圆周运动中的临界问题

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第五讲：圆周运动临界问题

物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引

起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某

些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运

动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析

各量的变化，找出临界状态.

1．与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最

大静摩擦力．

(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，

静摩擦力的方向一定指向圆心．

(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平

面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．

例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：

①A、B滑动的临界角速度大小；

①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.

【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2

方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()

A.A的向心加速度最大

B.B和C所受摩擦力大小相等

圆周运动中的临界问题

圆周运动的临界问题

【例1】如图所示，半径为0.5 m 的光滑细圆管轨道固定在底座上，底座放在水平地面上两地桩之间，不能左右移动，圆管轨道和底座的总质量为5 kg 。在圆管最低点静置一个质量为1 kg 的小球（直径略小于圆管内径），给小球一个水平方向的初速度v 0，小球能在圆管内做完整的圆周运动，整个过程中底座不会脱离地面，重力加速度g 取10 m/s 2。

（1）若小球运动到圆管最高点时，对圆管恰好无作用力，则初速度v 0多大？

（2）若小球运动到圆管最高点时，底座对地面的压力不超过55 N ，求初速度v 0应满足的条件。

【例2】一个质量为m 的小物块（可视为质点）放在一水平圆盘上，圆盘可绕过圆心O 的竖直轴转动，物块到转轴的距离为r ，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以角速度ω0匀速转动时，物块与圆盘

保持相对静止，则此时物块受到的摩擦力大小为_____________；要使物块与圆盘始终保持相对静止，圆盘转动的角速度应满足的条件是_____________。

【例3】用一根长为L 的不可伸长的轻绳一端固定在悬点O ，另一端拴住一个质量为m 的小球（可视为质点），开始时用外力使小球静止在最低点，然后释放小球，同时给小球一个水平方向的初速度v 0，使小球在竖直平面内运动，空气阻力不计，重力加速度为g 。（1）若小球能做完整的圆周运动，则初速度v 0至少为多少？

（2）若在空间加上场强大小为E 、方向向下的匀强电场，同时让小球带上q （q ＞0）的电荷，轻绳

圆周运动的临界问题

“圆周运动的临界极值”模型模型建构：

【模型】①竖直面内绳子拉小球的临界极值；②竖直面内光滑轨道的临界极值；③水平圆周运动的极值；④其它恒外力作用下圆周运动的极值。

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，对于

物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只

研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界

状态。

【特点】（1）如图1所示，没有物体支撑的小球，在

竖直平面内做圆周运动过最高点的情况： ①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）

刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=r mv 2临界

上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v 临界=rg

②能过最高点的条件：v ≥v 临界=rg

③不能过最高点的条件：v

（2）如图2所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v 临界=0 ②图（a ）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：

当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg

当0F N >0

当v=rg 时，F N =0

当v>rg 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.

③图（b ）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是

当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即F N =mg. 当0F N >0

当v=gr 时，F N =0

图1

图2

当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大

圆周运动中的临界问题(全)

圆周运动中的“临界问题”总结

一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”

一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高

点的条件是：此时，只有小球的提供向心力，即＝m r

v 2

，这时的速度是做圆周运动的最小速度，v

min ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。

类此模型：竖直平面内的内轨道

巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。设过山车的

总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半

径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。求在圆形轨道最高点B 时的

速度大小。

巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：

(1)最高点水不流出的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．

巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时

A ．车的加速度为零，受力平衡

B ．车对桥的压力比汽车的重力大

C ．车处于超重状态

D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小

二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=

gr 两个速度。

①当v ＝0时，杆对小球的支持力小球的重力；

②当0

③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力于零；

④当v >gr 时，杆对小球产生力。

V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。

圆周运动中的临界问题

N
fA AB mg
变式训练
如图所示，A、B、C三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ，已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴距离均为R，C距离轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时（ ABC） A.C物的向心加速度最大 B.B物的摩擦力最小 C.当圆台转速增加时，C比A先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
脱离与否的临界问题：
如图示，质量为M的电动机始终静止于地面，其飞轮上固定一质量为m的物体，物体距轮轴为r，为使电动机不至于离开地面，其飞轮转动的角速度ω应如何？
T
Mω
Mg
m mg
T
m r
Mω
绳伸直与否的临界问题：
如图所示，两绳的系一质量为的小球，上面绳长l=2m，两绳都伸直时与轴的夹角分别为300和 450.问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度ω=3rad/s时，上下两绳的拉力分别为多大？
圆周运动中的临界问题
一、竖直平面内的圆周运动
竖直面内圆周运动的临界问题分析对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典
型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
一、竖直平面内的圆周运动
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
A、a处为拉力，b处为拉力

(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)

圆周运动中的临界问题

一、水平面内圆周运动的临界问题

关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。1、与绳的拉力有关的临界问题

例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为

m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o

45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？

s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为

kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。（）

m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题

对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。1、轻绳模型过最高点

如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）

0v C

图1

图2

刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，

m mg 2

0=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。gr v =00v （1）（刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2）（能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3）（实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度，轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整

圆周运动的临界问题

【例1】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的

物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩

擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩

擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能

随盘转动.

