1.2应用举例-测量高度问题(1)第2课时

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1.2应用举例(1)距离、高度、角度

距离高度
角度
经典例题多练是关键
实际问题中的有关概念及常用术语 (1)基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线． (2)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角
叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)方向角：相对于某一正方向的： 1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义． 2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体
会正、余弦定理综合使用的特点．
①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.
③其他方向角类似．
(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直 h 高度h与水平宽度b之比即i＝ b＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．
(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．
求距离问题要注意 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则
直接解；若有未知量，则
把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择
更
便于计算的定理.
例3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A
的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面
在ABC中，由余弦定理可得 AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos 450 3 3 3 6 2 3 2 4 8 2 4 2 8 6 AB km 4 ６答：A、B两点的距离为 km。４

新人教A版必修5高中数学学案教案：《1.2 应用举例(二)》

数学必修五《1.2 应用举例（二）》教案教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m ) ③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C , BC =sin sin AB A C=5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+2033(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.。

高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例 1.2.2 解决有关测量高度的问题教案新人教A版必

安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.2 解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.2 应用举例1.2.2 解决有关测量高度的问题教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2。

2 解决有关测量高度的问题一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.二、过程与方法本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导—-讨论—-归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.三、情感态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

教学重点1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体点现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外,特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．教学难点能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件；教学准备直尺和投影仪教学过程导入新课师设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.推进新课【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．[合作探究]师这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？生要求建筑物AB 的高，我只要能把A E 的长求出来,然后再加上测角仪的高度E B 的长就行了.师对了，求AB 长的关键是先求A E ，那谁能说出如何求A E ？生由解直角三角形的知识，在△ADC 中,如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出A E 的长．师那现在的问题就转化成如何去求CA 的长，谁能说说？生应该设法借助解三角形的知识测出CA 的长．生为了求CA 的长，应该把CA 放到△DCA 中，由于基线DC 可以测量，且β也可以测量,这样在△DCA 中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA 的长．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β,CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中,根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ，AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h 。

新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5

『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶，测得其速度为每小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝＝＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30° ，相距 10n mile 的 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1° )？导学号 54742138

1.2解三角形应用举例(测量距离、高度、角度)

福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级姓名设计者日期课题：§1.2应用举例（第一课时测量距离问题）课时： 3课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。

其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力●教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程一、课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

二、讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_2

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。

主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。

二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。

这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。

在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。

学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。

三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。

（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。

（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。

难点：测量方法的寻找与计算。

五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。

六、教学过程（设计）情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。

知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离长．[分析]由余弦定理得cos∠＝100＋36－1962×10×6＝－∴∠ADC＝120°，∠在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从[分析]如图，因为B A AA AB 11+=，又[分析] 分别在△BCD 出BD 和AD ，然后在△ADBBCD中用余弦定理求得BC.如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点ACAB＝45°，∠CBA＝75°，________米．[分析]在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，ACB＝60°，由正弦定理可得AC＝AB·sin∠ABCsin∠ACB＝120×sin75°sin60°＝20(32＋，设C到AB的距离为CD，则CD＝AC·sin∠CAB＝2＋6)sin45°＝20(3＋3)，∴河的宽度为20(3＋3)米．五个量中，a，两个小岛相距10 n mile，从岛望C岛和A岛成岛之间的距离为________n＝45°，由正弦定理．如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )[解析] 要测γ.2．某观察站C和500米，测得灯塔在观察站C正西方向，A．500米 BC．700米 D[解析]如图，由题意知，∠3002＋5002＋2×300七、板书设计八、教学反思1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实．教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题．2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强．。

高中数学必修五教案：1.2应用举例距离和高度问题

集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日图1－2－12．坡比4．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．图1－2－3如图1－2－3，在河岸边有一点【思路探究】(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？(2)能用正弦定理求出AB 的长度吗？【自主解答】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)．即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.如图所示，设A (可到达)，B (不可到达)是地面上两点，要测量A ，B 两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C －A －C.图1－2－4如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D ，E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(A ，D ，E ，B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长．(精确到1 m)【解】在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007(m)．∴DE ＝AB －AD －BE ＝2007－120≈409(m)．图1－2－5在某次军事演习中，如图所示，不可到达的步骤是：图1－2－6图1－2－7如图1－一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点②要根据题意正确画出图形，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解．【解】如图所示，在△ABC中，BC＝200×tan 60°＝2003，【规范解答】根据题意画出示意图，＝30°，∠DBC＝135°.3由正弦定理，【解析】如图，已知AC＝5，∠∴AB＝53，BC图1－2－94．如图1－2－9在的河岸边选定一点精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

