函数的极限

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第二节函数的极限

1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B，定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.

在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的定义.相应地记作
x x0
证任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任意给定的正数，总存在正数，使得当0 x x0 时有

1.3 函数的极限

→0
第三节函数的极限
第一章函数与极限
第一章函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节函数的极限
=

当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节函数的极限
第一章函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.

如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节函数的极限
第一章函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有

函数的极限

有|f(x)−A|<
❖单侧极限
若当 x→x0−时 f(x) 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数f (x) 当 x→x0 时的左极限记为
或 f(x0−)=A .
•精确定义
0 d 0 当 x0−dxx0 有 |f(x)−A|<
注:
x→x0− 表示 x 从 x0 的左侧(即小于 x0 )趋于 x0 , x→x0+ 表示 x 从 x0 的右侧(即大于 x0)趋于 x0 .
函数的极限
一、函数极限的定义二、函数极限的性质
1
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铃
函数极限的基本类型
自变量变化过程的六种形式:
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自变量趋于无穷大时函数的极限
如果当 |x| 无限增大时 f(x)无限接近于某一常数A 则常数 A 叫做函数 f(x) 当 x→ 时的极限记为
•精确定义
lim f (x)=A
x→
例例16：证明 lim 1 = 0 x→ x
证明：因为
0
X
=
1
0
当|x|X 时
有
| f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1
x |x|
所以 lim 1 = 0 x→ x
分析 | f (x) − A|=| 1 − 0 |= 1 x |x|
0
要使|f(x)−A|
只
要|
x
|
当 x 满足不等式 0<|x−x0|d 时对应的函数值 f(x)都满
足不等式
|f(x)−A|
那么常数 A 就叫做函数 f(x) 当 x→x0 时的极限记为

函数的极限

x x0 x x0

若 0 ，使得 x U ( x0 , ) , 都有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |

. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?

极限的公式总结

极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。

极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。

在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。

一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。

2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。

3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。

4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。

5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。

6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。

函数的极限

sin x sin a x a .
所以
lim sin x sin a.
xa
15
三、关于函数极限的定理
定理1
设有f x , g x 及h x 三个函数定义在点a的一个空心 h x f x g x, 假如 lim g x =l 且 lim h x =l 则 lim f x =l
点a的去心邻域,

体现x接近a程度.

a
a
a
x
8
定义
设y f x 是定义在一点a的空心邻域
U r (a ) U r (a ) \ a a r , a a, a r 上,若存在一个实数l , 对于任意给定的 0,(无论它多么小) 都存在一个 0, 使得 f x l , 只要 0 x a , 则称当 x a 时,f x 以l为极限,记作 lim f x l 或 f x l x a
3 3 3
3 x 1
4 2 证明 0, 令 min , , 3 3 1 则当 0 x 1 时, x , 且 3 3 x 1 3 3 3x 1 2 x 1 , 3x 1 2 2 2 因此
lim 3x 1 2.
lim f (x)l 或 f (x) l (当x a)．
x a
分析：当xa时，f(x) l 当| xa | 0 时，|f (x)l |能任意小
任给 >0，当| xa |小到某一时刻，有|f (x)l |< 任给 >0，存在 >0，使当|xa | < 时，有|f (x)l|< ．

函数的极限

ln ⁡ (1+x )
��→0
lim
ln
ln ⁡ (1+x) x
ex − 1
= lim =−
ln⁡ (1 +
ln 1+x −x x
)
��→0
x
−1 ln 1 + x − x 1+x lim = lim = lim 1+x ��→0 ��→0 ��→0 2x x2 2x
1
= lim x 2 ex − 1 − x
x →+∞
= lim x 2
x →+∞
1 1 1 2 + + o(x ) − x = x 2! x 2 2 (2011，数一，10 分)
4、 lim��→0 ( 【解析】
ln ⁡ (1+x) x
)e x −1
1
ln ln⁡ (1 + x) x1 x lim( )e −1 = lim e e x −1 ��→0 ��→0 x
+
sinx =1 x
x
6、 lim��→0 【解析】
��→0
sinx −sin sinx sinx x4
(2008，数一，9 分)
lim
sinx − sin sinx sinx sinx − sin sinx x cosx − cos sinx cosx = lim = lim ��→0 ��→0 x4 x4 3x 2 sin2 x 1 1 1 − cos⁡ (sin x ) 1 2 = lim = lim = 3 ��→0 x2 3 ��→0 x 2 6

