九年级2016年：抛物线综合探究

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抛物线与几何综合题的解析梳理与拓展探究

抛物线与几何综合题的解析梳理与拓展探究作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］拋物线与几何综合题常作为中考压轴题，综合考查学生的知识与能力。

对于抛物线与几何综合题，教师应指导学生解读题型特点，围绕真题进行探究分析，总结考点知识，挖掘解题模型，并适度拓展。

［关键词］抛物线；几何；一线三垂直；模型［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0028-04一、问题综述抛物线与几何综合题在初中数学中十分常见，常作为压轴题综合考查学生的知识掌握情况与综合解析问题的能力。

该类题型有以下三大特点：一是融合代数与几何的相关知识，具有数与形的双重特点。

（探究解析时建议采用数形结合思想）二是隐含众多几何模型，如“将军饮马”模型、“一线三垂直”模型、隐圆模型等。

（探究解析时建议充分运用相应的模型）三是设问具有关联性，即问题之间虽相互独立，但其在条件、结论以及解题思路上具有一定的联系。

（可以把握问题间的联系来探索解题思路）对于此类题型的解题探究，建议教师精选近几年的典型中考数学真题，深度解析真题，分析解题方法及模型构建思路，并围绕真题核心内容开展拓展探究，指导学生强化知识与方法，培养解题思维。

二、真题探究2023年江苏省连云港市中考数学试卷第26题为典型的抛物线与几何综合题，以抛物线与直线相交为基础，将代数与几何的相关知识融合在一起，设定条件综合考查学生的探究能力和问题解决能力。

下面笔者逐一解析问题，探究解题思路。

（一）考题再现如图1所示，在平面直角坐标系[xOy]中，抛物线[L1：y=x2-2x-3]的顶点为[P]。

直线[l]过点[M（0，m）]（[m≥-3]），且平行于[x]轴，与抛物线[L1]交于[A]、[B]两点（[B]在[A]的右侧）。

将抛物线[L1]沿直线[l]翻折得到抛物线[L2]，抛物线[L2]交[y]轴于点[C]，顶点为[D]。

高中数学_《抛物线》教学设计学情分析教材分析课后反思

抛物线及其标准方程一、教材分析新课程标准要求1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

3．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

4．通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

二、教学目标1．知识与技能：理解抛物线定义；掌握抛物线图形及其方程；会运用抛物线性质解决问题；2．过程与方法：通过思维导图让学生对抛物线的基本知识形成知识框架；通过典型例题剖析总结出通性通法。

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学数形结合的思想、方程思想及分类讨论思想。

【教学重点】抛物线定义及其方程；抛物线性质的综合应用。

【教学难点】抛物线性质的综合应用；三、教学方法这一节与椭圆、双曲线几何性质的知识结构相似，研究方法为学生所熟悉，这使学生的自主探究活动具备良好的基础。

但是学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合思想有待进一步培养加强。

基于以上分析，本节课我采用启发探究式的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念。

为了展现丰富生动的教学内容，我利用多媒体技术进行辅助教学。

四、教学过程通过历年抛物线在高考全国卷的比对，让学生把握抛物线的考察重点及其方向。

【师生活动】引导学生回顾抛物线的定义。

一、抛物线的定义课堂探究一：抛物线的定义【例1】若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析：将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).【共同归纳】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线M上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2. 通过题组分析总结出最值的规律方法。

九年级2016年：抛物线综合探究

1 9 2 9 1 9 1 3 5 3
1 引例 2：【2016 年武汉市四月调考】如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 M： y x 2 5 经过点 C 2
（2，3），直线 y kx b 与抛物线相交于 A、B 两点，∠ACB＝90°. （1）探究与猜想： ①探究：
图 1 M
ห้องสมุดไป่ตู้
P
A
l
P Q M
1 1 探索：① 为定值； MP MQ
②∠AMB=90°； ③∠PNQ 被 MN 平分； ④以 PQ 为直径作圆与 l 相切； ⑤以 AB 为直径作圆与 PQ 相切. 【抛物线与斜线截距】抛物线沿顶点所在直线平移过程中的定性（定长截距）问题 1．定直线被抛物线截得的线段长恒为定值； 2．平行于定直线的第二条定直线在此平移过程中，第二条定直线被抛物线截得的线段长也恒为定值.
y Q
1 1 的值恒为定 PF QF
A P O
F
B
x
（2）如图 2，过 F 点的直线交抛物线于 P、Q 两点，若∠POQ=90°，求直线 PQ 的解析式.
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中考的回馈在于你现在的积累与落实五、如图，已知抛物线 y x 2 2 x ，M 为 y 轴负半轴上一点，过点 M 作两条直线 MA、MB，且 MA、MB 与抛物线都有且只有一个公共点. （1）探究与猜想： ①探究：取点 M（0，-1）时，直接写出 N 点的坐标； ②猜想：我们猜想，当 M 点在 y 轴负半轴上运动时，线段 OM=ON 恒成立？请取 M（0， t 2 ）证明你的结论；
（2）设抛物线 C 与直线 l1 交于另一点 N，求线段 MN 的长度；
（3）若抛物线 C : y x 2 bx c 与直线 l2 : y x n 交于 P、Q 两点，若 PQ=3MN，求 n m 的值.

微专题6 抛物线型实际应用设计问题(含实践活动)+课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

∴若顶点一侧挂4盏灯笼,则1.6×4>6,
若顶点一侧挂3盏灯笼,则1.6×3<6,
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼.
∵挂满灯笼后成轴对称分布,
∴共可挂7盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8.
21
方案二:如图6,从对称轴两侧开始悬挂灯笼,正中间两盏与对称轴的距离均为
0.8 m,
∵若顶点一侧挂5盏灯笼,则0.8+1.6×(5-1)>6,
线.球从点A处被抛出,恰好越过横线,测得投掷距离OC=8 m.
13
问题解决
任务1
计算投掷距离
建立合适的直角坐标系,求素材1中的投掷距离OB.
任务2
探求高度变化
求素材2和素材1中球的最大高度的变化量.
任务3
提出训练建议
为了把球掷得更远,请给小林提出一条合理的训练建议.
14
【解析】任务1:建立如图所示的直角坐标系,
整理得w=(-16x+1 120)+(-32x+2 240)+(-2x2+120x),
∴w=-2x2+72x+3 360(x≥10).
27
任务3:由任务2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008,
∴当x=18时,获得最大利润,

y=- ×18+ = ,∴x≠18,
−
∴y=-0.15x2+x+1.6,∴顶点纵坐标为
=
= ,

×(−.)

