【精品】2018年全国高考数学试题分类汇编★答案 第七篇 不等式、推理与证明
2018全国各地高考数学试题汇编(附答案解析)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（XX 卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．[答案]{1，8}2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． [答案]23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．[答案]904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ ．[答案]85．函数2()log 1f x x -的定义域为 ▲ ．[答案][)∞+，26．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． [答案]1037．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． [答案]6-π8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． [答案]29．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤ 则((15))f f 的值为 ▲ ．[答案]22 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．[答案]34 11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． [答案]-312．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． [答案]313．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．[答案]914．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． [答案]2715．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．[答案]16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值． [答案]17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．△的面积，并确定sinθ的取值X围；（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[答案]18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 与圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程．[答案]19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，XX 数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．[答案]20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值X 围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值X 围（用1,,b m q 表示）． [答案]2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的XX、XX号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2018年高考真题全国卷分类汇编(含答案)
2018年高考真题全国卷分类汇编（含答案）集合1.（全国1理）已知集合，则=A C R（ ）A ．B ．C ．D ．解答：或，则.选B2．（全国1文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （ ） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 解答：，选A.3．（全国2理）已知集合，则中元素的个数为 （ ）A ．9B ．8C ．5D ．4解答：，，，，，， 当时，，，；当时，，，；当时，，，；所以共有9个，选A ．4.（全国2文）已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．解答：，，，选C ．5．（全国3理）已知集合，，则（ ） A ． B ．C ．D ． 解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .选C. 6．（全国3文）已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =I .选C.复数1．（全国1文理）设，则（ ） A ． B ． C ． D解答：，∴，∴选C. 2．（全国2理）（ ） A ． B ．C ．D ．解答：，选D ．{}220A x x x =-->{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U {|2A x x =>1}x <-{|12}R C A x x =-≤≤{0,2}A B ⋂=(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，A 223x y +≤Q 23x ∴≤x ∈Z Q 1x ∴=-011x =-1y =-010x =1y =-011x =-1y =-01{}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B =I {}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{}1,3,5,7A =Q {}2,3,4,5B ={}3,5A B ∴=I {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B =I {}0{}1{}12，{}012，，{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B =I {0}{1}{1,2}{0,1,2}1i2i 1i z -=++||z =0121121i z i i i-=+=+1z =12i12i +=-43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+()212i 12i 34i 12i 55++-+==-Q3．（全国2文）（ ）A ．B ．C ．D ．解答：，选D ．4．（全国3文理）（ ）A ．B ．C ．D ． 解答：2(1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D.平面向量1．（全国1文理）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．解答：.2．（全国2文理）已知向量，满足，，则（ ）A ．4B ．3C ．2D ．0 解答：因为，所以选B ．3．（全国3文理）已知向量，，．若，则________．解答：2(4,2)a b +=r r ，∵//(2)c a b +r r r ，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=.函数1．（全国1理）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）解答：∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：要使得与有两个交点，则有即，∴选C.2．（全国1文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，解答：取，则化为，满足，排除； 取，则化为，满足，排除，选.()i 23i +=32i -32i +32i --32i -+()2i 23i 2i 3i 32i +=+=-+()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +ABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r 11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()()222221213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()()g x f x x a =++2()y f x =y x a =--)(x f y x a =--)(x f 1a -≤1a ≥-12x =-1()(1)2f f <-,A B 1x =-(0)(2)f f <-C D3．（全国1文）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．解答：可得，∴，.4．（全国2文理）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）A ．B ．0C ．2D ．50解答：因为是定义域为的奇函数，且， 所以，，，因此， ，，，从而，选C ．5．（全国3理）设，，则（ ）A ．B ．C ．D ．解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b=， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，选B.6．（全国3文）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ） A ． B ． C ． D ．解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.选B.7．（全国3文）已知函数，，则________． 解答：())ln1()f x x x R -=+∈，()())1)1f x f x x x +-=+++22ln(1)22x x =+-+=， ∴()()2f a f a +-=，∴()2f a -=-.导数1．（全国1文理）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．解答：∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.2．（全国2理）曲线在点处的切线方程为__________．解答：，，． 3．（全国2文）曲线在点处的切线方程为__________．解答：由，得，则曲线在点处的切线的斜率为， 则所求切线方程为，即．2log (9)1a +=92a +=7a =-()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-()f x (),-∞+∞()()11f x f x -=+()()11f x f x +=--()()()311f x f x f x ∴+=-+=-4T ∴=()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L ()()()()3142f f f f =-=-Q ，()()()()12340f f f f ∴+++=()()()()22220f f f f =-=-∴=Q ()()()()()1235012f f f f f ++++==L 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ln y x =1x =ln(1)y x =-ln(2)y x =-ln(1)y x =+ln(2)y x =+())1f x x =+()4f a =()f a -=32()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =()f x ()()f x f x -=-1a =3()f x x x =+'(0)1f =y x =2ln(1)y x =+(0,0)21y x '=+Q 2201k ∴==+2y x ∴=2ln y x =(1,0)()2ln y f x x ==()2f x x'=2ln y x =()1,0()12k f ='=()021y x -=-22y x =-4．（全国2文理）函数的图像大致为（ ）解答：，，为奇函数，舍去A ，， 舍去D ；，，，所以舍去C ；选B ．5．（全国3文理）函数的图像大致为（ ）解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为3424()(22y x x x x x '=-+=-+-，则()0f x '>的解集为(,)(0,)22-∞-U ，()f x单调递增区间为(,2-∞-，(0,)2；()0f x '<的解集为(()22-+∞U ，()f x单调递减区间为(,0)2-，)2+∞.结合图象，可知D 选项正确.6.（全国3理）曲线在点处的切线的斜率为，则________． 解答：(1)x xy ae ax e =+，则(0)12f a '=+=-，所以3a =-.()2e e x xf x x --=0x ≠Q ()()2ee xxf x f x x ---==-()f x ∴()11e e 0f -=->Q ∴()()()()()243e e e e 22e 2e xx x x x xx xx x f x xx---+---++='=Q 2x ∴>()0f x '>422y x x =-++()1e xy ax =+()01，2-a =7．（全国1理）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：． 解答：（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增. ②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，即要证() 令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立. 8．（全国1文）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--1()ln f x x a x x =-+221'()x ax f x x-+=-22a -≤≤0∆≤'()0f x ≤()f x (0,)+∞0∆>2a <-2a >210x ax -+=12x x ==2a <-'()f x (0,)+∞2a >0∆>()fx ()fx ()fx )+∞2a ≤()f x (0,)+∞2a >()fx)+∞()fx 210x ax -+=12,x x 2a >1212,1x x a x x +=⋅=120x x <<121x x =1211221211()()ln (ln )f x f x x a x x a x x x -=-+--+21122()(ln ln )x x a x x =-+-12121212()()ln ln 2f x f x x x a x x x x --=-+⋅--1212()()2f x f x a x x -<--1212ln ln 1x x x x -<-1122212ln 0(1)xx x x x x x -+<>-2221212ln 0x x x x x --+∴<-22212ln 0x x x --+>21x >1()2ln (1)g x x x x x=--+>()g x (1,)+∞()(1)0g x g >=1212ln ln 1x x x x -<-1212()()2f x f x a x x -<--解答：（1）定义域为，.∵是极值点，∴，∴.∵在上增，，∴在上增. 又在上减，∴在上增.又， ∴当时，，减；当时，，增.综上，，单调增区间为，单调减区间为.（2）∵，∴当时有，∴. 令，.，同（1）可证在上增，又，∴当时，，减；当时，，增. ∴，∴当时，.9．（全国2理）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．解答：（1）当时，等价于，设函数，则，当时，，所以在单调递减， 而，故当时，，即．（2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．当时，，没有零点； 当时，．当时，；当时，． 在单调递减，在单调递增．故是在的最小值． ①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，()f x (0,)+∞1()xf x ae x '=-2x =()f x (2)0f '=2211022ae a e-=⇒=x e (0,)+∞0a >xae (0,)+∞1x(0,)+∞()f x '(0,)+∞(2)0f '=(0,2)x ∈()0f x '<()f x (2,)x ∈+∞()0f x '>()f x 212a e=(2,)+∞(0,2)0x e ≥1a e ≥11x x x ae e e e-≥⋅=1()ln 1ln 1x x f x ae x e x -=--≥--1()ln 1x g x e x -=--(0,)x ∈+∞11()x g x e x -'=-()g x '(0,)+∞111(1)01g e -'=-=(0,1)x ∈()0g x '<()g x (1,)x ∈+∞()0g x '>()g x 11min ()(1)ln111010g x g e -==--=--=1a e≥()()0f x g x ≥≥2()e x f x ax =-1a =0x ≥()1f x ≥()f x (0,)+∞a 1a =()1f x ≥()21e 10xx -+-≤()()21e 1x g x x -=+-()()()2221e 1e x xg'x x x x --=--+=--1x ≠()0g'x <()g x ()0,+∞()00g =0x ≥()0g x ≤()1f x ≥()21e xh x ax -=-()f x ()0,+∞()h x ()0,+∞0a ≤()0h x >()h x 0a >()()2e xh x ax x -'=-()0,2x ∈()0h'x <()2,x ∈+∞()0h'x >()h x ∴()0,2()2,+∞()2421e ah =-()h x [)0,+∞()20h >2e 4a <()h x ()0,+∞()20h =2e 4a =()h x ()0,+∞()20h <2e 4a >()01h =()h x ()0,2由（1）知，当时，，所以． 