高一数学指数函数人教版知识精讲
人教高一数学指数函数讲义
第四节、指数函数一、初中根式的看法；若是一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根，若是一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根；（一）指数与指数幂的运算1．根式的看法一般地，若是 x n a ，那么x叫做 a 的n次方根，其中n >1，且n∈ N *．当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数．此时， a 的n次方根用符号n a 表示。
．式子n a 叫做根式，这里n叫做根指数， a 叫做被开方数。
当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的 n 次方根用符号n a表示，负的 n 次方根用符号－n a 表示．正的n次方根与负的 n 次方根可以合并成±n a （ a >0）。
由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作n0 0。
思虑：n a n = a必然成立吗？结论：当 n 是奇数时，n a n a当 n 是偶数时，n a n| a |a(a0) a(a0)31 3 3例 1、（1） 6- 30.12548（2）x22xy y277 = ( x y)2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：ma n n a m (a 0, m, n N * , n 1)m11 a n *, n 1)mn a m (a 0, m, n Na n0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的看法就从整数指数实行到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以实行到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（ 1）a r·a r a r s(a 0, r , s Q) ；（ 2）(a r)s a rs(a 0, r , s Q) ；（ 3）( ab)r a r a s(a 0,b 0, r Q ) ．无理指数幂：一般地，无理数指数幂 a (a 0,是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．关于根式的运算，简单的问题可以依照根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
指数函数精讲
指数函数精讲第一篇：指数函数精讲指数函数精讲（1）一、说教材（一）教材地位和作用《指数函数》是人教版高一数学必修1第二章第一节的内容。
指数函数”的教学共分两个课时完成。
第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，为今后进一步熟悉指数函数的性质和作用，进一步研究等比数列的性质打下坚实的基础，也为后面进一步学习对数函数的概念、图象及性质打下基础。
此外，指数函数的知识与我们日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系。
因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）教学目标：1、知识目标：掌握指数函数的概念，图像和性质2、能力目标：通过数形结合，利用图像来认识，掌握函数的性质，增强学生分析问题，解决问题的能力。
3、德育目标：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
(三)教学重点，难点和关键：1、重点：指数函数的定义、性质和图象2、难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数的性质。
3、关键：能正确描绘指数函数的图象（四）教学基本思路：在讲解指数函数的定义前，复习有关指数知识及简单运算，然后由实例引入指数函数的概念，因为手工绘图复杂且不够精确，并且是本节课的教学关键，教学中，我借助电脑手段，通过描点作图，观察图像，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出指数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。
二、说学法１、学情分析：学生数学基础，理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；同时学生学好数学的自信心不强，学习积极性不高。
2、学法指导：针对这种情况，在教学中，我注意面向全体，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。
人教高中数学A版必修1 指数函数 精讲精析
第二章 基本初等函数（I ）2·1 指数函数要点精讲2·1·1指数与指数幂的运算1. n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.2. 方根的性质（1）当n 为奇数时，n n a =a .（2）当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）)0(≥=a a a m n mpnp3. 幂的有关概念 （1）规定：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；n 个 ②)0(10≠=a a ；③∈=-p aap p (1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n . （2）性质：①r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）； ②r a aa sr s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；③∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）. （注）上述性质对r 、∈s R 均适用..4. 指数运算性质：（1）（） （2）（） （3）典型例题例1．求下列各式的值（1） .（2） .（3）.（4） .【解析】：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式例2. 求值【解析】：设设nm n ma a =1,,0*>∈>n N n m a 、n mn m a a 1=-1,,0*>∈>n N n m a 、R s r a b ∈>>、,0,0s r s r a a a +=⋅rs rs s r a a a )()(==r r r b a ab ⋅=)(s r s r a a a -=÷=+--+--414245.0081)21()4(5.7])43[(=--+-⋅------10223)2(22)31(3)21(=⋅----3438583213124434181)27()16()3(z y x y x z y x =+-⋅-+---+--------111122222222)()(b a ab b b a a b a b a b a b a 3316151=+-+=20743521141278-=⋅-=++--=zz y x y x z y x 4814811465216113121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---1)1()1(1)(222244224224+-⋅-+-+-+=b a b a b a b a b a b a 1)(11))(1(222222442222++-++-+-=b a b a b a b a b a b a 1112222=++=b a b a 3313251325-++B A =-=+3313251325B A x +=)(3333B A AB B A x +++=∴∴例3.，求值【解析】：原式2·1·2 指数函数及其性质1．