毕氏定理

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毕氏定理

畢氏定理
• 劉徽，三國時期魏國人，家住今臨淄一帶。他在魏景元四年編寫《九章算術注》。他提出了『出入相補原理』－－把圖形分割若干塊後，各塊面積和等於原圖面積。他利用『出入相補原理』，成功地證明了『勾股定理』。這個證明十分顯淺易懂，因為整個證明只需要一幅圖〔見圖〕，及加上少許說明，甚至連說明也不用，即可明瞭。本人亦在此加上少許說明：
畢氏定理
• 圖中較深色的部分為『出』，較淺色的則是『入』。從圖中可見，深綠色的是一個正方形，以『股』為邊；深紅色的也是一個正方形，以『勾』為邊。經過分合之後，得出一個以『弦』為邊的大正方形。即是：『股』正方面積 +『勾』正方面積 =『弦』正方面積，即是，股2 + 勾2 = 弦2 『勾股定理』由此得證。
• • 藍色正方形面積A'''AC'A' + 紅色的正方形面積AB''A''D • 黑色的正方形面積A'C''A''I(以c為邊長)
畢氏定理的歷史
• 勾股定理︰在直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究，希臘著名數學家畢達哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾對本定理有所研究，故西方國家均稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示。
畢氏定理
82833 宋遠澤
什麼是畢氏定理??
• 西方國家普遍相信「畢氏定理」是由古希臘數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公元前 572 至公元前 492 年)發現的，或者是至少是由他證明的。其實早在公元前 1100 年左右，中國數學家商高已發現「勾三、股四、弦五」的關係，並用它作計算及測量，所以此定理又稱「勾股定理」或「商高定理」。勾指直角三角形中短的直角邊，股為長的直角邊，弦為斜邊。

勾股定理证明方法的分类介绍

勾股定理证明方法的分类介绍勾股定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明1。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

2中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

（/view/366.htm勾股定理_百度百科)五、古人的方法如图，将图中的四个直角三角形涂上绿色，把中间小正方形涂上白色，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。

即“勾股各自诚，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

（/view/08cfca80d4d8d15abe234ec8.html勾股定理的证明方法探究_百度文库)图1六、邹元治的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示的形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直2线上，C、G、D 三点再一条直线上。

七、梅文鼎的证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。

过C作AC的延长线交DF于点P。

八、利用切割线定理证明九、利用多列米定理证明十、作直角三角形的内切圆证明十一、辛卜松证明（/static/html/20090310/13821.html勾股定理的十六种证明方法—清华同方学堂)以下是总结出的证明勾股定理的方法以及分类：勾股定理的证明：分三种类型：1.第一种类型：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。

勾股定理的证明

P H GF E D C B A a b c a b c a b c a b c 勾股定理的证明勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。

实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

这是任何定理无法比拟的。

在这里，我为大家提供几种证法。

证法一：梅文鼎证法做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形.设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ab S c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.证法二:欧里几得证明做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.证法三：杨作玫证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a . ∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .c b a c b a A B C D E F G H M L K987654321P Q R T H G F E DC B A a b c a b c c c∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵ ()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.证法四：李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =. M H QR TG F E D C B A c b a 87654321过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+证法五：辛卜松证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.ab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2a A A D D BB C C b a b a b a b a b a c c c c b a ab ab b a b a证法六：陈杰证明设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，上述证明勾股定理的方法，只是凤毛麟角，仅提供参考，同学们若有兴趣，可自己搜集资料. A B C D E F G H M a b ca b c a c a b c 1234567。