故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．10．（全国2文）已知函数．（1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点．解答：（1）当时，，．令解得或当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．（2）由于，所以等价于． 设=，则，仅当时，所以 在单调递增，故至多有一个零点，从而至多有一个零点． 又，，故有一个零点．综上，只有一个零点．11．（全国3理）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求．解答：（1）若0a =时，()(2)ln(1)2(1)f x x x x x =++->-，∴1()ln(1)(2)21fx x x x '=+++-+1ln(1)11x x =++-+. 令1()ln(1)11h x x x =++-+， ∴2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++. ∴当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增， 当10x -<<时，()0h x '<，()h x 在(1,0)-上单调递减. ∴min ()(0)ln1110h x h ==+-=， ∴()0f x '≥恒成立，∴()f x 在(1,)-+∞上单调递增， 又(0)2ln100f =-=，∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.0x >2e x x >()()()33324421616161411110e 2e a a a a a h a a a =-=->-=->()h x ()2,4a ()h x ()0,+∞()f x ()0,+∞2e 4a =()()32113f x x a x x =-++3a =()f x ()f x 3a =()3213333f x x x x --=-()263x x f x -'-=()0f x '=3x =-3x =+(3–,x -∈∞U ()3++∞()0f x '=(3x -∈+()0f x '<()f x (–,3∞-()3++∞(3-+210x x ++>()0f x =32301x a x x -=++()g x 3231x a x x -++()()()22222310x x x x x g x ++++'=≥0x =()0g x '=()g x ()–∞+∞，()g x ()f x ()22111631260366a a a f a ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭=<-()03131f a +=>()f x ()f x ()()()22ln 12f x x ax x x =+++-0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0x =()f x a（2）21()(21)ln(1)11ax f x ax x x +'=+++-+， 22212(1)1()2ln(1)01(1)ax ax x ax f x a x x x ++--''=+++≤++，222(1)ln(1)(21)(1)210a x x ax x ax ax +++++++-≤， 222(1)ln(1)340a x x ax ax x +++++≤， 22[2(1)ln(1)34]a x x x x x ++++≤-.设22()2(1)ln(1)34h x x x x x =++++，∴()4(1)ln(1)2(1)64h x x x x x '=++++++，(0)60h '=>，(0)0h =， ∴在0x =邻域内，0x >时，()0h x >，0x <时，()0h x <.0x >时，222(1)ln(1)34xa x x x x -≤++++，由洛必达法则得16a ≤-，0x <时，222(1)ln(1)34xa x x x x -≥++++，由洛必达法则得16a ≥-， 综上所述，16a =-.12．（全国3文）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．解答：（1）由题意：()21xax x f x e +-=得222(21)(1)22()()x x x x ax e ax x e ax ax x f x e e +-+--+-+'==，∴2(0)21f '==，即曲线()y f x =在点()0,1-处的切线斜率为2，∴(1)2(0)y x --=-，即210x y --=；（2）证明：由题意：原不等式等价于：1210x e ax x +++-≥恒成立；令12()1x g x e ax x +=++-，∴1()21x g x e ax +'=++，1()2x g x e a +''=+，∵1a ≥，∴()0g x ''>恒成立，∴()g x '在(,)-∞+∞上单调递增，∴()g x '在(,)-∞+∞上存在唯一0x 使0()0g x '=，∴010210x e ax +++=，即01021x e ax +=--，且()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴0()()g x g x ≥.又01220000000()1(12)2(1)(2)x g x eax x ax a x ax x +=++-=+--=+-，111()1ag e a -'-=-，∵1a ≥，∴11011a e e -≤-<-，∴01x a≤-，∴0()0g x ≥，得证.综上所述：当1a ≥时，()0f x e +≥.21()e xax x f x +-=()y f x =(0,1)-1a ≥()e 0f x +≥三角函数1.（全国1理）已知函数，则的最小值是_____________．解答：∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.∴当，为函数的极小值点，即或,当∴，， ∴最小值为. 2．（全国1文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4解答：， ∴最小正周期为，最大值为.3．（全国1文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 2α=，则a b -=（ ）A ．15BCD ．1解答：由可得，化简可得；当时，可得，，即，此时；当时，仍有此结果. 4．（全国1文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．解答：根据正弦定理有：，∴，∴.∵，∴，∴，∴.5．（全国2文理）在中，，，，则（ ） A ．BCD ．()2sin sin2f x x x =+()f x ()2sin sin 2f x x x =+()f x 2T π=2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-'()0f x =22cos cos 10x x +-=1cos 2x =cos 1x =-1cos 2=3x π=53x π=cos 1,x =-x π=5()3f π=()3f π=(0)(2)0f f π==()0f π=()f x 222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+π422cos22cos 13αα=-=222225cos 1cos 6sin cos tan 1ααααα===++tan α=tan α=1a =2b =a =b =5a b -=tan 5α=-sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=2sin sin 4sin sin sin B C A B C =1sin 2A =2228b c a +-=2224cos 2b c a A bc bc +-===bc =1sin 2S bc A ==ABC △cos2C =1BC =5AC =AB =解答：， ，A ．6．（全国2理）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．解答：因为，所以由得， 因此，，，，从而的最大值为，选A ．7．（全国2文）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．解答：因为，所以由，得，，因此，，从而的最大值为，选C ．8．（全国2理）已知，，则__________． 解答：，，，，，因此．9.（全国2文）已知，则__________．解答：，解方程得． 10．（全国3文理）若，则（ ）A ．B ．C ．D ．解答：227cos 212sin199αα=-=-=.选B.11．（全国3文理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） 223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭Q 22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫∴=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭c ∴=()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭()022,4k x k k π+π≤+≤π+π∈Z ()322,44k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z []π3π,,44a a ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦π,4a a a ∴-<-≥-3π4a ≤π04a ∴<≤a π4()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭0224k x k π+π≤+≤π+π()k ∈Z 32244k x k ππ-+π≤≤+π()k ∈Z []30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦04a 3π∴<≤a 43πsin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=sin cos 1αβ+=Q cos sin 0αβ+=()()221sin cos 1αα∴-+-=1sin 2α∴=1cos 2β=()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1224442αβαβαβαα+=+=⨯-=-+=-+=-5π1tan()45α-=tan α=5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4αααααπ-π-⎛⎫-=== ⎪π+⎝⎭+⋅3tan 2α=1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =解答：2222cos 1cos 442ABC a b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4C π=.选C.12（全国3理）．函数在的零点个数为________．解答：由()cos(3)06f x x π=+=，有3()62x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6f x x π=+在[0,]π上有3个零点.13．（全国3文）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．解答：22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x x x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.选C. 14．（全国1理）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.解答：（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴. （2）,∴，∴,∴,∴.∴. ()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，2tan ()1tan xf x x=+4π2ππ2πABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB∠DC =BC ABD ∆52sin 45sin ADB =∠o sin ADB ∠=90ADB ∠<o cos ADB ∠==2ADB BDC π∠+∠=cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅25=5BC =数列1．（全国1理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A ． B ． C ． D ．解答：，∴. 2．（全国1理）记为数列的前项和.若，则_____________．解答：依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.3．（全国1文）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．解答：依题意，，，∴，，. （1）∵，∴，即，所以为等比数列. （2）∵，∴. 4．（全国2文理）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 解答：（1）设的公差为，由题意得， 由得．所以的通项公式为．（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．5．（全国3文理）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求． 解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2534a q a ==，∴2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-101211111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-51424(3)10a a d =+=+⨯-=-n S {}n a n 21n n S a =+6S =1121,21,n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩12n n a a +={}n a 211121a S a ==+11a =-12n n a -=-661(12)6312S -⋅-==--21224a a =⨯⨯=321(23)122a a =⨯⨯=1111a b ==2222a b ==3343a b ==12(1)n n na n a +=+121n na a n n+=+12n n b b +={}n b 1112n n nn a b b q n--===12n n a n -=⋅n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a d 13315a d +=-17a =-2d ={}n a 29n a n =-228(4)16n S n n n =-=--∴4n =n S 16-{}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m（2）由（1）知，122112n nn S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+， ∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍），∴6m =.不等式1．(全国1文理）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．解答：画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.2．（全国2文理）若满足约束条件 则的最大值为__________． 解答：作可行域，则直线过点时取最大值9．3.（全国3文）若变量满足约束条件则的最大值是________．解答：由图可知在直线240x y -+=和2x =的交点(2,3)处取得最大值，故12333z =+⨯=.x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩32z x y =+(2,0)max 32206z =⨯+⨯=,x y 25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，z x y =+z x y =+()5,4Az x y ，23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，13z x y =+立体几何1．（全国1文理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．