2018届苏教版 等比数列及其前n项和 单元测试
2018高考一轮江苏数学文练习第7章 第35课 等比数列及其前n项和 含答案 精品
第35课 等比数列及其前n 项和[最新考纲]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是____________．－2 [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12(a 1＋a 3＋a 5)＝－2.]3．(2017·扬州期末)已知等比数列{a n }满足a 2＋2a 1＝4，a 23＝a 5，则该数列的前5项和为____________．31 [∵{a n }是等比数列，由⎩⎨⎧ a 2＋2a 1＝4，a 23＝a 5，得⎩⎨⎧ a 1(2＋q )＝4，(a 1q 2)2＝a 1q 4，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝(1－25)1－2＝31.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.]n n a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝____________.(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．(1)128 (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4，∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1(1－q 2)1－q＝3，∴4q 2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－23或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎨⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12. 又{a n }为递增数列，∴⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.][规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为____________．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝__________.【导学号：62172190】(1)1或－12 (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎨⎧a 1q 2＝7， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.]设数列{an }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎨⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N ＋)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于客观题中的判定． [变式训练2] (2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.(1)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝____________.(2)(2017·苏州模拟)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10b 11＝2 017110，则a 21＝____________. 【导学号：62172191】(1)73 (2)2 017 [∵{a n }是等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列． 由S 4S 2＝3得S 4＝3S 2，设S 2＝x ，则S 4＝3x ，即x,2x ，S 6－3x 成等比数列，∴S 6＝7x ，∴S 6S 4＝7x 3x ＝73.(2)∵b n ＝a n ＋1a n ，∴a 21＝a 21a 20·a 20a 19·a 19a 18·…·a 2a 1·a 1＝b 20·b 19·b 18·…·b 1·a 1，又{b n }成等比数列，∴b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2 017110， ∴a 21＝(b 10b 11)10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 01711010＝2 017.][规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1100，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝____________.(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为____________．(1)－2 016 (2)2 [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1 008＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100 1 008＝lg ()10－2 1 008＝－2 016.(2)由题意得S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q ＝q 4－1a 1q 3(q －1)＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q 3＝2.][思想与方法]1．方程的思想．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．2．函数的思想．通项公式a n ＝a 1q n －1可化为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q n ，因此a n 是关于n的函数，即{a n }中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x上，是一群孤立的点．3．分类讨论思想．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点．[易错与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)．课时分层训练(三十五)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________. 【导学号：62172192】1 [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.]2．(2017·苏州模拟)等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________.4 [由⎩⎨⎧ a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，得⎩⎨⎧a 1q 4－a 1＝15， ①a 1q 3－a 1q ＝6， ②①②得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)， 把q ＝2代入①得a 1＝1. ∴a 3＝q 2＝4.]3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于____________．3 [两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3，即q ＝3.]4．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于____________．2 [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝____________.3n －1 [因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简，得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.]6．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为____________. 【导学号：62172193】5 [由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，所以a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，所以T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.]7．(2016·常州期末)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．117 [∵{a n }是等比数列，设公比为q ，则 a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)q 2， a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)(q 2＋q 4)＝40， 即49(q 2＋q 4)＝40，解得q 2＝9. 又q >0，∴q ＝3， 由a 1＋a 2＝49得a 1＝19，∴a 7＋a 8＋a 99＝19(q 6＋q 7＋q 8)9＝36＋37＋3881＝117.]8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝____________.11 [∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝a n (q 2＋q －2)＝0，又a n ≠0，故q 2＋q －2＝0，即q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝1－(－2)51＋2＝333＝11.]9．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝____________.14 [由a 4a 5a 6a 1a 2a 3＝(q 3)3＝3得q 3＝33，∴a n －1a n a n ＋1＝(a 1a 2a 3)q 3n －6＝4×⎝⎛⎭⎫33n －2 由4×⎝⎛⎭⎫33n －2＝324，得n －23＝4，即n ＝14.]10．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N ＋，则a 1＝________，S 5＝________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.] 二、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 【导学号：62172194】 [解] (1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2. 当n ＝1时a 1＝1，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N ＋)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N ＋)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列． (2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N ＋)， 得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43 ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)． 当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N ＋)． B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．2n －12n －1＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为1×(1－2n )1－2＝2n－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，所以S n＝2n －1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.]2．(2017·南京一模)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．20 [设等比数列的公比为q ，则q >0且q ≠1. 由S 6－2S 3＝5可知， a 1(q 6－1)q －1－2a 1(q 3－1)q －1＝5， ∴a 1(q 3－1)2q －1＝5，∴q >1.则S 9－S 6＝a 1(q 9－1)q －1－a 1(q 6－1)q －1＝a 1q 6(q 3－1)q －1＝5q 6q 3－1＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤(q 3－1)＋1q 3－1＋10≥5×2(q 3－1)·1q 3－1＋10＝20，当且仅当q 3＝2，即q ＝32时取等号． ∴S 9－S 6的最小值为20.]3．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，是否存在k ∈R ，使得k ≤S n 恒成立？若存在，求实数k 的最大值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，②由①－②得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0，所以a n ＋1＝13a n (n ≥2)．又a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，得a 2＝13，所以a 2＝13a 1，故数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列，所以a n ＝a 1·qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1. (2)假设存在满足题设条件的实数k ，使得k ≤S n 恒成立． 由(1)知S n ＝a 1(1－q n)1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， 由题意知，对任意正整数n 恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以当n ＝1时数列中的最小项为23，则必有k ≤1，即实数k 最大值为1.。
2018届苏教版 等差数列和等比数列的运算性质 单元测试
【母题来源一】【2016高考浙江理数】【母题原题】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .【答案】1 121考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和；3、递推公式．【名师点睛】本题可以依次计算前5项值，进而求S 5的值，但是在解答题中或者s n 中n 的值较大时，必须转化为可求通项公式的递推式，本题中由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误 【母题来源二】【2016高考新课标3理数】【母题原题】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）1)1(11---=n n a λλλ；（Ⅱ）1λ=-． 【解析】（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a ． 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321， 解得1λ=-．【考点】1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ． 【方法总结】1、等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1n na q a +=（常数）；（2）中项法，即证明212n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解；2、要注意方程思想在本题中的应用，直接利用已知递推式求5S 并列方程求值是本题简化运算过程和正确求解的关键．【母题1】．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,1++-==n n n S S a a ，则使22101nnS nS +取得最大值时n 的值为（ ）A.2B.5C.4D.3【答案】D【解析】因为n n n S S a -=++11，所以有111111=-⇒-=-+++n n n n n n S S S S S S ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为首项等于1公差为1的等差数列所以nS n S n n 11=⇒=，则222222211()1111011010110()110()nnn nS n n n n S n n n n ====+++++ 110n n=+，因为,10210≥+n n 当且仅当10=n 时取等号，因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10=n 相邻的两个整数中求最大值，193101,31,322=+==n n n S nS S n ，132101,41,422=+==n n n S nS S n ，所以最大值为193，此时3=n ，故本题正确选项为D. 【考点】1、等差数列定义和通项公式；2、基本不等式．【名师点睛】根据已知条件得n s 与1n s -的递推式，由等差数列定义和通项公式求n s ，利用基本不等式和函数单调性求最值．【母题2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-．若数列{}n b 满足210log n n b a =-，则使数列{}n b 的前n 项和取最大值时的n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．8或9D ．9或10 【答案】D【考点】1、数列递推公式；2、等比数列定义和通项公式；3、等差数列前n 项和公式．【名师点睛】本题考查项n a 和前n 项和n s 的递推式，通过转化为n a 与1n a -的递推式，结合等比数列定义和通项公式以及等差数列通项公式和前n 项和公式求解．【母题3】已知数列{}n a 的前n 项和()22n n S n a n =≥，11a =，则n a =（ ）A ．()221n + B ．()21n n + C ．121n - D ．121n -【答案】B【解析】当2≥n 时，由2n n S n a =得1211+++=n n a n s )(，两式相减并整理得n n na a n =++1)2(,所以21+=+n na a n n ．由11a =，得312=a ，所以由累积法得，nn n n n n n n a a a a a a a a n n n n n )(1231425313211223211+=⋅⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅=--- ．选B ． 【考点】1、数列递推公式；2、累积法求数列通项公式． 【名师点睛】本题考查项n a 和前n 项和n s 的递推式，利用11,1,, 2.n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为na 与1n a -的递推式，利用累积法求通项公式，注意累积法求通项公式的递推公式的特点为1()nn a f n a -=． 【母题4】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析．考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．【名师点睛】1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)便可求出当n≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n≥2两段来写．2．如果已知n S 与n a 的关系，在此式基础上用1n -代替n ，得另一式子，其中2n ≥，两式相减后，可转化为n a 的递推关系，此式中要注意2n ≥，有可能不包含1a ，解题时一定要注意，否则容易出错．