新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

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2020版高考数学一轮复习课时作业22《三角函数的图象》(含解析)

课时作业22 三角函数的图象一、选择题1.函数y ＝sin(2x －π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( A )解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2.为了得到函数y ＝3sin2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( B )A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度解析：将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin2x 的图象，再将y ＝3sin2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin2x ＋1的图象，故选B.3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( D )A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析：由图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.4.将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( D )A.y ＝2sin(2x ＋π4)B.y ＝2sin(2x ＋π3) C.y ＝2sin(2x －π4) D.y ＝2sin(2x －π3)解析：函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，所以将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3).故选D.5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( D )A.－ 3B.33C.1D. 3 解析：由题意可知该函数的周期为π2， ∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan2x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 6.若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于( B )A.5B.4C.3D.2解析：由图象可知T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，即T ＝π2＝2πω，故ω＝4. 7.将函数f (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有的性质是( B )A.最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D.周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：将函数f (x )＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos2x －π4＝sin2x 的图象，当x ＝π2时，g (x )＝0，故A 错，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数，故B 正确，C 错，当x ＝3π8时，g (x )＝22，故D 错，故选B.二、填空题8.(2019·山西八校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝－5π6.解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6.9.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z .解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值. 10.将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6.解析：由题意得y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，把其图象向左平移m (m >0)个单位后得到的图象的解析式为y ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋m )＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3，其为偶函数的充要条件是m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得m 的最小值为π6.11.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为20.5℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos π6×4＝20.5. 三、解答题12.(2019·石家庄模拟)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值. 解：(1)∵函数f (x )的最小值为－1， ∴－A ＋1＝－1，即A ＝2.∵函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，得α＝π3.13.(2019·石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos[ω(x －π3)＋π3]＝cos(ωx －ωπ3＋π3)，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos(ωx －π2＋2k π)，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间.解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2.由x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴得2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π3，k ∈Z .又|φ|≤π2，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋sin2x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.(2019·福州市测试)将函数y ＝2sin x ＋cos x 的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y ＝2sin x －cos x 的图象，则sin φ的值为45.解析：因为y ＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)，所以y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x －θ)，其中cos θ＝25，sin θ＝15，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin2θ＝2sin θcos θ＝45.16.设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是 5.解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝(x 0＋1－x 0)2＋(－1－1)2＝ 5.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十五三角函数图象与性质的综合问题含解析

课时跟踪检测（二十五）三角函数图象与性质的综合问题1．(2018·漯河高级中学二模)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6在[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的周期T ＝6，当x ＝0时，y ＝12，当x ＝1时，y ＝1，所以函数y ＝sin ( π3x ＋π6 )在[0，t ]上至少取得2次最大值，有t －1≥T ，即t ≥7，所以正整数t 的最小值为7.故选B.2．(2019·合肥高三调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π6的图象，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝－3k －1.易知当k ＝－1时，ω取最小正值2，故选B. 3．(2018·东北五校协作体模考)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝( ) A ．2 B ．－2 C.32D ．－32解析：选B 因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2，故选B.4．(2019·武昌调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．3 B.32 C.43D.23解析：选A 将f (x )的图象向右平移2π3个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，由题意知2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω>0，所以ω的最小值为3，故选A.5．(2019·衡水中学月考)将函数f (x )＝sin 2x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象．若g (x )在区间[0，a ]上单调递增，则a 的最大值为( )A.π8B.π4C.π6D.π2解析：选D f (x )的图象向右平移π4个单位长度得到g (x )＝sin [ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ]＝－cos2x 的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x ≤π，即0≤x ≤π2时，g (x )单调递增，故a的最大值为π2.6．(2019·郴州一中月考)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，32，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3C ．[1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫334，3 解析：选D ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0在函数图象上，∴A sin [ 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝π6.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，32在函数图象上，∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＝32，∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，当方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2a －3有两个不同的交点，由图象可知32≤2a －3<3，∴334≤a < 3.故选D.7．(2018·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数f (x )＝1x ＋a ，若存在φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，使f (sin φ)＋f (cos φ)＝0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：选B 由题意，1sin φ＋a ＋1cos φ＋a ＝0有解，∴sin φ＋a ＋cos φ＋a ＝0，∴－2a ＝sin φ＋cos φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴φ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴sin ( φ＋π4)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4∈(1，2)，∴－2a ∈(1，2)，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－12.当－22<a <－12时，∵sinφ>22，∴sin φ＋a ≠0.又∵(sin φ＋a )＋(cos φ＋a )＝0，∴cos φ＋a ≠0.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－12时，方程1sin φ＋a ＋1cos φ＋a ＝0有解．故选B.8．(2018·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已知函数f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ－2sin x cos x cos ( π2－θ)⎝⎛⎭⎪⎫|θ|≤π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，－π6上单调递增．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[1，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：选C ∵f (x )＝(1－2cos 2x )sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ－2sin x ·cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝－cos2x (－cos θ)－sin 2x sin θ＝cos(2x ＋θ)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，∴由函数递增知⎩⎪⎨⎪⎧－π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤0，解得－π4≤θ≤π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，0≤π4＋θ≤7π12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8≤1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8≤m 恒成立，∴m ≥1.故选C. 9．(2018·江西师大附属中学月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中ω>0.若|f (x )|≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为________．解析：由题意得π12ω＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即ω＝24k ＋4(k ∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4.答案：410．(2018·新余一中模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为________．解析：由0≤x ≤1得π4≤ωx ＋π4≤ω＋π4，若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，根据正弦函数图象可知，应满足4π＋π2≤ω＋π4<6π＋π2，解得17π4≤ω<25π4. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17π4，25π411．(2018·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－12(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．求函数g (x )在[－π，π]上的单调递减区间和零点．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6cos ( ωx －π6 )－12＝12[ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋3sin ( 2ωx －π3 ) ]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，由T ＝2π2ω＝π得ω＝1.(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，g (x )在[－π，π]上的单调递减区间为( －π，－2π3 )，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，零点为x 0＝k π－π6(k ∈Z)．又∵x 0∈[－π，π]，∴g (x )在[－π，π]上的零点是－π6，5π6.12．(2018·阳江调研)已知a ，b ∈R ，a ≠0，函数f (x )＝－2(sin x ＋cos x )＋b ，g (x )＝a sin x cos x ＋a 2＋1a＋2.(1)若x ∈(0，π)，f (x )＝－255＋b ，求sin x －cos x 的值；(2)若不等式f (x )≤g (x )对任意的x ∈R 恒成立，求b 的取值范围．解：(1)依题意得sin x ＋cos x ＝105，∴sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝25，即2sin x cos x ＝－35，∴1－2sin x cos x ＝85，即sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝(sin x －cos x )2＝85，由2sin x cos x ＝－35<0，x ∈(0，π)，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，∴sin x －cos x ＝2105. (2)不等式f (x )≤g (x )对任意的x ∈R 恒成立，即不等式b ≤a sin x ·cos x ＋2(sin x＋cos x )＋a 2＋1a＋2对任意的x ∈R 恒成立，即b ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a sin x cos x ＋2x ＋cos x ＋a 2＋1a ＋2min . 设y ＝a sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )＋a 2＋1a＋2，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12.令m (t )＝a t 2－2＋2t ＋a 2＋1a ＋2＝a 2t 2＋2t ＋1a ＋2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋22a t ＋1a＋2＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋2a 2＋2.1°当－2a<－2，即0<a <1时，m (t )在区间[－2，2]上单调递增，∴m (t )min ＝m (－2)＝a ＋1a.2°当－2≤－2a<0，即a ≥1时，m (t )min ＝m ⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＝2.3°当0<－2a≤2，即a ≤－1时，m (t )min ＝m ()－2＝a ＋1a.4°当－2a>2，即－1<a <0时，m (t )min ＝m (－2)＝a ＋1a.∴y min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，a ≥1，a ＋1a，a <1且a ≠0，∴当a ≥1时，b ≤2；当a <0或0<a <1时，b ≤a ＋1a.。

