工程力学第7讲轴向拉压内力、应力
合集下载
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
—— 平面应力状态下任意斜截面上 的σα和τα计算公式。 对于与ef 垂直的截面上的应力，
e
x
x
b
y
y
f t
90
90
0
0
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
二、主平面、主应力
主平面：切应力为零的截面。 主应力：主平面上的正应力 σ1 、 σ 2 、 σ 3 。
1 2 3
三、应力状态分类
当一个主应力不为零，其余两个主应 力为零——单向应力状态。 当两个主应力不为零，其余一个主应
平面应力状态
复杂应力状态
力为零——二向应力状态。
当三个主应力不为零——三向应力状 态 / 空间应力状态。
D
2
A
1
1
67.5
22.5
3
x
A
x
3
B
1
C 2 0
O
D
(c)
1
(a)
(b)
解：（1）图解法。σ1=OA1=1.3 MPa，σ3=OA3= -7.25 MPa
∠D1CA1=2α0=135°
（2）解析法。 σ1 1.24 MPa 2 x ( x )2 x σ3 -7.24 2 2 tan2α0 = -2τx /σx = -1， α0 =67.5 o
e
x
x
b
y
y
f t
90
90
0
0
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
二、主平面、主应力
主平面：切应力为零的截面。 主应力：主平面上的正应力 σ1 、 σ 2 、 σ 3 。
1 2 3
三、应力状态分类
当一个主应力不为零，其余两个主应 力为零——单向应力状态。 当两个主应力不为零，其余一个主应
平面应力状态
复杂应力状态
力为零——二向应力状态。
当三个主应力不为零——三向应力状 态 / 空间应力状态。
D
2
A
1
1
67.5
22.5
3
x
A
x
3
B
1
C 2 0
O
D
(c)
1
(a)
(b)
解：（1）图解法。σ1=OA1=1.3 MPa，σ3=OA3= -7.25 MPa
∠D1CA1=2α0=135°
（2）解析法。 σ1 1.24 MPa 2 x ( x )2 x σ3 -7.24 2 2 tan2α0 = -2τx /σx = -1， α0 =67.5 o
第7章拉伸与压缩
第7章拉伸与压缩
教学提示：本章介绍拉伸与压缩最基本的内容，包括拉伸与压缩的概念，横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算，材料在拉伸与压缩时的力学性质，拉伸和压缩的超静定问题，应力集中的概念。期中横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算是本章的重点。
教学要求：本章让学生掌握拉伸与压缩的概念，横截面上的内力与应力计算，拉伸或压缩时的强度、刚度计算，掌握截面法分析内力的方法，能熟练地画出工程结构的轴力图。
7.1 拉伸与压缩的概念
工程实际中，发生拉伸与压缩变形的构件是很常见的。如内燃机的连杆、上紧的螺栓杆、悬臂吊车的拉杆、液压传动机构中油缸的活塞杆、悬臂起重机等，都是拉伸或压缩的实例。如图7-1、图7-2、图7-3所示。
图7-2液压传动机构中油缸的活塞杆
图7-1悬臂吊车的拉杆
图7-3悬臂起重机通过以上实例可以看出，拉伸与压缩杆件的受力特点是：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。上述变形形式称为拉伸与压缩变形。由于是沿杆件轴线伸长或缩短，所以也叫轴向拉伸与压缩。拉（压）杆的受力简图如图7-4所示。
图7-4
7.2 横截面上的内力与应力
为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆的内力情况。材料力学中，采用截面法研究杆的内力。
7.2.1横截面上的内力
一、内力的概念
构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间
保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，
其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的
工程力学第7章答案
⼯程⼒学第7章答案
第7章简单的弹性静⼒学问题