【母题5】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . （1）求2a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式； （3）在数列{}n b 中，142n n n n b a a ++=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）24a =；（2）()2*n a n n N =∈；（3）212(1)(1)n T n =-+.【考点】1、数列递推公式；2、等差数列定义和通项公式； 3、裂项相消法求和． 【名师点睛】由已知条件得项n a 与1n a -的递推式后，要认真观察其特点，通过等价变形为等差数列特征，进而利用等差数列通项公式求解．【母题6】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +?，且11b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记21412n n n n T a b a b a b -=+++ ，求n T .【答案】（1）n a n =, ()()12233为奇数为偶数n n nn b n -ìïï=íïïî；（2）2339424n n n T +=--.【解析】（1）211n n n S S a +++= ，① ()2-12n n n S S a n +=?，② ①-②得：2211n n n n a a a a +++=-，()()1110n n n n aa a a ++\+--=()1110,0,0,12n n n n n n a a a a a a n +++>>\+筡-=?又由2212S S a +=得21222a a a +=，即2222220,2,1a a a a --=\==-（舍去），211a a \-=考点：1、递推公式；2通项公式；3、错位相减法.【名师点睛】由已知条件得项n a 与1n a -的递推式，根据等比数列定义和通项公式求解；第二问中要认真观察所求数列通项公式特点，利用错位相减法求和． 【母题7】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(,32*N n S a n n ∈-=. （I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n a b 2log =，求数列}{n n b a +的前n 项和n T .【答案】（I ）121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(II) n n n T )41(32322⨯--=． 【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，由23n n a S =-①，得1123n n a S --=-②，①-②即得14n n a a -=而当1n =时，1123a a =-，故112a = 因而数列{}n a 是首项为12公比为14的等比数列，其通项公式为121*111,242n n n a n N --⎛⎫⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知2112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故12n b n =-，数列{}n n a b +的前n 项和()()()1122112*11124112221,1233414n n n n n nn T a b a b a b a a b b n n n n N =++++++=+++++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=--∈ ⎪⎝⎭-【考点】1.⎩⎨⎧≥-==-2,1,1n S S n S a n nn n 的应用；2.分组求和法．【名师点睛】本题考查项n a 和前n 项和n s 的递推式，通过转化为n a 与1n a -的递推式，结合等比数列定义和通项公式求解；求数列前n 项和关键要考查通项公式的特点，根据不同的通项公式特点选择相应的求和方法．【母题8】设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,n n n S a S na n n n N *==--∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）65n a n =-；（Ⅱ）807n =．【考点】1、n a 与n S 的关系；2、等差数列的定义；3、等差数列的前n 项和．【名师点睛】给出n S 与n a 的递推关系，要求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a －－＝ （2n ≥）转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a ．同时特别要注意验证1a 的值是否满足“2n ≥”的一般性通项公式．【母题9】设数列{}n a 的前n 项和n S ，数列{}n S 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）11=a ；（2）1322n n a -=⨯-． 【解析】（1）当1n = ，由已知有21112-=a a ∴ 11=a（2）2n ≥ 时有22n n T S n =- ①2112(1)n n T S n --=-- ②①-②得：122+-=n a S n n ③再向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ④③-④得：2221--=-n n n a a a 则221+=-n n a a )2(221+=+-n n a a∴{}2n a +是以3为首项，公比为2的等比数列1232-⨯=+∴n n a 2231-⨯=∴-n n a【考点】等差数列与等比数列及数列的递推公式．【名师点晴】本题主要考查了的首项和数列的通项的求法，属于中档试题，解题时要认真审题，注意迭代的合理运用，本题的第2问的解答中，当2n ≥时，12221n n n S S S n -=--+，得1221n n S S n -=+-，1221n n S S n +=++，故122n n a a +=+，所以122(2)2n n a n a ++=≥+，得数列{}2n a +为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可求解数列{}n a 的通项公式．【母题10】已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=，数列{}n b 中，11b =，212b =，()*12211n n n n N b b b ++=+∈． （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）数列{}n c 满足n n na cb =，求证：12334n c c c c +++⋅⋅⋅+<．【答案】(1) 13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1n b n =；(2)证明见解析．【考点】等差、等比数列的定义、错位相减求前n 项和.【名师点晴】本题主要考查了等差数列、等比数列的定义和通项公式、错位相减求前n 项和、构造数列的认识．由由n a 与n S 的关系很容易知道数列{}n a 是等比数列，并且求出了首项和公比，即可得通项公式，由给定的条件可知1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，也容易得出通项公式．错位相减是数列求和中常用的方法．题型属于容易题．。
2018届苏教版数列单元测试1
一、填空题(共20小题,每小题5.0分,共100分)1.已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.则等差数列{an}的通项公式为__________．2.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝_____.3.等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝_______.4.数列{an}为等比数列，an＞0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝__________.5.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，那么到11月7日该市新感染者共有________人．6.在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为________．7.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．8.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.9.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．10.若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 013＋a2 014＞0，a2 013·a2 014＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．11.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比q＝_______.12.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．13.等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝__________.14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.15.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________或________．16.已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第__________项．17.观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n＋1n2＝________.18.观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，….19.，，，，，…的一个通项公式是________．20.设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n＞1)，则a5＝__________.二、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)21.设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝.求等差数列的通项an.22.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.23.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.24.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．25.已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由．(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．26.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn，27.求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.28.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn.29.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中有多少个点．30.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？答案解析1.【答案】an＝－3n＋5或an＝3n－7【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由题意知，解得或故等差数列{an}的通项公式为an＝－3n＋5或an＝3n－7.2.【答案】5【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.3.【答案】2【解析】设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得，解得q＝2.4.【答案】an＝2n－1【解析】由a1·a5＝16，a4＝8，得a q4＝16，a1q3＝8，∴q2＝4，又an＞0，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1.5.【答案】1190【解析】设从11月1日起，第n天的新感染者有an人，则an＋1－an＝50，则每天的新感染者构成以a1＝20，d＝50的等差数列{an}，所以到11月7日该市新感染者共有S7＝7a1＋d＝7×20＋×50＝1 190人．6.【答案】120°【解析】设三内角A、B、C成等差数列，则A＋C＝2B，又A＋C＋B＝180°，∴ 3B＝180°，B＝60°，A＋C＝2B＝120°.7.【答案】8【解析】设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.8.【答案】11【解析】S3＝1，S6－S3＝－2，∴S9－S6＝4，S12－S9＝－8，S15－S12＝16，∴S15＝S3＋S6－S3＋S9－S6＋S12－S9＋S15－S12＝1－2＋4－8＋16＝11.9.【答案】11a(1.15－1)【解析】注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．10.【答案】4 026【解析】由条件可知数列单调递减，故知a2 013＞0，a2 014＜0，故S4 026＝＝2 013(a2 013＋a2 014)＞0，S4 027＝＝4 027×a2 014＜0，故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 026.11.【答案】【解析】依题意S1,2S2,3S3成等差数列，∴ 4S2＝S1＋3S3，易得q≠1∴ 4(a1＋a1q)＝a1＋.∵a1≠0，∴3q2－q＝0，解得q＝或q=0（舍）．12.【答案】【解析】设三边为a，aq，aq2(q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.若记较小锐角为θ，则sin θ＝＝.13.【答案】18【解析】方法1）基本量法：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴ 4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18. ∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18.方法2）性质法：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.14.【答案】24【解析】∵S9＝9a5＝72，∴a5＝8又2+4+9=15=3×5 ∴a2＋a4＋a9＝3a5＝2415.【答案】8,4,22,4,8【解析】设三数为，a，aq，则，即，解得或，故所求三数为8,4,2或2,4,8.16.【答案】n＝2或n＝6【解析】由n2－8n＋15＝3得，n＝2或n＝6.17.【答案】(－1)n＋1·【解析】观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an －1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.18.【答案】3【解析】由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.19.【答案】an＝【解析】＝，＝，＝，＝，＝，…，∴an＝.20.【答案】【解析】a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝.21.【答案】an＝5－2n或an＝2n－3【解析】设数列{an}的公差为d，则由已知得，由第二个方程，化简为，解得a1＋d＝1，a1＝1－d，代入第一个方程得，即，化简得，即或，解得d＝－2或d＝2，∴an＝5－2n或an＝2n－3.22.【答案】(1)an＝2n－2(2 )Tn＝n2－n.【解析】(1) ∵S6≠2S6，∴q≠1. ∴，解得q＝2，a1＝.∴an＝a1qn－1＝2n－2.(2 )∵bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.∴bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{an}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7＝－56n＋n(n－1)×7＝n2－n.23.【答案】an＝2n【解析】由题意可得解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.24.【答案】4，6，8【解析】设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.∵该数列是递增数列，∴d＞0，即d＝2.∴这三个数依次为4,6,8.25.【答案】（1）4m＋19是{an}中的第m＋5项；（2）2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.【解析】a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1) 令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{an}中的第34项．令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*.∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．(2) ∵ap，aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.26.【答案】(1)bn＝2n＋1(n∈N*)；(2)Tn＝n·3n.【解析】(1) ∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1(n∈N*)．∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．(2) 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.∴Tn＝n·3n.27.【答案】(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－.所以S8＝＝.【解析】28.【答案】Tn＝n2－n.【解析】设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.由S7＝7，S15＝75，得，解得a1＝－2，d＝1.∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，∵－＝，∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n.29.【答案】图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.【解析】30.【答案】(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49；(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．【解析】。
2018届苏教版第六章 6.3等比数列及其前n项和
