【成才之路】-学年高中数学 第一、二章 统计 算法初步综合能力测试(含解析)北师大版必修3
【成才之路】高中数学 第1章 统计基础知识测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( )A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A、B、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5[答案] C[解析] 该题考查频率的计算公式．属基础题．在[114.5,124.5]范围内的频数m＝4，样本容量n＝10，∴所求频率410＝0.4.3．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学月考中，某班有12人在100分以上，30人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会工作人员为参加4×100 m接力的6支队安排跑道．就这三个事件，恰当的抽样方法分别为( )A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样[答案] D[解析] ①中人数较多，可采用系统抽样；②适合用分层抽样；③适合于简单随机抽样.4．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法，抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，则此样本的容量n 等于( )A ．100B ．200C ．90D ．80[答案] D [解析]16n＝22＋3＋5，得n ＝80.5．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64[答案] A[解析] 样本平均值为4×3＋3×2＋5×4＋2×63＋2＋4＋2＝5011≈4.55.6．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 9 6 1 7 8A.46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,53 [答案] A[解析] 本题考查了茎叶图的应用及其样本的中位数、众数、极差等数字特征，由茎叶图可知，中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.在求一组数据的中位数时，一定不要忘记先将这些数据排序再判断．7．某市场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元[答案] C[解析] 设11时至12时的销售额为x 万元，因为9时至10时的销售额为2.5万元，依题意得0.10.4＝2.5x，得x ＝10万元．8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[答案] C[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数．x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，b ＝ni ＝1x i －xy i －yni ＝1x i －x 2＝12，a ＝y －b x ＝88， 所以y ＝88＋12x .9．(2014·山东理，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18[答案] C[解析] 本题考查频率分布直方图的识读． 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4 ∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人) 有疗效的人数为18－6＝12(人)频率分布直方图中频率与频数的关系是解题关键．10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 [答案] D[解析] 解法一：A 中，若连续10天甲地新增疑似病例数据分别为x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝4，x 10＝10，此时总体均值为3，中位数为4，但第10天新增疑似病例超过7，故A 错；B 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝0，x 10＝10，此时，总体均值为1，方差大于0，但第10天新增疑似病例超过7，故B 错；C 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝1，x 6＝3，x 7＝3，x 8＝3，x 9＝8，x 10＝9，此时，中位数为2，众数为3，但第9天、第10天新增疑似病例超过7，故C 错，故选D.解法二：由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间天数(第5、6天)人数的平均数为4，因此后面的人数可以大于7，故甲地不符合；乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总和为10，又由于方差大于0，故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合．丙地中位数为2，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8，故丙地不符合．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某班级有52名学生，要从中抽取10名学生调查学习情况，若采用系统抽样方法，则此班内每个学生被抽到的机会是________．[答案]526[解析] 采用系统抽样，要先剔除2名学生，确定间隔k ＝5，但是每名学生被剔除的机会一样，故虽然剔除了2名学生，这52名学生中每名学生被抽到的机会仍相等，且均为1052＝526. 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．[答案] 25[解析] 样本数据在[2 500,3 000]内的频率为0.0005×500＝0.25. 故应抽出100×0.25＝25(人)．13．青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为________.[答案] 84.2,85[解析] 甲的成绩是75,78,84,85,86,88,92，去掉一个最高分92和一个最低分75后，则甲的平均成绩为84.2；乙的成绩是79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，则乙的平均成绩为85.14．某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004家，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本进行年人均收入的调查，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．(将你认为正确的选项的序号都填上)①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 [答案] ①②③[解析] 显然要用分层抽样．由于抽样比不是整数，先剔除4人，要用简单随机抽样——借助随机数表，各类家庭中抽样可用系统抽样．15．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图(如图所示)，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80]的家庭有________户．[答案] 1 200[解析] 由频率分布直方图可得，月平均用电度数在[70,80]的家庭占总体的12%，所以共有10 000×12%＝1 200户．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内用水情况，抽查了10天的用水量如下表：(1)这10天中，该公司每天用水的平均数是多少？ (2)这10天中，该公司每天用水的中位数是多少？(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ [解析] (1)x ＝22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×9510＝51(t)．(2)中位数＝41＋442＝42.5(t)．(3)用中位数42.5t 来描述该公司的每天用水量较合适．因为平均数受极端数据22,95的影响较大．17．(本小题满分12分)某学校青年志愿者协会共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50人，为了了解志愿者活动与学校学习之间的关系，需要抽取50名学生进行调查．试确定抽样方法，并写出过程.[解析] 分三种情况抽样：(1)简单随机抽样，每位同学被抽取的概率为15.(2)系统抽样，将250名同学编号001～250，编号间隔5个，将其分成50个小组，每个小组抽取1人，相邻组抽取的编号也间隔5.(3)分层抽样，高一抽取18个，高二抽取22个，高三抽取10个．18．(本小题满分12分)国家队教练为了选拔一名篮球队员入队，分别对甲、乙两名球员的10场同级别比赛进行了跟踪，将他们的每场得分记录如下表：(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率是多少？(3)如果你是教练，你将选拔哪位球员入队？请说明理由． [解析] (1)由题表画出茎叶图，如下图所示.甲球员得分的中位数为2＝37.5，极差为56－10＝46；乙球员得分的中位数为20＋342＝27，极差为51－9＝42.(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率为510＝12.(3)如果我是教练，我将选拔甲球员入队，原因如下：甲球员得分集中在茎叶图的下方，且叶的分布是“单峰”，说明甲球员得分平均数接近40，甲球员得分的中位数为37.5分，且状态稳定；而乙球员得分较分散，其得分的中位数为27分，低于甲球员，平均得分也小于甲球员．19．(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在频率分布表中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47. (3)120×1006＝2000.所以水库中鱼的总条数约为2000条．20．(本小题满分13分)两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：的零件质量更符合要求？[解析] ①x 甲＝14(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，x 乙＝14(10.1＋10＋9.9＋10)＝10，由于x 甲＝x 乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣． ②s 2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，s 2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．21．(本小题满分14分)某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：(1)求x ，y ；(2)画出散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (3)估计每天销售10件这种服装时可获纯利润多少元？ [解析] (1)由已知得x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)散点图如图所示，∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487.设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75， a ＝y －b x ＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求回归直线方程为y ＝4.75x ＋51.36.(3)当x ＝10时，y ＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．。
2022年秋成才之路高中数学练习章末整合提升(北师大版必修一)：第1、2章测试题
第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2022·北京理，1)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝ 导学号18160480 ( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1} D ．{－1,0,1,2}[答案] C[解析] 集合A ＝{x |－2<x <2}，集合B ＝{x |－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}． 2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，则下列结论正确的是导学号18160481( ) A ．2.5∈M B ．0⊆MC ．∅∈MD ．集合M 是有限集 [答案] A[解析] 由于－2<2.5<3，所以2.5是集合M 中的元素，即2.5∈M . 3．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是导学号18160482 ( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) [答案] A[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5) ∴x －1∈(－∞，0)∪[1,4) 当x －1∈(－∞，0)时，2x －1∈(－∞，0)；当x －1∈[1,4)时，2x －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.4．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则导学号18160483 ( )A ．f (x )是奇函数且f (1x )＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数且f (1x )＝f (x ) C ．f (x )是偶函数且f (1x )＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数且f (1x )＝f (x ) [答案] C[解析] f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )， 又f (1x )＝1＋(1x )21－(1x )2＝－(1＋x 21－x 2)＝－f (x )．故选C. 5．抛物线y ＝2x 2－x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是导学号18160484 ( ) A ．x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，78B ．x ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，78C ．x ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74D ．x ＝14，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，74[答案] B[解析] ∵y ＝2x 2－x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋78，∴对称轴为x ＝14，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，78.6．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，则使M ∪N ＝M 成立的a 的值是 导学号18160485 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1[答案] A[解析]由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0或1，∴a＝0,1，－1.而当a＝0,1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.7．生产肯定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋12x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为猎取最大利润，应生产这种商品的数量为导学号18160486 ()A．18件B．36件C．22件D．9件[答案] A[解析]y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－1 2x2＝－12x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值．8．若f[g(x)]＝6x＋3，且g(x)＝2x＋1，则f(x)＝导学号18160487 ()A．3 B．3xC．6x＋3 D．6x＋1[答案] B[解析]由f[g(x)]＝f(2x＋1)＝6x＋3＝3(2x＋1)，知f(x)＝3x.9．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝导学号18160488 () A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)[答案] C[解析]本题考查集合的运算，由条件易知∁R S＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．10．已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试推断M与P的关系是导学号18160489 ()A．M P B．P MC．M＝P D．M⃘P，且P⃘M[答案] A[解析]由题设可知M、P都是整数的集合，为确定它们之间的关系，可从元素与集合的关系入手，对于任意x∈M，则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5.∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，∴x∈P.这说明集合M中的任何一个元素1＋a2(a∈N＋)都是集合P的元素，∴M⊆P.又1∈P，此时a2－4a＋5＝(a－2)2＋1＝1，即a＝2.而1∉M，由于此时1＋a2＝1在a∈N＋时无解．∴综合知M P.11．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是导学号18160490 ()A．(32，2] B．(32，＋∞)C．[1，32) D．(－∞，32)[答案] D[解析]∵f(x)在[0，＋∞)单调递减且f(x)为奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)<f(a－1)，∴2－a>a－1，∴a<32，故选D.12．假如奇函数y＝f(x)(x≠0)在x∈(0，＋∞)上，满足f(x)＝x－1，那么使f(x－1)<0成立的x的取值范围是导学号18160491 ()A．x<0 B．1<x<2C．x<2且x≠0 D．x<0或1<x<2[答案] D[解析] x <0时，－x >0.由题设f (－x )＝－x －1. 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x ＋1.∴函数y ＝f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x <0)x －1 (x >0)，∴不等式f (x －1)<0化为⎩⎨⎧x －1<0x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x －2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或2≤x <3}，B ＝{x |－2≤x <4}，则(∁U A )∪B ＝__________.