3D．2解答：三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.2．（全国1理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD解答：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.3．（全国1文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．B．12πC．D．10π解答：截面面积为，所以高，所以表面积为.4．（全国1文）在长方体1111ABCD A B C D-中，2AB BC==，1AC与平面11BB C C所成的角为30︒，则该长方体的体积为（）A．8B．C．D．解答：连接和，∵与平面所成角为，∴，∴，∴，∴，∴选C.MA N BM N17252,M N MN==α11AB D11AB DEFGHMN EFGHMN1622224S=⨯=8h=r=22212Sπππ=⋅⋅+=1AC1BC1AC11BB C C30o130AC B∠=o11tan30,ABBCBC==o1CC=22V=⨯⨯=5．（全国2理）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ． BCD解答：以D 为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，异面直线与，故选C ．6．（全国2理）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．解答：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，，因为的面积为，设母线长为，所以，， 因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 7．（全国2文）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）ABCD解答：在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则．故选C ． 8．（全国2文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．解答：如下图所示，，，又，解得，所以，，所以该圆锥的体积为．1111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA 1AD 1DB 15DA DC 1DD xy z ()0,0,0D ()1,0,0A (1B (1D (1AD ∴=-uuu r (1DB =u u u r111111cos<,>AD DB AD DB AD DB ⋅===uuu r uuu r uu uuu ruuu r Q uuu r u r ∴1AD 1DB S SA SB 78SA SAB △SA SB 78SA SB SAB △l 212l ⨯=280l ∴=SA 45︒cos 4l π22rl l π==1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 1111ABCD A B C D -CD AB ∥AE CD EAB ∠2a E 1CC CE a =BE =tan BE EAB AB ∠==S SA SB SA 30︒SAB △830SAO ∠=︒90ASB ∠=︒211822SAB S SA SB SA =⋅==△4SA =122SO SA ==AO =2183V OA SO =⋅π⋅⋅=π9．（全国3文理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）解答：根据题意，A 选项符号题意. 10．（全国3文理）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．解答：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由ABC S ∆=，得6AB =，取BC 的中点H，∴sin 60AH AB =⋅︒=23AG AH ==O 到面ABC的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -体积最大值1(24)3D ABC V -=⨯+=11．（全国1理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值.解答：（1）分别为的中点，则，∴， 又，，∴平面， 平面，∴平面平面. （2），，∴，又，，∴平面，∴，A B C D ABC△D ABC-ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DPABFD ,E F ,AD BC //EF AB EF BF ⊥PF BF ⊥EF PF F ⋂=BF ⊥PEF BE ⊂ABFD PEF ⊥ABFD PF BF ⊥//BF ED PF ED ⊥PF PD ⊥ED DP D ⋂=PF ⊥PED PF PE ⊥设，则，，∴， 过作交于点， 由平面平面，∴平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，∴，而，∴， ∴与平面所成角的正弦值.12．（全国1文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．解答：（1）证明：∵为平行四边形且,∴,又∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.（2）过点作,交于点，∵平面，∴,又∵,∴平面,∴,∴,∵,∴又∵为等腰直角三角形，∴，∴. 13．（全国2理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 解答：（1）因为，为的中点，所以，且连结．因为，所以为等腰直角三角形， 且，，由知，由知平面．4AB =4EF =2PF =PE =P PH EF ⊥EF H PEF ⊥ABFD PH ⊥ABFD DH PDH ∠DP ABFD PE PF EF PH ⋅=⋅PH ==4PD =sin 4PH PDH PD ∠==DP ABFD 4ABCM 90ACM ∠=oAB AC ⊥AB DA ⊥AB ⊥ACD AB ⊂ABC ABC ⊥ACD Q QH AC ⊥AC H AB ⊥ACD AB CD ⊥CD AC ⊥CD ⊥ABC 13HQ AQ CD AD ==1HQ =BC BC AM AD ====BP =ABC ∆1332ABP S ∆=⋅⋅=1131133Q ABD ABDV S HQ -∆=⋅⋅=⨯⨯=P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC PAM 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB AB BC AC ==ABC △OB AC ⊥122OB AC ==222OP OB PB +=PO OB ⊥,OP OB OP AC ⊥⊥PO ⊥ABC（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，，，，，取平面的法向量，设，则，设平面的法向量为．由，， 得，可取，，由已知得， ，解得（舍去），， ，又，所以． 所以与平面． 14．（全国2文）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．解答：（1）因为，为的中点，所以，且．因为，所以为等腰直角三角形，且，． 由知，．由，知平面． （2）作，垂足为．又由（1）可得，所以平面． 故的长为点到平面的距离．O OB uu u r x O xyz -()0,0,0O ()2,0,0B ()0,2,0A -()0,2,0C (P (AP =uu u rPAC ()2,0,0OB =uu u r ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =-rPAM (),,x y z =n 0AP ⋅=uu u r n 0AM ⋅=uuu rn ()2040y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,a a =--n 4cos ,a OB -∴<uu u r n cos ,OB <>=uu u r n =4a =-43a =43⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭n (0,2,PC =-u u u r Q cos ,PC <uu u r n PC PAM P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM 4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB 2AB BC AC ==ABC △OB AC ⊥122OB AC ==222OP OB PB +=OP OB ⊥OP OB ⊥OP AC ⊥PO ⊥ABC CH OM ⊥H OP CH ⊥CH ⊥POM CH C POM由题设可知，，．所以，．所以点到平面．15.（全国3理）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．解答：（1）∵正方形ABCD⊥半圆面CMD，∴AD⊥半圆面CMD，∴AD⊥平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴AD CM⊥，又∵M是半圆弧CD上异于,C D的点，∴CM MD⊥.又∵AD DM D=I，∴CM⊥平面ADM，∵CM在平面BCM内，∴平面BCM⊥平面ADM.（2）如图建立坐标系：∵ABCS∆面积恒定，∴MO CD⊥，M ABCV-最大.(0,0,1)M，(2,1,0)A-，(2,1,0)B，(0,1,0)C，(0,1,0)D-,设面MAB的法向量为111(,,)m x y z=u r，设面MCD的法向量为222(,,)n x y z=r，(2,1,1)MA=--u u u r，(2,1,1)MB=-，(0,1,1)MC=-，(0,1,1)MD=--，11111120(1,0,2)20x y zmx y z--=⎧⇒=⎨+-=⎩u r，同理(1,0,0)n=r，，∴cosθ==，∴ sinθ=.16．（全国3文）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．122OC AC==23BCCM==45ACB∠=︒OMsinCOC MC AMHCBO⋅⋅∠==C POMABCD»CD M »CD C DAMD⊥BMCM ABC-MAB MCDABCD»CD M»CDC DAMD⊥BMCAM P MC∥PBD解答：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD . ∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点；∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .圆锥曲线1．（全国1理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解答：由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，∴，∴.2．（全国1理）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．B ．3C ．D ．4解答：渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴ 3．（全国1文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A．13B ．12C ．2D．3解答：知，∴，，∴离心率. 4．（全国1文）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．解答：由，得圆心为，半径为，∴圆心到直线距离为∴23FM FN ⋅u u u u r u u u rMN 2(2)3y x =+1122(,),(,)M x y N x y 22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩1112x y =⎧⎨=⎩2244x y =⎧⎨=⎩(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u r u u u r 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u r u u u r 2213x y -=OMN △322203x y -=y x =OMN ∆2ONM π∠=NM k =MN 2)y x =-32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩3(,2N ON =3MON π∠=3MN =2c =2228a b c =+=a =2e =22230x y y ++-=(0,1)-2d ==AB ==5．（全国2文理）双曲线，则其渐近线方程为（）A ． B． C ． D ．解答：，， 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A ．6．（全国2理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A. B ． C ． D ． 解答：因为为等腰三角形，，所以，由得，，，， 由正弦定理得，， ，，选D ．7．（全国2文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ） A ． B ．CD解答：在中，，，设，则，，又由椭圆定义可知则离心率，选D ．8．（全国3文理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解答：由直线20x y ++=得(2,0),(0,2)A B--，∴||AB ==22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++==点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.22221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y =c e a ==Q 2222221312b c a e a a-∴==-=-=b a ∴by x a=±y =1F 2F 22221(0)x y C a b a b +=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==AP 2tan PAF ∠2sin PAF ∴∠=2cos PAF ∠=2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭4a c ∴=14e =1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12-112F PF △1290F PF ∠=︒2160PF F ∠=︒2PF m =1222c F F m ==1PF =)1221a PF PF m =+=212c c e a a====20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣9．（全国3理）设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）AB．2CD解答：∵2||PF b=，2||OF c=，∴ ||PO a=；又因为1|||PF OP=，所以1||PF=uu u r；在2RtPOF∆中，22||cos||PF bOF cθ==；∵在12Rt PF F∆中，2222121212||||||cos2||||PF FF PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，222222224644633bb c a b c a c ac=⇒+-=⇒-=-223c a⇒=e⇒=.10．（全国3理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．解答：依题意得，抛物线C的焦点为(1,0)F，故可设直线:(1)AB y k x=-，联立2(1),4,y k xy x=-⎧⎨=⎩消去y得2222(24)0k x k x k-++=，设11(,)A x y，22(,)B x y，则212224kx xk++=，121x x=，∴12124()2y y k x x kk+=+-=，2121212[()1]4y y k x x x x=-++=-.又11(1,1)MA x y=+-u u u r，22(1,1)MB x y=+-u u u r，∴1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y⋅=+++--u u u r u u u r12121212()1()1x x x x y y y y=++++-++2224411410kk k+=++--+=，∴2k=.11．（全国3文）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（）A B．C．D．解答：由题意cea==1ba=，故渐近线方程为0x y±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d==.故选D.12．（全国1理）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.