专题训练4 二次函数与一次函数、几何图形综合
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。
二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题1、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线y= 12x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．3、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点， OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．①设抛物线对称轴与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标．②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．4、已知抛物线y=x2+bx+经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．2（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．5、6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x 轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；(2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？8、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=-x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．9、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．10、已知，如图（a），抛物线y=ax2+bx+c经过点A（x1，0），B（x2，0），C（0，﹣2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x1﹣x2| =8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b），点Q为EBF上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．11、12、如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D(2，)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象，点O是坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；(3)把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．13、如图，抛物线y=2517144y x x =-++ 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由．14、如图，抛物线y=ax 2+bx-3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，-3a ），对称轴是直线x=1，顶点是M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C ，M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P ，A ，C ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y=-x+3与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B ，D 重合），经过A ，B ，E 三点的圆交直线BC 于点F ，试判断△AEF 的形状，并说明理由；（4）当E 是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．15、如图，抛物线y = ax2 + bx + c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为–4，与y轴交于点C。
一次函数与二次函数综合题
一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。
2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。
一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。
二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。
二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。
3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。
一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。
二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。
4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。
二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。
5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。
二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。
综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。
它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(四) 二次函数的应用
(二)在区间的端点处求最值 5．某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价 每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润 最大？最大利润为多少元？
润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z＝－
1 10
x2＋12x－320(2)当z＝－
1 10
(x－60)2＋40＝17.5时，解得x1＝45，x2＝75，∵－
1 10
＜0，∴当
z≥17.5时，45≤x≤75.又∵y＝－
1 10
x＋9中的－
每千克的售价x/元 日销售量y/kg
… 20 22 24 … … 66 60 54 …
12k＋b＝500， 解 ：(1) 设 y 与 x 之 间的 函数 关系 式 为 y ＝kx ＋b ， 则 14k＋b＝400， 解 得 k＝－50， b＝1 100， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－50x＋1 100 (2)由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50x2＋1 600x－11 000＝ －50(x－16)2＋1 800，∵12≤x≤15，且 x 为整数，∴当 x＝15 时，w 最大值＝－50×(15 －16)2＋1 800＝1 750，∴当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750 元
(三)在分段函数中求最值 7．某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售 单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设这种商品的月利润为W(元)， 求W与x之间的函数关系式； (3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？ 最大月利润是多少？
2023年九年级中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用
2023年中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用一、综合题1．已知：二次函数y ＝ax 2+bx+12（a ＞0，b ＜0）的图象与x 轴只有一个公共点A ． （1）当a ＝12时，求点A 的坐标； （2）求A 点的坐标（只含b 的代数式来表示）；（3）过点A 的直线y ＝x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b≥﹣1时，求点B 的横坐标m 的取值范围．2．已知二次函数图象的顶点在原点 O ，对称轴为 y 轴.直线 1:l y kx b =+ 的图象与二次函数的图象交于点 (3,2)A - 和点 3(,)2B m （点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的值及直线 1l 解析式；（2）若过点 (0,)P n 的直线 2l 平行于直线 1l 且直线 2l 与二次函数图象只有一个交点 Q ，求交点Q 的坐标.3．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.4．已知，直线 23y x =-+ 与抛物线 2y ax = 相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (3,)m -（1）求 a ， m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．5．已知抛物线的解析式为 ()2221.y x m x m m =--+-（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 34y x m =-+ 的一个交点在y 轴上，求m 的值.6．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D.（1）求点D 坐标及二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.7．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y=﹣23 x 2+ 73x ﹣1与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y=t （t ＜ 2524）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ； （2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图②，当t=0时，若Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与 x 轴交于 (1,0)A - 、 (3,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0,3)C .（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C 、 B 不重合），过点 D 作 DF x ⊥ 轴于点F ，交直线 BC 于点 E ，连接 BD 、 CD .设点 D 的横坐标为 m ， BCD 的面积为 S .求 S关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围，并求出 S 的最大值； （3）已知 M 为抛物线对称轴上一动点，若MBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，请直接写出点M 的坐标.10．如图，直线 12y kx =+ 与 x 轴交于点 ( 0)A m ， （ 4m > ），与 y 轴交于点 B ，抛物线 224y ax ax c =-+ （ 0a < ）经过 A ， B 两点， P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 //PQ y 轴交抛物线于点 Q .（1）当 5m = 时， ①求抛物线的关系式；②设点 P 的横坐标为 x ，用含 x 的代数式表示 PQ 的长，并求当 x 为何值时， 85PQ =？ （2）若 PQ 长的最大值为16，试讨论关于 x 的一元二次方程 24ax ax kx h --= 的解的个数与 h 的取值范围的关系.11．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A(7，0)，B(-1，4)，经过点B 的直线与抛物线的另一个交点C 在第四象限．已知△ABC 的面积为14．（1）求抛物线的函数关系式； （2）求点C 的坐标#（3）设P 是线段BC 延长线上的点，作直线PD△x 轴，交抛物线于点D 、E(点D 在点E 的左侧)．若DE=PE ，求点P 的横坐标．12．如图，若b 是正数，直线l ：y=b 与y 轴交于点A ；直线a ：y=x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y=﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB=8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线 ky x= (k≠0)与正方形ABCD 有四个交点时，k 的取值范围是 .（2）已知抛物线L ： 2()y a x m n =-+ (a>0)顶点P 在边BC 上，与边AB ，DC 分别相交于点E ，F ，过点B 的双曲线 ky x=(k≠0)与边DC 交于点N. ①点Q(m ，-m 2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L 的运动过程中，点Q 随m 运动，分别求运动过程中点Q 在最高位置和最低位置时的坐标.②当点F 在点N 下方，AE=NF ，点P 不与B ，C 两点重合时，求 BE CFBP CP- 的值. ③求证：抛物线L 与直线的交点M 始终位于轴下方.14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(10)A -，，点(30)B ，，与y 轴交于点C ，且过点(23)D -，.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值.（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当ΔOBE 与ΔABC 相似时，求点Q 的坐标.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+4x+m(m 为常数)与y 轴的交点为A ，M(4，0)与N(0，-3) 分别是x 轴、y 轴上的点。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一次函数的综合题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--二次函数与一次函数的综合题1．已知二次函数y1=x2+bx−3的图象与直线y2=x+1交于点A(−1,0)、点C(4,m).（1）求y1的表达式和m的值；（2）当y1>y2时，求自变量x的取值范围；（3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式.2．我市重庆路水果市场某水果店购进甲、乙两种水果．已知1千克甲种水果的进价比1千克乙种水果的进价多4元，购进2千克甲种水果与1千克乙种水果共需20元．（1）求甲种水果的进价为每千克多少元？（2）经市场调查发现，甲种水果每天销售量y（千克）与售价m（元/千克）之间满足如图所示的函数关系，求y与m之间的函数关系；（3）在（2）的条件下，当甲种水果的售价定为多少元时，才能使每天销售甲种水果的利润最大？最大利润是多少？3．若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l 具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．（1）求“带线”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的“路线”l的解析式；（2）若某“带线”L：y= 12x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4．①求此“带线”L的解析式；②设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标．4．已知如图：抛物线y=x2﹣1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．5．如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与一次函数y=x-3的图象交于A、B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点M．（1）求a、c的值和点M的坐标；（2）点P是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，点P的坐标为（x，n）（0< x< 3），m=PM2，求m关于n的函数关系式，并求当n取何值时，m的值最小，最小值是多少？