1.(教材改编){a n }，{b n }都是等比数列，那么下列正确的序号是________.①{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列；②{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列；③{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列；④{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列.答案 ③解析 {a n ＋b n }不一定是等比数列，如a n ＝1，b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列.设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ，因为a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n＝pq ≠0，所以{a n ·b n }一定是等比数列.2.(2016·江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________.答案 43解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3， 解得1353.a =∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9 4433534log log 3.3a === 3.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 答案 14解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.*4.(2015·福建改编)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________.答案 9解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.5.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)的值是________.答案 －5解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n＝1， 解得a n ＋1a n＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列. 因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35. 所以51579133log ()log 3= 5.a a a ++=-6.(2017·盐城检测)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为________.答案 32解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以343.a π= log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)733437log 7log 33a ππ===，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2，①3S 2＝a 3－2，② 由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4. 8.(2016·南京调研)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝________.答案 19解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，从而(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得2a 1d －d 2＝0，因为d ≠0，所以d ＝2a 1，又因为S 3＝a 22，所以3a 1＋3d ＝(a 1＋d )2，将d ＝2a 1代入上式得3a 1＋6a 1＝(a 1＋2a 1)2，即9a 1＝9a 21，解之得a 1＝1(a 1＝0舍)，从而d ＝2，所以a 10＝1＋9×2＝19.*9.已知正项等比数列{a n }满足a 2015＝2a 2013＋a 2014，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则n ＋4m nm的最小值为________. 答案 32解析 设{a n }的公比为q (q >0)，由正项等比数列{a n }满足a 2015＝2a 2013＋a 2014， 可得a 2013·q 2＝2a 2013＋a 2013·q ，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2.∵a m a n ＝4a 1，∴q m＋n －2＝16，∴m ＋n ＝6. ∴n ＋4m nm ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥32， 当且仅当n m ＝4m n，即m ＝2，n ＝4时取等号. 故n ＋4m nm 的最小值为32. 10.(2016·苏锡常镇一调)设数列{a n }是首项为1，公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则数列{a n }的公差为________.答案 2解析 设公差为d ，其中d ≠0，则S 1，S 2，S 4分别为1,2＋d,4＋6d .由S 1，S 2，S 4成等比数列，得(2＋d )2＝4＋6d ，即d 2＝2d .因为d ≠0，所以d ＝2.*11.(2016·苏北四市期末)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *).(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n . 解 (1) 令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4(λ＋1)(2λ＋1). 由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4(λ＋1)(2λ＋1)， 因为λ≠0，所以λ＝1.(2)当λ＝12时， a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列{S n ＋1a n }是以2为首项，12为公差的等差数列， 所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ， ① 当n ≥2时，S n －1＋1＝(n 2＋1)a n －1， ②①－②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1， 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)， 所以{a n n ＋2}是常数列，且为13，所以a n ＝13(n ＋2). 代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n 6.12.已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1. 从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q＝23(4n －1). 13.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列. ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列的前n项和练习(1).doc
§2.3等比数列的前n 项和练习（1）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.等比数列{}n a 的各项都是正数，若181a =,516a =,则它的前5项和是( )A.179B.211C.243D.2752.等比数列{}n a 中,12a =, 前3项和326S =,则公比q 为( )A.3B.−4C.3或−4D.−3或43.等比数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+,则a 等于( )A.3B.1C.0D.−14.已知等比数列{}n a 的前n 项和54n S =,前2n 项和260n S =,则前3n 项和3n S =( ) A.64 B.66 C.2603 D.26635.等比数列{}n a 中,0n a >,569a a =,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A.12B.10C.8D.32log 5+6.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n -C.41n -D.1(41)3n - 二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等比数列4，−2，1，∙∙∙的前10项和是 . 8.1111135[(21)]2482n n +++⋅⋅⋅+-+= . 9.在等比数列{}n a 中,465S =,23q =,则1a = . 10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -=,且前n 项和126n S =，求n 以及公比q.12.等比数列{}n a 中前n 项和为n S ,42S =,86S =,求17181920a a a a +++的值.参考答案：1.B2.C3.D4.C5.B6.D7.3411288.21()12n n -+ 9.27 10.150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11. 由211128n n a a a a -==,又166n a a +=得, 1,n a a 是方程2661280x x -+=的两根,解这个方程得,1264n a a =⎧⎨=⎩或1642n a a =⎧⎨=⎩,由11n n a a q S q -=-得26q n =⎧⎨=⎩或126q n ⎧=⎪⎨⎪=⎩.12.∵等比数列中k S ,2k k S S -,32k k S S -,……仍成等比数列,∴4S ,84S S -,128S S -,……也成等比数列,而17181920a a a a +++则是这个等比数列中的第5项,由42S =,86S =得844S S -=∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴1718192032a a a a +++=.。
2018届苏教版 数列 单元测试
一．基础题组1.【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．1 3B．13- C．19D．19-【答案】：C2.【2012全国，理5】已知等差数列{an}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列{11n na a+}的前100项和为()A．100101B．99101C．99100D．101100【答案】 A【解析】15155()5(5)1522a a aS++===，∴a1＝1.∴515115151a ad--===--.∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∴111(1)n na a n n+=+.设11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，则1001111223100101T=+++⨯⨯⨯…＝111111223100101-+-++-…＝11001101101-=. 3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n}中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于()A ．14B ．21C ．28D ．35 【答案】：C4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC上的中线AD 的长为 . 【答案】:3【解析】:∵A ,B ,C 成等差数列,∴B =60°. 在△ABD 中,AB =1,BD =2,∠B =60°. ∴由余弦定理得AD =3.5. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.【答案】（1）n a =312n -. （2）见解析【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以1231nn a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +L1na 111133n -≤+++L =31(1)23n -32<， 所以11a +21a +L1n a 32<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和． 【答案】（1）13n n a =. （2）n 项和为21nn -+.7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知S10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．【答案】：－492. 【2010全国2，理18】已知数列{a n }的前n 项和S n＝(n 2＋n )·3n.(1)求lim n →∞nna S ； (2)证明1222212n a a a n+++ ＞3n. 【答案】（1）limn n na S →∞＝23. （2）见解析3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【解析】：依题设得,)1(1d n a a n -+= 4122a a a =∴)3()(1121d a a d a +=+，整理得d 2=a 1d ，∵0,d ≠ ,1a d =∴得,nd a n = 所以， 由已知得d ，3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d n …是等比数列. 由,0≠d 所以数列 1，3，k 1，k 2，…，k n ，… 也是等比数列，首项为1，公比为.9,3131===k q 由此得 等比数列),3,2,1(39,3,9}{111 ==⨯===+-n q k q k k n n n n 所以公比的首项， 即得到数列.3}{1+=n n n k k 的通项4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21nn b a =，1,2,3,n = ．(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和13S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限) 【答案】见解析由13S =，得公差d =3，首项1a =d =3 三．拔高题组1. 【2006全国2，理11】设S n是等差数列{a n}的前n 项和,若63S S =31,则126S S 等于（ ）A.103B.31 C.81D.91 【答案】:A【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,a 10+a 11+a 12=4T .∴126S S =1034322=+++t t t t t t ＋. ∴选A.2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ）(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =【答案】B3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标． (1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3；(2)求数列{x n }的通项公式．【答案】见解析【解析】：(1)用数学归纳法证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为(2)55(4)24f y x --=--，令y ＝0，解得2114x =，所以2≤x 1＜x 2＜3.4.【2006全国2，理22】设数列{a n}的前n项和为S n,且方程x2-a n x-a n=0有一根为S n-1,n= 1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)求{a n}的通项公式.【答案】见解析5. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，.（Ⅰ）求111101b b b ， ，； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和.【答案】（Ⅰ）10b=，111b=，1012b=；（Ⅱ）1 893.【解析】【考点】等差数列的通项公式、前n项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.。
2018届苏教版 等比数列及其前n项和 单元测试
等比数列及其前n 项和基础巩固组1.若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n ,则公比q 为( ).A.2B.4C.8D.16答案:B解析:由a n a n+1=16n,可得a n+1a n+2=16n +1,两式相除得,a n +1a n +2an a n +1=16n +116n =16,∴q 2=16. ∵a n a n+1=16n ,可知公比q 为正数,∴q=4.2.已知一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了4个伙伴;第2天,5只蜜蜂飞出去,各自找回了4个伙伴,……按照这个规律继续下去,第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有蜜蜂( ). A.420只 B.520只C .520-54只D .421-43只 答案:B解析:由题意,可设蜂巢里的蜜蜂数为数列{a n },则a 1=1+4=5,a 2=5×4+5=25,…,a n =5a n-1,故数列{a n }为等比数列,首项a 1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有a 20=5×519=520只蜜蜂. 3.(2015课标全国高考Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ). A.21 B.42 C.63 D.84答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42. 4.已知等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则等差数列{a n }的前n 项和S n =( ). A.n (n+1) B.n (n-1) C .n (n +1)D .n (n -1)答案:A解析:∵a 2,a 4,a 8成等比数列,∴a 42=a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2.∴S n =na 1+n (n -1)d=2n+n 2-n=n 2+n=n (n+1).故选A .5.设数列{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 答案:-12解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+4×32×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得2a1+1=0,解得a1=-12.6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则a1=,1a12+1a22+…+1a n2=.答案:2131-14n解析:∵{a n}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6, ∴4a1-a1=6,即a1=2.∴a n=2·2n-1=2n.∴1 a n2=14n,即数列1a n2是首项为14,公比为14的等比数列.∴1 a12+1a22+…+1a n2=141-14n1-14=131-14n.7.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.答案:50解析:因为{a n}为等比数列,所以由已知可得a10a11=a9a12=a1a20=e5,于是ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2a3…a20),而a1a2a3…a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此ln a1+ln a2+…+ln a20=lne50=50.8.(2015湖南高考)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.答案:3n-1解析:设等比数列{a n}的公比为q,则a n=a1q n-1=q n-1.因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3,即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n}的首项为a1=1,公比为q=3,故a n=3n-1.9.