2009年上海市十校联考数学(理科)参考答案

上海市2009年高三十校联考模拟考试数学（理科）试卷一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1. 若()22311n n n C C C n *--=+∈N ，则n =_____________． 2. 若复数z 满足132i 2iz z =--（i 是虚数单位），则z =__________． 3. 已知1tan 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 36πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()tan αβ+=____________．4. 由0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字且数字2，3相邻的四位数共_______个（结果用数字表示）．5. 函数44sin cos y x x =+的单调递增区间是______________________．6. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度r 可定义为2lg 23r I =+．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，而1976年唐山地震的震级为7.8级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_____________倍．（精确到个位）7. 在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =________cm ．8. 已知平面上直线l 的方向向量()3,4d →=-，点()0,0O 和()4,2A -在l 上的射影分别是1O 和1A ，则11O A =________________．9. 已知函数()f x =的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________．10. 有一道解三角形的问题，缺少一个条件．具体如下：“在A B C ∆中，已知a =，45B =，____________，求角A 的大小．”经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示60A =，试将所缺的条件补充完整．11. 如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）12. 在解决问题：“证明数集{}23A x x =<≤没有最小数”时，可用反证法证明．假设()23a a <≤是A 中的最小数，则取22a a +'=，可得：22223222a a a a a +++'=<=<=≤，与假设中“a 是A 中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集,,,nB x x m n n m m *⎧⎫==∈<⎨⎬⎩⎭N 并且没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设00n x m =是B 中的最大数，则可以找到x '=____________（用0m ，0n 表示），由此可知x B '∈，x x '>，这与假设矛盾！所以数集B 没有最大数．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13. 圆2286160x y x y +-++=与圆2264x y +=的位置关系是 ( )(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 14. 已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，各项的和为S ，且()lim 21n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围是 ( ) (A)()()1,00,1- (B)()()2,11,0--- (C) ()()0,11,2 (D)()()2,00,2-15. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()y f x =的图像上有且仅有()n n ∈*N 个整点，则称函数()y f x =为n 阶整点函数．有下列函数：①()sin 2f x x =； ②()3g x x =； ③()13xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()ln x x φ=，其中是一阶整点函数的个数为 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）416. 已知正方形A B C D 的面积为36，B C 平行于x 轴，顶点A 、B 和C 分别在函数3lo g a y x =、2log a y x =和log a y x =（其中1a >）的图像上，则实数a 的值为 ( )(B)(D)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，求实数t 的值.18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知四棱锥P A B C D -的底面A B C D 是边长为1的正方形，P D ⊥底面A B C D ，且2P D =．（1） 若点E 、F 分别在棱P B 、A D 上，且4PE EB = ，4DF FA =，求证：E F ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段P A 上，且三棱锥G P B C -的体积为14，试求线段P G 的长．19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+．（1） 求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2） 试问数列{}n a 中任意连续两项的乘积()1k k a a k *+⋅∈N 是否仍是{}n a 中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >． （1） 若关于x 的不等式221230ax x -->，求实数a的值；（2） 已知关于x的不等式2sin cos 0x x x b ++>，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，求实数b 的取值范围；（3） 已知关于x 的不等式组()2271,1log log 32x x tx t ⎧>⎪+⎨⎪++<⎩的解集构成的各区间长度和为6，求实数t 的取值范围．21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知等轴双曲线C 的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是坐标原点，且双曲线经过点33,2⎛⎫⎪⎝⎭． （1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C 的方程：①22274x y -=；②9xy =；③92xy =．请确定哪个是等轴双曲线C 的方程，并求出此双曲线的实轴长；（2） 现要在等轴双曲线C 上选一处P 建一座码头，向()3,3A 、()9,6B 两地转运货物．经测算，从P 到A 、从P 到B 修建公路的费用都是每单位长度a 万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（3） 如图，函数13y x x=+的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）理科答案说明1. 本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分. 1.5. 2.47i 55-. 3. 7-. 4. 60.5. (),242k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . 6. 2. 7. 32. 8. 4.9.[][)0,19,+∞ . 10. 2c =. 11. ①②⑤12.答案不惟一，0011n m ++，0002n m m +，…….二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三、（第17至21题）17.