【正解】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.

当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即

F＋F m′＝m21ωr ①

由于B静止，故

F＝mg ②

由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即

F m′＝μF N＝μmg ③

由①②③式解得ω1＝r

g/）

（μ

当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为

F－F m′＝m22ωr ④

由②③④式解得ω2＝r

g/）

（μ

-要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足

g/）

（μ

-≤ω≤r

g/）

（μ

【思维提升】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况，明确哪些力提供了它所需要的向心力.

【例2】如图所示是电动打夯机的示意图，电动机带动质量为m的重锤（重锤可视为质点）绕转轴O匀速转动，重锤转动半径为R。电动机连同打夯机底座的质量为M，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度为g

（1）重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？

（2）若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，

圆周运动临界问题

圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。

以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。

在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。

需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。

圆周运动临界问题汇总

作者：李文强

来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第03期

圆周运动的临界问题是曲线运动中的一个重要知识，也是高考中的高频考点，现在我把它归纳为以下几种情况供大家参考。

一、水平面内的临界问题

在水平面内圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径有变化）的趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时的方向如何（特别是一些接触力如静摩擦力，绳的拉力等）

例1：如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为L，b与转轴的距离为2L。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

C.ω=是b开始滑动的临界角速度

D.当ω=时，a所受摩擦力的大小为kmg

解析：小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即f静=mrω2，由于木块b的半径大，所以发生相对滑动前木块b的静摩擦力大，选项B错。随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有f静=mrω2=kmg，代入两个木块的半径，小木块a开始滑动时的角速度ωa=，木块b开始滑动时的角速度ωb=，选项C对。根据ωa>ωb，所以木块b先开始滑动，选项A对。当角速度ω=，木块b已经滑动，但是ω=

二、竖直面内的临界问题

（1）线球模型（高中阶段只要求分析特殊位置最高点、最低点）

圆周运动中的临界问题

二、水平面内的圆周运动
O
A
O’
水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求转盘转动的最大角速度是多大？
物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？
提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值
的角速度ω满足什么条件，物体M才能随转台转动？
（2）物体M随转台一起以角速度ω匀速转动时，物体离转台中心的最大距
离和最小距离。
M
向心力最小时,角速度最小
向心力最大时,角速度最大
mg
m
mg
Mg
Mg
四、实例分析
例4：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花
板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光
少？
O
BA
O’
四、实例分析
例3：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能相对转台静止。求：
（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动
v 求转盘转动的最大角速度是多大？
r

圆周运动的临界问题

圆周运动中的临界问题的分析方法是首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值。

竖直平面内作圆周运动的临界问题是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

在绳模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-1所示。小球能过最高点的临界条件为绳子和轨

道对小球刚好没有力的作用，即mg=mv^2/R，从而得到小球

能过最高点的条件为v≥√(Rg)，不能过最高点的条件为

v<√(Rg)。

在杆模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-2所示。小球能过最高点的临界条件为v=0，

F=mg（F为支持力），当0F>0（F为支持力），当v=Rg时，F=0，当v>Rg时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）。

拱桥模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=√(Rg)时，F_N=0，物体将飞离最高点做平抛

运动。若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s=2R。

细线模型中，如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的

作用力，则F可能是拉力、推力或等于零。

最后，对于一个质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用

绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取210m/s。可以利用向心

圆周运动的临界问题结论总结

引言

圆周运动是物理学中一个重要的研究对象，它广泛应用于机械、电子、核物理等领域。在圆周运动中，存在着临界问题，即在达到一定条件下，系统会出现特殊的运动状态。本文将对圆周运动的临界问题进行总结和讨论，探究其背后的原理和应用。