设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a1+a3+…+a2n+1.解:(1)∵S1=a1=1,且数列{S n}是以2为公比的等比数列,∴S n=2n-1.又当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-2(2-1)=2n-2.∴a n =1,n =1,2n -2,n ≥2.(2)由(1)知,a 3,a 5,…,a 2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,∴a 3+a 5+…+a 2n+1=2(1-4n )1-4=2(4n -1)3. ∴a 1+a 3+…+a 2n+1=1+2(4n -1)3=22n +1+13. 能力提升组10.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 1(a 5+a 7+a 9)的值是( ).A.-15 B.-5 C.5D .15答案:B解析:由log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),得log 3a n+1-log 3a n =1,且a n >0,即log 3a n +1n =1,解得a n +1n=3, 所以数列{a n }是公比q=3的等比数列. 因为a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3, 所以a 5+a 7+a 9=9×33=35. 所以lo g 1(a 5+a 7+a 9)=lo g 1335=-log 335=-5.11.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则满足an n ≤2的正整数n 的集合为( ). A.{1,2} B.{1,2,3,4} C.{1,2,3} D.{1,2,4}答案:B解析:因为S n =2a n -1,所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-1. 两式相减得a n =2a n -2a n-1, 整理得a n =2a n-1,所以{a n }是公比为2的等比数列. 又因为a 1=2a 1-1,解得a 1=1, 故{a n }的通项公式为a n =2n-1. 而an n ≤2,即2n-1≤2n , 所以有n=1,2,3,4.12.(2015福建高考)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px+q (p>0,q>0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ). A.6B.7C.8D.9答案:D解析:由题意得 a +b =p >0,ab =q >0,则 a >0,b >0.不妨设a<b ,则-2,a ,b 成等差数列,a ,-2,b 成等比数列,即 -2+b =2a ,ab =4,解得 a =1,b =4,∴ p =5,q =4.∴p+q=9.13.如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2 2,过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……依此类推,设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= . 答案:14解析:由题意知数列{a n }是以首项a 1=2,公比q= 22的等比数列,∴a 7=a 1·q 6=2× 22 6=14.14.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n+1)在直线y=3x+1上,n ∈N *. (1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列;(2)在(1)的结论下,设b n =log 4a n+1,c n =a n +b n ,T n 是数列{c n }的前n 项和,求T n . 解:(1)∵点(S n ,a n+1)在直线y=3x+1上,∴a n+1=3S n +1,a n =3S n-1+1(n>1,且n ∈N *),a n+1-a n =3(S n -S n-1)=3a n ,∴a n+1=4a n ,n>1,a 2=3S 1+1=3a 1+1=3t+1,∴当t=1时,a 2=4a 1,数列{a n }是等比数列.(2)在(1)的结论下,a n+1=4a n ,a n+1=4n , b n =log 4a n+1=n ,c n =a n +b n =4n-1+n ,T n =c 1+c 2+…+c n =(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n ) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n )=4n -1+n (n +1). 15.已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n=2;当d=4时,a n=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n}的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得S n>60n+800成立.=2n2,当a n=4n-2时,S n=n[2+(4n-2)]2令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得S n>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的正整数n;当a n=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.。
2018届苏教版 数列通项、求和、综合应用 单元测试
专题9：数列通项、求和、综合应用班级 姓名一、前测训练1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2n a n －1(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．答案：(1)a n ＝3n ＋1－72；（2）a n ＝2(n －1)(n ＋2)2． 2．(1) 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．(2) 已知数列{a n }中，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2(n ＋1)，则a n ＝ ．(3) 已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2，则a n ＝ ．答案： (1)－1n ．=；(2) a n ＝2n ；(3) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2． 3．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．(2)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n =2a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ．(3)已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＝2a n －1a n －1＋2(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝ ． 答案：(1)a n ＝3－2×(23)n －1； (2)a n ＝(2n －1)×2n －1；(3)a n ＝2n ＋1． 4． (1) 已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．(2) 已知数列{a n }中，a n a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝ ．答案：(1) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数；(2) a n ＝⎩⎨⎧(2)n -1，n 为奇数，(2)n ，n 为偶数5． 已知数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n －1，12≤a n ＜1，若a 1＝67，则a 2014的值为 ．答案：67． 6．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n 的前n 项的和为 ．(2)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，（n ∈N *），则数列{1 a n}的前10项和为 (3)数列a n ＝(2n －1)·3n 的前n 项的和为 ．(4)设f (x )＝9x 9x ＋3，则f (120)＋f (220)＋f (320)＋…＋f (1920)的值为 ． (5)已知数列a n ＝(－1)n ·n ，则前n 项的和S n ＝ ．答案：(1)2n ＋2－(4＋n )； (2) 2011；(3)(n －1)·3n ＋1＋3；(4)192；(5) S n ＝⎩⎨⎧－n ＋12，n 为奇数，n 2，n 为偶数．7．(1)数列{a n }通项公式为a n ＝an 2＋n ，若{a n }满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围为 ．(2)已知数列{a n }通项公式为a n ＝(12)n －2，b n ＝λa n －n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为 ．(3)已知数列{a n }通项公式为a n ＝4n 2(45)n －1(n ∈N *)，则{a n }的最大项为第 项．答案：(1)(－19，－117)；（2）λ＞－3；(3)9．四、课后反馈：1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ ． 答案：－11 (考查等比数列的通项公式与前n 项和公式)2．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．答案：50 (考查本题考查了等比数列以及对数的运算性质,等差数列的求和)3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为 ． 答案：a n ＝(－2)n －1 (考查数列通项与前n 项和之间的关系，等比数列的概念与通项公式)4．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案：8 （考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和最值条件）5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8． 则数列{9－2a n 2n}的前n 项和T n ＝ ． 答案：4－n ＋22n －1 (考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用)6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，则数列{b m } 的前m 项和S m ＝ .答案：S m ＝92m ＋1＋180－9m 8.(考查等差数列的基本量运算，等比数列求和)7．数列{a n }满足1a n ＋1＝1a n＋2n (n ∈N *)，且a 1＝4．记b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝ ．答案：4n 2n ＋1．（考查用叠加法求数列通项，数列的裂项求和） 8．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0． 若b n ＝3n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ ． 答案：S n ＝(n －1)3n ＋1．（考查等差数列的概念与性质，用错位相减法求和）9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为 ．答案：λ＜2 (考查由递推求数列的通项及递增数列的概念)10．设1≤a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 ． 答案：33 (考查等差、等比数列的性质及分析推理的能力)11．已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )． (1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ． 答案：(1) a 1＝1；a n ＝n ．(2) T 2n ＝(6n －5)·22n ＋19＋n 2＋2n ＋109． (考查数列的通项与前n 项和之间的关系，由递推关系求数列的通项，用错位相减法求数列的和)12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2． (1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．答案：(1) a ＝0，提示：用等比中项法证明数列是等差数列．(2) 存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立． (考查数列的通项与前n 项和之间的关系，证明数列为等差数列的方法，数列的裂项求和)13．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n－1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和数列{b n }的前n 项和的T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1) a n ＝2n －1，T n ＝n 2n ＋1；(2) λ<－21； (3) 当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．(考查等差数列基本量运算，数列的裂项求和，求数列的最大项问题以及综合分析问题的能力)14．在数列{a n }中，a 1＝1，且对任意的k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等比数列，其公比为q k ．(1)若q k ＝2(k ∈N *)，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2k －1；(2)若对任意的k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等差数列，其公差为d k ，设b k ＝1q k －1． ①求证：{b k }是等差数列，并指出其公差；②若d 1＝2，试求数列{d k }的前k 项的和D k ．答案：(1) 13(4k －1)；(2)①证明略，公差为1；②D k ＝k (k ＋3)2或D k ＝2k 2． (考查等比数列的概念及求和公式，证明数列为等差数列的方法，数列求和及分析讨论的思想)。
苏教版高中数学必修五§2.3等比数列的前n项和练习(2).doc
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.3等比数列的前n 项和练习（2）一.选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.已知数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,则数列{}n a 的前5项和5S =( ) A.312 B.62 C.3412D.682 2.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =( )A.31n -B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n - 3.等比数列{}n a 中,37a =,前三项和321S =,则公比q 的值为（ ） A.1 B.12- C.1或12- D.1-或124.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果1418a a +=, 2312a a +=,则这个数列的前8项之和8S =( ) A.513 B.512 C.510 D.2258 5.若0abc ≠,则2b ac =是a ,b ,c 成等比数列的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为（ ） A.1002101- B. 992101-C. 100299-D. 99299-二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.数列{}n a 满足1a ,21a a -,32a a -,…, 1n n a a --是以1为首项，13为公比的等比数列，则{}n a 的通项公式n a = .8.命题p :数列{}n a 是常数数列.命题q : 数列{}n a 既是等比数列又是等差数列.则p 是q 的 条件.(选填:“充要,充分不必要,必要不充分,既不充分也不必要”中的一个)9.某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则年平增长率为 .10.在等比数列{}n a 中，14a =,5q =,前n 项和为n S ，则满足510n S >的最小自然数n 的值是 .【整合提高】三.解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项的和的4倍,第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍,求该数列的通项公式.12.某放射性物质，它的质量每天衰减3%,则此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要的天数是多少？（lg0.97= −0.0132, lg0.5= −0.3010）参考答案： 1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.31123n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦8.必要不充分 9.12(1)q + 10.811.∵在项数为偶数的等比数列中,S qS =偶奇,∴4S S S q +=偶偶偶,解得13q =,又由24349()a a a a =+得, 1108a =,∴11108()()3n n a n N -*=∈. 12.由1(13%)2n -<得lg0.97lg0.5n <,即0.01320.3010n -<-,∴0.301022.80.0132n >≈, 故23n =答: 此物质衰变到其原来质量的一半以下至少需要23天.。
2018届苏教版 等差数列、等比数列 单元测试
