高中数学人教A版必修1第三章方程的根与函数的零点说课

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高中数学人教A版必修一3.1.1方程的根与函数的零点说课课件

课后巩固，学以致用
选做题：学案思维探究与创新
观察归纳，建构联系
教师点拨问题驱动探索解惑，大胆猜想
判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间？
精讲法法应用新知，发现问题
探索解惑，大胆猜想判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间？选做题：学案思维探究与创新
六、教学环节
环节 9 课堂小结，总结升华
思想零点概念知识
三个等价关系零点存在性定理
数形结合转化与化归
六、教学环节
环节 10 课后巩固，学以致用
必做题：学案基础自测、技能应用与拓展选做题：学案思维探究与创新
分层作业，不同水平的学生都有所收获
板书设计
方程的解与函数的零点
1.零点 2.三个等价关系的转化 3.零点存在性定理
板书例题详细过程
主板书
副板书
ppt
环节 4 探索解惑，大胆猜想
环节 5 举例y 推翻，完善新知
函数的零点
环节 6 小组合作，辨析定理
存在性定理
y 1)
f(m)·
y
f(n)<0a则函数f(x)在区间c[m,n]零点是否只有一个？
y
a a 2) f(m)0· f(n)<0时，什ox么条b 件下函数f(xd0)在区间x [mx,n]零点只有一个0 ？ b 3)若函数 f(x) 有零点，那么一定有f(m)·f(n)<0吗？
a b 4) f(m)· f(n)>0 则函数f(x)在区间[m,n]一定没有零点吗？
x
b
六、教学环节
环节 7 及时检测，巩固新知

方程的根与函数的零点说课稿

必修一《3.1.1方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．二、教学目标1、知识与技能（1）通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．（2）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．3、重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．三、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．四、教法与学法在教法上，本次课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法。

在教学手段上，我一是采取多媒体课件、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。

《方程的根与函数的零点》说课讲稿

《方程的根与函数的零点》说课稿1 教材分析1.1 地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．1.2 教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．2 学情分析2.1 学生具备必要的知识与心理基础．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．2.2 学生缺乏函数与方程联系的观点．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．2.3 直观体验与准确理解定理的矛盾．从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．2.4 教学难点基于上述分析，确定本节的教学难点是：对零点存在性定理的准确理解．3 目标分析依据新课标中的内容与要求，以及学生实际情况，指定教学目标如下：3.1 知识与技能目标：1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．3.2 过程与方法目标：1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．3.3 情感、态度和价值观目标：1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．2、体验规律发现的快乐．4 过程分析4.1 教学结构设计：约10分钟约15分钟约12分钟约3分钟（六）总结整理，提高认识．（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．（七）布置作业，独立探究．1．函数f (x )＝(x ＋4)(x －4)(x ＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x (x －2)＝－3；（2）e x －1＋4＝4x ．3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x )=2x ln(x -2)-3；（2）f (x )＝3(x ＋2)(x －3)(x ＋4)＋x ．思考题：方程2-x =x 在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．5.4 板书设计5 教法分析新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会．教师主要起引导作用，充分信任学生、依靠学生．只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主体．新课标注重提高学生的数学思维能力，本节课让学生直观感知概念，观察发现规律，归纳概括定理，对思维能力有一定的要求，也提供了充足的媒介．概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生．教法与学法归纳为：紧扣教材、重组教材；信任学生、依靠学生；学生主体、教师主导；注重思维、注重过程．。

5号选手说课比赛方程的根与函数的零点说课稿

（2）理解函数零点存在的判定条件。
四学情分析
本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生,刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
设计意图：1 培养学生的观察及归纳能力。2.培养学生的数形结合思想。
y
三探索研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳总结
定理辨析：判断正误（1） f(a)· f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)· f(b)<0。（3） f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。 y
多媒体演示
（2） ……
设计意图：画龙点睛的作用。
四
课堂小结，布置作业。
课堂小结： 1.知识点小结：一个定义和四个结论。 2.思想方法小结：数形结合（以数解形以形解数）。
设计意图：通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的知识. 进一步培养学生的归纳概括能力。
二. 本节课涉及多种思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.
教材分析
目标分析
重难点分析
学情分析