高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.4．(·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[B 级保分题——准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．(·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 3．(·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.故选B.4．(·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.5．(·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6.故选C.6．(·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos 2x ＋2φ2＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B.7．(·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 12x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2k ∈Z .∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π4(k ∈Z)，∴函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4 9．(·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1.答案：110．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故排除①.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，故②正确．函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误．当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0，综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确．答案：②④12．(·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，1，k ∈Z.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.13．(·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十任意角和蝗制任意角的三角函数含解析

课时跟踪检测（二十）任意角和弧度制、任意角的三角函数[A 级基础题——基稳才能楼高]1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵π2<2<π，∴2弧度的角在第二象限．2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P 在第三象限．3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．4．半径为1 cm ，圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A.23 cm B.2π3 cm C.56cm D.5π6cm 解析：选D ∵α＝150°＝56π rad，∴l ＝α·r ＝56π cm.5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D.[B 级保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( )A ．sin 2B ．－sin 2C ．cos 2D ．－cos 2 解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝y r＝－cos 2.3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos βD ．tan α>tan β解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，所以tan 2α>tan 2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ( α－2 020π2＋π2 )＝sin ( α＋π2 )＝cos α＝35.故选C.6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.7．终边在坐标轴上的角的集合是( ) A ．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z} B ．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z} C ．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z} D ．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z. 分别代入选项C 进行检验：(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°； (3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°； (4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°. 综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}． 8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为{ α⎪⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z }.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1. ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.答案：－11π3，－5π3，π3，7π39．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________．解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， ∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－15.当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝15.故sin θ＋cos θ＝±15.答案：±1510．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.答案：(－2,3]11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：设r ＝|OP |＝3a2＋4a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝45，cosα＝3a 5a ＝35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3；故与角α终边相同的角β的集合为{ β|β＝π3＋2k π，k ∈Z }.(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23π.。

课时跟踪检测(二十二) 三角函数的图象与性质

课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质[达标综合练]1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．πD.π2解析：选C 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 2.在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数的是( ) A ．y ＝cos x2B ．y ＝cos(－2x )C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 解析：选B y ＝cos x2的周期为4π，不符合要求．y ＝cos(－2x )＝cos 2x ，令t ＝2x ，t＝2x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，y ＝cos t 在t ∈(0，π)上为减函数，所以y ＝cos(－2x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，符合要求．同理可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π2上先增后减，y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．故选B.3.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减解析：选D 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.4．函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＋sin xcos x －sin x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C ．πD ．2π解析：选B 通分可得f (x )＝2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝sin 2xcos 2x ＝ tan 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝π2.5．函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D 由y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可以排除A 、C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π22＝sin π24≠1，排除B ，故选D. 6．(2020·德阳模拟)若函数f (x )＝3sin x －cos x 在[－m ，m ]上是增函数，则m 的最大值为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选B 函数f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π(k ∈Z )，故当k ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.∵f (x )在[－m ，m ]上是增函数，∴[－m ，m ]⊆⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，∴－m ≥－π3，m ≤2π3， ∴m ≤π3，故m 的最大值为π3.故选B.7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则f (x )的最小正周期是________，当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π. 由π6≤x ≤π2，得0≤2x －π3≤2π3， ∴f (x )的取值范围是[0,1]．答案：π [0,1]8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b .答案：c <a <b9.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：结合余弦函数的图象得π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，解得ω＝8k ＋23，k ∈Z .又∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值，最小值为23.答案：2310．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：因为f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以cos φ＝0，因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又因为0<φ<2π3，所以π3<π3＋φ<π.所以π3＋φ＝2π3，φ＝π3.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调增区间； (3)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域．解：(1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z . (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22，故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22. [素养强化练]1．[数学运算]函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π解析：选C 由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝0，则得函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 2．[直观想象]已知函数f (x )＝a sin x －3cos x 的一条对称轴为x ＝－π6，且f (x 1)·f (x 2)＝－4，则|x 1＋x 2|的最小值为( )A.π3B.2π3C.π2D.3π4解析：选B f (x )＝a sin x －3cos x ＝3＋a 2sin(x ＋φ)，由于函数的对称轴为x ＝－π6，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－a 2－32为最大值或最小值，即⎪⎪⎪⎪－a 2－32＝3＋a 2，解得a ＝1.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由于f (x 1)·f (x 2)＝－4，所以函数必须在x 1，x 2处分别取得最大值和最小值，所以不妨设x 1＝2k 1π＋5π6，x 2＝2k 2π－π6，k 1∈Z ，k 2∈Z ，则|x 1＋x 2|＝2(k 1＋k 2)π＋2π3，k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以|x 1＋x 2|的最小值为2π3.3．[直观想象]设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：由题意可得f (x 1)是函数的最小值，f (x 2)是函数的最大值，故|x 1－x 2|的最小值等于函数的半个周期，为12T ＝12·2ππ2＝2.答案：24．[逻辑推理]设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π12＜φ＜π2，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12＜φ＜π2，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12＜φ＜π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④5．[数学运算]已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos 2x ＋14，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)判断函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)由题意知f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －cos 2x ＋14＝32sin x ·cos x －12cos 2x ＋14＝34sin 2x －14(1＋cos 2x )＋14 ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－2π3，π3， ∴当2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π6时，f (x )单调递减；当2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，f (x )单调递增．。