-1.8= (m),∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为

人教版九年上专题探究第22章抛物线和角度

专题探究抛物线与角度方法技巧：将角的关系转化为特殊图形、全等、相似、平行、对称等，或转化为线段之间的关系。

一、利用特殊三角形例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx-7的图象交x 轴于A ，B 两点，交y轴于点D ，点C 为抛物线的顶点，且A ，C 两点的横坐标分别为1和4．（1）求点B 的坐标；（2）求二次函数的函数表达式；（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P ，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）因为A ，C 两点的横坐标分别为1，4，所以点A （1，0）．又因为点A ，B 关于对称轴x=4对称，所以点B （7，0）．（2）∵A （1，0），B （7，0）在抛物线y=ax 2+bx-7上∴ ⎩⎨⎧a+b−7＝049a+7b−7＝0 ∴ ⎩⎨⎧a ＝−1b ＝8∴ y=-x 2+8x-7；（3）设存在P （x ，y ）使得∠BAP=45°①P 在x 轴上方的时候，作PE ⊥x 轴于E ，则x-1=y 即：x-1=-x 2+8x-7 ∴ x=6或x=1（舍去）； ②P 在x 轴下方的时候，作PF ⊥x 轴于F ，则x-1= -y 即：x-1= -x 2+8x-7 ∴ x=8或x=-7（舍去） ∴存在点P （6，5）或P （8，-7）使得∠BAP=45°．二、利用全等三角形、相似例2．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c （a ≠0）与x 轴、y 轴分别交于A ，B ，C 三点，已知A （-1,0），C （0,3），抛物线的对称轴DF 与抛物线交于点D ，与x 轴交于点F ，以AC 为边作等边三角形ACE ，点E 在第二象限（1）求抛物线的解析式；（2）连接EF 交AC 于点M ，交y 轴于点P ，连接AP ，∠AEP=∠ACO ，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2，若等边三角形ACE 沿x 轴方向平移，点Q 为抛物线对称轴上一点，在平移过程中，是否存在点Q ，使得以点A ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A （-1，0），C （0，3）代入抛物线y=ax 2+2x+c 中得：⎩⎨⎧a−2+c ＝0c ＝3，解得：⎩⎨⎧a ＝−1c ＝3∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3；（2）y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴ 抛物线的对称轴是：x=1，即OF=1，如图1，过A 作AH ⊥EF 于H ， ∴∠EHA=∠COA=90°， ∵△ACE 是等边三角形， ∴AE=AC ，∵∠AEP=∠ACO ，∴△AEH ≌△ACO （AAS ）， ∴AH=AO=1， ∵AF=1+1=2， ∴FH=22－12= 3∵∠POF=∠AHF=90°，∠PFO=∠AFH ， ∴△POF ∽△AHF ， ∴ OP ：OF=AH ：FH ∴ OP:1=1 ： 3 ∴OP=33 ∴P （0，33）；（3）存在，如图1，过E 作EG ⊥x 轴于G ， Rt △AHF 中，AH=1，AF=2， ∴∠EFG=30°， ∵EF=EH+FH=3+ 3 ∴EG=3+32如图2，以AC 为对角线，四边形AECQ 为菱形， ∵△ACE 是沿x 轴平移，∴A 、C 、E 三点的纵坐标不变，∴E 和A 的纵坐标变化规律与C 与Q 的纵坐标的变化规律相同，∴Q （1，3-3+32），即Q （1，3－32）；如图3，以AE 为对角线，四边形AQEC 是菱形，由C 的纵坐标向下平移了3个单位得到A 的纵坐标，可得点E 的纵坐标也向下平移3个单位得到Q 的纵坐标， ∴Q （1，3－32）；如图4，以CE 为对角线，四边形AEQC 是菱形，由C 的纵坐标向下平移了3个单位得到A 的纵坐标，可得点Q 的纵坐标也向下平移3个单位得到E 的纵坐标， ∴Q （1，9+32）；综上，点Q 的坐标是（1，3－32）或（1，3－32）或（1，9+32）．三、利用特殊角例3．如图，已知顶点为C （0，-3）的抛物线y=ax2+b （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，直线y=x+m 过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将（0，-3）代入y=x+m ，可得：m=-3；（2）将y=0代入y=x-3得：x=3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，-3）、（3，0）代入y=ax 2+b 中，可得：⎩⎨⎧b=－39a+b=0 解得：⎩⎨⎧a=13b=－3所以二次函数的解析式为：y=13x 2－3（3）存在，分以下两种情况：①如图，若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则 ∠ODC=45°+15°=60°，∴ OD=33OC= 3设DC 为y=kx-3，代入（3，0），可得：k= 3 ∴ 直线CD 为y=3x －3联立两个方程可得：⎩⎨⎧y=3x －3y=13x2－3 得⎩⎨⎧x 1=0y 1=－3 ⎩⎨⎧x 2=33y 1=6所以M1（33，6）；②如图，若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC=45°-15°=30°， ∴∠OCE=60°， ∴OE=3OC=3 3设EC 为y=kx-3，代入（33，0）可得：k=33 ，∴ 直线CD 为y=33x －3联立两个方程可得：⎩⎪⎨⎪⎧y=33x －3y=13x 2－3得⎩⎨⎧x 1=0y 1=－3 ⎩⎨⎧x 2=3y 1=－2所以M2（3，-2），综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，-2）．针对性练习1．在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的位置如图所示，已知∠AOB= 90°，∠A=60°，点A的坐标为（−3，1）．求：（1）点B 的坐标；（2）图象经过A 、O 、B 三点的二次函数的解析式和这个函数图象的顶点坐标．2．如图，抛物线y=ax 2+c 与x 轴交于A 、B(4,0)两点，P(1,－3)为抛物线上一点， ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点D 为抛物线上一点，且∠OPD=∠POB ，求点D3．如图抛物线y=－x 2+2x+3与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，将线段AB 绕点P顺时针旋转90O 得到线段CD （点C 与点A 对应），若点C 、D 都在抛物线上，求点P 坐标。