专题8：等差数列、等比数列(两课时)班级 姓名一、课前测试1．(1)已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ∈N *且n ≥2)，令b n ＝1a n －2，求证：数列{b n }是等差数列．提示：用等差数列的定义来证，即证b n －b n －1＝12(常数)(2)数列{a n }前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，令b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列. 提示：先利用数列的前n 项和与通项a n 之间的关系，找到数列的递推关系；再用等比数列的定义来证．即由a n ＋S n ＝n ，得a n －1＋S n －1＝n －1，两式相减得2a n －a n －1＝1即2b n ＝b n －1．从而有b n b n －1＝12(常数) 2．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *且n ≥2)，a 1＝2，令b n ＝12n (a n ＋t ) (n ∈N *)，否存在一个实数t ，使得数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由． 答案：存在实数t ＝1，使得数列{b n }为等差数列．3．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且13S 3与14S 4的等差中项为1，而13S 3与14S 4的等比中项是15S 5，则a n ＝ ．(2)已知在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则a n ＝ ．答案：(1)a n ＝1或a n ＝－125n ＋325； (2) a n ＝2×3n －3或a n ＝2×(13)n －3．4． (1)设在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求n ＝ ；q ＝ ．(2)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项之和分别是S n 、T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝ ． (3)已知一个等比数列的前10项和为10，前20项和为30，则前50项的和为 ．答案：(1)n ＝6， q ＝2或12；(2)214；(3)310．5． (1)已知{a n }是等差数列，若a 1＝20，公差d ＝－2，求数列前n 项和S n 的最大值．(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是 ．①d ＜0 ；②a 7＝0；③S 9＞S 5；④S 6和S 7均为S n 的最大值.答案：(1)当且仅当n ＝10或11时，S n 取得最大值110．(2)①②④四、反馈练习(专题8：等差数列、等比数列)1. 在等差数列{a n }中，a 6＝a 3＋a 8，则数列{a n }的前9项的和为 ．答案：0(考查等差数列性质及求和公式)2. 设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝ ．答案：32．(考查等比数列的通项公式及前n 项和公式) 3. 已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ ．答案：－7(考查等差数列与等比数列的基本性质)4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是 ． 答案： 48(考查数列的基本性质和基本量运算)5. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是答案： 5(考查等差数列前n 项和与a n 之间关系)6．在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=a 3a 5，则a 7＝ ．答案：18．（考查等比数列计算） 7．(1) 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则数列b n ＝1a n a n ＋1的前5项的和为 . (2)设等比数列{a n }各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ ．答案：(1) 524； (2)10（考查 (1)S n 与a n 间关系；(2)利用等比数列的性质结合对数的运算法则解题．）8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为答案：13（考查等比数列基本量运算）9．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围________答案：－1＜d ＜－78（考查S n 与a n 间关系）10．设a 1，a 2，…，a n 是各项不为零的n (n ≥4)项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n ，a 1d)所组成的集合为____________．答案：{(4，－4)，(4，1)} （考查等差数列，等比数列）11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1) 求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2) 设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列 答案：a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)（考查（1）等差数列通项及前n 项和基本量运算；（2）证明三项不可能成等比数列方法：反证法12． 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比相等，且都等于d （d ＞0，d ≠1）.若a 1＝b 1，a 3＝3b 3，a 5＝5b 5，求a n ，b n ．答案： a n ＝55(n －6)，b n ＝－5×(55)n －1．（考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.）13．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ．(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案:S n ＝(n －1)2n ＋1（考查等差数列的证明、通项公式的求法、错位相减法）14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求数列{a n }的通项公式．答案： a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2． （考查a n 与S n 的关系及等差数列．）15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；（2）设数列{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋t，问: 是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.答案：(1)a n ＝2n －1，S n ＝n 2；（2）t ＝5，m ＝4；t ＝3，m ＝5；t ＝2，m ＝7．（考查等差数列中的基本运算，整数的性质）16．已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，S 4＝28．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设由b n ＝S n n ＋c(c ≠0)构成的新数列{b n }，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列{b n}，设c n＝8(a n＋7) b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和为T n，现有数列{f(n)}，f(n)＝2b na n－2－T n（n∈N*），求证：存在整数M，使f(n)≤M对一切n∈N*都成立，并求出M的最小值．答案：(1) a n＝4n－3．(3)整数M≥2，所以M的最小值为2．（考查数列综合应用）。
2018届苏教版 等差数列及其前n项和 单元测试
等差数列及其前n项和基础巩固组1.若数列{a n}的首项a1=1,且a n=a n-1+2(n≥2),则a7等于().A.13B.14C.15D.17答案:A解析:∵a n=a n-1+2(n≥2),∴a n-a n-1=2.又a1=1,∴数列{a n}是以1为首项,以2为公差的等差数列,故a7=1+2×(7-1)=13.2.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于().A.272B.27C.54D.108答案:B解析:S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.3.在等差数列{a n}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为().A.14B.18C.21D.27 答案:A解析:设等差数列{a n}的公差为d,则依题意得a1+d=3,2a1+5d=9,由此解得a1=2,d=1,所以a6=a1+5d=7,a1a6=14.4.在等差数列{a n}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于().A.21B.30C.35D.40答案:C解析:由题意得3a6=15,a6=5.所以a3+a4+…+a9=7a6=7×5=35.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使a n>0的最小正整数n的值是().A.8B.9C.10D.11答案:C解析:设等差数列{a n}的公差为d,∵a11-a8=3d=3,∴d=1.∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3,∴a1=-8,∴令a n=-8+(n-1)>0,解得n>9.因此使a n>0的最小正整数n的值是10.6.(2015浙江高考)已知数列{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则().A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C .a 1d>0,dS 4<0D .a 1d<0,dS 4>0答案:B 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),即3a 1d+5d 2=0. ∵d ≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d.∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d (2a 1+3d )=-23d 2<0,故选B .7.(2015广东高考)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= . 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,解得a 5=5.又a 2+a 8=2a 5,所以a 2+a 8=10.8.若等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和,且a k +a 4=0,则k= . 答案:10解析:设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 9-S 4=0,即a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0,5a 7=0,故a 7=0.而a k +a 4=0=2a 7,故k=10.9.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =S n n +c ,是否存在非零实数c 使得数列{b n }为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,且d>0,由等差数列的性质,得a 2+a 5=a 3+a 4=22,所以a 3,a 4是关于x 的方程x 2-22x+117=0的解, 所以a 3=9,a 4=13.易知a 1=1,d=4,故所求通项为a n =1+(n-1)×4=4n-3.(2)由(1)知S n =n (1+4n -3)=2n 2-n , 所以b n =S n =2n 2-n . (方法一)所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c (c ≠0).令2b 2=b 1+b 3,解得c=-12.当c=-12时,b n =2n 2-nn -12=2n ,当n≥2时,b n-b n-1=2.故当c=-12时,数列{b n}为等差数列.(方法二)b n=S nn+c =n(1+4n-3)2n+c=2n n-12n+c.因为c≠0,所以可令c=-12,得到b n=2n.因为b n+1-b n=2(n+1)-2n=2(n∈N*),所以数列{b n}是公差为2的等差数列.故存在一个非零常数c=-12,使数列{b n}为等差数列.10.(2014课标全国高考Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得数列{a n}为等差数列?并说明理由.(1)证明:由题设,a n a n+1=λS n-1,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减,得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)解:由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4.由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得数列{a n}为等差数列.能力提升组11.设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2a1a n}为递减数列,则().A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>0答案:C解析:∵数列{2a1a n}为递减数列,∴2a1a n>2a1a n+1,n∈N*,∴a1a n>a1a n+1,∴a1(a n+1-a n)<0.∵{a n}为公差为d的等差数列,∴a1d<0.故选C.12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S4=40,S n=210,S n-4=130,则n等于().A.12B.14C.16D.18答案:B解析:易得S n-S n-4=a n+a n-1+a n-2+a n-3=80.又S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40, 所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30. 由S n =n (a 1+a n )2=210,得n=14.13.(2015北京高考)设数列{a n }是等差数列.下列结论中正确的是( ).A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C.若0<a 1<a 2,则a 2> a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A 选项,a 1+a 2=2a 1+d>0, 而a 2+a 3=2a 1+3d 不一定大于0; 对于B 选项,a 1+a 3=2a 1+2d<0, a 1+a 2=2a 1+d 不一定小于0; 对于C 选项,0<a 1<a 2,则公差d>0. 所以a 2=a 1+a 32> a 1a 3;对于D 选项,(a 2-a 1)(a 2-a 3)=-d 2≤0.故只有C 正确.14.已知正项数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n +12+a n -12(n ∈N *,n ≥2),则a 7= .答案: 19解析:因为2a n 2=a n +12+a n -12(n ∈N *,n ≥2),所以数列{a n 2}是以a 12=1为首项,以d=a 22−a 12=4-1=3为公差的等差数列.所以a n 2=1+3(n-1)=3n-2.所以a n = 3n -2,n ≥1.所以a 7= 3×7-2= 19.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n =S n n+2(n-1)(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列,并求a n 与S n ;(2)是否存在自然数n ,使得S 1+S 22+S 33+…+S n n -(n-1)2=2 015?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:由a n =S n n +2(n-1),得S n =na n -2n (n-1)(n ∈N *).当n ≥2时,a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1), 即a n -a n-1=4,故数列{a n }是以1为首项,4为公差的等差数列. 于是,a n =4n-3,S n =n (a 1+a n )2=2n 2-n (n ∈N *).(2)解:由(1),得S nn=2n-1(n∈N*).又S1+S22+S33+…+S nn-(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.令2n-1=2015,得n=1008,即存在满足条件的自然数n=1008.。
2018届苏教版 数列 单元测试
一．基础题组1. 【2005江苏，理3】在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（ ）（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189 【答案】C.【解析】设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0,求得q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4,8421=⨯故选C.2. 【2009江苏，理14】设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+= ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q= .3. 【2009江苏，理17】设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。
（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项 【答案】（1）227,6,n n a n S n n =-=-（2）2m =． 【解析】（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,(2) （方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---,设23m t -=，则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t t t--=+-, 所以t 为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项， 故m+28 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有2m =.4. 【2010江苏，理8】函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2x )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是__________．5. 【2011江苏，理13】设7211a a a ≤≤≤= ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值为 【答案】33．【解析】由题意得，,2,1,1,,122222232q a a q q a a q a a ≥++≥≥+≥=≥223+≥a q 要求q 的最小值，只要求2a 的最小值，而2a 的最小值为1，所以321223=+≥+≥a q ，33≥q .6. 【2013江苏，理14】在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．【答案】12．【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝51(12)13221232n n --=--.∵512a =，q ＝2， ∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝26a ＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132＞a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n 取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132＜a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n ＞13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒小于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12..7. 【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是.【2016年高考江苏卷】已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ . 【答案】20【解析】由510S =得32a =，因此2922(2)33,23620.d d d a -+-=-⇒==+⨯=故 【考点】等差数列的性质【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,,,)22n m t n n a a n a a S m t n m n t ++==+=+∈N 及().n m a a n m d =+-等二．能力题组1. 【2008江苏，理19】（1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列． （i ）当4n =时，求1a d的数值； （ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，， ，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a - 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾。