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测 (二十二 ) 三角函数的图象与性质[A 级||| 根底题 - -基稳才能楼高]1．(2021·河北枣强中学二模)以下四个函数中 ,以π为最|||小正周期 ,且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 π上为减函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝2|cos x | C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项 ,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 3π4上单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4 π上单调递增 ,故排除A ；B 选项 ,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 π上单调递增 ,故排除B ；C 选项 ,函数的周期是4π ,故排除C.应选D.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ,以下说法正确的选项是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 0为其图象的一个对称中|心 D ．最|||小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数 ,A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 π3上单调递增 ,B 错；最|||小正周期为π2 ,D 错；由2x －π3＝k π2 ,k ∈Z ,得x ＝k π4＋π6 ,k ∈k ＝0时 ,x ＝π6,所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 0对称．3．(2021·广西五市联考)假设函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π3上的最|||大值为1 ,那么ω＝( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3 ,所以0≤ωx <π3,所以f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π3上单调递增 ,那么f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1 ,即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3 ,所以ωπ3＝π6 ,解得ω＝12,选C.4．(2021·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数 ,假设f (x )的最|||小正周期是π ,且当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2时 ,f (x )＝sin x ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最|||小正周期是π ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ,∵函数f (x )是偶函数 ,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.应选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ,所以该函数图象关于直线x ＝π6对称 ,因为在对称轴处对应的函数值为最|||大值或最|||小值 ,所以选B.[B 级||| 保分题 - -准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2 π2 B ．[0 ,π]C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π 3π2D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3π2 2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的局部关于x 轴对称向上翻折 ,x 轴上方(或x 轴上)的图象不变 ,即得y ＝|cos x |的图象(如图)．应选D.2．(2021·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度 ,得到函数g (x )的图象 ,那么以下说法不正确的选项是( )A ．g (x )的最|||小正周期为πB ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ,所以周期为π ,g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sinπ3＝32 ,直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴 ,g (x )为奇函数 ,应选C. 3．(2021·晋城一模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中|心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0 ,其中ω为常数 ,且ω∈(1,3)．假设对任意的实数x ,总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2) ,那么|x 1－x 2|的最|||小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中|心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0 ,∴π3ω＋π3＝k π ,k ∈Z ,∴ω＝3k －1 ,k ∈Z ,由ω∈(1,3) ,得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最|||小值为函数的半个周期 ,即T 2＝πω＝π2.应选B.4．(2021·广东七校联考)函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最|||大值 ,那么函数y＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π ,k ∈Z ,即φ＝π6＋2k π ,k ∈Z ,所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ,k ∈x ＝π6时 ,cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0 ,所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 0对称 ,不关于直线x ＝π6对称 ,故A 正确 ,C 错误；当x ＝π3时 ,cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32 ,所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 0对称 ,B 错误 ,也不关于直线x ＝π3对称 ,D 错误．应选A.5．(2021·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0 ,π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标 ,在区间(0 ,π)内 ,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点 ,由2x ＋π3＝k π＋π2 ,得x ＝π12＋k π2 ,k ∈Z ,取k ＝1 ,得x ＝7π12 ,可知两个交点关于直线x ＝7π12对称 ,故两个零点的和为7π12×2＝7π6.应选C.6．(2021·闽侯第六中学期末)假设锐角φ满足sin φ－cos φ＝22,那么函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－5π12 2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π12k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π122k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π12k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22 ,所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos 2x ＋2φ2＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62 ,所以由2x ＋5π6∈[2k π ,2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π12 k π＋π12(k ∈Z) ,应选B.7．(2021·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0) ,其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 π3内 ,且f (x )的最|||小正周期大于π ,那么ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π ,k ∈Z ,得x ＝π3ω＋k πω ,k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6 π3内 ,∴π6<π3ω＋k πω<π3 ,k ∈Z ,∴3k ＋1<ω<6k ＋2 ,k ∈∵f (x )的最|||小正周期大于π ,∴2πω>π ,解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．应选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 12x ≥0 x ＋π4≠k π＋π2k ∈Z .∴0<x ≤2 ,且x ≠k π＋π4(k ∈Z) ,∴函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪0<x ≤2 且x ≠π4. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪0<x ≤2 且x ≠π4 9．(2021·四川双流中学模拟)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0) ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ,且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 π上单调递减 ,那么ω＝________. 解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 ,可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 ,∴π4ω＋π4＝π2＋k π ,k ∈Z ,∴ω＝1＋4k ,k ∈Z ,又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2 π上单调递减 ,∴T 2≥π－π2＝π2 ,T ≥π ,∴2πω≥π ,∴ω≤2 ,又ω＝1＋4k ,k ∈Z ,∴当k ＝0时 ,ω＝1.答案：110．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中|心完全相同 ,假设x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2 ,那么f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中|心完全相同 ,可知两函数的周期相同 ,故ω＝2 ,所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ,当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2时 ,－π6≤2x －π6≤5π6 ,所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1 ,故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 3.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 311．(2021·郴州二模)函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ,给出以下四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4 π4上单调递增；③函数f (x )的最|||小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ,由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0 , 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 , 故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称 ,故排除①.在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4 π4上 ,f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ,2x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2 π2单调递增 ,故②正确．函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 3 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0 , 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3 ,故函数f (x )的最|||小正周期不是π ,故③错误．当cos x ≥0时 ,f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ,故它的最|||大值为2 ,最|||小值为－2；当cos x <0时 ,f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0 , 综合可得 ,函数f (x )的最|||大值为2 ,最|||小值为－2 ,故④正确．答案：②④12．(2021·天津实验中学第二次阶段考试)函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最|||小正周期和图象的对称中|心；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的最|||大值和最|||小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1 ,∴f (x )的最|||小正周期为2π2＝π ,图象的对称中|心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12＋k π2 1 ,k ∈Z.(2)x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2时 ,2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6 5π6,当2x －π6＝π2 ,即x ＝π3时 ,函数有最|||大值2；当2x －π6＝－π6 ,即x ＝0时 ,函数有最|||小值12.13．(2021·武汉调研)函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)假设a ＝－1 ,求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0 ,π]时 ,函数f (x )的值域是[5,8] ,求a ,b 的值．解：函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时 ,f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1 ,由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z) ,得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z) ,∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4 ,2k π＋5π4 ](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π ,∴π4≤x ＋π4≤5π4 ,∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1 ,依题意知a ≠0. ①当a >0时 ,得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋a ＋b ＝8b ＝5∴a ＝32－3 ,b ＝5.②当a <0时 ,得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝82a ＋a ＋b ＝5∴a ＝3－3 2 ,b ＝8.综上所述 ,a ＝32－3 ,b ＝5或a ＝3－3 2 ,b ＝8.。