6．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH∥BC于点H，求∥PFH周长的最大值．7．如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．（1）请直接写出D点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的戈的取值范围．8．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)和B(3,0)两点，交y轴于点E.（1）求此抛物线的解析式.（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求ΔADE的面积.9．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC=2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上找点D，使∥ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ∥AC于Q，使∥APQ与∥ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）判断直线BE与抛物线交点的个数；（3）求证：CD垂直平分BE；（4）若P是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得∥PBE是等腰直角三角形，且∥PEB=90°若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x－1的图像上.（2）若该函数的图象与函数y＝x＋b的图像有两个交点，则b的取值范围为（）A．b＞0B．b＞－1C．b＞－54D．b＞－2（3）该函数图象与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围.12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C，且过点D(2，−3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求ΔPOD面积的最大值.（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当ΔOBE与ΔABC相似时，求点Q的坐标.13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣34x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k∥x轴于点M，交直线BC于点N．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与∥BNM相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S ∥AOP =4S ∥BOC ，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ∥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．15．抛物线y ＝x 2－4x 与直线y ＝x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D.（1）直接写出点B 和点D 的坐标；（2）如图1，连接OD ，P 为x 轴上的动点，当tan∥PDO ＝12时，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m （0＜m ＜5），连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E.设∥BEQ 和∥BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值.16．已知二次函数 y 1=mx 2−2mx −3(m >0) 与一次函数 y 2=x +1 ，令W= y 1−y 2 .（1）若 y 1 、 y 2 的函数图象交于x 轴上的同一点. ①求 m 的值；②当 x 为何值时，W 的值最小，试求出该最小值；（2）当−2<x<3时，W随x的增大而减小.①求的取值范围；②求证：y1<y2.答案解析部分1．【答案】（1）解：将 A(−1,0) 代入 y 1=x 2+bx −3 ，得到0=1-b-3，解得b=-2故二次函数解析式为 y 1=x 2−2x −3 C(4,m) 代入 y 2=x +1 ，得到m=4+1=5（2）解：由（1）可得二次函数解析式为 y 1=x 2−2x −3 ，一次函数解析式为 y 2=x +1 ，在直角坐标系中画出两个函数图象如图：结合图象可知当 y 1>y 2 时，x ＜-1或x ＞4（3）解：设直线 AC 沿 y 轴平移n 个单位，平移后的直线解析式为y 3=x+1+n ，与二次函数 y 1=x 2−2x −3 只有一个交点，故 x +1+n =x 2−2x −3 有且只有一个解， 将方程变形得到 x 2−3x −(4+n)=0 ，∥=（-3）2+4（4+n ）=0，解得n= −254所以平移后的直线为 y 3=x −214.2．【答案】（1）解：设甲种水果的进价为x 元/千克，则乙种水果的进价为（x ﹣4）元/千克，根据题意，得 2x+（x ﹣4）=20 解得 x=8，答：甲种水果进价每千克8元（2）解：如图，设直线AB 的解析式为y=km+b ，将A （10，20），B （15，10）代入y=km+b 中 {10k +b =2015k +b =10 ，解得 {k =−2b =40 ，∴y=﹣2m+40；（3）解：设每天销售甲种水果的利润为w 元．由题意可得 w=（m ﹣8）（﹣2m+40）， =﹣2m 2+56m ﹣320， =﹣2（m ﹣14）2+72，∵a=﹣2＜0，∴当m=14时，w 最大值=72．答：当售价为每千克14元时，最大利润为72元．3．【答案】（1）解：∵y=x 2﹣2mx+m 2+m ﹣1=（x ﹣m ）2+m ﹣1，∴“带线”L 的顶点为（m ，m ﹣1）， ∴“路线”l 的解析式为y=x ﹣1（2）解：①设“带线”L ：y= 12 x 2+bx+c 的顶点为（x ，2x+4）．把（x ，2x+4）代入y=x 2+4x+1得2x+4=x 2+4x+1，解得x 1=1，x 2=﹣3． ∴“带线”L ：y= 12 x 2+bx+c 的顶点为（1，6）或（﹣3，﹣2）．∴“带线”L 的解析式为y= 12 （x ﹣1）2+6或y= 12 （x+3）2﹣2，即y= 12 x 2﹣x+ 132 或y= 12 x 2+3x+ 52；②若“带线”L 解析式为y= 12 x 2﹣x+ 132 时，解方程组 {y =2x +4y =12x 2−x +132 得 {x =1y =6 或 {x =5y =14 ，则带线”L 与“路线”l 的另一个交点Q 的坐标为（5，14）， 要使点R 到线段PQ 的距离最大，只要S ∥RPQ 最大，作PH∥y 轴交PQ 于H ，设R （x ， 12 x 2﹣x+ 132），则H （x ，2x+4）∴S ∥RPQ = 12 （2x+4﹣ 12 x 2+x ﹣ 132 ）•（5﹣1）=﹣x 2+6x+3=﹣（x ﹣3）2+13．∴当x=3时，S ∥RPQ 有最大值，此时点R 的坐标为（3，8）；若“带线”L 解析式为y= 12 x 2+3x+ 52 时，同理可得点R 的坐标为（﹣1，0）．∴点R 的坐标为（3，8）或（﹣1，0）4．【答案】（1）解：∵令y=0，则x=±1，令x=0，则y=﹣1，∴A （﹣1，0），B （1，0），C （0，﹣1）（2）解：设过B 、C 两点的直线解析式为y=kx+b （k≠0）， ∵B （1，0），C （0，﹣1）， ∴{k +b =0b =−1 ，解得 {k =1b =−1 ，∴直线BC 的解析式为y=x ﹣1， ∵AP∥CB ，A （﹣1，0）， ∴直线AP 的解析式为：y=x+1，∴{y =x +1y =x 2−1 ，解得 {x =−1y =0 或 {x =2y =3 ， ∴P （2，3），∴AP= √(2+1)2+32 =3 √2 ， ∵OB=OC=OA ，∥BOC=90°，∴∥ABC 是等腰直角三角形，即AC∥BC ， ∴四边形ACBP 是直角梯形， ∵AC=BC= √12+(−1)2 = √2 ，∴S 四边形ACBP = 12 （BC+AP ）×AC= 12（ √2 +3 √2 ）× √2 =4 5．【答案】（1）把 x =0 代入 y =x −3 ，得 y =−3 ，即 A(0，−3) ，把 y =0 代入 y =x −3 ，得 x −3=0 ，解得 x =3 ， 即 B(3，0) ，又∵A(0,−3) 、 B(3,0) 在二次函数 y =ax 2+4x +c 的图象上， ∴{c =−39a +4×3+c =0 ，解得 {a =−1c =−3 ， ∴二次函数解析式为 y =−x 2+4x −3 ，y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1 ，把 x =2 代入 y =x −3 ，得 y =−1 ， ∴点M 的坐标为 (2，−1) ； （2）如图，由（1）知二次函数对称轴为直线 x =2 ，过点P 作 PN 垂直直线 x =2 于点N ，则 PN =|x −2|，MN =|n +1| ，∴m =PM 2=PN 2+MN 2=(x −2)2+(n +1)2 ， ∵点P 在抛物线上， ∴−(x −2)2+1=n ，∴(x −2)2=1−n ，∴m =1−n +(n +1)2=n 2+n +2=(n +12)2+74，∵0<x <3 ，抛物线顶点坐标为(2，1)， ∴−3<n <1 ，∴当 n =−12时，m 有最小值，最小值为 74 ．6．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （5，0）代入抛物线y=ax 2+bx ﹣5，得{0=a −b −50=25a +5b −5 ，解得： {a =1b =−4，∴y=x 2﹣4x ﹣5=（x-2）2-9，∴顶点坐标为D （2，﹣9）（2）解：①存在，设直线BC 的函数解析式为y=kx+b （k≠0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入得 {5k +b =0b =−5 ，解得： {k =1b =−5 ，∴BC 解析式为y=x ﹣5，当x=m 时，y=m ﹣5，∴P （m ，m ﹣5）， 当x=2时，y=2﹣5=﹣3，∴E （2．﹣3），∵PF∥DE∥y 轴，∴点F 的横坐标为m ，当x=m 时，y=m 2﹣4m ﹣5，∴F （m ，m 2﹣4m ﹣5），∴PF=（m ﹣5）﹣（m 2﹣4m ﹣5）=﹣m 2+5m ， ∵E （2，﹣3），D （2，﹣9）， ∴DE=﹣3﹣（﹣9）=6， 如图，连接DF ，∵PF∥DE ，∴当PF=DE 时，四边形PEDF 为平行四边形，即﹣m 2+5m=6，解得m 1=3，m 2=2（舍去），当m=3时，y=3﹣5=2，此时P （3，﹣2），∴存在点P（3，﹣2）使四边形PEDF 为平行四边形； ②由题意，在Rt∥BOC 中，OB=OC=5，∴BC=5 √2 ，∴C ∥BOC =10+5 √2 ，∵PF∥DE∥y 轴，∴∥FPE=∥DEC=∥OCB ，∵FH∥BC ，∴∥FHP=∥BOC=90°， ∴∥PFH∥∥BCO ，∴C △PFH C △BCO=PF BC ，即C ∥PFH = √25√22+5m)=(√2+1)(−m 2+5m) ，∵0＜m ＜5，∴当m=﹣ 52×(−1)=52 时，∥PFH 周长的最大值为 25√2+2547．【答案】（1）解：如图，二次函数的图象与一轴交于A(-3，0)和B(1，0)两点，对称轴是 x =−3+12=−1 又点C(0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，D(-2，3) （2）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0，a ，b ，c 常数)， 根据题意得． {9a −3b +c =0a +b +c =0c =3 ，解得 {a =−1b =−2c =3 ，所以二次函数的解析式为y=-x 2-2x+3（3）解：如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x<-2或x>1．8．【答案】（1）解：∵抛物线 y =x 2+bx +c 与 x 轴交于 A(−1,0) 和 B(3,0) 两点，∴{1−b +c =09+3b +c =0 ，解得： {b =−2c =−3 ，故抛物线解析式为： y =x 2−2x −3 ； （2）解：根据题意得： {y =x 2−2x −3y =x +1 ， 解得： {x 1=−1y 1=0 ， {x 2=4y 2=5 ，∴A(−1,0) ， D(4,5) ，对于直线 y =x +1 ，当 x =0 时， y =1 ，∴F(0,1) ， 对于 y =x 2−2x −3 ，当 x =0 时， y =−3 ，∴E(0,−3) ， ∴EF =4 ，过点 D 作 DM ⊥y 轴于点 M . ∴S ΔADE =12EF ⋅(DM +AO)=10 .9．【答案】（1）解：∵B （1，0），OC=2OB ，∴C （0，﹣2），设抛物线解析式为y=a （x+4）（x ﹣1），把C （0，﹣2）代入得a•4•（﹣1）=﹣2，解得a= 12，∴抛物线的解析式为y= 12 （x+4）（x ﹣1），即y= 12 x 2+ 32 x ﹣2（2）解：AB=1﹣（﹣4）=5， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，把B （1，0），C （0，﹣2）代入得 {k +b =0b =−2 ，解得 {k =2b =−2 ，∴直线BC 的解析式为y=2x ﹣2， 设D （m ，2m ﹣2），∵∥ABD 为以AB 为腰的等腰三角形， ∴BD=BA=5或AD=AB=5，当BD=BA 时，即（m ﹣1）2+（2m ﹣2）2=52，解得m 1=1+ √5 ，m 2=1﹣ √5 ，此时D 点坐标为（1+ √5 ，2 √5 ），（1﹣ √5 ，﹣2 √5 ），当AD=AB 时，即（m+4）2+（2m ﹣2）2=52，解得m 1=1（舍去），m 2=﹣1，此时D 点坐标为（﹣1，﹣4），综上所述，满足条件的D 点坐标为（1+ √5 ，2 √5 ），（1﹣ √5 ，﹣2 √5 ），（﹣1，﹣4） （3）解：AB 2=25，BC 2=12+22=5，AC 2=42+22=20，∵AB 2=BC 2+AC 2，∴∥ABC 为直角三角形，∥ACB=90°，∵∥BAC=∥CAO ，∴∥ACO∥∥ABC ，∵∥APQ 与∥ABC 相似，∴∥CAP=∥OAC ，∴AC 平分∥BAP ，设直线AP 交y 轴于E ，作CF∥AE 于F ，则CF=CO=2，∵∥CEF=∥AEO ， ∴∥ECF∥∥EAO ，∴EC EA = CF AO = 24 = 12 ，在Rt∥AOE 中，∵OE 2+OA 2=AE 2，∴（2+CE ）2+42=（2CE ）2，解得CE=﹣2（舍去）或CE= 103 ，∴E （0，﹣ 163 ），设直线AE 的解析式为y=mx+n ，把A （﹣4，0），E （0，﹣ 163 ）得 {−4m +n =0n =−163，解得 {m =−43n =−163， ∴直线AE 的解析式为y=﹣ 43 x ﹣ 163，解方程组 {y =12x 2+32x −2y =−43x −163 ，解得 {x =−4y =0 或 {x =−53y =−289，∴P （﹣ 53 ，﹣ 289 ）．10．【答案】（1）解：∵点B （﹣2，m ）在直线上y=﹣2x ﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3， ∴B （﹣2，3）．∵抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x=2， ∴点A 的坐标为（4，0）．设所求的抛物线对应函数关系式为y=ax （x ﹣4）， 将点B （﹣2，3）代入上式， 3=﹣2a×（﹣2﹣4），解得：a= 14，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y= 14 x （x ﹣4）= 14 x 2﹣x（2）解：将y=﹣2x ﹣1代入y= 14 x 2﹣x ，得： 14x 2﹣x=﹣2x ﹣1，整理得：x2+4x+4=0，∴∥=42﹣4×1×4=0，∴直线BE与抛物线只有一个交点（3）解：证明：当x=2时，y=﹣2x﹣1=﹣5，∴E（2，﹣5）．∵C（2，0），B（﹣2，3），∴CE=0﹣（﹣5）=5，CB= √(−2−2)2+(3−0)2=5，∴CE=CB．∵D（0，﹣1），B（﹣2，3），E（2，﹣5），∴BD= √(−2−0)2+[3−(−1)]2=2 √5，DE= √(0−2)2+[−1−(−5)]2=2 √5，∴BD=DE，∴CD垂直平分BE（4）解：不存在，理由如下：过点E作ME∥BE交x轴于点M，过点B作BN∥直线x=2于点N，如图所示．∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），∴BN=2﹣（﹣2）=4，EN=3﹣（﹣5）=8，CE=0﹣（﹣5）=5．∵∥BEN+∥EBN=90°，∥BEN+∥MEC=90°，∴∥EBN=∥MEC，∴∥EBN∥∥MEC，∴MCEC=ENBN，∴MC=10，∴M（12，0）．设直线EM的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将E（2，﹣5）、M（12，0）代入y=kx+b，{2k+b=−512k+b=0，解得：{k=12b=−6，∴直线EM的函数关系式为y= 12x﹣6．将y= 12x﹣6代入y=14x2﹣x，得：14x2﹣x= 12x﹣6，整理得：x2﹣6x+24=0，∴∥=（﹣6）2﹣4×1×24=﹣60＜0，∴直线EM与抛物线无交点，∴不存在满足条件的点P．11．