7－1 有⼀横截⾯⾯积为A 的圆截⾯杆件受轴向拉⼒作⽤，若将其改为截⾯积仍为A 的空⼼圆截⾯杆件，其他条件不变，试判断以下结论的正确性：（A ）轴⼒增⼤，正应⼒增⼤，轴向变形增⼤；（B ）轴⼒减⼩，正应⼒减⼩，轴向变形减⼩；（C ）轴⼒增⼤，正应⼒增⼤，轴向变形减⼩；（D ）轴⼒、正应⼒、轴向变形均不发⽣变化。正确答案是 D 。
7－2 韧性材料应变硬化之后，材料的⼒学性能发⽣下列变化：（A ）屈服应⼒提⾼，弹性模量降低；（B ）屈服应⼒提⾼，韧性降低；（C ）屈服应⼒不变，弹性模量不变；（D ）屈服应⼒不变，韧性不变。正确答案是 B 。
7－3 关于材料的⼒学⼀般性能，有如下结论，试判断哪⼀个是正确的：（A ）脆性材料的抗拉能⼒低于其抗压能⼒；（B ）脆性材料的抗拉能⼒⾼于其抗压能⼒；（C ）韧性材料的抗拉能⼒⾼于其抗压能⼒；（D ）脆性材料的抗拉能⼒等于其抗压能⼒。正确答案是 A 。
7－4 低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发⽣明显的塑性变形时，承受的最⼤应⼒应当⼩于的数值，有以下四种答案，试判断哪⼀个是正确的：（A ）⽐例极限；（B ）屈服强度；（C ）强度极限；（D ）许⽤应⼒。正确答案是 B 。
7－5 根据图⽰三种材料拉伸时的应⼒—应变曲线，得出的如下四种结论，试判断哪⼀种是正确的：
（A ）强度极限)3()2()1(b b b σσσ>=，弹性模量E(1)>E(2)>E(3)，
延伸率δ（1）>δ（2）>δ（3）⽐例极限；（B ）强度极限)2()1()3(b b b σσσ<<，弹性模量E(2)>E(1)>E(3)，
工程力学之材料力学轴向拉压应力
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。
FN 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s 。 A
9
第四章 轴向拉伸和压缩
注意： 1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
3
第四章 轴向拉伸和压缩
§4-3 轴向拉(压)杆横截面上的应力
Ⅰ.应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
F ，其方向和大小一般 A
内力的平均集度即平均应力， p
m
而言，随所取ΔA的大小而不同。
4
第四章 轴向拉伸和压缩
该截面上M点处分布内力的集度为 p lim
A0
15
第四章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力 斜截面上的内力：
F F
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后 仍相互平行。=>两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸 长变形相同。
16
第四章 轴向拉伸和压缩
推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截
面上各点处的总应力p相等。
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不 同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影 响”。
工程力学第7章++轴向拉伸与压缩
F1
∆A
dA
y P1 P2 m My
∆FY
C FSz
FSy
∆FN σ = lim ∆A→0 ∆A
Mx
∆FR
FN
x
m
∆FN
∆FY τ = lim ∆A→0 ∆A ∆FZ τ = lim ∆A→0 ∆A
∆FZ
P3
z
Mz
3、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布 应力的分布规律 内力沿横截面均匀分布 4、应力的计算公式： 应力的计算公式： F
∴ FN 1 = 2 F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
轴力图如下图示
O
A FA
B FB 5F
C FC
D FD
FN
2F
F x 3F
4.3 截面上的应力
10KN 10KN
A=10mm2
10KN
10KN A=100mm2
100KN
100KN A=100mm2
哪杆先破坏? 哪杆先破坏?