(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题一小题考法课二三角函数的图象与性质课时跟踪检测

三角函数的图象与性质[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan2x －π3的单调递增区间为k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.2．(2019·杭州四中高考仿真)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，则f (x )的奇偶性( )A ．与ω有关，且与φ有关B ．与ω有关，但与φ无关C ．与ω无关，且与φ无关D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为奇函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝k π，k ∈Z ；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)为偶函数，则f (0)＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，但与φ有关，故选D.3.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin2x ＋π4，故选A.4．(2019·宁波模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选A 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝k π＋π2，求得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，可得所得函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x ＝2π3，故选A.5．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝( ) A ．2 B ．－2 C.32D ．－32解析：选B ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .∵A (a,0)，B (b ，0)是其图象上两点，|a －b |的最小值是1，∴12×2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sin πx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2. 6．(2019·浙江十校联盟联考)将函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移π8个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，－1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，－1解析：选D f (x )＝3sin 2x －2cos2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，将其图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1的图象，再向右平移π8个单位长度得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的图象，令23x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋3k π2，k ∈Z ，则函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π4－1的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，－1，故选D.7．(2019·绍兴一中适应性测试)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 B ．函数g (x )的周期是π2C ．函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增D ．函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上最大值是1 解析：选C 将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，故g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π6－1＝－1，即g (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－1对称；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，t ＝2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2且单调递增，则y ＝2sin t －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，且2sin t －1＜2sin π2－1＝1，故选C.8．设α是三角形的一个内角，在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的值的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A ∵α是三角形的一个内角，若0<α<π2，则0<α2<π4，0<2α<π.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos 2α与tan 2α；若α＝π2，则α2＝π4，2α＝π.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中为负数的是cos 2α；若π2<α≤3π4，则π4<α2≤3π8，π<2α≤3π2. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos α与cos 2α；若3π4<α<π，则3π8<α2<π2，3π2<2α<2π. ∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的是cos α与tan 2α.∴在sin α，sin α2，cos α，cos 2α，tan 2α，tan α2中可能为负数的值的个数是2个．故选A.9．已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)ω>0，－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，322，则φ的一个可能值是( )A.π4 B.5π4 C.3π2D.7π4解析：选D 由函数f (x )＝3sin(ωx ＋θ)ω>0，－π2<θ<π2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为π，则π＝2πω，所以ω＝2，函数f (x )＝3sin(2x＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ个单位长度，得到g (x )＝3sin(2x ＋θ－2φ)的图象，因为f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322，所以sinθ＝22，sin(θ－2φ)＝22，又－π2<θ<π2，所以θ＝π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2φ＝22，所以π4－2φ＝2k π＋π4(k ∈Z )或π4－2φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )，所以φ＝－k π(k ∈Z )或φ＝－k π－π4(k ∈Z )，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是7π4.故选D.二、填空题11．(2019·浙江新高考仿真训练卷(一))函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图，则φ＝________. 解析：由图易得函数f (x )的最小正周期为2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，则f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为当x ＝π3时，f (x )取得最大值，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6. 答案：－π612．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域是________．解析：由题意知f (x )的最小正周期T ＝4，∴ω＝π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ.又f (2)＝sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π，∴φ＝－π2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2.由x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3，得π2x －π2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：π2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，113．(2019·金华模拟)已知函数f (x )＝4sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期T＝________，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为________．解析：函数f (x )＝4sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin x sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin 2x ＋23sinx cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6.∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0<f (x )≤3.∴值域为(0,3]．答案：π (0,3]14．设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝(x 0＋1－x 0)2＋(－1－1)2＝ 5.答案： 515．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．解析：因为f (x )＝cos x sin x ＝12sin 2x ，所以f (x )是周期函数，且最小正周期为T ＝2π2＝π，所以①②错误；由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，－π4≤x ≤π4，此时f (x )是增函数，所以③正确；由2x ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，取k ＝1，则x ＝3π4，故④正确．答案：③④16．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值，即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.答案：－33217．(2019·宁波高三期末)将函数f (x )＝2sin x 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π12个单位长度得到g (x )的图象，则g (x )＝________，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：将函数f (x )＝2sin x 的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得y ＝2sin 2x 的图象，再向左平移π12个单位长度得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧2·a 3＋π6≤π2，2·2a ＋π6≥3π2，解得π3≤a ≤π2，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2[B 级——能力小题保分练]1．曲线y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4和直线y ＝12在y 轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 3P 7|＝( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π解析：选 B y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，故曲线对应的函数为周期函数，且最小正周期为π，直线y ＝12在y 轴右侧与函数y ＝2cos x ＋π4·cos x －π4在每个周期内的图象都有两个交点，又P 3与P 7相隔2个周期，故|P 3P 7|＝2π，故选B.2．(2019·浙江“七彩阳光”联盟期初联考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围为( )A ．[－3，2)B ．[－3，3)C ．[3，2)D ．[0,2)解析：选C 由题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m ，令g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，h (x )＝m ，由题意得g (x )与h (x )的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点，由图知m ∈[3，2)．3．(2019·浙江重点中学期末联考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ，若f (x －a )＝－f (x ＋a )恒成立，则实数a 的最小正值为( )A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：选D 因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－4sin x cos x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2sin 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为π.由f (x －a )＝－f (x ＋a )得f (x )＝－f (x ＋2a )＝f (x ＋4a )，所以4a 为函数f (x )的周期，则a 的最小正值为π4，故选D.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则( ) A ．f (1)<f (－1)<f (0) B ．f (0)<f (1)<f (－1) C ．f (－1)<f (0)<f (1)D ．f (1)<f (0)<f (－1)解析：选C 因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，故f (x )＝A sin(2x ＋φ)，因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以2×2π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－11π6，k ∈Z ，又φ>0，故可取k ＝1，则φ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (－1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋π6<0，f (1)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6>0，f (0)＝A sin π6＝12A >0，故f (－1)最小．又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π6＝sin π－2－π6＝sin 5π6－2>sin π6，故f (1)>f (0)．综上可得f (－1)<f (0)<f (1)，故选C.5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则函数f (x )的图象的对称轴为________，φ＝________.解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象的对称轴与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即2πω＝2π2，所以ω＝2，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k∈Z ，故函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .令2x ＋φ＝m π，m ∈Z ，则x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故函数g (x )的图象的对称轴为x ＝m π2－φ2，m ∈Z ，故k π2＋π8－m π2＋φ2＝n π2，m ，n ，k ∈Z ，即φ＝(m ＋n －k )π－π4，m ，n ，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4.答案：x ＝k π2＋π8，k ∈Z －π46．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由题意得，函数f (x )的最小正周期T ＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0在函数f (x )的图象上，所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0，解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，由0<φ<π，可得φ＝π6.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＝32，解得A ＝3，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以f (x )的最小值为－32. 答案：－32。

2020届高考数学一轮复习：课时作业20《三角函数的图象与性质》(含解析)

