232221a a a a ++++ +)(2992221b b b +++=2222199321++++ =6)11992)(1199(199+⨯+=2646700，……①而)(9921a a a +++ +)(9921b b b +++ =1980099200＝⨯， )(9921a a a +++ =10002-100=9902，∴ )(9921b b b +++ =19800-9902=9898∴ )(2100232221a a a a ++++ -)(2992221b b b +++ =)(2121b a -+)(2222b a -+…+)(299299b a -+2100a =))((1111b a b a -++))((2222b a b a -++…+))((99999999b a b a -++2100a=200)[(9921a a a +++ -)](9921b b b +++ ）+10000=108001000098989902200＝）（+- ……② 由①②得：)(2100232221a a a a ++++ =1328750 ．。