应用举例测量高度角度问题课件ppt文档

解由于∠CAD＝75.5°，∠CBD＝80.0°， ∴∠ACB＝4.5°. 在△ABC中，由于 sin∠ABACB＝sBinCA， ∴BC＝siAnB∠·sAinCAB＝38.s5i·nsi4n.755°.5°.
∴CD＝BC·sin80.0° ＝38.5s×ins4i.n57°5.5°·sin80.0° ≈468(m)．答：东方明珠塔的高度为468 m.
变式训练1 为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在 A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0°.试计算东方明珠塔的高度．(精确到1m)
分析如图，塔高为CD，只要能计算出BC或AC的长度，就可以计算出塔高，所以应在△ABC中，利用正弦定理求BC的长．
仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图所示．
2．把指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角叫方位角．如图所示．
名师讲解
（学生用书P16）
1.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个选定的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题． 2．角的测量问题要测量角的大小，可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题.
正解要求这人走多远可到达A城，也就是要求AD的长．在△ACD中，已知CD＝21千米，∠CAD＝60°，只需再求出一个量即可．
如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得
cosβ＝BD2＋2BCDD·C2－D CB2 ＝2022×＋2201×2－23112＝－17，
解在△ABD中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°，由正弦定理，得AD＝siAnB∠siAnDBB＝800s×in3si0n°40° ≈1028.5(m)．在Rt△ACD中，CD＝ADtan25°≈480(m)．答：山高约为480 m.

1.2应用举例(二)高度、角度问题

1.2应用举例（二）测量高度、角度问题高二年级主备人：郭爱琴审核人：编号：（一）、学习任务：1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。

2、能够用正弦、余弦定理等知识和方法求解高度、角度问题。

（二）、预习任务：（查资料完成并记住）1、方位角：2、方向角：3、仰角与俯角：4、坡比和坡角：一、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：二、自主学习：问题1、高度问题：测量底部不可到达的建筑物的高度问题；如图所示：(13页图)这实际上就是由于底部不可到达，这类问题不能直接用三角形的方法解决，但常用正弦定理、余弦定理，计算出建筑物顶部到一个选定的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题，应怎样计算？例如：课本例3.中：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种页完成）测量建筑物高度AB的方法。

（看书P13课本例4.课本例5.问题2、角的测量问题：可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形，实际解决不能直接测得的角的大小的问题。

课本例6.三、当堂检测：（对点训练）1、从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α与β的关系是（）A 、α>βB 、α=βC 、α+β=90︒D 、α+β=180︒2、若点P 在点Q 北偏东45︒30/，则点Q 在点P 的（）A 、东偏北44︒30/B 、东偏北45︒30/C 、南偏西44︒30/D 、西偏南44︒30/3、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40︒，灯塔B 在观察站C 的南偏东60︒，则灯塔A 在灯塔B 的（）A 、北偏东10︒B 、北偏西10︒C 、南偏东10︒D 、南偏西10︒四、巩固训练：1、课本P 15页：1、2、3，2、课本P 16页：练习3、课本P 19页：习题1.2 A 组 1、2、3五、拓展延伸（能力提升）课本P 19页：习题1.2 A 组、4、5、6、7、8、9、10六、本节课你有什么收获⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧。

数学：1.2 应用举例第二课时：测量高度问题(新人教A版必修5)

1. 2应用举例第二课时：测量高度问题一、教学目标：1、能力要求：①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力2、过程与方法：利用仰角和俯角等条件测量底部不可到达的建筑物高度这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。

难点：底部不可到达的建筑物高度的测量。

三、名词解释：1、仰角：朝上看时，视线与水平面夹角为仰角。

2、俯角：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角。

3、方位角：从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角。

4、坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率。

四、例题讲解：例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。

设计一种测量建筑无高度AB 的方法。

解：选择一条水平基线HG ，使H ，G ，B 三点在同一条直线上。

由在H ，G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为βα,，a CD =，测角仪器的高度为h 。