【答案】（1）证明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1＝(x－m)2＋m－1∴该函数的图象的顶点坐标为（m，m－1），将x＝m代入y＝x－1得，y＝m－1，∴不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x－1的图像上.（2）C（3）∵该函数的图象的顶点坐标为（m，m－1），①当m-1＞0，即m＞1时，该函数图象与y轴有一个交点，∴当m＞1时，该函数图象与坐标轴交点的个数为1；②当函数的图象的顶点在x轴以及经过原点时，由于函数的图象的顶点在函数y＝x－1的图像上∴当y=0时，x=1，即m=；当图象经过原点时，即m2＋m－1=0，解得，m1=−1+√52，m2=−1−√52∴当m＝1，m=−1+√52，m=−1−√52时，该函数图象与坐标轴交点的个数为2；③当m＜−1−√52，−1−√52＜m＜−1+√52，−1+√52＜m＜1时，该函数图象与坐标轴交点的个数为3.12．【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3)，将点D坐标代入上式并解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3（2）解：设直线PD与y轴交于点G，设点P(m，m2−2m−3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得，直线PD的表达式为：y=mx−3−2m，则OG=3+2m，SΔPOD=12×OG(x D−x P)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3，∵−1<0，故SΔPOD有最大值，当m=14时，其最大值为4916；（3）解：∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵∠ABC=∠OBE，故ΔOBE与ΔABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB=∠BOQ时，AB=4，BC=3√2，AC=√10，过点A作AH∥BC与点H，SΔABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得：AH=2√2，∴CH＝√2则tan∠ACB=2，则直线OQ的表达式为：y=−2x…②，联立①②并解得：x =±√3， 故点Q(√3，−2√3)或(−√3，2√3)； ②∠BAC =∠BOQ 时， tan∠BAC =OC OA =31=3=tan∠BOQ ， 则直线OQ 的表达式为：y =−3x …③，联立①③并解得：x =−1±√132，故点Q(−1+√132，3−3√132)或(−1−√132，3+3√132)；综上，点Q(√3，−2√3)或(−√3，2√3)或(−1+√132，1−√132)或(−1−√132，3+3√132).13．【答案】（1）解：∵直线y ＝﹣ 34x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，∴B （4，0），C （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点， ∴{−16+4b +c =0c =3 ，解得 {b =134c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+ 134x+3（2）解：设P （x ，﹣x 2+ 134 x+3），N （x ，﹣ 34 x+3），∵P 在第一象限，∴PN ＝PM ﹣MN ＝（﹣x 2+ 134 x+3）﹣（﹣ 34 x+3）＝﹣x 2+4x ， ∵PN∥CO ，要使P 、C 、O 、N 四点能围成平行四边形，则PN ＝CO ， ∴﹣x 2+4x ＝3， 解得x 1＝1，x 2＝3，∴P （1， 214 ）或（3， 154 ）（3）解：∵CO∥MN ， ∴∥COB∥∥NMB ， ∵∥PCN∥∥MNB ， ∴∥COB∥∥PCN ， ①∥PCN ＝90°时，PN BC ＝ CN OC，即 −x 2+4x 5 ＝ 54x 3，解得x 1＝ 2312 ，x 2＝0（舍去），②当∥CPN ＝90°时，PN OC ＝ CN BC ，即−x 2+4x 3 ＝ 54x 5， 即x 1＝ 134，x 2＝0（舍去），∴存在N 1（ 2312 ， 2516），N 2（ 134 ， 916 ）．14．【答案】（1）解：把A （﹣3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得{0=−9−3b +c 3=c ，解得 {b =−2c =3．故该抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3．（2）解：由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，则易得B （1，0）． ∵S ∥AOP =4S ∥BOC ，∴12 ×3×|﹣x 2﹣2x+3|=4× 12 ×1×3． 整理，得（x+1）2=0或x 2+2x ﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1±2 √2 ．则符合条件的点P 的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2 √2 ，﹣4）或（﹣1﹣2 √2 ，﹣4） （3）解：设直线AC 的解析式为y=kx+t ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入， 得 {−3k +t =0t =3 ，解得 {k =1t =3．即直线AC 的解析式为y=x+3．设Q 点坐标为（x ，x+3），（﹣3≤x≤0），则D 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ 32）2+ 94，∴当x=﹣32时，QD有最大值9415．【答案】（1）解：B（5，5），D为（2，-4）；（2）解：如图所示，过D作DE∥x轴与点E，则E（2，0），则tan∥EDO=OEDE=24=12，当P在E上时，则满足tan∥PDO＝12，则P1(2，0)，如图所示，当∠ODP2=∠ODE时，过O作OG⊥P2D于点G，∵∠ODP2=∠ODE，∴OG=OE=2，DG=DE=4，设P2G=n，则P2D=n+4，则sin∠OP2D=√n+4=4n+4，则n =83或n=0（舍去）， 则OP 2=103，则P 2(−103，0) 综上所述P 1(2，0)，P 2(−103，0)； （3）解：由题易得：M （-1，5），Q(m ，m 2−4m)， 则直线MQ 的解析式为：y =(m −5)x +m ，令x =(m −5)x +m ，解得x =m 6−m ，∴E(m 6−m ，m 6−m )，∵BM=6，∴S 1S 2=S △MBQ −S 2S 2=S △MBQ S 2−1， 且S △BMQ =6⋅(5−m 2+4m)2，S 2=6⋅(5−m 6−m )2， ∴S 1S 2=5−m 2+4m 6(5−m)6−m−1=(m+1)(6−m)6−1=−16m 2+56m ， ∵−16<0，函数开口向下， 当m =−562×(−16)=52时，S 1S 2取最大值为2524. 16．【答案】（1）解：①∵y2＝x+1与x 轴的交点为(-1，0) ∴把（－1，0）代入二次函数y 1=mx 2-2mx-3(m>0)中得，m=1 ②w=y1-y2中得w=x 2-2x-3-x-1=x 2-3x-4=(x- 32)2−254 ，则当x= 32 时，W 有最小值为 −254 ； （2）解：①W =mx 2−2mx −3−x −1=mx 2−(2m +1)x −4 对称轴为 x =−−(2m+1)2m =2m+12m因为 m >0 ， −2<x <3 时，且W 随x 的增大而减小. 所以， 2m+12m≥3 ， 所以 m ≤14所以 0<m ≤14②当x=-2时， W 0=8m −2因为 −2<x <3 时，W 随x 的增大而减小.所以，W<W0=8m−2因为0<m≤14，所以8m−2≤0，即W0≤0所以W<W0≤0，即y1−y2<0，所以y1<y2。
人教版数学九年级上学期课时练习-二次函数与一次函数综合(基础篇)(人教版)
专题22.19 二次函数与一次函数综合专题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c(c为常数，﹣1≤x≤2)的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为()A．0＜c≤3或c＝﹣1B．﹣l≤c＜0或c＝3C．﹣1≤c≤3D．﹣1＜c≤3且c≠02．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是()A．B．C．D．3．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A．0B．1C．2D．34．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋ac的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为﹣1，则一次函数y ＝（a ﹣b ）x +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为12x =-，下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a +b =0C ．b +c ＞aD ．a +c ＜b8．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．二次函数2441y ax bx =++与一次函数y ＝2ax ＋b 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．二次函数y ＝a （x ﹣2）2+c 与一次函数y ＝cx +a 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =-和反比例函数cy x=的图象如图所示，则一次函数y acx b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b ，若0ab >，则称点P 为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（ ）A ．23y x =-+B ．22y x x =-C ．5y x=-D ．21y x x=+14．已知直线y ax b =+经过一、二、三象限，则抛物线2y ax bx =+大致是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知一次函数y bx c =-与二次函数2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．已知二次函数y=a（x−1）2−c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题17．二次函数y＝a（x﹣m）2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第___象限．=+的图象不经过第18．已知二次函数2=++的图象如图所示，则一次函数y ax bcy ax bx c____________象限19．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①bc＞0；①b2﹣4c＞0；①b+c+1＝0；①3b+c+6＝0；①当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是_____．20．如图已知二次函数y 1＝x 2+c 与一次函数y 2＝x+c 的图象如图所示，则当y 1＜y 2时x 的取值范围_____．21．已知直线y 2x 1=-与抛物线2y 5x k =+交点的横坐标为2，则k =________，交点坐标为________．三、解答题22．如图，正比例函数y 1=x 与二次函数y 2=x 2-bx 的图象相交于O （0，0），A （4，4）两点． (1)求 b 的值；(2)当 y 1< y 2 时，直接写出 x 的取值范围．23．如图，二次函数的图像与x 轴交于()30A -,和()10B ,两点，交y 轴于点()0,3C ，点C 、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D（1）求D点坐标；（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．24．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）指出b，b2﹣4ac，a﹣b+c的符号；（2）若y1＜0，指出x的取值范围；（3）若y1＞y2，指出x的取值范围．25．设k≠0，若函数y1＝kx+3，y2＝（x﹣k）2+k和y3＝（x+k）2﹣k的图象与y轴依次交于A，B和C三点，设函数y2，y3的图象的顶点分别为D，E．（1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y1，y2，y3的草图，并根据图象，写出你发现的两条结论；（2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由；（3）若①ADE的面积等于9，求y2随x的增大而减小时，x的取值范围．参考答案1．A【分析】利用直线y＝2x与y＝x2﹣c(c为常数，﹣1≤x≤2)的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式．解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，整理得x2﹣2x﹣c＝0，根据题意△＝(﹣2)2+4c＝0，解得c＝﹣1，把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，①当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c(c为常数，﹣1≤x≤2)的图象有且仅有一个公共点，故选A．【点拨】本题考查一次函数和二次函数的交点坐标，根的判别式．2．B【分析】由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．故选B．【点拨】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．3．C【分析】分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图象即可求得答案．解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，①错误；当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故①不正确，①正确；①两函数图象可能是①①，故选：C．【点拨】本题主要考查了一次函数的图象和二次函数的图象，掌握一次函数的图象和二次函数的图象是解题的关键.4．D【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以判断一次函数y＝bx＋ac的图象经过哪几个象限即可．解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：a＞0，b＞0，c＞0，①ac>0，①一次函数y＝bx＋ac的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点拨】考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是根据函数的图象得到a＞0，b＞0，c＞0，由此再判断一次函数的图象．5．C【分析】由一次函数的图象判断出ba＞0、c＞0，再判断二次函数的图象特征，进而求解.解：观察函数图象可知：ba＞0、c＞0，①二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=-2ba＜0，与y轴的交点在y轴正半轴．故选：C．【点拨】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出ba＞0、c＞0.6．D【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=-1时，y=a-b＜0，①y=（a-b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点拨】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．7．D【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，由对称轴得到b =a ＞0，由抛物线与y 轴的交点得到c ＜0，则abc ＜0；a +b ＞0，据此来进行一一判断即可．解：①抛物线开口向上，①a ＞0，①抛物线的对称轴为直线x =122b a -=-， ①b =a ＞0，①抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，①c ＜0，①abc ＜0；a +b ＞0；故选项A 、B 错误；①b =a ＞0，c ＜0，①b +c ＜a ，a +c ＜b ，故选项C 错误，选项D 正确，故选：D ．【点拨】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．8．B【分析】题干中二次函数2y ax =的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数2y ax bx c =++的图象．