解答：（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴12F F，22221x yCa b-=：00a b>>，O2F C P1PF=C()11M-，24C y x=：C k CA B90AMB=︒∠k=22221(00)x yC a ba b-=>>：，(4,0)C2222:12xC y+=F F l C,A BM(2,0)l x AMO OMA OMB∠=∠1x=2112y+=2y=±，∴，∴直线的方程为：.（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴.13．（全国1文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．解答：（1）当与轴垂直时，的方程为，代入，∴或，∴的方程为：或.（2）设的方程为，设，联立方程，得，∴，，∴ ，∴，∴.14．（全国2文理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 解答：（1）由题意得，的方程为，设，，由，得， ，故，所以，由题设知，解得（舍去），． 因此的方程为．(1,2A±2AM k =±AM 2)2y x =±-l l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +-+-=2122421k x x k +=+21222221k x x k -=+1212121212[(23()4]22(2)(2)AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=+=----2222124412(4)21210(2)(2)k k k k k x x --+++==--AM BM k k =-OMA OMB ∠=∠l x l 2x =22y x =(2,2),(2,2)M N -(2,2),(2,2)M N -BM 220,y x ++=220y x --=MN 2x my =+1122(,),(,)M x y N x y 222x my y x =+⎧⎨=⎩2240y my --=12122,4y y m y y +==-11222,2x my x my =+=+121212122244BM BN y y y y k k x x my my +=+=+++++12121224()0(4)(4)my y y y my my ++==++BM BN k k =-ABM ABN ∠=∠24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C ()1,0F l ()()10y k x k =->()11,A x y ()22,B x y ()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩()2222240k x k x k -++=216160k ∆=+>122224k x k x ++=()()122244||||||11k AB A x F BF k x +=+=+++=22448k k +=1k =-1k =l 1y x =-（2）由（1）得AB 的中点坐标为，所以AB 的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则，解得或， 因此所求圆的方程为或．15.（全国3理）知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>， 得2243k t +>…①，且1228234kt x x k -+==+，121226()2234ty y k x x t m k+=++==+， ∵0m >，∴ 0t >且0k <.且2344k t k+=-…②.由①②得2222(34)4316k k k ++>，∴12k >或12k <-. ∵0k <，∴ 12k <-.（2）0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r ，20FP FM +=uu r uuu r r , ∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.由于P 在椭圆上，∴ 214143m +=，∴34m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得1212121234y y x x x x y y -+=-⋅-+， 又122x x +=，1232y y +=，∴1k =-，直线l 方程为3(1)4y x -=--，()3,2()23y x -=--5y x =-+()00,x y 00220005,(1)(1)162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩0032x y =⎧⎨=⎩00116x y =⎧⎨=-⎩()()223216x y -+-=()()22116144x y -++=k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r FA u u u r FP u u u rFB u u u r。
20112018年新课标全国卷1理科数学分类汇编7不等式推理与证明
7．不等式、推理与证明（含解析）一、选择题x?y?1?p?(x,y)?D,x?2y??2D；：92014，）】不等式组的解集记为．有下面四个命题：【?1x?2y?4?pPp?(x,y)?D,x?x?2y?32y??1??(x,y)?D,x2y?2D?(x,y)?,．：：；：；423其中真命题是（）C pPpPppppBAD．，．．，，．，33224111二、填空题x?2y?2?0，??x，yz?3x?2y，0x?y?1?________ 2018,13．的最大值为】若满足约束条件则【??y?0，?x?2y?1??z?3x?2y12??x?y 201714xy?．满足约束条件【，则，】设的最小值为，?x?y?0?【2016，16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．x?1?0?y?x?y?0，错误！未找到引用源。
则】若x,y满足约束条件错误！未找到引用源。
的2015【，15?x?x?y?4?0?最大值为．【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为．x?y??1??x?y?3?xz?x?2yy的取值范围为___________．，则142012【，】设，满足约束条件?x?0??0?y?3?2x?y?9,?z?x?2y yx,的最小值为】若变量，【201113则满足约束条件．?6?x?y?9,? 7．不等式、推理与证明（解析版）一、选择题x?y?1?D【2014，9）】不等式组有下面四个命题：.的解集记为?4?2yx??pp2y?,x?2?(x,y)?)?(x,y?D,x?2y??2D, ，：：21pP1??x?2yx,y)?D,y)?D,x?2y?3,?(?(x. ：：，43）其中真命题是（C PppPppppBAD .，，. ，. ，. 34322111z1??12,A?0??2z??2?y??xzy?x?2，时，，即【解析】作出可行域如图：设，当直线过min220?z pp C. 、，∴命题∴真命题，选21二、填空题，?0x?2y?2??y，xy?z3x?2，x?0?1?y ________2018,13．则满足约束条件的最大值为【】若??，y?0?6答案：1?2yx???y2x?z?312x?y??201714xy?．满足约束条件的最小值为，，则】设，【?0y?x??y1y?x?2??1??2x?y表示的平面区域如图所示，【解析】不等式组??0y?x?A?Bx1zz33C-1=0yx+2y?2?3xzz?xy?y?x?的最小值，即求直线由得，求2222z3??xy A 时，纵截距最大，过图中点的纵截距的最大值，当直线+1=0y2x+221?y?2x??5???1)?21z?3?(?1,1)(? A；解得由，此时点坐标为?1y?x?2?1???1xx?2y??y23x?z?1,1)??A(?在可行域的端点取到，即，【法二】由线性规划知，??1?1yy2x?????1??x?0y??x?111?3),?B(?5??x?2y3z???2y3?zx ??，，，AB11y???2x333???y?3?2x?y??1x??1??111??)?,???C(??z5z,z,z?min??3x?2yz?；，，??CAB min C1?0yx?y?333??【2016，16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【解析】：设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线y x性规则约束为?1.5x?0.5y≤150?x?0.3y≤90??5x?3y≤600??目标函数x≥0y?900z?2100x?；?y≥0??*N?x?*y?N??作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为在处取得最大值，(60,100)(0,200)(60,100)(90,0)(0,0)，z?2100?60?900?100?216000x?1?0??x?y?0，x,y满足约束条件错误！未找到引用源。
最新-2018年高考数学真题汇编 8：不等式 理 精品
2018高考真题分类汇编：不等式1.【2018高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A2.【2018高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2018高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.4.【2018高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【答案】A5.【2018高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。
该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高考精品复习】第七篇 不等式 第1讲 不等关系与不等式
第1讲 不等关系与不等式【高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用． 【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方． 一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 两条常用性质 (1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ； ②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd ；④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a . (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则 ①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m (b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －mb －m (b －m ＞0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴①不正确；a ＞|b |≥0，a 2＞|b |2＝b 2，∴②正确；a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋34b 2＞0，∴③正确；取a ＝2，b ＝－3，则|a |＞b ，但a 2＝4＜b 2＝9，∴④不正确．答案 B2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()．A．v＜40 km/h B．v＞40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h答案 D3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析a＞b /⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.答案 B4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()．A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d解析由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.答案 D5.12－1与3＋1的大小关系为________．解析12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1.答案12－1＜3＋1考向一比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．[审题视点] 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )． A.ab ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析 令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故ab ＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．答案 D考向二 不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假． 解析 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ， ∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C. 答案 C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练2】 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞db .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 命题1：若ab ＞0，c a ＞db ，则bc ＞ad ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞db ； 命题3：若c a ＞db ，bc ＞ad ，则ab ＞0. 答案 D考向三 不等式性质的应用【例3】►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围． 解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b . ∴⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．【训练3】 若α，β满足⎩⎨⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.考向四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. [审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证． 证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b . ∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c ＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式． 【训练4】 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0， 求证：e (a －c )2＞e(b －d )2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0.∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2.难点突破15——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法【示例】►(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()．A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b二、作商法【示例】►若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小关系是()．A．|log a(1－x)|＞|log a(1＋x)|B．|log a(1－x)|＜|log a(1＋x)|C．不确定，由a的值决定D．不确定，由x的值决定三、中间量法【示例】►若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sin 2π5，则()．A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a。
2018年高考数学分类汇编：不等式
