2019-2020学年高中数学北师大版必修四学业分层测评：第2章 3.2 平面向量基本定理 Word版含解析

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2019-2020学年高中数学北师大版必修四学业分层测评：第2章 §2 从位移的合成到向量的加法 Word版含解析

2019-2020高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评7综合法与分析法北师大版选修4_5

【证明】因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc) ，①
＋＋ ≥3(abc) ，
所以 2≥9(abc) ，②
故a2＋b2＋c2＋ 2≥3(abc) ＋9(abc) .
又3(abc) ＋9(abc) ≥2 ＝6＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3abc ＝9(abc) 时，③式等号成立．
∴ ＋ ≥ .
(2)由(1)知＋ ≥ .
同理，＋ ≥ ，＋ ≥ ，三式相加，得：
2 ≥ ＋＋，
∴ ＋＋ ≥ ＋＋ .
10．如果a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2 (a－b)，并指明何值时取“＝”号．
【证明】因为a>b，所以a－b>0，
欲证a2＋b2≥2 (a－b)，
只需证 ≥2 .
∴0＜a＜b＜1，∴ ＝aa－b＞1，∴ab＜aa，
＝
∵0＜＜1，a＞0，
∴ ＜1，∴aa＜ba，
∴ab＜aa＜ba.故选C.
【答案】C
2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C. ＋＋ ≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
【解析】不等式可化为＋ > .
∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴λ< ＋恒成立．
∵ ＋
＝＋
＝2＋＋ ≥2＋2＝4，∴λ<4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4)．
【答案】(－∞，4)
4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋ ≥6 ，并确定a，b，c为何值时等号成立．

高中数学北师大版必修四学业分层测评第2章从位移的合成到向量的加法含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2－2－6，在▱ABCD 中，下列结论错误的是( )图2－2－6A ．AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →＋DA →＝BD → D.AD →＋CB →＝0【解析】根据向量的概念及加法的法则知AB →＋DA →＝DB →，故C 错误．【答案】 C2.如图2－2－7，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )图2－2－7A ．0B ．BE → C.AD →D ．CF →【解析】 BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF →＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 【答案】 D3．化简AB →＋BD →－AC →－CD →＝( ) A ．AD → B ．DA → C.BC →D ．0【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 【答案】 D4.如图2－2－8，在四边形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )图2－2－8A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c【解析】 DC →＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b . 【答案】 A5．已知正方形的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )【导学号：66470043】A ．0B ．3 C. 2D ．2 2【解析】 ∵a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →， ∴|a ＋b ＋c |＝|2AC →|＝2 2. 【答案】 D 二、填空题6.根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.图2－2－9(1)a ＋b ＋c ＝________；(2)b ＋d ＋c ＝________.【解析】 (1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →. 【答案】 (1)DB → (2)CA →7．如图2－2－10，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.图2－2－10【解析】 ∵AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， ∴|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2. 【答案】 28．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|等于________．【解析】 |AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2. 【答案】 2 三、解答题9.如图2－2－11，在正五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e图2－2－11【解】 a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →. 所以AF →＝AC →＋AC →，即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .10．如图2－2－12所示，已知在矩形ABCD 中，AD ＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c .试求|a ＋b ＋c |.图2－2－12【解】 a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋BD →＝AC →＋BD →.延长BC 至E ，使CE ＝BC ，连接DE .由于CE →＝BC →＝AD →，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC →＝DE →，∴AC →＋BD →＝DE →＋BD →＝BE →，∴|a ＋b ＋c|＝|BE →|＝2|BC →|＝2|AD →|＝8 3.[能力提升]1．下列式子不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.OC →－OA →＋CD → D.MB →＋AD →－BM →【解析】对于A ，有AB →＋BC →＋CD →＝AD →；对于B ，有AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋(MC →＋CM →)＝AD →；对于C ，有(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →；只有D无法化简为AD →.【答案】 D2．(2016·钦州高一检测)在平行四边形ABCD 中．若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →.又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，故该平行四边形为矩形．【答案】 B3．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________.【导学号：66470044】【解析】因为|BC →|＝|AC →－AB →|且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|AC →|＋|AB →|，所以3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →|≤13.【答案】 [3,13]4．已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，|a －b|＝2，求|a ＋b|的值．【解】在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .由题意，知|AB →|＝|BD →|＝2，AD →＝1.如图所示，过B 作BE ⊥AD 于E ，过C 作CF ⊥AB 交直线AB 于F .∵AB ＝BD ＝2，∴AE ＝ED ＝12AD ＝12. 在△ABE 中，cos ∠EAB ＝AE AB ＝14，在△CBF 中，∠CBF ＝∠EAB ，∴cos ∠CBF ＝14，∴BF ＝BC cos ∠CBF ＝1×14＝14，∴CF ＝154，∴AF＝AB＋BF＝2＋14＝94.在Rt△AFC中，AC＝AF2＋CF2＝8116＋1516＝6，∴|a＋b|＝ 6.。