毕氏定理(商高定理)的证明

畢氏定理又稱「商高定理」、「陳子定理」、「勾股定理」
中國以前也叫"畢達哥拉斯定理"。50年代初，曾展開關於這個定理命名問題的討論。有人主張叫
做「商高定理」，理由是中國在商高時代(約公
元前1100年)已經知道「勾三股四弦五」的關係早於畢達哥拉斯時代，也有人認為3:4:5的關係，僅僅是特例，到陳子才提出了普遍的定理，故應
F 6.同理可證
正方形ACFG的面積＝長方形 AHIK的面積 7. ∴.正方形BCDE的面積＋正方形ACFG的面積＝正方形 ABJK的面積
動態展示
證法六
此證明是印度的數學家巴斯卡拉（公元1114-1185年）所做的，他把左上方兩個圖畫在一起，而只說一聲
「看！」
後人再畫出左下方兩個圖，便明瞭此為畢氏定理的證明。
即：AC2＋BC2＝AB2
D
LE
<幾何原本>中畢氏定理的證明
動態展示
證法二
左下圖的兩個大正方形面積相等
同時減掉四個相同的直角三角形
即：弦2＝勾2＋股2
b c
c a
a-b
c
證法三
在中國，最先明確證明勾股定理的是漢朝數學家趙君卿，他在注《周髀算經》中，用4個同樣大小的直角三角形，將他們拼成左邊的圖形，再用代數 c 式來證明商高定理
大正方形的面積＝4個直角三角形＋1個小正方形
即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2 ∴a2＋b2＝c2
證法四
青出
青青出
青入
朱朱出
朱青入入
劉徽注＜九章算術＞裡的商高定理證明
劉徽注文：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之羃。」

毕氏定理(商高定理的证明

畢氏定理(商高定理)的證明

張美玲製作參考資料：數學的故事(列志佳簡佩華黃家鳴主編九章出版社) 中國數學五千年(李信明著) 數學答問集（曾煥華譯）
何謂畢氏定理

畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方等於另兩邊的平方的和
股斜邊股
即：股2＋股2＝斜邊2

結束放映
歐幾里德的幾何原本所給的畢氏定理證明
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劉徽的青出朱入圖
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歐幾里德的幾何原本所給的畢氏定理另一證明
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梅文鼎的勾股定理證明
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勾股數

像(3,4,5)這樣的一組能作為直角三角形的邊的正整數,稱為勾股數。如果這組數內除了1以外,沒有其他公因數,就稱為素勾股數(primitive Pythagorean triple)。一塊編號為<普林頓322>的巴比侖泥板就有勾股數的紀錄。常用的素勾股數：（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（8,15,17）
c
即a2－2ab＋b2＋2ab＝c2
∴a2＋b2＝c2
證法四
青出青入青青出朱入青入朱朱出
劉徽注文：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之羃。」
他是用以盈補
虛的方法，用不
同的顏色來標記有關的圖形。動態展示
劉徽注＜九章算術＞裡的商高定理證明
商高定理

《周髀算經》是一部中國最早的數學著作，同時也是一部天文學著作，這部書是用對話的形式寫成的，書中記載公元前1100年西周時，周公和商高的一段對話「……折矩以為勾廣三、股修四、徑隅五。」