高中数学方程的根与函数的零点说课稿新人教A版

《方程的根与函数的零点》说课稿各位老师各位同学，早上好。

我是来自xxx，今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第二课时，选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、教学过程设计五个方面来阐述我对本节课的构思。

【教学背景分析】函数与方程又是中学数学的重要内容。

本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科学态度。

本节课的教学重点为判定函数零点存在及其个数的方法，难点是探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。

【教法分析和学法指导】结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。

【教学过程设计】为了突出重点，突破难点，在教学上我将用八个环节第一环节：复习回顾、引入新课请学生独立完成问题1：求下列函数的零点。

人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数．错解错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意；当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-．综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

《方程的根与函数的零点》说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿各位评委老师，各位同仁，下午好！今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1 第三章第一节第一课时。

下面我就教材、教法、学法、教学过程四个方面进行说课。

1 说教材1.1 教材分析。

函数与方程是中学数学的重要内容，它既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。

无论是数学条件自身的理论研究，还是在实际生活中的应用，函数与方程都有着不可替代的作用。

从更高层次上来讲，函数的思想贯穿整个高中数学内容的始终，因此本节内容是高中数学教学中的重中之重。

1.2 目标分析。

根据上述我对教材的分析，同时考虑到高一学生现有的认知结构和认知心理特征，制定如下教学目标：1.2.1 知识与技能：①了解方程的根与函数的零点之间的关系；②结合函数图象和性质学会判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法。

1.2.2 过程与方法：①探究方程的根与函数的零点的关系；②发现在某区间上的图象连续的函数存在零点的判定方法。

1.2.3 情感、态度与价值观：①培养学生主动参与、积极探究的主体意识；②体会数形结合的数学思想，由特殊到一般的归纳思想，培养学生用新的数学语言对原有的数学现象加以概括和解决的能力。

③培养学生的辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

1.3 重点、难点：重点：是判定函数零点存在及其个数的方法。

难点：是探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。

2 说教法基于本节课内容的设计和高一学生的认知心理特征，坚持“学生主体，教师主导” 的教学原则。

本节课我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发———探究———讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。

在教学过程中，多次创设问题情境，使学生对问题加以置疑、思索，想办法解决问题，通过教师的启发点拨，在积极的双边互动中，使学生达到了解疑答难的目的。

方程的根与函数的零点

《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析1.地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系，函数零点存有性定理，是一节概念课。

新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存有性定理是二分法的必备知识。

从研究方法来说，零点概念的形成和零点存有定理的发现，符合从特殊到一般的理解规律，有利于培养学生的概括归纳水平，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念掌握函数零点存有性定理。

二、学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的水平，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存有性提供了一定的知识基础。

2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，理解不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存有性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。

定理只为零点的存有提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。

4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存有的定理的准确理解。

三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。

指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标①. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。

新人教高中数学必修1 方程的根与函数的零点说课稿

方程的根与函数的零点各位老师，大家好！我是第xx组xx号考生，很高兴能够站在这里参加面试，我叫某某，毕业于某某大学某某专业，性格比较开朗，随和，能关心周围的人和事，和亲人朋友能够和睦相处，对生活充满信心，在某某公司从事某某一职，对教师这一职业非常崇敬。

我今天说课的题目是《方程的根与函数的零点》，下面，我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教学方法、学习方法、教学过程和板书设计等方面进行说课。

一、教材分析本节内容是选自新人教A版高中数学必修1第3章第1节第1部分的内容。

函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要。

二、教学目标根据上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为:1、知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数的方法。