【解】 因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数()221f x x tx =-+的对称轴为x t =，所以2t ≤或5t ≥ …… 3分若2t ≤，在区间[]2,5上函数是单调递增的，所以()()max 5251018f x f t ==-+=，解得95t =，符合 …… 7分若5t ≥，在区间[]2,5上函数是单调递减的，所以()()max 24418f x f t ==-+=，解得34t =-，与5t ≥矛盾，舍去 …… 11分综上所述，满足题意的实数t 的值为95……12分18.【解】（1）以点D 为坐标原点，D A 为x 轴正方向，D C 为y 轴正方向建立空间直角坐标系． …… 1分 则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB = ，4DF FA = ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭， …… 3分则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，()1,0,0BC =-，()1,1,2PB =-- ． …… 5分0EF BC ⋅= ，0EF PB ⋅=，即E F 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以E F ⊥平面PBC ． …… 7分（2）()1,0,2PA =- ，可设()01PG PA λλ=≤≤，所以向量P G的坐标为(),0,2λλ-， …… 8分平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=--⎪⎝⎭． 点G 到平面PC E的距离45PG EF d EFλ⋅===． …… 10分 P B C ∆中，1B C =，PC =，PB =2PBC S ∆=． …… 12分三棱锥G P B C -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅=⋅==，所以34λ=． …… 13分此时向量P G 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，P G =P G． …… 14分19.【解】（1）由11422n n n n a a a a +++=+及125a =可知数列{}n a 的每一项都是正的． …… 1分111242n n n n n n a a a a a a ++++=+，即11223n n n n a a a a ++-=， …… 3分所以11132n na a +-=， …… 4分所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以52为首项，公差为32的等差数列． ……6分（2）由（1）可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为1322n n a +=，所以232n a n =+． …… 8分 ()122243231292110k k a a k k k k +⋅=⋅=+++++22921622k k =+++22372322k k =++⋅+． …… 10分因为()2213723122k k k k k k +++=+++， …… 11分当k *∈N 时，()12k k +一定是正整数，所以23722k k ++是正整数． …… 13分所以1k k a a +⋅是数列{}n a 中的项，是第23722k k ++项． …… 14分20.【解】（1）0a =时不合题意； …… 1分0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a+=，1232x x a=-，由题意知()22121212236664x x x x x x aa=-=+-=+， …… 2分解得2a =-或3a =（舍）， …… 3分 所以2a =-． …… 4分（2）因为2sin cos x x x b ++()1sin 21cos 2sin 22232x x b x b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭， …… 5分 设()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，原不等式等价于“()2f x b >--，[]0,x π∈”，…… 6分 因为函数()f x 的最小正周期为π，[]0,π的长度恰为函数的一个正周期，所以当122b -<时，()2f x b >--，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过3π，即b的取值范围为12⎛⎫+-+∞ ⎪⎪⎝⎭． …… 9分（3）先解不等式711x >+，整理得601x x -+>+，即()()160x x +-<所以不等式711x >+的解集()1,6A =- …… 10分设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组的解集为A B不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2030340x tx t tx tx ⎧>⎪+>⎨⎪+-<⎩ …… 11分所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⊆ ，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组230340tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立 …… 12分 当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t > …… 13分 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即243t x x<+恒成立 …… 14分当()0,6x ∈时，243x x+的取值范围为2,27⎛⎫+∞⎪⎝⎭，所以实数227t ≤ …… 15分 综上所述，t 的取值范围为20,27⎛⎤⎥⎝⎦…… 16分21.【解】（1）双曲线22274x y -=的焦点在x 轴上，所以①不是双曲线C 的方程……1分双曲线9xy =不经过点33,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以②不是双曲线C 的方程 …… 2分 所以③92xy =是等轴双曲线C 的方程 …… 3分等轴双曲线92xy =的焦点1F 、2F 在直线y x =上，所以双曲线的顶点也在直线y x =上， …… 4分联立方程92xy y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得双曲线92xy =的两顶点坐标为,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线92xy =的实轴长为6 …… 5分（2） 所求问题即为：在双曲线92xy =求一点P ，使PA PB +最小．首先，点P 应该选择在等轴双曲线的92xy =中第一象限的那一支上 …… 6分等轴双曲线的92xy =的长轴长为6，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点1F 、2F 在直线y x =上，线段12F F 的中点是原点，所以()3,3A 是92xy =的一个焦点， …… 7分设双曲线的另一个焦点为()23,3F --，由双曲线的定义知：26PA PF =- 所以()26PA PB PFPB +=-+，要求PA PB +的最小值，只需求2PF PB +的最小值 …… 8分直线2B F 的方程为3430x y --=，所以直线2B F 与双曲线92xy =在第一象限的交点为33,2⎛⎫⎪⎝⎭…… 9分 所以码头应在建点P 33,2⎛⎫⎪⎝⎭处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10分（3）① ())()1133f x x x fx x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点()00，； …… 1分② 渐近线是3y =和0x =．当0x >时，当x 无限增大时，1x无限趋近于0，13y x x=+与3y x =无限趋近；当y 无限增大时，x 无限趋近于0． …… 2分③ 双曲线的对称轴是y =和3y x =-． …… 3分④ 双曲线的顶点为⎛⎝，⎛ ⎝，实轴在直线y =上，实轴长为…… 4分⑤虚轴在直线3y x =-，虚轴长为 …… 5分⑥焦点坐标为⎭，⎛ ⎝⎭，焦距…… 6分 说明：（i ）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii ）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了13y x x=+的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分。