解：①二次函数2y ax =的图象开口向下，①a <0，又①一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，①b >0，c >0， 则2b a ->0，可知二次函数2y ax bx c =++开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半轴，选项B 图象符合，故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．9．A【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可．解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b -＞0，0c <， 0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误， 抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b b x --=-=， ①102b -＞， ①抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误，故选：A ．【点拨】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数2y ax bx c =++ 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．10．D【分析】 根据题意可得由抛物线的对称轴为直线4242b b x a a=-=-⨯；一次函数y ＝2ax ＋b 的图象与x 轴交于点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ，再逐项判断即可求解． 解：抛物线的对称轴为直线4242b b x a a=-=-⨯；一次函数y ＝2ax ＋b 的图象与x 轴交于点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ， A 、此时一次函数y ＝2ax ＋b 的图象没有过点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ，故本选项不符合题意； B 、此时一次函数y ＝2ax ＋b 的图象没有过点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ，故本选项不符合题意； C 、此时一次函数y ＝2ax ＋b 的图象没有过点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ，故本选项不符合题意；D 、此时一次函数y ＝2ax ＋b 的图象过点,02⎛⎫- ⎪⎝⎭b a ，故本选项符合题意； 故选：D【点拨】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．11．B【分析】可先根据一次函数的图像判断a 、b 的符号，再看二次函数图像开口方向与最值与实际是否相符，判断正误．解：A 、由一次函数y ＝cx +a 的图像可得0a <，0c <，此时二次函数的图像应该开口向下，故A 错误；B 、由一次函数y ＝cx +a 的图像可得0a >，0c <，此时二次函数的图像应该开口向上，图像顶点应在x 轴下方，故B 正确；C 、由一次函数y ＝cx +a 的图像可得0a <，0c >，此时二次函数的图像应该开口向下，x =2时二次函数取最大值，故C 错误；D 、由一次函数y ＝cx +a 的图像可得0a >，0c >，此时二次函数的图像应该开口向上，图像顶点应在x 轴上方，故D 错误；【点拨】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数y ＝a （x ﹣2）2+c 的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．12．B【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a ﹤0，b ﹤0，c ﹥0，由此可得出0ac <，一次函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，对照四个选项即可解答．解：由二次函数图象开口向下可知：a ﹤0， 对称轴02b x a-=-> 0b ∴<， 由反比例函数图象分别在第一、三象限知：c ﹥0，0ac ∴<，∴一次函数y acx b =+的图象经过二，三，四象限,与y 轴的交点在y 轴的负半轴，对照四个选项，只有B 选项符合一次函数y acx b =+的图象特征,故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键．13．C【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数5y x=-的图象在二、四象限，不满足条件， 故选：C ．【点拨】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除．14．A【分析】由直线y ax b =+经过一、二、三象限，可确定00a b >>，，由0a >，抛物线开口向上，可判断D 不正确，由00a b >>，抛物线的对称轴x≠0，可判断C 不正确，由x=02b a-<抛物线对称轴在y 轴左侧可判断D 不正确，A 正确．解：①直线y ax b =+经过一、二、三象限，①00a b >>，，①0a >，抛物线开口向上，则D 不正确，①00a b >>，，①抛物线的对称轴x≠0，则C 不正确，由x=02b a -<， 抛物线对称轴在y 轴左侧，则D 不正确，A 正确，故选择：A ．【点拨】本题考查一次函数经过象限确定抛物线的位置，掌握抛物线的性质，特别是抛物线的性质与系数a b ，的关系是解题关键．15．D【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、b 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．解：A 、由一次函数图象得：0b >，0c <，由二次函数图象得：0a <，0b <，0c >，矛盾，故本选项不符合题意；B 、由一次函数图象得：0b >，0c >，由二次函数图象得：0a <，0b <，0c >，矛盾，故本选项不符合题意；C 、由一次函数图象得：0b >，0c <，由二次函数图象得：0a >，0b >，0c >，矛盾，故本选项不符合题意；D 、由一次函数图象得：0b >，0c <，由二次函数图象得：0a >，0b >，0c <，本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查一次函数与二次函数图象与系数之间的关系，理解基本性质，并灵活根据图象分析是解题关键．16．C【分析】首先根据二次函数图象得出a ，c 的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 解：根据二次函数开口向上则a ＞0，根据−c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c ＞0，故一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象经过一、二、三象限，故选：C ．【点拨】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a ，c 的值是解题关键．17．二##2【分析】由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m 与n 的正负，即可作出判断．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m ，n ），且在第四象限，①m ＞0，n ＜0，即m ＞0，n ＜0，则一次函数y ＝mx +n 经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．18．二##2【分析】由抛物线的开口方向、与y 轴的交点以及对称轴，可确定a ，b ，c 的符号，继而可判定一次函数y ax bc =+的图象不经过哪个象限即可． 解：开口向上，0a ∴>，与y 轴交于负半轴，0c ∴<，对称轴在y 轴左侧，02b a∴-<， 又①0a >，0b ∴>，0bc ∴<，∴一次函数y ax bc =+的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质．19．①①【分析】根据函数y ＝x 2+bx +c 的图象得出a 、b 、c 的符号，对①进行判断；利用判别式的意义对①进行判断；利用x ＝1，y ＝1可对①进行判断；利用x ＝3，y ＝3对①进行判断；根据1＜x ＜3时，x 2+bx +c ＜x 可对①进行判断．解：由图象开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则a ，b 异号，故b ＜0，图象与y 轴交在正半轴，故c ＞0，则bc ＜0，故①错误；①抛物线与x 轴没有公共点，①①＝b 2﹣4c ＜0，所以①错误；①x ＝1，y ＝1，①1+b +c ＝1，即b +c ＝0，所以①错误；①x＝3，y＝3，①9+3b+c＝3，①3b+c+6＝0，所以①正确；①1＜x＜3时，x2+bx+c＜x，①x2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，所以①正确．故答案为：①①．【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．20．0＜x＜1．【分析】首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y1＜y2时x的取值范围．解：由题意可得：x2+c＝x+c，解得：x1＝0，x2＝1，则当y1＜y2时x的取值范围：0＜x＜1．故答案为0＜x＜1．【点拨】此题主要考查了二次函数与一次函数，正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．21．-17（2，3）【分析】根据交点的横坐标，代入直线解析式，可得交点的纵坐标，把交点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法，可得k的值.解：将x=2代入直线y=2x﹣1得，y=2×2﹣1=3，则交点坐标为（2，3），将（2，3）代入y=5x2+k得，3=5×22+k，解得k=﹣17，故答案为﹣17，（2，3）．【点拨】考查了二次函数和一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.x>22．(1)3b=(2)0x<或4【分析】（1）将点A （4，4）代入22y x bx =-进行解答即可得；（2）由图像即可得．(1)解：将点A （4，4）代入22y x bx =-得，1644b -=412b =解得3b =．(2)解：由图像可知，当0x <或4x >时，12y y <．【点拨】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．23．（1）D （-2，3）；（2）x ＜-2或x ＞1【分析】（1）根据点A 和点B 的坐标即可求出抛物线的对称轴，然后利用C 、D 的对称性即可求出点D 的坐标；（2）根据图象即可得出结论．解：（1）①如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，①该抛物线的对称轴是直线x=312-+=-1． 又点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，①D （-2，3）；（2）由图象可知：在点D 左侧和点B 右侧，一次函数的图象在二次函数的上方，即一次函数值大于二次函数值一次函数值大于二次函数值时，x ＜-2或x ＞1．【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一次函数的综合，解题时，要注意数形结合数学思想的应用．24．（1）b ＜0，b 2﹣4ac ＞0，a ﹣b+c ＞0；（2）1＜x ＜4；（3）x ＜1或x ＞5．【分析】（1）根据二次函数开口向上a ＞0，﹣2b a＞0，得出b 的符号，再利用二次函数与坐标轴的交点个数得出b 2﹣4ac 符号，再利用x=﹣1时求出a ﹣b+c 的符号；（2）根据图象即可得出y 1=ax 2+bx+c 小于0的解集；（3）利用两函数图象结合自变量的取值范围得出函数大小关系．解：（1）①二次函数开口向上a ＞0，﹣2b a＞0，得出b ＜0， ①b ＜0，①二次函数与坐标轴的交点个数为2，①b 2﹣4ac ＞0，①x=﹣1时，y=a ﹣b+c ，结合图象可知，①a ﹣b+c ＞0；（2）结合图象可知，当1＜x ＜4 时，y 1＜0；（3）结合图象可知，当x ＜1或x ＞5时，y 1＞y 2．【点拨】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及一次函数的图象性质，结合图象比较函数的大小关系是初中阶段难点，同学们应重点掌握．25．（1）见分析，直线与两抛物线始终有两个交点；B 点在C 点上方；（2）BC 长与k 之间是正比例函数关系，见分析；（3）x≤3．【分析】（1）当k=1时，分别求出它们的解析式，画出图象；（2）求出B 与C 的坐标，求出BC=2k ，可知BC 与k 是正比例函数；（3）构造矩形求①BDE 的面积，利用面积求k 的值，进而求出y 2的函数解析式，从而求解． 解：（1）当k ＝1时，y 1＝x+3，y 2＝（x ﹣1）2+1和y 3＝（x+1）2﹣1．如图，直线与两抛物线始终有两个交点；B 点在C 点上方；（2）B （0，k 2+k ），C （0，k 2﹣k ），①BC ＝（k 2+k ）﹣（k 2﹣k ）＝2k ，①BC 长与k 之间是正比例函数关系；（3）由表达式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k），过D，E分别向x轴作垂线，过A，E分别向y轴作垂线，交点为O，P，E，N，则由OPEN构造长方形，①S△ADE＝S PONE﹣S△APE﹣S△AOD﹣S△EDN＝2k（3+k）﹣12k•（3+k）﹣122k•2k﹣12k•（3﹣k）＝3k，①①ADE的面积等于9，①3k＝9，①k＝3，①y2＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3，①对称轴是x＝3，当y2随x的增大而减小时，x≤3．故答案为（1）见分析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k 之间是正比例函数关系，见分析；（3）x≤3．【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象；正比例函数的判别；二次函数顶点，对称轴；三角形面积．能够将一次函数，正比例函数，二次函数三个函数的图象与解析式结合解题，同时数形结合思想的运用起到关键作用．。
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练
中考数学《一次函数》《二次函数》《反比例函数》考点分析及专题训练函数及其图象1、坐标与象限定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。
水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。
两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2、函数与图象定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。
这种式子叫做函数的解析式。
表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。
解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：第1步，列表。
表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第2步，描点。
在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第3步，连线。
按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−1584．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是()A．1＜x＜2B．x＜或x＞1C．＜x＜2D．-1＜x＜25．若min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，当y=min{x2,x+2,8−x}时(x≥0)，则y的最大值是（）A．4B．5C．6D．7 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y= x2−x+c（c为常数）在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−2<c<14B．−4<c<94C．−4<c<14D．−10<c<947．二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1<y2，则x的取值范围是（）A．2<x<3B．x>2C．x<3D．x<2或x>38．将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时b的值为（）A．−214或−3B．−134或−3C．214或−3D．134或−39．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2+bx+c的顶点，则方程12x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或210．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时P、Q同时停止移动。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