第8节抛物线综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

第8节抛物线综合探究教材对抛物线的引入，通常从圆锥曲线的第二定义开始．动点到定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e ，若10<<e ，则动点的轨迹是椭圆，若1>e ，则轨迹为双曲线，此时出现一个问题：1=e 时的轨迹是什么？【实验1】抛物线的生成1=e 时的轨迹即是要求动点到定点的距离等于它到定直线的距离．据此，可以作以下探究．【探究步骤】1.隐藏平面直角坐标系；2.作直线AB 和定点C ，过点C 作直线AB 的垂线b ；3.在直线AB 上任取一点D ；4.连结CD ，作CD 的垂直平分线c ；5.过点D 作AB 的垂线交直线c 于点F ，连结CF ；6.由垂直平分线的性质，可知点F 到直线AB 的距离恰好等于F 到点C 的距离，符合题设的要求，由此，跟踪点F ；7.拉动点D ，得到点F 的轨迹，该轨迹被称为抛物线；8.为方便研究，取消对点F 的跟踪，选择“轨迹”工具，依次点击点F 和点D ，得到点F 的轨迹；9.显示平面直角坐标系；10.调节点F 和直线AB 的位置，使得抛物线的顶点为坐标原点，开口分别向左，向右，向上，向下，得到４种抛物线的标准位置及其标准方程．【思考】满足“动点到定点的距离等于它到定直线的距离”的动点轨迹一定是抛物线吗？事实并非如此．调整点C 的位置，使之在直线AB 上，观察此时轨迹是什么？GGB 课件显示，此时轨迹未定义．这是因为前面作图的过程中，把点F 设定为CD 的垂直平分线c 与过点D 所作AB 的垂线的交点，当点F 在直线AB 上时，上述两直线恰好平行，无法相交，轨迹未定义．为解决这个问题，打开案例中的“2-6实验3.ggb”课件，调节滑杆e ，使1=e ，调节点F 的位置，使点F 恰好在y 轴上，此时，课件清晰显示轨迹为一条过点F 且与y 轴垂直的直线．【实验2】求折线段距离之和的最值已知定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，点B 是抛物线上的任一点，过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ，求BC AB +的最小值．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，在抛物线上任取一点B ；2.过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ；3.测量BC AB ,的值，并计算BC AB +；4.拉动点B ，观察BC AB +的最小值．经实验，发现BC AB +的最小值可能为３．这是因为若设抛物线x y 42=的焦点为F ，则1-=BF BC ，从而1-+=+BF AB BC AB ，对于折线BF AB ,，显然的，当F B A ,,三点共线时，长度最短，即4=≥+AF BF AB ，从而3≥+BC AB ，故本题答案为３．【拓展探究1】设点A 是椭圆13422=+y x 上任一点，点21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点)2,3(-B ，求AB AF +1的最大值．【探究步骤】1.作出椭圆13422=+y x 及点,,B A 21,F F ； 2.作出线段AB AF ,1，测量AB AF ,1，计算AB AF +1的值；3.拉动点A ，观察AB AF +1的最大值．经观察，可得AB AF +1的最大值可能为83.6．【分析】在【实验1】的求解中，把BC 转化为1-BF ，折线AB AF ,1又该如何转化呢？容易想到根据椭圆的定义，421=+AF AF ，故可得214AF AF -= 据此给出以下解答：AB AF AB AF +-=+214，要求AB AF +1的最大值，只需求24AF AB -+的最大值，易得当点2,,F B A 三点共线时，2AF AB -将取得最大值222=BF ，本题答案为224+．【拓展探究2】已知双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，点M 是双曲线C 右支一动点，)1,2(A ，求2MF AM +的最小值．【实验3】抛物线若干性质的验证和圆、椭圆、双曲线一样，抛物线也有很多常用的重要性质，在此选择其中几个，用数学实验的方法对其进行验证．【探究问题1】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴．证明：直线AC 过原点O ．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出抛物线px y 22=，设置参数()10,0∈p ，增量1.0； 2.作出焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，过焦点的直线，及直线与抛物线的交点B A ,； 3.过点B 作x BC //轴，且与准线交于点C ；4.连结AC ；5.拉动滑杆p ，验证直线AC 是否恒过原点O ．经实验验证，以上结论成立．设),(),,(2211y x B y x A ，又设2:p my x AB +=，代入px y 22=，得0222=--p mpy y .由根与系数的关系，得221p y y -=，即122y p y -=． ∵x BC //轴，且C 在准线2p x -=上，∴),2(2y p C -．则OA OC k x y y p p y k ===-=111222，∴直线AC 经过原点O . 【探究问题2】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，4221p x x =．以上性质可由【探究问题1】得到验证．【探究问题3】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则pBF AF 211=+．抛物线的其他性质，读者可参照前面的例子对其进行验证和证明．【实验4】抛物线综合探究【探究问题4】若直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，P 为l 上一点，求PN PM ⋅的最小值．【分析】本题因直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=均已经确定，故点N M ,也是定点，直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，故直线l 也是定直线．求得直线l ：1+=x y ．【探究步骤】1.作直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点；2.作直线l ：1+=x y ，并在l 上任取一点P ；3.作PN PM ,，在指令栏输入“v u *”得到PN PM ⋅；4.拉动点P ，寻求PN PM ⋅的最小值．探究可得，PN PM ⋅的最小值大约为14-．以下给出数学求解：若设),(),,(2211y x N y x M ，由⎩⎨⎧+==142y x x y 可知：(*)0442=--y y ，则21,y y 是方程(*)的两根，4,42121-==+y y y y ．又点P 在直线1:+=x y l 上，可设)1,(+m m P ，则)1,(),1,(2211---=---=m y m x PN m y m x PM682)1(288)1(2)(22)1)(1()1)(1()1)(1())((222212*********--=++--=+++-=----+-+-+=----+--=⋅m m m m m y y m y y m y m y m y m y m y m y m x m x PN PM又R ∈m ，故可求得PN PM ⋅的最小值为14-.【说明】在列出方程(*)之后，我们发现直接把21,y y 求出来，其表达式是比较复杂的，故用了“设而不求”的思路．如果21,y y 的值较简单，可直接求解21,y y ，这样可以使得计算更加便捷．【探究问题5】已知直线022:=+-y x l 交抛物线)0(:2>=m mx y C 于B A ,两点，点P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，试探究是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．【分析】这是一道存在性的探究问题，探究是否存在以Q 为直角顶点的ABQ Rt ∆，其本质为探究以AB 为直径的圆是否与抛物线相交，而交点Q 和点P 的连线是否恰好垂直于x 轴．【探究步骤】1.作出抛物线2:mx y C =，设置参数)10,0(∈m ，增量为1.0；2.作直线022:=+-y x l 与抛物线C 交于B A ,两点；3.作线段AB 的中点P ；4.作以AB 为直径的圆，并作该圆与抛物线C 的交点Q ；5.作直线PQ ；6.拉动滑杆m ，仔细观察是否存在实数m ，使得直线PQ 恰好垂直于x 轴．经实验探究，应该存在唯一的实数2≈m ，使得命题成立．给出以下数学证明：联立方程⎩⎨⎧=+-=0222y x mx y 得(*)0222=--x mx 依题意，有21,08)2(2->∴>+-=∆m m ，若设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程(*)的两根，因为点P 是AB 的中点，所以)22,1(+mm P 假设满足条件的点Q 存在，则)1,1(mm Q ，222121212122111)12())(34(5)1)(1()1)(1()1,1()1,1(m m x x m x x my m y m x m x my m x m y m x QB QA +-++-+=--+--=--⋅--=⋅∴04641)12(2)34(10222=+--=+-+-+-=m m m m m m m 21,2-==∴m m 或，又21->m ． ∴存在实数2=m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．。