函数极限的定义24种

函数极限的定义24种函数极限是指计算函数值时，这个函数接近某个值的情况。

它的定义有24种，如下：1. 左极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于L。

2. 右极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于M。

3. 对称的极限：当x趋近于a时，f(x)趋近于N。

4. 在点a上的极限：如果存在L使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ时，f(x)都 > L，那么，f在点a处的极限就是L。

5. 在点a上的右极限：如果存在M使得对于任意δ>0，当0 < |x- a | < δ 当x→a右时，f(x)都 < M，那么，f在点a处的右极限就是M。

6. 在点a上的对称极限：如果存在N使得对于任意δ>0，当0< |x-a | <δ时，当x→a时，f(x) → N，那么，f在点a处的对称极限就是N。

7. 内极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

8. 内右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

9. 内对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

10. 外极限：当x在a处时，f(x)趋近于L，此时，f(x)的极限就是L。

11. 外右极限：当x在a处时，f(x)趋近于M，此时，f(x)的极限就是M。

12. 外对称极限：当x在a处时，f(x)趋近于N，此时，f(x)的极限就是N。

13. 下无穷极限：当x→-∞ 时，f(x)趋近于L。

14. 上无穷极限：当x→+∞ 时，f(x)趋近于M。

15. 无穷极限：当x→ ± ∞时，f(x)趋近于N。

16. 上渐近极限：当x趋近于a时，f(x)逐渐趋近于L。

17. 下渐近极限：当x取越大值时，f(x) 逐渐趋近于M。

18. 上唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的L。

19. 下唯一极限：当x趋近于a时，f(x)只能趋近于唯一的M。

函数的极限

例1
sin x 证明 lim 0. x x
y
sin x x
证: 0, 要使 sinx 0 sinx x x 1 1 , 只要x x 1 取 X , 则当 x X时恒有 sin x sin x 0 , 故 lim 0. x x x
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 . （课本P31 ）
x
lim f ( x ) A 0 X0 当|x|X时有|f(x)A|
例62 证明 lim 1 0 例 x x
定理1(函数极限的唯一性)
定理2(函数极限的局部有界性)
定理3(函数极限的局部保号性)
如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心邻域内有f(x)0(或f(x)0)
•推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0)
lim f ( x)
x 0 2 x
lim
1
2

3 1 2 4 x

x
lim f ( x ) A
3 x4 lim 4 lim x 2 x 1 x
3x 4 x
2

3 2
x
lim f ( x )
x
lim
1
二、函数极限的性质 (P32)
函数极限的性质
几何解释（P31）:
sin x y x
AБайду номын сангаас
A
X
A
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内 .

函数的极限(运算法则)

02 函数的极限运算
四则运算法则
加法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)+g(x)]=A+B。
减法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)-g(x)]=A-B。
乘法法则
若lim(x→a)f(x)=A， lim(x→a)g(x)=B，则 lim(x→a)[f(x)×g(x)]=A×B。
定义中的"趋近于"
在数学中，通常使用"$lim_{x to a} f(x) = L$"来表示当$x$趋近于$a$时， $f(x)$趋近于$L$。
极限的性质
唯一性
对于任意给定的函数$f(x)$和常数$a$，函数在 $x=a$处的极限是唯一的。
有界性
如果函数在某点的极限存在，那么这个极限必定是一个有界数。
04 无穷小与无穷大
无穷小的定义与性质
定义
无穷小是极限为零的变量。
性质
无穷小与任何常数相乘仍为无穷小；两个无穷小之和仍为无穷小；有限个无穷小之和仍为无穷小。
无穷大的定义与性质
定义
无穷大是极限为无穷的变量。
性质
无穷大与任何常数相乘仍为无穷大；两个无穷大之和仍为无穷大；有限个无穷大之和仍为无穷大。
要点一
总结词
利用极限的性质，我们可以求出函数在某些点的精确值。
要点二
详细描述
在数学分析中，函数的极限定义了函数在特定点或无穷远处的行为。通过将自变量趋近于这些点，我们可以求得函数在这些点的精确值。例如，对于函数 (f(x) = frac{1}{x})，当 (x rightarrow 0) 时，函数值 (f(0)) 是未定义的。但是，如果我们考虑极限 (lim_{x rightarrow 0} f(x) = lim_{x rightarrow 0} frac{1}{x} = 0)，我们就可以得知当 (x) 趋近于 (0) 时，函数 (f(x)) 的值趋近于 (0)。