二次函数与几何图形综合归类
【通解通法】
1.知识必备：
(1)S△=
1 ×底×高=
2
1 ×水平宽×铅垂高；
2
(2)二次函数顶点式：
;
(3)符合某种条件的一次函数与二次函数联立求交点坐标和一元二次 方程根的判别式； (4)两直线平行时，k值相等(斜率相等)。 2.抛物线中“两定一动”型面积问题。 注：一动实际上是满足条件的唯一点的存在问题探究，本质上属于 特殊定点的存在性问题。
【通解通法】解特殊三角形点的存在性问题有两种方法： (1)代数法 盲解盲算，代数法一般分三步：罗列三边长、分类列方程(等量关 系有勾股定理、相似、三角函数等)、求解并检验。 (2)几何法：即“两圆一线”和“一圆两线”精准定位，分三步：分类、画图、 计算。解题过程中，二者有效结合，有力彰显数形结合思想。
几何模型特例三 如图17，在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(2,2)， C(0,3)。在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的 四边形为平行四边形。
【简析】如图18，分别过A，B，C三点作对边的平行线，三条平行线互 相交于点D1，D2，D3。 方法一：如图19，以D1点为例，在平行四边形ABD1C中，以AB为一边时， 设D1(xD,yD),这里点A与点D1，点C与点B为对应顶点，利用四顶点坐标公 式，易得D1点坐标；以D3点为例，AB为对角线，这里点A与点B，点C与点D3为
类型1 二次函数与线段最值、面积最值问题
核心素养及解题思想和方法 1.核心素养：数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象。 2.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想。 3.常用解题方法：代数法和几何法。
一、二次函数与线段最值问题
常见模型一
【问题情境】 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点， 与y轴交于点C，在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小或|PA-PC|的值最大， 求适合条件的点P的坐标或最值。 【通解通法】 1.知识必备：(1)两点之间，线段最短；
二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练
二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。
人教版九上数学 专题训练_四_ 二次函数图象信息题
人教版九上数学专题训练_四_ 二次函数图象信息题1.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：① abc>0；② b−2a<0；③ a−b+c>0；④ a+b>n(an+b)(n≠1)；⑤ 2c<3b．正确的是( )A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤2.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：① abc<0；② b 2−4ac4a>0；③ ac−b+1=0；④ OA⋅OB=−ca．其中正确结论的序号是．3.已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )A．B．C．D．4.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是( )A．B．C．D．5.如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是( )A．y=x2−x−2B．y=−12x2−12x+2C．y=−12x2−12x+1D．y=−x2+x+26.如图，二次函数y=x2+bx+c(c≠0)的图象经过点A(−2,m)(m<0)，与y轴交于点B，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），AB∥x轴，且AB:OB=2:3．(1) 求m的值；(2) 求二次函数的解析式．7.如图，以(1,−4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( )A．2<x<3B．3<x<4C．4<x<5D．5<x<68.如图是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一部分，则关于x的不等式a(x+1)2+2>0的解集是( )A．x<2B．x>−3C．−3<x<1D．x<−3或x>19.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是．10.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)，B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x−1)2+c=b−bx的解是11.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC−CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．12.某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )A．B．C．D．13.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度ℎ=30m时，t=1.5s．其中正确的是( )A．①④B．①②C．②③④D．②③14.如图①，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是AO上一个动点，过点P作AC的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图②，则菱形的周长为．答案1. 【答案】D【解析】①由图象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此选项错误；②由于a<0，∴−2a>0．又b>0，∴b−2a>0，故此选项错误；③当x=−1时，y=a−b+c<0，故此选项错误；④当x=1时，y的值最大，此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，∴a+b+c>an2+bn+c，故a+b>an2+bn，即a+b>n(an+b)，故此选项正确；⑤当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且该抛物线对称轴是直线x=−b2a=1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故此选项正确．故④⑤正确．2. 【答案】①③④3. 【答案】A【解析】由一次函数y=ba x+c的图象可知ba<0，c>0，∵ba<0，∴−b2a>0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧，∵c>0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴．故选A．4. 【答案】C5. 【答案】D6. 【答案】(1) ∵AB∥x轴，A(−2,m)，∴AB=2．∵AB:OB=2:3，∴OB=3，∴点B的坐标为(0,−3)，∴m=−3．(2) ∵二次函数的图象与y轴交于点B，∴c=−3．又∵图象过点A(−2,−3)，∴−3=4−2b−3，∴b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3．7. 【答案】C【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1,−4)，∴对称轴为直线x=1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是−3<x<−2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4<x<5．8. 【答案】C9. 【答案】x<−3或x>1【解析】∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，∴−m+n=p，3m+n=q，∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P(1,p)，Q(−3,q)两点，观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<−3或x>1．10. 【答案】x1=−2，x2=511. 【答案】A12. 【答案】A13. 【答案】D【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误；②小球抛出3秒后开始下降，速度越来越快，故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；④设函数解析式为ℎ=a(t−3)2+40，，把O(0,0)代入得0=a(0−3)2+40，解得a=−409(t−3)2+40，∴函数解析式为ℎ=−409(t−3)2+40，把ℎ=30代入解析式，得30=−409解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度ℎ=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误．故选D．14. 【答案】2√5。
2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题
2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题1．如图，已知抛物线y=−43x2+bx+c经过A(0,4)，B(3,0)两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y= 12x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求∥PCE面积最大时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当∥OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把∥MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．3．已知抛物线y=−12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，−52），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求∥PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．4．如图，抛物线y= −14x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，52）．直线y=kx−32过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y= −14x2+bx+c与直线y=kx −32的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE∥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN∥AD于点N，设∥PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x 的函数关系式，并求出l的最大值．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是直线BC下方的抛物线上一点，且S∥PBC＝2S∥ABC时，求点P的坐标；（3）点P（﹣2，﹣3），点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1，0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∥AOB=2，点C是线段OA的中点.（1）求点C的坐标；（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∥APO=∥CBO，抛物线y=ax2+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D.请你探索：是否存在这样的点M，使得∥MAD∥∥AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C 在x轴的下方，且OA=OC=5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F 为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．10．综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴负半轴交于点A(−1，0)，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．（1）求抛物线和直线AF的解析式；（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使S△PAE=3S△PDE，求点P的坐标；（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，与y轴交于点A与x轴交于点E、B，且点A(0，5)，B(5，0)，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的点，且在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得以点A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请写出点Q，D的坐标，如果不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB距离最大，求点P坐标；（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与线段BC相交于点F，M为线段BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．13．已知抛物线y=−12x2+32x+2，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段BC上的一个动点．①若PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；②求√2AP+PB的最小值．14．已知二次函数y=﹣x2+2x+m.（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DE ⊥x轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值.15．如图，抛物线y=12x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求点A、B、C的坐标．（2）点P为AB上的动点（点A、O、B除外），过点P作直线PN∥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式．（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt∥COB 相似时点P的坐标．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM∥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN∥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：将A(0,4),B(3,0)代入抛物线的解析式得：{c=4−12+3b+c=0，解得：b=83,c=4．∴抛物线的解析式为：y=−43x2+83x+4．（2）解：①如图1所示：∵令y=0，−43x2+83x+4=0解得：x1=−1,x2=3，∴C(−1,0)．∴BC=4,AB=√32+42=5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE//BC．∴ADDC=AFFO=1．∴PQ=FO=2．∵PQ⊥BC,QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当PQQN=ABCB或POQN=CBAB时，△PQN与△ABC相似．∵当PQQN=ABCB时，2QN=54，解得：QN=8 5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×85=2．∴OQ=3−2=1．∴点P的坐标为(1,2)．当PQQN=CBAB时，2QN=45，解得：QN=2.5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×52=258．∴OB−BQ=−1 8，∴点P的坐标为(−18,2)．综上所述点P的坐标为：(1,2)或(−18,2)．②如图2所示：∵PQ=QN,PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°，∵由（2）可知OA=4,AB=5，∴sin∠ABO=4 5．