高等数学上第一章D1_8函数的连续性与间断点

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同济大学高等数学(上)课件D1_8连续性间断点

o 1
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x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
第八节函数的连续性与间断点
一、函数连续性的定义二、函数的间断点
第一章
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一、函数连续性的定义
定义: 设函数在的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点连续的等价形式
在点
左连续间断的类型
右连续
第一类间断点第二类间断点
可去间断点左右极限都存在跳跃间断点无穷间断点左右极限至少有一个不存在振荡间断点
在
内连续 .
y sin( x x) sin x
y 2
x sin 2
cos( x
x ) 2
x
即这说明在在
x 0
0
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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高数第一章函数的连续性与间断点

2
当 a＝ 1

2
时 f ( x）在x

2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续，称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节函数的连续与间断
一、函数在一点的连续性二、连续函数及运算法则三、初等函数的连续性四、函数的间断点
第一章
五、闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续单调递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2

高数间断点

而lim x 2 4 存在，且为4，如果令
x2 x 2
x2 4
F(x)
x2
,
x
2,
4, x2
容易证明x=2是F(x)的连续点而不是间
断点．
y
x2 4 y
4
x2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 O
2
x
x2
（称F(x)为函数 y x2 4 的(连续)延拓),
x2
这一类间断点称为函数的可去间断点；
可去间断点
（2）函数y f (x) x1,
y
y
y f(x)
y f(x)
f (x0)
f (x0)
O
x0
x
O
x0
x
根据定义1及极限与单侧极限的关系，显然有
f ( x ) 在点x0连续
f ( x ) 在点x0 既右连续也左连续．
x li m x0 f(x)f(x0)
f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ).
例1 函数
x3, f(x)
即通过补充定义或者改变定义能使函数在该点变为连续的都叫可去间断点
（3）函数
x1, ysinx,
x0 x0
在x=0点有定义,注意到当 x0 时，左、右极限都存在,
但 lim y1lim y0 , 因此 l i m y 不存在，
x 0
x 0
x 0
故x=0是其间断点；
函数在这一点有一个“跳跃”，称这一类间断点为函数的跳跃间断点；
第一章函数与极限
第八节函数的连续性及间断点
一、函数的连续性二、函数的间断点
一、函数的连续性
１．引入一条大河川流不息奔向大海，一条大道连绵不断的通向远方，光阴在连续不断的流失，从北京开往天津的动车从北京南站驶出连续行驶30分钟到达天津站，最近气温在连续不断的下降.......

1-8函数的连续性与函数的间断点

(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2020年3月13日星期五
蚌埠学院高等数学
5
“ ”定义
0, 0,当 x x0 时，恒有 f ( x) f ( x0 ) .
2020年3月13日星期五
蚌埠学院高等数学
2
二、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f(x)在U(x0 ,δ)内有定义, x U(x0 ,δ), Δx x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. Δy f(x) f(x0 ),称为函数 f(x)相应于Δx的增量.
y
y f (x)
⑵ 有理整函数在区间(-∞,+∞)内是连续的。 ⑶ 有理分式函数在其定义域内的每一点是连续的。
2020年3月13日星期五
蚌埠学院高等数学
9
例3. 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
蚌埠学院高等数学
16
内容小结
在点连续的等价形式
左连续在点间断的类型
右连续
可去间断点第一类间断点跳跃间断点左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
2020年3月13日星期五
蚌埠学院高等数学
17
思考与练习
1. 讨论函数
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点, x = 2 是第二类无穷间断点.

高等数学第1章第九节函数的连续性与间断点

有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3）虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续，而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证：设 x (,),
x x 当有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,

1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)

§1.8 函数的连续性与间断点教学内容：一．函数连续的概念定义增量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21-u u 称为变量u 的增量，记为∆u ，即21∆=-u u u .定义在某一点处的连续性：（1）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 有增量x ∆时，函数相应的有增量y ∆，若0lim 0x y ∆→∆=，则称函数()y f x =在点0x 处连续，0x 为()f x 的连续点.（2）设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称()y f x =在点0x 处连续.（3）设函数()y f x =在点0x 的某邻域有定义，如果对于任意正数ε，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<，则称函数()y f x =在点0x 处连续.定义函数在区间上的连续性：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续；如果函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，且在左端点x a =处右连续，在右端点x b =处左连续，则称()f x 在闭区间a b [,]上连续，并称a b [,]是()f x 的连续区间.注 (1) ()f x 在左端点x a =右连续是指满足lim ()();x a f x f a +→=(2) ()f x 在右端点x b =左连续是指满足lim ()()x b f x f b -→=.定理：函数()f x 在点0x 处连续的充分必要条件是函数()f x 在点0x 处既左连续又右连续.二．函数的间断点定义函数间断点：如果函数()f x 在点0x 处不连续，则称函数()f x 在点0x 处间断，点0x 称为()f x 的间断点.第一类间断点 ()f x 在点0x 的左右极限00()f x -和00()f x +都存在的间断点为第一类间断点. 它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.第二类间断点称00()f x -和00()f x +中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.。

高等数学(上册)-电子教案 D1.8 函数的连续性与间断点

同理
在
定理1.8.3 设函数
上连续.
在
上连续.
由 y f (u) 与
复合而成,
若
lim
x x0
g(x)

u0 ,
而
在u0
连续, 则
f (u0 )
注：(1) 根据定理条件
(2) 根据定理条件
u g(x)
lim
x x0
g(x)

u0
如
定理1.8.4 设函数
由 y f (u) 与
连续 .
例2
在
是否连续 .
解: f (0 ) f (x) 在 f (0 )
f (x) 在 f (x) 在
右连续 .
不是左连续 . 不连续 .

