工程力学第7讲轴向拉压内力、应力
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轴向拉伸与压缩1(内力与应力)
内力与应力的关系
在轴向压缩过程中，内力是抵抗压 缩变形的主要力量，应力则表示单 位面积上的内力，是衡量物体抵抗 变形能力的物理量。
内力与应力的定义
内力定义
内力是指物体受到外力作用时，物体 内部各部分之间产生的相互作用力。 在轴向拉伸与压缩过程中，内力主要 用于抵抗外力引起的变形。
应力定义
应力是指单位面积上的内力，用于描 述物体抵抗变形的能力。在轴向拉伸 与压缩过程中，应力的大小决定了物 体变形的程度。
轴向拉伸与压缩1(内力与 应力)
• 引言 • 轴向拉伸与压缩的概念 • 内力的计算 • 应力的计算 • 轴向拉伸与压缩的应力分析 • 轴向拉伸与压缩的实验研究 • 总结与展望
01
引言
主题简介
01
轴向拉伸与压缩是材料力学中的 基本概念，主要研究物体在轴向 拉力和压力作用下的变形和应力 分布。
02
03
内力的计算
内力计算公式
截面法
通过选取一个或多个横截面，将杆件分为两部分，然后根据力的平衡原理计算 横截面上的内力。
截面法公式
$F = frac{F_{1} - F_{2}}{L}$，其中 $F$ 是内力，$F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是作用在 杆件上的外力，$L$ 是杆件的长度。
内力计算实例
结论
总结实验结果，得出材料在轴向拉伸与压缩过程中的内力、 应力变化规律以及材料的弹性模量，为工程应用提供参考依 据。
07
总结与展望
本章内容总结
01
02
03Βιβλιοθήκη 04轴向拉伸与压缩的概念 和定义
内力的计算方法和公式
应力分布和应力的计算
轴向拉伸与压缩的实验 方法和应用
下一步学习计划
在轴向压缩过程中，内力是抵抗压 缩变形的主要力量，应力则表示单 位面积上的内力，是衡量物体抵抗 变形能力的物理量。
内力与应力的定义
内力定义
内力是指物体受到外力作用时，物体 内部各部分之间产生的相互作用力。 在轴向拉伸与压缩过程中，内力主要 用于抵抗外力引起的变形。
应力定义
应力是指单位面积上的内力，用于描 述物体抵抗变形的能力。在轴向拉伸 与压缩过程中，应力的大小决定了物 体变形的程度。
轴向拉伸与压缩1(内力与 应力)
• 引言 • 轴向拉伸与压缩的概念 • 内力的计算 • 应力的计算 • 轴向拉伸与压缩的应力分析 • 轴向拉伸与压缩的实验研究 • 总结与展望
01
引言
主题简介
01
轴向拉伸与压缩是材料力学中的 基本概念，主要研究物体在轴向 拉力和压力作用下的变形和应力 分布。
02
03
内力的计算
内力计算公式
截面法
通过选取一个或多个横截面，将杆件分为两部分，然后根据力的平衡原理计算 横截面上的内力。
截面法公式
$F = frac{F_{1} - F_{2}}{L}$，其中 $F$ 是内力，$F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是作用在 杆件上的外力，$L$ 是杆件的长度。
内力计算实例
结论
总结实验结果，得出材料在轴向拉伸与压缩过程中的内力、 应力变化规律以及材料的弹性模量，为工程应用提供参考依 据。
07
总结与展望
本章内容总结
01
02
03Βιβλιοθήκη 04轴向拉伸与压缩的概念 和定义
内力的计算方法和公式
应力分布和应力的计算
轴向拉伸与压缩的实验 方法和应用
下一步学习计划
第07讲轴向力应变
例1： 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示 杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。 1 2 3 解:外力FR，F1，F2， F2 A F1 F3 F3将杆件分为AB、 B C D FR BC和CD段，取每段 1 2 3 左边为研究对象，求 F2 FN1 得各段轴力为：
∆L = - 0.025mm
d AB 例5：阶梯形杆各段直径分别为： = 12mm, d BC = 14mm, dCD = 10mm, l1 = 100 mm, l2 = 50 mm, l3 = 200 mm ，求(1)各段的纵向线应变；(2)全杆的纵 向变形；(3)各段直径的改变。材料的 E = 2 ×105 MPa, µ = 0.3. 解：作内力图，求各 段的内力。 4kN 3kN 7kN F = F = 4 kN
例：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出轴 2 A1 = 200mm， 较 粗 力图。若杆件较细段横截面面积 L 段 A2 = 300mm 2 ，材料的弹性模量 E = 200GPa， = 100mm 求杆件的总变形。 解：分别在AB、 BC段任取截面， 如图示，则： 10KN A 40KN B L L C 30KN
轴力图：
用平行于杆轴线的x坐标表示 横截面位置，用垂直于x的坐 标FN表示横截面轴力的大小， 按选定的比例，把轴力表示 在x-FN坐标系中，描出的轴力 随截面位置变化的曲线，称 为轴力图。 F FN m
m F
x
FN 与杆件横截面的外法线同向 为正轴力 拉力 ，反之为负。 与杆件横截面的外法线同向,为正轴力 拉力)，反之为负。 为正轴力(拉力 FN 轴力图特点： 轴力图特点： ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； FN ②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置。 FN FN FN >0 FN <0
《工程力学》轴向拉伸与压缩
（b）
P
。
F A
cos
cos
将总应力 P 分解为垂直于斜截面的正应力 和相
切于斜截面的切应力 （图5-9），得
p p
cos cos2 (1 cos 2 )
sin
n
2 cos
sin
2
2
（5-3） （5-4）
5.4.2 横截面上的最大正应力和最大剪应力 当 00 时，斜截面就成为横截面， 达到最大值，而 0 ，即
平行于外力的面efgh相对面abcd的滑移量．称为绝对剪切变形。相对剪切变形为这个矩形
直角的微小改变量，称为切应变或角应变，用弧度(rad)来度量，即
ee' tan dx
角应变 和线应变是度量构件变形程度的两个物理量。实验证明：当切应力不超过材