∴QNQB=45，即2QB=45，解得：QB=52．∴OQ =OB −QB =3−52=12． ∴P(12,2) ．2．【答案】（1）解：根据题意得：{c =−42+2b +c =0 ， 解得： {b =1c =−4，所以该抛物线的解析式为：y= 12x 2+x ﹣4；（2）解：令y=0，即 12 x 2+x ﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2=2，∴A （﹣4，0），S ∥ABC = 12 AB•OC=12设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x ． ∵PE∥BC ，∴∥BPE=∥BAC ，∥BEP=∥BCA ， ∴∥PBE∥∥BAC ，∴S △PBE S △ABC=（ PB AB ）2，即 S△PBE 12 =（ 2−x 6 ）2，化简得：S ∥PBE = 13（2﹣x ）2． S ∥PCE =S ∥PCB ﹣S ∥PBE = 12 PB•OC ﹣S ∥PBE = 12 ×（2﹣x ）×4﹣ 13 （2﹣x ）2=﹣ 13 x 2﹣ 23 x+ 83 =﹣ 13 （x+1）2+3∴当x=﹣1时，S ∥PCE 的最大值为3． （3）解：由（2）已知A （﹣4，0）， ∵点D 为0A 中点， ∴D （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A （﹣4，0）、C （0，﹣4）分别代入得： {−4m +n =0n =−4 ，解得 {m =−1n =−4 ，∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣4．∵PE∥AC ，所以可设直线PE 的解析式为y=﹣x+a ， 将P （﹣1，0）代入y=﹣x ﹣a 得a=﹣1，所以直线PE 的解析式为y=﹣x ﹣1． 设直线BC 的解析式为y=kx+a′，将B （2，0）、C （0，﹣4）代入y=kx+a′得 {2k +a′=0a′=−4 ，解得k=2，a′=﹣4．所以直线BC 的解析式为y=2x ﹣4．由2x ﹣4=﹣x ﹣1得x=1，将x=1代入y=2x ﹣4得y=﹣2， ∴E 点坐标为（1，﹣2）． ①当MD=OD 时，如图1：∵AD=MD=AD ，OA=OC ，∥DAM=∥OAC ， ∴∥ADM∥∥AOC ，∴∥ADM=∥AOC=90°，即DM∥x 轴，∴M 的横坐标为﹣2，将x=﹣2代入y=﹣x ﹣4，得y=﹣2． 所以此时M 的坐标为（﹣2，﹣2）； ∵M 和E 点纵坐标相等， ∴ME∥x 轴， ∴∥PEM=45°．由翻折得∥ENM=2∥PEM=90°，即NE∥y 轴， ∴EN=ME=3， ∵E （1，﹣2）， ∴N （1，1）．②当DM=OM 时，过点M 作MG∥x 轴交于点，如图2：易知DG=OG=1，即G点与P点重合，M的横坐标为﹣1，将x=﹣1代入y=﹣x﹣4，得y=﹣3．∴M（﹣1，﹣3）．∵ME= √(−1−1)2+(−3+2)2= √5，EB= √(1−2)2+22= √5，∴ME=EB，∵PB=3，PM=3，即PB=PM，又∵PE=PE，∴∥BPE∥∥MPE，∴∥BEP=∥MEP，∴点N与点B重合，∴N（2，0）；③当OD=OM时，设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC=h•AC∵AC= √OA2+OC2= √42+42=4 √2，∴h= 4×44√2=2 √2，∵h＞OD，∴OD≠OM．此时等腰∥OMD不存在．综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．3．【答案】（1）解：将点C（0，−52）代入抛物线解析式得：m+12=−52，解得：m=−3，∴抛物线解析式为：y=−12x2−3x−52；（2）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令0=−12x2−3x−52，解得：x1=−5，x2=−1，∴A、B坐标分别为：A(−5，0)，B(−1，0)，设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，将A(−5，0)和C(0，−52)代入得：{−5k+b=0b=−52，解得：{k=−12b=−52，∴直线AC的解析式为：y=−12x−52，如图所示，过P点作PQ∥x轴，交AC于Q点，∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，∴设P(a，−12a2−3a−52)，则Q(a，−12a−52)，其中−5<a<0，∴PQ=y P−y Q=−12a2−3a−52−(−12a−52)=−12a2−52a，∵S△PAC=12PQ(x C−x A)，∴S△PAC=12(−12a2−52a)×[0−(−5)]=−54(a+52)2+12516，∵−54<0，∴抛物线开口向下，当a=−52时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516，此时，将a=−52代入抛物线解析式得：y=158，∴当P(−52，158)时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516；（3）解：如图所示，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G ．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为(−3，2)，∴沿x 轴向下翻折后，图象G 的顶点坐标为(−3，−2)，图象G 的解析式为：y =12x 2+3x +52；∵图象G 沿着直线AC 平移，∴作直线BS∥AC ，交PC 于S 点，则随着平移过程，点B 在直线BS 上运动， 分如下情况讨论：①当图象G 沿直线AC 平移至B 点恰好经过S 点时，如图中M 1所示， 此时，平移后的图象M 恰好与线段PC 有一个交点，即为S 点，由（2）知，P(−52，158)，以及直线AC 的解析式为y =−12x −52，∴设直线BS 的解析式为：y =−12x +b ，将B(−1，0)代入得：b =−12，∴直线BS 的解析式为：y =−12x −12；设直线PC 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，将P(−52，158)，C(0，−52)代入得：{−52k +b =158b =−52，解得：{k =−74b =−52，∴直线PC 的解析式为：y =−74x −52；联立{y =−12x −12y =−74x −52，解得：{x =−85y =310，即：S 点的坐标为S(−85，310)，∴此时点B(−1，0)平移至S(−85，310)，等同于向左平移35个单位，向上平移310个单位，即：当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向左平移35个单位，向上平移310个单位， ∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)， ∴平移后图象M 1的顶点的横坐标n =−3−35=−185； ②当图象G 沿直线AC 平移至恰好经过C 点时，如图中M 2所示，设图象G 与直线AC 的交点为R ，联立{y =12x 2+3x +52y =−12x −52，解得：{x =−5y =0或{x =−2y =−32， ∴点R 的坐标为：R(−2，−32)，由R(−2，−32)平移至C(0，−52)，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 2的顶点的横坐标n =−3+2=−1；∴当图象G 在M 1和M 2之间平移时，均能满足与线段PC 有且仅有一个交点， 此时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1； ③当图象G 沿直线AC 平移至A 点恰好经过C 点时，如图中M 3所示，此时，由A(−5，0)平移至C(0，−52)，等同于向右平移5个单位，向下平移52个单位，即：原图像G 向右平移5个单位，向下平移52个单位，得到图象M 3，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 3的顶点的横坐标n =−3+5=2；综上所述，当新的图象M 与线段PC 只有一个交点时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1或n =2． 4．【答案】（1）解：∵y= −14x 2+bx+c 经过点A （2，0）和B （0， 52 ），∴由此得 {−1+2b +c =0c =52， 解得 {b =−34c =52． ∴抛物线的解析式是y= −14x 2﹣ 34 x+ 52 ，∵直线y=kx ﹣ 32 经过点A （2，0）∴2k ﹣ 32 =0，解得：k= 34，∴直线的解析式是y= 34 x ﹣ 32（2）解：设P 的坐标是（x ， −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ），则M 的坐标是（x ， 34 x ﹣ 32 ）∴PM=（ −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ）﹣（ 34 x ﹣ 32 ）=﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4，解方程 {y =−14x 2−34x +52y =34x −32得： {x =−8y =−712， {x =2y =0 ， ∵点D 在第三象限，则点D 的坐标是（﹣8，﹣7 12 ），由y= 34 x ﹣ 32得点C 的坐标是（0，﹣32）， ∴CE=﹣ 32 ﹣（﹣7 12）=6，由于PM∥y 轴，要使四边形PMEC 是平行四边形，必有PM=CE ，即﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4=6解这个方程得：x 1=﹣2，x 2=﹣4， 符合﹣8＜x ＜2，当x=﹣2时，y=﹣ 14 ×（﹣2）2﹣ 34 ×（﹣2）+ 52=3，当x=﹣4时，y=﹣ 14 ×（﹣4）2﹣ 34 ×（﹣4）+ 52= 32 ，因此，直线AD 上方的抛物线上存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形，点P 的坐标是（﹣2，3）和（﹣4， 32） （3）解：在Rt∥CDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= √82+62 ∴∥CDE 的周长是24， ∵PM∥y 轴， ∵∥PMN=∥DCE ， ∵∥PNM=∥DEC ， ∴∥PMN∥∥CDE ，∴△PMN 的周长△CDE 的周长 = PM DC ，即 l 24 = −14x 2−32x+410， 化简整理得：l 与x 的函数关系式是：l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485，l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485 =﹣ 35（x+3）2+15，∵﹣ 35＜0，∴l 有最大值，当x=﹣3时，l 的最大值是15．5．【答案】（1）解：∵y ＝ax 2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴{a −b +2=016a +4b +2=0 ，解得 {a =−12b =32 ， ∴抛物线的解析式为：y =−12 x 2+32x+2．（2）解：∵A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴AB ＝5，由抛物线的解析式可得，C （0，2），∴OC ＝2，l BC ：y =−12x+2．∴S ∥PBC ＝2S ∥ABC ＝2 ×12•AB•OC ＝5×2＝10．在x 轴上取点M （﹣6，0），则MB ＝10，∴S ∥MBC =12 •MB•OC =12×2×10= 10．过点M 作BC 的平行线MN ，交抛物线于点P 1，P 2，∴l MN ：y =−12 x ﹣3．联立 {y =−12x 2+32x +2y =−12x −3， 解得 {x =2+√14y =−4−√142 ，或 {x =2−√14y =−4+√142，∴P 1（2 +√14 ，﹣4 −√142 ），P 2（2 −√14 ，﹣4 +√142）．（3）解：由抛物线解析式可得，抛物线对称轴为直线x =32．∵点F 是抛物线对称轴上一点， ∴设点F 的坐标为（ 32，t ）．若以点B 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，需要分以下两种情况： ①当BP 为边时，如图，由平行四边形的性质可知，E1（32+6，t+3），E2（32−6，t﹣3），∵点E在抛物线y =−12x2+32x+2上，∴t+3 =−12×（32+6）2+32×（32+6）+2，解得t =−1438，t﹣3 =−12×（32−6）2+32×（32−6）+2，解得t =−1378，∴F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）．②当BP为对角线时，BP的中点为（1，−3 2），∵F（32，t），∴E（−12，﹣t﹣3），∴﹣t﹣3 =−12×（−12）2+32×（−12）+2，解得t =−338，∴F（32，−338）．综上，点F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）或（32，−338）．6．【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 2 3，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S∥APO+S∥CPO-S∥ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD = 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(∥M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∥FN1O+∥M1N1E=90°，∥M1N1E+∥EM1N1=90°，∴∥EM1N1=∥FN1O，∥M1N1E=∥N1OF=90°，ON1=M1N1，∴∥M1N1E∥∥N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(∥M2N2O)：同理可得：点N 2( −1−√734 ， −3+√734)； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4，同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：( −7−√734 ， −3−√734 )、( −1+√734 ， −3−√734)； 综上，点N 的坐标为：( −7+√734 ， −3+√734 )或( −1−√734 ， −3+√734 )或( −7−√734， −3−√734 )或( −1+√734 ， −3−√734). 7．【答案】（1）解：令 4x −12=2x 2−8x +6 ，解得 x 1=x 2=3 ，当 x =3 时， 4x −12=2x 2−8x +6=0 ，∴y =ax 2+bx +c 必过 (3，0) ，又∵y =ax 2+bx +c 必过 (−1，0) ，∴{a −b +c =09a +3b +c =0,⇒,{b =−2a c =−3a， ∴y =ax 2−2ax −3a ，即 4x −12≤ax 2−2ax −3a ，即可看成二次函数 y =ax 2−2ax −3a 与一次函数 y =4x −12 仅有一个交点，且整体位于 y =4x −12 的上方∴a >0 ，∴ 4x −12=ax 2−2ax −3a 有两个相等的实数根∴ Δ=0∴(2a +4)2−4a(12−3a)=0 ，∴(a −1)2=0 ，∴a =1 ，∴b =−2 ， c =−3 ，∴y =x 2−2x −3 ．（2）解：由（1）可知： A(3，0) ， C(0，−3) ，设 M(m ，m 2−2m −3)，N(n ，0) ，①当 AC 为对角线时， {x A +x C =x M +x N y A +y C =y n +y N∴{3+0=m +n 0+(−3)=m 2−2m −3+0，解得 m 1=0 （舍）， m 2=2 ， ∴n =1 ，即 N 1(1，0) ．②当AM为对角线时，{x A+x M=x C+x Ny A +yM=yC+yN∴{3+m=0+n0+m2−2m−3=−3+0，解得m1=0（舍）m2=2，∴n=5，即N2(5，0)．③当AN为对角线时，{x A+x N=x C+x My A +yN=yC+yM∴{3+n=0+m0+0=−3+m2−2m−3，解得m1=1+√7，m2=1−√7，∴n=√7−2或n=−2−√7，∴N3(√7−2，0)，N4(−2−√7，0)．综上所述：N点坐标为(1，0)或(5，0)或(√7−2，0)或(−2−√7，0)．8．