课时作业20 三角函数的图象与性质1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( A ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( C )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心． 3．(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( B )A ．⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2＜2x －π6＜2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3＜x ＜k π＋56π(k ∈Z )．取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，56π.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 解析：函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .例如1]( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，cos x ＞sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，－π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 解析：由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3. ∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3， ∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1＞1，即cos(3x ＋φ)＞0，对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|＜π2可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.8．(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝5π6 .解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，故φ＝5π6.9．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是[2,3)__．解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12＜1，∴2≤a ＜3.10．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2__.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 12．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞0，则f (x )的单调递减区间是( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＞0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，故选C ． 14．设ω∈N *且ω≤15，则使函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调的ω的个数是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由ωx ＝π2＋k π(k ∈Z )得函数y ＝sin ωx 的图象的对称轴为x ＝π2ω＋k πω(k ∈Z )．∵函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调，∴π4＜π2ω＋k πω＜π3(k ∈Z )，解得1.5＋3k ＜ω＜2＋4k (k ∈Z )．由题意ω∈N *且ω≤15，∴当k ＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k ＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k ＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k ＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k ＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C ． 15．若函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝4_035__.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1 ＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1 ＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3， ∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0＜φ＜π2，∴2φ＝π2，φ＝π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 ＋2×2 018＝504×0－sin π2－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |＜3，即f (x )－3＜m ＜f (x )＋3，所以2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。

高考数学一轮复习课时过关检测(二十二) 三角函数的图象与性质

课时过关检测（二十二）三角函数的图象与性质A 级——基础达标1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选Ay ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A ．2．(2021·辽宁辽河模拟)已知函数f (x )＝2cos 4x ＋1，则下列判断错误的是( ) A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．f (x )的值域为[－1,3]D ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称解析：选D ∵f (－x )＝1＋2cos 4x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 判断正确；令4x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝kπ4(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π4，则f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，B 判断正确；∵2cos 4x ∈[－2,2]，∴f (x )的值域为[－1,3]，C 判断正确；f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1对称，D 判断错误．故选D.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，则f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．[]－1，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析：选B 令2k π－π2≤π2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －53，4k ＋13，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.4．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A ．14B ．13C ．12D ．32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.5．(多选)(2021·郑州市高三联考)以下函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为单调递增函数的有( )A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin x －cos xC ．y ＝sin x cos xD ．y ＝sin xcos x 解析：选BD 对于A 选项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以，函数y ＝sin x ＋cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不单调；对于B 选项，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以，函数y ＝sin x －cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增；对于C 选项，y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以，函数y ＝sinx cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上不单调；对于D 选项，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin xcos x ＝tan x ，所以，函数y ＝sin xcos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．故选B 、D. 6．(多选)若函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈R ，则函数f (x )( ) A ．最小正周期为π B ．是区间[0,1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)(k ∈Z )对称 D ．是周期函数且图象有无数条对称轴解析：选BDf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，－π2＋2kπ ≤x ≤π2＋2k π，0，π2＋2kπ ≤x ≤3π2＋2kπ(k ∈Z )，对应图象如图．由图象知函数f (x )的最小正周期为2π，故A 错误；函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故B 正确；函数f (x )的图象关于直线x ＝2k π(k ∈Z )对称，故C 错误；函数f (x )的图象有无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确．故选B 、D.7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象的对称中心是．解析：由x 2＋π3＝kπ2(k ∈Z )，得x ＝k π－2π3(k ∈Z )，即其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－2π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－2π3，0，k ∈Z8．(2021·扬州中学高三模拟)已知f (x )＝sin 错误!－错误!cos 错误!，则f (x )的最小正周期为，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝ .解析：依题意可得f (x )＝2sin π3x ，其最小正周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3.答案：639．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为．解析：由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π510．(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调递减，则实数a 的最大值是．解析：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调递减，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.答案：7π511．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx－π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝kπ2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋3π8(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π8，kπ＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.12．(2021·山东泰安模拟)在①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π， .(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．选条件①.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3为奇函数，∴φ－π3＝k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋k π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π. 选条件②.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32， ∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π.选条件③.∵23π是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0，∴φ＝k π－2π3，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤76π，2π.B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设函数f (x )＝cos 2x2＋sin xcos x，则( )A ．f (x )＝f (x ＋π)B ．f (x )的最大值为12C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4单调递减解析：选AD f (x ＋π)＝错误!＝错误!＝f (x )，故A 正确； ∵f (x )＝cos 2x2＋sin xcos x ＝2cos 2x4＋sin 2x ，∴f ′(x )＝错误!＝错误!，令f ′(x )＝0，解得sin 2x ＝－错误!，cos 2x ＝±错误!. 所以f (x )max ＝215＞12，故B 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，此时－4sin 2x －1∈(－1,3)，∴f ′(x )有正有负，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上不单调，故C 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，此时－4sin 2x －1∈(－5，－1)，f ′(x )＜0恒成立，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4单调递减，故D 正确． 14．(2021·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，x 1，x 2为函数图象与x轴的两个交点的横坐标，若|x 1－x 2|的最小值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，π3上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3上单调递减解析：选C 因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3，且|x 1－x 2|的最小值为π2，所以f (x )的最小正周期为π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上单调递增，故选C ．15．已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝kπ2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或t ＝5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |<3，即f (x )－3<m <f (x )＋3，所以2－3<m <1＋3，即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．C 级——迁移创新16．(2021·全国卷联考节选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2的图象离原点最近的对称轴为直线x ＝x 0，若满足|x 0|≤π6，则称f (x )为“近轴函数”．若函数y ＝2sin(2x －φ)是“近轴函数”，求φ的取值范围．解：函数y ＝2sin 2x 的图象离原点最近的对称轴是直线x ＝±π4，函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ2满足|x 0|≤π6，当φ＞0时，π4－π6≤φ2≤π4＋π6，即π6≤φ≤5π6，又|φ|≤π2，∴π6≤φ≤π2；当φ＜0时，－π6－π4≤φ2≤π6－π4，即－5π6≤φ≤－π6，又|φ|≤π2，∴－π2≤φ≤－π6.综上所述，φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训20三角函数的图像与性质理含解析北师大版

又T＝，所以ω＝k(k为奇数)．
又函数f(x)在上单调，
所以 ≤ × ，即ω≤12.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若ω＝11，又|φ|≤ ，则φ＝－，此时，f(x)＝sin ，f(x)在上递增，在上递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤ ，则φ＝，此时，f(x)＝sin ，满足f(x)在上单调的条件．故选B．]
3．已知函数f(x)＝cos － (ω＞0)在[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是________．
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课后限时集训(二十) 三角函数的图像与性质
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是( )
1．(20xx·合肥二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)，f ＝，f ＝0，且f(x)在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )
A．ω＝
B．f ＝
C．函数f(x)在上递增
D．函数y＝f(x)的图像关于点对称
C[由五点法作图知，为五点法中的第二个零点，则＋φ＝π ①.又根据正弦函数的图像及已知条件知为靠近第二个零点的点，所以＋φ＝ ②.由①②解得ω＝，φ＝，所以f(x)＝2sin ，所以f ＝，故A，B不正确；由－＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在上递增，故C正确；因为f ＝－1≠0，所以函数y＝f(x)的图像不关于点对称，故D错误，故选C.]