2、过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

3、情感、态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

[设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。

三、重点与难点根据本节课的知识要求和教学目标，本节课的教学重点是：零点的概念及存在性的判定；教学难点是：零点的确定。

[设计意图]：首先通过教学目标和难重点的展示，让学生明确本节课的任务及精髓，带着目标去学习，才能达到事半功倍的效果。

四、教学方法新课程标准倡导以学生为主体进行探究性学习，教师应成为学生学习的引导者、组织者和合作者，基于这一教学理念和本节课的教学目标，我采用如下的教学方法：（1）在教师指导下的引导发现教学法：通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃，同时培养了学生自主学习，动手探究的能力。

高中数学人教A版必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点说课课件

点,实现目标1和4.
问题3：上述方程 f (x) 0的根与相应的函数 f (x)的图像与 x轴交点坐标有什么关系？此结论能否推广至一般的方程？
2.3 引出零点概念 5min
函数的零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x，叫做函数y=f(x)的零点.
问题4：函数y=f(x)的零点是点吗？
内有零点.
2.1 问题情境复习导入 2min
问题2：下列方程有解吗？ ln x 2x 6
设计意图：问题1，学生已经掌握这些方程的求解方法,比一比速度；问题2，学生无法解决，从而引起学生的认知冲突，揭示课题.
(5 3) min
2.2 探究1
方程
x2－2x－3=0
判别式Δ 方程的实数根
对应函数
y= x2－2x－3 y
一、说教材
1.4 教学重难点
在此教学目标的统领下，根据本节内容，我的教学重点确定为：
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系； 2.掌握函数零点存在性定理.
根据学生的认知和本节课的内容特征，我的教学难点确定为：
理解函数零点存在的判定条件.
一、说教材
1.5 教法、学法和教具准备
为了使学生更好的掌握本节内容，我采取的教学策略为：
x 3.求1 函数2f (x) 3ln x 42x 6 5零点的6个数.2.77 典8例剖析9 8min
f(x) 解-4 ：用-1计.3 算机1.做1 出x3、.4f(x)对5应.6 值表7.和8 图象9.如9 下：12.1 14.2
y 由表和图象可知，f(2)<0，f(3)>0， 10
f(2)f(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2,3) 8

方程的根与函数的零点说课稿

方程的根与函数的零点一、教材结构与内容简析方程的根与函数的零点是全日制普通高中《数学》（必修1）第一册（人民教育出版社），第三册第一节第一课时的内容。

函数与方程是中学数学的重要内容．本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．二．教学重点、难点从新课程标准的教学理念出发，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．教学难点：探究发现函数零点的存在性。

三、教学目标根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：（一）认知目标：1．通过本节课的教学让学生能够结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法．3.能够运用方程的根与函数零点的关系进行简单的运算。

（二）能力目标：培养学生自主发现、探究实践的能力．（三）情感目标：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.四、教法分析教学模式：“启发—探究—讨论”式教学模式.名施精敏.玳秀资料【设计意图】坚持新课标中的“以学生为主体，以教师为主导”的原则，根据高一学生的心理特点，采用“启发—探究—讨论”式教学模式.教学手段：多媒体教学【设计意图】在探究函数零点与方程的根之间存在的关系以及零点存在性的过程需要用到的大量的例子，因而采用多媒体教学。

五、教学过程(1)在区间［a ,b ］上(有/无)零点；f(a )•f(b )0(〈或〉). (2)在区间［b ,c ］上(有/无)零点；f (b )•f (c )0(〈或〉). (3)在区间［c ,d ］上(有/无)零点；f (c)•f(d)0(〈或〉).零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)-f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点即存在c£(a,b),使f(c)=0,这个c 也就是方酣晨)=的根.练习2.若方程2aH 一%-1=在()内恰有一解则a的取值范围,()A.a <-1B a >1q-1<a <1D 0<a <1分析：令f (%)=2a%2-%_1在(0,1)内恰有一解，则f (0)f (1<0。