导学号18160492[答案] {x |x ≥－2} [解析]由数轴得，∁U A ＝{x |－1≤x <2或x ≥3}，再由数轴得，(∁U A )∪B ＝{x |x ≥－2}． 14．若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y －3＝0⊆{(x ，y )|y ＝ax 2＋1}，则a ＝________.导学号18160493 [答案] －12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，由题意知，－1＝4a ＋1， ∴a ＝－12.15．函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数g (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<a <12的定义域为________．导学号18160494[答案] [a,1－a ][解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤10≤x －a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . ∵0<a <12，得a ≤x ≤1－a . ∴g (x )的定义域为x ∈[a,1－a ]．16．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：导学号18160495①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像；④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )肯定是单函数． 其中的真命题是________．(写出全部真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件冲突，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不肯定单调，因而f (x )不肯定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}．导学号18160496 (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 取值构成的集合． [解析] (1)A ∩B ＝{x |3≤x <6}． ∵∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6，或x ≥9}． (2)∵C ⊆B ，如图所示：∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤9，解得2≤a ≤8， ∴所求集合为{a |2≤a ≤8}．18．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－4x ＋3.导学号18160497(1)求f (f (－1))的值； (2)求函数f (x )的解析式．[解析] (1)由于f (－1)＝－f (1)＝0， 故f (f (－1))＝f (0)，由奇函数的性质知f (0)＝0， 从而有f (f (－1))＝0.(2)当x ＝0时，由奇函数的性质知f (0)＝0；当x <0时，－x >0，故f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－4(－x )＋3]＝－x 2－4x －3.综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x －3，x <0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .导学号18160498(1)画出偶函数f (x )的图像；(2)依据图像，写出f (x )的单调区间；同时写出函数的值域． [解析] (1)f (x )的图像如图所示．(2)由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1)，(0,1)． f (x )的递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)，值域为{y |y ≥－1}．20．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.导学号18160499 (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c .从而，f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ， 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1 又f (0)＝c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由(1)及f (x )>2x ＋m ⇒m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则当x ∈[－1,1]时，g (x )＝x 2－3x ＋1为减函数， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1，从而要使不等式m <x 2－3x ＋1恒成立，则m <－1. 21．(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )①对任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )； ②当x >1时，f (x )>0.求证： (1)f (1)＝0；(2)对任意的x ∈R ，都有f (1x )＝－f (x )； (3)推断f (x )在(－∞，0)上的单调性． [解析] (1)证明：令x ＝y ＝1，则有 f (1)＝f (1)＋f (1)⇒f (1)＝0. (2)对任意x >0，用1x 代替y ，有 f (x )＋f (1x )＝f (x ·1x )＝f (1)＝0， ∴f (1x )＝－f (x )．(3)f (x )在(－∞，0)上是减函数． 取x 1<x 2<0，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0，∵f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (1x 2)＝f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上为减函数．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(a ，b ，c ∈R )，且同时满足下列条件：①f (－1)＝0；②对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0；③当x ∈(0,2)时，有f (x )≤(x ＋12)2.(1)求f (1)；(2)求a ，b ，c 的值；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )是单调函数，求m 的取值范围． [解析] (1)由f (－1)＝0，得a －b ＋c ＝0，① 令x ＝1，有f (1)－1≥0和f (1)≤(1＋12)2＝1， ∴f (1)＝1.(2)由f (1)＝1得a ＋b ＋c ＝1② 联立①②可得b ＝a ＋c ＝12，由题意知，对任意实数x ，都有f (x )－x ≥0，即ax 2＋(a ＋c )x ＋c －x ≥0， 即ax 2－12x ＋c ≥0对任意实数x 恒成立，于是⎩⎨⎧a >0Δ≤0即⎩⎨⎧a >0，14－4ac ≤0.∵c ＝12－a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >014－2a ＋4a 2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0(2a －12)2≤0⇒a ＝14，∴a＝c＝14，b＝12.(3)由(2)得：g(x)＝f(x)－mx＝14x2＋12x＋14－mx＝14[x2＋(2－4m)x＋1]∵x∈[－1,1]时，g(x)是单调的，∴|－2－4m2|≥1，解得m≤0或m≥1.∴m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若直线l 的倾斜角是直线y ＝x －3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．x ＝4C ．x ＝2D ．y ＝2x －3[答案] C[解析] 直线y ＝x －3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l 的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l 的方程为x ＝2.2．若点P (3,4)和点Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝4，b ＝3 D ．a ＝5，b ＝2 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3＝－1，a ＋32－b ＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23[答案] D[解析] 由D 2＋E 2－4F >0，得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1D ．－1[答案] D[解析] 将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为(1,0)，半径为1.若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，∴|1＋a＋1|＋a2＋1＝1，∴a＝－1.5．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是( )A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)[答案] C[解析] 点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以22＋y－2＋62＝7，解得y＝2或8.故选C.6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )A．3 3 B．2 3C． 3 D．1[答案] B[解析] 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝|－5|32＋42＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3，∴弦长|AB|＝2 3.7．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于( ) A．∅B．{(0,0)}C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}[答案] A[解析] 集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．又O (0,0)，r 1＝1，C (5,5)，r 2＝2，|OC |＝52，∴|OC |>r 1＋r 2＝3.∴圆O 和圆C 相离，无公共点．∴A ∩B ＝∅.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＋kx －y ＝0得(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0，∵两交点恰好关于y 轴对称，∴－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.9．从原点向圆x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为( ) A ．23π B ．π C ．32π D ．43π [答案] B[解析] 如图所示，数形结合，圆心C (3,0)半径r ＝32，在Rt △OCA 中，OC ＝3，CA ＝32，∴∠OCA ＝60°从而∠ACB ＝120°，劣弧AB 长l ＝120π180×32＝π.10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 考题分析：本题考查圆的相关知识．圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0得圆心(3,4)，半径为5. 由题意知，AC 为圆的直径且BD ⊥AC ，∴|BD |＝252－12＝46，|AC |＝10. ∴S 四边形ABCD ＝12×46×10＝206，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．直线l 过点(－5，－10)且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为52，则直线l 的方程为________________．[答案] x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0[解析] 若直线l 的斜率不存在，则其直线方程为x ＝－5，此时直线l 与圆相切，不符合题意．故设直线l 的斜率为k ，其方程为y ＋10＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －10＝0 由(|5k －10|1＋k 2)2＋(522)2＝25可得k ＝1或k ＝7. 即x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0为所求．12．光线从点M (3，－2)照射到y 轴上一点P (0,1)后，被y 轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．[答案] x －y ＋1＝0[解析] 点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1－－0－－x ＝x ，即x －y ＋1＝0.13．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．[答案] 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0[解析] 圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.14．以点A (2，－1)为圆心，在直线3x －4y ＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0[解析] 点A 到直线的距离d ＝|6＋4＋10|5＝4.又弦长为6，∴圆的半径为5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.15．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ∶y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －3)2＋y 2＝4[解析] 设圆心C (a,0)，由已知a >0作CD ⊥AB ，则由|AB |＝22⇒AD ＝2，|CD |＝|a －1|2.|CA |＝|a －1|，由勾股定理得：(2)2＋(|a －1|2)2＝(|a －1|)2⇒a ＝3或a ＝－1，又a >0，∴a ＝3，∴r ＝3－1＝2， ∴⊙C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距存在， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.17．(本小题满分12分)一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．求：(1)反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围． [解析] 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线方程为x ＋y ＝0，此即为光线l 所在直线的方程．(2)点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)，设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝43或k ＝34.所以过点A ′的圆C 的两条切线方程分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．分别令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线x －3y ＝0上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y ＝x 得弦长为27，求圆C 的方程．[解析] 设C (a ，b )，半径为r >0，点C 在x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0， 又C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |，又圆C 在y ＝x 上截弦长为27， 则圆心到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，r 2＝a 2，a －b 22＋7＝r 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3.∴圆C 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.19．(本小题满分12分)(1)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，求l 关于x 轴对称的直线方程； (2)已知圆M ：x 2＋y 2＝4，求过点P (2,4)与圆M 相切的切线方程．[解析] (1)方法一：∵所求直线与l 关于x 轴对称， 又k 1＝3，∴所求直线斜率为－ 3. ∵直线l 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，∴所求直线为y ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13， 即3x ＋y ＋1＝0.方法二：在直线l 上取两点(0,1)，(3，4)， ∵所求直线与l 关于x 轴对称，∴点(0，－1)和(3，－4)在所求直线上． ∴所求直线的斜率为k ＝－3， ∴所求直线为y ＋1＝－3x ， 即3x ＋y ＋1＝0.(2)∵点P (2,4)不在圆O 上， ∴可设切线PT 为y ＝k (x －2)＋4， ∵d ＝r ，∴|－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34. ∴y ＝34(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x ＝2.20．(本小题满分13分)直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0相交于两个不同点A ，B ，当k 取不同的实数值时，求AB 中点的轨迹．[解析] 方法一：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0，y ＝kx ，消去y ，得(1＋k 2)x 2－(6＋4k )x ＋10＝0.设此方程的两根为x 1，x 2，AB 的中点坐标为P (x ，y )， 由根与系数的关系和中点坐标公式得x ＝x 1＋x 22＝6＋4k ＋k 2＝3＋2k1＋k2，① 又∵P 点在直线y ＝kx 上， ∴y ＝kx ，即k ＝y x.②将②代入①，得x ＝3＋yx1＋y x2(x ≠0)，整理得x 2＋y 2－3x －2y ＝0.∵点P 始终在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴点P 的轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 方法二：∵直线y ＝kx 过坐标原点，圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的圆心为C (3,2)， 设AB 的中点为M ，则MC ⊥AB ， ∴点M 在以OC 为直径的圆上， 此圆的圆心为(32，1)，半径为132，其方程为(x －32)2＋(y －1)2＝134，即x 2＋y 2－3x －2y ＝0.又∵点M 在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 21．(本小题满分14分)已知点P (2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．(3)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． 即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |＝5，而弦心距d ＝r 2－|MN |22＝5，所以d ＝|CP |＝ 5. 所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0， 即－2a >0，解得a <0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝－1k PC，所以a ＝12.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。