指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数.a > ）1(02. 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.如与的图象：1033=+B A 352253-=-=AB x x 9103-=0)10)(1(2=++-x x x 1=x 3481-=x x x xx --+-++1111432)32)(32(4323481+=+-+=-=x 8)13(83244322+=+=+=x 4262213+=+=4264321-=-=-x xxx x xx x -+=--+-+-++=11)1()1(12)1()1(23624264261--+=+-+=y x=2y x=⎛⎝ ⎫⎭⎪123. 指数函数的图象和性质： a ＞10＜a ＜14. 指数函数的性质①定义域：R . ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.典型例题例1. 试研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.【解析】： 定义域为∴ ∴ 值域∴∴ 为奇函数例2. 求下列函数单调增区间（1）（2）【解析】：（1）∴ 在（） （2）在∴ 在例3. 在同一坐标系中，直线（） 与函数，，，依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四个点由上至下的顺序依次为（ ）A. A 、B 、C 、DB. D 、C 、B 、A)1(11)(>+-=a a a x f x x R x ∈121121)(+-=+-+==x x x a a a x f y R x ∈),0(+∞∈xa ),1(1+∞∈+x a )0,2(12-∈+-xa )1,1(-∈y )1,1(-↑+=t y 1↑-=k t 2↑+=1x a k ↑=)(x f y )(111111)(x f a a a a a a x f x x x x x x -=+--=+-=+-=---)(x f y =xy 32)32(-=2323--=x xy ↓=t y )32(x t 32-=↑+∞↓-∞),32()32,()(x f y =32,∞-↑↑=ty 3232--=x x t ↑+∞↓-∞),23()23,()(x f y =↑+∞),23(a x =0<a x y )31(=x y )21(=x y 2=xy 10=C. B 、C 、D 、AD. C 、D 、A 、B 【解析】：将四个函数的图像分别在同一坐标轴下画出: 由个各函数的图像观察可知本题选A例4.为奇函数（1）求（2）证明为R 上增函数【解析】：∴另解：代入检验为R 上 任取∴∴ 增函数例5. 设关于x 的方程∈=--+b b x x(0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解. 【解析】： （1）原方程为124+-=x x b ，11)12(22)2(24221-≥--=⨯-=-+x x x x x ，),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；（2）①当1-=b 时，12=x，∴方程有唯一解0=x ；1222)(+-+⋅=x xa a x f a )(x f )()(x f x f -=-]122[122+-+-=+-+-x x a a 212221222=+++⋅=xx x a 1=a 101122)0(=⇒=+-=a a f 1221+-=xy ↑21x x <0)12)(12(222122122)()(12211221<++-⋅=+-+=-x x x x x x x f x f )()(21x f x f <②当1->b 时，b b x x +±=⇒+=-1121)12(2 .b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=；令,0111011<<-⇒<+⇒>+-b b bb b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；综合①、②，得（1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=； （2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=。
高一指数函数知识点讲解
高一指数函数知识点讲解指数函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用和重要的理论基础。
在高一的学习中，学生们首次接触到指数函数，了解其基本概念、性质和运算规则，这些知识点对于深入理解指数函数的特性和应用都具有重要意义。
本文将从指数函数的定义、图像、性质和运算等方面，对高一指数函数的知识点进行详细讲解。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
一般形式为f(x)=a^x，其中a（a>0且a≠1）为底数，x为指数，f(x)为函数值。
指数函数的定义域为全体实数。
指数函数的特点在于底数为正数且不等于1。
当底数 a>1 时，随着指数 x 的增大，函数值 f(x) 增大；当 0<a<1 时，随着指数 x的增大，函数值 f(x) 减小。
二、指数函数的图像指数函数的图像形状与底数有关，但都具有经过一点(0,1)的特点。
当底数 a>1 时，图像上升；当 0<a<1 时，图像下降。
此外，底数的绝对值越大，图像越陡峭；底数的绝对值越接近于1，图像越平缓。
三、指数函数的性质1. 单调性：当底数 a>1 时，指数函数 f(x) 随着 x 的增大而增大；当 0<a<1 时，指数函数 f(x) 随着 x 的增大而减小。
2. 过点 (0,1)：所有指数函数图像都经过点 (0,1)，即 f(0)=1。
3. 没有零点：指数函数在定义域内没有零点，即函数值f(x) ≠ 0，除非 x 为无穷大时。
4. 无界性：当底数 a>1 时，指数函数 f(x) 随着 x 的增大或减小而趋于正无穷或负无穷；当 0<a<1 时，指数函数 f(x) 随着 x 的增大或减小而趋于0或无穷小。
四、指数函数的运算1. 同底数相乘：即 a^x * a^y = a^(x+y)。
当指数相加时，底数保持不变。
2. 同底数相除：即 a^x / a^y = a^(x-y)。
指数函数与对数函数(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)
专题十一指数函数与对数函数知识精讲一知识结构图二.学法指导1.正确区分na n与(na)n：(1)(na)n已暗含了na有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)na n中的a可以是全体实数，na n的值取决于n的奇偶性．2. 带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.3．指数幂运算的常用技巧（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.4.判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：(1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.5．求指数函数的解析式常用待定系数法．6.利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．7．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.8.性质alog a N＝N 与log a a b ＝b 的作用 (1)a log a N＝N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式．(2)log a a b ＝b 的作用在于能把以a 为底的指数转化为一个实数．9.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，底数不同时，利用换底公式把底数换成相同，再找真数间的联系． 