1 2

f
(0).
1 f (0).
二、函数的间断点
1. 定义设 f (x) 在点的某去心邻域内有定义 ,
如果 f (x)满足下列条件之一：
取得增量Δx , 即
对应函数值y 的增量
即
2. 定义1.8.1：设函数如果
在 x0 的某邻域内有定义 , 则称函数
f (x) 在 x0 连续.
注： (1)函数在一点连续的等价定义:
令
则
(2)区间上的连续函数: 在该区间上每一点都连续的函数.
(3) 左连续: 若在点 x0 左连续.
则称函数 f (x)
第一章
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性二、函数的间断点三、连续的运算法则四、初等函数的连续性五、连续的反问题
一、函数连续性
1. 增量: 变量u由初值u1变到终值u2 ，Δu = u2 变量u 的增量. Δu 可以是正的，也可以是负的.

1-8函数的间断点与连续性

⎧∆x可正可负，但不为0 ⎨ ⎩ ∆y可正可负，但可为0
例：y = c
⇒ ∆y = 0
3
从几何上看：（图）
y = f ( x)
lijuan
y
f ( x0 + ∆x)
当 ∆ x → 0时，
∆y
f ( x0 )
∆y → 0
o
∆x x 0 x0 + ∆x
x
4
例：设函数y = x ，当x0 = 2, ∆x = 0.01时，函数的
x →0
在该点连续
2 lim f ( x ) = lim x =0 − −
x →0
� o
∴ 函数在 x = 0处不连续，为可去间断点。
x
可改变定义，令：f (0) = 0，则可在x = 0处连续
17
⎧ x2 x <1 例、讨论函数f ( x) = ⎨ 的连续性 ⎩ln x + 1 x > 1
lijuan
lijuan
⎧ tan x = 0 ⇒ x = kπ （k = 0, ±1, ±2,...）解： ⎨ ⎩ tan x → ∞ ⇒ x = kπ + π
x (1)当x = 0时，lim x → 0 tan x
2 = 1, 但在x = 0处无定义，
∴ x = 0为可去间断点，补充定义：f (0) = 1
5
反之：曲线在x0处不连续，如图: 则当∆x → 0时, ∆y → 0
lijuan
y
∆y
o
x0
x0 + ∆x
x
6
连续性的定义：
lijuan
设函数y = f ( x)在x0的某邻域内有定义，若在x0处，当∆x = x − x0 → 0时，相应的∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) → 0，

高数第一章第八节函数的连续性与间断点

y
如图:
f ( x0 )
O
y f ( x)
y
y f ( x)
y
f ( x0 )y
x
x 0 x x
O
x
x0
x 0 x x
x0
函数的连续性与间断点
2. 连续的定义定义1 设函数 f (x)在 U ( x0 , ) 内有定义, 若
x 0
lim y 0
则称函数f(x)在x0处连续,并称x0为函数f(x)的把极限与连续性联系起来了,且提连续点. 供了连续函数求极限的简便方法—— 只需求出该点函数特定值. f ( x0 ), 设 x x0 x, y f ( x )
左端点 x a 右连续 ( lim f ( x ) f (a ))
右端点 x b 左连续 ( lim f ( x ) f (b ))
x b
x aBiblioteka 连续函数的图形f ( x ) C [a , b ]
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
函数的连续性与间断点
例如, 多项式函数
P ( x ) a0 a1 x an x n
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) 在x 1处连续. x 1, 1 x ,
1
x
函数的连续性与间断点
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
2
即函数 y sinx对任意x (,) 都是连续的.
( 类似可证, 函数 y cos x在区间 ,)内

1-8函数的连续性与间断点65661

第一类间断点：左、右极限都存在的间断点.
跳跃间断点与可去间断点属于第一类间断点.
第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在的间断点.
无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第二类间断o 点
x0

x
y
o
x
振荡型
连续点举例
例1 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
y
解 f (0 ) 0, f (0 ) ,
x 0称为函数的无穷间断点.
o
x
例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解当x 0时f ( x)在 1与 1
之间变动无限多次,
y sin 1 x
x 0称为函数的振荡间断点.
证任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
故 y 2 sin x x , 当x 0时, y 0. 2
注意：对于可去间断点，只要改变或者补充间断点处函数的定义，则可使其变为连续点.
如上例, 令 f (1) 2,
y
则
f
(x)