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【2017年高三数学优质试卷分项精品】专题六 数列【文】-2017年高三数学优质试卷分项精品【解析版】一、选择题1. 【2016届邯郸市一中高三十研】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=，且2454a a +=，则n nS a =（ ） A ．14n - B ．41n- C ．12n - D ．21n-【答案】D 【解析】241312a a q a a +==+,所以2131155(1)42a a a q a +=+==，12a =，所以11111(1)11112211122nn n n n n n n n nn a q S q q a a q q q ----⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 2. 【2016届湖北八校高三第二次联考】在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ） A. 1 B. 1± C. 2 D. 2± 【答案】A【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以323438a a a a ==，32a =，所以447328a a q q ===，22q =，3121a a q ==，故选A. 3. 【2016年九江市三模】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若210071009=-S S ，则=2016S （ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2017 【答案】C【解析】由210071009=-S S ,得210091008=+a a ， ∴20162)(20162)(201610091008201612016=+⋅=+⋅=a a a a S ．4.【2016届淮北一中高三最后一卷】 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”（ ） A ．439 B ．778 C ．776 D ．581【答案】B【解析】设得金最多的数为数列首项1a ，公差为d ，则113344303a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13726778a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此每等人比下等人多得778斤．故选B ． 5. 【2016届榆林市高三二模】在数列{}n a 中，()1111,114n n a a n a -=-=->，则2016a 的值为（ ） A ．14-B ．5C ．45D ．以上都不对 【答案】C【解析】2341415,,,54a a a a ===-=因此周期为3，即2016345a a ==，选C. 6. 【2016届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】设{}n a 为等差数列，公差d =-2，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则=1a ( )A ．18B ．20C ．22D ．24 【答案】B【解析】由1110S S =得110a =,即1100a d +=.由于2d =-,所以120a =.故B 正确.7. 【2016河南省八市重点高中质检】5个数依次组成等比数列，且公比为-2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（ ） A ．2120-B ．-2C ．2110-D ．215- 【答案】C【解析】由题意可设这5个数分别为24816a a a a a --，，，，，故奇数项和与偶数项和的比值为416210281a a a a a =-++--.故选C8.【2016江西师大附中高三上学期期末】定义12nnp p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均 倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++= （ ）A ．817 B ．919 C ．1021 D ．1123【答案】C【解析】由定义可知2215......n a a a n =+++，212115......）（+=+++++n a a a a n n ，可求得5101+=+n a n ，所以510-=n a n ，则12-=n b n ，又)11(21111++-=n n n n b b b b ，所以12231011111b b b b b b +++= 21101121111......11121111111010221=-=-+--+-）（）（b b b b b b b b ，所以本题正确选项为C.9. 【2016河北省石家庄市高三二模】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11=a ，公差15,21=-=+n n S S d ，则n 的值为（ ）A.5B.6C.7D.8 【答案】C【解析】因为数列的前n 项和n S 与n a 满足关系式n n n S S a -=++11，所以有151=+n a ，又{}n a 为等差数列，所以715211=⇒=+=+n n a n ，所以本题的正确选项为C.10. 【2016届石家庄市高三二模】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且111,1++-==n n n S S a a ，则使22101nnS nS +取得最大值时n 的值为 （ ）A.2B.5C.4D.3 【答案】D【解析】因为n n n S S a -=++11，所以有111111=-⇒-=-+++n n n n n n S S S S S S ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为首项等于1公差为1的等差数列所以nS n S n n 11=⇒=，则222222211()1111011010110()110()nnn nS n n n n S n n n n ====+++++ 110n n=+，因为,10210≥+n n 当且仅当10=n 时取等号，因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10=n 相邻的两个整数中求最大值，193101,31,322=+==n n n S nS S n ，132101,41,422=+==n n n S nS S n ，所以最大值为193，此时3=n ，故本题正确选项为D. 11. 【2016届淮南市高三二模】已知数列{}n a 满足：120n n a a ++=，且22a =，则{}n a 前10项和等于（ ）A ．10123-B ．10123-- C ．1021- D ．1012-【答案】B【解析】由题意得，120n n a a ++=，则12n na a +=-，即数列为公比为2-的等比数列，又22a =，所以11a =-，所以{}n a 前10项和等于1010110(1)1213a q S q --==--，故选B ． 12. 【2016届淮南市高三二模】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2nnS S 为常数，则称数列{}n a 为“精致数列”. 已知等差数列{}n b的首项为1，公差不为0，若数列{}n b 为“精致数列”，则数列{}n b 的通项公式为 . 【答案】)(,12*∈-=N n n b n【解析】设等差数列{}n b 的公差为d ，由2n n S S 为常数，设2n nSk S =且11b =，得11(1)[22(21)]22n n n d k n n n d +-=+⨯-，即2(1)42(21)n d k k n d +-=+-，整理得(41)(21)(2)0k dn k d -+--=，因为对任意正整数n 上式恒成立，则(41)0(21)(2)0d k k d -=⎧⎨--=⎩，解得12,4d k ==，所以数列数列{}n b 的通项公式为)(,12*∈-=N n n b n ． 13.【2016届淮南市高三.二模】 已知数列{}n a 满足：120n n a a ++=，且22a =，则{}n a 前10项和等于（ ）A ．10123-B ．10123-- C ．1021- D ．1012-【答案】B【解析】由题意得，120n n a a ++=，则12n na a +=-，即数列为公比为2-的等比数列，又22a =，所以11a =-，所以{}n a 前10项和等于1010110(1)1213a q S q --==--，故选B ． 二、填空题1. 【2016湖北省八校高三.二联】数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则120S = . 【答案】7280【解析】由()()1=11n n na n a n n ++++得，111n n a a n n +=++，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，且111a =，所以n a n n =，2n a n =，22cos3n n b n π=，所以 222222212011111234561202222S =-⨯-⨯+-⨯-⨯+-+22222221(1223456120)2=-+-⨯++-+-222222221[(123120)3(369120)]2=-++++-⨯++++22222221139(1240)(123120)22=⨯⨯⨯++-⨯++++ 140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯= 2. 【2016届淮北一中高三最后一卷】已知函数()()()()1210log 110ax x f x x x ⎧->⎪=⎨+-<≤⎪⎩且334f f ⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，在各项为正的数列{}n a 中，{}1112,,2n n n a a f a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的前n 项和为n S ，若126n S =，则n =____________． 【答案】6【解析】由已知1233()log (1)244f -=-+=，(2)213f a =-=，2a =．当0x >时，()21f x x =-，当2x ≥时，11()2()12022f x x x x x +-=+--=>>，即当2n a ≥时，1()2n n f a a +>，所以{}n a 是递增数列，因此111()2()1222n n n n a f a a a +=+=+-=，从而{}n a 是等比数列，公比为2，所以2n n a =，122126n n S +=-=，6n =．3. 【2016榆林市高考二模】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,31,2,3,n n a a S n +=== ，则22016log S =________.【答案】4030【解析】221122,3,4,434n n n n n n n n n a a a a a a a --++≥-===⋅=⋅时，所以20152015403020163(14)14214S -=+==-，22016log S =40304. 【2016届淮南市高三.二模】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2nnS S 为常数，则称数列{}n a 为“精致数列”. 已知等差数列{}n b的首项为1，公差不为0，若数列{}n b 为“精致数列”，则数列{}n b 的通项公式为 . 【答案】)(,12*∈-=N n n b n【解析】设等差数列{}n b 的公差为d ，由2n n S S 为常数，设2n nSk S =且11b =，得11(1)[22(21)]22n n n d k n n n d +-=+⨯-，即2(1)42(21)n d k k n d +-=+-，整理得(41)(21)(2)0k dn k d -+--=，因为对任意正整数n 上式恒成立，则(41)0(21)(2)0d k k d -=⎧⎨--=⎩，解得12,4d k ==，所以数列数列{}n b 的通项公式为)(,12*∈-=N n n b n ． 三、解答题1. 【2016届邯郸市一中高三.十研】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足*4()n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(*)2log n nb n N a =∈-，数列{}2n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】(1) 21()2n n a -= ;(2)见解析.【解析】（1）由4n n S a =-，得114S a =-，解得12a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分而1111(4)(4)n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=， ∴112n n a a +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 可见数列{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列． ∴12112()()22n n n a +-== ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）∵21112log 2(2)n n b a n n===---，∴21111()(2)22n n b b n n n n +==-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 故数列{}2n n b b +的前n 项和111111111111(1)()()()()()23243546112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 31113()42124n n =-+<++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 2. 【2016年广州市毕业班综合测试】（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1）222422n n n n a a q --==⨯=；（2）()16232n n T n +=+- 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，因为24a =，所以34a q =，244a q =．…………………………………………1分因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+．……………………2分 即()224244q q +=+，化简得220q q -=．因为公比0q ≠，所以2q =．………………………………………………………4分 所以222422n n n n a a q --==⨯=（*n ∈N ）．…………………………………………5分 （Ⅱ）因为2n na =，所以22log 121n nb a n =-=-．所以()212n n na b n =-．……………………………………………………………7分则()()231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②………………9分①－②得，()2312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--……………………………………10分()()()11142221262321212n n n n n ++-=+⨯--=-----，所以()16232n n T n +=+-．……………………………………………………………12分。
2018届苏教版 等差数列与等比数列 单元测试 (1)
等差数列与等比数列一、填空题1.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则63S S 的值是__________. 答案12解析 由3620a a +=得312q =-，则63S S 63131(1)1111(1)2a q q q q a q --=⨯=+=--. 2.已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，239n n a a +=，则数列{}n a 前50项的和数列50S 的最小值为______________. 答案 637解析 50134924502524()()4012()S a a a a a a aaa a =+++++++=⨯+++++22394811312481637a a ≥++⨯≥+（当且仅当2a =. 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4514,23,a a ≤≤≤≤6S 取值范围是________. 答案 ]30,0[解析 设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由4514,23a a ≤≤≤≤得：1134a d ≤+≤，1243a d ≤+≤，设645S xa ya =+，则111615(3)(4)a d x a d y a d +=+++，所以63415x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得93x y =⎧⎨=-⎩，从而[]645930,30S a a =-∈.4.各项均为正数的等比数列{}n a 满足：11a >，676712a a a a +>+>，记数列{}n a 前n 项 积为n T ，则满足1n T >的最大正整数n 的值为____________. 答案 12解析 法1：67676767112(1)(1)0a a a a a a a a >⎧+>+>⇒⎨--<⎩，因为11a >，所以6711a a >⎧⎨<⎩，所以516111a q a q ⎧>⎪⎨<⎪⎩，又(1)12211()1n n n n n n T a q a q --==>，则有16132n n -<⇒<，所以n 的最大值为12.法2：由法1可知671122116712111a a a a a a a a T >⇒===>⇒> ，71132126813111a a a a a a a T <⇒===<⇒< ，所以n 的最大值为12.5.若数列{}n a 中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），则数列{}n a 的通项公式是n a =____________.答案 11,(1)11,(2)3232n n n n a n -=⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩ 解析 通过“构造法”，取倒数n n S S 3411+=+，)1(311k S k S n n +=++待定系数2=k ，所以数列}21{+nS 首项为3，公比为3的等比数列，n n S 321=+，231-=nn S ，然后再通过“作差法”，要注意分2,1≥=n n 的讨论.6.若等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是_________. 答案 4解析 因为31)1(51=--q q a ，31)1(21021=--qq a ，所以43121)1(51==++q q a 7.设函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，且()(1)n a f n f n =++，则1232017a a a a +++⋯+=_____.答案 2016解析 1232017a a a a +++⋯+=[(1)(2)][(2)(3)][(2016)f f f f f f ++++++2[(1)(2)(3)(2016)][(2017)(1)]f f f f f f =+++++-222222222[(12)(23)(20152016)](20171)=-+-++-+- 22[1232016](20171)=-+++++- 2(12016)20162[](20171)2+⨯=-+-2016=.8.