函数的24种极限总结

函数的24种极限总结极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。

本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。

可以用数列逼近的思想进行理解。

极限常用的符号表示是“lim”。

二、一元极限1.常数函数极限常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。

2.幂函数极限幂极限取决于指数的大小关系。

当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。

3.指数函数极限指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。

例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。

4.对数函数极限对数极限是自然对数的极限。

当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。

5.三角函数极限三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。

对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。

6.反三角函数极限反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。

对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。

7.指数对数函数极限指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。

当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。

8.复合函数极限复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。

根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。

三、多元极限9.二元函数极限二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。

常用的符号表示是“lim(f(x,y))”。

10.多元函数序列极限多元函数序列的极限是对每个变量的极限进行运算得到的。

可以通过求极限的方法，得到多元极限。

11.多元孤立点多元孤立点是指在某个点上极限值不存在或无法确定的情况。

针对这种情况，需要进行特殊处理或进行极限的推导。

四、变限积分的极限12.定积分极限定积分的极限是指当积分区间的长度趋于无穷大时，函数在区间上的取值逐渐接近于极限值。

函数的极限

1.3函数的极限函数极限的定义函数极限的性质1.3 函数的极限一、函数极限的定义数列{xn = f (n)}可看成自变量为n的函数,定义域为N+. 数列xn的极限为a即当n→∞时，对应函数值f (n)无限接近于确定的数a 。

函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。

1.3 函数的极限研究两种情形时函数的极限：⑴自变量趋于有限值(x→x0)时, 对应函数值的变化情形； ⑵自变量的绝对值无限增大(x→∞) 时, 对应函数值的变化情形。

1.3 函数的极限1、自变量趋于有限值时函数的极限x2  1 考察g( x )  x  1与 f ( x )  当 x  1 时的变化趋势 . x 1(1).引例问题1：函数在x → x0的过程中，对应函数值是否无限接近于确定值A。

在x=1时， g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1 时， g(x)与 f(x)都无限接近于2。