【成才之路】高中数学 第一章 算法初步综合素能检测 新人教A版必修3
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 算法初步综合素能检测 新人教A 版必修3时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列赋值语句错误的是( ) A ．i ＝i －1 B ．m ＝m 2＋1 C ．k ＝－1kD ．x *y ＝a[答案] D[解析] 执行i ＝i －1后，i 的值比原来小1，则A 正确；执行m ＝m 2＋1后，m 的值等于原来m 的平方再加1，则B 正确；执行k ＝－1k后，k 的值是原来的负倒数，则C 正确；赋值号的左边只能是一个变量，则D 错误．2．若下列程序执行的结果是2， INPUT xIF x>＝0 THEN y ＝x ELSE y ＝－x END IFPRIT y END则输入的x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0[答案] C[解析] 程序语句执行的是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，故输入2或－2的结果都是2.3．(2015·全国，理)下边程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术\”．执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 程序在执行过程中，a ，b 的值依次为a ＝14，b ＝18；b ＝4；a ＝10；a ＝6；a ＝2；b ＝2，此时a ＝b ＝2程序结果，输出a 的值为2，故选B.4．(2015·湖南卷)执行如下图所示的程序框图，如果输入n ＝3，中输入的S ＝( )A.67B.37C.89D.49[答案] B[解析] 由题根据所给程序框图不难得到所求S 值即是求递推数列的连续前3项的和；由题11×3＋13×5＋15×7＝37，故选B.5．下列各数中，与1010(4)相等的数是( ) A ．76(9) B ．103(8) C ．2111(3) D ．1000100(2)[答案] D[解析] 1010(4)＝1×43＋1×4＝68.因为76(9)＝7×9＋6＝69；103(8)＝1×82＋3＝67；2111(3)＝2×33＋1×32＋1×3＋1＝67；1000100(2)＝1×26＋1×22＝68，所以1010(4)＝1000100(2)．6．以下程序运算后的输出结果为( )A．17 B．19C．21 D．23[答案] A[解析] 观察程序可知，这是一个WHILE循环语句，当i≥7时结束运算，而i的变化为每次加2减1，故最终i＝6,6＋2＝8，S＝2×8＋1＝17.7．如右图所示的程序框图，如果输入的三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在①②两个判断框中，应该填入下列四个选项中的( )A．①b>x？②c>x?B．①x>b？②x>c?C．①b>a？②c>b?D．①a>b？②b>c?[答案] A[解析] 由题意知，要输出a，b，c中最大的数，所以①应填入b>x？，②应填入c>x？，故选A.8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要________次乘法运算和________次加法(或减法)运算．( )A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2[答案] C[解析] f(x)＝4x5－x2＋2＝(((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要5次乘法程算和2次加法(或减法)运算．9．利用秦九韶算法计算f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6在x＝5时的值为( ) A．4881 B．220C．975 D．4818[答案] A[解析] 依据秦九韶算法，把多项式改写为f (x )＝((((x ＋2)x ＋3)x ＋4)x ＋5)x ＋6.按照从内到外的顺序，依次计算x ＝5时的值：v 0＝1；v 1＝1×5＋2＝7； v 2＝7×5＋3＝38； v 3＝38×5＋4＝194； v 4＝194×5＋5＝975； v 5＝975×5＋6＝4881.故f (5)＝4881.10．(2012·课标全国，理6)如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)的实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B2a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 [答案] C[解析] 随着k 的取值不同，x 可以取遍实数a 1，a 2，…，a N ，依次与A ，B 比较，A 始终取较大的那个数，B 始终取较小的那个数，直到比较完为止，故最终输出的A ，B 分别是这N 个数中的最大数与最小数．11．(2013·江西)阅读如图所示的程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i -2 B.S ＝2*i -1 C.S =2*i D.S ＝2*i +4[答案] C[解析] 题中框图依次执行如下循环：12．(2014·陕西，理4)根据框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1[答案] C[解析] 因为N>2，所以可取N＝3，则a1＝2×1＝2，S＝a1＝2，i＝1＋1＝2.判断2>3是否满足？否，返回运算a2＝2S＝4，i＝3，S＝a2＝4，判断3>3是否满足？否，返回运算a3＝2S＝8，因此a1＝2，a2＝4，a3＝8，只有C选项符合．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值时，v4的值为________．[答案] 80[解析] v0＝1，v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10，v2＝v1x＋a4＝－10×2＋60＝40，v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80，v4＝v3x＋a2＝－80×2＋240＝80.14．已知程序如下：若输入x的值为85，则通过以上程序运行后，输出的结果是________．[答案] 13[解析] 由程序可知，m＝8，n＝5，所以x＝8＋5＝13.15．一个算法如下：第一步，S＝0，i＝1.第二步，若i 不大于12，则执行第三步；否则，执行第五步． 第三步，S ＝S ＋i第四步，i ＝i ＋2，转到第二步． 第五步，输出S .则运行以上步骤输出的结果为________． [答案] 36[解析] 根据算法可知，i 和S 的对应值如下表：16．(2014·江苏，3)下图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．[答案] 5[解析] 本题实质上是求不等式2n >20的最小整数解，2n>20的整数解为n ≥5，因此输出的n ＝5.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求三个数168,56,264的最大公约数．[探究] 先求出前两个数的最大公约数，再求这个最大公约与第三个数的最大公约数． [解析] 因为168＝56×3＋0， 所以168与56的最大公约数为56. 又因为264＝56×4＋40,56＝40×1＋16， 40＝16×2＋8,16＝8×2＝0， 所以264与56的最大公约数为8. 所以168,56与264的最大公约数为8.18．(本小题满分12分)求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－2，x ＜2的值的程序框图如图所示．(1)指出程序框图中的错误，并写出算法；(2)重新绘制解决该问题的程序框图，并回答下面提出的问题．①要使输出的值为正数，输入的x的值应满足什么条件？②要使输出的值为8，输入的x值应是多少？③要使输出的y值最小，输入的x值应是多少？[解析] (1)题中程序框图上的一段流程线缺少表达程序执行顺序的箭头；再者由于是求分段函数的函数值，输出的函数值的计算方法取决于输入的x值所在的范围，所以必须引入判断框，应用条件结构．正确的算法步骤如下：第一步，输入x.第二步，如果x＜2，那么y＝－2；否则，y＝x2－2x.第三步，输出y.(2)根据以上算法步骤，可以画出如图所示的程序框图．①要使输出的值为正数，则x2－2x＞0，∴x＞2或x＜0(舍去)．故当输入的x＞2时，输出的函数值为正数．②要使输出的值为8，则x2－2x＝8，∴x＝4或x＝－2(舍去)．故输入x的值应为4.③当x≥2时，y＝x2－2x≥0，当x＜2时，y＝－2，又－2＜0，故要使输出的y值最小，只要输入的x满足x＜2即可．19．(本小题满分12分)下面给出一个用循环语句编写的程序：k ＝1sum ＝0WHILE k<10 sum ＝sum ＋k^2k ＝k ＋1WENDPRINT sum END(1)指出程序所用的是何种循环语句，并指出该程序的算法功能； (2)请用另一种循环语句的形式把该程序写出来．[解析] (1)本程序所用的循环语句是WHILE 循环语句，其功能是计算12＋22＋32＋…＋92的值．(2)用UNTIL 语句改写程序如下： k ＝1sum ＝0DOsum ＝sum ＋k^2k ＝k ＋1LOOP UNTIL k>＝10PRINT sum END20．(本小题满分12分)利用秦九韶算法判断方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0,2]上是否存在实根．[解析] 利用秦九韶算法求出当x ＝0及x ＝2时，f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1的值，f (x )＝x 5＋x 3＋x 2－1可改写成如下形式：f (x )＝((((x ＋0)x ＋1)x ＋1)x ＋0)x －1.当x ＝0时，v 0＝1，v 1＝0，v 2＝1，v 3＝1，v 4＝0，v 5＝－1，即f (0)＝－1. 当x ＝2时，v 0＝1，v 1＝2，v 2＝5，v 3＝11，v 4＝22，v 5＝43，即f (2)＝43.由f (0)f (2)<0知f (x )在[0,2]上存在零点，即方程x 5＋x 3＋x 2－1＝0在[0,2]上存在实根．21．(本小题满分12分)如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并画出程序框图．[解析] 由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，－x ， 8<x ≤12.程序框图如图：为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值．(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？(3)写出程序框图的程序语句．[解析] (1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4.(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2011时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1005.(3)程序框图的程序语句如下：。
【成才之路】高中数学 第2章 算法初步基础知识测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章算法初步基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列关于算法的描述中正确的是( )A．只有数学问题才会有算法B．算法过程要一步一步执行，每一步操作都是明确的C．有的算法可能无结果D．算法中有些语句可能永远不会被执行[答案] B[解析] 算法要解决的问题不仅仅是数学问题，显然A不正确；算法由一系列程序或步骤组成，这些程序或步骤首先必须是明确而有效的，因此算法一定会有结果，故C不正确；算法中的任意一个语句都能被执行到，否则这个语句就是多余的，应删掉，故D不正确．2．下面流程图描述的算法的运行结果是( )A．－5 B．5C．－1 D．－2[答案] A[解析] 根据判断框，如果x<0，则y＝3x－2，所以x＝－1时，y＝3×(－1)－2＝－5.3.给出下列流程图，欲输出给定两实数a、b中的较小的数，则判断框中应填( )A ．a >bB ．a ≥bC ．a <bD ．a ＝b[答案] C[解析] 输出的是较小的数，回答“是”时输出了a ，说明a 较小，故填a <b . 4．当a ＝1，b ＝3时，执行完下面一段程序后x 的值是( ) If a <b Then x ＝a ＋b Else x ＝a －b End IfA ．1B ．3C ．4D ．－2[答案] C[解析] 因为a <b ，所以x ＝a ＋b ＝1＋3＝4.5．(2014·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查了程序框图的相关概念．S 1：n ＝1,21>12→是， S 2：n ＝2,22>22→否，输出n ＝2.关键是理解赋值语句n ＋1及条件2n>n 2.6．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123[答案] B[解析] 本题考查程序框图．根据赋值语句“a ＝a 2＋2”及初值a ＝1得输出的a 为11，共循环2次． 7．下面是求56个数的平均数的基本语句，在横线上应填写的内容为( )S ＝0For i ＝1 To________ 输入x ； S ＝S ＋x Ne x ta ＝S /56输出________． A ．56 a B ．56 S C ．57 a －1 D ．57 S －1[答案] A[解析] 由于是求56个数的平均数，所以循环变量的终值是56，输出的是这56个数的平均数a .8．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个流程图(如下图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A．i>10 B．i<10C．i>20 D．i<20[答案] A[解析] 该程序满足判断框“”内条件时，循环停止，由题可知i＝10时循环进行最后一次，即sum再加上120，循环一次后，i变为11，这时应中止循环，∴循环应满足的条件是i>10.故选A.9．下列语句执行后输出的结果是( )n＝5；S＝0；DoS＝S＋nn＝n－1Loop Wh i le S<15输出n.A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] 第一次循环S＝5，n＝4；第二次循环S＝9，n＝3；第三次S＝12，n＝2；第四次S＝14，n＝1；第五次S＝15，n＝0.故此时输出n的值为0.10.找出乘积为840的两个相邻偶数，算法流程图如右图，其中__①__，__②__，__③__处语句填写正确的是( )A．S＝i(i＋2)，输出i，输出i－2B．S＝i2＋2，输出i＋2，输出i－2C．S＝i(i＋2)，输出i，输出i＋2D．S＝i2＋2，输出i，输出i＋2[答案] C[解析] ①处所填应为相邻偶数之积，故B，D错误．若判断框执行“是”，由①处填的“S＝i(i＋2)”知②处应填“输出i”，③处应填“输出i＋2”．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．运行如图所示的程序，输出的结果是________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT aEND [答案] 3[解析] 本题主要考查算法知识，由于a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3.12．在求方程x (x ＋2)＝48的正整数解时，某同学给出了下列算法流程图，其结果为________．[答案] 6[解析] 因为i ＝6，i ＋2＝8时，6×8＝48，然后输出i 的值．13．某算法流程图如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是______________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1[解析] 当x >1时，有y ＝x －2， 当x ≤1时，有y ＝2x，所以，y 与x 满足的关系式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1.14．根据下面的算法语句，可知输出的结果T为________．T＝1I＝3DoT＝T＋II＝I＋2Loop Wh i le I<50输出T[答案] 625[解析] 由算法语句知T＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋ (49)＋2＝625.故填625.15. (2014·浙江理，11)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．[答案] 6[解析] 本题考查循环结构运行，第一次运行结果S＝1，i＝2第二次运行结果S＝4，i＝3，第三次运行结果S＝11，i＝4.第四次运行结果S＝26，i＝5.第五次运行结果S＝57，i＝6.此时S＝57>50，输出i＝6.注意认真写出每次运行结果．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)画出求12＋22＋32＋…＋20142的算法流程图．[解析] 算法流程图如下．17．(本小题满分12分)如图所示，有一城市，市区半径为15k m 的圆形区域，近效区为距中心15～25k m 范围内的环形地带，距中心25k m 以外的为远郊区．市区地价每公顷100万元，近效区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价．请设计出相应的程序流程图．[解析] 算法流程图如图：由该点坐标(x ，y )，求其与市中心的距离r ＝x 2＋y 2，确定是市区、近郊区还是远郊区，进而确定地价的值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100，0<r≤15，60，15<r≤25，20，r>25.18．(本小题满分12分)用For 语句描述一个算法，找出满足以下三个条件的矩形：(1)四边形长均为整数；(2)面积值与周长值相等；(3)各边长都不超过400.[解析] 用语句描述为 For a ＝1 To 400 For b ＝1 To 400If a *b ＝2(a ＋b ) Then 输出a ，b End If Ne x t Ne x t19．(本小题满分12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题：i ＝1 S ＝0Do S ＝i ＋S i ＝i ＋1 Loop Wh i le i <99 输出S(1)语句中是否有错误？请加以改正； (2)把程序改为另一种类型的循环语句． [解析] (1)错误有两处 第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句Loop Wh i le i <99，应改为Loop Wh i le i ≤99 (2)语句改成另一种循环类型语句应为：i ＝2 S ＝0For i ＝2 to 99S ＝S ＋iNe x t 输出S20．(本小题满分13分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出流程图．[解析] 函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ；8，x ；－x ，x流程图如图所示：21．(本小题满分14分)商场促销活动中：年历每本20元，购买5到9本按9折收费，买10本及以上8.5折收费．求购买x本时所付金额y为多少元？画流程图并用相应的语句描述．[解析] 流程图如下图用语句描述为：输入x；If x<5 theny＝20xElseIf x≥10theny＝20*0.85xElsey=20*0.9xEnd If输出y.。