华师版九年级下册数学第26章二次函数探索抛物线形问题

∴b＝2，c＝4，∴抛物线对应的函数表达式为 y＝－16x2＋2x＋4. 当 y＝8 时，8＝－16x2＋2x＋4，解得 x1＝6＋2 3，x2＝6－2 3.则 x1－x2＝4 3. 【答案】D
∴两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
3．如图是某悬索桥的示意图．这座桥的缆索的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆 PQ长为13m．请你建立适当的平面直角坐标系，求出DC的长．
OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c
表示．在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如
果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m B．4m
1
C．4m D．4m
6
2
3
【点拨】∵OA＝12 m，OC＝4 m，
∴C(0，4)，抛物线的顶点横坐标为 6，即－2ba＝b1＝6， 3
y轴
1．如图①，河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图②的平面直
角坐标系，其对应的函数关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m
时，水面宽度AB为( )
1 A．－20m
B．10m
C．20m D．－10m
25
C
2．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽
HS版九年级下
第26章二次函数
26.3 实践与探索第1课时探索抛物线形问题
新知笔记 1 y轴
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1C 2D 3 见习题 4题
8 见习题

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题(解析版)

难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题【考点导航】目录【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1)．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，点F(-6，3)在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】(1)A(-2，-1)，B(2，3)；抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2(2)存在，点E的坐标E(6，-1)或E(10，-13)(3)-2≤x≤2，当t=2时，S的最大值为16【分析】(1)将抛物线C 1改为顶点式可得A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入y 2=ax 2+x +c ，求得y 2=-14(x -2)2+3，即可求出B (2，3)；(2)易得直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE⊥AB ，E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 ，不符合题意；(3)由y 1≤y 2，得-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，易求直线AF 的解析式：y =-x -3，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，S 1=12t 2+4t +6，设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=2-12t 2，所以S =S 1+S 2=4t +8，即当t =2时，S 的最大值为16．【详解】(1)抛物线C 1：y 1=14x 2+x =14(x +2)2-1∴A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入抛物线C 2：y 2=ax 2+x +c ，得：4a -2+c =-136a +6+c =-1 ，解得：a =-14c =2 ，∴y 2=-14x 2+x +2=-14(x -2)2+3，∴B (2，3)；(2)设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则-2k +b =-12k +b =3 ，解得：k =1b =1∴直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，k BE ·k AB =-1，∴k BE =-1，故可设直线BE 解析式为y =-x +b ，将B 点坐标代入，得：3=-2+b ，解得：b =5，直线BE 解析式为y =-x +5．联立y =-x +5y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=2y 1=3 ，x 2=6y 2=-1，∴E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，同理得AE 解析式：y =-x -3．联立y =-x -3y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=-2y 1=-1 ，x 2=10y 2=-13，∴E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 由AE ⊥BE 得k BE ·k AE =-1，即-14m 2+m -1m -2⋅-14m 2+m +1m +2=-1，整理，得：(m +2)(m -2)[(m -2)(m -6)+16]=0，∴m +2=0或m -2=0或(m -2)(m -6)+16=0(无解)，∴解得m =2或-2(不符合题意舍去)，∴点E 的坐标E (6，-1)或E (10，-13)；(3)∵y 1≤y 2，∴-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，设直线AF 的解析式为y =mx +n ，则-2m +n =1-6m +n =3 ，解得：m =-1n =-3∴直线AF 的解析式：y =-x -3，如图，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则Q -14t 2-t -3，14t 2+t ，∴S 1=12QM •y F -y A =12t 2+4t +6．设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=12PN •|x A -x B |=2-12t 2，∴S =S 1+S 2=4t +8，∴当t =2时，S 的最大值为16．【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)新定义：我们把抛物线y =ax 2+bx +c (其中ab ≠0)与抛物线y =bx 2+ax +c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“关联抛物线”为：y =3x 2+2x +1．已知抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2．(1)写出C 2的解析式(用含a 的式子表示)及顶点坐标；(2)若a >0，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线C 1，C 2于点M ，N ．①当MN =6a 时，求点P 的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0 ，顶点为-2，-3 (2)①P -1,0 或2,0 ；②a =2-2或a =2．【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3 ，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2，根据题意可得，C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3(2)解：①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3∴MN =4ap 2+ap +4a -3-ap 2+4ap +4a -3=3ap 2-3ap∵MN =6a∴3ap 2-3ap =6a∵a ≠0∴p 2-p =±2当p 2-p =2时，解得p 1=-1，p 2=2当p 2-p =-2时，方程无解∴P -1,0 或2,0②∵C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3 ，对称轴为x =-2∵a >0，∴a -2>-2当-2 -a -4 ≥a -2--2 时，即a ≤1时，函数的最大值为a a -4+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a a -2 2=2a∵a ≠0∴a -2=±2解得a 1=2-2,a 2=2+2(a ≤1，舍去)∴a =2-2当-2 -a -4 <a -2--2 时，且a -4<-2即1<a <2时，函数的最大值为a a -2+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3=2a∵a ≠0∴a =±2解得a 1=2,a 2=-2(1<a <2，舍去)∴a =2当a -4≥-2时，即a ≥2时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为a a -2+2 2-3=a 3-3，最小值为a a -4+2 2-3=a a -2 2-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3-3-a a -2 2+3=2a即a 3-a a -2 2-2a =0∵a ≠0即a 2-a -2 2-2=0解得a =32(a ≥2舍去)综上所述，a =2-2或a =2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】1(2023·贵州遵义·统考三模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5．(1)函数y =-2x 2+2x +1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．(2)已知二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4(其中a ≠0且a ≠1且a ≠12)，其友好同轴二次函数记为C 2．①若函数C 1的图象与函数C 2的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标)，求线段AB 的长；②当-3≤x ≤0时，函数C 2的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线x =12，y =3x 2-3x +1(2)①4；②-1或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数C 2，联立函数C 1，C 2，解方程可求出点A ,B 的坐标，由此即可得；②分a <1且a ≠0且a ≠12、a >1两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：函数y =-2x 2+2x +1=-2x -12 2+32的对称轴为直线x =12，因为1--2 =3，所以设函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x -12 2+m =3x 2-3x +34+m ，所以34+m =1，解得m =14，所以函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x 2-3x +1，故答案为：直线x =12，y =3x 2-3x +1．(2)解：①二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4=a x +2 2+4-4a ，则设C 2:y =1-a x +2 2+b =1-a x 2+41-a x +4-4a +b ，所以4-4a +b =4，解得b =4a ，所以C 2:y =1-a x 2+41-a x +4，联立y =ax 2+4ax +4y =1-a x 2+41-a x +4 得：2a -1 x 2+42a -1 x =0，解得x =0或x =-4，当x =0时，y =4；当x =-4时，y =16a -16a +4=4，所以A -4,4 ,B 0,4 ，所以AB =0--4 =4；②函数C 2:y =1-a x 2+41-a x +4=1-a x +2 2+4a 的对称轴为直线x =-2，(Ⅰ)当a <1且a ≠0且a ≠12时，抛物线的开口向上，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而减小；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而增大，则当x =-2时，y 取得最小值，最小值为4a ，当x =0时，y 取得最大值，最大值为4，所以4-4a =8，解得a =-1，符合题设；(Ⅱ)当a >1时，抛物线开口向下，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而增大；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而减小，则当x =-2时，y 取得最大值，最大值为4a ，当x =0时，y 取得最小值，最小值为4，所以4a -4=8，解得a =3，符合题设；综上，a 的值为-1或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其“友好对称二次函数”L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为0<m <2 ，它们关于L 1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C ，CB ．