2015年石家庄市一模理科数学试题及答案

2015年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试

高三数学(理科答案)

一、 选择题（A 卷）

1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA

一、选择题（B 卷）

1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA

二、 填空题

13

14 8

15 []1,2- 16 2a π

三、 解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情

给分）

17解：

（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*

+=+∈

∴11n n a S λ-=+(2)n ≥

∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠，

又1211,11,a a S λλ==+=+

∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列，…………………………………2分 ∴2

3(1)a λ=+，

∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………4分 ∴1

2n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分

解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*

+==+∈ ∴2111,a S λλ=+=+2321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++ ∴24(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分 ∴11(),n n a S n N *+=+∈ ∴11n n a S -=+(2)n ≥ ∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， 又121,2a a == ∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴12n n a -=， 13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………………………………6分 （2）1(32)2n n n a b n -=- ∴121114272(32)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅………………………① ∴12312124272(35)2(32)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅………②…………8分 ① —②得12111323232(32)2n n n T n --=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ 12(12)13(32)212n n n -⋅-=+⋅--⋅-…………………………………10分 整理得：(35)25n n T n =-⋅+…………………………………………………………12分 18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件,,A B C ，则112(),(),()223p A p B p C ===.

依题意，集成电路E 需要维修有两种情形： ①3个元件都不能正常工作，概率为 11111()()()()22312p p ABC p A p B p C ===⨯⨯=； …………2分 ②3个元件中的2个不能正常工作，概率为 2()()()()p p ABC ABC AB C p ABC p ABC p AB C =++=++

1111111

2232232=⨯⨯+⨯⨯+ 所以,集成电路E 1211512312p p +=+=． 6分

（Ⅱ）设ξ则5

(2,)12B ξ，而

100X ξ=， (100)()P X k P k ξ==== …………9分

X 的分布列为：

………………10分 49

3525250

0100200144721443EX ∴=⨯+⨯+⨯=

或5

250

1001002123EX E ξ==⨯⨯=. …………12分

19解：

(1)证明一

连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E , 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE

PC ∥平面BDE ，---------------2

AD 因为∥,BC 1

,3AF

AD

FC BC ==所以

因为EF ∥PC ,1

=.3AE

AF

EP FC =所以-------------4

证明二 在棱PA 上取点E ，使得13AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F , AD 因为∥,BC 1,2,AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以所以 所以，EF ∥PC 因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE 所以PC ∥平面BDE -------------4 (2)取BC 上一点G 使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O . 连结,,,OA OB OD OG . 0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=， 所以PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==, 即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7 （或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形. 连接,AG BD 交于点O ，连接PO ， 0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=， 00,,,90,90.PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ∆∆===∆≅∆∠=∠=∆≅∆∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面 -----------7）

,,OG OB OP 因为两两垂直，

以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP 的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.

000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，） 设棱BC 的长为t ，则

,1,0)C ,

22(1,0,1),(0,1,1),(,1,1),(0,1,1)t

t

PA PB PC PD =--=-=--=-- --------------9

,111(,,),

00

,0

01,(1,1,1)PAB

x y z PA x

z y z PB x PAB

=⎧=--=⎧⎪⎨⎨-==⎩⎪⎩=-=-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m -----------10 222(,,),

0(1)0,2200

1,(11)PCD x y z PC y z PD y z y PCD t =

⎧=+--

=⎪

⎨⎨=⎪⎪⎩--=⎩==--设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.

n n n n

-----------11

0,=m n 解得t=BC 即棱的长为

20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线1

2x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆

心的轨迹方程：22y x =.………………………4分

（2）设00(,

)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，

直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=，

又圆心（1，0）到PB 的距离为1，

1=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=， …………………………6分 同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2

000(2)20x x y x x -+-=的两根， 所以：00002,,22y x b c bc x x --+==--……………………8分 依题意0bc <，即02x >， 则22200020448()(2)x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以： 0022x b c x -=-，………………10分 所以00014(2)482(2)S b c x x x =-=-++≥-，

当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.………………………12分 解二： （2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则 1=，整理得： 22200000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………………6分 20001212220002(1)1,22x y y k k k k x x x x --+=-=--,………………………8分 依题意02x > 那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -

=---=-， 由韦达定理得：12022k k x -=-，则0022B C x y y x -=-，…………………10分 所以 0001

4

()(2)482(2)B C S y y x x x =-=-++≥-

当04x =时上式取得等号，所以PBC ∆面积最小值为8.…………………12分