【成才之路】高中数学 第1章 统计案例综合素质检测 新人教A版选修1-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 统计案例综合素质检测 新人教A 版选修1-2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ② y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④[答案] D[解析] y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．2．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[答案] A[解析] 题图A 中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型．故选A. 3．在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合得最好的模型为( )A ．模型1的相关指数R 2为0.75 B ．模型2的相关指数R 2为0.90 C ．模型3的相关指数R 2为0.25D ．模型4的相关指数R 2为0.55 [答案] B[解析] 相关指数R 2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.4．预报变量的值与下列的哪些因素有关( ) A ．受解释变量的影响，与随机误差无关 B ．受随机误差的影响，与解释变量无关 C ．与总偏差平方和有关，与残差无关 D ．与解释变量和随机误差的总效应有关 [答案] D[解析] 预报变量既受解释变量的影响，又受随机误差的影响． 5．(2014·安徽示范高中联考)给出下列五个命题： ①将A 、B 、C 三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y ＝1－2x ，则x 每增加1个单位，y 平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.其中真命题为( ) A ．①②④ B ．②④⑤ C ．②③④ D ．③④⑤[答案] B[解析] ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝4.4，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝0.4，⑤是真命题．6．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过( ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点 D ．(1.5,4)点[答案] D[解析] 计算得x ＝1.5，y ＝4，由于回归直线一定过(x ，y )点，所以必过(1.5,4)点．7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )A.25% C ．2.5% D ．97.5%[答案] D[解析] 查表可得K 2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x 和y 有关系”． 8．下列说法正确的有( )①最小二乘法指的是把各个离差加起来作为总离差，并使之达到最小值的方法； ②最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差，并使之达到最小值的方法； ③线性回归就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 最小二乘法是指把各离差的平方和作为总离差，并使之达到最小值的方法，(2)是正确的；线性回归就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法，这是线性回归的本质，(3)也是正确的．9．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%[答案] A[解析] 当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，所以7.6759.262≈0.829，故选A.10．下面是调查某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从下图可以看出( )A ．性别与是否喜欢理科无关B ．女生中喜欢理科的比为80%C ．男生比女生喜欢理科的可能性大些D ．男生中喜欢理科的比为60% [答案] C[解析] 从图中可以看出，男生喜欢理科的比例为60%，而女生比例为仅为20%，这两个比例差别较大，说明性别与是否喜欢理科是有关系的，男生比女生喜欢理科的可能性更大一些．11．(2014·云南景洪市一中期末)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，得K 2＝－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C12．以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a ^，b ^得到的直线y ^＝bx ＋a ^才是回归直线，∴①不对；②正确；将x ＝25代入y ^＝0.50x －0.81，得y ^＝11.69， ∴③正确；④正确，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．某镇居民2009～2013年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．(填“正”或“负”)[答案] 13 正[解析] 找中位数时，将样本数据按大小顺序排列后奇数个时中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数，由统计资料可以看出，年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者正相关．14．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：[答案] 0.001[解析] 可计算K 2的观测值k ＝11.377>10.828.15．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.16．某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －) [答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)考察黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病的关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析.附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[解析] K 2＝－2235×222×105×352≈41.61，由于41.61>10.828，说明有99.9%的把握认为黄烟经过培养液处理与是否跟发生青花病是有关系的． 18．(本题满分12分)某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从该部门内随机抽选了10个企业为样本，有如下资料：(1)计算x 与y (2)对这两个变量之间是否线性相关进行检验；(3)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，求回归系数． [解析] (1)根据数据可得：x ＝77.7，y ＝165.7，∑10i ＝1x 2i＝70 903，∑10i ＝1y 2i ＝277 119， ∑10i ＝1x i y i ＝132 938，所以r ＝0.808， 即x 与y 之间的相关系数r ≈0.808；(2)因为r >0.75，所以可认为x 与y 之间具有线性相关关系； (3)b ^＝0.398，a ^＝134.8.19．(本题满分12分)(2014·安徽文，17)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[解析] (1)300×15000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表综合列联表可算得K 2＝75×225×210×90＝21≈4.762>3.841. 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关．” 20．(本题满分12分)在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为求出y 对x [解析] x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑5i ＝1x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， ∴b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x ·y ∑5 i ＝1x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－4640＝－1.15. ∴a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1. ∴回归直线方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表为：∴∑5i ＝1 (y i －y i )2＝0.3，∑ i ＝1 (y i －y )2＝53.2，R 2＝1－∑5i ＝1y i －y ^i 2∑5i ＝1y i －y2≈0.994.∴R 2＝0.994，因而拟合效果较好．21．(本题满分12分)(2014·安徽程集中学期中)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d[解析] (1)25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.[点评] 本题考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，解决这类题目的关键是对题意准确理解．22．(本题满分14分)(2014·济南模拟) 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：族”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？已知：K2＝a＋b＋c＋d ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d，当K2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.(2)限购令的概率．[解析] (1)K2＝40×10×22×28≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关；(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为有利事件数，因此所求概率P＝710.。
【成才之路】高中数学 第2章综合素质检测 新人教A版选修1-2
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1 [答案] B[解析] 考查归纳推理．a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝13a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×13∴a3＝16a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×16∴a4＝110由此猜想an＝2n(n＋1)3．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，问第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13D ．100[答案] B[解析] 设n∈N *，则数字n 共有n 个 所以n(n ＋1)2≤100即n(n ＋1)≤200， 又因为n∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.4．如果x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，那么( ) A ．F ＝0，D≠0，E≠0 B ．E ＝0，F ＝0，D≠0 C ．D ＝0，F ＝0，E≠0D ．D ＝0，E ＝0，F≠0[答案] C[解析] ∵圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点， ∴圆过原点，F ＝0，又圆心在y 轴上，∴D＝0，E≠0. 5．已知a<b<0，下列不等式中成立的是( ) A ．a 2<b 2B.a b <1 C ．a<4－bD.1a <1b [答案] C[解析] ∵a<b<0，∴－b>0,4－b>4，∴a<4－b.6．已知f 1(x)＝cosx ，f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，f 4(x)＝f 3′(x)，…，f n (x)＝f n －1′(x)，则f 2020(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx[答案] D[解析] 由已知，有f 1(x)＝cosx ，f 2(x)＝－sinx ，f 3(x)＝－cosx ，f 4(x)＝sinx ，f 5(x)＝cosx ，…，可以归纳出：f 4n (x)＝sinx ，f 4n ＋1(x)＝cosx ，f 4n ＋2(x)＝－sinx ，f 4n ＋3(x)＝－cosx(n∈N *)．所以f 2020(x)＝f 3(x)＝－cosx.7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n∈N *)，则a 20等于( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32[答案] B [解析] a 2＝0－30＋1＝－3，a 3＝－3－3－3·3＋1＝3，a 4＝0，所以此数列具有周期性，0，－3，3依次重复出现．因为20＝3×6＋2，所以a 20＝－ 3.8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c [答案] A[解析]令n ＝1,2,3，得⎩⎨⎧3(a －b)＋c ＝1，9(2a －b)＋c ＝7，27(3a －b)＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.9．已知f(x)＝x 3＋x ，a ，b ，c∈R，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能[答案] A[解析] f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b>0得a>－b，所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.10．用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是( ) A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c中至多有一个是偶数D．假设a，b，c中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a，b，c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a，b，c都不是偶数”．因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”．11．已知数列{an }的通项公式an＝1(n＋1)2(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a 2)(1－a3)…(1－an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝( )A.n＋22(n＋1)B.n＋24nC.2n－1(n＋1)2D.n＋1n(n＋1)[答案] A12．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是( )A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵sinA a ＝cosB b ＝cosCc，由正弦定理得， sinA a ＝sinB b ＝sinC c ，∴sinB b ＝cosB b ＝cosC c ＝sinCc ， ∴sinB＝cosB ，sinC ＝cosC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．对于“求证函数f(x)＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f(x)，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f(x 2)－f(x 1)<0，则函数f(x)在D 上是减函数”，小前提是“________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________”，结论是“f(x)＝－x 3在 R 上是减函数”．[答案] 对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f(x 2)－f(x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21)＝－(x 2－x 1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 122＋34x 21<0 14．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)15．已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2、a 3、a 4、a 5分别为________，猜想a n ＝________.[答案]37，38，39，310，3n ＋5.16．已知函数f(x)＝x 2－cosx ，对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件序号是______． [答案] ②[解析] 易知函数f(x)是偶函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，故能使f(x 1)>f(x 2)恒成立的条件只有②x 21>x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c∈R，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[解析] 证明：由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca. 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b ＋c)2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，若c n ＝a n＋b n ，请证明数列{c n }不是等比数列．[证明] 假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①因为{a n }，{b n }是等比数列，设公比分别为p ，q ，则有a 2n ＝a n －1·a n ＋1，b 2n ＝b n －1·b n ＋1.②整理①式，并将②代入得 2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1.所以2a n b n ＝a n p·b n q ＋a n p ·b n q ，即2＝p q ＋q p.因为p≠q，所以pq＋qp≠2，得出矛盾，所以假设不成立．故数列{cn}不是等比数列．19．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)12>(x3＋y3)13.[证明] 要证(x2＋y2)12>(x3＋y3)13，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，故只需证3x2＋3y2>2xy.而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，所以(x2＋y2)12>(x3＋y3)13成立．20．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2 … 2cosπ2n ＋1＝2＋2＋2＋…n 个根号 21．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得 a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1， 所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的通项公式． 22．(本题满分14分)已知函数f(x)对任意实数a 、b 都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R 上的增函数．(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.[解析] (1)证明：设任意x1，x2∈R，且x2>x1，则有x2－x1>0，利用已知条件“当x>0时，f(x)>1”得f(x2－x1)>1，而f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函数．(2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3. 由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)<f(2)．由f(x)是R上的增函数，得3m2－m－2<2，解得－1<m<43.。
