同济大学自主招生数学真题

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高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。

A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。

B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。

设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。

答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。

【高校资料】2018-2019年最新同济大学自主招生【数学】模拟考试精品试题库【49套优质试题】【高分必备】

2018-2019年最新同济大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（一）一选择题1．已知a c、b、是不全相等的任意实数.若222,,x a bc y b ac z c ab=-=-=-，则x、y、z的值( )（A）都大于0；（B）至少有一个大于0；（C）至少有一个小于0；（D）都不小于0. 2．在复平面上，满足方程3zz z z++=的复数z所对应的点构成的图形是（）（A）圆；（B）两个点；（C）线段；（D）直线.3．设函数852()1f x x x x x=-+-+，则()f x有性质（）（A）对任意实数x，()f x总是大于0；（B）对任意实数x，()f x总是小于0；（C）当0x>时，()0f x≤；（D）以上均不对.4．若空间三条直线两两成异面直线，则与a b c、、都相交直线有（）（A）0条；（B）1条；（C）多于1的有限条；（D）无究多条5．设432()f x x ax bx cx d=++++,其中,,,a b c d为常数。

若(1)1,(2)2,(3)3f f f===,则1((4)(0))4f f+的值是（）。

（A）1 （B）4 （C）7 （D）86．设S 是由(5)n n ≥个人组成的集合，如果S 中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人互相认识，则下面判断正确的选项是（）。

A . S 中没有人认识S 中所有人B . S 中至少有1人认识S 中所有人C . S 中至多有2人不认识S 中所有人D . S 中至多有2人认识S 中所有人二解答题7．已知2()f x x px q =++,求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于128．一袋中有a 个白球和b 个黑球，从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中，在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为n X . （1）求1EX ；（2）设()n k P X a k p =+=，求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= （3）证明：11(1) 1.n n EX EX a b+=-++9．按要求完成下列各问（1）设()1f x x nx =,求'()f x ; （2）设0a b <<，求常数C ，使得11ba nx C dxb a--⎰取得最小值；（3）记（2）中的最小值为,a b m ，证明：,12a b m n <.10．空间有n 个平面，每三个平面交于一点，但无四面共点，试问：这些平面将空间分成几部分？2018-2019年最新同济大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（二）一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是( ) A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________． 5．函数3223y x x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．2018-2019年最新同济大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（三）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________．2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1nn x y =+其中x n ,y n 为整数，求n →∞时，n nxy 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2018-2019年最新同济大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（四）1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上)一．选择题(将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1．下列各组函数中，是相同的函数的是( )。

（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D)()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续,则a =（）。

（A ）0 （B ）14(C)1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）。

(A)1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D)y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）。

（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C)连续不可导 (D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的( ）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是( ）。

（A ）只有水平渐近线（B)只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D)既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( ）。

(A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.(A ）arctan xe C + （B)arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是( ）。

（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ (C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于( ）.（A)()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=。

数学自主招生试题答案

数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。

若a>0，求b与c的关系。

答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。

又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。

将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。

由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。

2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。

答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。

根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。

由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。

将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。

解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。

所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。

根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。

二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。

答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。

所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。

2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。

答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。

大学自招数学试题及答案

大学自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. -1D. 52. 以下哪个选项是不等式x^2 - 5x + 6 < 0的解集？A. (1, 6)B. (2, 3)C. (-∞, 2) ∪ (3, +∞)D. (2, 3)3. 已知向量a = (3, -1)，向量b = (2, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 2C. -2D. 04. 若复数z满足z^2 = 1 + i，则z的值是：A. 1B. -1C. iD. -i二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值为 _______。

6. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，求第5项a_5的值为 _______。

7. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx 的值为 _______。

8. 若矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，则矩阵A的行列式det(A)的值为_______。

三、解答题（每题15分，共40分）9. 证明：若x > 0，y > 0，则x + y ≥ 2√(xy)。

证明：由基本不等式可知，对于任意正数x和y，有x/y + y/x ≥ 2。

将不等式两边同时乘以xy，得到x^2 + y^2 ≥ 2xy。

由于x和y都是正数，所以x + y ≥ 2√(xy)。

10. 解方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将第一个方程乘以2，得到2x + 2y = 10。

将第二个方程加到第一个方程上，得到3x = 11，所以x = 11/3。

将x的值代入第一个方程，得到y = 5 - 11/3 = 4/3。

因此，方程组的解为x = 11/3，y =4/3。

四、综合题（20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的单调区间，并证明。

大学自主招生数学试题

同济大学自主招生数学试题一、填空题1．f(x)是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f(x)=|x|，则 =___(m为整数)．2．函数y=cos2x-2cosx,x∈[0,2p]的单调区间是__________________．3．函数的值域是__________________．．5．函数y＝f(x)，f(x+1)-f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y 在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x 处的二阶差分△2y=____________．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________．8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投影，则M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________．9．双曲线x2-y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆在第一象限上一点P(x0,y)，若过P的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________．二、解答题11．不等式对于任意x∈R都成立，求k的取值范围．12．不动点，．(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若，求f(x)的解析式；(3)13．已知，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的q．14．正三棱柱ABC－A1B1C1，|AA1|=h，|BB1|=a，点E从A1出发沿棱A 1A运动，后沿AD运动，∠A1D1E=q，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面面积S与q的函数关系式．15．已知数列{an}满足．(1) 若bn ＝an-an-1(n=2,3,…)，求bn；(2) 求；(3) 求．16．抛物线y2＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？。

同济大学-高等数学A卷-附参考答案

同济大学高等数学A1一、填空题 (每小题 3分，满分18分)1. 曲线2()ln(1)x f x x =+的渐近线是0x =. (22211lim lim lim 2ln(1)21x x x x x x x xx→∞→∞→∞+===∞++, 无水平渐近线；220001limlim lim ln(1)x x x x x x x x→→→===∞+，垂直渐近线0x =，注：220,ln(1)x x x →+)2. 已知0()lim12x f x x→=，且()f x 在0x =处可导，则(0)2f '=.(因0lim 20x x →=，则0lim ()0x f x →=，又()f x 在0x =处可导从而必连续，则0lim ()(0)x f x f →=，故(0)0f =，0()1()(0)1limlim (0)12202x x f x f x f f x x →→-'===-，进而(0)2f '=)3. 曲线2cos y x x x =+在点(0,0)处的切线方程是y x =. (2cos sin y x x x x '=+-，(0)1y '=)4. 2311lim 3n n k k n→∞==∑. (222223331123(1)(21)1lim lim lim 63nn n n k k n n n n nn n →∞→∞→∞=+++⋅⋅⋅+++===∑; 定积分定义：12231220110111lim lim d 33nnn n k k k k x x x n n n n →∞→∞==⎡⎤⎛⎫==== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑⎰.) 5. ()f x 的一个原函数是2sec x ，则2()d sec tan x f x x x x x C=-+⎰.(2(sec )()x f x '=，22222(sec )d dsec sec sec d sec tan x x x x x x x x x x x x C '==-=-+⎰⎰⎰)6. 微分方程ex yy +'=的通解为e e +y x C --=. (分离变量e d e d y xy x -=；两边积分e e +y xC --=)二、计算下列各题. (每小题5分，满分20分) 1. 10(1)e limxx x x →+-. (0，洛必达法则，幂指函数求导转化为指数函数)解：11ln(1)ln(1)20000(1)ln(1)(1)e 1lim lim lim e lim e 1x x x x x x x x x x x x x x x x x ++→→→→'⎡⎤+⎢⎥-+'⎡⎤+-⎣⎦+===⋅⎢⎥⎣⎦ln(1)222000(1)ln(1)ln(1)elim elime lim e lim (1)23232x xx x x x x x x x x x x x x x x +→→→→-++-+--=⋅=⋅=⋅=+++.2. 20e sin 1lim (arcsin )x x x x →--. (0，洛必达法则，结合等价无穷小)解：220000e sin 1e sin 1e cos e sin 1lim=lim lim lim (arcsin )222x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-----+===. 3. 2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求22d d y x . (参数方程求导)解：22d 2d 1,d 1d 1x t y t t t t ==++，221d d 1d 2d 1d 1d 2yt t x t tt yxt ++===；221d 22d d d 223d 2d 1()d (1)d 4y tx t x t tt y t xt-+-+===. 4.设arcsin 2xy x =(0)y ''. (显函数求导)解：1arcsinarcsin 222x x y x '=+=，12y ''==，1(0)2y ''=. 三、计算下列各题. (每小题5分，满分25分) 1.d (21)x x x -⎰. (拆项) 解：d 2(21)21d =()d =ln |21|ln ||+(21)(21)21x x x x x x x C x x x x x x --=------⎰⎰⎰2. d e ex x x -+⎰. (凑形式) 解：22d e d de arctan e e e e 1e 1x x x x x x x x x C -===++++⎰⎰⎰ 3.220max{,}d x x x ⎰. (分段函数) 解：1223212220010117max{,}d d d 236x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.4.10arctan d x x x ⎰. (分部积分)解：21111122220000011π1arctan d arctan d (arctan d arctan )d 22821x x x x x x x x x x x x ⎡⎤==-=-⎣⎦+⎰⎰⎰⎰ []11200π11π1π1(1)d arctan 8218242x x x x =--=--=-+⎰5.1x +∞⎰(倒代换1x t =或换元去根号)解：令1x t =，[]011201101π()d arcsin 2x t t t t +∞=-===⎰⎰⎰.x2另法：令sec x t =，则d sec tan d x t t t =，[]πππ222010sec tan πd 1d sec tan 2t t x t t t t t +∞⋅====⋅⎰⎰⎰. 四 (7分) 求微分方程22y y y x '''++=+的通解. (齐次方程通解+非齐次方程特解)解：特征方程：2210r r ++=；特征根：121r r ==-；对应齐次方程通解 12()e x Y C C x -=+0λ=不是特征重根设特解*y ax b =+，代入方程得1a =，0b = 即*y x =所求通解为12()exy C C x x -=++.五 (8分) 讨论函数32695y x x x =-+-的单调性、极值、凹凸性与拐点.解：(,)D =-∞+∞，231293(1)(3)y x x x x '=-+=--，612y x ''=-当1x =，3x =时，0y '=；当2x =时，0y ''=.故()f x 的单减区间[1,3]；单增区间(,1]-∞，[3,)+∞. ()f x 的极大值为(1)1f =-，极小值为(3)5f =-. ()f x的凹区间[2,)+∞；凸区间(,2]-∞；拐点 (2,3)-. 六(8分) 求由抛物线2(01)y x x =≤≤与直线12y =，1x =及y 轴所围成平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：54101π()d ππππ44584010x x V x x ⎡=-=-=-=⎢⎥⎣⎦， 1514211π)d ππ45420x x V x x ⎡⎤-=-=-==⎢⎣， 12V V V =+=+=.七 (8分) 设0()|cos |d x F x t t =⎰， (定积分----函数的周期性)(1) 当n 为正整数且π(1)πn x n ≤≤+时，证明：2()2(1)n F x n ≤≤+；(2) ()lim x F x x→∞.解：(1) 因π(1)πn x n ≤≤+，则π(1)π0|cos |d |cos |d |cos |d n x n t t t t t t +≤≤⎰⎰⎰，又[][]πππππ22ππ022|cos |d cos d cos d sin sin 2t t t t t t t t =+-=-=⎰⎰⎰，由周期性知ππ0|cos |d |cos |d 2n t t n t t n ==⎰⎰，(1)ππ|cos |d (1)|cos |d 2(1)n t t n t t n +=+=+⎰⎰.故2()2(1)n F x n ≤≤+.(2) 因π(1)πn x n ≤≤+，则111(+1)ππn x n ≤≤，又2()2(1)n F x n ≤≤+，则2()2(1)(1)ππn F x n n x n +≤≤+，而22lim (1)ππx n n →∞=+，2(1)2lim ππx n n →∞+=，由夹逼准则知， ()2limπx F x x →∞=.八 (6分) 证明：当0x y >>时，成立不等式ln ln 2x y x yx y -+<-. (注意不等式的等价变形)证明：原式变形为112ln x xy yx y-+<，令x t y =，即证当1t >时，11ln 2t t t -+<. 令()2(1)(1)ln f t t t t =--+，则11()2ln 1ln t f t t t t t +'=--=--， 22111()tf t t t t-''=-+= 当1t >时，()0f t ''<，则()f t '在[1,)+∞上单调递减，(1)0f '=，有()0f t '< 进而()f t 在[1,)+∞上单调递减，(1)0f =，有()0f t <，即2(1)(1)ln 0t t t --+<，亦即11ln 2t t t -+<，1t >. 故当0x y >>时，成立不等式 ln ln 2x y x y x y -+<-.。

《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库

《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库第一部分考研真题精选向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2，1，0）到平面3x ＋4y ＋5z ＝0的距离d ＝______。

[数一2006研]【答案】【解析】由点到平面的距离公式多元函数微分法及其应用一、选择题1设函数f （x ，y ）在点（0，0）处可微，f （0，0）＝0，，且非零向量d →与n →垂直，则（）。

[数一2020研]A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在【答案】A 查看答案【解析】∵f （x ，y ）在（0，0）处可微，f （0，0）＝0，∴；即。

∵，∴存在。

∴选A项。

2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（）。

[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B查看答案【解析】①因，故①正确。

②因，先求f x′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，f x′（0，y）不存在。

故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。

③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。

④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。

综上，正确个数为3。

故应选B。

3函数f （x ，y ，z ）＝x 2y ＋z 2在点（1，2，0）处沿向量u →＝（1，2，2）的方向导数为（）。

[数一2017研] A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】D 查看答案【解析】计算方向余弦得：cos α＝1/3，cos β＝cos γ＝2/3。

偏导数f x ′＝2xy ，f y ′＝x 2，f z ′＝2z 。

得∂f/∂u ＝f x ′cos α＋f y ′cos β＋f z ′cos γ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。

2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题

高考数学精品复习资料2019.5专题之4、创新与综合题一、选择题。

1．(复旦大学)设正整数n可以等于4个不同的正整数的倒数之和,则这样的n的个数是A.1B.2C.3D.42．(同济大学等九校联考)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为错误！未找到引用源。

的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射,用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ,用σk 表示连续做k次σ的变换,则στσ2τσ3τσ4是A.σ4B.σ5C.σ2τD.τσ2二、解答题。

3．(南京大学)求所有满足tan A+tan B+tan C≤[tan A]+[tan B]+[tan C]的非直角三角形.4．(浙江大学)如图,一条公路两边有六个村庄,要建一个车站,要求到六个村庄的距离之和最小,应该建在哪里最合适?如果再在边上增加一个村庄呢?5．(清华大学)A、B两人玩一个游戏,A选择n枚硬币,B根据自己的策略将这些硬币全部摆放在位点上,之后A选取一个至少有2枚硬币的位点,取走一枚硬币,再将另一枚硬币移动到相邻位点,A若在有限步内根据规则在指定点P处放上一个硬币则获胜.问在一条有5个位点的线段和7个位点的圆环上,A分别至少选择多少枚硬币时,无论点P的位置如何均可保证获胜?6．(清华大学)有64匹马,每匹马的速度保持不变且各不相同,现通过比赛来完成排名,若每场比赛最多只能有8匹马参赛,问理想状态下能否在50场比赛内完成排名?7．(清华大学)有100个集装箱,每个集装箱装有两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中.集装箱的体积都是1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一件货物后装不下第二件货物,那么就将这个集装箱密封,把第二件货物装到下一个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装箱?8．(清华大学)请写出一个整系数多项式f(x),使得错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

是其一根.9．(清华大学)将长为n的棒锯开,要求锯成的每段长都是整数,且任意时刻,锯成的所有棒中最长的一根严格小于最短的一根的2倍,如6只能锯一次,6=3+3,而7能锯2次,7=4+3,4又能锯为2+2,问长为30的棒最多能锯成几段?若a,b,c中没有1,则a≥2,b≥2,c≥2,a+b+c=abc化为错误！未找到引用源。

(完整版)同济大学第六版高等数学第一章综合测试题

第一章综合测试题一、填空题1、函数1()arccos(1)f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )fg x x =-, 则()g x = .3、已知1tan ,0,()ln(1), 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩在0x =连续，则a = . 4、若lim 25nn n c n c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则c = . 5、函数y =的连续区间为 .二、选择题1、设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）为奇函数.（A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x2、设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（）.（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、设21(2)cos ,2,()4 0, 2,x x f x x x ⎧+≠±⎪=-⎨⎪=±⎩ 则()f x （）. （A ）在点2x =，2x =-都连续（B ）在点2x =，2x =-都间断（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断（D ）在点2x =间断，在点2x =-连续4、设lim 0n n n x y →∞=，则下列断言正确的是（）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散（B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小（D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无穷小，则（）.（A ）必有m n = （B ）必有m n > （C ）必有m n ≤ （D ）以上情况皆有可能三、设2,0,1()(||),(),0.2x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩ 求[()]f x ϕ,[()]f x ϕ. 四、求极限1、22lim(4)tan 4x x x π→-2、3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 3、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4、22212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L 5、1/1/011lim arctan 1x x x e e x→+- 五、讨论函数22(4),0,sin ()(1),01x x x x f x x x x x π⎧-<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩的连续性，如有间断点，判别其类型.六、设kA x αβ==，求A 及k ，使得当x →+∞时，αβ:. 七、已知()f x连续，05x →=，求20()lim x f x x →. 八、设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.九、证明：函数()[]f x x x =-在(,)-∞+∞上是有界的周期函数.十、设)(x f 在]1,0[上非负连续，且(0)(1)0f f ==. 证明：对任意实数(01)a a <<必存在实数0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x a +∈，且00()()f x a f x +=.。

《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库

[数一2020研]A ．存在B ．存在C ．存在D ．存在【答案】A 查看答案【解析】∵f （x ，y ）在（0，0）处可微，f （0，0）＝0，∴；即。

∵，∴存在。

∴选A项。

2关于函数给出下列结论①∂f/∂x|（0，0）＝1②∂2f/∂x∂y|（0，0）＝1③④正确的个数为（）。

[数二2020研]A．4B．3C．2D．1【答案】B查看答案【解析】①因，故①正确。

②因，先求f x′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，f x′（0，y）不存在。

故∂2f/∂x∂y|（0，0）不存在，因此②错误。

③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。

④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。

综上，正确个数为3。

故应选B。

3函数f （x ，y ，z ）＝x 2y ＋z 2在点（1，2，0）处沿向量u →＝（1，2，2）的方向导数为（）。

[数一2017研] A ．12 B ．6 C ．4 D ．2【答案】D 查看答案【解析】计算方向余弦得：cos α＝1/3，cos β＝cos γ＝2/3。

偏导数f x ′＝2xy ，f y ′＝x 2，f z ′＝2z 。

得∂f/∂u ＝f x ′cos α＋f y ′cos β＋f z ′cos γ＝4·（1/3）＋1·（2/3）＋0·（2/3）＝2。

高校自招数学试题及答案

高校自招数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像经过点(1, 2)和(2,3)，则下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = 2B. 4a + 2b + c = 3C. a + 2b + c = 3D. 4a + b + c = 5答案：C2. 已知数列{an}是等差数列，且a1 + a2 + a3 = 12，a2 + a3 + a4 = 18，则a1 + a5的值是多少？A. 18B. 20C. 24D. 26答案：B3. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点在复平面上位于哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B4. 已知函数f(x) = ln(x) + 1/x，若f(x)在区间(0, +∞)上单调递增，则实数k的取值范围是？A. k > 0B. k ≥ 1C. k ≤ -1D. k ≤ 0答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 若一个圆的直径为10，则该圆的面积为_______。

答案：25π6. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为_______。

答案：57. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 2]上单调递增，则实数k的取值范围是_______。

答案：k ≤ -18. 已知等比数列{an}的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为an = _______。

答案：2^(n-1)三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的单调区间，并说明理由。

答案：函数f(x)的单调递增区间为[2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)。

理由是f(x)的导数为f'(x) = 2x - 4，令f'(x) > 0得x > 2，令f'(x) < 0得x < 2。

同济大学考研数学真题

同济大学考研数学真题同济大学是中国一所知名的综合性理工科大学，在考研数学领域也具有较高的知名度。

通过研究同济大学历年的数学考研真题，我们可以更好地了解该校的数学考试内容、形式和难度。

本文将系统地介绍同济大学考研数学真题。

一、概述同济大学考研数学真题包括两个科目：高等数学和线性代数。

每个科目都有选择题和解答题，以全面评估考生的数学能力。

下面将具体解析这两个科目的考试内容。

二、高等数学高等数学是同济大学考研数学的重要科目，占据较大的比重。

该科目的考试形式包括选择题和解答题，题目内容涵盖了微积分、极限、函数、导数、积分等多个方面。

1. 选择题选择题部分主要考察考生对数学知识的掌握和运用能力。

题目形式包括计算、证明、选择填空等。

其中，计算题主要考察考生的计算能力和应用能力，如求极限、求导数、求积分等；证明题则要求考生运用已有的数学知识进行推理和证明；选择填空题主要考察考生对某个数学概念的理解和掌握程度。

2. 解答题解答题的内容更加复杂和综合，要求考生深入理解和熟练掌握数学知识，并能运用知识解决实际问题。

题目形式包括综合应用题、分析题、证明题等。

解答题的主要目的是考查考生的综合分析能力和问题解决能力。

三、线性代数线性代数是同济大学考研数学另一个重要科目，也是数学系研究生培养中的基础课程之一。

线性代数的考试形式也包括选择题和解答题，主要考察考生对向量、矩阵、行列式、特征值、特征向量等方面的理解和掌握。

1. 选择题线性代数选择题主要考察考生对基本概念和定义的理解。

题目形式包括计算、判断、选择填空等。

计算题主要要求考生进行基本的计算和运算；判断题则要求考生判断给定的命题是否正确；选择填空题主要考察考生对某个概念或定义的理解。

2. 解答题线性代数解答题的难度相对较高，要求考生综合运用线性代数的知识解决较为复杂的问题。

题目形式包括证明题、计算题和应用题等。

证明题要求考生运用线性代数的基本理论进行推导和证明；计算题要求考生进行复杂的计算和运算；应用题则要求考生通过线性代数的方法解决实际问题。

同济大学线性代数试卷题库 (5)

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第二学期考试考查：考试一、(24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.1、设6510423y A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 中元素y 的代数余子式的值为 4-3x .解：根据代数余字式的定义，12A =()()1214-14-33x x +=2、设3阶方阵A 与对角阵100020000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的伴随矩阵*A 的秩*()R A =1 .解：因为A 与100020000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭相似，所以一定有-1100020000A P P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中，P 一定是可逆阵，所以根据秩的性质，()1000202000R A R ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在根据伴随矩阵与原矩阵秩的关系可知，*()1R A =（具体的关系请看前几次的解答）3、设实二次型22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，则k 的取值范围是1k > .解：因为22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，所以将其表示成矩阵形式有0101010k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据正定阵的性质，可知该矩阵的顺序主子式均大于0，于是推出20100110k k k k ⎧>⎪⨯->−−→>⎨⎪->⎩4、设矩阵2061101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭有两重特征值-1，则行列式5A E -= 0 .解：因为矩阵现在已知两个相同的特征-1，则根据矩阵的迹等于矩阵所有特征值之和可得矩阵的另一个特征值为5，所以，由特征值的性质可知50A E -=（k 在这里完全是迷惑你的，当然，你把-1特征值带进去求k ，在求出原矩阵，最后解出行列式的值也没问题，只不过我比较喜欢偷懒，找巧解而已）5、设A 为34⨯阵，非齐次线性方程组Ax b =有解，其解向量组的秩为2，则()R A = 3 .解：这里直接利用非齐次线性方程解的结论，()-1n R A t =+，2代表的是解向量组的秩，或者说是解向量的个数。

自主招生数学试题及答案

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 如果函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，那么\( f(2) \)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 5答案：A3. 圆的面积公式是？A. \( \pi r^2 \)B. \( 2\pi r \)C. \( \pi d \)D. \( \pi r \)答案：A4. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( -\frac{4}{5} \)D. \( -\frac{1}{5} \)答案：A5. 以下哪个数是无理数？A. \( \sqrt{2} \)B. 1.5C. 0.333...D. 1答案：A6. 一个等差数列的首项是3，公差是2，第10项是多少？A. 23B. 21C. 19D. 17答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。

答案：52. 函数\( g(x) = 2x - 1 \)的反函数是______。

答案：\( g^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \)3. 一个数的平方根是4，这个数是______。

答案：164. 已知\( \tan(\theta) = 3 \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。

答案：\( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)5. 一个等比数列的首项是2，公比是3，第5项是多少？答案：162三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：\( |x - 5| < 4 \)。

(NEW)同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)配套题库【考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】

图1
【答案】C
【解析】函数在
内连续，观察知，函数在除去点
外处处二阶可导．如图1所示，虽然不存在，但在点两侧
异号，因此
是
的拐点．
A点处二阶导数为0，且A点两侧异号，根据拐点的定义知，A 点为曲线的拐点．B点处虽然二阶导数也为0，但是B点两侧都是大于0，因此，B点不是拐点．
2．设函数具有二阶导数，（）．[数一 2014研]
A．
，则当充分大时，下列正确的有（）.[数三
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，即
，
，所以
，，当时，有
，取，则知
．
6．设
，则当时，若
是比高阶
的无穷小，则下列选项中错误的是（）. [数三 2014研]
A． B．
C． D．
目录
第一部分考研真题第一章函数与极限第二章导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分第六章定积分的应用第七章微分方程
第二部分课后习题第一章函数与极限习题1-1 映射与函数习题1-2 数列的极限习题1-3 函数的极限习题1-4 无穷小与无穷大习题1-5 极限运算法则
【答案】1
【解析】在方程
两端关于x求导，得
将x＝0代入方程
将
代入
，得
．，得
则
【答案】【解析】因为
，
，所以
所以
7．曲线
上对应于t＝1的点处的法线方程为 ______．
[数二2013研]
【答案】
【解析】由题中函数表达式得，曲线上对应于t＝1的点处的切线斜率为

全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题

全国重点大学（清华北大复旦交大同济）自主招生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)19981．若今天是星期二，则3天之后是()A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()A．4813!B．21613!C．172813!D．813!()183．方程co2某in2某+in某＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是A．m18B．m>3C．m>12D．3m4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程某+p某+q ＝0的两个根，则此数列各项的积是A．pm5．设f’(某0)＝2，则limA．2h0B．p2mf(某0h)f(某0h)hC．qmC．41()D．q2mD．4()B．2二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f(某)的原函数是某1，则f(2某)d某__________．02．设某(0,2)，则函数(in某21in某2)(co某21co某2)的最小值是__________．3．方程316某281某536某的解某＝__________．__________．4．向量ai2j在向量b3i4j上的投影(a)b5．函数y2某33某2的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．227．方程7某(k+13)某+kk2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1a2an试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f(某)满足：f(某+2)＝f(某)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(某)．第1页共52页32n，a1a2ann12．3．(8分)求极限lim某2b某c,某014．(10分)设f(某)在某＝0处可导，且原点到f(某)中直线的距离为，原点到f(某)中3某0l某m,12nnp1pppn(p0)．曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)35．(8分)证明不等式：1in某co某24，某[0,2]．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线y1某12．若射手甲先射，谁先y上的点与某轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y1某上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形B1B2OA1A2某的面积之和是否存在．第2页共52页复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________．2．in2in2(3)in(23)＝______________．3．lim[(n2)log2(n2)2(n1)log2(n1)nlog2n]＝_________________．n4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．25．正实数某,y满足关系式某某y4＝0，又若某≤1，则y的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcin求该棱锥的体积．(co4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．第3页共52页12(326)，1214(26))5．设(16．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2)某nynn2，其中某n,yn为整数，求n→∞时，某nyn的极限．第4页共52页2000年交大联读班试题1.直线ya某b关于y某的对称直线为_______________。

同济大学高等数学习题函数

0) ，求 l i m f (n )
n
。
解： y f ( x)nxn1 ， k f (1)n ，
切线方程为 y1n( x1) 。 ∵切线过点(n , 0) ，
∴01n(n 1) ，
解之得 n
1
1 n
，
从而
f
(n
)(1
1 n
)n
，
∴
lim
n
f
(
n
) lim (1
n
1 n
)n
1 e
。
3．设函数 f ( x) lim ln(en xn )( x0) n n
1． y xe f ( x)
dx
2． y xaa a xa aa x
3．
y
1arccot 2
2
1
x x2
.
4．已知 yln 1ex xsin x ，求 y( ) .
2
5． ye x y xsinx
6．已知
x
a(lntan
t 2
cos
t
)
(a0,
0t)
，
yasint
求dy 。 dx
1． y xe f ( x)
解： lim d f (cos x ) lim [ f (cos x )(sin x ) 1 ]
x0 dx
x0
2x
1 lim f (cos x ) lim sin x 1 f (1)1 121 。
2 x0
x0 x
2
2
2．设曲线 y f ( x) xn 在点（1，1）处的切线交 x 轴于
点 (n ,
习题课五
一、选择题
1．函数
f

同济大学自主招生面试题

《同济大学自主招生面试题》2011年4月22日1.请说一说你自己的三个缺点。

2.你的座右铭是什么？3.你觉得生活最大的意义是什么？4.如果有个天使投资人给你投资一笔钱（一千万），你会怎么用呢？5.你拉过社会上的赞助吗？6.你为你现在的中学所作的最大贡献是什么？7.你是否遭遇过很大的失败或是严重的心理挫折？若有，你是如何让应对的？8.从小到大你做过的最有创意的坏事是什么？9.除了成绩优异外，你感觉自己的独特竞争力还体现在哪些方面？10.在一个没有课业压力的假期，你最想做的事情是什么？11.你给父母过过生日吗？说说你印象最深的一次。

12.你给父母洗过衣服吗？你会做哪些家务呢？13.能否对一个不感兴趣的问题进行学习研究，并且在这个过程中渐渐喜欢它？14.遇到一道很难的题目时一般怎么解决？15.想读什么专业？以后打算怎么从事这个专业，想怎么发展？16.你最喜欢什么专业？对于这个专业，你有什么前沿性的问题？17.你认为文科生在大学应该一些学理工科的知识吗？18.你理想中的大学是什么样的？你认为同济大学跟它相比有哪些差距？有没有更符合你的理想的大学？19.你认为大学是用来做什么的吗？20.在学习中遇到不喜欢的老师怎么办？21.读大学期间，你能为同济大学做什么贡献？（1）你们学校第xx名可以考啥学校（2）你们年级有多少人（3）什么是向明创新班。

等等。

后面的同学应该不会被问这个吧。

然后进入正题，自我介绍的话如实写，不要过分夸大，因为之后，他们是根据自我介绍问话的（1）自我介绍是不是自己写的，老师有没有帮你渲染过？（嗤。

张签名压根没管过）（2）你觉得你最大的缺点是啥？（这我好像愣了一会儿，咋和交大自荐书一样。

）(3) 你能不能概述一下，你高中三年的成绩名次是怎么样的（4）你觉得学校的学习比较重要还是校外的学习重要，请列三条理由（其实这完全是想到什么就直接说了）（5）你独自一人去过最远的地方是哪里?有一个人去外地吗？（我倒是想去呀。

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