10.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. 11.常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解；(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解.12.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．13．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．三.知识点贯通知识点1 根式运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n例题1.(1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________.(2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．【答案】(1)－1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.【解析】(1)∵x <0，∴|x |＝－x ，x 2＝|x |＝－x ，∴x ＋|x |＋x 2x ＝x －x －1＝－1.](2)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3<x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1<x <3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x ≤1，－4，1<x <3.知识点二 利用分数指数幂的运算性质化简求解1.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)2.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)3.幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈R )． (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈R )． 例题2：化简求值：知识点三 指数函数的概念1.一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 例题3 .已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. 【答案】19【解析】设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19知识点四 指数函数的性质及运用 1.指数函数的性质R例题4．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.【解析】(1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 例题5. 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1； (4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．【解析】(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y ＝1.5x 的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y ＝0.6x 的两个函数值，因为函数y ＝0.6x 在R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1.(4)当a >1时，y ＝a x 在R 上是增函数，故a 1.1>a 0.3； 当0<a <1时，y ＝a x 在R 上是减函数，故a 1.1<a 0.3. 知识点五 对数运算性质的应用 对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例题6.计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.【解析】 (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.知识点六 对数的换底公式1.若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .例题7.(1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．【解析】(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.(2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185. 又log 189＝a ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .知识点七 对数函数的概念1.函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 例题8.若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. 【解析】因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.知识点八 对数函数的图象与性质(0，＋∞)例题9.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例题10.比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.【解析】 (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.(2)法一(单调性法)：由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215，又因对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 且13>15，所以0>log 213>log 215， 所以1log 213<1log 215，所以log 132<log 152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y ＝log 13x 及y ＝log 15x 的图象，由图易知：log 132<log 152.(3)取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54， 所以log 23>log 54. 五 易错点分析易错一 指数幂运算中的条件求值例题11.已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【解析】(1)将a 12＋a －12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194. 误区警示已知条件求值时，注意把条件作为整体，找条件与所求结论的关系，根据关系利用合适的公式求解。
人教版高一数学课件-指数函数的概念、图象与性质
知22aa－－11>≠01，， 解得a>12，且a≠1， 所以实数a的取值范围是12，1
∪(1，＋∞)．]
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指数函数的图象的应用 【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下 列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
能根据指数函数的图象说明指数函 求法，培养逻辑推理素养.