【成才之路】2021学年高中数学 第二章统计综合测试题 新人教B版必修3(1)
【成才之路】2021-2021学年高中数学第二章统计综合测试题新人教B版必修3时刻120分钟，总分值150分。
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．以下哪一种工作不能利用抽样方式进行( )A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋某一水域的某种微生物的含量C．高考终止后，国家高考命题中心计算数学试卷中每一个题目的难度D．检测某学校全部高三学生的身高和体重的情形[答案] D[解析] 抽样是为了用整体中的部份个体(即样本)来估量整体的情形，选项A、B、C都是从整体中抽取部份个体进行查验，选项D是检测全部学生的躯体状况，因此，要对全部学生的躯体都进行查验，而不能采取抽样的方式．应选D.2．高一·一班李明同窗进行一项研究，他想取得全班同窗的臂长数据，他应选择的最适当的数据搜集方式是( )A．做实验B．查阅资料C．设计调查问卷D．一一询问[答案] A[解析] 全班人数不是很多，因此做实验最适当．3．设有一个回归方程为y^＝2－2.5x，变量x增加一个单位时，变量y( )A．平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位C．平均减少2.5个单位D．平均减少2个单位[答案] C[解析] 因为随变量x增大，y减小，x、y是负相关的，且b^＝－2.5，应选C.4．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情形，采纳分层抽样的方式抽取一个容量为150的样本，那么样本中松树苗的数量为( )A．30 B．25C．20 D．15[答案] C[解析] 松树苗与树苗总数比为4 00030 000＝215，要抽取容量为150的样本，设抽取松树苗的棵数为x ，那么x 150＝215，解得x ＝20.5．一个单位有职工160人，其中业务人员96人，治理人员40人，后勤效劳人员24人．为了了解职工的某种情形，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方式抽取：①将160人从1至160编上号，然后用白纸做成1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出；②将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，即1～8号，9～16号，…，153～160号．先从第1组顶用抽签方式抽出k 号(1≤k ≤8)，其余组的(k ＋8n )号(n ＝1,2，…，19)亦被抽出，如此抽取20人；③按20160＝18的比例，从业务人员中抽取12人，从治理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一路恰好抽到20人．上述三种抽样方式，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( ) A ．①、②、③ B ．②、①、③ C ．①、③、② D ．③、①、②[答案] C[解析] ①是简单随机抽样；②是系统抽样；③是分层抽样，应选C.6．样本中共有五个个体，其值别离为a,0,1,2,3.假设该样本的平均值为1，那么样本方差为( ) A ．65 B ．65C ．2D ．2[答案] D [解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故S 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2. 7．假设某校高一年级8个班参加合唱竞赛的得分如茎叶图所示，那么这组数据的中位数和平均数别离是( )8 9 793 1 64 0 2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92[答案] A[解析] 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96. 故平均数x －＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91．5，中位数为91＋922＝91.5，应选A.8．对变量x ，y 有观测数据理据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图能够判定( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 此题要紧考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．由散点图能够判定变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．9．已知样本容量为30，在样本频率散布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2431，那么第2组的频率和频数别离是( )A ．0.4,12B ．0.6,16C ．0.4,16D ．0.6,12[答案] A[解析] 因为各小长方形的高的比从左到右依次为2431，因此第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.10．依照一名母亲记录儿子3～9岁的身高数据，成立儿子身高y (单位：cm)对年龄x (单位：岁)的回归直线方程y ＝73.93＋7.19x ，用此方程预测儿子10岁时的身高，有关表达正确的选项是( )A．身高必然为145.83 cm B．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cm D．身高在145.83 cm左右[答案] D[解析] 用回归直线方程预测的不是准确值，而是估量值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．11．设矩形的长为a，宽为b，其比知足b a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620依照上述两个样本来估量两个批次的整体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A．甲批次的整体平均数与标准值更接近B．乙批次的整体平均数与标准值更接近C．两个批次整体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次整体平均数与标准值接近程度不能确信[答案] A[解析] 本小题要紧考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x－甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x－乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，应选A.12．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根所这几年的体会明白，鱼苗的成活率为95%，一段时刻后预备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg，试估量鱼塘中鱼的总质量约为( )A．192 280 kg B．202 280 kgC．182 280 kg D．172 280 kg[答案] A[解析] 平均每条鱼的质量为x －＝40×2.5＋25×2.2＋35×2.840＋25＋35＝2.53(kg)，因此估量这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280(kg)．二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方式，从全部运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．[答案] 12[解析] ∵2898＝27，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42，∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．分层抽样中抓住“抽样比”是解决问题的关键．14．甲、乙两人在10天中天天加工零件的个数用茎叶图表示如以下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．那么这10天甲、乙两人日加工零件的平均数别离为________和________．[答案] 24 23[解析] x －甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x －乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.15．如下图，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率散布直方图，那么车速不小于90km/h 的汽车约有________辆．[答案] 54[解析] 频率＝频率组距×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总数＝180×0.3＝54.16．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：2[答案] 25[解析]x 甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，x 乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7.∴s 2甲＝6－72＋7－72＋7－72＋8－72＋7－725＝25， s 2乙＝7－62＋7－72＋7－62＋7－72＋7－925＝65， 那么两组数据的方差中较小的一个为s 2甲＝25. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 17．(此题总分值12分)下面的抽样方式是简单随机抽样吗？什么缘故？ (1)某班有40名同窗，指定个子最高的5名同窗参加学校组织的篮球赛；(2)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回，再拿一件，持续玩了5件； (3)从200个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查． [解析] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样． (2)不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样．(3)是简单随机抽样，因为它知足简单随机抽样的几个特点．18．(此题总分值12分)已知某班4个小组的人数别离为10,10，x,8，这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[解析] 该组数据的平均数为14(28＋x )，中位数必然是其中两个数的平均数，因为x 不知是多少，因此要分几种情形讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序为x,8,10,10，其中位数为12(10＋8)＝9.假设14(x ＋28)＝9，那么x＝8，现在中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)，假设14(x ＋28)＝12(x＋10)，那么x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，∴舍去．(3)当x >10时，原数据为8,10,10，x ， 其中位数为12(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，那么x ＝12，∴现在中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10.19．(此题总分值12分)一箱方便面共有50包，从顶用随机抽样方式抽取了10包称量其重量(单位：g)结果为：60.5 61 60 60 61.5 59.5 59.5 58 60 60(1)指出整体、个体、样本、样本容量； (2)指出样本数据的众数、中位数、平均数； (3)求样本数据的方差．[解析] (1)整体是这50包方便面所有的包重，个体是这一箱方便面中每一包的包重，样本是抽取的10包的包重，样本容量为10.(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，样本平均数x －＝110×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.(3)样本数据的方差为s 2＝110[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8.20．(此题总分值12分)对划艇动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36.依照以上数据，试判定他们谁更优秀．[解析] x －甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝1986＝33，s 2甲＝16[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝16×94≈15.7； x －乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2] ＝16×76≈12.7. ∴x －甲＝x －乙，s2甲＞s 2乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳固，故乙比甲更优秀．21．(此题总分值12分)有一容量为50的样本，数据的分组和各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5,33.5)，4.(1)列出样本的频率散布表； (2)画出频率散布直方图；(3)依照频率散布直方图估量，数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少？ [解析] (1)频率散布表为：分组 频数频数 频率 [12.5,15.5) 30.06 [15.5,18.5) 8 0.16 [18.5,21.5) 9 0.18 [21.5,24.5) 11 0.22 [24.5,27.5) 10 0.20 [27.5,30.5) 5 0.10 [30.5,33.5) 4 0.08 合计501.00(2)(3)数据落在[15.5,24.5)内的可能性为：8＋9＋1150＝0.56.22．(此题总分值14分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周天天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如表所示：已知：∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17y 2i ＝45 309，∑i ＝17x i y i ＝3 487.(1)求x －、y －； (2)画出散点图；(3)求纯利y 与天天销售件数x 之间的回归直线方程； (4)假设该周内某天销售服装20件，估量可获纯利多少元． [解析] (1)x －＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y －＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917≈79.86.(2)散点图如下图(3)由散点图知，y 与x 有线性相关关系，设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.∵∑i ＝17x 2i＝280，∑i ＝17y 2i＝45 309，∑i ＝17x i y i ＝3 487，x －＝6，y －＝5597，∴b ^＝3487－7×6×5597280－7×36＝13328＝4.75，a ^＝5597－6×4.75≈51.36，∴回归直线方程为y ^＝4.75x ＋51.36.(4)当x ＝20时，y ^＝4.75×20＋51.36≈146.因此本周内某天的销售为20件时，估量此日的纯收入大约为146元．。
【成才之路】高中数学 第1章综合素质检测课时练习 新人教A版必修3