人教A版高中数学必修一《3.1.1 方程的根与函数的零点》说课课件

教学难点：
1、在学习连续函数零点存在性定理过程中，把“图象特征”转化为“代数表示”. 2、将方程的问题转化为函数的问题.
教材分析---教学目标---学情分析---学法分析--教法学法---教学过程---板书设计
根据课标要求定教学目标
（一）知识目标（课时目标）
教学目标
1．了解函数零点的概念，理解方程的根、相应函数图象与x 轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系； 2、能借助具体函数的图象，解释“函数零点存在性定理” ； 3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数； 4、会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，并会判断存在零点的区间。
) D、 1, 2
）
A、 (1,0),(2,0) B、1,2 C、 (0,1),(0, 2)
2
2、若方程 2ax x 1 0 在(0, 1)内恰有一解,则实数 a 的取值范围为（
A、a 1 B、a 1 C、a 1 D、 0 a 1
3、函数 f ( x) ax2 2ax c(a 0) 的一个零点为 1，则另一个零点为
2.课标对本节的要求
普通高中
数学课程标准
（实验）函数与方程（1）结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系
教材分析---教学目标---学情分析---学法分析--教法学法---教学过程---板书设计
3.关于教学重点、难点的解析教学重点：
1、建立函数的零点与方程的根的联系中体现的函数思想 2、连续函数零点存在性定理
高中数学必修 ①
§3.1.1方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点教材分析教学目标学情分析学法分析教法分析教学过程

方程的根与函数的零点说课稿

必修一《3.1.1方程的根与函数的零点》说课稿尊敬的各位评委老师，我是来自10级数学与应用数学4班的马燕，今天我说课的内容是方程的根与函数的零点，我将从以下四个方面进行分析：教材分析，教法与学法分析，教学过程，教学评价。

一、【教材分析】1 教材的地位和作用《方程的根与函数的零点》是人教版A版必修1第三章第一节第一课时的内容，本节课是属于基本初等函数第一部分的知识，在此之前，学生已经学习了指数函数，对数函数，幂函数及其基本性质，这为过渡到本节课的学习奠定了基础。

本节内容是对学生已经学习过的函数知识的延伸和拓展，又是后续学习运用二分法求解方程的近似解的基础。

它是整个高中数学教材体系中起着承上启下作用的核心知识之一，地位至关重要。

2.学情分析高一年级的学生，他们刚进入高中不久，学生的动手动脑能力，以及观察能力和语言表达能力还没有很全面发展的基础上，所以在学习本节课的时候仍然会遇到很多问题。

因此，在本节课的教学中，我将从学生已有的知识和生活经验出发，环环紧扣提出问题让学生思考，将学生至于主动地位。

基于以上对教材的认识，根据新课标倡导积极主动勇于探索的学习方式的基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标3 教学目标知识与技能目标：理解函数零点的概念以及方程的根与函数的零点之间的关系，掌握函数零点存在的判定方法，能够利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论，体验从特殊到一般的认知的过程和数形结合的思想方法。

情感态度与价值观目标：通过师生，生生之间的讨论互动，学生提高合作交流的能力，在探索解决问题的过程中，体验学习的成就感。

根据本节课的特点，以及新课标对本节课的要求，确定本节课的重点为4 教学重难点重点函数零点的概念；函数零点的判别定理以及函数与方程的关系。

难点函数零点概念的理解。

为了突出重点，突破难点，抓住关键，需要选择合适的教法与学法二、【教法、学法分析】教法分析：所谓“教无定法，贵在得法”，因此，对于不同的内容我采取了不同的教学方法。

方程的根与函数的零点说课稿

今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第一课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计五个方面来进行阐述。

【教材分析】函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．【教学目标分析】根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