北师大版高一数学必修4第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。

A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。

A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。

A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。

A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。

A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。

A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。

A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。

其中真命题的个数是（）。

A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。

A、B、C、D、10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。

A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

高中数学北师大版必修四学业分层测评：第2章 3.1 数乘向量含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·蜀山高一检测)如图2－3－2，已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →等于( )图2－3－2A ．12(a －b) B ．－12(a －b) C.12(a ＋b) D ．－12(a ＋b) 【解析】 ∵M 是BC 的中点，∴AM →＝12(a ＋b)．【答案】 C2．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( ) A ．23BC → B ．32BC → C ．－23BC → D ．－32BC → 【解析】 ∵AC →＝35AB →，∴BC →＝－25AB →，∴AC →＝－32BC →.【答案】 D3．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB ，如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，则OD →＝( )A ．e 1＋2e 2B ．2e 1＋e 2C.23e 1＋13e 2 D ．13e 1＋23e 2【解析】 ∵AB →＝OB →－OA →＝3(e 2－e 1)，∴AD →＝23AB →＝2(e 2－e 1)，∴OD →＝OA →＋AD →＝3e 1＋2(e 2－e 1)＝e 1＋2e 2.【答案】 A4．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则()图2－3－3A ．PA →＋PB →＝0 B ．PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0 D ．PA →＋PB →＋PC →＝0【解析】法一：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴(BC →－BP →)＋(BA →－BP →)＝0，即PC →＋PA →＝0.法二：∵BC →＋BA →＝2BP →，∴点P 为AC 的中点，∴PA →＋PC →＝0.【答案】 C5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．23B ．－23 C.25 D ．13【解析】由题意知CD →＝CA →＋AD →，①CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，所以CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23. 【答案】 A二、填空题6．化简112[2(2a ＋8b)－4(4a －2b)]的结果是________．【解析】原式＝112[2(2a ＋8b)－4(4a －2b)] ＝112(4a ＋16b －16a ＋8b)。