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．将八进制数135(8)化为二进制数为( )A．1110101(2)B．1010101(2)C．1111001(2)D．1011101(2)[答案] D[解析] 135(8)＝1×82＋3×8＋5＝93.∴93＝1011101(2)，即135(8)＝1011101(2)，∴选D.2．下面对程序框图中的图形符号的说法错误的是( )A．起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束B．输入、输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置C．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的注释框内D．当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内[答案] C[解析] 算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．3．三个数390、455、546的最大公约数是( )A．65 B．91 C．26 D．13[答案] D[解析] 390与455的最大公约数是65,65与546的最大公约数是13，可用辗转相除法、等值算法，也可用素因数分解法．4．以下给出了一个程序框图如图所示，其作用是输入x的值．输出相应的y的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 程序框图所表示的算法是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的函数值．当x ≤2时，令x 2＝x ，得x ＝0或1；当2<x ≤5时，令2x －3＝x ，得x ＝3；当x >5时，令1x＝x ，得x ＝±1(舍去)，故只有3个值符合题意，选C.5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 6＋3x 5＋4x 4＋2x 3＋5x 2－7x ＋9当x ＝4时的值，计算过程中，下列的值不可能出现的是( )A ．80B ．1293C ．322D ．5615[答案] D[解析] f (x )＝(((((4x ＋3)x ＋4)x ＋2)x ＋5)x －7)x ＋9.v 0＝4，v 1＝4×4＋3＝19， v 2＝19×4＋4＝80， v 3＝80×4＋2＝322， v 4＝322×4＋5＝1293， v 5＝1293×4－7＝5165，故计算过程中不可能出现的数是5615，选D. 6．下面程序输入x ＝π时的运算结果是( ) INPUT xIF x <0 THEN y ＝－2ELSEIF x ＝0 THEN y ＝0 ELSE y ＝2 END IF END IF PRINT y END A ．－2 B ．1 C ．πD ．2[答案] D[解析] 这是一个求分段函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x <0)0 (x ＝0)2 (x >0)的函数值的算法语句，∵x ＝π，∴y ＝2.7．如图，该程序运行后的输出结果为( )A ．0B ．3C ．12D ．－2[答案] B[解析] i ＝5>2执行第一次循环，S ＝5，i ＝4，S ＝1；i ＝4>2执行第二次循环，S ＝5，i ＝3，S ＝2；i ＝3>2执行第三次循环，S ＝5，i ＝2，S ＝3；i ＝2不满足i >2跳出循环，输出S 的值3.[点评] 本题易出现的错误是认为在同一次循环中，S ＝S ＋i 与S ＝S －i 抵消，故结果为0.其实不然，S ＝S ＋i 中的i 与S ＝S －i 中的i 的值不同，后者小1，由语句S ＝S ＋i ，i ＝i －1，S ＝S －i 知，每循环一次S 的值增加1，i 的值减小1，故当i ＝2时，循环了3次，∴S ＝3，这样把i 的初值设置为任意大于2的数k ，很容易就能求得输出S 的值，例如初值i ＝100时，输出S ＝98.8．如图所示的程序运行后输出结果为sum ＝156，则判断框中应填( )A．i≥10? B．i≥11?C．i≤11? D．i≥12?[答案] D[解析] 根据处理框中，sum＝sum×i，sum初值为1，i初值为13，∴第一次判断后执行循环体得到sum＝13≠156；i＝12应进行第二次循环；第二次循环后sum＝13×12＝156，i＝11；此时作出判断，条件不满足跳出循环，输出sum的值156，故条件为i≥12.9．如图，汉诺塔问题是指有3根杆子A、B、C，B杆上有若干碟子，把所有碟子从B 杆移到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把B杆上的4个碟子全部移到A杆上，最少需要移动( )次．( )A．12 B．15C．17 D．19[答案] B[解析] 将4个碟子按从小到大顺序编号为1,2,3,4号．用―→M表示第i号碟子移到M杆上．如②―→B表示第2号碟子移到B杆上，要保证大碟不能叠在小碟的上面，最少需要移动15次，下面是移动的步骤．S1①―→C S6：②―→C S11：①―→BS2②―→A S7：①―→C S12：③―→AS3①―→A S8：④―→A S13：①―→CS4③―→C S9：①―→A S14：②―→AS5①―→B S10：②―→B S15：①―→A.∴选B.10．登上一个四级的台阶，每步最多2阶，可以选择的方式共有________种．( ) A．3 B．4 C．5 D．6[答案] C[解析] 将四级台阶从下到上依次编号为1,2,3,4，登上台阶的方式为①1―→2―→3―→4，②1―→2―→4，③1―→3―→4，④2―→3―→4，⑤2―→4.其中1―→3―→4表示第一步上第一阶，第二步上第三阶，第三步上第四阶，其余类推．∴选C.11．以下程序运行后输出结果为( )INPUT “输入正整数a，b＝”；a，bt＝a*bWHILE a< >bIF a>＝b THENa＝a－bELSE b＝b－aEND IFWENDm＝t/aPRINT mEND(程序运行时，从键盘输入a＝18，b＝30.)A．6 B．90 C．540 D．15[答案] B[解析] 这是求从键盘输入的两个正整数a，b的最小公倍数的程序，程序先求a与b 的积t和用等值算法求a，b的最大公约数，最后用t与最大公约数的商即m表示两数的最小公倍数并输出，选B.12．运行以下程序输出结果为( )s＝0T＝0i＝1DOT＝T＋is＝s＋Ti＝i＋1LOOP UNTIL i>10PRINT sENDA．55 B．165 C．220 D．12[答案] C[解析] 这是由循环语句构成的程序，由UNTIL语句的定义可知，i的初值为1，步长为1，终值为10.第一次循环后(i＝1)：T＝1，S＝1，i＝2，第二次循环后(i＝2)：T＝1＋2，S＝1＋(1＋2)，i＝3.依次类推．可知当i ＝10时，S ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋3＋…＋10)＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220，i ＝11跳出循环输出S 的值220.∴选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．某算法程序语句如下： INPUT x IF x <0 THENy ＝1/(x *x )ELSEy ＝x ^2－3] .[答案] －12或4[解析] 依题意，x <0时，1x 2＝4，∴x ＝－12，x ≥0时，x 2－3x ＝4，∴x ＝4.综上所述x ＝－12或4.14．(08·山东理)执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.[答案] 4[解析] 由程序框图知，S ＝12＋122＋123＋…＋12n －1，因为控制循环的条件为S <0.8，不满足此条件时跳出循环，∴S ＝12＋122＋123＝0.875>0.8，跳出时n －1＝3，∴n ＝4.15．根据学过的进位制原理填空(十进制不必加注右下脚的下标) (1)101101(2)＝________(化为十进制) (2)55(8)＝________(化为十进制) (3)127＝________(化为三进制) (4)1620(7)＝________(化为二进制)[答案] (1)45 (2)45 (3)11201(3)(4)1010001011(2)[解析] (1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45.(2)55(8)＝5×8＋5＝45.(3)127＝3×42＋1,42＝3×14＋0,14＝3×4＋2，4＝3×1＋1，1＝3×0＋1，∴127＝11201(3)．也可用竖式：(4)1620(7)＝1×73＋6×72＋2×7＋0＝651，651＝1010001011(2)，∴1620(7)＝1010001011(2)．16．如图是输出4000以内(包括4000)的能被3和5整除的所有正整数的算法流程图，则(1)处应填________．[答案] a＝15i[解析] 能被3和5整除的正整数为15的倍数，∴a＝15i，又266×15<4000<267×15，∴(1)处填a＝15i.[点评] 此题若将条件改为“能被3或5整除的所有正整数”其它不变，则程序框图应变为：三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)某次数学考试中，其中一小组的成绩为：55 89 69 73 81 56 90 74 82设计一个算法，用自然语言描述从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出程序框图．[解析] S1输入一个数m与“75”比较，如果m小于75，则输出m.S2如果序列中还有其他数，重复S1.S3在序列中一直到没有可比的数为止．18．(本题满分12分)平面上一条直线将平面分成2块，2条直线最多可以将平面分成4块，设n条直线最多可以将平面分成f n块，可以证明f n满足关系式f n＋1＝f n＋n＋1 (n≥1)，写出应用此关系式求f10的程序．[解析] 由题意可知f1＝2，f2＝4，据递推关系式f n＋1＝f n＋n＋1(n≥1)可以递推出f3＝7，f4…….故可用循环语句来完成程序．用变量x表示f n，初值x＝f1，输出值x＝f10，即f9＋9＋1，故控制循环的变量n，初值为1，步长1，终值为9.程序为：x＝2n＝1DOx＝x＋n＋1n＝n＋1LOOP UNTIL n>9PRINT xEND19．(本题满分12分)幼儿园的一个班共有30个儿童，现投资550元，计划给每个儿童买一个玩具，已知大玩具每个20元，小玩具每个15元，问大、小玩具各买多少个？编制程序，输出可能的购买方案．[解析] 设买大、小玩具各x个、y个，则x＋y＝30,20x＋15y＝550，故y＝30－x，判断条件为20x＋15y＝550，易知0≤x≤27，程序如下：x＝0DOy＝30－xP＝20]20．(本题满分12分)一个班有m个学生，试编一个程序、计算全班每个学生数学考核的学年平均分，其中，学年平均分的计算方法为期中考试占32%，期末考试占48%，平时作业及其它考核占20%，画出程序框图．[解析] 设学生期中、期末考试和平时考核成绩分别为x，y，z，学年平均分为w.程序如下：S1n＝mS2输入x，y，zS3w＝0.32x＋0.48y＋0.2zS4输出wS5n＝n－1S6如果n≤0，则执行S7，否则执行S2.S7结束．21．(本题满分12分)已知函数y ＝⎩⎨⎧x 3＋1(x <－1)5x ＋4(x >－1)|x |＋3(x ＝－1)，编写程序求函数值．[解析] 程序为 INPUT “x ＝”；x IF x <－1 THENy ＝x ^3＋1ELSEIF x >－1 THENy ＝SQR(5]22．(本题满分14分)给出30个数：1,2,4,7,11，…，其规律是：第一个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示．(1)请在图中的①和②处填上合适的语句，使之能完成该题的算法功能； (2)根据程序框图写出程序语句．[解析] (1)该算法使用了当型循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i 的，故i ≤30？.算法中的变量p 表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i ＋1个数比第i 个数大i ，故应有p ＝p ＋i ，故①处应填i ≤30？，②处应填p ＝p ＋i .(2)程序如下．i ＝1 p ＝1 s ＝0WHILE i <＝30 s ＝s ＋p p ＝p ＋ii＝i＋1WENDPRINT sEND用心爱心专心11。
【成才之路】高中数学 第1章 统计综合能力测试 北师大版必修3
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计综合能力测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2014年的世界无烟日(5月31日)之前，小华学习小组为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是( )A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟[答案] B[解析] 调查方式显然是抽样调查，∴A错误．样本是这100个成年人．∴C也错误，显然D不正确．故选B.2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )A．2 B．3C．5 D．13[答案] C[解析] 各层次之比为30∶75∶195＝2∶5∶13，所抽取的中型商店数是20×52＋5＋13＝5.3．下列问题，最适合用简单随机抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩. 现抽取农田480亩估计全乡农田某种作物的平均亩产量[答案] B[解析] A项的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B项的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C项由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，不宜采用简单随机抽样法；D项的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．4．一个容量为50的样本数据，分组后，组距与频数如下：[12.5,15.5)，2；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，6；[30.5,33.5)，4.根据分组情况估计小于30.5的数据占( ) A．18% B．30%C．60% D．92%[答案] D[解析] (2＋8＋9＋11＋10＋6)÷50＝92%.5．如图所示的是2004年至2013年某省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2004年至2013年此省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )291158302 6310247A.304.6 B．303.6C．302.6 D．301.6[答案] B[解析]由茎叶图得到2004年至2013年城镇居民百户家庭人口数为：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，所以平均数为291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝3 03610＝303.6.6．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72[答案] B[解析] 频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率，故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.7．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题主要考查线性相关及回归方程．D 选项断定其体重必为58.79kg 不正确．注意回归方程只能说“约”“大体”而不能说“一定”“必”．8．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h 的约有( )A ．100辆B ．200辆C ．300辆D ．400辆[答案] C[解析] 由题图可知汽车中车速在[60,90)的频率为10×(0.01＋0.02＋0.04)＝0.7， ∴在[90,110]的频率为(1－0.7)＝0.3.∴车速不小于90 km/h 的汽车数量约为0.3×1 000＝300辆． 9．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 [答案] A[解析] 本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.10．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( )A ．s 甲<s 乙<s 丙B ．s 甲<s 丙<s 乙C ．s 乙<s 甲<s 丙D ．s 丙<s 甲<s 乙[答案] D[解析] 由频率分布条形图可得甲，乙，丙三名运动员的平均成绩分别为 x －甲＝0.25×(7＋8＋9＋10)＝8.5；x －乙＝0.3×7＋8×0.2＋9×0.2＋10×0.3＝8.5； x －丙＝0.2×7＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5，s 2甲＝0.25×(1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝1.25；s 2乙＝0.3×1.52＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45； s 2丙＝0.2×1.52＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，∴s 丙<s 甲<s 乙．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．一个容量为40的样本，共分成6组，第1～4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率是0.10，则第6组的频率是________．[答案] 0.20[解析] 第5组的频数为40×0.10＝4，第6组的频数为40－(10＋5＋7＋6＋4)＝8，则频率为840＝0.20.12.如图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，821少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．[答案] 91[解析] 不少于1万元的占700万元的21%，金额为700×21%＝147万元，1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占1321，金额为1321×147＝91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．13．(2014·江苏，6)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．14．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.0 8 9 1 0 3 5(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.15．已知x 、y 的取值如下表：从散点图分析，y 与x x ＋a ，则a ＝________. [答案] 2.6 [解析] x ＝0＋1＋3＋44＝2， y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝184＝92.∵(x ，y )在直线y ＝0.95x ＋a 上， ∴92＝0.95×2＋a ，解得a ＝2.6. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)在同等条件下，对30辆同一型号的汽车进行耗油1升所行走路程的试验，得到如下数据(单位：km)：14．1 12.3 13.7 14.0 12.8 12.9 13.1 13．6 14.4 13.8 12.6 13.8 12.6 13.2 13．3 14.2 13.9 12.7 13.0 13.2 13.5 13．6 13.4 13.6 12.1 12.5 13.1 13.5 13．2 13.4以前两位数为茎画出上面数据的茎叶图(只有单侧有数据)，并找出中位数．[解析] 茎叶图如图所示.1213566789130112223445566 6 788914012 4中位数为13.35.17．(本小题满分12分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女人数如下表：(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？[解析] (1)由题设可知x3000＝0.17，所以x＝510.(2)高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：3003000×990＝99名．答：(1)高二年级有510名女生；(2)在高三年级抽取99名学生．18．(本小题满分12分)(2014·全国新课标Ⅱ文，19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解析] (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．19．(本小题满分12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验这两台机床加工的零件的质量，从这两台机床加工的零件中各随机抽取6件进行测量，测量直径数据如下：(单位：mm)甲：99,100,98,100,100,103 乙：99,100,102,99,100,100(2)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． [解析] (1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)因为s 2甲>s 2乙，说明甲机床加工的零件的直径波动比较大，因此乙机床加工的零件更符合要求．20．(本小题满分13分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．21．(本小题满分14分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？ (2)随机抽出8位，他们的数学、物理分数对应如下表：分数均为优秀的概率是多少？2°根据上述数据，用变量y 与x 的散点图说明物理成绩y 与数学成绩x 之间的线性回归线方程(系数精确到0.01)．参考公式：b ＝∑i ＝1nx i －x－y i －y∑i ＝1nx 21－x －2，a ＝y －－b x －回归线直线方程是y ＝bx ＋a . 参考数据：x －＝77.5，y －＝84.875.∑i ＝18(x 1－x )2＝1050，∑i ＝18(y 1－y －)2≈457，∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)≈688，1050≈32.4，457＝21.4，550≈23.5.[解析] (1)应选女生25×840＝5位，男生15×840＝3位．(2)1°由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，故所求概率是38.2°数学成绩x 为横坐标，物理成绩为纵坐标作散点图如下：从散点图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近．故物理与数学成绩相关． 设y 与x 的线性回归方程是y ＝bx ＋a ， 根据所给的数据，可以计算出b ≈6881050≈0.66， a ＝84.875－0.66×77.5≈33.73，所以y 与x 的回归方程是y ≈0.66x ＋33.73.。