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版课时跟踪检测(二十二)三角函数的图象与性质含解析

课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，B 、C 、D 都不正确，选A.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32， ∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .4．(2018·浙江六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1. 当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，1 二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·诸暨模拟)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．23解析：选C 因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ3＝1.又因为2πω≥2×π2，所以0＜ω≤2，所以ωπ3＝π2，解得ω＝32. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C ．⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称．3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.4．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A ∵f (x )的最小正周期为6π，∴ω＝13.∵当x ＝π2时，f (x )有最大值，∴13×π2＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π3＋2k π(k ∈Z )， ∵－π＜φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3，令－π2＋2k π≤x 3＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π2＋6k π≤x ≤π2＋6k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π2＋6k π，π2＋6k π，k ∈Z ，令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤－5π2，π2， ∵[－2π，0]⊆⎣⎡⎦⎤－5π2，π2，故A 正确． 5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π129．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在实数a ，使函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取到最大值1，则实数a 等于( ) A ．1 B ．52C ．32D ．2解析：选C y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12. 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. ①当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)，故a ＝32；②当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125，由于a ＜0，故这种情况不存在满足条件的a 值；③当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013.由于2013＜2，故这种情况下不存在满足条件的a 值．综上知，存在a ＝32符合题意．故选C.2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎡⎭⎫－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝2ππ＝2.令2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，则φ＝π3.此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin π＝0，所以f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π3，0成中心对称；又f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是增函数，则f (x )在⎣⎡⎭⎫－π6，0上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④. 答案：①②⇒③④或①③⇒②④3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析

D.最小正周期为n解析：选C 函数y =tan 2x —才是非奇非偶函数，A 错；函数y = tan 2x —专在区间0,专上单调递增，B 错；最小正周期为专,D 错；由2x —k €乙当k = 0时，x =才，所以它的图象关于 "6, 0对称.n on on 1 —盲=2sin T=1即 sin T=1.又廉课时跟踪检测（二十二）三角函数的图象与性质[A 级基础题一一基稳才能楼高] 1.（2018 •河北枣强中学二模）下列四个函数中，以n 为最小正周期，且在区间上为减函数的是（） A. y = sin 2 x B. y = 2|cos x | x C. y = cos 2D. y = tan( — x ) 解析：选D A 选项，函数在 2，上单调递减，在~4~， n 上单调递增，故排除A ; B 选项，函数在上单调递增，故排除 B ； C 选项，函数的周期是 4n ，故排除C.故选D.2.关于函数y =tan i 2x —专，下列说法正确的是（）A.是奇函数B.在区间i O ,才上单调递减C.0为其图象的一个对称中心7tn k nkn n 3 = V ，" Z ，得 x = V + ~6， 3. （2018 •广西五市联考）若函数f （x ） = 2sinO x (0< CO<1）在区间|0,夕上的最大值1 A.— 4 1 B .31 C.1解析：选C 因为n0<O <1,0 < x < ，所以 0W3所以f （x ）在区间|0,号上单调递增，则f （x ） max =n CO n nOx<!，所以 T=^，12. (2019 •常德检测)将函数f (x ) = sin 2x +寸的图象向右平移解得3 =㊁，选C.4. (2019 •冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )解析：选D 将y = cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于 x 轴对称向上翻折，x 轴上方 (或x 轴上)的图象不变，即得 y =|cos x |的图象(如图).故选D.if移 n 个单位长度，得到6n的最小正周期是 n ，且当x € |0, 2 寸，f (x ) = sin x ，则f 的值为(1 A —21 B.—2 解析：选D •/ f (x )的最小正周期是 n 5 n 5 n，•-f V = f V — 2n-I ，•••函数 f (x )是偶函数，••• f 5n = fk 3丿—3 = f 壬=sin 3 2 -D.5.函数 f (x ) = 的值为(A. 2 或 0B. — 2 或 2C. 0D. — 2 或 0解析：选B 因为函数f (x ) = 2sin( 3 x +0 )对任意x 都有f w +才—x ，所以n该函数图象关于直线x =-对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选 B.[B 级保分题一一准做快做达标]1 . y = |cos x |的一个单调递增区间是(■ nA. |-V 7tB. [0， n ]C.J3nn，T函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A. g (x )的最小正周期为 nB.g寻c. x =才是g ( x )图象的一条对称轴 D. g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )= sin .|2[—"6 i+才匚sin 2x ,所以周期为n , g'-6 ；= sin 才=直线x =-6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选 C.3 . (2018 •晋城一模)已知函数f (x ) = 2sin 3 x +寸的图象的一个对称中心为其中3为常数，且 3 € (1,3).若对任意的实数 x ,总有f (xj < f (x ) w f (X 2)，则|X 1 — X 2|的最小值是(A. 1 D. nT 函数f (x ) = 2sin \ 3 x + -3的图象的一个对称中心为-3, 0 , A -3- 3 +T n n为函数的半个周期，即-=-2 3=cos(2 x +0 )的图象()nc.关于直线x =石对称nD.关于直线x = _对称n n_ + 2k n , k € Z ,即卩 0= "6 + 2k n , k € Z ,所以 y =cos(2 x + 0 ) = cos 2x +青 + 2k n = cos 2x + 才,k € 乙当 x =y = 0,所以函数y = cos (2x +0 )的图象关于点疳，。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训22正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算文含解析北师大版