在ACD ∆中，βα-=∠CAD∴在ACD ∆中，由正弦定理可得：()βαβ-=sin sin a AC 在ACE ∆中，()βαβαα-==sin sin sin sin a AC AE ()h a h AE AB +-=+=∴βαβαsin sin sin 例2、在某建筑物顶部有一铁塔，在铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角45=α，在塔底C 处测得A 处的俯角30=β。

已知铁塔BC 部分高为30m ，求出此建筑物的高度CD 。

（精确到m 01.0）解：由已知条件可知 4590=-=∠αABC ， 6090=-=∠βACD ，15=-=∠∴βαBAC在ABC ∆中，由正弦定理可得：()13304262230sin sin +=-⨯=∠∠=BAC ABC BC AC , 在直角ACD ∆中，60,90=∠+∠=∠=∠CAB ABC ACD ADC 30=∠∴ACD()()m AC CD 98.40131521≈+==∴ 所以，山的高度约为98.40米。

1.2.2应用举例—测量高度、角度问题课件

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第一章 §1.2 第二课时
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·必修5
题型二测量角度问题例2 如图，当甲船位于A处时获悉在其正东方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°)
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·必修5
第一章解三角形
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§ 1.2 应用举例
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第一章 §1.2 第二课时
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·必修5
2．把指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角叫方位角．如图所示．
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第一章 §1.2 第二课时
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名师讲解
（学生用书P16）
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第一章 §1.2 第二课时
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∴CD＝BC·sin80.0° ＝38.5s×ins4i.n57°5.5°·sin80.0° ≈468(m)．答：东方明珠塔的高度为468 m.
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第一章 §1.2 第二课时
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·必修5

人教a版必修5学案：1.2应用举例(含答案)