2020-2021学年北师大版数学必修4课时素养评价 2.3.2 平面向量基本定理 Word版含解析

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课时素养评价十八平面向量基本定理(20分钟35分)1.设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2【解析】选B.因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.2.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则向量= ( )A.+B.+C.+D.+【解析】选C.=2⇒=,所以=+=+=+(-)=+.3.如图,在△ABC中,=a,=b,=4,用向量a,b表示,正确的是( )A.=a+bB.=a+bC.=a+bD.=a-b【解析】选C.因为=+=+ =+(-)=a+b.4.设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个说法:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc; 上述说法中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.利用向量加法的三角形法则,易得①正确;利用平面向量的基本定理,易得②正确;以a的终点作半径为μ的圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定能满足,③错误;由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即|λb|+|μc|=λ+μ>|a|,而给定的λ和μ不一定满足此条件,所以④错误.5.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.【解析】由=+=+=+(-)=-+,则λ1+λ2的值为.答案:6.在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点.=,=a,=b,求证:B,E,F三点共线.【解题指南】利用基底表示出,,然后证=λ(λ∈R)得出三点共线.【证明】因为D是BC的中点,所以有=(a+b).==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=(b-2a),所以=,又,有公共点B,所以B,E,F三点共线.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·台州高一检测)已知点G为△ABC的重心,若=a,=b,则=( )A.a+bB.-a+bC.a-bD.-a-b【解析】选B.设D是AC中点,则=(+),又G为△ABC的重心,所以==×(+)=(+)=(-+-)=-+=-a+b.2.设O,A,B,M为平面上四点,=λ+(1-λ),λ∈(0,1),则( )A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线【解析】选A.因为=λ+(1-λ),所以-=λ(-),即=λ,又0<λ<1,所以点M在线段BA上.3.已知a,b是两个不共线的向量,m,n∈R且m a+n b=0,则 ( )A.a=0,n=0B.m,n的值不确定C.m=n=0D.m,n不存在【解析】选C.因为a,b是两个不共线的向量,m a+n b=0,故m=n=0.4.在△ABC中,点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,BF交CE于点G,若=x+y,则xy等于( )A.B.C.D.【解析】选C.由题意知:G是△ABC的重心,延长AG与边BC交于点D,所以==+,又因为点E为AB边的中点,点F为AC边的中点,故=2,=2, 则=+,即x=y=,所以xy=.【误区警示】本题中由E,F为中点即可判断出G为重心,若判断不出则易出错.5.如图,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为O为BC中点,所以=(+),又O在MN上,所以=λ,则有-=λ(-),所以=+=+=+,所以有①+②得=,进而有m+n=2.【光速解题】选B.从题目可以看出直线MN变化过程中m+n为定值,故可以令MN与直线BC重合,即=,=,此时m=1,n=1,故m+n=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·邯郸高一检测)如图所示,在△ABC中,BC=30,点D在BC边上,点E在线段AD上,若=+,则BD=.【解题指南】本题首先可根据点D在BC边上,设=λ,然后将=+化简为=+,根据点E在线段AD上解得λ=,最后通过计算即可得出结果.【解析】因为点D在BC边上,所以可设=λ,所以=+=+,因为点E在线段AD上,所以A,E,D三点共线,所以+=1,解得λ=,所以CD=30×=18,BD=30-18=12.答案:127.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基底,则实数λ的取值范围是.【解析】当a∥b时,设a=m b,则有e1+2e2=m(λe1+e2),即e1+2e2=mλe1+m e2,所以解得λ=,即当λ=时,a∥b.又a与b是一组基底,所以a与b不共线,所以λ≠.答案:∪8.如图,在△ABC的边AB,AC上分别取点M,N,使=,=,BN与CM交于点P,若=λ,=μ,则的值为.【解析】由题意=-=-,=+=+=+,=-=-,=+=+=+,根据平面向量基本定理,可得所以μ=,λ=4,所以==6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点G是△ABC的重心,=2.(1)用和表示;(2)用和表示.【解析】(1)设BC的中点为M,则2=+,所以=,因为G为△ABC的重心,因此,==×=.(2)因为=2,所以=,因此,=-=-=.10.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线得,⇒所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=m a+n b(m,n∈R),得3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以⇒所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.所以⇒故所求λ,μ的值分别为3和1.如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y.(1)求x的取值范围.(2)当x=-时,求y的取值范围.【解析】(1)因为=x+y,以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).(2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线取点C,使OC=OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=OB,CE=OB,要使P点落在指定区域内,则P点应落在DE上,当点P在点D处时,由相似三角形知,CD=OB,=-+,当点P在点E处时,由相似三角形知,CE=OB,=-+,所以y的取值范围是.【补偿训练】(2020·长沙高一检测)如图所示,在△ABC中,=,=,BQ 与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和;(2)如果=+λ=+μ,求实数λ和μ的值;(3)确定点P在边BC上的位置.【解析】(1)=-=-,=-=-.(2)由(1)知:=+λ=+,=+μ=+,所以+=+,所以解得:(3)设=m,=n,由(2)知:=+,所以=-=n-=n-=+,又=m=m=m-m,所以+=m-m,所以解得所以=,即=2,所以点P为靠近点C的BC的三等分点.关闭Word文档返回原板块。