能力与情感目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

【重难点分析】教学重点：判定函数零点的存在及其个数的方法。

教学难点：探究发现函数零点的存在性，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。

【教法分析和学法指导】结合本节课的教学内容和学生的认知水平：在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。

充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

在学法上，我体会到“授人以鱼，不如授人以渔”，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

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在教学手段上，我一是采取多媒体课件、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。

人教A版高中数学必修一方程的根与函数的零点说课稿

3.1 函数与方程本节重点是通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.在利用“二分法”求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难.要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具.为了提高学生对函数的广泛应用以及函数与其他数学内容有机联系的认识，必须加强知识间的联系，具体体现在结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求方程的近似解，为算法学习作准备等.例如，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根之间的关系；根据具体函数的图象，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，为算法的学习作准备等.另外，还要特别注意信息技术的使用.3.1.1 方程的根与函数的零点（1）从容说课方程的根与函数的零点是新课标新增内容，它的引进，使得函数与方程思想有了新的活力，该部分知识内容较为抽象，学习过程中要注意结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.二次函数是联系高中数学知识与大学数学知识的主要纽带，高考函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性以及二次方程实数根的分布问题，二次不等式的解集等问题.考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想，高考在此设计的题目的难度远远高于课本要求，在学习这部分内容时一方面要加强训练，另一方面也要在训练过程中不断提高学生分析问题、解决问题的能力.三维目标一、知识与技能1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.2.能结合二次函数的图象与x轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数.3.了解函数的零点与对应方程根的联系.二、过程与方法1.通过了解函数的零点与方程根的联系，渗透算法思想，为后面系统学习算法作准备.2.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.3.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及分析问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过学习二次函数图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的系统性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法，培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识.教学重点根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数，函数零点的概念.教学难点函数零点的概念. 教具准备多媒体课件、投影仪. 教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体动画演示）从某幢建筑物10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙垂直，如下图），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面340米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是多少米?如下图建立直角坐标系，则A 点坐标为（0，10），M 点坐标为（1，340）.由于M 为最高点，所以可设抛物线为y =a （x －1）2+340，将点A （0，10）代入，得10=a ×1+340，a =－310，即抛物线方程为y =－310（x －1）2+340.水流落地时B 点纵坐标y =0，代入上式，解得x =3，即水流落地点B 离墙的距离OB 是3米.上述解法中，落地点B 就是抛物线与x 轴的交点，点B 的横坐标就是二次方程－310（x －1）2+340=0的一个根. 师：一般情况下，函数y =f （x ）与x 轴的交点和方程f （x ）=0的根之间存在着怎样的关系呢?由此引入新课. 二、讲解新课1.探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系师：你能快速地求出一元二次方程x 2－2x －3=0的根吗？生：由方程可得（x －3）（x +1）=0，所以方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根，分别为3和－1.师：请画出二次函数y =x 2－2x －3的图象.（生动手画图，师生共同归纳画二次函数图象的步骤）方法引导：画二次函数简图的步骤：（1）先根据二次项系数确定函数的开口方向，即当a ＞0时，函数开口向上；当a ＜0时，函数开口向下.（2）再根据x 0=－ab2画出函数的对称轴. （3）确定函数图象与两坐标轴的交点，成图. 师：请观察你所画的函数图象，研究图上的一些特殊点以及二次方程x 2－2x －3=0的根，你有什么发现吗？（组织学生交流，得出如下结论）（1）一元二次方程x 2－2x －3=0的两个实数根就是二次函数y =x 2－2x －3的图象和x 轴交点的横坐标；（2）一元二次方程x 2－2x －3=0的两个实数根即为二次函数y =x 2－2x －3的函数值等于0时的自变量x 的值.师：研究一元二次方程x 2－2x －3=0的根的个数及其判别式与二次函数y =x 2－2x －3的开口方向和顶点位置，你能得到什么结论？（生交流，师及时总结，得出如下结论）结论：（1）一元二次方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根，判别式Δ＞0；（2）二次函数y =x 2－2x －3的开口向上，顶点在x 轴下方.（3）方程x 2－2x －3=0有两个不相等的实数根⇔判别式Δ＞0⇔对应的二次函数y =x 2－2x －3的图象开口向上且顶点在x 轴下方.师：你能将这个结论进行推广吗？（生思考，师投影显示如下问题）合作探究：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的根的个数及其判别式与二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的开口方向和顶点位置之间有什么联系？