E 单元不等式E1 不等式的概念与性质 E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法 E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题14.E5【2018·全国卷Ⅰ】 若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为 . 14.【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线y=-32x+z2经过点A （2，0）时，z 最大，所以z max =3×2+2×0=6.14.E5【2018·全国卷Ⅱ】若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 . 14.【答案】9【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y x z =-+过点A （5，4）时，直线的纵截距z 最大，所以max 549z =+=.15.E5【2018·全国卷Ⅲ】 若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则13z x y =+的最大值是 .15.3 【解析】 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知目标函数在点A （2，3）处取得最大值，最大值为2+13×3=3.12.E5【2018·浙江卷】 若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=x+3y 的最小值是 ，最大值是 . 12.【答案】2-；8【解析】 作出如图中阴影部分所示的可行域，易知A （2，2），B （4，-2），C （1，1），目标函数表示斜率为-13的一组平行直线.由图可知，当直线x+3y-z=0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2+3×2=8；当直线x+3y-z=0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为()4322+⨯-=-.13.E5【2018·北京卷】 若x ，y 满足x+1≤y ≤2x ，则2y-x 的最小值是 .13.3 【解析】 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，联立{y =x +1，y =2x ，得交点坐标为（1，2），由图可知，当目标函数z=2y-x 过点（1，2）时，z 有最小值，z min =2×2-1=3.E6 2a b+≤13.E6【2018·天津卷】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则123ab+的最小值为 . 【解题提示】运用基本不等式求解. 【答案】14【解析】由已知得36a b -=-，由基本不等式得1122284a b +≥==（当且仅当a=-3b=-3时取等号）.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用 E9 单元综合8.E9【2018·北京卷】 设集合A={（x ，y ）|x-y ≥1，ax+y>4，x-ay ≤2}，则（ ） A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A8.D 【解析】当a=0时，A 为空集，排除A ；当a=2时，（2，1）∈A ，排除B ；当a=32时，作出可行域如图中阴影部分所示，由x y 13x y 42-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得P （2，1），又∵ax+y>4，取不到边界值，∴（2，1）∉A.故选D.1.【2018·北京通州区期末】 已知a ，b ∈R ，a>b>0，则下列不等式一定成立的是（ ） A . 1a >1b B . tan a>tan b C . |log 2a|>|log 2b| D . a ·2-b >b ·2-a1.D 【解析】 对于A ，a>b>0，则1a <1b ，故不成立；对于B ，不妨设a=3π4>b=π4>0，则tan 3π4=-1，tan π4=1，故不成立；对于C ，不妨设a=2，b=14，则|log 2a |=1，|log 2b |=2，故不成立.故选D . 2.【2018·唐山五校联考】 已知不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，则不等式ax 2-bx-1>0的解集是（ ） A .{x|2<x<3} B .{x |-12<x <-13} C .{x |13<x <12} D .{x |x <13或x <12}2.B 【解析】 ∵不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，∴x 2-bx-a=0的解是x 1=2和x 2=3，∴{2+3=b ，2×3=-a ，解得{a =-6，b =5，则不等式ax 2-bx-1>0即为-6x 2-5x-1>0，解得{x |-12<x <-13}. 3.【2018·遵义联考】 已知O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 3.【0，2】【解析】设z=OA⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ =-x+y.在直角坐标系内作出可行域如图所示.由图可知，当直线z=-x+y 经过可行域内点C （0，2）时，z 有最大值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）max =-0+2=2；当直线z=-x+y 经过可行域内点A （1，1）时，z 有最小值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）min =-1+1=0.所以OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为【0，2】.4. 【2018·衡水一中月考】 若x ，y 都是正数，且x+y=3，则4x+1+1y+1的最小值为 .4.95 【解析】 设m=x+1，n=y+1.∵x+y=3，∴{x =m -1，y =n -1，则m+n=5，∴4x+1+1y+1=4m +1n =(4m +1n )(m 5+n5)=45+4n 5m +m5n +15≥1+2√4n 5m·m 5n =95，当且仅当m=103，n=53，即x=73，y=23时取等号.。
【高三数学试题精选】2018年高考真题理科数学不等式归类汇编
2018年高考真题理科数学不等式归类汇编
5 3b，则a＞b D若2a-2a=ab-3b，则a＜b
【答案】A
【解析】若，必有．构造函数，则恒成立，故有函数在x ＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．故选A 3【的最小值为_________
【答案】
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。
常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最小,最小值为
14【2018高考江苏13】（5分）已知函数的值域为，若关于x 的不等式的解集为，则实数c的值为▲ ．
【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为，当时有，即，
∴ 。
∴ 解得，。
∵不等式的解集为，∴ ，解得。
15【2018高考江苏14】（5分）已知正数满足则的取值范围是▲ ．
【答案】。
【考点】可行域。
【解析】条可化为。
设，则题目转化为。
2018高考数学(理科)习题第七章不等式73和答案
1．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．2答案 D解析 由题意作出可行域如图中阴影部分所示，当z ＝x ＋2y 经过点A (0,1)时，目标函数取得最大值，且z max ＝0＋2×1＝2.2.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a＝( )点击观看解答视频A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 B解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2,0)处取得最大值，故有a ×2＋0＝4，解得a ＝2.故选B.3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥81≤x ≤30≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6 D.315答案 B解析 作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y ＝－32x ＋z2经过点A 时z取得最小值．由⎩⎨⎧x ＝14x ＋5y ＝8得⎩⎨⎧x ＝1y ＝45，此时，z min ＝3×1＋2×45＝235.4．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 如图，作出⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的平面区域，作出目标函数取得最小值－4时对应的直线y －x ＝－4，即x －y －4＝0.显然z 的几何意义为目标函数对应直线x －y ＋z ＝0在x 轴上的截距的相反数，故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点，又kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，故k ＝2－00－4＝－12.故选D.5．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 画出约束条件下的可行域，如图所示．令z ＝0，画出直线y ＝ax .当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则必须使得直线y ＝ax 与x ＋y －2＝0平行，此时a ＝－1；当a >0时，则直线y ＝ax 与2x －y ＋2＝0平行，此时a ＝2. 6．已知不等式组⎩⎨⎧3x ≥y ≥0，x ＋ay ≤2(a >0)表示的平面区域的面积是32，则a 等于( )A. 3 B ．3 C. 2 D ．2答案 A解析 画出平面区域，可知该区域是一个三角形，其面积等于12·2h ＝32，所以h ＝32.解方程组⎩⎨⎧3x ＝y ，x ＋ay ＝2，得y ＝2a ＋33，所以2a ＋33＝32，解得a ＝3，选A.7．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析 已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y＝k(x－1)－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k>1时，也可形成三角形，综上可知k<－1或k>1.8．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( ) A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1答案 B解析首先画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域为阴影部分．x＋y＝1，x＋y＝－1，x－y＝1，x－y＝－1这四条直线的交点为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)，由图形可知，当过点(0,1)时，x＋2y取得最大值2，过点(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12C．17万元D．18万元答案 D解析根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，故选D.10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 答案 3解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1,3)处，y x取得最大值3.11．若x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案32解析 在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处，z 取得最大值，且z max ＝32.12.若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．点击观看解答视频答案 3解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴6－x －3y >0，令t ＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |，当2x ＋y －2≥0时，t ＝x －2y ＋4.点(x ，y )可取区域Ⅰ内的点(含边界)．通过作图可知，当直线t ＝x －2y ＋4过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45时，t 取最小值，∴t min ＝35－85＋4＝3. 当2x ＋y －2<0时，t ＝8－3x －4y ，点(x ，y )可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB )．通过作图可知，此时t >8－3×35－4×45＝3.综上，t min ＝3，即|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.13．实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解由⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此y x的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，y ＝2得B (1,2)，则k OB ＝21＝2.∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方． 因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2. 由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＝0得A (0,1)，∴|OA |2＝(02＋12)2＝1， |OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z 的最大值为5，没有最小值． 故z 的取值范围是(1,5]．14.某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？点击观看解答视频解 设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎨⎧ 3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N 目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z 3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎨⎧ 5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)．两种金属板各取5张时，用料面积最省．。
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式