2019新版高中数学北师大版必修4习题：第二章平面向量检测

第二章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列等式成立的是( )A .MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.a ·0=0C.(a ·b )c =a (b ·c )D.|a +b |≤|a |+|b |答案:D2.设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B .PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C .PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0解析:由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得P 是边AC 的中点,从而PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.答案:B3.已知非零向量a ,b 满足向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,则下列结论中一定成立的是() A.a=b B.|a|=|b|C.a ⊥bD.a ∥b解析:因为向量a+b 与向量a-b 的夹角为π2,所以(a+b )⊥(a-b ),即(a+b )·(a-b )=0,所以|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|.答案:B4.已知点A (1,2),B (2,-1),C (2,2),若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A .5B .-5C .3D .-3解析:由已知,得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3). ∴BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2). ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,1)=(1,−2), AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)+(0,2)=(1,−1). ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1+(−2)×(−1)=3. 答案:C5.设O ,A ,M ,B 为平面上四点,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ∈(1,2),则( ) A .点M 在线段AB 上B .点B 在线段AM 上C .点A 在线段BM 上D .O ,A ,M ,B 四点共线解析:由题意可知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴A ,M ,B 三点共线.又λ∈(1,2),∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,点B 在线段AM 上. 答案:B6.已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABC 是( )A .等边三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .钝角三角形解析:AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 故△ABC 为直角三角形.答案:C7.已知C 为△ABC 的一个内角,向量m =(2cos C-1,-2),n =(cos C ,cos C+1).若m ⊥n ,则角C=( )A .π6B.π3C .2π3D.5π6解析:由m ⊥n ,得(2cos C-1)·cos C-2(cos C+1)=0,即2cos 2C-3cos C-2=0,解得cos C=−12或cos C=2(不符合题意,舍去).∵C ∈(0,π),∴C =2π3. 答案:C8.下列说法中正确的个数为( )①AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ; ②若a ·b <0,则a 与b 的夹角是钝角;③向量e 1=(2,-3),e 2=(12,-34)能作为平面内所有向量的一组基底;④若a ∥b ,则a 在b 方向上的投影为|a |.A .1B .2C .3D .4解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,①正确; 当|a |=|b |=1且a 与b 反向时,a ·b =-1<0,但a 与b 的夹角为180°,②不正确;因为e 1=4e 2,所以e 1∥e 2,所以向量e 1,e 2不能作为基底,③不正确;若a ∥b ,则a 与b 的夹角为0°或180°,所以a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ=±|a |,④不正确.故选A .答案:A9.已知O 是△ABC 外接圆的圆心.若3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则∠ACB=( ) A .π6B.π3C.5π6D.2π3解析:由O 是△ABC 外接圆的圆心,设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=R,由3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +7OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−17(3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),平方可得R 2=149(9R2+30R2cos2∠ACB+25R 2),解得cos2∠ACB =12,故由题意得,∠ACB =π6. 答案:A10.已知k ∈Z ,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4).若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10,则△ABC 是直角三角形的概率为( ) A .17B.27C.37D.47解析:由|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√10及k ∈Z ,知k ∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}. 若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)垂直, 则2k+4=0,解得k=-2;若CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k −2,−3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)垂直, 则k (k-2)-3=0,解得k=-1或3;若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,(2,4)·(k-2,-3)=2k-4-12=0,即k=8,不符合题意,所以△ABC 是直角三角形的概率是37.答案:C11.若非零向量a ,b 满足|a |=2√23|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( )A .π4B.π2C.3π4D.π 解析:由(a -b )⊥(3a +2b )知(a -b )·(3a +2b )=0,即3|a |2-a ·b -2|b |2=0.设a 与b 的夹角为θ,所以3|a |2-|a ||b |cos θ-2|b |2=0,即3·(2√23|b |)2−2√23|b |2cos θ-2|b |2=0,整理,得cos θ=√22,故θ=π4. 答案:A12.如图,四边形ABCD 是正方形,延长CD 至点E ,使得DE=CD.若动点P 从点A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则下列判断中正确的是( )A.满足λ+μ=2的点P 必为BC 的中点B.满足λ+μ=1的点P 有且只有一个C.λ+μ的最大值为3D.λ+μ的最小值不存在解析:由题意可知,λ≥0,μ≥0,当λ=μ=0时,λ+μ的最小值为0,此时点P 与点A 重合,故D 错误;当λ=1,μ=1时,点P 也可以在点D 处,故A 错误;当λ=1,μ=0,λ+μ=1时,点P 在点B 处,当点P 在线段AD 的中点时,λ=μ=12,亦有λ+μ=1.所以B 错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设向量a =(x ,3),b =(2,1).若对任意的正数m ,n ,向量m a +n b 始终具有固定的方向,则x= . 解析:当a 与b 共线时,向量m a +n b 始终具有固定的方向,所以x=6.答案:6。