数的性质．(重点)
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自主預習 探新知
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1．指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax (a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量， 函数的定义域是_R_.
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2．指数函数的图象和性质
a 的范围
aБайду номын сангаас1
图象
0＜a＜1
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(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
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(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1， 又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D. (2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的 图象过定点(3,4)．]
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【例 3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 1－3x； (2)y＝12x2－2x－3； (3)y＝4x＋2x＋1＋2. [思路点拨] 函数式有意义 ―→ 原函数的定义域 ―指的―数―值函―域数→ 原函数的值域
高一数学 指数函数 人教版 知识精讲
高一数学 指数函数 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：指数函数二. 重点、难点：【】 [例1] 试比较8.08.0=a ，8.09.02.1,8.0==c b 三者之间的大小关系。
解：由于指数函数x y 8.0=在R 上是减函数，则由9.08.0<，故9.08.08.08.0>在x y 8.0=中，当8.0=x 时，由08.0>，故18.08.0< 在x y 2.1=中，当8.0=x 时，由08.0>，故12.18.0>。
因此8.08.02.118.0<<，综上所述，有8.08.09.02.18.08.0<<[例2] 设10<<a ，1>>n m ，试确定a a n m n m a a ,,,的大小关系。
解：由10<<a ，故指数函数xa y =为减函数，又由1>>n m ，故1<<n m a a 。
由1>n ，则指数函数xn y =为增函数，又10<<a ，故1>a n ，同理1>a m 。
又由1)(>=a a a n m n m ，故aa n m >。
所以mn a a a a n m >>>>1。
[例3] 已知)1,0(1)1()(≠>+-=a a a a x x f xx ，试判定)(x f 的奇偶性。
解：显然)(x f 定义域为R 。
当0=x 时，0)0()()(===-f x f x f 当0≠x 时，0)(≠x f ，此时)1(11)1(1)1(1)1)(()()(-+⋅+--=+-+--=-----x x x x x x x x a x a a a x a a x a a x x f x f1)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(=-++--=-++--=----xx x x x x x x x x a a a a a a a a a a 即)()(x f x f =-所以，对任意)(),()(,x f x f x f R x =-∈为偶函数。
人教版高中数学指数函数课件详解1
x
R (0,+∞) (0,1)
1
o
x
(4)单调性：增函数
质 (5)奇偶性： 非奇非偶
(6)当x>0时，y>1.
当x<0时，0<y<1.
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>o时，0<y<1,
当x<0时，y>1.
人 教 版 高 中 数学指 数函数 课件详 解1【P PT教研 课件】
将下列各数从小到大排列： 人教版高中数学指数函数课件详解1【PPT教研课件】
（
2
1
－ ）
3
3
31 ，（ 5 ）2
2
，3 3
，（ 2 5
1
）2 ，（
3 2
2
）3
5
5
1
－
（6
）0，（－2）3，（
3
）
3
思
，
考
分析：将上面各数分类（1）小于0，（2）大于0而小于1， （3）等于1，（4）大于1。再分别比较大小。
人 教 版 高 中 数学指 数函数 课件详 解1【P PT教研 课件】
人 教 版 高 中 数学指 数函数 课件详 解1【P PT教研 课件】
小结
比较两个幂的形式的数大小 的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两 个幂的大小比较,可以利用指数函 数的单调性来判断.
人 教 版 高 中 数学指 数函数 课件详 解1【P PT教研 课件】
作
业
1. 教材P92习题 2. A T 4, 6.
3.2. B T 4
人 教 版 高 中 数学指 数函数 课件详 解1【P PT教研 课件】
人教高中数学必修一指数函数及其性质PPT精品课件
(指导学生对比y=ax与ab=N,找出它们的区别和联 系,从而熟记指数函数的形式,定义域和值域)
在 a b = N中,底数a不变,指数b变为x,幂N变为
y,得到指数函数 y a x.
a b = N中,保持一个量不变,其他两个量发生改
变,就可以得到一个函数, 想一想,你还能变出其他 函数吗?
思考1：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
例3 利用函数的性质，比较各题中值的大小.