①若a =3，且四边形BB C C 为正方形，求m 的值；②若m =1，且四边形BB C C 邻边之比为1:2，直接写出a 的值．【答案】(1)y =43x 2，y =23x 2+2x -5；(2)①②③；(3)①m 的值为11-1015；②a 的值为-16或76或13或23【分析】(1)根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同，据此求解即可；(2)根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；(3)①根据题意可得：二次函数L 1：y =3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =-2x 2+8x +1，点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据四边形BB C C 为正方形，得出方程求解即可；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据题意：四边形BB C C 的邻边之比为1：2，得出BC =2BB 或BB =2BC ，求解即可得．【详解】解：(1)∵a =1--13 =43，∴函数y =-13x 2的“友好对称二次函数”为y =43x 2；a =1-13=23，原函数的对称轴为：x =-12×13=-32，∴-b 2×23=-32，∴b =2，c =-5，∴函数y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为y =23x 2+2x -5，,故答案为：y =43x 2；y =23x 2+2x -5；(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵1÷2=12，∴二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =1-a x 2-21-a x +3，③正确；若y =12x 2+x +1，则其“友好对称二次函数”为y =12x 2+x +1，此时这两条抛物线与x 轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；(3)二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a=2，其“友好对称二次函数”L 2：y =1-a x 2-41-a x +1．①∵a =3，∴二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =1-a x 2-41-a x +1=-2x 2+8x +1，∴点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，∴点B 的坐标为4-m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为4-m ,-2m 2+8m +1 ，∴BC =-2m 2+8m +1-3m 2-12m +1 =-5m 2+20m ，BB =4-m -m =4-2m ，∵四边形BB C C 为正方形，∴BC =BB ，即-5m 2+20m =4-2m ，解得：m 1=11-1015，m 2=11+1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11-1015；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，∴点B 的坐标为3,-3a +1 ，点C 的坐标为3,3a -2 ，∴BC =3a -2--3a +1 =6a -3 ，BB =3-1=2，∵四边形BB C C 的邻边之比为1：2，∴BC =2BB 或BB =2BC ，即6a -3 =2×2或2=26a -3 ，解得：a 1=-16，a 2=76，a 3=13，a 4=23，∴a 的值为-16或76或13或23．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y =-x 2+bx -3经过点-1,0 ，则b =，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 ，以y 轴上的点M 0,m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．(2)已知抛物线y =-x 2-2x +5关于点0,m 的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 ．①若抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点0,k +12 的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点0,k +22 的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；⋯；关于点0,k +n 2 的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ，⋯(n 为正整数)．求A n A n -1的长(用含n 的式子表示)．【答案】(1)-4；-2,1 ；y =x 2-4x +5；(2)m ≤5(3)①a =3b =-3 ；衍生中心的坐标为0,6 ；②4n -2【分析】(1)把-1,0 代入y =-x 2+bx -3即可求出b =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于0,1 的对称点，从而可写出原抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y =-x 2-2x +5的顶点是-1,6 ，从而求出-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，得y '=x -1 2+2m -6，根据两抛物线有交点，可以确定方程-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，继而求得m 的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 以及抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出B 1B 2，B 2B 3⋯ B n B n +1分别是AA 1A 2，△AA 2A 3⋯△AA n A n +1的中位线，继而可得A 1A 2=2B 1B 2，A 2A 3=2B 2B 3，⋯A n A n +1=2B n B n +1，再根据点的坐标即可求得A n A n -1的长，即可求解．【详解】(1)解：把-1,0代入y =-x 2+bx -3，得b =-4，∴y =-x 2-4x -3=-x +2 2+1，∴顶点坐标是-2,1 ，∵-2,1 关于0,1 的对称点2,1 ，∴成中心对称的抛物线表达式是：y =x -2 2+1，即y =x 2-4x +5，故答案为：-4，-2,1 ，y =x 2-4x +5；(2)∵y =-x 2-2x +5=-x +1 2+6，∴顶点是-1,6∵-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，∴y '=x -1 2+2m -6，∵两抛物线有交点，∴-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，∴x 2=5-m 有解，∴5-m ≥0，∴m ≤5；(3)①∵y =ax 2+2ax -b =a x +1 2-a -b ，∴顶点-1,-a -b ，代入y =bx2-2bx+a2得：b+2b+a2=-a-b①∵y =bx2-2bx+a2=b x-12+a2-b，∴顶点1,a2-b，代入y=ax2+2ax-b得：a+2a-b=a2-b②由① ②得a2+a+4b=0 a2-3a=0，∵a≠0，b≠0，∴a=3b=-3 ，∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是0，6；②如图，设AA1，AA2⋯AA n，AA n+1与y轴分别相于B1，B2⋯ B n，B n+1，则A,A1，A,A2，⋯A,A n，A,A n+1分别关于B1，B2⋯B n，B n+1中心对称，∴B1B2，B2B3⋯ B n B n+1分别是△AA1A2，△AA2A3⋯△AA n A n+1的中位线，∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，⋯A n A n+1=2B n B n+1，∵B n0，k+n2，B n-10，k+n-12，∴A n A n-1=2B n B n-1=2k+n2-k-n-12=4n-2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n为正整数)，直接写出A n A n+1的长(用含n的式子表示)．【答案】(1)b=-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)m≤5；(3)4n+2【分析】(1)利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点(0，-3)，求出点(-2，1)和(0，-3)关于(0，1)的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；(2)求出抛物线的顶点坐标(-1，6)，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；(3)求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴(0，-3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，∵点(0，5)在新抛物线上，∴5=a(0-2)2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5，故答案为-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)∵抛物线y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m ≤5；(3)抛物线y =ax 2+2ax -b 的顶点坐标为(-1，-a -b )，∵点(-1，-a -b )关于点(0，k +n 2)的对称点为(1，a +b +2k +2n 2)，∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a +b +2k +2n 2)，同理：A n +1(1，a +b +2k +2(n +1)2)∴A n A n +1=a +b +2k +2(n +1)2-(a +b +2k +2n 2)=4n +2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【答案】(1)1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32(2)①a =23；②34<a ≤1或-14≤a <-15【分析】(1)根据顶点式y =a x -h 2+k 的顶点坐标为h ，k ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；(2)①写出点B 的坐标，再由对称轴求出点B ，然后结合正方形的性质列出方程求a ；②先由对称性分析得到封闭区域内在x 轴上整点的个数，然后针对抛物线L 开口的不同进行分类讨论．【详解】(1)解：由y =x -1 2-2知顶点坐标为1，-2 ，由y =-x -1 2+2知顶点坐标为1，2 ，∴抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为y =12x -1 2-32；故答案为：1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32．(2)①当x =1时，y =1-3a ，∴B 1，1-3a ，∴C 1，3a -1 ，∴BC =1-3a -3a -1 =2-6a ，∵抛物线L 的对称轴为直线x =--4a 2a=2，∴点B 3，1-3a ，∴BB =3-1=2，∵四边形BB C C 是正方形，∴BC =BB ，即2-6a =2，解得：a =0(舍)或a =23．②抛物线L 的对称轴为直线x =2，顶点坐标为2，1-4a ，∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称，∴整点数也是关于x 轴对称出现的，∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个，L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i )当a >0时，∵L 开口向上，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x =1时，-2≤1-3a <-1，当x =2时，-3≤1-4a <-2，解得：34<a ≤1；(ii )当a <0时，∵L 开口向下，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x =2时，1<1-4a ≤2，当x =-1时，5a +1<0，解得：-14≤a <-15，综上所述：34<a ≤1或-14≤a <-15．