2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式一、选择题（共5小题；共25分）1. 设变量x，y满足约束条件x+y≤5,2x−y≤4,−x+y≤1,y≥0,则目标函数z=3x+5y的最大值为 A. 6B. 19C. 21D. 452. 设x∈R，则“x3>8”是“ x >2”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x∈R，则“x−12<12”是“x3<1”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设集合A=x,y x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2，则 A. 对任意实数a，2,1∈AB. 对任意实数a，2,1∉AC. 当且仅当a<0时，2,1∉AD. 当且仅当a≤32时，2,1∉A5. 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln a1+a2+a3．若a1>1，则A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4二、填空题（共7小题；共35分）6. 若变量x，y满足约束条件2x+y+3≥0,x−2y+4≥0,x−2≤0,则z=x+13y的最大值是．7. 若x，y满足约束条件x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最大值为．8. 若x，y满足约束条件x−y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是，最大值是．9. 已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18的最小值为．10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120∘，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．11. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是．12. 已知a∈R，函数f x=x2+2x+a−2,x≤0−x2+2x−2a,x>0．若对任意x∈−3,+∞，f x≤ x 恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）13. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 S 中 x % 0<x <100 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f x = 30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g x 的表达式；讨论 g x 的单调性，并说明其实际意义．14. 设 a n 是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列， b n 是首项为 b 1，公比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q =2，若 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1=b 1>0，m ∈N ∗，q ∈ 1, 2m，证明：存在 d ∈R ，使得 a n −b n ≤b 1 对n =2,3,⋯,m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）．答案第一部分1. C2. A3. A4. D5. B第二部分 6. 37. 68. −2，89. 1410. 911. 312. 18,2第三部分13. （1） 由题意 2x +1800x −90>40，因为 30<x <100，解得 45<x <100．（2） 当 0<x ≤30 时，g x =30⋅x %+40 1−x % =40−x 10; 当 30<x <100 时，g x = 2x +1800−90 ⋅x %+40 1−x % =x 2−13x +58, 所以 g x = 40−x 10,0<x ≤30x 250−1310x +58,30<x <100． 当 0<x <32.5 时，g x 单调递减；当 32.5≤x <100 时，g x 单调递增．说明当 S 中有少于 32.5% 的成员自驾时，通勤时间人均递减；当自驾成员大于 32.5% 时，人均通勤时间递增；当自驾成员为 32.5% 时，人均通勤时间最少．14. （1） 由条件知：a n = n −1 d ，b n =2n−1．因为 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，即 n −1 d −2n−1 ≤1 对 n =1,2,3,4 均成立，即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得73≤d≤52．因此，d的取值范围为73,52．（2）由条件知：a n=b1+n−1d，b n=b1q n−1．若存在d，使得a n−b n ≤b1n=2,3,⋯,m+1成立，即b1+n−1d−b1q n−1 ≤b1n=2,3,⋯,m+1，即当n=2,3,⋯,m+1时，d满足q n−1−2n−1b1≤d≤q n−1n−1b1．因为q∈1,2m，则1<q n−1≤q m≤2，从而q n−1−2n−1b1≤0，q n−1n−1b1>0，对n=2,3,⋯,m+1均成立．因此，取d=0时，a n−b n ≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立．下面讨论数列q n−1−2n−1的最大值和数列q n−1n−1的最小值（n=2,3,⋯,m+1）．①当2≤n≤m时，q n−2n−q n−1−2n−1=nq n−q n−nq n−1+2n n−1=n q n−q n−1−q n+2n n−1，当1<q≤21时，有q n≤q m≤2，从而n q n−q n−1−q n+2>0 .因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1−2n−1单调递增，故数列q n−1−2n−1的最大值为q m−2m．②设f x=2x1−x，当x>0时，fʹx=ln2−1−x ln22x<0，所以f x单调递减，从而f x<f0=1．当2≤n≤m时，q nnq n−1=q n−1n≤21n1−1n=f1n<1，因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1n−1单调递减，故数列q n−1n−1的最小值为q mm．因此，d的取值范围为b1q m−2m ,b1q mm．。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(15-概率、统计、统计案例、推理与证明)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 〔15概率、统计、统计案例、推理与证明〕一、选择题1．〔2018全国新课标Ⅰ文、理〕某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的选项是〔 〕 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。
答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x ，种植收入为0.6x .建设后经济收入则为2x ，种植收入则为0.3720.74x x ⨯=，种植收入较之前增加．另解：假设建设前收入为a ，则建设后收入为2a ，所以种植收入在新农村建设前为60%a ，新农村建设后为37%2a ⋅；其他收入在新农村建设前为4%a ⋅，新农村建设后为5%2a ⋅，养殖收入在新农村建设前为30%a ⋅，新农村建设后为30%2a ⋅ 故不正确的选项是A.2．〔2018全国新课标Ⅱ文〕从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为〔 〕A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.32．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共12B B ，13B B ，23B B 三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．3．〔2018全国新课标Ⅲ文〕假设某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为〔 〕A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73.答案：B解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B.二、填空1．〔2018江苏〕已知5位裁判给某运发动打出的分数的茎叶图如下图，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．1．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为8989909191905++++=．2．〔2018江苏〕某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．2．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．3. 〔2018上海〕有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______〔结果用最简分数表示〕4．〔2018全国新课标Ⅲ文〕某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________． 14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.三、解答题1．〔2018北京文〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 14050300 200800510好评率04．02．015．025．02．01．好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．〔1〕从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； 〔2〕随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；〔3〕电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值到达最大？〔只需写出结论〕1．【答案】〔1〕0025．；〔2〕0814．；〔3〕增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】〔1〕由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=．第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．．〔2〕设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．．〔3〕增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．2．〔2018北京理〕设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记M 〔αβ，〕=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--．〔Ⅰ〕当n =3时，假设(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求M 〔,αα〕和M 〔,αβ〕的值；〔Ⅱ〕当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M 〔αβ，〕是奇数；当,αβ不同时，M 〔αβ，〕是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔Ⅲ〕给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M 〔αβ，〕=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．2〔共14分〕解：〔Ⅰ〕因为α=〔1，1，0〕，β=〔0，1，1〕，所以M (α，α)=12 [(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2，M (α，β〕=12[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．〔Ⅱ〕设α=〔x 1，x 2，x 3，x 4〕∈B ，则M (α，α〕= x 1+x 2+x 3+x 4． 由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0，1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0〕，〔0，1，0，0)，〔0，0，1，0)，〔0，0，0，1)，〔0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组：〔1，0，0，0)，(1，1，1，0)；〔0，1，0，0)，(1，1，0，1)；〔0，0，1，0)，〔1，0，1，1)；〔0，0，0，1)，〔0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β〕=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{〔1，0，0，0〕，〔0，1，0，0〕，〔0，0，1，0〕，〔0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4.〔Ⅲ〕设S k =( x 1，x 2，…，x n 〕|( x 1，x 2，…，x n 〕∈A ，x k =1，x 1=x 2=…=x k –1=0〕〔k =1，2，…，n )，S n +1={( x 1，x 2，…，x n 〕| x 1=x 2=…=x n =0}， 则A =S 1∪S 1∪…∪S n +1．对于S k 〔k =1，2，…，n –1〕中的不同元素α，β，经验证，M (α，β)≥1. 所以S k 〔k =1，2 ，…，n –1〕中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过n +1.取e k =( x 1，x 2，…，x n 〕∈S k 且x k +1=…=x n =0〔k =1，2，…，n –1〕.令B =〔e 1，e 2，…，e n –1〕∪S n ∪S n +1，则集合B 的元素个数为n +1，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．3．〔2018江苏〕设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．〔1〕求34(2),(2)f f 的值；〔2〕求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3．【答案】〔1〕2，5；〔2〕5n ≥时，()2222n n n f --=．【解析】〔1〕记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有()123=0τ，()132=1τ，()213=1τ，()231=2τ，()312=2τ，()321=3τ，所以()301f =，()()33122f f ==．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()433322105f f f f =++=．〔2〕对一般的()4n n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ，所以()01n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以()11n f n =-．为计算()12n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，()()()()()122102n n n n n f f f f f n +=++=+．当5n ≥时，()()()()()()()()11254422222222n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()24212422n n n n f --=-+-+++=，因此，5n ≥时，()2222n n n f --=．4．〔2018天津文〕已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． 〔Ⅰ〕应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？〔Ⅱ〕设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．〔i 〕试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；〔ii 〕设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 4．【答案】〔1〕应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；〔2〕①答案见解析；②521．【解析】〔1〕由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． 〔2〕①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种．②由〔1〕，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种． 所以，事件M 发生的概率为()521P M =．5．〔2018全国新课标Ⅰ文〕某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据〔单位：m 3〕和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，频数1 32 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6，频数1 5 13 10 16 5 〔1〕在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：〔2〕估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；〔3〕估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？〔一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．〕5．答案：略 解答：〔1〕（2）由题可知用水量在[0.3,0.4]的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于30.35m 的频数为1513524+++=，其概率为240.4850P ==.（3）未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 一年的平均用水量则为30.506365184.69m ⨯=. 使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为： 31(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 一年的平均用水量则为30.35365127.75m ⨯=， ∴一年能节省3184.69127.7556.94m -=.6．