段内力： 求AB 段内力：
∑X = 0
FN2
FN 2 + FB − FC − FD = 0
FN2= –3F，
段内力： 求BC段内力 段内力 ∑ X = 0 FN 3 − FC − FD = 0 段内力： 求CD段内力： 段内力
FN3= 5F，
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
2、强度条件应用：
Tmax 1）校核强度: max WP
≤
2）设计截面尺寸:WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [ ]
m
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. 16
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 二、 扭转杆的变形计算 1、扭转变形：（相对扭转角）
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 复习 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。 扭矩大小可利用截面法来确定。
Me A
1 1 1
Me B
Me
T
1 1
A
x
T Me
Me B
T
1
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 复习： 二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图 m 1、扭转杆件的内力（截面法）
§9-4 扭转时圆轴的强度和刚度计算 回顾
强度、刚度
材料的力学性质
韧性材料低碳钢轴向拉伸时的四个阶段:
弹性阶段屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段
脆性材料大多数，从开始加载直至试样
被拉断，变形都很小。只有断裂时的应 力值－强度极限 l1 l0 塑性材料： ≥ 5 %; 脆性材 ＝ 100% 延伸率 l0 料： <5 % 韧性材料在压缩时,弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同 脆性材料如铸铁，压缩时特点： 0的斜面。 压 拉 2 ：破坏面大约为 45 1 : (4 ~ 5)
工程力学--轴向拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
三、基本假设
1 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 2 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力图意义:
1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。 3 特点：突变值 = 集中载荷大小（方向？同学自己思考）
N kN
+
10
–
25
+
10
x
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
[例4-2] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 3 30KN 2 30KN 1 20KN DE 段： N1 20 kN
RA A
3
40 +
B
10
C2D
+ –
1
E
BD段： N 2 30 20 10kN
RA 30 10kN
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
工程力学第七章：剪切和挤压
小结
联接件的外力分析 内力分析 应力分析 实用计算
5
2.5
2.5
220 106 35 2.5 10 6 F N 321N 60
O
综合考虑剪切和挤压强度，应取较小值，
故手柄上端作用力最大值取292N。
总结： 强度计算的步骤与轴向拉压相同，也是按外力分析、内力分析和 强度计算几个步骤进行，此外还需注意下列事项。 ①首先必须取出剪切构件，明确研究对象，画出全部外力的大小 和方向，在此基础上才能正确的找到剪切面和挤压面。 ②正确确定剪切面的位置和剪力大小，剪切面在两相邻的外力作 用线之间，与外力方向平行。 ③正确确定挤压面的位置和挤压力大小，挤压面的计算面积按照 规定进行确定，与外力方向垂直。
FQ 60 F
剪切： FQ AQ
剪切面
O
60 F 6 2 5 35 10 mm
100 106 5 35 10 6 F N 292 N 60
F
F1
F1
Fbs 60 F
600
Fbs 60 F 挤压： bs bs 6 2 Abs 35 2.5 10 mm
例4：如图所示，已知联接手柄的键长度l=35mm，材料的许用切
应力 []= 100MPa ，许用挤压应力为[bs]= 220M Pa，试求手柄上
端力F的最大值。
工程力学第七章
杆件的分类：等截面杆与变截面杆，直杆与曲杆。 杆件的分类：等截面杆与变截面杆，直杆与曲杆。 等直杆
2.板和壳：一个方向的尺寸（厚度） 2.板和壳：一个方向的尺寸（厚度）远小于其它 板和壳 两个方向尺寸的构件。 两个方向尺寸的构件。 3.块件：三个方向（ 3.块件：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不 块件 多的构件。 多的构件。
材料力学绪论 材料的均匀性假设与各向同性假设的区别
如用矢量的长短来表示材料某力学 性能的强弱。 性能的强弱。 则图1.3a表示 则图1.3a表示 1.3a 均匀而非各向同性的材料； 均匀而非各向同性的材料； 1.3b表示 图1.3b表示 各向同性而非均匀的材料； 各向同性而非均匀的材料； 1.3c才表示 图1.3c才表示 均匀且各向同性的材料。 均匀且各向同性的材料。
材料力学绪论