（师生共同结合函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的不同情形，得出如下结论）知识拓展：设二次方程为ax 2+bx +c =0（a ≠0），相应的二次函数为y =ax 2+bx +c （a ≠0），其判别式 Δ=b 2－4ac ，我们有：（1）当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x 1、x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）；（2）当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根x 1=x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点（x 1，0）；（3）当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点. 也就是说，判断一个方程是否有解以及解的个数的问题，可以转化为讨论对应的二次函数的图象开口方向以及顶点与x 轴的位置问题.也可以通过二次函数对应的二次方程的根的个数来判断二次函数的开口方向以及顶点位置.思考：当二次函数y =ax 2+bx +c （a ＜0）时，是否也有同样的结论呢？ 2.函数的零点二次函数的图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形.为此，先给出函数零点的概念：对于函数y =f （x ），我们把使f （x ）=0的实数x 叫做函数y =f （x ）的零点. 有时我们也把一个函数的图象与x 轴的公共点，叫做这个函数的零点. 当两个零点重合时，我们称这个零点为二重零点.函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的实数根，也就是函数y =f （x ）的图象与x 轴的交点的横坐标.所以方程f （x ）=0有实数根⇔函数y =f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y =f （x ）有零点.由此可知，求方程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点. 【例1】求证：一元二次方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根. 师：根据我们前面研究的结论，你觉得应该如何完成上题的证明呢？（生交流得出如下结论）证法一：因为一元二次方程2x 2+3x －7=0的判别式Δ=32－4×2×（－7）=65＞0，所以方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根.证法二：设f （x ）=2x 2+3x －7，因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f （－43）=2（－43）2+3×（－43）－7=－7＜0. 所以，函数f （x ）=2x 2+3x －7的图象与x 轴有两个不同的交点，即方程2x 2+3x －7=0有两个不相等的实数根.【例2】求下列函数的零点. （1）y =－x 2－x +20；（2）y =（x 2－2）（x 2－3x +2）.方法引导：函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题，反之也成立.这是函数与方程的统一.解：（1）令y =0，即－x 2－x +20=0，解得x 1=－5，x 2=4.∴所求函数的零点为－5，4. （2）令y =0，即（x 2－2）（x 2－3x +2）=0. 解得x 1=2，x 2=－2，x 3=1，x 4=2， ∴所求函数的零点为2，－2，1，2.【例3】已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如下图所示，则A.b ∈（－∞，0）B.b ∈（0，1）C.b ∈（1，2）D.b ∈（2，+∞）方法引导：f （0）=f （1）=f （2）=0；x =0，1，2是函数y =f （x ）的三个零点.由图象获取信息是解决函数问题常见的手法，是数形结合思想的一个体现.解法一：∵f （0）=f （1）=f （2）=0， ∴d =0，a +b +c =0，4a +2b +c =0，∴a =－3b ，c =－32b . ∴f （x ）=－3b x （x 2－3x +2）=－3bx （x －1）（x －2）. 当x ＜0时，f （x ）＜0，∴b ＜0.故选A.解法二：由图象知x =0，1，2是函数y =f （x ）的三个零点. ∴f （x ）=ax （x －1）（x －2），当x ＞2时，f （x ）＞0. ∴a ＞0，比较同次项系数，得b =－3a . ∴b ＜0. 故选A.三、课堂练习 1.若f （x ）=x x 1-，则方程f （4x ）=x 的根是 A.－2B.2C.－21 D.21 答案：D （点拨：∵f （4x ）=x x 414-，∴由x x 414-=x ，解得x =21） 2.函数y =|log 2|x ||－1的零点有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D （点拨：画出图象，观察即可）3.定义在R 上的奇函数f （x ）有三个零点x 1、x 2、x 3，则下面关系中正确的是 A.x 1x 2x 3＞0 B.x 1x 2x 3=0 C.x 1x 2x 3＜0 D.以上三种关系都可能成立答案：B （点拨：∵f （0）=0，∴x 1，x 2，x 3中必有一个为0）4.若函数y =2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是________.答案：0＜m ≤1（点拨：利用函数y =2－|x －1|=（21）|x －1|的图象可知，0＜y ≤1， ∴函数y =2－|x －1|－m 的图象若与x 轴有交点，必须0＜m ≤1）5.已知函数f （x ）=ax +2a +1，当x ∈［－1，1］时，f （x ）的值有正也有负，则实数a 的取值范围是________.答案：－1＜a ＜－31（点拨：原问题⇔f （－1）f （1）＜0）6.二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 是偶函数，它有两个零点x 1，x 2，则x 1+x 2=________. 答案：0（点拨：偶函数图象关于y 轴对称）四、课堂小结1.本节学习的数学知识：一元二次方程的解与相应二次函数图象与x 轴的关系、函数零点的概念、函数零点与方程的根的关系.2.本节学习的数学方法：归纳与化归的思想、数形结合与定义法、特殊与一般的意识. 五、布置作业1.若奇函数f （x ）=x 3+bx 2+cx 的三个零点x 1，x 2，x 3满足x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=－2，则b +c =________.2.已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ，f （2）=0，f （－5）=0，f （0）=1，则此二次函数为________.3.二次函数y =x 2+kx －（k －8）与x 轴至多有一个交点，求k 的取值范围.4.求下列函数的零点：（1）f（x）=2x+7；（2）f（x）=2x2－5x+1；（3）f（x）=（x－1）（x－2）（x+3）.5.下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值大于零、小于零或等于零：（1）y=x2+7x－8；（2）y=－x2+2x+8.板书设计3.1.1方程的根与函数的零点（1）二次函数图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系函数的零点方程的根与函数零点的关系例1例2例3课堂练习课堂小结。