课后限时集训(二十二)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定C [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A ．]4．(2019·长春模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．32或34D [由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，即1＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34.当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.总上之，△ABC的面积等于34或32.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则sin A＝( ) A．310B．1010C．55D．31010D[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝a3.∵B＝π4，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝a3，DC ＝23a，∴AC＝⎝⎛⎭⎪⎫a32＋⎝⎛⎭⎪⎫23a2＝53a，在△ABC中，由正弦定理得asin∠BAC＝53asinπ4，∴sin ∠BAC＝31010，故选D.]二、填空题6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________.4[由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝32a＝3.由余弦定理cos C＝a2＋b2－c22ab，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c＝4.]7．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．3[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3.]8．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sinA －sinB )＝sinC (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．32[由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )·(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32.] 三、解答题9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sinC ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.10．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．[解] (1)∵b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )，∴b cos A ＝(2c ＋a )(－cos B )．由正弦定理可得，sin B cos A ＝(－2sin C －sin A )cos B ，即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ＝sin C ．又角C 为△ABC 的内角，∴s in C ＞0， ∴cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝3，得ac ＝4.又b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ＝16. ∴a ＋c ＝25，∴△ABC 的周长为4＋2 5.B 组能力提升1．(2019·佛山模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．3＋1 B.3－1 C ．4 D ．2A [法一：由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a ×cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A ．法二：由正弦定理b sin B ＝csin C，得sin B ＝b sin Cc ＝12，又c ＞b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.]2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32 B ．332C ．34D ． 3B [在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，因为AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，所以7＝AB 2＋4－4×AB ×12，所以AB 2－2AB －3＝0，所以AB ＝3，作AD ⊥BC ，垂足为D ，则在Rt△ADB 中，AD ＝AB ×sin 60°＝332，即BC 边上的高为332，故选B.]3．(2019·宝鸡模拟)如图，在Rt△ABC 中，两条直角边分别为AB ，BC ，且AB ＝23，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.若PB ＝1，则PA ＝________.7 [依题意，在Rt△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4，sin∠ACB ＝AB AC ＝32，所以∠ACB ＝60°.在Rt△PBC 中，PC ＝BC 2－PB 2＝3，sin∠PCB ＝PB BC ＝12，∠PCB ＝30°，因此∠ACP ＝∠ACB －∠PCB＝30°.在△ACP 中，AP ＝AC 2＋CP 2－2AC ·CP ·cos∠ACP ＝7.]4．(2019·贵阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,1＋tan A tan B ＝2c3b.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围；(3)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝π4，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．[解] (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin A ＋Bcos A sin B ＝2sin C 3sin B. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6.所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＜1，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (3)法一：选择①②，可确定△ABC ．因为A ＝π6，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理，得12＝b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ·3＋12b ·32，整理得b 2＝2，b ＝2，c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×6＋22×12＝3＋14.法二：选择①③，可确定△ABC ．因为B ＝π4，所以C ＝7π12.又sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24，故由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝1×si n7π12sinπ6＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×6＋22×22＝3＋14.。