P
FN A
式中，FN 为拉压杆斜截面上的内力；A 为斜截面的面积；P 为斜截面上的总应力。
根据受力图5-9c，有平衡条件 Fix 0 可求得斜截面上的内力为
FN F
（a）
斜截面面积与横截面面积的关系为
将式（a）、式（b）代入式（A5-c2oAs） ，得 式中，为横截面上的正应力， Fn / A
面左边一段为研究对象，如图,5-4(c)
所示，那么
Fx 0 ，即N2－F1－NA=0
得N2=20kN
同理，N2从为正值，说明N2为拉力。
在求3-3截面的内力时，为了简便，可
取右段为研究对象，如图5-4(d)所示，
设轴力为N2，轴力向右。由静力学平衡
条件可知
Fx 0 ，即N2－F3=0
得N3=F3=－30kN
5.2.3 轴力图 图5-3(a)所示的杆件为用截面法杆件的内力。 (1)假想把杆件在m-m截面截为两部分，求m-m截 面上的内力。 (2)如图5-3(b)所以留下左部分，去掉右部分。 截面上用分布内力的合力付来代替右段对左段的 作用力，合力肿的作用线与外力F的作用线重合。 (3)如图5-3(c)所示留下右部分，去掉左部分。 同理仍然在截面m-m上有与截面左部分相互作用的分布内力的合力外。 (4)杆件在一对F力作用下平衡为二力杆，用截面m-m截开后，各部分仍然保持原 来平衡状态。因此采用静力平衡方程，可以求出内力N的大小，即 取左段为研究对象，有Fx 0, N F 0, 则 N F 取右段为研究对象，有 Fx 0,F N' 0, 则 N ' F
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
工程力学之材料力学轴向拉压应力
F dF ，其 A dA
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
5
第四章 轴向拉伸和压缩
某一截面上法向分 法向分量 总应力 p 切向分量 应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
6
正应力s
布内力在某一点处
的集度 某一截面上切向分
＊轴力图：用平行于杆件轴线的x坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆件 轴线的纵坐标FN表示对应横截面上的轴力，所绘出的轴力随横截面位置变化的 函数图线称为轴力图。FN是横截面位置坐标x的函数。即 FN FN (x)
例4.1 直杆AD受力如图所示。已知F1=16kN， F2=10kN， F3=20kN，求 各段杆件的内力并画出直杆AD的轴力图。
剪应力t
布内力在某一点处 的集度
第四章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN s d A
A
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与剪应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时 可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力FN； 横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。
斜截面上的总应力：
F F F p cos s 0 cos A A / cos A
式中，s 0
F 为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。 A
17
第四章 轴向拉伸和压缩
斜截面上的正应力(normal stress)和剪应力(shearing stress)：
s p cos s 0 cos2
FN 1 F1 16 kN FN 2 F1 F2 16 10 6 kN FN 3 FD 14kN
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
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17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
轴向拉压内力、应力
FN 4 20kN=10 + 40-55+ 25拉
20kN
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
Mechanic of Materials
二.轴力图: 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法： A、用截面法求出各段轴力的大小；
B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x)
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
R
例1 用截面法求出
各段轴力
1
2N 2
25kN 3
4
Fx 0
R 10kN
FN1
R 40 55 25 20 0
10kN
Fx 0 FN1 R 0 FN1 R 10kN拉
FN3 55 40 10
20 25 5kN压
x FN 4 20kN
= 10 + 40 - 55 + 25拉
选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐 标表示相应截面上的轴力。
拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。
§8-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
一、横截面应力
C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。
FN
x
2、举例：
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
例2 作法图示构件的轴力图
FN1 R 10kN拉
Mechanic of Materials
FN （kN） 10
（+）
50
（+）
（-）
5
20 （+）
FN2 10 40 50kN拉
Pa
20kN
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
Mechanic of Materials