〔2018全国新课标Ⅱ文、理〕 下列图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y 〔单位：亿元〕的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据〔时间变量t 的值依次为1,2,,17〕建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据〔时间变量t 的值依次为1,2,,7〕建立模型②：ˆ9917.5yt =+． 〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； 〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．6．【答案】〔1〕模型①226.1亿元，模型②2565．亿元；〔2〕模型②，见解析．【解析】〔1〕利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5192ˆ26.1y =-+⨯=〔亿元〕．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ˆ9917592565y =+⨯=．．〔亿元〕．〔2〕利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：〔i 〕从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ99175yt =+．可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．〔ii 〕从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．7．〔2018全国新课标Ⅲ文、理〕某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间〔单位：min 〕绘制了如下茎叶图：〔1〕根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；〔2〕求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式〔3〕根据〔2〕中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥．7.答案：见解析解答：〔1〕第一种生产方式的平均数为184x =，第二种生产方式平均数为274.7x =，∴12x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.〔2〕由茎叶图数据得到80m =，∴列联表为〔3〕222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.。
2018高考数学(理)(全国通用) 第七章 不等式 Word版含解析
第七章 不等式第一节 不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无 题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析 由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析 由题意知1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注 本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法 题型78 分式不等式的解法——暂无第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域 题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（ ）. A.23 B.1 C.32D.3 解析 变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（ ）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大， 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（ ）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析 目标区域如图所示，当直线2y =x +z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-． 故选A.(6,35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析 由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（ ）.A. 0B. 2C.5D.6解析 由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（ ）.A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞ 解析 如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值， 故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无 题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节 基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立； 当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。
2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——7.不等式、推理与证明
，则 z=3x+2y 的最大值为
．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=3x+2y 得 y=﹣ x+ z， 平移直线 y=﹣ x+ z， 由图象知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最大， 最大值为 z=3×2=6， 故答案为：6
x 2y 1
7．不等式、推理与证明（含解析）
一、选择题 【2018，3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地
区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
乙说：我没去过 C 城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为
．
x y 1
【2012，14】设
x
，
y
满足约束条件
x x
y 0
3
，则 z x 2 y 的取值范围为___________．
y 0
【2011，13】若变量
x,
y
满足约束条件
3 6
2x y 9, x y 9,
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【2014，9）】不等式组
x
x
y 1 2y
4
的解集记为
D
．有下面四个命题：
p1
：
( x,
y)
D,
x
2y
2
；
2018年高考数学 第七章 不等式、推理与证明 专题26 推理与证明考场高招大全
专题二十六 推理与证明考点58 合情推理与演绎推理考场高招1常见的归纳推理类型及相应方法 1.解读高招2.典例指引1(1)(2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( ) A.2 017×22 013B.2 017×22 014C .2 017×22 015 D.2 016×22 016(2)某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球,以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数,则f (3)= ;f (n )= (答案用含n 的代数式表示).【解析】 (1)如图,(2)观察图形可知:f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,…,故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数,即f(2)=f(1)+3;f(3)=f(2)+6;f(4)=f(3)+10;…;f(n)=f(n-1)+.将以上(n-1)个式子相加可得f(n)=f(1)+3+6+10+…+=[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]=.【答案】 (1)B(2)103.亲临考场1.(2015山东,理11)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;……照此规律,当n∈N*时,+…+=【答案】 4n-12.(2013陕西,理14)观察下列等式12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【答案】 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·【解析】第n个等式的左边第n项应是(-1)n+1n2,右边数的绝对值为1+2+3+…+n=,故有12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.3.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)=n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,…………可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=1 000【答案】1.解读高招2.典例指引2(1)已知数列{a n}为等差数列,若a m=a,a n=b(n-m≥1,m,n∈N*),则a m+n=.类比等差数列{a n}的上述结论,对于等比数列{b n}(b n>0,n∈N*),若b m=c,b n=d(n-m≥2,m,n∈N),则可以得到b m+n= .(2)若P0(x0,y0)在椭圆=1(a>b>0)外,过P0作椭圆的两条切线的切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P0(x0,y0)在双曲线=1(a>0,b>0)外,过P0作双曲线的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程是. 【解析】 (1)设数列{a n}的公差为d1,数列{b n}的公比为q,则在等差数列中a n=a1+(n-1)d1,在等比数列中b n=b1q n-1.∵a m+n =,∴b m+n =.【答案】 (1)(2)=1考场高招3 演绎推理的应用规律1.解读高招步骤 ①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断温馨 提醒 演绎推理是高考重点考查的内容之一,推理的基本模式和思维过程贯穿于数学解题过程的始终.在证明的过程中,往往大前提不写出来2.典例指引3(2017辽宁葫芦岛测评)在一次国际学术会议上,来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌上,为了使他们能够自由交谈,事先了解到的情况如下: 甲是中国人,还会说英语;乙是法国人,还会说日语; 丙是英国人,还会说法语;丁是日本人,还会说汉语;戊是法国人,还会说德语.则这五位代表的座位顺序应为 ( ) A.甲、丙、丁、戊、乙 B.甲、丁、丙、乙、戊 C.甲、乙、丙、丁、戊D.甲、丙、戊、乙、丁【答案】 D 3.亲临考场1..(2017课标Ⅱ,理7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】 D 因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一位优秀一位良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一位优秀一位良好,所以甲、丁的成绩也是一位优秀一位良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.2.(2016课标Ⅱ,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.【答案】 1和3【解析】由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.考点59直接证明与间接证明考场高招4灵活应用直接证明的两大方法(综合法、分析法)解题1.解读高招2.典例指引4(1)求证:当x∈[0,1]时,x≤sin x≤x.(2)已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:.所以H(x)在[0,1]上是减函数,则H(x)≤H(0)=0,即sin x≤x.综上,x≤sin x≤x,x∈[0,1].(2)要证,即证=3,即证=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证c2+a2=ac+b2.因为△ABC三个内角A,B,C成等差数列,所以B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2ac cos 60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.3.亲临考场1..(2012辽宁,理12)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是()A.e x≤1+x+x2B.≤1-x+x2C.cos x≥1-x2D.ln(1+x)≥x-x2。
2018年高考真题全国卷分类汇编
2018年高考真题全国卷分类汇编集合1.（全国1理）已知集合，则=A C R（ ）A ．B ．C ．D ．2．（全国1文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （ ） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 3．（全国2理）已知集合，则中元素的个数为 （ ）A ．9B ．8C ．5D ．44.（全国2文）已知集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．5．（全国3理）已知集合，，则（ ） A ． B ． C ．D ． 6．（全国3文）已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．复数1．（全国1文理）设，则（ ） A ． B ． C ． D2．（全国2理）（ ） A ． B ．C ．D ．3．（全国2文）（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（全国3文理）（ ）A ．B ．C ．D ．平面向量1．（全国1文理）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．（全国2文理）已知向量，满足，，则（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．03．（全国3文理）已知向量，，．若，则________．{}220A x x x =-->{}12x x -<<{}12x x -≤≤}{}{|1|2x x x x <->U }{}{|1|2x x x x ≤-≥U (){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，A {}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B =I {}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{}|10A x x =-≥{}012B =，，A B =I {}0{}1{}12，{}012，，{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B =I {0}{1}{1,2}{0,1,2}1i2i 1i z -=++||z =012112i12i +=-43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+()i 23i +=32i -32i +32i --32i -+()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +ABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u u r u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=函数1．（全国1理）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）2．（全国1文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞， 3．（全国1文）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．4．（全国2文理）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）A ．B ．0C ．2D ．50 5．