截面法——求内力的基本方法 三、截面法 求内力的基本方法 用截面假想地把构件分成两部分， 用截面假想地把构件分成两部分，以显示并确定内力 的方法。 的方法。 1.用截面法求内力的步骤 求内力的步骤： 1.用截面法求内力的步骤： 欲求某一截面的内力， 1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地 截成两部分。 截成两部分。 取其中任一部分为研究对象，而弃去另一部分。 2）取：取其中任一部分为研究对象，而弃去另一部分。 用作用于截面上的内力， 3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下 部分的作用力。 部分的作用力。 建立留下部分的平衡方程，确定未知的内力。 4）平：建立留下部分的平衡方程，确定未知的内力。
工程力学第7章 应力及强度计算
13
解 由截面法，在距上端为 x截面上的轴力为
14
15
7.2.2 斜截面上的应力 在下一节拉伸与压缩试验中我们会看到，铸铁试件 压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面，这说明仅仅 计算拉压杆横截面上的应力是不够的，还需全面了解杆 件内的应力情况，研究斜截面上的应力。
16
17
沿m-m 截面处假想将杆截成两段，研究左边部分， 如图7.6（b）所示，可得内力为似，也可以得出斜截面 上的总应力 pα 也是均匀分布的，故
29
30
7.3.3 铸铁在拉伸和压缩时的力学性能 铸铁试件外形与低碳钢试件相同，其σ-ε曲线如图 7.13所示。铸铁拉伸时的σ-ε曲线没有明显的直线部分， 也没有明显的屈服和颈缩现象。工程中约定其弹性模量 E 为 150耀180GPa，而且遵循胡克定律。试件的破坏形 式是沿横截面拉断，是材料间的内聚力抗抵不住拉应力 所致。铸铁拉伸时的延伸率δ=0.4% 耀0.5% ，是典型的 脆性材料。抗拉强度极限σtb等于150MPa左右。
45
在实用计算中，假设与剪力FS对应的剪切应力τj在 剪切面m-m 上是均匀分布的，则
46
47
48
7.5.2 挤压的实用计算 前述搭接中，A、B板在外力F作用下，必然通过铆 钉和两板之间的相互挤压（bearing）来实现力的传递。 如果外力足够大，铆钉板上接触面邻近的材料将产生过 大塑性变形而出现挤压破坏，如图7.19（a）所示。A板 与铆钉之间接触并传递力的面是图7.19（b）所示半个圆 柱面，称为挤压面。挤压面上所传递的压力称为挤压力 （bearingforce），用Fbs表示。挤压面上所产生的正应 力称为挤压应力（bearingstress）。图7.19（b）所示挤 压面为半个圆柱面时，其上挤压应力的分布比较复杂。
工程力学-7拉伸
工 程 力 学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
§7. 轴向拉伸与压缩
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种。它所涉及 的一些基本原理与方法比较简单，但却有一定的普遍意义。 建筑物中的支柱都是承压构件
工 程 力 学
2
§7. 轴向拉伸与压缩
工 程 力 学
杨浦大桥，位于上海 杨 浦 区 ， 1993 年 10 月 通车。大桥为双塔双 索面斜拉桥，大桥主 桥 长 1172 米 ， 中 孔 长 602 米，当时居世界之 最。主塔高 208米，两 侧各有 32 对共 256 根拉 索，将桥面悬空拉起。 其中最长一根钢索 328 米，自重 37 吨，能承 受800吨拉力。
28
§7. 轴向拉伸与压缩
轴向拉伸和压缩时杆件的应力 ——轴向拉压杆任意斜截面上的应力
斜截面上最大应力值的确定
工 程 力 学
cos2 , sin 2
( 1 ) max :
0,
F
2
p
max
( 0)
2
, 横截面上。
l3
F2
F2
A A A
对2-2截面右杆段
Fx 0 F1 F2 FN2 0 FN2 15kN
FN
F1
F1
FN2
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
§7. 轴向拉伸与压缩
拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种。它所涉及 的一些基本原理与方法比较简单，但却有一定的普遍意义。 建筑物中的支柱都是承压构件
工 程 力 学
2
§7. 轴向拉伸与压缩
工 程 力 学
杨浦大桥，位于上海 杨 浦 区 ， 1993 年 10 月 通车。大桥为双塔双 索面斜拉桥，大桥主 桥 长 1172 米 ， 中 孔 长 602 米，当时居世界之 最。主塔高 208米，两 侧各有 32 对共 256 根拉 索，将桥面悬空拉起。 其中最长一根钢索 328 米，自重 37 吨，能承 受800吨拉力。
28
§7. 轴向拉伸与压缩
轴向拉伸和压缩时杆件的应力 ——轴向拉压杆任意斜截面上的应力
斜截面上最大应力值的确定
工 程 力 学
cos2 , sin 2
( 1 ) max :
0,
F
2
p
max
( 0)
2
, 横截面上。
l3
F2
F2
A A A
对2-2截面右杆段
Fx 0 F1 F2 FN2 0 FN2 15kN
FN
F1
F1
FN2
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
210 GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。
院
试求：
1．直杆横截面上的绝对值最大的正应力；
2．直杆的总变形量
31
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
广
解：1． 作轴力图
由于直杆上作用有4个
州
轴向载荷，而且AB段与BC
段杆横截面面积不相等，为
汽
Δl FNl
EA
车 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的
胡克定律。