二.轴力图: 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法： A、用截面法求出各段轴力的大小；
B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x)
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
R
例1 用截面法求出
各段轴力
1
2N 2
25kN 3
4
Fx 0
R 10kN
FN1
R 40 55 25 20 0
10kN
Fx 0 FN1 R 0 FN1 R 10kN拉
FN3 55 40 10
20 25 5kN压
x FN 4 20kN
= 10 + 40 - 55 + 25拉
选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵坐 标表示相应截面上的轴力。
拉力绘在x轴的上侧，压力绘在x轴的下侧。
§8-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
一、横截面应力
C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。
FN
x
2、举例：
§8-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
例2 作法图示构件的轴力图
FN1 R 10kN拉
Mechanic of Materials
FN （kN） 10
（+）
50
（+）
（-）
5
20 （+）
FN2 10 40 50kN拉
Pa
课题七轴向拉、压杆的内力及应力计算
为N，则
N A
正应力的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
例：如图7-2a悬臂梁，已知P1=20KN，P2=30KN，P3=10KN，试画出杆的轴力图。 解：（1）计算各段的轴力
AB段：用1-1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象，以 N1表示截面上的轴力，并假设为拉力。写出平 衡方程： ∑X=0，N1+P1=0 得 N1=-P1=-20KN 负号表示AB段轴力N1实际为压力。 BC段：同理写出平衡方程： ∑X=0，N2+P1-P2=0
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
三、轴力图
表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。用平行于杆轴线的坐 标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比 例尺把正轴力画在轴的上方，负轴力画在轴的下方，并连成直线，就得到轴力 图。
四、轴向拉、压杆横截面上的应力
单位面积上的内力叫做应力。应力反映了内力分布的密集程度。其中，与截 面垂直的应力为正应力，与截面相切的应力为剪应力。轴向拉伸、压缩时，杆件 截面上各点处产生正应力，且大小相等。若应力用σ表示，横截面积为A，轴力
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力按选定的比例尺把正轴力画在轴的上方负轴力画在轴的下方并连成直线就得到轴力图
课题七 轴向拉、压杆的内力及应力计算
一、轴向拉伸和压缩
受力特点：直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等，方向相反的力。 变形特点：在外力作用下产生轴线方向的伸长或缩短。 当作用力背离杆端时，作用力是拉力，杆件产生伸长变形，叫做轴向拉伸。 见图7-1a 当作用力指向杆端时，作用力是压力，杆件产生压缩变形，叫做轴向压缩。 见图7-1b
工程力学7.轴向拉伸和压缩
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比（或横向变形系数）
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ，如图 变形图严格画法，图中弧线 变形图近似画法，图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形： ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应
变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
2.单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质： a）平行面上，应力均布；
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比（或横向变形系数）
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ，如图 变形图严格画法，图中弧线 变形图近似画法，图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形： ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应
变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
2.单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质： a）平行面上，应力均布；
名师讲义【赵堔】工程力学第7章轴向拉压变形
L FN L EA
（虎克定律的另一种表达方式）
EA－抗拉（压）刚度 l－伸长为正，缩短为负
L
2、横向变形：
a a1 a, b b1 b
L1
横向线应变： a b
a
b
实验证明，在弹性范围内：
b1 b
a1 a
—— 横向变形系数（泊松比）
例 试分析杆 AC 的轴向变形 l。 C 截面的位移？
横向线——仍为平行的直线，且间距减小。 纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
F
5、应力的计算公式：
FN
由于“均布”，可 得
A FN
FN
A