（全国3理）设，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6．（全国3文）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ） A ．B ．C ．D ．7．（全国3文）已知函数，，则________．导数1．（全国1文理）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（全国2理）曲线在点处的切线方程为__________． 3．（全国2文）曲线在点处的切线方程为__________． 4．（全国2文理）函数的图像大致为（ ）5．（全国3文理）函数的图像大致为（ ）e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…50-0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ln y x =1x =ln(1)y x =-ln(2)y x =-ln(1)y x =+ln(2)y x =+())1f x x =+()4f a =()f a -=32()(1)f x x a x ax =+-+()f x ()y f x =(0,0)2y x =-y x =-2y x =y x =2ln(1)y x =+(0,0)2ln y x =(1,0)()2e e x xf x x --=422y x x =-++6.（全国3理）曲线在点处的切线的斜率为，则________． 7．（全国1理）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：． 8．（全国1文）已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．9．（全国2理）已知函数．（1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求．10．（全国2文）已知函数．（1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点．11．（全国3理）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求．12．（全国3文）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．三角函数1.（全国1理）已知函数，则的最小值是_____________． 2．（全国1文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为43．（全国1文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 2α=，则a b -=（ ）A ．15BCD ．14．（全国1文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．5．（全国2文理）在中，，，，则（ ） A ． BCD ．()1e xy ax =+()01，2-a =1()ln f x x a x x=-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--2()e x f x ax =-1a =0x ≥()1f x ≥()f x (0,)+∞a ()()32113f x x a x x =-++3a =()f x ()f x ()()()22ln 12f x x ax x x =+++-0a =10x -<<()0f x <0x >()0f x >0x =()f x a 21()exax x f x +-=()y f x =(0,1)-1a ≥()e 0f x +≥()2sin sin2f x x x =+()f x ABC △cos2C =1BC =5AC =AB =6．（全国2理）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（全国2文）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（全国2理）已知，，则__________．9.（全国2文）已知，则__________． 10．（全国3文理）若，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．（全国3文理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） 12（全国3理）．函数在的零点个数为________．13．（全国3文）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（全国1理）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.数列1．（全国1理）记为等差数列的前项和.若，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 2．（全国1理）记为数列的前项和.若，则_____________． 3．（全国1文）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．4．（全国2文理）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 5．（全国3文理）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4πsin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=5π1tan()45α-=tan α=1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，2tan ()1tan xf x x=+4π2ππ2πABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB∠DC =BC n S {}n a n 3243S S S =+12a ==5a 12-10-1012n S {}n a n 21n n S a =+6S =n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m不等式1．(全国1文理）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．2．（全国2文理）若满足约束条件 则的最大值为__________． 3.（全国3文）若变量满足约束条件则的最大值是________．立体几何1．（全国1文理）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．2 2．（全国1理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABCD3．（全国1文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B．12π C．D ．10π 4．（全国1文）在长方体1111ABCDA B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．5．（全国2理）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 6．（全国2理）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．x y 220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩32z x y =+,x y 25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，z x y =+x y ，23024020.x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，13z x y =+M A N B M N 172521111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA 1AD 1DB 15S SA SB 78SA SAB △7．（全国2文）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A ． BCD8．（全国2文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 9．（全国3文理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）10．（全国3文理）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（全国1理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值.12．（全国1文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2S SA SB SA 30︒SAB △8A B C D ABC △D ABC -ABCD ,E F ,AD BC DF DFC △C P PF BF ⊥PEF ⊥ABFD DP ABFD13．（全国2理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 14．（全国2文）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．15.（全国3理）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．16．（全国3文）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．圆锥曲线1．（全国1理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8P ABC-AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC M PA C --30︒PC PAM P ABC-AB BC ==4PA PB PC AC ====OAC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM ABCD »CD M »CDC D AMD ⊥BMC M ABC -MABMCD ABCD »CD M »CD C D AMD ⊥BMC AM P MC ∥PBD 23FM FN ⋅u u u u r u u u r2．（全国1理）已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．B ．3C ．D ．43．（全国1文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 CD4．（全国1文）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．5．（全国2文理）双曲线，则其渐近线方程为（）A ． B． C ． D ．6．（全国2理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A. B ． C ． D ． 7．（全国2文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）A ．B ．CD8．（全国3文理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（全国3理）设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）AB ．2 CD10．（全国3理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．11．（全国3文）已知双曲线，则点到的渐近线的距离为（）AB ．C ．D ．2213x y -=OMN △3222221(0,0)x y a b a b -=>>y =y =y =y =1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 231213141F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 12-120x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F C P 1PF =C ()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)C2212．（全国1理）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：.13．（全国1文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．14．（全国2文理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．15.（全国3理）知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．16.（全国3文）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．概率与统计1．（全国1文理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上22:12x C y +=F F l C ,A B M (2,0)l x AM O OMA OMB ∠=∠24C y x =：F F (0)k k >l C A B ||8AB =l A B C k l 22143x y C +=：A B AB ()()10M m m >，12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r FA u u u r FP u u u rFB u u u rk l 22143x y C +=：A B AB (1,)(0)M m m >12k <-F C P C FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u urC ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2．（全国1理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（ ）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 33．（全国1理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）4．（全国2理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（全国2文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（全国3文理）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．（全国3文）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 8．（全国1理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？9．（全国1文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：ABC △30723=+1121141151180.60.50.40.320x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =)10(<<p p )(p f )(p f 0p 0p p X EX（（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）10.（全国2文理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．11.（全国3文理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。
精编2018高考数学(理科)习题第七章不等式72和答案
1．设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}答案 D解析 ∵M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{0,1,2}∩{x |1≤x ≤2}＝{1,2}．故选D.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )点击观看解答视频A ．[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x 3恒成立． 设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－x －x ＋x 4.当0<x ≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6.(3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}答案 D解析 解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D. 解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ，f m ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0， 解得－22<m <0.。