人教A版必修一第三章第一小节方程的根与函数的零点说课课件(共25张PPT)

《方程的根与函数的零点》说课
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一、教材分析
本节是必修1的第三章的第一节，是在学生学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，展现函数图象和性质的应用。本课是本章节的第一节课，结合函数图象和性质向学生介绍零点概念及其存在性定理，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解” 服务的，由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。
D-1
设计意图：检验学习效果，归纳求零点的基本方法。
（四）生活实例，创设情景实例引入：路上有一条河，小明从A点走到了B点。观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
B A A
设计意图
通过实例引入零点存在性定理。
B
（五）抽象实例，合情推理。
设计意图
问题5：若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？
（七）强化概念，化解难点
问题7：（1）f(x)=2x+1在在区间［-1，1］内有零点吗？ 1 （2）f(x) 在区间［-1，1］内有零点吗？ x
1 -1 1 -1 1 （2）
设计意图
及时巩固，强化概念。同时让学生通过反例研究，理解函数连续性是零点存在性定理另一个重要条件，分解难点。
问题 2：填表，思考：下列一元二次方程的根与相应的一元二次函数图像与 x 轴交点的横坐标有什么联系？一元二 x 2 2x 3 0 x 2 2x 1 0 x 2 2x 3 0 次方程二次函 y x2 2x 3 y x 2 2x 1 y x 2 2x 3 数函数的图像（简图）方程的根图像与 x 轴交点的横坐标

高中数学人教A版必修1第三章 方程的根与函数的零点 说课

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方程的根与函数的零点

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