y g( x )  x  12 1 Ox2  1 f ( x)  x 11x问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.f ( x )  A   表示 f ( x )  A 任意小;x  x0 0  x  x0   表示 x  x0的过程 .1.3 函数的极限(2).定义定义1 设函数 f (x)在点x0某去心邻域内有定义.若  0,   0, 使当 0  x  x0  时, 恒有f ( x)  A  则称x  x0时函数f ( x )有极限A, 记作x  x0lim f ( x )  A 或 f ( x )  A( x  x0 ).注(1) 定义中的 0  x  x0 表示 x  x0 , 所以 x  x 0时 , f (x)有没有极限与 f (x)在点x0是否有定义并无关系. (2) 定义中  标志x接近x0的程度, 它与  有关. 一般地说,  越小,  也将越小.1.3 函数的极限(3). lim f ( x )  A的几何意义x  x0  0,   0, 当 0  x  x0   , f ( x )  A  ①任意给定  0yA A A④有 A    f ( x)  A  y  f ( x)②存在   0Ox 0   x 0 x0  x③ 使当0  x x0   时1.3 函数的极限例证明 lim C  C , (C为常数 ).x  x0（P33,例1）证   0, 任取   0, 当0  x  x0   时,f ( x)  A  C  C  0例x  x0  ,  lim C  C .x  x0证明 lim x  x 0 .（P33,例2）证  f ( x )  A  x  x 0 ,    0, 取    ,当0  x  x0     时,f ( x )  A  x  x0   , lim x  x 0 .x  x0lim f ( x )  A    0,   0, 当0  x  x0  时, x  x0 恒有 f ( x )  A   .1.3 函数的极限例. 证明证:f ( x)  A（P33,例3） 2 x 1   0 , 欲使f ( x )  A   , 只要取    , 则当 0  x  1   时 , 必有 2因此1.3 函数的极限例x2  1 证明 lim  2. （P33,例4） x 1 x  1证函数在点 x  1 处没有定义.x2  1  f ( x)  A   2  x 1 x 1要使 f ( x )  A   , 只要取    ,2 x 当0  x  1   时, 有  1  2   , x 1 2   0,x 1  lim  2. x 1 x  1 lim f ( x )  A    0,   0, 当0  x  x0  时, x  x0 恒有 f ( x )  A   .1.3 函数的极限可用 x  x0  x0 保证x  x0例证明 : 当x0  0时, lim证  f ( x)  A xx0 . （P34,例5）x  x0 x  x0x  x0   0, 要使 f ( x )  A  x  x0   x0即只要 x  x0 x0  且 x  0取  min  x0 , x0  当0  x  x0   时,有 x  x0   ,  lim x  x0 .x  x00(1)x x-→表示从的左侧趋于x 0x 0x 0(2)x x+→表示从的右侧趋于x 0x 0x 的两种特殊情况0x x →(4). 左、右极限(单侧极限)例函数10()0x f x x x <⎧=⎨≥⎩O xy1x x x x x xx x x x 如图当时，0x -→()1f x →当时，0x +→()0f x →.)(ε<-A x f 恒有-左极限,0>∀ε,0>∃δ0x x x<<-δ使得时,,0>∀ε,00δ<-<x x 当ε<-A x f )(,0>∃δ左极限,0>∀ε,0>∃δ00x x x <<-δ使得时,右极限0lim ()x x f x A-→=记作0lim ()x x f x A +→=记作,0>∀ε,0>∃δ使得时,.)(0A x f =或或.)(0A x f =+δ+<<00x x x .)(ε<-A x f 恒有注lim ()lim ()x x x x f x f x A+-→→==0lim ()x x f x A→=⇔性质常用于判断分段函数当x 趋近于分段点时的极限.极限存在的充要条件是左右极限存在且相等例. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 讨论0→x 时)(x f 的极限是否存在. x yo 1-1-=x y 11+=x y （P 35,例6）解:因为)(lim 0x f x -→)1(lim 0-=-→x x 1-=)(lim 0x f x +→)1(lim 0+=+→x x 1=显然,)0()0(+-≠f f 所以)(lim 0x f x →不存在.试证函数,1sin 1)(⎩⎨⎧≥<=x xx xx f )(lim 1x f x -→x x -→=1lim .,1无极限时当→x 证1=例)(lim 1x f x +→x x sin lim 1+→=1sin =左、右极限不相等,故.)(,1无极限时x f x →000lim,0x x x x x =>→时当0sin sin lim 0x x x x =→xx x ||lim 0→x x x ||lim 0-→解1)1(lim 0-=-=-→x 例讨论的存在性.x =-→0lim 左、右极限存在,x x x ||lim 0+→11lim 0==+→x xx x +→=0lim 故极限不存在.但不相等,(1). 引例2、自变量趋于无穷大时函数的极限11当考察∞→+=x xy xO问题1：y =f (x )在x →∞的过程中, 对应函数值f (x )无限接近于确定值A 。

函数的极限

x→1－ x→1－
lim f(x)＝ lim (2－x)＝1，
x→1＋ x→1＋
由于 lim f(x)≠ lim f(x)，故limf(x)不存在．
x→1－ x→1＋ x→1
(2)由上式可知，函数 f(x)在 x＝1 处极限不存在，所以函数 f(x) 在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为 (0,1)，(1,3]． (4)由连续函数的定义可求得＝f(2)＝0. 1 ＝2 ， limf(x)
x→－∞
如果 lim f(x)＝a 且 lim f(x)＝a ，那么就说当 x 趋向于无穷大
x→＋∞ x→－∞
时，函数 f(x)的极限是 a，记作limf(x)＝a ，也记作当 x→∞， f(x)→a.
x→∞
对于常数 f(x)＝C(x∈R)，也有limC＝C.
x→∞
2．当 x→x 0 时，函数 f(x)的极限当自变量 x 无限趋近于常数 x 0(但 x≠x 0)时，如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x)的极限是 a，记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→x 0 时，f(x)→a， lim f(x)也叫做 x→x0 x→x0 函数 f(x)在点 x＝x 0 处的极限．
函数的连续性
回归课本 1.当 x→∞时，函数 f(x)的极限当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是 a，记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→＋∞时，f(x)→a.
x→＋∞
当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 f(x)的极限是 a，记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→－∞时，f(x)→a.

函数的24种极限总结

函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。

本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

1. 常数函数的极限。

当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。

这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。

2. 幂函数的极限。

对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。

当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。

当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。

3. 指数函数的极限。

指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。

其中a为常数且大于0。

4. 对数函数的极限。

对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。

其中a为常数且大于0且不等于1。

5. 三角函数的极限。

三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。

6. 反三角函数的极限。

反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。

7. 双曲函数的极限。

双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。

8. 反双曲函数的极限。

反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。

9. 指数对数函数的极限。

指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。

高等数学1-3-函数的极限

•推论如果在 x 0 的某一去心邻域内 f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0)
15
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8
e
lim( x 2 x) 2.
x 1
注: 与有关, 但不唯一. 确定时, 越小越合适.
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x x0
>0 0<|x-x0|< 时, |f(x)-A|<e lim f(x)A 或 fe (x ) A (x>0 x当 0)。
( x -1)2 3| x -1| 2 3 e
因此 lim( x 2 x) 2.
x 1
2 3 e 的正根为 9 4e - 3 2
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注: 与 e 有关, 但不唯一. 确定时, 越小越合适.
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x x0
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x x0
>0 0<|x-x0|< 时, |f(x)-A|<e lim f(x)A 或 fe (x ) A (x>0 x当 0)。
例例 31 证明 lim(2 x -1) 1
x 1
证明因为e 0 e /2 当0|x-1| 时有 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
函数的极限
一、函数极限的定义二、函数极限的性质
1
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一、函数极限的定义
1.自变量趋于有限值时函数的极限

高三数学函数的极限

1 x lim ( A. x 3 ) 0
( D )
x lim 10 0 B. x
1 x C. lim ( ) 0 x 2
D. lim 2 x 0
x
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
4 1 (1) lim( 2 ) x2 x 4 x2 (2) lim( ( x a)( x b) x)
0
x x 0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a 。的右极限，记作 xlim x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 lim f ( x) C .
x x0
注意：（1）lim f ( x ) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
f(x) lim x
=a时，才
函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f ( x) a 或当x→x0时 x x f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 lim f ( x) a。
第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数
y f(x)
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数记作
y f(x)
的极限是a，

函数的极限

趋于 1，所以
limxBiblioteka 11 x21．
1.1 函数极限的概念
例 2 考察函数 f (x) arctan x 当 x 和 x 时的极限，并说明它在 x 时的极限是否存在．
解如图所示，当 x 时，函数 f (x) arctan x 无限趋于常数， 2
所以 lim arctan x ．
x 时， f (x) 极限的 M 定义．定义 1 设 f (x) 在 (a ， ) 上有定义， A 为实常数，若对 0 ，
M 0 (M | a |) ，当 x M 时，有 | f (x) A | ，则称函数 f (x) 当 x 趋于时，以 A 为极限，记为
1.1 函数极限的概念
定义 1' 设 f (x) 在 ( ，a) 上有定义， A 为实常数，若对 0 ， M 0 (M a) ，当 x M 时，| f (x) A| ，则称函数 f (x) 当 x 时，以 A
为极限，记为
lim f (x) A或 f (x) A (x ) ．
lim f (x) lim 3x 3 ， lim f (x) lim(x 2) 3，
x1
x1
x1
x1
因为左、右极限各自存在且相等，所以 lim f (x) 存在，且 lim f (x) 3 ．
x1
x1
综上，我们讨论了当 x ，x ，x ，x x0 ，x x0 ，x x0 六种情况时，函数 f (x) 的极限．
x M ，即 | x | M 时，同时有| f (x) A| ，所以 lim f (x) A ． x
1.1 函数极限的概念
例1
求
lim
x
1

高三数学函数的极限

第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
也就是说：当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时，才
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。作文题三十八阅读下面的材料，根据要求作文。
人生，而以怎样的态度，持怎样的价值观，就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观，拟题者并未厚此薄彼，学生亦无需定势思维，完全可以从自己的生活体验出发，以自己的人生判断为尺度，真诚地表达自己要说的话，风行水上，自然成文，就是好文章。作文题三十
四阅读下面的材料，根据要求作文。我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮，电视上几个戏曲节目备受欢迎，书市上古代文化类的图书也在悄悄升温，在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会，也提出