毕达哥拉斯数学

毕达哥拉斯数学
毕达哥拉斯是古希腊的一位数学家，被称为“数学之父”。

他的许多数学成果至今仍然在现代数学中被广泛应用。

以下是他的一些重要贡献：
一、三角形定理
毕达哥拉斯最著名的发现就是三角形定理，也被称为毕氏定理。

该定理表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两条边的平方之和。

这个定理被广泛应用于三角学和几何学，还被用于计算直角三角形的边长。

二、毕达哥拉斯数
毕达哥拉斯数是一组数列，其中每个数都是前两个数之和。

数列的开始数字是0和1，接下来的数字依次是1，2，3，5，8，13，21，34，55等等。

这个数列在数学上有非常重要的应用，包括图形处理、密码学和金融学等领域。

三、几何学
除了三角形定理之外，毕达哥拉斯还在几何学方面做出了许多贡献。

他发现了等腰三角形的底角相等，证明了角平分线定理，还发现了正弦、余弦和正切的概念，这些都是现代数学中的基础概念。

四、音乐理论
毕达哥拉斯还研究了音乐理论，提出了一个基于整数比例的音程
系统。

这个系统被广泛应用于古代音乐，并在许多方面影响了现代音乐的理论和实践。

总之，毕达哥拉斯的数学成就在数学史上占据着重要的地位，并对现代数学产生了深远的影响。

勾股定理(毕氏定理

這天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著遊船出來領略一下山水風光，以驅散一天的疲勞。這地中海海濱，藍色的海灣環抱著品都斯山；長長的希臘半島伸進海面，就像明亮的鏡子上鑲著一粒珍珠。這天，風和日麗，海風輕輕吹來，蕩起層層波浪，大家心裏好不高興。一個滿臉鬍子的學者看著廣闊的海面興奮地說："畢達哥拉斯先生的理論一點不錯，你們看這海浪一層一層，波峰波谷，就好像奇數、偶數相間一樣，世界就是數字的秩序。 ""是的，是的。"這時一個正在搖槳的大個子插進來說：" 就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。 "
畢氏定理-----別名
1. 商高定理 2.勾股定理 3. 百牛定理 4. 新娘圖
商高定理&勾股定理
商高定理這個名稱的來源是由中國從前的一本數學書<<周X算經>>來的。因為這本書有和畢氏定理相同的定理 , 而作者就是商高 , 所以畢氏定理亦稱商高定理。勾股定理這個名稱的來源是由<<周X算經>>中的圖中看出來的。因為那圖好像一把弓 , 所以畢氏定理亦稱勾股定理
影響數學史的大事
畢達哥拉斯將那數學知識運用得純熟之後，覺得這實在是一套了不得的本事，不能只滿足於用數來算題解題，於是他要試著從數學擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出"凡物皆數"，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會，入會者都要宣誓不把知識洩露給外人，這樣他才肯向他們傳授數學。可見當時才萌芽的數學是多麼神秘。畢達哥拉斯死後大約50年間，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。

【勾股定理证明】

【勾股定理证明】勾股定理的16种证明方法勾股定理的证明是论证数学的发端，它是历史上第一个把形与数联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理，也是数学家认为探索外星文明与外星人沟通的最好“语言”。

勾股定理导致希伯索斯无理数的发现，引发了第一次数学危机，加深了人们对数的理解，促进了数学的进步发展。

勾股定理是历史上第一个给出不定方程的解答，从而促使费尔玛大定理的提出，这是一只下金蛋的鹅，数学家们经过350年的历程才获得解决，这期间给整个数学界带来了巨大的财富。

我国古代数学家对勾股定理的证明，极富创意，即使在理论方面也占一席之地。

以赵爽的“弦图”作为2002年在中国召开世界数学家大会的会徽，可知“弦图”已作为了我国古代数学成就的代表。

而在西方，欧几里得在证明勾股定理的同时结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。

中国的数学文化传统体现了重视应用、数形结合、以计算为主的务实精神。

因为毕达哥拉斯定理是在没有研究的情况下描述的，所以在中国古代从未超越直观经验和具体操作，发展成为一个完整的演绎体系。

而是作为一种技能传播应用，只走了一条解决实际问题的模式化道路。

证明勾股定理的方法有上百种。

下面是16种证明勾股定理的基本方法，有兴趣的同学可以研究一下。

勾股定理，又称毕氏定理，是三角形中最基本的定理之一，它描述了直角三角形斜边与两条直角边的关系。

其表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和，即$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边，$a$和$b$为直角边。

勾股定理的证明方法有很多种，下面介绍16种。

1. 几何证明法：欧几里得证明法欧几里得是古希腊的数学家，他在《几何原本》中提出了勾股定理的证明方法。

他的证明方法基于相似三角形和三角形面积的计算公式。

首先，画出一个直角三角形，将它的直角边分别称为$a$和$b$，斜边称为$c$。

然后，以$c$为直径画一个圆，将圆心记为$o$，圆上任意一点记为$d$。

勾股定理又叫商高定理

勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem）．在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000 年！中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。

夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。

既方其外，半之一矩，环而共盘。

得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所由生也。

”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。

在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。

除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。

但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。

比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。

我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。

”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

课本-毕氏定理

A(5 , 0) 34
B(0 ,－3)
102
2. 在坐標平面上標出 A（－4 ,－5）、 B（2 , 3）兩點，並求出 AB 的長。
解如圖,作AC⊥BC 則C點(2 ,－5)
�� ＝|－4 －2|＝ 6
B(2 , 3)
10 8
�� ＝|3－(－5)|＝ 8 ��＝ 82 + 62
x
8
y
3 4
97
3 长方形的边与对角线
1. 求长方形的对角线长。
8
x
解 1. 由毕氏定理知：
x2＝82＋112
11
＝64＋121
＝185
因為 x＞0，故對角線長 185
97
3 长方形的边与对角线
2. 求长方形的另一边长。
解 2. 由毕氏定理知： y2＋32＝62 y2 ＝62 －32 ＝36－9 ＝27 因為 y＞0， y ＝ 27 ＝3 3
6
A(－4 ,－5) C(2 ,－5)
＝ 64 + 36 ＝10
103
如圖 2-14 所示，坐標平面上 A（ x1 , y1）、 B（ x2 , y2）兩點，過 A、 B 兩點分別作鉛垂線與水平線，得到交點 C，則BC ＝｜x2－x1｜， AC ＝｜y2－y1｜。 y
A(x1 , y1 )
｜y2－y1｜ C(x1 , y2 )
如圖，已知坐標平面上 A（1 , 2）、B（4 , 5）
兩點，過 A 點作平行 x 軸的水平線，過 B 點作
平行 y 軸的鉛垂線，兩直線相交於 C 點，求：
(1) C 點的坐標。(4 , 2)
(2) AB 的長。 3 2

毕氏定理

例題
• 1. ５、１２、１３這組數字可作為一直角三角形的三邊長。現在有一直角三角形，它的斜邊長為４分之１３，一股長為３，則另一股長為多少？兩股的平方和等於斜邊的平方!! 而 5 12 13這組數字就是告訴你它是一個直角三角形 5 12 13就是它的三邊關係你可以利用放大縮小的倍率關係求之(也就是你的題目--四分之一倍) 所以另一股即為(5/4) 這是第一種方式第二種方式就是直接代算式求之:(1)兩股的平方和等於斜邊的平方 x^2+3^2=(13/4)^2 求x (2)利用比和比值關係 5:12:13=x:3:(13/4) 求x
• 結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。
畢氏定理的由來
1.中國
在中國的古書中，畢氏定理又被稱為「勾股弦定理」。「勾股弦」這三個字是從正三角三個邊的名字而來：「勾」是較短的股；「股」是較長的股；而「弦」指的是斜邊。中國的勾股法是被用來發現天文和測量地理。根據另外一本具象徵性的古中國數學經典─周髀算經的記載，早在中國朝代的初期(約西元前2100年)，中國數學家就給了勾股弦定理中3-4-5 三角形這個特例證明。在九章算數的「勾股章」中，共有24個問題，被分為兩部分，第一部分著重在以勾股弦定理為中心，有關直角三角形的運算，而第二部分是勾股測量的相關問題。在劉輝為九章算數所作的注中，清楚的記載勾股從容補理論到比例理論的發展過程，而且完整又嚴格地解釋勾股弦定理的理論系統。以下將著重在劉輝所提出勾股弦定理的證明。劉輝利用一個已知兩股為3，4的直角三角形，欲求其斜邊長的題目為引導，進而一般化

数学勾股定理

勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a²+b²=c²内容勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。

据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组满足勾股定理方程 a^2＋b^2＝c^2;的正整勾股定理数组(a,b,c)。

例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：a=√M^2-N^2b=√M²＋N²c=√M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。

编辑本段勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。

勾股与弦图

勾股定理勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a^2+b^2=c^2目录概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理概述定义简介勾股定理指出勾股数组推广勾股定理定理勾股定理的来源毕达哥拉斯树常见的勾股数勾、股、弦的比例最早的勾股定理应用《周髀算经》中勾股定理的公式与证明加菲尔德证明勾股定理的故事多种证明方法证法1证法2证法3证法4证法5(欧几里得的证法)证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）证法七（赵爽弦图）证法8（达芬奇的证法）证法9习题及答案定义介绍勾股定理逆定理展开编辑本段概述定义在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方。

勾股定理(6张)简介勾股定理是余弦定理的一个特例。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。

（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。

他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

趣味数学—勾股定理的历史

勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。

所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。

所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。

勾股定理证明方法

我们发现，把①ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
应用勾股定理犯的错误：
⑴勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件例1在Rt△ABC中,a、b、c分别为三条边,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.误解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中∠B=90°,b是斜边的隐含条件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。
4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。