2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2 C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1 D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 【解析】只有C 选项不一定共线．【答案】 C2．如图2-3-13，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE→＝( )图2-3-13A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b【解析】因为E 是BC 的中点，所以CE→＝12CB →＝－12AD →＝－12b ，所以DE→＝DC →＋CE →＝a －12b.【答案】 D3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( )【导学号：66470049】A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD ．11＋λa ＋λ1＋λb【解析】 ∵P 1P →＝λPP 2→， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→， ∴OP→＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb . 【答案】 D4．如图2-3-14所示，向量a －b ＝( )图2-3-14A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2【解析】 a －b ＝AB →＝e 1－3e 2.【答案】 B5.如图2-3-15所示，若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC→，则3r ＋s 的值为( )图2-3-15A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】 ∵CD→＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45， ∴3r ＋s ＝125－45＝85. 【答案】 C 二、填空题6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【解析】由DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2的值为12. 【答案】 127．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是．【解析】当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，所以⎩⎨⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 是一组基底，所以a 与b 不共线，所以λ≠12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．已知e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－e 1＋8e 2，若用a ，b 作为基底表示向量c ，则c ＝ .【解析】设c ＝λ a ＋μ b ，于是－e 1＋8e 2＝λ(e 1＋2e 2)＋μ(2e 1－e 2)，整理得－e 1＋8e 2＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ－μ)e 2，因为e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎨⎧λ＋2μ＝－1，2λ－μ＝8，解得λ＝3，μ＝－2，所以c ＝3a －2b. 【答案】 3a －2b 三、解答题9.如图2-3-16，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.图2-3-16【解】因为AC ＝BA ，所以BC →＝2BA →＝2(OA →－OB →)，所以OC→＝OB →＋BC →＝b ＋2(a －b )＝2a －b ，因为DB ＝13OB ，所以OD→＝23OB →，所以DC→＝OC →－OD →＝2a －b －23b ＝2a －53b . 10.如图2-3-17所示，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC ．求证：M ，N ，D 三点共线.图2-3-17【导学号：69992022】【证明】设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1. ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1. 又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN→.∴向量MN→与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线． [能力提升]1．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA→，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( ) A ．反向平行 B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【解析】如图．∵AD →＝AB →＋BD → ＝AB→＋13BC →， BE→＝BC →＋CE → ＝BC→＋23CA →， CF→＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →， ∴AD→＋BE →＋CF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋23CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋13BA → ＝13BC →＋23CB → ＝－13BC →. 【答案】 A2.如图2-3-18，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )图2-3-18【导学号：66470050】A ．1B ．13C ．19 D ．3 【解析】 ∵AP →＝AB →＋BP →，又B ，P ，N 三点共线． ∴存在λ，使BP→＝λBN →.∴BP→＝λBN →＝λ(BA →＋AN →) ＝－λAB→＋14λAC →. ∴AP→＝AB →＋BP → ＝(1－λ)AB→＋14λAC →.又∵AP→＝mAB →＋29AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，14λ＝29，∴λ＝89，m ＝1－89＝19. 【答案】 C3．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF→＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值为．【解析】取BC 的中点M ，连接DM ，交AC 于N . ∵平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，∴AF ＝FN ＝CN .∴EF→＝－12AD →＋13AD →＋13AB →＝13AB →－16AD →. ∵EF→＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，∴m ＝13，n ＝－16，∴m n ＝13－16＝－2. 【答案】－24.如图2-3-19，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：EF ∥AB ∥DC ．图2-3-19【证明】延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得▱ECMB ，由平形四边形法则得 EF→＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB→，DC →共线且同向，根据共线向量基本定理，存在正实数λ，使AB→＝λDC →.由三角形法则得EB→＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF→＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →) ＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF→∥DC →. 由于E ，D 不共点，∴EF ∥AB ∥DC ．。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》测试(包含答案解析)(1)

解析：
【分析】
设，，设，则，由，得到，，再利用，得到，再设，得到，根据，可解得结果.
【详解】
因为，所以可设，，
设，则，
由，得，所以，
由，得，化简得，所以，
所以由，得，
所以，
设，则，所以，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
所以，
故答案为： .
15．已知正方形的边长为4，若，则的值为_________________.
16．已知圆，点为圆上第一象限内的一个动点，将逆时针旋转90°得，又，则的取值范围为________．
17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是________
18．中，，，且，则 ______.
6．C
解析：C
【详解】
由题意可得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,选C.
7．B
解析：B
【分析】
根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】
关于的方程有实根
设与的夹角为，则
又
又
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
此时，符合条件的点有个.
综上所述，满足题中条件的点的个数为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.
9．B
解析：B
【分析】
由知，，根据平面向量的线性运算可推出