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
5、应力的计算公式： FN F
A
6、拉压杆内最大的正应力：
FN
等直杆：
L FN L 11.551.6 1.36(mm) EA 76.36177
例 ：设横梁 ABCD 为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索绕过 无摩擦的滑轮。设 F=20kN，试求：刚索的应力和 C 点的垂直 位移。设刚索的 E =177GPa。 2) 钢索的伸长为：
A
800
A
刚索
B 60°60° D
60
40
FN1 40 KN
x
Fy 0, FN 2 40 60 0
40kN
FN 2 100 KN
100kN
已知：变截面直杆 ABC 的[] =100 MPa ，AB、BC各段的
横截面均为正方形, 求：AB、BC 各段边长 aAB , a BC 。
2、强度条件确定边长： aBC
60KN
用拉应力 [t ]=200 MPa，许用压应力 [c ]=150 MPa
轴向拉压杆内力和内力图
2、挤压面——相互压紧的表面。其面积用Abs表示。 3、挤压力——挤压面上的力。用Fbs表示。 4、挤压应力——挤压面上的压强。用σbs表示。
11
第12页/共50页
五、挤压应力的确定：（实用的挤压应力，名义挤压应力） 假设：挤压面上只存在挤压应力，且挤压应力分布均匀。
bs
Fbs Abs
方向：垂直于挤压面。
max P
G →
G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
19
第20页/共50页
应力分布
（实心截面）
（空心截面）
20
第21页/共50页
二、圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件：
max
Tm ax Wp
2、强度计算：
1）校核强度； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。
max
Tm a x Wp
[ ]
F
第8页/共50页
焊缝
F
7
F
F m
F
F
m
m
m
F
F
二、剪切的概念
受力特点：作用于构件两侧面上的外力合力大小相等，方向相反，且作用 线相距很近。
变形特点：两力之间相邻截面发生相对错动。
剪切面：相对错动的面。
8
第9页/共50页
三、 剪切与挤压的强度计算
1、外力：F。
F m
F
m
F
Fs
τ
2、内力：（截面法）剪力 Fs=F。 3、应力：实用切应力，名义切应力(剪应力） 假设——剪切面上只存在切应力，而且其分布是均匀的。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在 截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
11
第12页/共50页
五、挤压应力的确定：（实用的挤压应力，名义挤压应力） 假设：挤压面上只存在挤压应力，且挤压应力分布均匀。
bs
Fbs Abs
方向：垂直于挤压面。
max P
G →
G
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
19
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应力分布
（实心截面）
（空心截面）
20
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二、圆轴扭转时的强度计算
1、强度条件：
max
Tm ax Wp
2、强度计算：
1）校核强度； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。
max
Tm a x Wp
[ ]
F
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焊缝
F
7
F
F m
F
F
m
m
m
F
F
二、剪切的概念
受力特点：作用于构件两侧面上的外力合力大小相等，方向相反，且作用 线相距很近。
变形特点：两力之间相邻截面发生相对错动。
剪切面：相对错动的面。
8
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三、 剪切与挤压的强度计算
1、外力：F。
F m
F
m
F
Fs
τ
2、内力：（截面法）剪力 Fs=F。 3、应力：实用切应力，名义切应力(剪应力） 假设——剪切面上只存在切应力，而且其分布是均匀的。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在 截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
工程力学第7讲 轴向拉压内力、应力
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
（2）圣维南原理 ）
作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。
Mechanic of Materials of
（3）圣维南原理运用 ）
由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用 (b) (c) (d) 同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。
所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的 所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时， 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿 着轴线方向发生的伸长或缩短。 着轴线方向发生的伸长或缩短。
F F F F
Mechanic of Materials of
拉杆
压杆
1、受力特点 外力或外力合力的作用线与杆轴线重合 受力特点： 受力特点 2、变形特点：轴向伸长或缩短
σBC
FNBC − 40 × 103 = = = −4× 10 7 Pa = -40MPa A2 1000 ×10 −6 FNCD + 20 × 103 = = = 2× 10 7 Pa = 20MPa A2 1000 ×10 −6