(1)1.72.5与1.73
指数函数y 1.7x在R上底是数增指函数数都且不自同变的量2.5 3
1.72.5 1.73
指数幂比较大小：
(2)0.80.1与利0.用80函.2 数图像或中
化为同底
间变同量底进数行幂比比较较大小：
(3)22.6与41.5 构造指数函数，利用 函数单调性比较
数形结合、分类讨论、从特殊到一般
课堂小结
(1)回顾本节课的学习内容:指数函数的定义, 图象及其性质;
(2)中学阶段研究函数的方法:观察函数的图 象,从图象中直观地得到函数的性质;
课后作业 教材第59页 习题2.1(A组) 第5﹑6 题
曲线都过定点（0,1） 1
O1
关于y轴对称
x
y
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
1
0
1
y=ax (0<a<1)
1
0x
x
探究2-2 指数函数的性质
函数
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
指
数
图
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高中数学必修第一册人教A版4.2《指数函数的概念》名师课件
亡年数之间有怎样的关系？
设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么
=
1
2
1
5730
( ∈ 0, +∞ )
探究新知
= .
=
这两个解析式的情势有什么共同特征？
1.等式特点：
解析式是指数式的情势
分析 要求 0 , 1 , −3 的值，应先求出() = 的解析式，即先求的值.
解析
∵() = 经过点 3, ，∴ 3 = ，解得 = ,
∴() = .
∴ 0 =
= 1, 1 = =
， −3 =
−
=
典例讲授
A.8
B.16
C.32
D.64
归纳小结
定义：情势定义
指数函数的概念
系数
结构特征
底数
指数
作
业
P115练习：2、3
B、 =1
C、
)
解析
由指数函数的概念,得2 − 3 + 3 = 1,解得 =1或 =2.当 =1时,底数是1,不符合题意,
舍去；当 =2时,符合题意.
变式训练
2、若函数 = ( + 2) + 2 − ( > 0, 且 ≠ 1)是指数函数,
则 =_____, =______.
解析
根据指数函数的定义,得ቊ
+2=1
= −1
,解得ቄ
.
2− =0
人教A版高中数学必修一《4.2.1指数函数的概念》精品课件(30页)
模型.
(一)教材梳理填空 一般地，函数 y＝ax(a＞0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R，a是指数函数的底数． [微思考] 为什么规定指数函数y＝ax的底数大于0且不等于1?
提示：(1)如果 a＝0，当当xx＞≤00时时，，aaxx恒无等意于义0. ； (2)如果 a＜0，如 y＝(－4)x，当 x＝14，12时，在实数范围内函数值不存在． (3)如果 a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免 上述各种情况，所以规定 a>0 且 a≠1.
[典例1] 给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；
④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量 x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数， 故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
解析：从2010到2020年一共增长了10次．
答案：C
4．若指数函数 f(x)的图象经过点(2,16)，则 f－12＝________.