学 其中，FN轴力等于为作用在杆件两端的载荷；E为杆 材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为 院杆 件 的 拉 伸 （ 或 压 缩 ） 刚 度 (tensile or compression
rigidity );式中“＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
于两端都是铰链约束，
院
因而也是承受轴向载荷
的杆件。
6
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
院
试求：
1．直杆横截面上的绝对值最大的正应力；
2．直杆的总变形量
31
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
广
解：1． 作轴力图
由于直杆上作用有4个
州
轴向载荷，而且AB段与BC
段杆横截面面积不相等，为
汽
Δl FNl
EA
车 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的
胡克定律。
学 其中，FN轴力等于为作用在杆件两端的载荷；E为杆 材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为 院杆 件 的 拉 伸 （ 或 压 缩 ） 刚 度 (tensile or compression
rigidity );式中“＋”号表示伸长变形；“－”号表示缩短
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
于两端都是铰链约束，
院
因而也是承受轴向载荷
的杆件。
6
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
名师讲义【赵堔】工程力学第7章轴向拉压变形
用拉应力 [t ]=200 MPa，许用压应力 [c ]=150 MPa
试求：载荷 F 的许用值 [F] 解：1.杆1、2轴力分析
由 Fx 0, Fy 0
FN1 2F (拉伸) FN2 F (压缩)
2. 利用强度条件确定 [F ]
FN 1 A1
[ t ],
2F A1
[ t ]
F A1[ t ] 14.14 kN
F=100 kNFN A x1
B x2
C x
12m 12m
AB：FN1（x1）=F+γA1x1
P
BC：FN2（x2）=F+γL1A1 + γA2x2
F+γL1A1
F L1 A1
A1
F
A1 L1
F L1 A1 L2 A2
A2
F+γL1A1+γL2A2
A2
F L1 A1
L2
轴向拉压杆的变形 节点的位移
一、轴向拉压杆的变形
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。
2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
分析两种变形
L
1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
（1）轴向线应变： L
L
（2）虎克定律:
在弹性范围内, (当 p时)
E
FN
A
l
l
L1
试求：载荷 F 的许用值 [F] 解：1.杆1、2轴力分析
由 Fx 0, Fy 0
FN1 2F (拉伸) FN2 F (压缩)
2. 利用强度条件确定 [F ]
FN 1 A1
[ t ],
2F A1
[ t ]
F A1[ t ] 14.14 kN
F=100 kNFN A x1
B x2
C x
12m 12m
AB：FN1（x1）=F+γA1x1
P
BC：FN2（x2）=F+γL1A1 + γA2x2
F+γL1A1
F L1 A1
A1
F
A1 L1
F L1 A1 L2 A2
A2
F+γL1A1+γL2A2
A2
F L1 A1
L2
轴向拉压杆的变形 节点的位移
一、轴向拉压杆的变形
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。
2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
分析两种变形
L
1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
（1）轴向线应变： L
L
（2）虎克定律:
在弹性范围内, (当 p时)
E
FN
A
l
l
L1
工程力学7
力 学与工程 学 院 学院
§7-3 斜截面上的应力
柔性材料拉, 柔性材料拉,压杆件强度破坏通常沿横截面发生 脆性材料拉, 脆性材料拉,压杆件的实际破坏有时沿斜截面发生 研究斜截面上的应力有利于揭示强度破坏的原因 拉压杆件有斜截面k-k,其法向与杆轴夹角为α 拉压杆件有斜截面 ,其法向与杆轴夹角为α
n2n1p13032kn72拉压杆的强度计算p364371四大假设小结071029应力定义单位系统mpammnmmpamnm强度条件极限应力安全系数k许用应力最大工作应力强度校核尺寸设计确定许用载荷圣维南原理集中力应力集中应力集中系数脆性材料拉压杆件的实际破坏有时沿斜截面发生73斜截面上的应力柔性材料拉压杆件强度破坏通常沿横截面发生研究斜截面上的应力有利于揭示强度破坏的原因73斜截面上的应力关系满足
k
α
P
k
P
§7-3 斜截面上的应力
力 学与工程 学 院 学院
分布内力在斜面k-k上一点的集度定义: 分布内力在斜面 上一点的集度定义: 上一点的集度定义
τ = dA Q ——斜面切向内力集度τ 的合力 斜面切向内力集度 P σσ = cos c1 sdP d P σ d c os α α α = + c o T = cos α P σσ α 2 σcos( α/ c oo α 2 α ) = = dA d( 1A psα) A d s Q Q = sin α P P = sinα1 cosαddPi ndσ αsinα cosα τ = = α P A = A / cos α τττ = s in σ sα= 2 p sin c o s α ) α 2 α dddAA / A(