【成才之路】高中数学 综合素质检测 新人教A版选修1-2
选修1－2综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q>1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 8[答案] A[解析] 在等差数列{a n }中， 由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7， 所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7， 所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7，选A .2．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)[答案] D[解析] (1)为函数关系，(4)关系很不明显．3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解[答案] C4．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n (n∈N *)，猜想a n 等于( )A ．2cos θ2nB ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵0<θ<π2，∴a 2＝2＋2cos θ＝2cos θ2.a 3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a 4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8.于是猜想a n ＝2cos θ2n －1.5．(2010·福建文，6)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] 本题主要考查框图等知识． S ＝0 i ＝0a ＝1·21＝2S ＝2 i ＝2a ＝2·22＝8S ＝10 i ＝3a ＝3·23＝24S ＝34 i ＝4 ∵S ＝34>11所以输出的i 值等于4.6．在复平面内的▱ABCD 中，点A ，B ，C 分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i ，则点D 对应的复数是( )A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i[答案] C[解析] 由题意知BC →＝AD →且BC →对应的复数为－9i ，设D 点对应的复数为x ＋yi (x ，y ∈R )，则x －4＋(y －1)i ＝－9i ，所以x ＝4，y ＝－8.7．(2010·浙江理，5)对任意复数z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z －|＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z －|≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |[答案] D[解析] z ＝x ＋yi ，z ＝x －yi ，有|z －z |＝2x ，而|z |＝x 2＋y 2，则|z |2＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2≤x 2＋y 2＋2|x |·|y |，故选D.8．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑nk ＝1a k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足．．．( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1 [答案] A[解析] S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .B 、D 可以验证是正确的．9．观察两相关变量得如下数据：A.y ^＝12x ＋1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋13D.y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 回归直线过(x ，y )验证即得．10．一等差数列的前n 项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n 的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80.得4(a 1＋a n )＝120，所以a 1＋a n ＝30. 所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×302＝210.n ＝14.∴选B.11．(2010·陕西文，2)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] 本题考查复数的除法运算．z ＝i 1＋i ＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i 1－i 2＝12＋i 2，故复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 12．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定[答案] B[解析] 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意，∴选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知回归直线方程y ^＝0.6x －0.71，则当x ＝25时，y 的估计值是________． [答案] 14.29[解析] 当x ＝25时，y ^＝0.6×25－0.71＝14.29.14．观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出________________[答案] 1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1(n ∈N *) 15．(2010·安徽理，14)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.[答案] 12[解析] x ＝1→x ＝2→x ＝4→x ＝5→x ＝6→x ＝8→x ＝9→x ＝10→x ＝12. 16．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a 、b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a 、b 、c 、d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出；“若a 、b 、c 、d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a 、b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a 、b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”． 其中类比结论正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)． [答案] ①②三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解析] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i ，∵z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ， ∴(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－(a ＋2)＝1解得：a ＝－3，b ＝4.∴a ＝－3，b ＝4.18．(本题满分12分)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.[证明] 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，∴两边均大于0. ∴只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22.只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2只需证a 2＋1a2≥2，而这显然是成立的．∴原不等式成立．19．某报对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表看法性别赞同 反对 合计 男 198 217 415 女 476 107 585 合计6743261000[解析] 可以求得K 2＝1000×(198×109－217×476)2674×326×585×415≈125.161由K 2≈125.161＞6.635因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．20．(本题满分12分)如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)平面上在任意三角形DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面的面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式．[解析] (1)证明：因为CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，又因为PM ∩PN ＝P ，所以CC 1⊥平面PMN ，而MN ⊂平面PMN ，从而CC 1⊥MN .(2)解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2四边形AA 1C 1C ＝S 2四边形AA 1B 1B ＋S 2四边形CC 1B 1B －2S 四边形AA 1B 1B ·S 四边形CC 1B 1B cos α，其中α是侧面AA 1B 1B 与侧面CC 1B 1B 所成的二面角的平面角．21．(本题满分12分)若α，β均为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.[证明] 假设α＋β≠π2，则α＋β>π2或α＋β<π2.若α＋β>π2，由于α，β均为锐角，所以0<π2－β<α<π2，所以0<sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－β<sin α，即0<cos β<sin α，所以cos βsin α<1.同理，可得0<cos α<sin β，所以cos αsin β<1.故cos αsin β＋cos βsin α<2，与已知矛盾． 同理，若α＋β<π2，得cos αsin β＋cos βsin α>2，也与已知矛盾．综上可知，假设不成立．故α＋β＝π2.[点拨] 对于三角恒等式的证明，通常都会从条件出发利用三角变换最后产生结论．本题根据题目特点，发现使用反证法来证明比较简捷．本题的证明关键是否定结论后的分类，必须做到既不重复也不遗漏．22．(本题满分14分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．[解析] 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋sin(30°＋2α)－sin30°2＝1＋cos(60°＋2α)－cos2α2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝1＋－2sin(30°＋2α)sin30°2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.。
【成才之路】高中数学-1
2．描点法：在要求不太高的情况下可用五点法作图，函数 y ＝ sinx ， x ∈ [0,2π] 的 图 象 上 有 五 点 起 决 定 作 用 ， 它 们 是 _(_0_,0_)____、__π2_，__1_____、_(_π_, _0_)___、__32_π_，__－__1__、_(2_π_,_0_)___，
[点评] 讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性的一般步骤: (1)若ω<0，利用诱导公式二把y＝Asin(ωx＋φ)中x的系数化 为大于0的数； (2)引入变量u＝ωx＋φ(ω>0)； (3)讨论函数y＝sin u的单调性； (4)解关于x的不等式得出y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．
下列关系式中正确的是( ) A. sin11°<cos10°<sin168° B. sin168°<sin11°<cos10° C. sin11°<sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11° [答案] C
(2)cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°, cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°, ∵sin10°<sin25°, ∴－sin10°>－sin25°, 即cos260°>cos115°. (3)sin194°＝－sin14°, cos160°＝－cos20°＝－sin70°, ∵sin14°<sin70°, ∴－sin14°>－sin70°, ∴sin194°>cos160°.
3．下列函数不是奇函数的是( )
A．y＝sinx
B．y＝sin2x
C．y＝sinx＋2
D．y＝12sinx
【成才之路】高中数学第1章综合素能检测练习新人教A版必修1
第一章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。
满分150 分。
考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷 ( 选择题共60分)一、选择题 ( 本大题共 12 个小题，每题5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。
)1．已知会合 A ＝ {0,1,2,3,4,5} ， B ＝ {1,3,6,9} ，C ＝ {3,7,8} ，则 ( A ∩B ) ∪C 等于()A ．{0,1,2,6,8}B ． {3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ． {1,3,6,7,8}[ 答案] C[ 分析]A ∩B ＝ {1,3} ， ( A ∩ B ) ∪C ＝ {1,3,7,8} ，应选 C.2．(09 ·陕西文 ) 定义在 R 上的偶函数f ( x ) 知足：对随意的x 1， x 2∈[0 ，＋∞ )( 1≠ 2) ，x xf ( x 2) －f ( x 1)有<0，则 ()x －x12A ．f (3)< f ( － 2)< f (1)B ．f (1)< f ( －2)< f (3)C ．f ( － 2)< f (1)< f (3)D ．f (3)< f (1)< f ( － 2)[ 答案] A[ 分析]若 x 2－ 1>0，则 f ( x 2) － ( 1)<0 ，xf x即 f ( x 2)< f ( x 1) ，∴ f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上是减函数，∵3>2>1，∴ f (3)< f (2)< f (1) ，又 f ( x ) 是偶函数，∴ f ( － 2) ＝f (2) ，∴ f (3)< f ( －2)< f (1) ，应选 A.3．已知 f ( x ) ， g ( x ) 对应值如表 .x0 1 －1f ( x )1－ 1x0 1 － 1 ( )－ 11g x则 f ( (1)) 的值为 ()gA ．－ 1B ． 0C ．1D ．不存在[ 答案 ] C[ 分析]∵ (1) ＝0， (0) ＝ 1，∴ f ( g (1)) ＝ 1.g f4 ．已知函数 f ( x ＋ 1) ＝ 3x ＋ 2，则 f ( x ) 的分析式是 ()A ．3x ＋ 2B ． 3x ＋1C ．3x － 1D ． 3x ＋4[答案]C[ 分析 ]设 x ＋ 1＝ t ，则 x ＝ t －1，∴ f ( t ) ＝ 3( t － 1) ＋ 2＝ 3t － 1，∴ f ( x ) ＝ 3x － 1.2x － 1 ( x ≥2)5 ．已知 f ( x ) ＝ － x 2＋3x ( x <2) ，则 f ( － 1) ＋ f (4) 的值为 ()A ．－ 7B ． 3C ．－ 8D ． 4[ 答案] B[ 分析] f (4) ＝2×4－ 1＝ 7， f ( － 1) ＝－ ( － 1) 2＋3×( － 1) ＝－ 4，∴ f (4) ＋ f ( － 1) ＝ 3，应选 B.6．f ( x ) ＝－ x 2＋ mx 在 ( －∞， 1] 上是增函数，则 m 的取值范围是 ( )A ．{2}B ． ( －∞， 2]C ．[2 ，＋∞ )D ． ( －∞， 1][ 答案]Cm 22m mm[ 分析] f ( x ) ＝－ ( x －2) ＋ 4 的增区间为 ( －∞， 2] ，由条件知 2≥1，∴ m ≥2，应选 C. 7．定义会合 A 、 B 的运算 A * B ＝{ x | x ∈ A ，或 x ∈ B ，且 x ?A ∩ B } ，则 ( A * B )* A 等于 ( )A ． ∩B ． ∪A BA B C ．AD ． B[ 答案] D[ 分析]* 的实质就是会合A 与B 的并集中除掉它们的公共元素A B后，节余元素构成的会合．所以 ( A * B )* A 是图中暗影部分与 A 的并集，除掉 A 中暗影部分后剩余部分即 B ，应选 D.[ 评论 ]可取特别会合求解．如取A ＝ {1,2,3}， B ＝{1,5}，则A *B ＝ {2,3,5}，( A * B )*A ＝ {1,5}＝B .8．