解析：设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，由于其图象经过点(2,16)，
所以 a2＝16，解得 a＝4 或 a＝－4(舍去)，
因此
f(x)＝4x，故
f－12＝4
(2)若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)的解析式及 f(－1)的值．
[解析] (1)指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14，可 得 a－2＝14，解得 a＝2，函数的解析式为 y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
高一指数函数整理知识点
高一指数函数整理知识点1. 指数函数的定义和性质- 指数函数的定义：指数函数是形如 f(x) = a^x 的函数，其中a 是一个实数且 a > 0，a ≠ 1，x 是实数变量。
- 指数函数的基本性质：- 当 a > 1 时，指数函数是递增的，图像从左下方向右上方延伸；- 当 0 < a < 1 时，指数函数是递减的，图像从左上方向右下方延伸；- 指数函数的图像都经过点 (0, 1)，因为 a^0 = 1；- 指数函数在定义域内的值都是正数。
2. 指数函数的图像和特殊函数- 幂函数：指数函数中 a 为正整数时，被称为幂函数。
幂函数的图像是一条通过点 (0, 1) 的递增曲线。
- 指数函数的特殊情况：- 当 a = e （自然对数的底）时，指数函数称为自然指数函数，用符号 y = e^x 表示。
自然指数函数在数学和科学中具有重要的应用。
- 当 a = 2 时，指数函数称为二次函数，用符号 y = 2^x 表示。
二次函数是一种特殊的指数函数。
3. 指数函数的图像变化- 缩放变化：当 a > 1 时，指数函数的图像在 x 轴方向上收缩；当 0 < a < 1 时，指数函数的图像在 x 轴方向上拉伸。
- 平移变化：加入常数 d 时，指数函数的图像在 y 轴方向上平移 d 个单位，表示为 f(x) = a^x + d。
- 反转变化：若 a < 1，则指数函数的图像关于 y = 0 轴对称。
4. 指数函数的求导- 求导规则：对于指数函数 f(x) = a^x，其导数为 f'(x) = (ln a)* a^x。
- 导数性质：指数函数的导数是它自身的实数倍数，并且导数大于零，说明指数函数是递增的。
5. 指数函数的应用- 复利问题：指数函数常常用于解决与复利计算相关的问题。
复利公式为 A = P(1 + r/n)^(nt)，其中 A 是最终金额，P 是本金，r是年利率，n 是计息次数，t 是时间。
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高一数学指数函数人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：指数函数二. 重点、难点：[例1] 试比较8.08.0=a ，8.09.02.1,8.0==c b 三者之间的大小关系。
解：由于指数函数xy 8.0=在R 上是减函数，则由9.08.0<，故9.08.08.08.0> 在xy 8.0=中，当8.0=x 时，由08.0>，故18.08.0< 在xy 2.1=中，当8.0=x 时，由08.0>，故12.18.0>。
因此8.08.02.118.0<<，综上所述，有8.08.09.02.18.08.0<<[例2] 设10<<a ，1>>n m ，试确定aa n m n m a a ,,,的大小关系。
解：由10<<a ，故指数函数x a y =为减函数，又由1>>n m ，故1<<nm a a 。
由1>n ，则指数函数x n y =为增函数，又10<<a ，故1>a n ，同理1>am 。
又由1)(>=a a a n m n m ，故aa n m >。
所以mn a a a a n m >>>>1。
[例3] 已知)1,0(1)1()(≠>+-=a a a a x x f x x ，试判定)(x f 的奇偶性。
解：显然)(x f 定义域为R 。
当0=x 时，0)0()()(===-f x f x f 当0≠x 时，0)(≠x f ，此时)1(11)1(1)1(1)1)(()()(-+⋅+--=+-+--=-----x x x x x x x x a x a a a x a a x a a x x f x f1)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(=-++--=-++--=----xx x x x x x x x x a a a a a a a a a a 即)()(x f x f =-所以，对任意)(),()(,x f x f x f R x =-∈为偶函数。
[例4] （91全国高考文科）设0>a ，1≠a ，解关于x 不等式224)1(2a x x aa>- 解：原不等式⇔2242a x x a a-->（1）当10<<a 时，上式02224<+-⇔a x x 2221111a x a -+<<--⇔2222111111||11a x a a x a -+<<--⇔-+<<--⇔或221111a x a ---<<-+-（2）当1>a 时，原不等式022224224>+-⇔->-⇔a x x a x x由0)1(44422<-=-=∆a a ，故此式对任意R x ∈均成立，所以解集),(∞+-∞∈x综上，原不等式解集为：当10<<a 时，)11,11()11,11(2222a a a a x ----+-⋃-+--∈；当1>a 时，),(∞+-∞∈x 。
[例5] 已知函数)(2)(2xx a a a a x f ---=，其中1,0≠>a a ，是R 上的增函数，求a 的取值范围。