工程力学-材料力学部分
截面面积A成反比，这一比例关系称为胡克定律。即
FN l l = EA
E 为材料的弹性模量，取值与材料有关，由实验测定， 单位常用GPa。 胡克定律的另一表达式：
s E
32
胡克定律表明：当 FN 和 l 不变时， EA 值越大，绝对 变形量越小。说明EA是杆件抵抗拉压变形能力的度量。
例5.3
F s A l l
s -- 曲线与试样的
几何尺寸无关，可 以代表材料的力学 性能。 s 实质上是名义应 力。 实质上是名义应 变。
1. 低碳钢拉伸的弹性阶段 (OB段)
1、
OA -- 比例段: sp -- 比例极限
s
E
E
s tana
2、
AB --曲线段: se -- 弹性极限
4P、P 的力，方向如图，试计算出杆的轴力。
O A PA B PB C PC
D
PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
F
X
0 FN 1 PA PB P C P D 0
FN1 2 P
同理，求解AB、BC、CD段轴力：
FN2 B PB C PC D PD
– FN2 –PB+PC+PD= 0
内，内力使物体保持或失去其机械性能。
内力分为固有内力和附加内力。 固有内力：构件未受外力作用时的内力。
FN l l = EA
E 为材料的弹性模量，取值与材料有关，由实验测定， 单位常用GPa。 胡克定律的另一表达式：
s E
32
胡克定律表明：当 FN 和 l 不变时， EA 值越大，绝对 变形量越小。说明EA是杆件抵抗拉压变形能力的度量。
例5.3
F s A l l
s -- 曲线与试样的
几何尺寸无关，可 以代表材料的力学 性能。 s 实质上是名义应 力。 实质上是名义应 变。
1. 低碳钢拉伸的弹性阶段 (OB段)
1、
OA -- 比例段: sp -- 比例极限
s
E
E
s tana
2、
AB --曲线段: se -- 弹性极限
4P、P 的力，方向如图，试计算出杆的轴力。
O A PA B PB C PC
D
PD
解： 求OA段内力FN1：设置截面如图
F
X
0 FN 1 PA PB P C P D 0
FN1 2 P
同理，求解AB、BC、CD段轴力：
FN2 B PB C PC D PD
– FN2 –PB+PC+PD= 0
内，内力使物体保持或失去其机械性能。
内力分为固有内力和附加内力。 固有内力：构件未受外力作用时的内力。
轴向拉压应力公式
轴向拉压应力公式
轴向拉压应力公式是用来计算物体在受到轴向拉压力作用时所产生的应力的公式。在力学中，轴向拉压应力是指物体在拉伸或压缩过程中，沿着力的作用方向产生的应力。这种应力可以导致物体的形变和破坏，因此对于工程设计和材料力学分析来说，轴向拉压应力的计算是非常重要的。
轴向拉压应力公式的一般形式是σ = F/A，其中σ表示轴向拉压应力，F表示作用在物体上的拉压力，A表示物体的横截面积。根据这个公式，我们可以根据已知的拉压力和横截面积来计算轴向拉压应力的大小。
在工程实践中，轴向拉压应力公式被广泛应用于各种领域，例如建筑、机械、航空航天等。在这些领域中，设计师和工程师需要计算物体在受到拉伸或压缩力作用时的应力情况，以确保设计的安全性和可靠性。
在建筑领域，轴向拉压应力公式可以用来计算建筑结构中的梁柱和桥梁等元件在受到荷载作用时的应力情况。通过计算得到的应力数值，工程师可以评估结构的承载能力，进而优化设计方案，确保结构的稳定性和安全性。
在机械领域，轴向拉压应力公式可以用来计算机械元件在受到拉伸或压缩力作用时的应力分布情况。通过分析应力分布，工程师可以
确定元件的强度和刚度，从而设计出更加可靠和高效的机械系统。
在航空航天领域，轴向拉压应力公式被广泛应用于飞机和火箭等航天器的设计和分析中。通过计算飞行器结构在受到空气动力学力和重力等作用时的轴向拉压应力，工程师可以评估飞行器的结构强度和耐久性，确保飞行器在各种复杂环境下的安全运行。
除了上述应用领域外，轴向拉压应力公式还可以应用于材料力学的研究中。通过实验和理论分析，研究人员可以利用轴向拉压应力公式来研究材料的力学行为，例如材料的弹性性能、变形行为和破坏机理等。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AB
FNAC
A1
40 103 2000106
2107 Pa -20MPa
BC
FNBC
A2
40 103 1000106
4107 Pa -40MPa
CD
FNCD
A2
20 103 1000106
2107 Pa
20MPa
Mechanic of Materials
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
一、横截面应力
Mechanic of Materials
1、平面假设
① 实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前， 先在表面画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观 察该两横向线在杆件受力后的变化情况。
ac
F
a
c
F
b
d
② 实验现象
bd
变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd， 在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 是分别移至a’b’、c’d’位置。
例4 试:分析该杆由自重(材料容量为γ )引起的横截
面上的应力沿杆长的分部规律。
x
xx
x
Alx xAxlAl x
x l
l
x A N(x) xFNN(Axl()x) （x+）l
（+）
FN(x)
ll xx
l
xl x
(a)
(a)