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3 O 4,0 C 3,1 A 2,0 D1,-3 ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【答案】(1)①2,0；②见解析；(2)①-3≤x ≤-1；②±1；③y =18x 2【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m ，-m 2 ，则图象L ′的顶点为P 3m ,m 2 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，再由抛物线M 与L 有唯一交点，分两种情况：当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时符不符合题意；当a ≠-1时，有Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，根据当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m 取任意实数时，上述等式成立，从而得到36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，即可求解．【详解】(1)解：①∵点B-1,3与点B 5,-3关于点A中心对称，∴点A的坐标为-1+52,-3+32，即A2,0 ，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：(2)解：①当m=-1时，抛物线L为y=x2+2x，对称轴为x=-1，∴它的“孔像抛物线”L 的解析式为y=-x+2x+4，对称轴为x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②L：y=x2-2mx=x-m2-m2，设顶点为P m，-m2，过点P作PM⊥x轴于点M，“孔像抛物线”L 的顶点为P ，过点P 作P M ⊥x轴于点M ，由题意得：△PMA≌△P M A，∴M 3m,0，∴P 3m,m2，∵抛物线L及“孔像抛物线”L 与直线y=m有且只有三个交点，∴-m 2=m 或m 2=m ，解得m =m =±10，当m =0时，y =x 2与y =-x 2只有一个交点，不合题意，舍去，∴m =±1．③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，∴设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，∴a x 2+b x +c =-x 2+6mx -8m 2，整理得：a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，∵抛物线M 与L 有唯一交点，当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当a ≠-1时，Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，即b 2-12b m +36m 2-4a +1 ⋅8m 2-4c a +1 =0，整理得：36-32a +1 m 2-12b m +b 2-4c a +1 =0，∵当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m 取任意实数时，上述等式成立，∴36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，解得：a =18b =0c =0，∴该函数解析式为y =18x 2．故答案为：y =18x 2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x =a 成轴对称，当x ≤a 时，取顶点x =a 左侧的抛物线的部分；当x ≥a 时，取顶点在x =a 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x =a 的一对伴随抛物线．例如：抛物线y =(x +1)2x ≤0 与抛物线y =(x -1)2x ≥0 就是关于直线x =0(y 轴)的一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【答案】(1)y=(x-4)2+3x≥1.5(2)①m=2；②14-52或14+52；③m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【分析】(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；③当B点在x轴下方时，抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，求出此时m的取值范围便可．【详解】(1)∵抛物线y=(x+1)2+3(x≤1.5)的顶点坐标(-1,3)，∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)2+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx2-2m2x+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m2+2，∴m=0(舍去)，m=2，∴m=2；②如图1和图2，∵∠AOB =90°，∴点B 在x 轴上，∴点B 的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y =mx 2-2m 2x +2中，得16m -8m 2+2=0，解得，m =2+52或2-52，∵y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为：x =--2m 22m=m ，即抛物线y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为2+52或2-52，则抛物线y =mx 2-2m 2x +2关于直线x =4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：4+4-2+52 =14-52，或4+4-2-52 =14+52，∴ “伴随抛物线”的顶点横坐标为14-52或14+52；③如图3和图4，∵点C 、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，A (0,2)，抛物线y =mx 2-2m 2x +2及其关于直线x =4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，∴点B 在x 轴下方，设B (4,n )，则n <0，把B (4,n )代入y =mx 2-2m 2x +2中，得n =16m -8m 2+2，∴n =16m -8m 2+2<0，∴由二次函数n =16m -8m 2+2图象可知，当m <0时，若n <0，则m <2-52；当m >0时，若n <0，则m >2+52．又∵m ≠4，∴m >2+52且m ≠4，故m <2-52或m >2+52且m ≠4．当点B 在线段AC 上时，16m -8m 2+2=2，解得m =2，此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，当点B 在AC 的上方，抛物线的顶点在AC 与OD 之间时，符合题意，则有16m-8m2+2>2-m3+2>0，解得，0<m<32，综上所述，满足条件的m的值为m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【答案】(1)-2，-4；(2)ak=-2；(3)成立，理由见解析；(4)-18或-9或-6【分析】(1)先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)同(1)的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；(3)分a<0，a>0两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，根据题意得出k s:k t=1:2，从而得出s:t=1:2，根据题中s,t的范围得出s,t的值，再得出k的值，然后由ak=-2即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+1中，令x=0，则y=1，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-12,1 2，D12,12或B12,12，D-12,12，∴将12,1 2代入抛物线y=ax2+1中，得1 4a+1=12，解得：a=-2；∵抛物线y=12x2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=12x2+k中，得1 2×k24+k=k2，解得：k1=0(不合题意，舍去)；k2=-4，∴k=-4；故答案为：-2，-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=ax2+k中，得a×k24+k=k2，解得：ak=-2，k2=0(不合题意，舍去)；∴ak=-2；(3)a，k数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，正方形ABCD，又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD=k，BD⊥AC，∴点D的坐标为h+k2,k 2，∵点D在抛物线y=a x-h2+k a≠0，∴k 2=a h+k2-h2+k，解得-k2=ak24，∴ak=-2；当a>0时，同理可得ak=-2．∴若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，a，k数量关系仍为ak=-2；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，∵系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，∴k n≥0，∵美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t的内接正方形的面积之比为1：4，∴k s:k t=1:2，∵s,k s，t,k t在直线y=16x上，∴s:t=1:2，∵s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6，∴s=1t=2或s=2t=4或s=3t=6，∴k s=16k t=13或k s=13k t=23或k s=12k t=1，∵ak=-2，∴a s=-12a t=-6或a s=-6a t=-3或a s=-4a t=-2，∴a s+a t=-18或-9或-6．【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n =-x 2-nx +1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1,P 2,P 3,⋯,P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1,C 2,C 3,⋯,C n ，其横坐标分别为-k -1,-k -2,-k -3,⋯,-k -n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y =1分别交“系列平移抛物线”于点A 1,A 2,A 3,⋯,A n 连接C n A n ,C n -1A n -1，判断C n A n ,C n -1A n -1是否平行？并说明理由．【答案】(1)①②③；(2)①P n -n 2,n 24+1 ，y =x 2+1，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③C n A n 与C n -1A n -1不平行,理由见解析【分析】(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，③当y =1时，则-x 2-x +1=1，可得x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，可得x =0或x =-2；-x 2-3x +1=1，可得x =0或x =-3；所以相邻两点之间的距离都是1，(2)①y n =-x 2-nx +1的顶点为-n 2，n 2+44，可得y =x 2+1；②横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，⋯，-k -n (k 为正整数)，当x =-k -n 时，y =-k 2-nk +1，纵坐标分别为-k 2-k +1，-k 2-2k +1，-k 2-3k +1，⋯，-k 2-nk +1，相邻两点间距离分别为1+k 2；③由题可知C n (-k -n ,-k 2-nk +1)，C n -1(-k -n +1,-k 2-nk +k +1)，A n (-n ,1)，A n -1(-n +1,1)．比较∠DA n C n ≠∠EA n -1C n -1，即可得出结论C n A n 与C n -1A n -1不平行．.【详解】解：解：(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；①正确；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，由x =-12向左移动12得到x =-1，再向左移动12得到x =-32，②正确；③当y =1时，则-x 2-x +1=1，∴x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，。