1.2 应用举例材拓展1．常见的有关名词、术语名词、术语意义仰角与俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角；目标视线在水平视线下方时叫俯角．如图1 方位角一般是指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．如方位角60°是指北偏东60°坡角坡面与水平面的夹角坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)，如图22．测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD 中用正弦定理求AC在△BCD 中用正弦定理求BC在△ABC 中用余弦定理求AB 结论AB ＝a 2＋b 2－2ab cos CAB ＝a sin C sin (B ＋C )①AC ＝a sin ∠ADCsin (∠ACD ＋∠ADC )②BC ＝a sin ∠BDCsin (∠BCD ＋∠BDC )；3.测量高度的基本类型及方案类别点B 与点C 、D 共线点B 与C 、D 不共线图形方法先用余弦定理求出AC 或AD ，再解直角三角形求出AB在△BCD 中先用正弦定理求出BC ，在△ABC 中∠A 可知，再用正弦定理求出AB结论AB ＝a ⎝⎛⎭⎫1tan ∠ACB －1tan ∠ADBAB ＝a sin ∠BDC ×tan ∠ACB sin (∠BCD ＋∠BDC )4.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)正确选择正、余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算的要求．可用下图描述：法突破一、测量距离问题方法链接：测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解．当涉及的三角形较多时，应寻求最优解法．例1如图所示，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(结果保留根号)分析要求AB 的长，可转化为解△ABC 或△ABD ，不管在哪个三角形中，AB 边所对的角∠ACB 或∠ADB 都是确定的，AC ＝AD ＝CD ＝3，所需要的是BC 边(或BD 边)，所以需先求BC 边(或BD 边)，可在△BCD 中，结合余弦定理求解．解在△BCD 中，∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°， ∴∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝12(6＋2)．在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋14(6＋2)2＋2×3×12(6＋2)×14(6－2)＝5＋2 3.∴AB ＝5＋2 3 (km)．∴炮兵阵地与目标的距离是5＋2 3 km. 二、测量高度问题方法链接：1.与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形．2．与测量高度有关的问题多数会涉及到直角三角形中线段的计算，注意直角三角形中边角关系的运用．3．解决测量高度应用题易错的地方是：对有关术语没有正确理解，从而无法画出有关图形．例2 (1)如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，求山高BC ；(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解 (1)∵∠SAB ＝∠CAB －∠CAS ＝45°－30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－15°＝30°， ∴∠ASB ＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002(米)．∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(米)．答山高BC 为1 000米． (2)依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 测塔的仰角，只有B 到CD 最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝ABBE，AB为定值，要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，须先求BD (或BC )．在△BDC 中，CD ＝40(米)， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°.由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠DCB ，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．在Rt △BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1) (米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．三、测量角度问题方法链接：对于有些与角度有关的实际问题，我们无法直接测量其角度，则需要在实际问题中构造相关三角形，通过解三角形，求出相关角度．例3 一缉私艇发现在北偏东45°方向且距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．解设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上，则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°.∴(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，∴x ＝2，AB ＝28，BC ＝20，sin α＝20sin 120°28＝5314.∴所需时间为2小时，sin α＝5314.四、三角形中的求值问题方法链接：涉及三角形中的计算问题时，一些基本关系式经常用到，这些关系式是： (1)A ＋B ＋C ＝π，A ＝π－(B ＋C )； (2)A ＋B 2＋C 2＝π2，B ＋C 2＝π2－A 2；(3)sin C ＝sin (A ＋B )，cos(A ＋B )＝－cos C ； (4)tan(A ＋B )＝－tan C ，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(5)sin C 2＝cos A ＋B 2，cos C2＝sin A ＋B 2，tan A ＋B 2·tan C 2＝1；(6)A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 例4 (2009·北京昌平区期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，在三角形中，∵sin A >0，∴2cos B ＝1， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4，代入整理，得ac ＝3.故S △ABC ＝12ac sin B ＝32sin 60°＝334.五、证明平面几何问题方法链接：正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在处理平面几何问题中有着广泛的应用．一些三角形中重要线段的求解和著名定理的证明都离不开正、余弦定理的综合运用．例5 已知凸四边形的边长分别为a 、b 、c 、d ，对角线相交成45°角，若S 为四边形的面积，求证：S ＝14(a 2－b 2＋c 2－d 2)．证明设凸四边形ABCD 的对角线相交于点O ，设AO 、CO 、BO 、DO 分别为m 、n 、p 、q ，则由面积公式得：S ＝12(mp ＋pn ＋nq ＋qm )sin 45° 由余弦定理得a 2＝m 2＋p 2＋2mp cos 45°① b 2＝n 2＋p 2－2np cos 45°② c 2＝n 2＋q 2＋2nq cos 45°③ d 2＝q 2＋m 2－2qm cos 45°④ 由①－②＋③－④得：a 2－b 2＋c 2－d 2＝2(mp ＋pn ＋nq ＋qm )cos 45° ∵(mp ＋pn ＋nq ＋qm )sin 45°＝2S . ∴a 2－b 2＋c 2－d 2＝4S ，即S ＝14(a 2－b 2＋c 2－d 2)．区突破1．忽略角的隐含范围而致错例1 在△ABC 中，B ＝3A ，求ba的取值范围．[错解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2A sin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1.∵0≤cos 2A ≤1，∴－1≤4cos 2A －1≤3， ∵b a >0，∴0<b a≤3. [点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A 、B 的取值范围，从而导致b a取值范围求错．