((a((b)bG)aG))(x()x)(b(G)(c(b()cG)N x))N(x)(c()d(F)c(N)dN)
二、斜截面上应力公式推导：
1. 基本概念
横截面——是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面——与杆轴线不相垂直的截面。
Mechanic of Materials
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
2. 公式推导（采用截面法） α------ 逆时针为正
K
τ------ 顺时针为正
F
F ①全应力：
C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。
FN
x
2、举例：
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
例2 作法图示构件的轴力图
FN1 R 10kN拉
Mechanic of Materials
FN （kN） 10
（+）
50
（+）
（-）
5
20 （+）
FN2 10 40 50kN拉
FN3 55 40 10
②压缩时的轴力为负，即压力为负。
1
1
P1
1
P1
P1
1
P1
P1
FN 正
P1
FN
负
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
R
例1 用截面法求出
各段轴力
1
2
3
4 20kN
切代平
R
1
40kN 55kN 2
25kN 3
4
Fx 0
R 10kN
FN1
R 40 55 25 20 0
① 当 0 时，斜截面k-k成为横截面。 K
达最大值， max F
F
同时 达最小值 m in 0
K
② 当 450 时， 达到最大值， max / 2 ③ 当 900 时， 0 0 表明在平行于杆件
轴线的纵向截面上无任何应力。
作业：6-1a、2ab
轴力和轴力图
如由图
x
FN x A x
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
3、圣维南原理
（1）问题的提出
公式
FN
的适用范围表明：公式不适用于集中力作用
A
点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均
匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就会
发生变化。
F
（a）
F
F/2
(c)
F/2
F/2
F/2
F｛
(b)
｝F F
(d)
｝F
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
课后练习: 一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力
情况，各段长度及横截面尺寸如图所示。已知P=50KN，试求 荷载引起的最大工作应力。
解：（1）作轴力图如图所示
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
（2）圣维南原理
作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。
（3）圣维南原理运用
由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用 同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。
(d)(d)
FN (x) G(x) Ax
x 0,l
(x) FN (x) x
A
x 0,l
Mechanic of Materials
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
2、公式 FN 的应用范围：
A
①外力的合力作用必须与杆件轴线重合
②不适用于集中力作用点附近的区域
③当杆件的横截面沿轴线方向变化缓 慢，而且外力作用线与杆件轴线重 合时，也可近似地应用该公式。
Mechanic of Materials
§6-1轴向拉伸和压缩的概念
一、基本概念：
所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿 着轴线方向发生的伸长或缩短。
F
F
F
F
拉杆
压杆
1、受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合
2、变形特点：轴向伸长或缩短
Mechanic of Materials
为负（同轴力相同） 。
变截面如何求解 应力？危险面如
何确定？
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
A1
A
B
FN (kN)
A2 60kN C 20
例3
20kN
已知：A1
2000mm2，
A2 1000mm2
D(a)
求：各段横截面
(b) 的正应力
40
分析（1）画轴力图（2）求应力
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
拓展
对于等直杆， 当轴力在杆上有变化时，最大轴力所对
应的截面——危险截面。危险截面上的正应力——最大工作 应力。
百度文库 max
FN max A
应力正负号规定
FN
50
（kN） 10 （+）
（+）
（-）
5
20
（+）
x
规定拉应力为正，压应力
（2）由于此柱为变截面杆，上段轴力 小，截面积也小，下段轴力大，截面积 也大，故两段横截面上的正应力都必须 求出，从而确定最大的正应力。
FN1 50103 Pa 0.87MPa
1 A1 240 240106
2
FN 2 A2
150 103 370 370 106
Pa
1.1MPa
由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其
截面与斜截面上的应力； 重点：拉压杆的轴力及轴力图，拉压杆横截面及斜