【答案】（1）解：过点A作AD∥OB于点D，过点C作CE∥OB于点E，∵AO=AB，∴AD是∥AOB的中线，∴OD= 12OB=2，∵tan∥AOB=2，∴ADOD=2，∴AD=4，∵CE∥AD，点C是AO的中点，∴CE是∥AOD的中位线，∴CE= 12AD=2，OE=12OD=1，∴C的坐标为（1，2）；（2）解：由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐标为（2，4），∴tan∥CBE= CEBE=23，∵∥APO=∥CBO，∴tan∥APO=tan∥CBO= 23， ∴AD PD = 23， ∴PD=6，设P 的坐标为（x ，0），∵D （2，0），∴PD=|x ﹣2|，∴|x ﹣2|=6，∴x=8或x=﹣4，∴P （8，0）或（﹣4，0）；当P 的坐标为（8，0）时，把A （2，4）和（8，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +b 0=64a +8b， 解得： {a =−13b =83， ∴抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83x ， 当P 的坐标为（﹣4，0）时，把A （2，4）和P （﹣4，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +2b 0=16a −4b ，解得： {a =13b =43， ∴抛物线的解析式为：y= 13 x 2+ 43x ， 综上所述，抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83 x 或y= 13 x 2+ 43x ； （3）解：∵M 为圆心，N 为切点，∴MN∥OA ，∵D 点是A 点关于MN 的对称点，∴∥MAD 是等腰三角形，MA=MD当∥MAD∥∥AOB 时，∵∥AOB 是等腰三角形，∴∥MAD=∥AOB ，当抛物线的解析式为y=﹣ 13 x 2+ 83x 时，如图2，①若点N在A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，∴AM∥x轴，∴M的纵坐标为4，∴把y=4代入y=﹣13x2+ 83x，解得：x=2（舍去）或x=6，∴M的坐标为（6，4），②当点N在点A的下方时，此时∥MDA=∥AOB，∴DM∥x轴，过点A作AE∥DM于点E，交于x轴于点F，设D点横坐标为a，∴DE=2-a，∵tan∥MDA=tan∥AOB=2，∴AE=2DE=4-2a，∴点M的纵坐标为2a，∴由勾股定理可知：AD= √5（2-a），OA=2 √5，∴OADM=OBAD，解2√5DM=4√5(2−a)，∴DM= 5(2−a)2，设M的横坐标为x，∴x-a= 5(2−a)2∴x= 10−3a2，∴M（10−3a2，2a）把M（10−3a2，2a）代入y=﹣13x2+ 83x，得：2a=- 13×(10−3a2)2+ 83×(10−3a2)解得：a=2或a=- 10 3，∴当a=2时，M（2，4）舍去当a=- 103时，M（10，-203）当抛物线的解析式为y= 13x2+ 43x时，如图4，若点N在点A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，延长MA交x轴于点F，∵∥MAN=∥OAF，∴∥AOB=∥OAF，∴FA=FO，过点F作FG∥OA于点G，∵A（2，4），∴由勾股定理可求得：AO=2 √5，∴OG= 12AO= √5 ， ∵tan∥AOB= CF OG∴GF=2 √5 ，∴由勾股定理可求得：OF=5，∴F 的坐标为（5，0），设直线MA 的解析式为：y=mx+n ，把A （2，4）和F （5，0）代入y=mx+n ，∴{4=2m +n 0=5m +n， 解得： {m =−43n =203， ∴直线MA 的解析式为：y=﹣ 43 + 203， 联立 {y =13x 2+43x y =−43x +203， ∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，把x=﹣10代入y=﹣ 43 + 203， ∴y=20，∴M （﹣10，20），若点N 在点A 的下方时，此时∥MAN=∥AOB ，∴AM∥x 轴，∴M 的纵坐标为4，把y=4代入y= 13 x 2+ 43x ， ∴x=﹣6或x=2（舍去），∴M （﹣6，4），综上所述，存在这样的点M （6，4）或（10，- 203）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得∥MAD∥∥AOB9．【答案】（1）解：由题意，可得A （﹣5，0），C （0，﹣5）．∵抛物线y=x 2+bx+c 过点A ，点C ，∴{25−5b +c =0c =−5，∴抛物线对应的函数解析式为y=x 2+4x ﹣5；（2）解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是直线x=﹣2．∵抛物线y=x 2+4x ﹣5与x 轴交于点A ，B ，∴点A ，B 关于直线x=﹣2对称．连结AC ，交对称轴于点P ，此时PB+PC 的值最小．设直线AC 的解析式为y=mx+n ，则 {−5m +n =0n =−5，解得 {m =−1n =−5 ， ∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣5，当x=﹣2时，y=﹣3，∴点P 的坐标为（﹣2，﹣3）（3）解：在（2）条件下，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）．设F （x ，x 2+4x ﹣5），∵四边形PEFM 为正方形，∴E （﹣2，x 2+4x ﹣5），M （x ，﹣3），PM=PE ，∴|x+2|=|x 2+4x ﹣5+3|，∴x 2+4x ﹣2=x+2，或x 2+4x ﹣2=﹣x ﹣2，整理得x 2+3x ﹣4=0，或x 2+5x=0，解得x 1=﹣4，x 2=1，x 3=0，x 4=﹣5，∴M （﹣4，﹣3）或M （1，﹣3）或M （0，﹣3）或M （﹣5，﹣3）10．【答案】（1）解：将A(−1，0)和C(0，3)代入y =ax 2+2x +c(a ≠0)，得{a −2+c =0c =3，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，将A(−1，0)代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，解得b＝1，∴直线AF的解析式为y＝x＋1（2）解：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1，4)，对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故E(1，2)，∴DE＝4－2＝2．过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG∥AF于点G，过点P作PK∥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：设P(m，−m2+2m+3)，则H(m，m+1)，∴PH=(−m2+2m+3)−(m+1)=−m2+m+2，对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，由交点得出∥FAB＝45°，∴∥PHG＝45°，即∥PHG为等腰直角三角形，故有PG=√22PH=√22(−m2+m+2)，延长DE交x轴于点Q，则Q(1，0)，∴AQ＝2，即AE=√2AQ=2√2，∴S△PAE=12AE⋅PG=12×2√2×√22(−m2+m+2)=−m2+m+2，∵P(m，−m2+m+3)，K(1，−m2+m+3)，∴PK=|1−m|，∴S△PDE=12DE⋅PK=12×2×|1−m|=|1−m|，由S△PAE=3S△PDE，得−m2+m+2=3|1−m|，解得m1=2−√3，m2=2+√3（不合题意，舍去），m3=−1+√6，m4=−1−√6（不合题意，舍去），将m1=2−√3代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=2√3，则得点P的坐标为P(2−√3，2√3)；将m3=−1+√6代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=4√6−6，则得点P的坐标为P(−1+√6，4√6−6)；综上所述，点P的坐标为P(2−√3，2√3)或P(−1+√6，4√6−6)（3）解：存在，N1(0，1)，N2(2，3)，N3(1+√172，3+√172)，N4(1−√172，3−√172)11．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴抛物线解析式为y=ax2−4ax+c，∵点A(0，5)，B(5，0)，∴{c=525a−5b+c=0，∴{a=−1c=5，∴二次函数的解析式为y=−x2+4x+5；（2）解：∵AC//x轴，点A(0，5)，当y=5时，−x2+4x+5=5，∴x1=0，x2=4，∴C(4，5)，∴AC=4，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A(0，5)，B(5，0)，由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=−x+5；设P(m，−m2+4m+5)，∴D(m，−m+5)，∴PD=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，∵AC=4，∴S四边形APCD =12AC⋅PD=2(−m2+5m)=−2(m−52)2+252∴当m=52时，四边形APCD的面积最大，∴即点P(52，354)时，四边形APCD的面积最大为252；（3）解：(3)设P(n，−n2+4n+5)则D(n，−n+5)①当AC为平行四边形的边，如图，∴AC∥DQ，AC=DQ，∴点Q的纵坐标为−n+5，又∵点Q在抛物线上，∴−x2+4x+5=−n+5，解得x=2±√4+n，∴点Q的坐标为(2+√4+n，−n+5)或(2−√4+n，−n+5)，当Q点坐标为(2+√4+n，−n+5)时，∵AC =4，∴DQ =2+√4+n −n =4， ∴4+n =(n +2)2， 解得n =0或n =−3，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4， ∴此时不符合题意；当Q 点坐标为(2−√4+n ，−n +5)时， ∵AC =4，∴DQ =n −2+√4+n =4，∴4+n =(6−n)2，即n 2−13n +32=0解得n =13+√412或n =13−√412，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4，∴n =13−√412∴D 点坐标为(13−√412，√41−32)，Q 点坐标为(2−√42−2√412，√41−32)②AC 为平行四边形的对角线时，如图，连接DQ 交AC 于点M ， ∴AM =CM ，DM =QM ， ∵A(0，5)，C(4，5)， ∴M 的坐标为(2，5)，设点Q 的坐标为(t ，−t 2+4t +5)，∴{t+n2=2−t 2+4t+5−n+52=5，解得{t =1n =3或{t =4n =0，同理可得0<n <4， ∴{t =1n =3， ∴点D 的坐标为（3，2），点Q 的坐标为（1，8）；综上所述，存在Q 使得以A 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，此时D 、Q 的坐标分别为(13−√412，√41−32)，(2−√42−2√412，√41−32)或（3，2），（1，8）． 12．【答案】（1）解：由题意得 {a −b −4a =0−4a =4 ，解得 {a =−1b =3．∴抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+3x+4．（2）解：由B （4，0）、C （0，4）可知，直线BC ：y ＝﹣x+4；如图1，过点P 作PQ//y 轴，交直线BC 于Q ，设P （x ，﹣x 2+3x+4），则Q （x ，﹣x+4）；∴PQ ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；S ∥PCB ＝ 12 PQ•OB ＝ 12 ×（﹣x 2+4x ）×4＝﹣2（x ﹣2）2+8；∴当P （2，6）时，∥PCB 的面积最大； （3）解：存在．抛物线y ＝﹣x 2+3x+4的顶点坐标E (32,254) ，直线BC ：y ＝﹣x+4；当 x =32 时，F (32,52) ，∴.EF =154．如图2，过点M 作MN∥EF ，交直线BC 于M ，设N （x ，﹣x 2+3x+4），则M （x ，﹣x+4）；由题意点N 在第一象限，∴MN ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；当EF 与NM 平行且相等时，四边形EFMN 是平行四边形， 由﹣x 2+4x =154时，解得 x 1=52,x 2=32 （不合题意，舍去）．当 x =52 时， y =−(52)2+3×52+4=214，∴N （ 52， 214 ）．∴点N 坐标为（ 52， 214 ）．13．【答案】（1）令 y =0 ，则 −12x 2+32x +2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ．∴A 点坐标为 (−1,0) ，B 点坐标为 (4,0) ． 令 x =0 ，则 y =2 ． ∴C 点坐标为 (0,2) ．（2）①设： l BC :y =mx +n ，将 B(4,0) ， C(0,2) 分别代入得， {0=4m +n 2=n ，解得 {m =−12n =2，故 l BC :y =−12x +2 ．可设 P(t,−12t +2) ， 0≤t ≤4 ，则 Q(t,−12t 2+32t +2) ，且Q 在P 上方．所以 PQ =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+2t ．又 BP =√(4−t)2+(−12t +2)2=√52(4−t) ．故 BP +PQ =√52(4−t)+(−12t 2+2t)=−12t 2+(2−√52)t +2√5 ．当 t =2−√52 时取得最大值，此时 P(2−√52,1+√54) ．②如图，延长AC至点D，使得CD=CB，连接BD，作DE⊥y轴于点E，过点P作PH⊥BD于点H．由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(−1−4)2=25，所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．则△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=45°．√2AP+PB=√2(AP+PBsin45°)=√2(AP+PH)，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时(AP+PH)取得最小值．∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，∴∠DCE=∠CBO．∴△CDE≌△BCO．∴DE=CO=2，CE=BO=4．可得点D的坐标为(2,6)．∴BD=√(2−4)2+(6−0)2=2√10，=12BD⋅AH，代入可得12×5×6=12×2√10⋅AH，S△ABD=12AB⋅yD，故有√2AP+PB=√2(AP+PH)≥√2AH=3√5．解得AH=3√102所以√2AP+PB的最小值为3√5．14．【答案】（1）解：当抛物线与x轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，∴m>-1；（2）解：∵点A(-1，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，∴-1-2+m=0，∴m=3，∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3，且C(0，3)， 当x=0时，-x 2+2x+3=0， 解得x=-1，或x=3， ∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b 中，得: {3k +b =0b =3 ，解得 {k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y=-x+3;（3）解：点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x+3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x+3） ，∴DF=-x 2+2x+3-(-x+3)=-x 2+3x= −(x −32)2+94，∴当 x =32 时，DF 最大，为 94 ，此时D 的坐标为（ 32,154 ）.15．【答案】（1）解：∵点A 、B 、C 在二次函数图象上 ∴把x=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得y=2把y=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得x 1=﹣1，x 2=4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）；（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0），把B （4，0），C （0，2）代入，得 {4k +b =0b =2 ， {k =−12b =2 ∴直线BC 的解析式为 y =12x +2∵OP=t∴P （t ，0），M （t ，﹣ 12 t+2），N （t ，﹣ 12 t 2+ 32 t+2），如图，∴S 1=N 1P 1﹣M 1P 1=﹣ 12 t 2+ 32 t+2﹣（﹣ 12 t+2）=﹣ 12t 2+2t （0＜t ＜4），S2=M2P2﹣N2P2=﹣12t+2﹣（﹣12t2+ 32t+2）= 12t2﹣2t（﹣1＜t＜0），（3）解：如图，①若∥OPN∥∥OCB，当OP与OC是对应边时，则OPOC=NPBO，即t2=−12t2+32t+24化简得：t2+t﹣4=0，解得：t1=−1+√172，t2=−1−√172（不合题意，舍去）②若∥OPN∥∥OBC，当OP与OB是对应边时，则OPOB=PNCO，即t4=−12t2+32t+24化简得：t2﹣2t﹣4=0解得：t3=1+ √5，t4=1﹣√5（不合题意，舍去）∴符合题意的点P的坐标为（−1+√172，0）和（1+ √5，0）．16．【答案】（1）解：由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax ﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣1 3，则抛物线的表达式为y=−13x2+13x+4，（2）设点P（m，﹣13m2+ 13m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∥ABC＝∥OCB＝45°＝∥PQN，PN＝PQsin∥PQN＝√22（﹣13m2+ 13m+4+m﹣4）＝﹣√26（m﹣2）2+ 2√23，∵﹣√26＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为2√23.（3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4 √2 ，∥OBC ＝∥OCB ＝45°， 将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 得 {0=4k +b b =4 解得 {k =−1b =4∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+4…①， 设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得 {0=−3m +n n =4解得 {m =43n =4∴直线AC 的表达式为：y ＝ 43x+4，设直线AC 的中点为K （﹣ 32 ，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣ 34 ，设过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为y ＝﹣ 34 x+q把K （﹣ 32 ，2）代入得2=﹣ 34 ×（﹣ 32 ）+q解得q= 78∴y ＝﹣ 34 x+ 78 …②，①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4（舍去4）， 故点Q （1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4 √2﹣5，则QM＝MB＝8−5√22，故点Q（5√22，8−5√22）.③当CQ＝AQ时，联立①②，{y=−x+4y=−34x+78，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（5√22，8−5√22）.。