σCD
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
例4 试:分析该杆由自重(材料容量为γ )引起的横截 面上的应力沿杆长的分部规律。 x x x lγ Alγ
轴力图: 二.轴力图 表征轴力沿轴变化规律的图象。 轴力图 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法： 、作法： A、用截面法求出各段轴力的大小； B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x) C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。 FN 2、举例： 、举例： x
轴向拉压的内力与内力图.ppt
7.2.2 轴力计算
例2：图示拉压杆，承受三个轴向荷载，求杆各段的轴力。
A 2F 2F
1
F
1 FN1
B
2
2 FN2
C F
F
ΣFx=0 FN1-2F=0 FN1=2F(拉）
ΣFx=0 F-FN2=0 FN2=F(拉）
7.2.2 轴力计算
①截：在需要求内力的截面处假设将杆件切成两部分。 ②取：原则上取受力简单的部分作为研究对象，并弃去另一部分。 ③代：用内力代替弃去部分对研究部分的作用。 ④平：对研究部分建立平衡方程求解内力。
7.2.2 轴力计算
轴力的正负号规定：
➢ 当杆件受拉而伸长时，轴力为拉力，其方向背离 截面，取正号；
➢ 当杆件受压而缩短时，轴力为压力，其方向指向 截面，取负号。
7.2.3 轴力图
图示拉压杆，承受三个轴向荷载，绘制轴力图。
A 2F 2F
B F
FN1=2F
FN2=F
C F
F
ห้องสมุดไป่ตู้FN
2F
轴力图:
F x
7.2.3 轴力图
定义： 表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。 (轴力沿轴线变化的图形）
绘制方法： 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力 按选定的比例尺把正轴力画在轴的上方 负轴力画在轴的下方 并连成直线，就得到轴力图
7.2.3 轴力图
意义： ➢直观反映轴力与截面位置变化关系； ➢确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置， 为强度计算提供依据。
7.2
轴向拉压的内力与内力图
7.2.1 轴向拉伸与压缩
1.轴力：外力或其合力作用线与杆轴线重合时而产生的内力。 2.变形特点：主要变形为轴向伸长或缩短。 ➢ 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩小。 ➢ 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
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结论 因P力的作用线与杆件的轴线重合，故，由杆 件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必然与 杆件的轴线相重合。
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
（2）定义：上述内力的合力N就称为轴力
（其作用线因与杆件的轴线重合而得名）。
2.轴力正负号规定：
①规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正；
二、斜截面上应力公式推导：
1. 基本概念
横截面——是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面——与杆轴线不相垂直的截面。
Mechanic of Materials
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
2. 公式推导（采用截面法） α------ 逆时针为正
K
τ------ 顺时针为正
F
F ①全应力：
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
（2）圣维南原理
作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。
（3）圣维南原理运用
由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用 同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。
FN 4 20kN=10 + 40-55+ 25拉
20kN
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
Mechanic of Materials
二.轴力图: 表征轴力沿轴变化规律的图象。
1、作法：
A、用截面法求出各段轴力的大小；
B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； FN=f(x)
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
第七讲的目录
§6-1轴向拉伸和压缩的概念 §6-2 轴向拉压杆的内力
----轴力与轴力图 §6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
第七讲的内容、要求、重难点
教学内容：
• 拉压杆内力、应力 • 教学要求： • 1、理解拉伸与压缩的概念； • 2、掌握拉压杆的内力——轴力与轴力图，拉压杆横
F
（a）
F
F/2
(c)
F/2
F/2
F/2
F｛
(b)
｝F F
(d)
｝F
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
பைடு நூலகம்
课后练习: 一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力
情况，各段长度及横截面尺寸如图所示。已知P=50KN，试求 荷载引起的最大工作应力。
解：（1）作轴力图如图所示
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