圆周运动简介

圆周运动是物体绕着一个固定点以相同的速度做匀速运动的过程。在圆周运动中，我们经常涉及到的几个重要概念包括角速度、圆周位移、向心加速度等。

圆周运动的临界问题

在圆周运动中，当某些条件达到一定数值时，系统会出现特殊的运动状态，即临界状态。以下是几个常见的圆周运动的临界问题：

1. 临界速度

临界速度是指物体在圆周运动中的最小速度，即达到这个速度后，物体将能够保持圆周运动而不会脱离。临界速度的计算可以通过向心加速度和半径之间的关系得到。

2. 临界半径

临界半径是指物体在圆周运动中最大的半径，即当半径超过这个值时，物体将无法保持圆周运动。临界半径的计算可以通过向心加速度和速度之间的关系得到。

3. 同步转速

同步转速是指当一个物体在圆周运动中与另一个物体由于某种相互作用而达到相同的转速。同步转速常见于机械传动系统中，应用于传感器、电机等设备。

4. 切向加速度的临界条件

在圆周运动中，物体的切向加速度也扮演着重要的角色。临界条件是切向加速度的大小是否足够让物体保持圆周运动，当切向加速度小于临界值时，物体将离开圆周运动。

圆周运动的应用

圆周运动的临界问题在实际应用中具有重要意义。以下是几个典型的应用：

1. 离心力的利用

离心力是圆周运动中一种重要的力，它的大小与向心加速度成正比。在很多设备中，我们会利用离心力进行分离、过滤、加速等操作。

高中物理圆周运动的临界问题(含答案)

圆周运动的临界问题

一．与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最

大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m r

v 2

，静摩

擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

二与弹力有关的临界极值问题

压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。若圆盘从静止

开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )

A ．b 一定比a 先开始滑动

B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等

C ．ω＝

2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝l

32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC

解析木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。它们所需的向心力由F 向＝mω2r

知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起

圆周运动的临界问题

r
② ω 2= 3 g 时，细线的拉力T 2
2r
拓展：如o点与物块连接一细线，求当 g
① ω 1 = 2 r 时，细线的拉力T 1
r
② ω 2=
3g 2r
时，细线的拉力T 2
(注：分析物体恰能做圆周运动的受力特点是关键)
解：① 由于ω 1 < ωm时仅由摩擦力可
提供向心力，则细绳对物块的拉力T1=0
v
r
2、轻杆作用下的竖直面的圆周运动（杆的模型）
如图所示轻杆栓一小球,在竖直面做圆周运动。求：经过最高点的线速度需要多大?
如果 v ，gr则和轻绳一样，杆
杆对小球没有力的作用。
如果 v＞，gr轻杆对小球有拉力
作用。
所以当 v＜时gr，轻杆对小球有
支持力的作用。
所以只要V>0小球就可以通过最高点。此时，轻杆对小球支持力 N=mg。
T
θ
N
⑵当v＝ 3gl 时，求绳对物体的拉力。
mg
2
二、竖直平面内圆周运动的临界问题
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型。
1、轻绳作用下的竖直面的圆周运动（绳的模型）
例1：如图所示轻绳栓一小球,在竖直面做圆周运动。求：经过最高点的线速度至少需要多大?

圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题的分析方法:

首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．一、竖直面内圆周运动的临界问题

(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：

mg=mv 2

/R →v 临界=

（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）

即此时小球所受重力全部提供向心力注意

1能过最高点的条件：v ≥

，当v ＞

时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．

2不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小

球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最

大高度（距离底部）的说法中正确的是（）

、一定可以表示为 B 、可能为 C 、可能为R D 、可能为R

答案：BC

【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．

【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？

圆周运动临界问题汇总

3.对主题图的利用，机械使用许多教师认为教材中的主题图是经专家论证筛选才出现的，非常的权威，因此对主题图的应用可以说是全盘照搬。如在教学《2 的倍数特征》时，教师就利用主题图“座位号是多少的同学应该从双号入口进”的教学，殊不知现在的电影院的排号方式与从前有所不同，这样不切合实际的教学对学生的发展有利吗？我想如此呆板，与世隔绝地盲目地使用教材的主题图，已经失去主题图赋予的初宗。二、用好主题图的策略（一）理解内涵教育家奥苏贝尔曾说过“：影响学习的唯一重要因素就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。” 人教版小学数学教材中的“主题图”凝结了编者匠心，体现了他们对教育理念和数学教学的理解，它又与学生生活紧密相连、富有儿童情趣，断然能激起学生的好奇心与求知欲。因此，潜心钻研主题图，理解编者安排主题图的用意，是生动创设主
注意：杆与绳不同，杆
是高考中的高频考点，现在我把它归纳为以下几种情况供大对球既能产生拉力，也能对
家参考。
球产生支持力。
一、水平面内的临界问题
①当 v＝0 时，N ＝mg
在水平面内圆周运动的物体，当角速度棕变化时，物体（N 为支持力）。
有远离或向着圆心运动（半径有变化）的趋势。这时，要根据物
②当 0＜v＜姨Rg 时，有支撑模型（也叫杆模型）
③当 v=姨Rg 时，N＝0。
例 2：游乐场的过山车的运行过程可以抽象为如图所示