初中数学专题训练：二次函数与其他知识的六种综合应用
初中数学专题训练：二次函数与其他知识的六种综合应用► 类型之一 二次函数与一次函数的综合应用1．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图像可能是( )图2－ZT －12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 和正比例函数y ＝23x 的图像如图2－ZT －2所示,则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根之和( )图2－ZT －2A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定► 类型之二 二次函数与反比例函数的综合应用3．二次函数y ＝－ax 2＋a 与反比例函数y ＝ax的图像大致是( )图2－ZT －34．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx的图像在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y ＝bx ＋ac 的图像可能是( )图2－ZT－45．春秋季属于传染病易发期,某住宅小区的活动室坚持天天消毒,如图2－ZT－5是某次消毒时活动室内空气中消毒液浓度y(单位：毫克/立方米)随时间x(单位：分)的变化情况．从开始喷药到喷药结束的10分钟内(包括第10分钟),y 是x的二次函数；喷药结束后(从第10分钟开始),y是x的反比例函数．(1)如果点A是图中二次函数图像的顶点,求二次函数和反比例函数的表达式(要求写出自变量的取值范围)；(2)已知空气中消毒液浓度y不小于15毫克/立方米且持续时间不少于8分钟才能有效消毒,通过计算,请你回答这次消毒是否有效．图2－ZT－5►类型之三二次函数与三角形的综合应用6．已知直线y＝－3x＋3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y＝－1 3 (x－3)2＋4上,能使△ABP为等腰三角形的点P有( )A．3个B．4个C．5个D．6个7．如图2－ZT－6,已知直线l过A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y＝ax2的图像在第一象限内交于点P.若S△AOP ＝92,求该二次函数的表达式．图2－ZT－6►类型之四二次函数与平行四边形的综合应用8．已知二次函数y＝23x2的图像如图2－ZT－7,点A0位于坐标原点,点A 1,A2,A3,…,An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,Bn在二次函数位于第一象限的图像上,点C1,C2,C3,…,Cn在二次函数位于第二象限的图像上,四边形AB1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3,…,四边形An－1BnAnCn都是菱形,∠AB1A1＝∠A1B2A2＝∠A 2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°,菱形An－1BnAnCn的周长为________．图2－ZT－79．2018·温州如图2－ZT－8,抛物线y＝ax2＋bx交x轴正半轴于点A,直线y＝2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x＝2,交x轴于点B.(1)求a,b的值；(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K＝Sm,求K关于m的函数表达式及K的取值范围．图2－ZT－8►类型之五二次函数与圆的综合应用10．如图2－ZT－9,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0,c＜0)交x轴于点A,B,交y轴于点C.设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.已知点A,B,C的坐标分别为(－2,0),(8,0),(0,－4)．(1)求此抛物线相应的函数表达式与点D的坐标；(2)若M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求△BDM面积的最大值．图2－ZT－9►类型之六二次函数与图形变换11．如图2－ZT－10,已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A,B两点,顶点C的纵坐标为－2,现将抛物线向右平移2个单位长度,得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1,则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1,则b2＝4a.图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,一段抛物线：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于点O,A1；将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于点A2；将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于点A3；……如此进行下去,直至得到C6.若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m＝________．图2－ZT－11详解详析1．[解析] A A项,由抛物线开口向上可知a＞0,由抛物线对称轴为直线x＝－b2a＞0,得b＜0,由直线可知a＞0,b＜0,故本选项正确；B项,由抛物线开口向下可知a＜0,由直线可知a＞0,故本选项错误；C项,由抛物线开口向下可知a＜0,由抛物线对称轴为直线x＝－b2a＞0,得b＞0,由直线可知a＜0,b＜0,故本选项错误；D项,由抛物线可知a＞0,b＜0,由直线可知a＞0,b＞0,故本选项错误．2．[解析] A由二次函数的图像可知a＞0,－b2a＞0,则－ba>0.设方程ax2＋(b－23)x＋c＝0的两根为x1,x2,则x1＋x2＝－b－23a＝－ba＋23a.∵a＞0,∴23a＞0,∴x1＋x2＞0.3．[解析] A当a＞0时,抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,双曲线位于第一、三象限,故选项C、D错误；当a＜0时,抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,双曲线位于第二、四象限,故选项B错误,选项A正确．4．[解析] B由题意可知,二次函数与反比例函数的图像的交点坐标为(1,b),且b>0,则a＋b＋c＝b,即a＋c＝0,所以a与c异号,所以一次函数y＝bx ＋ac的图像经过第一、三、四象限．故选B.5．解：(1)依题意可知A(10,20)为抛物线的顶点．设二次函数的表达式为y ＝a(x－10)2＋20.把O(0,0)代入,得100a＋20＝0,解得a＝－1 5 ,∴二次函数的表达式为y＝－15(x－10)2＋20(0≤x≤10)．设反比例函数的表达式为y＝kx.将点A的坐标代入,得k＝xy＝200,∴反比例函数的表达式为y＝200x(x＞10)．(2)有效．把y＝15代入y＝－15(x－10)2＋20,得－15(x－10)2＋20＝15,解得x＝5或x＝15(舍去)．把y＝15代入y＝200x,得x＝403.∵403－5＞8,∴这次消毒有效．6．[解析] A如图,以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C,M,N,连接AC,BC.令一次函数y＝－3x＋3中的x＝0,则y＝3,∴点A的坐标为(0,3)．令一次函数y＝－3x＋3中的y＝0,则－3x＋3＝0,解得x＝3,∴点B的坐标为(3,0),∴AB＝2 3.∵抛物线的对称轴为直线x＝3,∴点C与点A关于抛物线的对称轴对称,∴点C的坐标为(2 3,3),∴AC＝2 3＝AB＝BC,∴△ABC为等边三角形．设抛物线与x轴的交点分别为P,Q.令y＝－13(x－3)2＋4中的y＝0,则－13(x－3)2＋4＝0,解得x＝－3或x＝3 3,∴点P的坐标为(－3,0),点Q的坐标为(3 3,0),∴BP＝BQ＝2 3, ∴点M与点P重合,点N与点Q重合,∴点M 的坐标为(－3,0),点N 的坐标为(3 3,0),∴△ABC 为等边三角形． △ABP 为等腰三角形的情况分三种：①当AB ＝BP 时,以点B 为圆心,AB 长为半径作圆,与抛物线交于C,M,N 三点； ②当AB ＝AP 时,以点A 为圆心,AB 长为半径作圆,与抛物线交于C,M 两点；③当AP ＝BP 时,作线段AB 的垂直平分线,与抛物线交于C,M 两点．综上所述,能使△ABP 为等腰三角形的点P 有3个．故选A .7．解： 设直线l 所对应的函数表达式为y ＝kx ＋b. ∵直线l 过A(4,0)和B(0,4)两点, ∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝0，b ＝4，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4.∴y ＝－x ＋4. ∵S △AOP ＝92,∴12×4×y P ＝92,∴y P ＝94.将y ＝94代入y ＝－x ＋4,解得x ＝74,∴P(74,94)．把点P 的坐标(74,94)代入y ＝ax 2,解得a ＝3649,∴二次函数的表达式为y ＝3649x 2. 8．4n9．解：(1)将x ＝2代入y ＝2x,得y ＝4, ∴点M 的坐标是(2,4)．由题意,得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H.∵点P 的横坐标为m,抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x,∴PH ＝－m 2＋4m. ∵B(2,0),∴OB ＝2,∴S ＝12×2×(－m 2＋4m)＝－m 2＋4m,∴K ＝Sm ＝－m ＋4.由题意,得A(4,0)．∵M(2,4),∴2<m<4. ∵K 随着m 的增大而减小,∴0<K<2.10．[解析] (1)把点A,B,C 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得方程组,从而可以求出a,b,c 的值；运用勾股定理的逆定理判断△ABC 的形状,结合垂径定理可求点D 的坐标．(2)设点M(m,14m 2－32m －4),过点M 作MH ⊥y 轴于点H,利用面积割补关系,即S △BDM ＝S △DOB ＋S 梯形BMHO －S △DHM ,构建函数表达式,可以求△BDM 面积的最大值．解：(1)由题意,得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝0，64a ＋8b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－32，c ＝－4，∴y ＝14x 2－32x －4. 如图,连接AC,BC.∵点A,B,C 的坐标分别为(－2,0),(8,0),(0,－4),∴AC 2＝20,BC 2＝80,AB 2＝100,∴AC 2＋BC 2＝AB 2,∴∠ACB ＝90°,∴AB是圆的直径．∵AB⊥CD,∴DO＝CO＝4,∴D(0,4)．(2)如图,过点M作MH⊥y轴于点H.设点M的坐标为(m,14m2－32m－4),∴S△BDM＝S△DOB＋S梯形BMHO－S△DHM＝12×4×8＋12(m＋8)(－14m2＋32m＋4)－12m(4－14m2＋32m＋4)＝－m2＋4m＋32＝－(m－2)2＋36,∴△BDM面积的最大值为36.11．[答案] ③④[解析] ∵抛物线开口向上,∴a＞0.又∵－b2a＞0,∴b＜0,∴结论①不正确；∵当x＝－1时,y＞0,∴a－b＋c＞0,∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位长度,函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y＝－2,∴阴影部分的面积是2×2＝4,∴结论③正确；∵4ac－b24a＝－2,c＝－1,∴b2＝4a,∴结论④正确．12．[答案] －1[解析] ∵y＝－x(x－2)＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2),∴C1的顶点坐标为(1,1),∴点A1的坐标为(2,0)．∵C2由C1旋转得到,∴A1A2＝OA1,即C2的顶点坐标为(3,－1),A2(4,0)．照此类推可得C3的顶点坐标为(5,1),A3(6,0)；C4的顶点坐标为(7,－1),A4(8,0)；C5的顶点坐标为(9,1),A5(10,0)；C6的顶点坐标为(11,－1),A6(12,0)．∴m＝－1.。
2023年中考高频数学专题练习--二次函数与一次函数的综合
2023年中考高频数学专题练习--二次函数与一次函数的综合1．平面直角坐标系 xOy 中， O 是坐标原点。
已知A(0, 52 )，B(1,0)，C （6, 52），有一抛物线恰好经过这三点.（1）求该抛物线解析式；（2）若抛物线交 x 轴的另一交点为D ，那么抛物线上是否存在一点P ，使得POB CBD ∠=∠ ,若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由。
2．如图， 21y ax bx =+ 的图像交x 轴于O 点和A 点，将此抛物线绕原点旋转180°得图像y 2，y 2与x 轴交于O 点和B 点.（1）若y 1=2x 2-3x ，则y 2= .（2）设 y 1 的顶点为C ，则当△ABC 为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 y 1 的表达式 .3．如图，抛物线 28(0)y ax bx a =++≠ 与x 轴交于点 (2,0)A - 和点 (8,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当35PBC ABCS S∆∆=时，求点P的坐标．4．已知：如图，抛物线y=ax2+4x+c经过原点O(0，0)和点A (3，3)，P为拋物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C。
（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值。
5．如图所示，已知抛物线y= 13x2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0).（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积.6．如图，已知二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象经过点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAB＝△ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.（1）求抛物线的解析式（2）求△MCB的面积S△MCB.9．如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC 部分上，PD△PC 交x 轴于点D 。