埃菲尔铁塔
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
轴向拉伸与压缩实例
Mechanic of Materials
K
p
F cos
A
0
cos
p
②正应力：
F
FN
p cos cos2
p
③切应力：
p
s in
0
2
sin 2
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
Mechanic of Materials
３、讨论上述公式
从上可知 、 均是 的函数，所以斜截面
的方位不同，截面上的应力也不同。
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
一、横截面应力
Mechanic of Materials
1、平面假设
① 实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前， 先在表面画上两条互相平行的横向线ab、cd，然后观 察该两横向线在杆件受力后的变化情况。
ac
F
a
c
F
b
d
② 实验现象
bd
变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd， 在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 是分别移至a’b’、c’d’位置。
西工大
目录
截面上的应力
——横截面上的应力
目录
——斜截面上的应力
目录
②压缩时的轴力为负，即压力为负。
1
1
P1
1
P1
P1
1
P1
P1
FN 正
P1
FN
负
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
R
例1 用截面法求出
各段轴力
1
2
3
4 20kN
切代平
R
1
40kN 55kN 2
25kN 3
4
Fx 0
R 10kN
FN1
R 40 55 25 20 0
值为1.1MPa, 是正应力。
Mechanic of Materials
§6-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这 是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即 任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆 的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生 的。
例4 试:分析该杆由自重(材料容量为γ )引起的横截
面上的应力沿杆长的分部规律。
x
xx
x
Alx xAxlAl x
x l
l
x A N(x) xFNN(Axl()x) （x+）l
（+）
FN(x)
ll xx
l
xl x
(a)
(a)
((a((b)bG)aG))(x()x)(b(G)(c(b()cG)N x))N(x)(c()d(F)c(N)dN)
① 当 0 时，斜截面k-k成为横截面。 K
达最大值， max F
F
同时 达最小值 m in 0
K
② 当 450 时， 达到最大值， max / 2 ③ 当 900 时， 0 0 表明在平行于杆件
轴线的纵向截面上无任何应力。
作业：6-1a、2ab
轴力和轴力图
10kN
Fx 0 FN1 R 0 FN1 R 10kN拉
Fx 0 FN2 10 40 0 FN2 10 40 50kN拉
10kN
40kN
FN2 FN3
10kN 40kN
55kN
FN F//轴
FN4
一侧
Fx 0 FN3 55 40 10 0
FN3 55 40 10 5kN 压
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
拓展
对于等直杆， 当轴力在杆上有变化时，最大轴力所对
应的截面——危险截面。危险截面上的正应力——最大工作 应力。
max
FN max A
应力正负号规定
FN
50
（kN） 10 （+）
（+）
（-）
5
20
（+）
x
规定拉应力为正，压应力
P
P
Mechanic of Materials
圣文南(Saint-Venant)原理
P
P
P
P
P
P
P
P
理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区 域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都 趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。
Mechanic of Materials
C、拉力绘在 x 轴的上侧，压力绘在 x 轴的下侧。
FN
x
2、举例：
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
例2 作法图示构件的轴力图
FN1 R 10kN拉
Mechanic of Materials
FN （kN） 10
（+）
50
（+）
（-）
5
20 （+）
FN2 10 40 50kN拉
FN3 55 40 10
§6-1轴向拉伸和压缩的概念
二、举例说明：
A
B C
F
目录
Mechanic of Materials
§6-2 轴向拉压杆的内力----轴力与轴力图
一.轴力FN
P
1.轴力的概念
P
（1）举例
m m
FN
P x
FN
P
用截面法将杆件分成左(右)两部分，利用 x
轴方向的平衡可得 ：
Fx 0 FN P 0 FN P
为负（同轴力相同） 。
变截面如何求解 应力？危险面如
何确定？
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
Mechanic of Materials
A1
A
B
FN (kN)
A2 60kN C 20
例3
20kN
已知：A1
2000mm2，
A2 1000mm2
D(a)
求：各段横截面
(b) 的正应力
40
分析（1）画轴力图（2）求应力
Mechanic of Materials
§6-3 拉压杆横截面及斜截面上的应力
③ 实验结论
变形前为平面的横
截面，变形后仍保持为
平面。 ——平面假设
F
FN
FN
F
平面假设
拉杆所有纵向纤维的伸长相等 材料的均匀性
横截面上 内力是均
匀分布的
各纵向纤维的性质相同