( 广东梅县东山中学2020～ 2020高一期末) 定义两种运算：ab ＝a 2－b 2， a ?b ＝( a －b ) 2，则函数f ( x ) ＝为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数[ 答案] A[ 分析] 由运算与 ?的定义知，f ( x)＝4－x2 ，( x－ 2) 2－ 2∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，4－x 2 4－x2∴f ( x)＝(2－x)－2＝－x ，∴f( x)的定义域为{ x|－2≤ x<0或0<x≤2}，又 f (－ x)＝－ f ( x)，∴ f ( x)为奇函数．9．(08 ·天津文 ) 已知函数x＋2，x≤0，f ( x)≥ x2的解集为f ( x)＝则不等式－ x＋2，x>0，()A．[ － 1,1] B．[ － 2,2]C．[ － 2,1] D．[ － 1,2][ 答案] A[ 分析] 解法 1：当x＝ 2 时，f ( x) ＝ 0，f ( x) ≥x2不建立，清除 B、D；当x＝－ 2 时，f ( x) ＝ 0，也不知足 f ( x)≥ x2，清除C，应选 A.解法 2：不等式化为x≤0x>0x＋2≥ x2或－ x＋2≥ x2 ，解之得，－ 1≤x≤0或 0<x≤1，即－ 1≤x≤1.10．检查了某校高一一班的50 名学生参加课外活动小组的状况，有32 人参加了数学兴趣小组，有27 人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，以下说法正确的选项是( )A．最多 32 人B．最多 13 人C．最少 27 人D．最少 9 人[ 答案] D[ 分析] ∵27＋ 32－ 50＝ 9，故两项兴趣小组都参加的至多有27 人，起码有9 人．11．设函数f (x)(x∈ ) 为奇函数，f(1) ＝1，f(x＋2) ＝(x) ＋(2) ，则f(5) ＝ ()R 2 f fA ．0B ． 15C. 2D ． 5[ 答案]C1 1[ 分析]f (1) ＝ f ( － 1＋ 2) ＝ f ( － 1) ＋ f (2) ＝ 2，又 f ( － 1) ＝－ f (1) ＝－ 2，∴ f (2) ＝ 1，∴ f (5) ＝ (3) ＋ (2) ＝ (1) ＋2 (2) ＝5.f f f f 212．已知 f ( x ) ＝3－2| x | ， ( x ) ＝ x 2 －2，(g ( x ) ，若 f ( x ) ≥ g ( x ) ， ( ) 的最) ＝则g x F xF xf ( x ) ，若 f ( x )<g ( x ).值是()A ．最大值为 3，最小值－ 1B ．最大值为 7－ 2 7，无最小值C ．最大值为 3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值[ 答案] B[ 分析]作出 F ( x ) 的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，应选 B.第Ⅱ卷 ( 非选择题 共 90 分 )二、填空题 ( 本大题共4 个小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13． (2020 ·江苏， 1) 设会合 ＝ { － 1,1,3} ， ＝{ a ＋2， 2＋4} ， ∩ ＝{3} ，则实数aABa A B＝ ________.[ 答案] －1[ 分析]∵ ∩ ＝{3} ，∴3∈ ，A BB∵a 2＋4≥4，∴ a ＋ 2＝ 3，∴ a ＝－ 1.14．已知函数 y ＝ f ( n ) 知足 f ( n ) ＝ 2( n ＝ 1)，则 f (3) ＝ ________.3 ( －1) (n ≥2)f n[ 答案] 18[ 分析] 由条件知， f (1) ＝ 2，f (2) ＝ 3f (1) ＝ 6，f (3) ＝ 3f (2) ＝ 18.15．已知函数 f ( x)＝2－ax ( a≠0) 在区间[0,1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是________．[ 答案] (0,2][ 分析] a<0时， f ( x)在定义域上是增函数，不合题意，∴a>0.2由 2－ax≥0得，x≤a，2∴f ( x)在(－∞，a]上是减函数，2由条件a≥1，∴ 0< a≤2.16．国家规定个人稿费的纳税方法是：不超出800 元的不纳税；超出800 元而不超出4000 元的按超出800 元的14%纳税；超出4000 元的按所有稿酬的11%纳税．某人第一版了一本书，共纳税420 元，则这个人的稿费为________．[ 答案] 3800 元[ 分析] 因为4000×11%＝440>420，设稿费x 元， x<4000，则( x－800)×14%＝420，∴x＝3800(元)．三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． ( 此题满分12 分 ) 设会合A＝ { x| a≤x≤a＋ 3} ，会合B＝{ x| x<－1 或x>5} ，分别就下列条件务实数 a 的取值范围：(1)A∩ B≠?，(2) A∩ B＝ A.[ 分析 ] (1) 因为A∩B≠ ?，所以a<－ 1 或a＋ 3>5，即a<－ 1 或a>2.(2)因为 A∩B＝ A，所以 A? B，所以 a>5或 a＋3<－1，即 a>5或 a<－4.18． ( 此题满分 12 分 ) 二次函数f ( x) 的最小值为 1，且f (0) ＝f (2) ＝3.(1)求 f ( x)的分析式；(2) 若 f ( x)在区间[2 a， a＋1]上不但一，求 a 的取值范围．[ 分析] (1) ∵f ( x) 为二次函数且f (0) ＝f (2) ，∴对称轴为 x＝1.又∵ f ( x)最小值为1，∴可设 f ( x)＝ a( x－1)2 ＋ 1 ( a>0)∵f (0) ＝ 3，∴a＝ 2，∴f ( x) ＝ 2( x－ 1) 2＋1，即f (x)＝2 2 －4 ＋3.x x1(2)由条件知 2a<1<a＋1，∴ 0<a< .219．( 此题满分12 分 ) 图中给出了奇函数f (x) 的局部图象，已知f( ) 的定义域为 [ － 5,5] ，x试补全其图象，并比较f (1) 与 f (3) 的大小．[ 分析 ] 奇函数的图象对于原点对称，可画出其图象如图．显见 f (3)> f (1) ．20． ( 此题满分 12 分 ) 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为 40cm 与 60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问如何剪法，才能使剩下的残料最少？[ 分析] 如图，剪出的矩形为 CDEF ，设 CD ＝ x ， CF ＝ y ，则 AF ＝ 40－ y .∵△ AFE ∽△ ACB .AF FE 40－ y x∴ ＝ 即∴40＝AC BC602∴y ＝ 40－ 3x . 剩下的残料面积为：1 S ＝2×60×40－2 2 x · y ＝ 3x － 40x ＋1 20022＝3( x － 30) ＋600∵0<x <60∴当x ＝ 30 时， S 取最小值为600，这时y ＝ 20.∴在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD ＝ 30cm ，在边长为 40cm 的直角边 AC 上截 CF ＝ 20cm 时，能使所剩残料最少．21． ( 此题满分 12 分 )a(1) 若 a <0，议论函数 f ( x ) ＝ x ＋x，在其定义域上的单一性；a(2) 若 a >0，判断并证明 f ( x ) ＝ x ＋ x 在(0 ， a ] 上的单一性．[ 分析 ] (1) ∵ <0，∴y＝ a在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上都是增函数，axa又 y ＝ x 为增函数，∴ f ( x ) ＝ x ＋x 在 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) 上都是增函数．(2) f ( x) ＝ ＋a在(0 ，] 上单一减，xxa设 0<x1<x2≤a，则f ( x1) －f ( x2)a a ( －x )a x 2 1 ＝( x1＋x1) － ( x2＋x2) ＝ ( x1－x2) ＋x1x2＝( x1 － x2 )(1 －a)>0 ，x1x 2∴( x)> f ( x ) ，∴f ( x)在(0，] 上单一减．1 2 a22． ( 此题满分14 分 ) 设函数f ( x) ＝ | x－a| ，g( x) ＝ax.(1)当 a＝2时，解对于 x 的不等式 f ( x)< g( x)．(2)记 F( x)＝f ( x)－ g( x)，求函数 F( x)在(0， a]上的最小值( a>0)．[ 分析 ] (1)| x－ 2|<2 x，则x≥2，x<2，或x－2<2x.2－x<2x.∴≥2或2< <2.即x2 3> .x x 3(2)F( x)＝| x－ a|－ ax，∵0< x≤a，∴F( x)＝－( a＋1) x＋a.∵－( a＋1)<0，∴函数 F( x)在(0， a]上是单一减函数，∴当x＝ a 时，函数 F( x)获得最小值为－a2.。
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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一、二章 统计 算法初步综合能力测试 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·四川文，2)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本 [答案] A[解析] 本题考查了抽样中的相关概念.5000名居民的阅读时间的全体叫作总体．C 中样本容量是200，D 中样本为200名居民的阅读时间．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101 B.808 C ．1 212 D.2 012[答案] B[解析] 本题考查了分层抽样知识． 由题意得，96N＝1212＋21＋25＋43，解得N ＝808.解决本题的关键是分清各层次的比例，属基础题，难度较小．3．(2015·湖南理，3)执行如图1所示的程序框图．如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.67B.37C.89D.49[答案] B[解析] 由题意得，输出的S 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n －n ＋的前三项和，而1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1⇒S 3＝37，故选B. 4．用二分法求方程x 2－2＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( ) A ．顺序结构 B.条件结构 C ．循环结构 D.以上都用[答案] D[解析] 任何一个算法都有顺序结构，循环结构一定包含条件结构，二分法用到循环结构．5．一个单位职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )A ．12,24,15,9 B.9,12,12,7 C ．8,15,12,5 D.8,16,10,6[答案] D[解析] 本题考查分层抽样的概念和应用，利用分层抽样抽取人数时，首先应计算抽样比．从各层中依次抽取的人数分别是40×160800＝8,40×320800＝16,40×200800＝10,40×120800＝6.6．有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下： [12.5,15.5) 3, [24.5,27.5) 10， [15.5,18.5) 8, [27.5,30.5) 5， [18.5,21.5) 9, [30.5,33.5) 4. [21.5,24.5) 11，则数据落在[15.5,24.5)的频率是( ) A ．0.44 B.0.51 C ．0.52 D.0.56[答案] D[解析] [15.5,24.5)的频数应该是8＋9＋11＝28，所以频率是28÷50＝0.56，故选D.7．阅读下图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是()A ．1 B.2 C ．3 D.4[答案] D[解析] 输入S ＝2，n ＝1； 当n ＝1时，S ＝11－2＝－1； 当n ＝2时，S ＝11－－＝12； 当n ＝3时，S ＝11－12＝2，n ＝4； 答合条件，故输出4.8．设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 [答案] A[解析] 本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x 甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x 乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.9．执行如图所示的算法流程图，输出的s 值为( )A ．－3 B.－12C.13D.2[答案] D[解析] 由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.10．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图所示．根据此图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5)内的学生人数是( )A ．20 B.30 C ．40 D.50[答案] C[解析] 体重在[56.5,64.5)内的学生人数是100×(0.07＋2×0.05＋0.03)×2＝40，故选C.11．若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －＝2，则输出的数等于( )A ．1 B.2 C.13 D.23[答案] D[解析] 通过框图可以看出本题的实质是求数据x 1，x 2，x 3的方差，根据方差公式，得S ＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23.12．①某小区有4000人，其中少年人、中年人、老年人的比例为1∶2∶4，为了了解他们的体质情况，要从中抽取一个容量为200的样本；②从全班45名同学中选5人参加校委会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是( ) A ．①Ⅲ，②Ⅰ B.①Ⅰ，②Ⅱ C ．①Ⅱ，②ⅢD.①Ⅲ，②Ⅱ[答案] A[解析]因为①中的总体是由层次明显的几部分组成，故适宜用分层抽样方法，②中总体容量和样本容量都比较小，适宜用简单随机抽样的方法．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．由赋值语句a＝10；b＝20；c＝30；a＝b；b＝c；c＝a；输出a，b，c.描述的算法的输出结果为__________．[答案]20 30 20[解析]由b＝20及a＝b知a＝20，由c＝30及b＝c知b＝30，由c＝a及a＝20知c ＝20，故最后输出结果为a＝20，b＝30，c＝20.注意赋值语句的意义是将赋值符号右边表达式(或变量)的值赋给赋值符号左端的变量．14．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4,5)上的数据的频数为________．[答案]30[解析]本小题主要考查频率分布直方图．频数n＝(1－0.05－0.10－0.15－0.40)×100＝30.15．阅读下边的算法流程图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写________．[答案]i<6[解析]由s＝2，i＝1，s＝2－1＝1，i＝3，s＝1－3＝－2，i＝5，s＝－2－5＝－7，i＝7.可知应填i<6.16.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图所示：甲乙9881779961022567995320302 3710 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下面四个结论中，正确的是________(填序号)．①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均数④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定[答案]①②③[解析]对①，甲运动员得分的极差为29，而乙运动员得分的极差为16，故①正确；对②，甲得分的中位数为30，而乙得分的中位数为26，故②正确；对③，由茎叶图知甲的平均值大于乙的平均值，故③正确；对④，从茎叶图中知乙更稳定，④错误．故选①②③.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用循环结构流程图描述求1×2×3×4×5的值的算法．[解析] 流程图如下图所示：18．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．19．(本小题满分12分)某文艺晚会由乐队18人，歌舞队12人，曲艺队6人组成，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法来抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要剔除一个个体，求样本容量n .[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36(人)．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取曲艺队的人数为n 36×6＝n 6(人)，歌舞队的人数为n 36×12＝n 3(人)，乐队的人数为n 36×18＝n2(人)．所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18,36. 当样本容量为(n ＋1)时，总体容量为35人，系统抽样的间隔为35n ＋1. 因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量应该是n ＝6. 20．(本小题满分12分)根据下面提供的程序框图，完成问题．(1)若输入四个数，5,3,7,2，则最终输出的结果是什么？ (2)你能说出该框图实现了一个什么样的算法吗？ [解析] (1)最终输出结果是2.(2)实现的算法是：求a ，b ，c ，d 四个数中的最小数．第一个判断框中a <b ，a <c ，a <d 如果同时成立，那么a 为四个数中的最小数，否则a 不是最小的，那么最小数在b ，c ，d 中．第二个判断框b <c ，b <d 如果同时成立，则b 为最小数，依次类推，所以本题实质是求a ，b ，c ，d 四个数中最小的数．21．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．[解析] (1)作出茎叶图如下．(2)派甲参赛比较合适，理由如下：x 甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋8＋9＋1＋2＋4＋8＋3＋5)＝85， x 乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋0＋0＋3＋5＋0＋2＋5)＝85，s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．22．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，、________、________； (2)画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数(用组中值进行估计)，并估计总体落在[129,155]中的频率．[解析] (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.100；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1.(2)求出各组的频率/组距(f iΔx i)，从上往下依次为0.0025，11 0.005,0.020,0.030,0.0275,0.010,0.005，频率分布直方图如图．(3)利用组中值算得平均数为90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315. 故总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315.。