解：设R x x ∈21,，且21x x <，则)(2)(2)()(11222212x x x x a a a a a a a a x f x f -------=- )]()[(2221122x x x x a a a a a ---+--=)](1)[(221221122x x x x x x a a a a a a a -+--= )11)((2221122x x x x aa a a a +--= 由011,021>+>x x a a a ，且)(x f 为增函数，故a 应满足0))(2(122>--x x a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧>->-002122x x a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧<-<-002122x x a a a 则2>a 或10<<a 。
[例6] 设)2()(,111)(||x f x g x x f =-+=。
（1）写出函数)(x f 与)(x g 的定义域。
（2）函数)(x f 与)(x g 是否具有奇偶性，并说明理由。
（3）求出函数)(x g 的单调递减区间。
解：（1）因1≠x ，故)(x f 定义域为),1()1,(∞+⋃-∞。
因012||≠-x ，故0≠x ，)(x g 定义域为),0()0,(∞+⋃-∞。
（2）因)(x f 的定义域不关于原点对称，故函数)(x f 为非奇非偶函数。
因)()2()2()(||||x g f f x g x x ===--，故函数)(x g 为偶函数。
（3）设),0(,21∞+∈x x ，且21x x <，由于)2()2()()(||||1212x x f f x g x g -=-)12)(12(22121121122112---=---=x x x x x x 由211222,012,012xx x x <>->-，故0)()(12<-x g x g ，即函数)(x g 在),0(∞+上是减函数，又由)(x g 为偶函数，则)(x g 在（0,∞-）上为增函数。
（3）还可利用复合函数单调性结论来解，令111)(-+=u u f ，tt u u 2)(==，)(x t t =，则，列表如下：故【模拟试题】 一. 选择题：1. 如图，指数函数（1）xa y =；（2）xb y =；（3）xc y =；（4）xd y =的图象，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）)与)(xc f 的大，0），则)(x fA. 43)(+=xx f B. 34)(+=xx f C. 52)(+=xx fD. 25)(+=xx f二. 填空题： 1. 函数)22(244x x x xy --+-+=的最小值为 。
2. 函数12212+-+=x x y 的单调递减区间为 。
3. 已知函数3234+⋅-=xx y 的值域为[1，7]，则定义域为 。
三. 解答题： 1. 已知1),(21)(>+=-a a a x f x x，1)(2-+=x x x g ，试求函数)]([x f g y =，并讨论它的奇偶性。
2. 已知函数5213222)21()(,)21()(-++-==x x x x x g x f ，（1）求使)()(x g x f >成立的x 值；（2）求使)(x f 、)(x g 均为增函数的单调区间； （3）求)(x f 和)(x g 的值域。
试题答案一. 选择题： 1. B 2. A 3. B二. 填空题： 1. 2- 2. )0,(-∞ 3. ]2,1[]1,(⋃-∞三. 解答题： 1. 解：由1)(,1),(21)(2-+=>+=-x x x g a a a x f x x，则 1)]([)()]([2-+=x f x f x f g1)](21[)(212-+++=--x x x x a a a a 2)](21[)(21x x x x a a a a ---++=||21)(21x x x x a a a a ---++= 由1>a ，当0≥x 时，x x x x x xxa a a a a x f g a a =-++=≥---)(21)(21)]([, 当0<x 时，xx x x x x x a a a a a x f g a a ----=--+=<)(21)(21)]([,故⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0,0,)]([x a x a x f g x x当0>x 时，0<-x ，)]([)]([)(x f g a a x f g x x ===--- 当0<x 时，0>-x ，)]([)]([x f g a x f g x==--当0=x 时，)]([1)]([0x f g a x f g ===-综上，对R x ∈内的任意x ，有)]([)]([x f g x f g =-，故)]([x f g 为偶函数。
2. 解：（1）由5213222)21()21(-++->x x x x 5213222-+<+-⇔x x x x 0652<+-⇔x x 32<<⇔x ，即)()(x g x f >的解集为（2，3）（2）1322+-=x x y 的减区间为]43,(-∞；522-+=x x y 的减区间为]1,(--∞，而xy )21(=为减函数，故使)(),(x g x f 均为增函数的单调区间为]1,(--∞。
（3）由8181)43(213222-≥--=+-=x x x y66)1(5222-≥-+=-+=x x x y故81811322)21()21()(2=≤=-+-x x x f 所以)(x f 值域为]2,0(8166522)21()21()(2=≤=--+x x x g所以)(x g 值域为]2,0(6。