新教材老高考适用2024高考数学一轮总复习课时规范练22三角函数的图象与性质北师大版

课时规范练22三角函数的图象与性质基础巩固组1.若π4,3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)的两个相邻零点,则ω=()A.3B.2C.1D.122.(2024江苏无锡高三月考)若函数f(x)=4sinωx-π3(ω>0)的最小正周期为π,则它的一条对称轴是()A.x=-π12B.x=0C.x=π6D.x=2π33.(2024山东临沂高三月考)若函数f(x)=sin(φ-2x)在区间0,π2上单调递减,则实数φ的值可以为()A.2π3B.π2C.π3D.π44.(2024北京,7)函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数是()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为985.(2024湖南师大附中高三模拟)已知函数f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)为奇函数,且存在x0∈0,π3,使得f(x0)=2,则φ的一个可能值为()A.5π6B.π3C.-π6D.-2π36.(2024江苏扬州高三月考)已知函数f(x)=sin x sin x+π3-14,则f(x)的值不行能是()A.-12B.12C.0D.27.下列函数中,以4π为最小正周期的函数有()A.y=tan x4B.y=sin x4C.y=sin|x|D.y=cos|x|8.已知函数f(x)=sin ωx-sinωx+π3(ω>0)在[0,π]上的值域为-√32,1,则实数ω的值不行能取()A.1B.43C.53D.29.已知函数f(x)=sin x+1sinx,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称10.(2024广东佛山高三开学考试)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为.11.(2024湖北宜昌高三期中)当0<x<π4时,函数f(x)=cos2xsin2x-cosxsinx的最大值为.综合提升组12.(2024广东潮州高三月考)函数f(x)=cos x+2π5+2sinπ5sin x+π5的一条对称轴为()A.x=π5B.x=2π5C.x=π2D.x=π13.已知函数f(x)=tan x-sin x cos x,则下列说法不正确的是()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于π2,0对称D.f(x)的图象关于(π,0)对称14.已知函数f(x)=√2sin2x-π4的定义域为[a,b],值域为-√2,√22,则b-a的值不行能是()A.5π12B.π2C.7π12D.π15.(2024重庆八中高三月考)若函数f (x )=sin 2x+cos(2x-φ)关于x=π4对称,则常数φ的一个可能取值为 .16.(2024重庆南开中学高三)函数f (x )=sinxsin 4x 4+cos 4x 4的最小值为 .创新应用组17.已知函数f (x )=cos 2x-π6,则下列结论中正确的是 ( )A.函数f (x )是周期为π的偶函数B.函数f (x )在区间π12,5π12上单调递增C.若函数f (x )的定义域为0,π2,则值域为-12,1D.函数f (x )的图象与g (x )=-sin 2x-2π3的图象重合18.函数f (x )=sin x+12sin 2x 的最大值为 .课时规范练22三角函数的图象与性质1.B解析:由题意知,f(x)=sinωx的周期T=2πω=23π4−π4=π,得ω=2,故选B.2.A解析:依题意有2πω=π,所以ω=2,则f(x)=4sin2x-π3.令2x-π3=kπ+π2(k∈Z)得对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z).若k=-1,则得一条对称轴x=-π12,故选A.3.B解析:f(x)=sin(φ-2x)=-sin(2x-φ),因为x∈0,π2,则2x-φ∈(-φ,π-φ).又因为f(x)=sin(φ-2x)在区间0,π2上单调递减,所以{-φ≥-π2+2kπ,π-φ≤π2+2kπ,解得φ=π2-2kπ(k∈Z).当k=0时,φ=π2,故选B.4.D解析:由题意,f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数.又f(x)=cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1=-2cos x-142+98,所以当cos x=14时,f(x)取最大值98,故选D.5.C解析:∵f(x)=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin2x+φ+π6为奇函数,则φ+π6=kπ(k∈Z),可得φ=kπ-π6(k∈Z),故解除B,D选项;对于A,当φ=5π6时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x,当x∈0,π3时,2x∈0,2π3,f(x)<0,不合题意;对于C,当φ=-π6时,f(x)=2sin2x,fπ4=2sinπ2=2,满意题意.故选C.6.D解析:∵f(x)=sin x sin x+π3-14=sin x12sin x+√32cos x-14=12sin2x+√32sin x cos x-14=12·1-cos2x2+√34sin2x-14=√34sin2x-14cos2x=12sin2x-π6,∴f(x)∈-12,12,故选D.7.A解析:对于A,y=tan x4,则T=π14=4π,故A正确;对于B,函数y=sin x4的最小正周期为8π,故B不正确;对于C,函数y=sin|x|不是周期函数,故C不正确;对于D,y=cos|x|=cos x,最小正周期为2π,故D不正确,故选A.8.D解析:由于f(x)=sinωx-sinωx+π3=sinωx-sinωx cosπ3-cosωx sinπ3=12sinωx-√32cosωx=sinωx-π3.又因为x∈[0,π],所以ωx-π3∈-π3,ωπ-π3.又函数f(x)在[0,π]上的值域为-√32,1,f (0)=-√32,所以由正弦函数的对称性,只需π2≤ωπ-π3≤4π3,则56≤ω≤53.因此A,B,C 都可能取得,D 不行能取得.故选D .9.D 解析:由sin x ≠0可得函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z },关于原点对称,且函数f (-x )=sin(-x )+1sin(-x)=-sin x-1sinx =-f (x ),故该函数为奇函数,其图象关于原点对称,选项B 错误;令t=sin x ,则t∈[-1,0)∪(0,1],由g (t )=t+1t 的性质,可知g (t )∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f (x )无最小值,选项A 错误;由f (2π-x )=sin(2π-x )+1sin(2π-x)=-sin x-1sinx =-f (x ),f (π-x )=sin(π-x )+1sin(π-x)=sin x+1sinx =f (x ),故函数f (x )的图象关于直线x=π2对称,选项D 正确.故选D .10.π 解析:因为f (x )=tanx1+tan 2x =sinx cosx 1+sin 2x cos 2x=sinxcosx cos 2x+sin 2x =sin x cos x=12sin2x ,所以函数的最小正周期为T=π.11.-4 解析:由题意得f (x )=cos 2xsin 2x -cosxsinx =1tan 2x -tanx ,当0<x<π4时,0<tan x<1,设t=tan x ,t ∈(0,1),所以g (t )=1t 2-t=1(t -12) 2-14,所以当t=12时,函数g (t )取最大值-4,所以f (x )的最大值为-4.12.D 解析:由于cos x+2π5=cos x+π5cos π5-sin x+π5sin π5,∴f (x )=cos x+π5cos π5+sinx+π5sin π5=cos x ,∴其对称轴方程为x=k π,k ∈Z ,故选D .13.B 解析:函数f (x )=tan x-sin x cos x ,对于A,由于函数y=tan x 的最小正周期为π,函数y=sin x cos x=12sin2x 的最小正周期为π,因此f (x )的最小正周期为π,故A 正确;对于B,由于f (-x )=tan(-x )-sin(-x )cos(-x )=-(tan x-sin x cos x )=-f (x ),因此函数图象不关于y 轴对称,故B 不正确;对于C,由于函数y=tan x 的图象关于π2,0对称,函数y=sin x cos x 的图象也关于π2,0对称,故f (x )图象关于π2,0对称,故C 正确;对于D,函数满意f (π)=0,故D 正确.14.D 解析:∵a ≤x ≤b ,∴2a-π4≤2x-π4≤2b-π4.又-√2≤√2sin 2x-π4≤√22,即-1≤sin 2x-π4≤12,∴2b-π4-2a-π4max=π6--7π6=4π3,2b-π4-2a-π4min=π6--π2=2π3,故π3≤b-a≤2π3,故b-a 的值不行能是π,故选D .15.π2(答案不唯一) 解析:由题意知f (0)=fπ2,即cos φ=cos(π-φ),c os φ=0,所以φ=k π+π2,k∈Z ,故常数φ的一个可能取值为π2(答案不唯一). 16.-√2 解析:f (x )=sinx(sin 2x 4+cos 2x 4) 2-2sin 2x 4cos 2x 4=sinx1-14(1-cosx)=4sinx cosx+3,设4sinxcosx+3=t ,可得4sin x+t cos x=3t ,可得√t 2+16sin(x+φ)=3t ,其中cos φ=√t 2+16,sin φ=√t 2+16,因为sin(x+φ)∈[-1,1],所以|3t|≤√t 2+16,解得-√2≤t ≤√2,因此f (x )的最小值为-√2. 17.D 解析:因为f (x )=cos 2x-π6,则函数f (x )是周期为π的函数,但不是偶函数,故A 错误;当x∈π12,5π12时,2x-π6∈0,2π3,且0,2π3⊆[0,π],则函数f (x )在区间π12,5π12上单调递减,故B 错误;若函数f (x )的定义域为0,π2,则2x-π6∈-π6,5π6,其值域为-√32,1,故C 错误;g (x )=-sin 2x-2π3=-sin -π2+2x-π6=sinπ2-2x-π6=cos 2x-π6,故D 正确.故选D .18.3√34解析:由题意,f'(x )=cos x+cos2x=2cos 2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1),因为cos x+1≥0,所以当cos x>12时,f'(x )>0,当-1<cos x<12时,f'(x )<0,即x ∈2k π-π3,2k π+π3时,f (x )单调递增,当x∈2k π+π3,2k π+5π3时,f (x )单调递减,故f (x )在x=2k π+π3,k ∈Z 处取得极大值,即f (x )的最大值,所以f (x )max =sin π3+12sin 2×π3=√32+12×√32=3√34.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二同角三角函数的基本关系与诱导公

cos α sin α cos α
1
cos －α
解析：tan(α＋π)＋ 2
＝tan α＋sin α＝cos α＋sin α＝sin αcos α.
25 ∵sin α＝ 5 ＞0，
∴α 为第一或第二象限角．
5
当 α 为第一象限角时，cos α＝ 1－sin2α＝ 5 ，
1
5
则原式＝sin αcos α＝2；
7 ，故
7
12 sin θcos θ 12
sin
θ＋cos
θ＝5，则 sin
θcos
θ＝25，即sin2θ＋cos2θ＝25，即
tan θ 12
34
1＋tan2θ＝25，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得 tan θ＝4或3.
34
答案：4或3
1
cosπ＋θ
9．已知 sin(3π＋θ)＝3，求cos θ[cosπ－θ－1]＋
( )π
θ－ tan 4 ＝( )
3
4
A.4
B．－3
3
4
C．－4
D.3
π
解析：选 B ∵θ 是第四象限角，∴2kπ－ 2 ＜θ＜2kπ，k∈Z，
( ) π
π
π
π
θ＋
∴2kπ－ 4 ＜θ＋ 4 ＜2kπ＋ 4 ，k∈Z，∴cos 4 ＞0，
( ) ( ) π 3
π
θ＋
ห้องสมุดไป่ตู้θ＋
∵sin
4 ＝5，∴cos
sin θ＋cos θ 1 ＝sin θ－cos θ＝2，
所以 2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，
所以 sin θ＝－3cos θ，所以 tan θ＝－3.

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