高中数学北师大版选修4-4学业分层测评第2章 3 参数方程化成普通方程 Word版含答案

学业分层测评(八)(建议用时：分钟)一、选择题.将参数方程(\\(＝＋θ，＝θ))(θ为参数)化为普通方程为( )＝－＝＋＝＋(≤≤)＝－(≤≤)【解析】把②式代入①式得＝＋，即－－＝(≤≤).【答案】.参数方程(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)表示的曲线是( ).圆.直线.射线.线段【解析】由条件知＋＝，又≤θ≤≤θ≤，∴参数方程表示的曲线为线段.【答案】.参数方程(\\(＝＋，＝－))(≤≤)表示的曲线是( ).双曲线的一支.线段.射线.圆弧【解析】消去，得－－＝.∵≤≤，∴－≤≤.【答案】.参数方程(\\(＝(α)＋(α)，＝(＋α)))(α为参数)的普通方程为( )－＝－＝－＝(≤)－＝(≤)【解析】＝＝＋α.＝＋α，∴－＝.又＝＋＝∈，即≤.故应选.【答案】.椭圆(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)的焦点坐标为( )【导学号：】.(－)，() .(，－)，().(，－)，() .(－)，()【解析】利用平方关系化为普通方程＋＝，＝，＝，焦点在轴上，∴焦点为(－)，()，故选.【答案】二、填空题.参数方程(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为.【解析】＝θ＝－θ＝－，＝－＋(－≤≤，－≤≤).【答案】＝－＋(－≤≤，－≤≤).在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为(\\(＝，＝()))(为参数)(\\(＝() θ，＝() θ))(θ为参数)，则曲线与的交点坐标为.【解析】的普通方程为＝(≥，≥)，的普通方程为＋＝.由(\\(＝，，，＋＝，))得(\\(＝，＝.))∴与的交点坐标为().【答案】().在平面直角坐标系中，若直线：(\\(＝，＝－，))(为参数)过椭圆：(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)的右顶点，则常数的值为.【解析】直线：(\\(＝，＝－))消去参数后得＝－.椭圆：(\\(＝φ，＝φ))消去参数φ后得＋＝.又椭圆的右顶点为()，代入＝－得＝.【答案】三、解答题.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(\\(＝＋，＝))(为参数)，曲线的参数方程为(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)，试求直线与曲线的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.【解】∵直线的参数方程为(\\(＝＋，＝，))∴消去参数后得直线的普通方程为－－＝，①同理得曲线的普通方程为＝，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为()，..已知曲线：(\\(＝() θ，＝() θ))(θ为参数)，直线：。

北师大版数学必修四课件：第2章§3 3.2 平面向量基本定理

一、平面向量基本定理
存在唯一
作
aλ 特别的：λ 1=0，λ 2≠0时，
2
e 2 , a与e 2
1
共线.
λ 1≠0，λ 2=0时， a λ
λ 1=λ 2=0时，a 0.
e1 , a与e1
共线.
e1
e2
(2)作平行四边形OACB
A
C
B O
例2
a, b
如右图所示，平行四边形ABCD的
AB a, AD b, MA、 MB 、 MC和MD.
因为 | AG |=10（kg）×10（m/s2）=100（N） F
A G E
所以,| AM || AF | 50N,| AN || AE | 50 3(N)
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为
50 3N,方向与斜面垂直向上. AFBE
C
1、下列说法中，正确的有（(2)、(3)）
DC、MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组
基底表示出来.
D
M
C
A
N
B
解：取 AB e1 , AD e 2为基底,则有 DC BC BA AD DC e1 e 2
1 e1 ; 2
1 1 e1 e1 e 2 , 2 2 1 1 1 MN MD DA AN e1 e 2 e1 e1 e 2 . 4 2 4
1、平面向量基本定理平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量的线性组合,根据向量的加法和减法法则及其几何特点即可解题. 2、基底（1）零向量不能作基底；（2）两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底；（3）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.