抛物线的综合问题

(1 12 )( xM xN )2
2 xM xN
88 2
4 x1 4 x2
8 2 x1 x2 8 2
x1 x2
(4 x1)(4 x1)
x1 x2 4( x1 x2 ) 16
设直线AB为y=kx+1,代入抛物线 x2 4 y ，得
kx ，得
2 4x
4 A( k 2
,
4 )
k
同理可得 B(16k 2 , 8k )
当4
k2
16k 2，即 k
4 8k
k AB

k
4 k2
16k 2
2

1
1时
2
k 2k
2
所以直线AB的方程为
y 8k
故动点P的轨迹方程为 y2 4x(x≥0)和y=0(x<0)
l l (2)如图
y
由题意知，直线 l1 的斜率存在且 A1
不为y为=0k，(x设-1)为,代k入,则直y2线l14的x方中程，得 0
k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0E
D F
2
x
B
设A(x1, y1), B(x2, y2), 则
(3)设点P的坐标为(x, y) ，则由 x y 2 0 ，得 x y 2
所以 AF BF x12 ( y1 1)2 x22 ( y2 1)2
4y1 ( y1 1)2 4y1 ( y2 1)2 ( y1 1)( y2 1)
解决最值问题的关键是建立函数关系式再利用求最值的方法来解决。
解决直线过定点问题的关键是把直线方程表示出来，化简成y=m(x-t)+n的形式，可知直线恒过点 P(t,n).

九下数学课件利用二次函数解决抛物线形问题(课件)

适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函
数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物
线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．
知识点一抛物线形建筑物问题
【例1】如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4
m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
1
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－ .
2
1 2
这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x .
2
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3.请你根据上面的
函数解析式求出这时的水面宽度．
1 2
当y=-3时,- x =-3,解得x1= 6,x2=- 6(舍去).
2
所以当水面下降1 m时，水面宽度为 2 6 m.
1
当x=9时, y=(x-6)2+2.6=2.45>2.43,
60
所以球能过球网;
当y=0时, - 1 (x-6)2+2.6=0,
60
解得: x1=6+2 39>18, x2=6-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39(舍去),故会出界.
知识点二运动轨迹问题
(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少?
(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2), 代入解析式得
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
知识点二运动轨迹问题
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b，要使两孔
射出水的射程相同，求a、b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b·(20－b)，

《抛物线及其标准方程》教学反思

《抛物线及其标准方程》教学反思《抛物线及其标准方程》教学反思作为一名到岗不久的老师，课堂教学是重要的工作之一，写教学反思能总结教学过程中的很多讲课技巧，怎样写教学反思才更能起到其作用呢？下面是小编为大家收集的《抛物线及其标准方程》教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。

《抛物线及其标准方程》教学反思1周四我讲了《抛物线及其标准方程》一课，讲完这节课后，积极主动地请教各听课老师，聆听他们的意见，还有第三节课后李校长、王校长、程主任、房主任的点评，虽然没有针对我的课进行点评，但我还是觉得受益颇深，我心想领导们指点的这些，好多也是我课堂上很应该注意和改进的，下面就将本节课的反思总结一下：这节课的备课我感受最深的就是老师们对我的帮助，在备这节课前，我请教了臧老师、徐老师、韩老师，她们对我上好这节课提出好多实实在在的宝贵意见，让我从自己备课这个小圈子里扩展到我力所不能及的大圈子里面，因为年纪轻、教学经验不足，好多不到之处请老师一指点之后恍然大悟，上课自然顺彻很多，很感谢老师们的帮助和指点。

这节课我用课件讲的抛物线，其实比较重要的一点是能用几何画板来比较形象的演示抛物线的生成过程，学生好接受、我也好表达，然后学生们自己在下面建系、做题，我用投影仪展示，一可以让学生很好的参与课堂，再就是不用再在黑板上写一遍，能减少不必要的时间耗费，增加课堂容量，再一个就是小组讨论，先学生们一起学后教，一开始小组成员有一半会的，通过同学的讲解小组的每个同学就都会了，这样老师也安心，不用怕有学生不会，学生也开心，因为他学会了知识。