数列,,141,1}{22221211n n nn n a a a S a a a a +++==+=+ 记满足若3012m S S n n ≤-+对 任意*N n ∈恒成立，则正整数m 的最小值为__________. 答案 10解析 通过“构造法”，212141+=+n na a ，数列{21na }成等差数列，1412-=n a n，3412-=n a n ，令181541141)(212211++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅+=-=+++n n n a a S S n f n n n n ， )()1(n f n f <+，所以()f n 单调递减，4514)1(30=≥f m ，328≥m ，10min =m 二、解答题9.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且121)1(11--+=+++n n n n a a n S S . (1)若数列}{n a 是等差数列，求数列}{n a 的通项公式； (2)设62=a ，求证：数列}{n a 是等差数列. 解：(1)∵121)1(11--+=+++n n n n a a n S S ∴12121--=+n n n a na S 又∵}{n a 是等差数列，设公差为d ， 则1])1([21)(2)1(2111--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+d n a nd a n d n n na ∴1)(21)2()2(11212----+=-+d a n d a dn n d a dn ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=-01)(2122111d a d a d a∴⎩⎨⎧==421d a ∴24-=n a n(2)∵12121--=+n n n a na S ① ∴121)1(211---=--n n n a a n S ②①—②得：)2(0)32(211≥=++--+n a a n na n n n ∴)1(0)52()22(12≥=++-+++n a a n a n n n n两式相减得)2(0)42()54()22(112≥=-+++-+-++n a a n a n a n n n n n ∴)2(02)22()44()22(1112≥=-+-+++-+-+++n a a a a n a n a n n n n n n n ∴)2(2]2)[22(1112≥+-=+-+-+++n a a a a a a n n n n n n n∵62=a ∴可得10,231==a a ∴02123=+-a a a ∴0212=+-++n n n a a a ∴}{n a 是等差数列10.已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1+⋅=n n n a a b (1)若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n s ； (2)若3n n b =，求数列{}n a 的通项公式； (3)若2n b n =+，求证：121113na a a +++> 解：(1)1-=n n a a 121--=⋅=∴n n n n a a ab ，当a =1时，1n b =，则n s n =；当1a ≠时，22(1)1n n a a s a-=-， (2)13+⋅=n n n a a n n n a a ⋅=∴--113，),2(*N n n ∈≥ 311=∴-+n n a a ),2(*N n n ∈≥ 当*21,()n k k N =+∈时，*11222223()3=a3k k k k ka k N a a a --+∴=∈∴= 当*2,()n k k N =∈时，*121212-13()3k k k k a k N a a -+-∴=∈∴=12223(=21)3(2)n n n n k a a n k --⎧-⎪∴=⎨⎪=⎩(3)12,n n a a n +=+ ①，121,3a a =∴= 11n n a a n -∴=+(2)n ≥② ①－②得11111)1(2)n n n n n na a a a a n a +-+--=∴-=≥（ 23111n a a a ∴+++ 314211()()()n n a a a a a a +-=-+-++- =112n n a a a a ++-- 1231111n a a a a ∴++++ =112111+3n n n n a a a a a a a +++--=+- 22211+=⋅>+++n a a a a n n n n 1231111na a a a ∴++++＞3． 11.数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． (1)若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；(2)若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；(3)若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论． 证明：(1)设数列}{n a 的公差为d ，∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列．(2)当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b c a +++=+，∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c ca a +-+++++---=-=+， ∵数列}{nb ，}{nc 都是等差数列，∴1122n n n nb bc c ++--+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． (3)数列}{n a 成等差数列．解法1：设数列}{n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=- ，设211212222n n n n n T b b b b --=+++ ，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++ ， 两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=+++- ， 即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-，∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， 令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-， ∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-， ∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列，∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列．解法2：∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----， ∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=， ∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--，∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列．12.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且满足1239a a a ++=，12327b b b =． (1)若43a b =，43b b m -=．①当18m =时，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ②若数列{}n b 是唯一的，求m 的值；(2)若11a b +，22a b +，33a b +均为正整数，且成等比数列，求数列{}n a 的公差d 的最大值． 解：(1)①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =， 由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)n n na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意； 若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意． 所以，0m =或34-．(2)依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=，d =而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,412,3),(18,2),(36,1)．所以，当1,36m n ==时，d ．。
2018届苏教版 数列 单元测试
1．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .2．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 3．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 是数列{a n }的前n 项和，且4S n ＝a 2n ＋2a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝2n ，求T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的值．4．(2016·苏州、无锡、常州、镇江三模)已知常数λ≥0，若各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)． (1)若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围． 5．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12. (1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．答案精析1．解 (1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3， 此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1， 显然当n ＝1时，a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13， 当n ＞1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ， 所以T 1＝b 1＝13. 当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n .经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .2．解 (1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8.又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)．(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S nS n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.3．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34.解得a 1＝3.又∵4S n ＝a 2n ＋2a n －3，①当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3.②①－②，得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2(a n －a n －1)，即a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)T n ＝3×21＋5×22＋…＋(2n ＋1)·2n ，③2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)2n ＋1，④ ④－③，得T n ＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n )＋(2n ＋1)2n ＋1 ＝－6＋8－2·2n ＋1＋(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(2n －1)2n ＋1＋2. 4．解 (1)当λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1， 所以S n ＝a n ＋1a n S n . 因为a n ＞0，所以S n ＞0，所以a n ＋1＝a n .因为a 1＝1，所以a n ＝1.(2)因为S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)·a n ＋1，a n ＞0， 所以S n ＋1a n ＋1－S n a n＝λ·3n ＋1， 则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1， S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…， S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． 累加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1， 则S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ≥2，n ∈N *)． 经检验，上式对n ＝1也成立，所以S n ＝(λ·3n －32＋n )·a n (n ∈N *)，① S n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1(n ∈N *)．②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n )·a n ， 即(λ·3n ＋1－32＋n )·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n )·a n . 因为λ≥0，所以λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0. 因为a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立， 所以λ·3n －32＋n ＜12·(λ·3n ＋1－32＋n )对一切n ∈N *恒成立， 即λ＞2n 3n ＋3对一切n ∈N *恒成立． 记b n ＝2n 3n＋3， 则b n －b n ＋1＝2n 3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝(4n －2)3n －6(3n ＋3)(3n ＋1＋3). 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0；当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0.所以b 1＝b 2＝13是一切b n 中最大的项． 综上，λ的取值范围是(13，＋∞)． 5．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )， ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， ∴f (n )＝(12)n . (2)证明 设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ， ∴T n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ， 12T n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1， ＝1－(12)n －n ×(12)n ＋1，∴T n ＝2－(12)n －1－n ×(12)n ＜2. (3)解 ∵f (n )＝(12)n ， ∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2. ∴当n ≤8时，b n ＞0； 当n ＝9时，b n ＝0； 当n ＞9时，b n ＜0.∴当n ＝8或n ＝9时，S n 取得最大值．。
2018届苏教版 等比数列及其前n项和 单元测试
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考点21 等比数列及其前n 项和一、选择题1.(2016·天津高考理科·T5)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a 2n-1+2n a <0”的 ( ) A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用等比数列的定义将a 2n-1+a 2n <0转化为a 1q 2n-2(1+q)<0,得出q 的范围,然后比较前后两个q 的取值范围即可.【解析】选C.设数列的首项为a 1,则a 2n-1+a 2n =a 1q 2n-2+a 1q 2n-1=a 1q 2n-2(1+q)<0,即q<-1,故q<0是q<-1的必要不充分条件. 二、填空题2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 .【解析】由于{a n }是等比数列,设a n =a 11n q -,其中a 1是首项,q 是公比.所以1324a a 10,a a 5,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩⇔211311a a q 10,a q a q 5,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得:1a 8,1q .2⎧=⎪⎨=⎪⎩故a n =n 412-⎛⎫⎪⎝⎭,所以a 1·a 2·…·a n =()()()32n 412-+-+⋯+-⎛⎫⎪⎝⎭=()1n n 7212-⎛⎫⎪⎝⎭=21749n 22412⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭.当n=3或4时,21749n 224⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦取到最小值-6,此时21749n 22412⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值26.所以a 1·a 2·…·a n 的最大值为64. 答案:64 三、解答题3.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T17)(本小题满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式. (2)若S 5=3132,求λ. 【解析】(1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故a 1=11λ-, 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,所以n 1n a λ=a λ1+-, 因此数列{}n a 是以a 1=11λ-为首项,以λλ1-为公比的等比数列,a n =n 11λ1λλ1-⎛⎫⎪--⎝⎭.(2)由(1)得S n =1-nλλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭,又因为S 5=3132, 所以3132=1-5λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭,即5λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭=132,解得λ=-1. 4.(2016·四川高考理科·T19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式.(2)设双曲线x2-22nya=1的离心率为e n,且e2=53,证明:e1+e2+…+e n>n nn1433--.【解题指南】(1)在S n+1=qS n+1中,用n-1代替n,将两式相减判断出数列{a n}为等比数列,再结合等差中项求出公比,从而求出{a n}的通项公式.