高中数学北师大版必修四学业分层测评：第2章 3.2 平面向量基本定理 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2 C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1 D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2 【解析】只有C 选项不一定共线．【答案】 C2．(2016·桂林高一检测)如图2－3－12，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )图2－3－12A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b【解析】因为E 是BC 的中点，所以CE →＝12CB →＝－12AD →＝－12b ，所以DE →＝DC →＋CE →＝a －12b. 【答案】 D3．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →等于( )【导学号：66470049】A ．a ＋λbB ．λa ＋(1－λ)bC ．λa ＋bD ．11＋λa ＋λ1＋λb 【解析】 ∵P 1P →＝λPP 2→， ∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)， ∴(1＋λ)OP →＝OP 1→＋λOP 2→，∴OP →＝11＋λOP 1→＋λ1＋λOP 2→＝11＋λa ＋λ1＋λb .【答案】 D4.如图2－3－13，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AEEB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b ，若DE →＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝( )图2－3－13A ．0B ．13 C.23D ．1【解析】因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝－13a －13b ＋23b＝－13a ＋13b ，又DE →＝λa ＋μb ，a 与b 不共线，所以λ＝－13，μ＝13，λ＋μ＝0. 【答案】 A5. (2016·洛南高一检测)若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )图2－3－14A ．165B ．125 C.85D ．45【解析】 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45， ∴3r ＋s ＝125－45＝85. 【答案】 C 二、填空题6．(2016·西安高一检测)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】由DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＋λ2的值为12. 【答案】 127．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是________．【解析】当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，所以⎩⎨⎧1＝mλ，2＝m ，解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 是一组基底，所以a 与b 不共线，所以λ≠12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．已知e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，c ＝－e 1＋8e 2，若用a ，b 作为基底表示向量c ，则c ＝________.【解析】设c ＝λa ＋μb ，于是－e 1＋8e 2＝λ(e 1＋2e 2)＋μ(2e 1－e 2)，整理得－e 1＋8e 2＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ－μ)e 2，因为e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎨⎧λ＋2μ＝－1，2λ－μ＝8，解得λ＝3，μ＝－2，所以c ＝3a －2b. 【答案】 3a －2b 三、解答题9. (2016·合肥高一检测)如图2－3－15，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.图2－3－15【解】因为AC ＝BA ，所以BC →＝2BA →＝2(OA →－OB →)，所以OC →＝OB →＋BC →＝b ＋2(a －b )＝2a －b ，因为DB ＝13OB ，所以OD →＝23OB →，所以DC →＝OC →－OD →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10.如图2－3－16所示，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC .求证：M ，N ，D 三点共线．图2－3－16【证明】设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2. ∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1. ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1. 又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1 ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →. ∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线．[能力提升]1．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【解析】如图．∵AD →＝AB →＋BD → ＝AB →＋13BC →，BE →＝BC →＋CE → ＝BC →＋23CA →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →， ∴AD →＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋23CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋13BA → ＝13BC →＋23CB → ＝－13BC →. 【答案】 A2. (2016·南宁高一检测)如图2－3－17，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )【导学号：66470050】图2－3－17A ．1B ．13 C ．19D ．3【解析】 ∵AP →＝AB →＋BP →，又B ，P ，N 三点共线． ∴存在λ，使BP →＝λBN →. ∴BP →＝λBN →＝λ(BA →＋AN →) ＝－λAB →＋14λAC →. ∴AP →＝AB →＋BP →＝(1－λ)AB →＋14λAC →. 又∵AP →＝mAB →＋29AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，14λ＝29，∴λ＝89，m ＝1－89＝19. 【答案】 C3．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．【解析】取BC 的中点M ，连接DM ，交AC 于N .∵平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，∴AF ＝FN ＝CN .∴EF →＝－12AD →＋13AD →＋13AB →＝13AB →－16AD →. ∵EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )， ∴m ＝13，n ＝－16，∴m n ＝13－16＝－2. 【答案】－24.已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：EF ∥AB ∥DC.图2－3－18【证明】延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得▱ECMB ，由平形四边形法则得EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →) ＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥AB ∥DC .。

高中数学北师大版必修四学业分层测评第2章 §4 平面向量的坐标 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知＝()，＝(，－)，则－＋等于( )．(－，－) ．(－，－)．() ．(，－)【解析】－＋＝－()＋(，－)＝(－，－)＋(，－)＝(－，－)．【答案】．(·全国卷Ⅰ)已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量＝( ) ．(－，－) ．()．(－) ．()【解析】法一：设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，所以(\\(＝－，＝－，))从而＝(－，－)－()＝(－，－)．故选．法二：＝()－()＝()，＝－＝(－，－)－()＝(－，－)．故选．【答案】．若＝()，＝(，－)，＝(－)，则＝( )．－＋－．－－．－＋【解析】设＝＋，即(－)＝(，)＋(，－)＝(＋，－)．∴(\\(＋＝－，－＝，))解得(\\(＝()，＝－().))【答案】．向量＝()，＝(，)，＝(，)，若，，三点共线，则的值为( ) ．－．．－或．或－【解析】＝－＝()－()＝(－)，＝－＝()－(，)＝(－－)．因为，，三点共线，所以∥，所以(－)(－)－(－)＝，整理得－－＝，解得＝－或.【答案】．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，(，)，且＝，则顶点的坐标为( )．．．() ．()【解析】＝()－(－，－)＝()．设(，)，＝(，)－()＝(，－)．又∵＝，∴＝且＝(－)，解得＝，＝.【答案】二、填空题．(·华阴高一检测)已知向量＝(，)，＝(，－)，＝(，)，－与平行，则实数＝.【解析】因为＝(，)，＝(，－)，所以－＝(，)－(，－)＝(，)．又因为＝(，)，－与平行，所以×－＝，解得＝.【答案】．在平面直角坐标系中，若点(，－)，(－，－)，且＝，则点的坐标为．【解析】设(，)，则＝(－，＋)，＝(－，－)，从而(\\(－＝－，＋＝－，))即(\\(＝－，＝－，))即点的坐标为(－，－)．【答案】(－，－)．已知(－)，()，为坐标原点，点在∠内，＝，且∠＝.设＝λ＋(λ。

高中数学北师大版必修四学业分层测评第2章 §6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．(·华阴高一检测)已知向量＝(，－)，＝(，)，若·＝，则＝( )．－．．－．【解析】因为·＝－＝，所以＝.【答案】．若向量＝()，＝(，－)，则＋与－的夹角等于( )．－．．【解析】＋＝()＋(，－)＝()＋(，－)＝()，－＝()－(，－)＝()．设夹角为θ，则θ＝＝＝.又因为θ∈[，π]，所以θ＝.【答案】．已知向量＝()，＝(，－)，如果向量＋与－垂直，则的值为( )．－．．【解析】因为＋＝()＋(，－)＝(＋－)，－＝(－)．因为＋与－垂直，所以(＋－)·(－)＝－－＋－＝，解得－＝，所以＝－.【答案】．在▱中，已知＝(－)，＝(，－)，那么＋＝( )．．．．【解析】设＝，＝，则＋＝＝(－)．－＝＝(，－)，所以＝(－，－)，＝(－)，所以＋＝＋＝(－)，所以＋＝＝.【答案】．已知＝(－)，＝()，且∥，⊥，则点的坐标是( )．() ．(－，－)．(，－) ．(－)【解析】设(，)，则＝(＋，－)，＝(，－)，＝()．由∥，⊥，得(\\((＋(＝，＋－＝，))解得(\\(＝－，＝.))∴点的坐标为(－)．【答案】二、填空题．设向量＝()，＝(＋)，＝(，)，若(＋)⊥，则＝.【解析】＋＝()，由(＋)⊥，得( )·(＋)＝，即＋＝，所以＝－，所以＝(，－)，＝＝.【答案】．直线：＋－＝和直线：－＋＝的夹角θ＝.【导学号：】【解析】任取和的方向向量分别为＝和＝，设和的夹角为α，则α＝(＋()))＝，∴α＝°，∴θ＝°.【答案】°．(·西安高一检测)已知两个单位向量·的夹角为°，＝＋(－)，若·＝，则＝.【解析】·＝·(＋(－))＝·＋(－)＝××× °＋(－)＝，即＝，所以＝.【答案】三、解答题．已知向量是以点(，－)为始点，且与向量＝(－)垂直的单位向量，求的终点坐标．【解】∵是直线＝－的方向向量，且⊥，∴是直线＝的方向向量，∴可设＝λ＝.由＝，。