截面上的应力。 • 难点：拉压杆斜截面上的应力。 • 学时安排：2学时
轴向拉伸与压缩实例
工程实例
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
斜拉桥 长江第 二桥
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例 大仓货架
K
p
F cos
A
0
cos
p
②正应力：
F
FN
p cos cos2
p
③切应力：
p
s in
0
2
sin 2
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
Mechanic of Materials
３、讨论上述公式
从上可知 、 均是 的函数，所以斜截面
的方位不同，截面上的应力也不同。
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
埃菲尔铁塔
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
10kN
Fx 0 FN1 R 0 FN1 R 10kN拉
Fx 0 FN2 10 40 0 FN2 10 40 50kN拉
10kN
40kN
FN2 FN3
10kN 40kN
55kN
FN F//轴
FN4
一侧
Fx 0 FN3 55 40 10 0
FN3 55 40 10 5kN 压
§6-1轴向拉伸和压缩的概念
二、举例说明：
A
B C
F
目录
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
一.轴力FN
P
1.轴力的概念
P
（1）举例
m m
FN
P x
FN
P
用截面法将杆件分成左(右)两部分，利用 x
轴方向的平衡可得 ：
Fx 0 FN P 0 FN P
20 25 5kN压
x FN 4 20kN
= 10 + 40 - 55 + 25拉
选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐 标表示相应截面上的轴力。
拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
思考题
在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过 的力的平移原理将力平移后再作轴力图？
Mechanic of Materials
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
③ 实验结论
变形前为平面的横
截面，变形后仍保持为
平面。 ——平面假设
F
FN
FN
F
平面假设
拉杆所有纵向纤维的伸长相等 材料的均匀性
横截面上 内力是均
匀分布的
各纵向纤维的性质相同
A—横截面面积 —横截面上的应力 FN A
值为1.1MPa, 是正应力。
Mechanic of Materials
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这 是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即 任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆 的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生 的。
结论 因P力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆 件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然与 杆件的轴线相重合。
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力
（其作用线因与杆件的轴线重合而得名）。
2.轴力正负号规定：
①规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正；
西工大
目录
截面上的应力
——横截面上的应力
目录
——斜截面上的应力
目录
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
第七讲的目录
§6-1轴向拉伸和压缩的概念 §6-2 轴向拉压杆的内力
----轴力与轴力图 §6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
第七讲的内容、要求、重难点
教学内容：
• 拉压杆内力、应力 • 教学要求： • 1、理解拉伸与压缩的概念； • 2、掌握拉压杆的内力——轴力与轴力图，拉压杆横
FN 4 20kN=10 + 40-55+ 25拉
20kN
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
Mechanic of Materials
二.轴力图: 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法：
A、用截面法求出各段轴力的大小；
B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x)
P
P
Mechanic of Materials
圣文南(Saint-Venant)原理
P
P
P
P
P
P
P
P
理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区 域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都 趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。
Mechanic of Materials