三角函数与三角恒等变换习题2

三角函数与三角恒等变换习题2一、 填空题1.cos 225+tan240+sin(-300)=︒︒︒______.2.tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒=_______.3. 已知tan 2x =-，则2222sin 3cos 3sin cos x xx x+-的值为_________.4. 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=________. 5. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________.6. 已知函数(2)(0)y x ϕθπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ=__________.7. 函数12log sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为________.8. 已知函数sin y x x =，且,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数的值域是_________. 9. 若3sin cos 0θθ-=，则21cos sin 22θθ+的值是___________. 10. 已知,αβ都是锐角，且54sin ,cos()135ααβ=+=-，则sin β的值是_________. 11. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______.① 若cos cos αβ=，则2k αβπ-=，k ∈Z ；② 函数2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于12x π=对称；③ 函数cos(sin )y x = (x ∈R )为偶函数； ④ 函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.12. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则f (0)＝_________.13. 若0,,(0,)4παβπ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-=______. 14. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是______. 二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)如图是表示电流强度I 与时间t 的关系sin()(0,0)I A t ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象.(1) 写出sin()I A t ωϕ=+的解析式；(2) 指出它的图象是由I ＝si nt 的图象经过怎样的变换而得到的.16. (本小题满分14分)化简s i n 6s i n 42︒︒︒︒.17. (本小题满分14分)已知函数y ＝sin x ²cos x ＋sin x ＋cos x ，求y 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的值.18. (本小题满分16分)设02πθ<<，曲线22sin sin 1x y θθ+=和22cos sin 1x y θθ-=有4个不同的交点.(1) 求θ的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.19. (本小题满分16分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R . (1) 求g (a )的表达式； (2) 若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值.20. (本小题满分16分)已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数y ＝f (x )的图象关于直线4x π=对称，当x ≥4π时，函数f (x )＝sin x . (1) 求,24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2) 求y ＝f (x )的函数表达式；(3) 如果关于x 的方程f (x )＝a 有解，那么在a 取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围.三角函数与三角恒等变换习题2711【解析】原式＝2222tan 3(2)37.3tan 13(2)111x x +-+==---4. 25. y ＝2c os 2x 6. 2π 7.,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭（k ∈Z ） 【解析】∵ sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＞0，且y ＝12log t 是减函数，∴ 2k π＜2x ＋4π≤2π＋2k π，（k ∈Z ），∴ x ∈,88k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦（k ∈Z ）.8.2⎡⎤⎣⎦【解析】y ＝sin x x ＝2sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭，又2π≤x ＋3π≤4,3π∴ sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭∈2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴ y 2］.9.65【解析】tan θ＝13，∴ cos 2θ＋12sin2θ＝2222cos sin cos 1tan 6.sin cos tan 15θθθθθθθ++==++10. 5665 【解析】由题意得cos α＝1213，sin （α＋β）＝35.∴ sin β＝sin ［（α＋β）－α］＝sin （α＋β）²cos α－cos （α＋β）²sin α＝5665.11. ①②④ 12. 2313.34π-【解析】tan α＝tan （α－β＋β）＝11127113127-=+⨯，∴ tan （2α－β）＝tan ［（α－β）＋α］＝11231123+=-⨯.∵ β∈（０，π）,且tan β＝－17∈（－1，0），∴ β∈3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴ 2α－β∈,,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴ 2α－β＝－34π. 14.8π【解析】由已知，周期为π＝2πω，∴ ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin ()24x πϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝±cos2x ，故ϕmin=8π. 15. （1） I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. (2) I ＝sin t 3π−−−−→向左平移个单位I ＝sin 3t ππ⎛⎫+−−−−−−−−→ ⎪⎝⎭纵坐标不变1横坐标变为原来的倍100 I ＝sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭−−−−−−−→横坐标不变纵坐标变为原来的300倍I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 16. 原式＝sin6°²c os48°²c os24°²c os12°＝cos 6sin 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒＝1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒＝…=1sin 96116.cos616︒=︒17. 令sin x＋cos x＝t.由sin x＋cos x4xπ⎛⎫+⎪⎝⎭，知t，∴sin x²cos x＝212t-，t.所以y＝212t-＋t＝12（t＋1）2－1，t∈［－.当t＝－1，即2sin4xπ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1，x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋32π（k∈Z）时，y min＝－1；当t4xπ⎛⎫+⎪⎝⎭x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，y max＝12+18. （1）解方程组222222sin cos1,sin cos,sin cos1,cos sin.x y xx y yθθθθθθθθ⎧⎧+==+⎪⎪⎨⎨-==-⎪⎪⎩⎩得故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为sin cos0,cos sin0.θθθθ+>⎧⎨->⎩∵ 0＜θ＜2π，∴ 0＜θ＜4π.（2）设四个交点的坐标为（x i，y i）（i＝1，2，3，4），则2ix＋2iy＝2cosθ2）（i＝1，2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r.19. f（x）＝1－2a－2a cos x－2sin2x＝1－2a－2ac os x－2（1－cos2x）＝2cos2x－2a cos x －1－2a＝22cos2ax⎛⎫-⎪⎝⎭－1－2a－22a（a∈R）.（1）函数f（x）的最小值为g（a）.①当2a＜－1，即a＜－2时，由cos x＝－1，得g（a）＝2212a⎛⎫--⎪⎝⎭－1－2a－22a＝1；②当－1≤2a≤1，即－2≤a≤2时，由cos x＝2a，得g（a）＝－1－2a－22a；③当2a＞1，即a＞2时，由cos x＝1，得g（a）＝2212a⎛⎫-⎪⎝⎭－1－2a－22a＝1－4a.综上所述，21(2),()12(22),214(2).aag a a aa a<-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩（2）∵ g（a）＝12，∴－2≤a≤2，∴－1－2a－22a＝12，得a2＋4a＋3＝0，∴ a ＝－1或a ＝－3（舍）.将a ＝－1代入f （x ）＝22cos 2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ，得f （x ）＝221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12.∴ 当c os x ＝1，即x ＝2k π（k ∈Z ）时，f （x ）max ＝5.20. （1） f 2π⎛⎫-⎪⎝⎭＝f （π）＝sin π＝0，f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝f 34π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 34π＝2. （2） 当－2π≤x ＜4π时，f （x ）＝f 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝c os x . ∴ f （x ）＝sin ,,,4cos ,,.24x x x x ππππ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩（3） 作函数f （x ）的图象（如图），显然，若f （x ）＝a 有解，则a ∈［0，1］.① 当0≤a＜2时，f （x ）＝a 有两解，且1224x x π+=，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π； ② 当a＝2时，f （x ）＝a 有三解，且x 1＋x 2＋x 3＝2π＋4π＝34π，∴ M a ＝34π；③a ＜1时，f （x ）＝a 有四解，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋x 4＋x 2＋x 3＝2π＋2π＝π，∴ M a ＝π；④ 当a ＝1时，f （x ）＝a 有两解，且x 1＝0，x 2＝2π，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π. 综上所述，M a=,0,{1},223,,42,.2a a a πππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎪∈⎨⎨⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩。