模型与算法(思考题4道)

模型与算法（思考题共4题）思考题1 大小包装问题题目：在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。

（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。

Tips ：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。

23C w w αβγ=++；13c w w γαβ-=++；4321'3c w wγβ-=--；7334''29c w w γβ-=+解：（1）问题分析：商品价格C 随着商品重量w 的增加而增加，由题可得二者并不是简单的线性关系。

商品的价格C=成本D+利润P （其中，成本D 包括生产成本s C 、包装成本b C 、其他成本q C ）。

为得到商品价格C 与商品重量w 的关系，需要细化组成价格的成本及利润与商品重量的关系。

（2）模型假设：1）包装的重量对商品来说可以忽略不计，即包装重量为零。

2）生产单位重量的商品投入的劳动力无差别，即单位重量的商品生产成本相同。

3）不同重量大小的包装的材料（厚度质量）无差别，即包装成本只与使用材料的多少相关。

4）不同重量的商品形状一致，即23S w ∝ 5）每件商品都有固定的其他成本为q C。

6）商品的利润与商品的重量呈线性相关关系。

（3）模型建立：根据模型假设得： 1）生产成本1s C a w =2）包装成本23223b C a S a a w == 3）利润4P a w =4）商品价格s b q C P C C C =+++234123q a w a w a a w C =+++23w w αβγ=++其中：1a 、2a 、3a 、4a ——单位重量生产成本、单位面积包装成本、23:S w 的比值、单位重量的利润S 、w ——商品包装面积、商品重量 41()a a α=+、23a a β=、q C γ=且1a 、2a 、3a 、4a 、S 、w 、α、β、0γ≥（4）模型求解与检验分析：1）经模型建立，得商品价格C 与重量w 的关系表达如下：23s b q C P C C C w w αβγ=+++=++不是简单的线性关系，随着商品重量的增加商品价格也随之增加，但并非成比例增加。

2）单位重量价格c 与商品重量w 的关系为：2133C w w c w w w w γαβγαβ-++===++由4321'03c w w γβ-=--≤，7334''209c w wγβ-=+≥即单位重量价格c 随之商品重量w 的提高而减小，减小速度随商品重量的增加而变缓慢。

可得，当商品重量较轻时，商品包装成本及其他成本对价格影响力大，当商品重量比较重时，包装成本及其他成本的影响力越来越小。

当商品重量趋近于无穷时，单位重量价格趋近于α（单位生产成本+单位重量利润），符合实际情况。

思考题2 划艇比赛的成绩题目：赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。

各种艇虽大小不同，但形状相似。

T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。

建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

解：（1）问题分析：1）受力分析：赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力，桨手提供动力克服阻力保持一定的速度前进。

2）阻力影响分析：阻力的大小受到划艇速度、艇浸没部分与水的接触面积影响。

人数越多，速度越快，单位阻力越大。

又由于浮力f 浮等于艇排水的质量，即赛艇和桨手总质量的增加会使艇浸没面积加大，从而增大阻力。

因而水中阻力大小与赛艇的形状关系密切。

表1第7至10列可得桨手数n 增加时，艇的尺寸l ，b 及赛艇重0ω都随之增加，但比值l/b 和0/n ω变化不大。

由题得赛艇大小不同但形状相似，因而假定l/b 是常数，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。

3）建模目的：建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。

由于赛艇加速是一个加速度减小的变加速运动，其过程较为复杂。

注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点。

因而可合理假设艇速在整个赛程中保持不变，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。

此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面做出简化且合理的假设，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。

（2）模型假设：1）各种艇的几何形状相同，1/l b C =；艇重与桨手数呈线性关系，02/n C ω=。

2）桨手的体重相同，为ω；在比赛中每个桨手的划桨功率p 保持不变，且p 与ω成正比。

3）赛艇前进时受的阻力f 只与赛艇浸没面积S 以及划艇速度v 相关。

其中单位面积阻力f 与v 2成正比。

4）赛艇可看作长方体，浸没面积为+2=+2S S l b h lb l b h =+⨯+⨯深深底（）（），排水质量等于浮力为=f S h g lbh g ρρ=深深浮底水水。

5）在赛艇前行过程中，赛艇及浆手作为整体，只受到动力F 、阻力f 、浮力f 浮、总重力G 总四个力。

（3）模型建立：在赛艇匀速前进过程中，水平方向与竖直方向受力平衡可得以下方程式： 1）水平方向受力平衡： 动力功率P np=动 阻力功率31f P v fSv Sa v===阻，其中21fa v =为单位面积阻力与速度平方的比值。

浸没面积+2S lb l b h =+⨯深（）P P= 阻动 3311(+2)np Sa v a lb l b h v ∴==⨯+⨯深（）（式1.1）2）竖直方向受力平衡 总重力0(+)G n g ωω=总浮力为=f S h g lbh g ρρ=深深浮底水水G f = 浮总0(+)=n g lbh g ωωρ∴深水，又02/n C ω=化简得02+(+)=n n C h lb lb ωωωρρ=深水水（式1.2）3）将式1.2带入式1.1得：v =由1/l b C =，30b ω∝，02/n C ω=，得33/b n C =。

v ==令213312141133132(1)(){[+C C C pa C C C C ωρ++=水，得194v n C =，则19v n ∝19-19-根据excel 中利用最小二乘法得到的线性关系，得7.335α=，即197.335t n -=，相关系数²0.9774R =拟合效果较好。

数的关系，所以数学工具只用到比例方法。

用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的表达式，但是对于我们的建模目的来说已经足够了。

结果与实际数据吻合较好，有数据量过少的成分在里面。

思考题3 旅行商问题的数学模型题目：旅行商问题，即TSP 问题（Traveling Salesman Problem ）是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访N 个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

解：（1）问题分析：对于n 个城市，如果城市两两之间可以直接联系，那么就可以有n ！种排列组合。

若固定起点城市，同时认为路网是对称的，则有(1)!2n -种可能性。

TSP 问题是一个NPC 问题。

传统方法可以采用：枚举法（适合小规模，搜索时间长，可以得到最优解）；贪婪算法（得到较优解，搜索时间较短）；动态规划法（适用规模较大，比枚举法好，可以得最优解）等等。

随机分布的TSP 城市，假定采用欧式距离度量，则关于最短的TSP 路径的期望长度*L 的一个经典公式：*L =其中n 为城市数目，R 是一个正方形面积，随机放置的各城市均位于该正方形之内，k 为一个经验常数，成为Held-Karp 下界。

对于100n ≥，k0.70805 1.31572 3.07474(k n =+-相关文献建议采用k=0.749 （2）模型假设：12）运费与运距成线性关系，不同路段的单位运费一致。

（3）模型建立：目标：路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值：11min (x)n nij ij ij i j F c d X ===∑∑约束：路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市： 每个点只能出发一次：1 1nijj Xi V ==∈∑（式1.1）每个点只能到达一次：11 niji V Xj ==∈∑ （式1.2）各城市子集的路段选择不构成回路(如下图，满足式1.1&式1.2但不满足题目要求)：12{},1,21,1,2,iji j sXS S n S ∈≤-≤≤-⊂∑…,n（式1.3） {}{} ,?0,11,2,i X ijj n i j ∈∈≠、…,（式1.4）其中：c——OD点i到j路段，单位里程的费用；ijd——OD点i到j路段的里程ijX——OD点i到j路段是否被选择，若选择为1，若不选为0。

ijS——城市点的子集。

思考题4 排课问题的数学描述问题描述及分析：排课涉及到资源合理分配、多任务交叉安排、冲突协调及组合优化等同题。

排课流程：以北京交通大学为例，学院在确定每个年级的教学任务后，课程安排中主要涉及以下问题：（1）问题主要因素：1）教学资源(即教师)：某教师能上哪些课程，所上每门课程的效果2）任务配置(即课程)：课程由哪些教师讲授，需要提供多少课容量供学生选课3）地点选择(即课室)：某课程在某课室的开课时间，容纳的人数（2）相关约束：1）时间的约束：①排课时间(如一周按五天，每天按四个时间段：上午2次、下午1次、晚间1次)。

②同一教师不同课程的上课时间不能冲突③某一年级的必修课的上课时间不能冲突2）课容量的约束：①课程提供的总课容量大于等于需要选课的学生数量②一门课程的课容量小于分配到的课室的容纳人数3）排课数量的约束排课次数不能多于容许安排的时间次数（3）排课效果评价：1）每个教师开课数目相对平均2）时间安排与上课效果的关系3）课室的合理利用课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排6节课，上午2节，下午2节，晚上2节。

模型假设（1）假设学院四个年级共开课程b门，编号为Cb，每个课程需要的课容量为Cba；教师共有m名，编号为Tm；教室间n，编号为Rn，课室容量为Rna。

（2）一周的课程时间按先后进行编号，编号为t，如第一周第一节课为1，第二节课为2。

（3）编号Cb 的课程，前q 门课程为必修课，后b-q 门为选修课。

（4）在确定课室安排前，学院已经规划好教师的教课任务。