最后老师和学生们一起进行总结，点出来重点、本质。

在这里的不足就是在小组讨论之前，我没有给同学们充分的自己思考的时间而是很快的进入了小组讨论，应该让学生有自主学习的时间，然后小组讨论，先学后教。

班级授课，共同成长。

对于小组，现在我完全是依靠组员的自觉和小组长的责任心，听了王校长的指点，我认识到我的不足，我应该经常性的评优秀小组，让小组代言人代表本组的水平，让他们有集体荣誉感，能很好的带动学生们的积极性。

抛物线轴对称性的探究与应用

《专题:抛物线轴对称性的探究与应用》教学目标：1.让学生了解并掌握二次函数的图象是轴对称图形。

2.让学生了解并掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是一组对称点，它们到对称轴的距离相等，让学生进一步明确在两个对称点的横坐标和对称轴中，已知其中的两个量，都可以求出第三个量。

3.让学生体会数形结合的思想，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重、难点寻找抛物线上的对称点并利用抛物线上的对称点到对称轴的距离相等解题教学过程：一、知识回顾：1、在前面我们学习过二次函数的图象及其性质，我们知道二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形。

2、抛物线上每一组对称点的纵坐标都相等；任意两个纵坐标相等的点是一组对称点，它们到对称轴的距离相等即：3、若已知抛物线与x 轴相交的其中一个交点是A （1x ，0），且其对称轴是x m =，则另一个交点B 的坐标可以用（12m x -，0）表示出来（注：应由A 、B 两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

二、基本题型：（1）、求点的坐标1、如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)( 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．82、1x ，2x ，且12x +，点A （3，-8）在抛物线2ax bx c=++关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为练习与x 轴交于A 、B 两点，B 的坐标为 0），则点练习1x ,0），（2x , 0）则当12x x x =+时，y 值为____若A(x 1，y 1），B (x 2，y 2）是抛物线上的两点，若y 1=y 2，则A 、B两点是抛物线上一组关于对称轴对称的点，抛物线的对称轴为直线122x x x +=x练习3、抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)的对称轴为直线x=2，且经过点P （3，0），则a+b+c 的值为（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2练习4、已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的顶点坐标为（-1，-3）及部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为121.5,x x ==_____（2）、比较函数值的大小1、在二次函数2245y x x =++的图象上，依横坐标找到三点(－2，1y )，(0.5，2y )，(-3.5，3y )则你认为123,,y y y 的大小关系应为（）A 、1y >2y >3yB 、2y >3y >1yC 、3y >1y >2yD 、3y >2y >1y变式1：如果把上面的二次函数改为：232y x x =--+,其他条件不变，123,,y y y 的大小关系又是怎样的？变式2：上题中如果把二次函数2245y x x =++的图象向上或向下平移得224y x x m =++结果又如何？变式3：上题中如果把二次函数2245y x x =++改为2245y ax ax =++（a ≠0），其它条件不变，123,,y y y 的大小关系又如何？练习1、已知二次函数y =2x 2+8x +7的图象上有有点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，C 31(1)5y -，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( )A ． y 1 > y 2> y 3B ． y 2> y 1> y 3C ． y 2> y 3> y 1D ． y 3> y 2> y 1 练习2、已知二次函数223y ax x=-+（a 为常数）图像上的三点：A()1,1y x ，B ()2,2y x ，C ()3,3y x ，其中，1x =3a -，231,2a a xx =+=+，则1,2,3,y y y 的大小关系是（3）、求二次函数的解析式（1）求抛物线的函数解析式（2）如果抛物线上有一个点的坐标为（m,n ）则其图象上对称点的坐标为练习1、根据下表中的二次函数2y ax bx c =++ 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴（）A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点（4）、求距离和或差的最值1、如图,抛物线213222y x x =-- 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D,且A(－1，0). （1）在抛物线的对称轴上是否存在点N ，使得△ACN 若存在求出N 点坐标，若不存在，请说明理由。

九年级抛物线专题研究——韩老师

题型一：因动点产生的相似三角形问题例题1、直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．针对性练习如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1题型二：因动点产生的等腰三角形问题例题2、如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．针对性练习如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型三：因动点产生的直角三角形问题例题3、如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．针对性练习如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ． ① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．题型四：因动点产生的平行四边形问题例题四、如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．针对性练习已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．题型五：因动点产生的面积问题例题5、如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．针对性练习如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．题型六：因动点产生的相切问题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；相切时，求t的值．图1题型七：因动点产生的线段和差问题例题7、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．针对性练习如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．题型八：由比例线段产生的函数关系问题例题八、如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离最小值．图1题型九、由面积产生的函数关系问题如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．针对性练习如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当46S +≤≤+,求x 的取值范围.题型十、由面积相等产生的分类讨论问题（面积相等的处理技巧）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．课下练习题1、如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.2、已知：抛物线2y ax bx c =++(a≠0)，顶点C (1，3-)，与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断PM PNBE AD+是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D 且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）4、如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点．（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式；x（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．7、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O B P Q，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＞0）与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限，△AOB的面积为3．（1）求二次函数的表达式；x（2）过点A作x轴的平行线，交二次函数y＝ax2＋bx的图象于另一点C，连接CO，在坐标平面内求点P，使△POC∽△AOB（点P与点A对应）．9、已知直线y＝12x和y＝－x＋m，二次函数y＝x2＋bx＋c图象的顶点为M．（1）若M恰好是直线y＝12x与y＝－x＋m的交点，试证明：无论m取何实数值，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与直线y＝－x＋m总有两个不同的交点；（2）在（1）的条件下，若直线y＝－x＋m过点D（0，－3），求二次函数y＝x2＋bx＋c的表达式；（3）在（2）的条件下，若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴的交点为C，与x轴的左交点为A．①在直线y＝12x上求异于M的点P，使点P在△ACM的外接圆上；②在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，已知抛物线ｙ＝ｘ2－ａｘ＋ａ2－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．（１）求ａ的值；（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）11、已知二次函数y＝x2＋4x＋m（m为常数）的图象经过点（0，4），将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，已知平移后的函数图象满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的函数图象的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．（1）求平移后的二次函数的表达式；（2）试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．12、已知二次函数y＝－3x2－23(－a－1)x－3(－a2－2a)的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜1＜x2．（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；（2）设二次函数图象的顶点为C，求△ABC的面积；（3）若a是整数，P是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围．13、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（0，3），顶点在直线y＝－x＋1上且在第四象限，顶点与原点的距离为5．（1）求该二次函数的表达式；（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，直线y＝－x＋1交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使得以P、P点的坐标．若不存在，请说明理由．14、如图，直径为5的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，且CD＝4，抛物线经过A、B、C三点，顶点为N．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是抛物线对称轴上的一点，试问在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x－32与抛物线y＝－14x2＋b x＋c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接P A，以P A为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．（备用图）。

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