[正解] 由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin 3Asin A＝sin (A ＋2A )sin A ＝sin A cos 2A ＋cos A sin 2Asin A＝cos 2A ＋2cos 2A ＝4cos 2A －1 ∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝3A . ∴A ＋B ＝4A <180°，∴0°<A <45°.∴22<cos A <1，∴1<4cos 2 A －1<3，∴1<b a<3. 温馨点评解三角问题，角的取值范围至关重要．一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败．2．忽略角的大小隐含关系而致错例2 在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665和5665 D ．－1665[错解] ∵cos A ＝513，0<A <π2，∴sin A ＝1213.∵sin B ＝35，0<B <π，∴cos B ＝±45.当cos B ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1213×35－513×45＝1665.当cos B ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝5665，选C. [点拨] 本题解答中关键一步是sin A >sin B ⇒∠A >∠B .从而确定cos B ＝45而不是cos B＝±45，否则会错选C.事实上，在△ABC 中，我们可以由正弦定理可证得sin A >sin B 的充要条件是A >B .[正解] ∵cos A ＝513，0<A <π2，∴sin A ＝1213.∵sin A >sin B ，从而a >b ，故∠A >∠B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，∴选A.3．忽略审题环节，画图不准而致错例3 在湖面上高h m 处，测得云C 的仰角为α，而湖中云之影(即云在湖中的像)的俯角为β，试证：云高为h ·sin (α＋β)sin (β－α)m.[点拨] 本题常因审题不准，题意不清画不出合乎题意图形而放弃或因画错图形而致错．[正解] 分析因湖面相当于一平面镜，故云C 与它在湖中的影D 关于湖面对称．设云高为CM ＝x ，则由△ADE 可建立含x 的方程，解出x 即可．解如图所示，设在湖面上高为h m 处的A ，测得C 的仰角为α，而C 在湖中的像D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E ，设云高CM ＝x ，则CE ＝x －h ，DE ＝x ＋h ，AE ＝(x －h )cot α.又AE ＝(x ＋h )cot β，所以(x －h )cot α＝(x ＋h )cot β.解得x ＝tan β＋tan αtan β－tan α·h ＝h ·sin (α＋β)sin (β－α)(m)．题多解例在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图1所示)的东偏南θ (cos θ＝210)方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解方法一 (构建三角形，解三角形)设在时刻t (h)台风中心为Q ，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t ＋60 (km)，如图2所示．若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭，则OQ ≤10t ＋60. 由余弦定理知OQ 2＝PQ 2＋PO 2－2·PQ ·PO ·cos ∠OPQ . 由于PO ＝300，PQ ＝20t ， cos ∠OPQ ＝cos(θ－45°) ＝cos θcos 45°＋sin θsin 45°＝210×22＋ 1－2102×22＝45，故OQ 2＝(20t )2＋3002－2×20t ×300×45＝202t 2－9 600t ＋3002.因此202t 2－9 600t ＋3002≤(10t ＋60)2，即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.答 12小时后该城市开始受到台风的侵袭．方法二 (构建动圆，利用点圆关系)如图3所示，建立坐标系，以O 为原点，正东方向为x 轴正向．在时刻t (h)台风中心P (x t ，y t )的坐标为 ⎩⎨⎧x t ＝300×210－20×22t ，y t＝－300×7210＋20×22t .此时台风侵袭的区域是(x －x t )2＋(y －y t )2≤[r (t )]2，其中r (t )＝10t ＋60.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 (0－x t )2＋(0－y t )2≤(10t ＋60)2，即⎝⎛⎭⎫300×210－20×22t 2＋⎝⎛⎭⎫－300×7210＋20×22t 2≤(10t ＋60)2，即t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.答 12小时后该城市开始受到台风的侵袭．题赏析1．(2009·宁夏，海南)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．分析为求∠DEF 的余弦值，应先求出线段DE 、DF 、EF 的长，求这三条线段的长时要充分构造直角三角形．解作DM ∥AC 交BE 于点N ，交CF 于点M . DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298(m)， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130(m)EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150(m)在△DEF 中，由余弦定理的变形公式，得 cos ∠DEF＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.赏析本题是2009年宁夏、海南高考试题，有一定计算量，但难度不大，涉及到的三条线段DE 、DF 、EF 均可以借助直角三角形计算．2．(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解 (1)依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5. (2)在△MNP 中， ∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得 MP sin 120°＝NP sin θ＝MNsin (60°－θ)，∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°<θ<60°， ∴60°<θ＋60°<120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．赏析本题考查了三角函数的图象与性质以及解三角形等基础知识，旨在引导学生利用所学知识分析和解决实际问题．。

1.2应用举例(一)距离、高度

BC sin ABC BC sin(90 ) BC cos AC sin BAC sin( ) sin( )
A
四、例题
∵在Rt△ACD中，
B C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD AC sin CAD BC cos sin sin( ) 27.3cos 54 40' sin 501' sin(54 40' 501' ) 150( m)
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、 B两点间的距离（精确到0.1m） B 解：如图，在△ABC中， B=180o-(51o+75o)=54o AB AC 51o 75o A C 55m 所以由 sin C sin B
AB AC BC 2 AC BC cos
2 2
三、小结
解斜三角形应用题的一般步骤是： 1.分析：理解题意，画出示意图 2.建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3.求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。 4.检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到 0.01m）．已知 △ ABC 中 AB＝1.95m，AC＝最大角度 1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求 BC．
答：山的高度约为150米。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高、角问题课件新人教A版必修5[1]

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
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4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则升旗手匀速升旗的速度为________．