(2)先求出数列的通项公式,从而求出数列{e n}的通项公式,进而证明不等式.【解析】(1)由题S n+1=qS n+1①可知当n≥2时,S n=qS n-1+1②,两式相减可得a n+1=qa n,即{a n}从第二项开始为公比是q的等比数列,当n=1时,代入可得a1+a2=qa1+1,所以a2=q,即{a n}为公比是q的等比数列.根据2a2,a3,a2+2成等差数列,由等差数列性质可得2a2+a2+2=3a2+2=2a3,即2q2-3q-2=0,求解可得q=2或q=-12,由题q>0可知,q=2,所以a n=2n-1,n∈N*.(2)证明:由双曲线的性质可知,e n==由(1)可得, {a n}是首项为1,公比为q的等比数列,故e2=53==,即q=43,所以{a n}为首项为1,公比为43的等比数列,通项公式为a n=n143-⎛⎫⎪⎝⎭(n∈N*),所以e n=n143-⎛⎫>= ⎪⎝⎭,e1+e2+…+e n>1+n2n1n nn1413444434333313--++=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫-⎝⎭+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-,原式得证.5.(2016·四川高考文科·T19)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+ a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式.(2)设双曲线x 2-22ny a =1的离心率为e n ,且e 2=2,求22212e e e n +++ . 【解题指南】(1)利用a n =S n -S n-1,两式相减,得出数列为等比数列,利用数列的通项公式得出结论.(2)先利用双曲线的离心率得到e n 的表达式,再解出q 的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.【解析】(1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立. 所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3,所以a 3=2a 2,,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)可知,a n =q n-1. 所以双曲线x 2-22ny a =1的离心率e n==.由e2=解得所以,()()()2n 1221222 e e e 111q 1q n -⎡⎤++++++⎦=+⋯++⎣ =()2n 2n 122q 1n 1q q n q 1--⎡⎤+++⋯+=+⎣⎦-=()n1n 31.2+- 6.(2016·江苏高考T20)(本题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =12k t t t a a a +++ ,例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66,现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列错误！未找到引用源。
2017-2018学年高中数学苏教版五检测：第2章2.3-2.3.3等比数列的前n项和含解析
第2章数列2。
3 等比数列2。
3。
3 等比数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．数列｛a n}的前n项和S n＝3n＋b,要使｛a n｝是等比数列,则b 的值为（)A．0 B．1 C．－1 D．2解析：因为a n＝错误!要使｛a n｝成等比数列，则3＋b＝2·31－1＝2，即b＝－1。
答案：C2．等比数列{a n｝的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A。
错误!B．－错误! C.错误!D．－错误!解析：错误!⇒错误!答案：C3．设等比数列{a n｝的公比q＝2，前n项和为S n,则错误!＝( )A．2 B．4 C。
152D。
172解析:S4＝错误!＝15a1，a2＝a1q＝2a1,所以错误!＝错误!.答案：C4．已知数列｛a n}满足3a n＋1＋a n＝0,a2＝－错误!,则｛a n}的前10项和等于( )A．－6（1－3－10) B。
错误!（1－3－10)C．3（1－3－10) D．3(1＋3－10）解析：由3a n＋1＋a n＝0得a n＋1a n＝－错误!,所以{a n}是以－错误!为公比的等比数列．而a2＝－错误!，所以a1＝4，故S10＝错误!＝3(1－3－10）．答案:C5．设等比数列｛a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝（）A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3解析：在等比数列｛a n｝中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列,因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝错误!S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A。
答案：A二、填空题6．在由正数组成的等比数列｛a n}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________．解析：因为{a n｝成等比数列，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．所以(a3＋a4）2＝（a1＋a2）（a5＋a6）．所以a5＋a6＝错误!＝16.答案：167．等比数列｛a n｝共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公式q＝________．解析：设｛a n}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公式为q2，首项为a1，S2n＝错误!，S奇＝错误!.由题意得错误!＝错误!，所以1＋q＝3。
2018届苏教版(文) 数列 检测卷
数 列1．在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为________．答案 1解析 因为a 4＝a 1q 3,3＝19×q 3，q ＝3，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝(19×9)5＝1.2．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2＝________. 答案 3解析 a 1＝a 2－2，a 5＝a 2＋6，∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则a 2a 3＝________.答案 23解析 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3a 3＝3a 2a 3＝3＋12，∴a 2a 3＝23. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为________． 答案 147解析 ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos2n π2)a n ＋sin 2n π2， ∴a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＝4，…，a 2k －1＝a 2k －3＋1，a 2k ＝2a 2k －2 (k∈N *，k ≥2)． ∴数列{a 2k －1}成等差数列，数列{a 2k }成等比数列．∴该数列的前12项和为(a 1＋a 3＋…＋a 11)＋(a 2＋a 4＋…＋a 12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝6× 1＋6 2＋2 26－1 2－1＝21＋27－2＝147.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________. 答案 104解析 由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8， 所以，S 13＝13 a 1＋a 132＝13a 7＝104.6．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2 016＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4 031＝6， ∴a 22 016＝6，∵a 2 016>0， ∴a 2 016＝6，log 6a 2 016＝1.7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 3n解析 由S n ＝32(a n －1)，则n ≥2时，S n －1＝32(a n －1－1)，则a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1，∴a n ＝3n， ∴a 1＝3符合公式，∴a n ＝3n.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，①3a 1＋21d ＝4，②②×4－①×3得：66d ＝7，解得d ＝766，代入①得：a 1＝1322，则a 5＝1322＋(5－1)×766＝6766.9．等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为________． 答案 210解析 因为{a n }是等差数列，所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，即2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________． 答案 20解析S 9－S 6S 6－S 3＝S 6－S 3S 3， (S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， S 9－S 6＝ S 6－S 3 2S 3＝ 5＋S 3 2S 3＝S 3＋25S 3＋10≥10＋10＝20，当且仅当S 3＝5时取“＝”，则S 9－S 6的最小值为20.11．已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时的n 的值为______． 答案 5或6 解析 由题意得d ＝a 10－a 510－5＝－5，因此a n ＝a 5＋(n －5)d ＝－5n ＋40，a 8＝0，而数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为连续6项的和，因此|T n |取得最小值时的n 的值为第8项前3项或前2项，即n 的值为5或6.12．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是____________．答案 [12，1)解析 ∵a 1＝f (1)＝12，∴a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12a n ，∴数列{a n }为首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12[1－ 12 n]1－12＝1－(12)n. ∵n ≥1，∴12≤S n <1.13．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则该数列的前 2 018项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 018＝________.答案 －6解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 018＝4×504＋2，∴前2 018项乘积为a 1a 2＝－6. 14．设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a n 和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ＝1,2,3，…)，则S n ＝________. 答案 n 2解析 由题意知：S n ＝(a n 2＋12)2，当n ＝1时，易得a 1＝1.a n ＝S n －S n －1＝(a n 2＋12)2－(a n －12＋12)2＝(a n 2＋a n －12＋1)·(a n 2－a n －12)＝(a 2n －a 2n －14)＋(a n 2－a n －12)，整理得：a n ＋a n －12＝a 2n －a 2n －14⇒a n －a n －1＝2，所以a n ＝2n －1，所以S n ＝n 2.15．(2016·课标全国乙)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.16．(2016·天津)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑2nk ＝1 (－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑nk ＝1 1T k <12d2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2， 所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n a 2＋a 2n2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑nk ＝1 1T k ＝12d 2∑n k ＝1 1k k ＋1 ＝12d 2∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1 ＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d 2. 17．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 18．已知数列{a n }，{b n }满足2S n ＝(a n ＋2)b n ，其中S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若数列{a n }是首项为23，公比为－13的等比数列，求数列{b n }的通项公式；(2)若b n ＝n ，a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设c n ＝a nb n，求证：数列{c n }中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．(1)解 因为a n ＝23(－13)n －1＝－2(－13)n，S n ＝23[1－ －13 n]1－ －13＝12[1－(－13)n]，所以b n ＝2S n a n ＋2＝1－ －13n－2 －13 n ＋2＝12.(2)解 若b n ＝n ，则2S n ＝na n ＋2n ， 所以2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1＋2(n ＋1)， 两式相减得2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2， 即na n ＝(n －1)a n ＋1＋2，当n ≥2时，(n －1)a n －1＝(n －2)a n ＋2，两式相减得(n －1)a n －1＋(n －1)a n ＋1＝2(n －1)a n ， 即a n －1＋a n ＋1＝2a n ，又由2S 1＝a 1＋2,2S 2＝2a 2＋4， 得a 1＝2，a 2＝3，所以数列{a n }是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1. (3)证明 由(2)得c n ＝n ＋1n， 对于给定的n ∈N *，若存在k ，t ≠n ，且t ，k ∈N *，使得c n ＝c k ·c t ， 只需n ＋1n ＝k ＋1k ·t ＋1t ， 即1＋1n＝(1＋1k)·(1＋1t)， 即1n ＝1k ＋1t ＋1kt ，则t ＝n k ＋1 k －n ， 则k ＝n ＋1，则t ＝n (n ＋2)，∴对数列{c n }中的任意一项c n ＝n ＋1n ，都存在c n ＋1＝n ＋2n ＋1和22n n c +＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n使得2+12.n n n n c c c =+19．已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)． (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值；(2)若λ＝12，求S n .解 (1)令n ＝1，得a 2＝21＋λ. 令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 所以a 3＝2λ＋4λ＋1 2λ＋1 .由a 22＝a 1a 3，得(21＋λ)2＝2λ＋4 λ＋1 2λ＋1 ， 因为λ≠0，所以λ＝1. (2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12， 即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列， 所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12， 即S n ＋1＝(n 2＋32)a n ，①当n ≥2时，S n －1＋1＝(n2＋1)a n －1，②①②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1， 所以a n n ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2)．代入①得S n ＝(n 2＋32)a n －1＝n 2＋5n6.。
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考点22 等比数列及其前n项和
一、选择题
1.(2017·全国丙卷·理科·T9)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()
A.-24
B.-3
C.3
D.8
【命题意图】本题考查等差、等比数列的性质,考查学生的运算求解能力.
【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0,2
3
a=a2·a6⇒(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d,(d≠0),
所以d=-2,所以S6=6×1+65
2
×(-2)=-24.
2.(2017·全国甲卷理科·T3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
【命题意图】本题考查等比数列的求和,意在考查学生的概念的理解能力和求和运算能力.【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,
由错误！未找到引用源。
=381可得x=3.
二、填空题
3.(2017·全国丙卷·理科·T14)设等比数列{a n}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.【命题意图】本题考查等比数列的基本概念,考查学生对基本概念的掌握.
【解析】由题意可得:错误！未找到引用源。
解得:错误！未找到引用源。
则a 4=a 1q 3=-8.
答案:-8
4.(2017·江苏高考·T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项的和为S n ,已知S 3=错误！未找到引用源。
,S 6=错误！未找到引用源。
,则a 8= .
【命题意图】考查等比数列通项公式的求法.
【解析】当q=1时,显然不符合题意;
当q ≠1时,错误！未找到引用源。
解得错误！未找到引用源。
则a 8=错误！未找到引用源。
×27=32.
5.(2017·北京高考理科·T10)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则2
2a b = .
【命题意图】本题主要考查等差与等比数列的基本运算,意在培养学生计算能力.
【解析】-1+3d=-q 3=8⇒d=3,q=-2⇒2
2a b =()
1312-+-⨯-=1. 答案:1
【答题模版】1.看到求等差、等比数列的通项公式,想到利用基本元素首项与公差、公比,充分利用题目中条件求解.2.看到求和,想到求数列和的几种类型是分组,还是错位相减,还是并项求和,裂项相消.
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