2
x,
0 x 1,
2
1 x, x 1,
1
在x 1处连续.
o1
x
例3
讨论函数

1-8 函数的连续性与间断点

f (x)
f ( x0 ),
则称 f ( x)在 x0点右连续.
( f ( x)在x0点连续 f ( x)在x0点既左连续又右连续.)
2. 函数在区间上的连续性
定义4. 若 f ( x)在区间 I上每点连续,则称 f ( x)为 I上的连续函数, 记作 : f ( x) C(I ). 如: f ( x) C[a, b]
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x 00). f ( x0 0)都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则 x0为 f ( x)的间断点.
2. 间断点的分类: (各举一例,分别说明)
例1. 讨论 y f ( x) x2 1在 x 1点的连续性. 图像 x 1
都存在

第二类间断点
无穷间断点振荡间断点
f ( x0 0). f ( x0 0)

至少有一不存在

例5.讨论函数 f ( x) 3 的间断点. 2 2 x
解：观察知 x 0.x 1时 f (x)无定义,
x 0.x 1为 f (x)的间断点.
例证明 y sin x 在 (, )内连续.
证. x0 R 0 y sin( x0 x) sin x0
2sin x cos 2x0 x 2 x 1 x
2
2
2
由两边夹准则,
lim y 0,
x0
y sin x在 x0 点连续.
函数的图形在 x 0 处产生了跳跃
例3. 讨论 y tan x 在 x 点的连续性。

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点函数是研究数学的重要工具之一，而函数的连续性与间断点则是研究函数性质的基础。

在数学领域中，连续性是一种非常重要的性质，因为它决定了函数在一定区间内的取值方式。

在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性与间断点的概念、特征以及应用。

函数的连续性连续性是函数最基本的性质之一，它表明函数在其定义域内的取值是连续的。

简单来说，就是当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值也趋近于某个值，而且这个趋近过程是连续的。

如果函数不满足连续性，那么就会出现间断点。

函数连续性的定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果当$x$在$x_0$附近移动时$f(x)$的值趋近于$f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续，否则称函数$f(x)$在点$x_0$处不连续。

连续性是指函数的值可以不间断地取遍定义域内的任意值。

在图像上，连续的函数是没有断点的函数，它的所有连续的点构成一个连续的曲线。

连续性是函数值变化的一种平滑的方式，也是数学中最基本、最重要的性质之一。

函数的间断点函数的间断点与连续性是相对的。

当一个函数在某一点处不连续时，我们就称它在那一点有间断点。

间断点通常分为三种：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去间断点：当函数在某一点处的左、右极限存在且相等，但与函数在该点处的函数值不相等时，在该点就称为函数的可去间断点。

可去间断点是因为函数在那个点处可以被定义为一个更平滑的函数。

2. 跳跃间断点：当函数在某一点处的左、右极限都存在，但这两个极限不相等时，在该点就称为函数的跳跃间断点。

跳跃间断点通常是因为函数在那个点处实现了一个突变。

3. 无穷间断点：当函数在某一点处的左、右极限至少有一个不存在时，在该点就称为函数的无穷间断点。

函数的连续性与间断点的应用函数的连续性与间断点在计算机科学、物理学、经济学和生物学等领域中都有重要的应用。

例如，在控制系统中，通过控制系统与外界相关变量之间的函数间的连续性，我们可以预测和控制物理系统的运动。

高等数学第一章第八节函数的连续性与间断点

教学：题型，求分段函数中的未知参数，前提条件为收敛、连续、可导等。
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
lim f ( x ) limcos x 1,
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
1 例如, u 在 ( , 0) (0, )内连续, x y sin u 在(, )内连续,
1 y sin 在 ( , 0) (0, )内连续. x
教学：复合函数的极限、连续问题归纳，三个定理。
4. 反函数的连续性.
定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.

教学：谈谈不连续的情形，第一类（可去、跳跃）、第二类（无穷大、振荡）
定理
（1） y f ( x) 在点 x0 处连续
f ( x0 ) 有定义， lim f ( x) 存在，且 lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0 x x0
（2） y f ( x) 在点 x0 处连续
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
例

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。

本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。

具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。

对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。

1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。

换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。

2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。

即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。

3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。

也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。

二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。

对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。

而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。

对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。

高等数学上第一章D1_8函数的连续性与间断点

同济大学 高等数学(上)课件D1_8连续性间断点

高数第一章函数的连续性与间断点

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高数间断点

1-8函数的连续性与函数的间断点

高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点

1-8 函数的连续性与间断点 (高等数学)

高等数学(上册)-电子教案 D1.8 函数的连续性与间断点

1-8函数的间断点与连续性

高数第一章第八节 函数的连续性与间断点

1-8函数的连续性与间断点65661

1-8 函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

高等数学 第一章 第八节 函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点

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高数第一章第八节函数的连续性与间断点

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