垂径定理学案

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九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计

3.培养学生克服困难的意志，使其在面对挑战时保持积极向上的心态。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。

垂径定理（共21张PPT）学案

3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。

已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。

二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。

1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案：当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。

初中垂径定理的应用教案

初中垂径定理的应用教案教学目标：1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。

2. 能够运用垂径定理解决实际问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 垂径定理的理解和应用。

2. 培养学生的解决问题的能力。

教学难点：1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示垂径定理的定义和图像。

2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用垂径定理。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本概念，如圆、半径、弦、直径等。

2. 提问：你们认为圆有什么特殊的性质吗？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍垂径定理的定义和图像，解释垂径定理的意义。

2. 通过示例，演示如何应用垂径定理解决实际问题。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。

2. 引导学生分组讨论，互相解答疑问。

四、总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。

2. 提问：你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗？五、课后作业（5分钟）1. 布置一些应用垂径定理的实际问题，让学生回家练习。

教学反思：本节课通过讲解垂径定理的定义和图像，引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。

通过课堂练习和分组讨论，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

在教学过程中，要注意引导学生正确应用垂径定理，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

同时，教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学方法，以提高教学效果。

高中数学垂径定理教案

高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。

2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。

3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。

二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。

2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。

三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。

2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。

3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。

四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。

2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。

3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。

4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。

5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。

五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。

2. 预习下节课内容，做好相关准备。

六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。

2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。

3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。

七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。

2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。

以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。

祝教学顺利！。

垂径定理导学案

垂径定理导学案第页姓名：一、定理推导1、思考：在圆里怎么平分一条弦，一条弧2、垂径定理条件：，结论：3、垂径定理推论条件：，结论：二、典型问题例题1、基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.A BD CE OOA EF例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.三、作业 1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图7－8，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则下面结论中错误的是（）．A ．CE ＝DEB ．＝C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC ＞AD图7－8 图7－9 图7－10 图7－113．如图7－9，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是（）．A ．6cm B ． 53cm C ．8cm D ．35cm4．如图7－10，⊙O 内接△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCD ，D 是⊙O 上的一点，则下列结论：①CD 是⊙O 直径；②CD 平分弦AB ；③＝；④＝；⑤CD ⊥AB ，其中正确的有（）．A ．3个 B ．4个 C ．5个D ．2个 5．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是（）．A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．4cm6．圆的半径为2cm ，圆中的一条弦的长为32cm ，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（）．A ．1cmB ．3cmC ．3cmD ．32cm7．在下列说法中，①垂直平分弦的直线经过圆心；②直径垂直平分弦；③平行弦所夹的两条弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．⊙O 的半径为12cm ，弦AB 为8cm ，则圆心到弦的距离是________．9．在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝10cm ，则∠AOB 的度数是________．10．⊙O 的半径为8cm ，弦AB 中点到所对劣弧中点距离为4cm ，则弦AB 的长为_______，∠OAB 的度数是______．11．⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC 于D ，则AB ＝_______，∠AOB ＝_____．12．⊙O 的半径为65cm ，弦AB ＝310cm ，则弦AB 所对圆心角∠AOB ＝________．13．⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，且AB 把CD 分成4cm 和6cm 两部分，则圆心O 到弦AB 的距离是________，弦AB 的长为________．14．⊙O 中，直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，MN ＝10，AB ＝8，则MC ＝________．15．如图7－11，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若AD ＝5cm ，AB ＝8cm ，则⊙O 的半径是________．16．如图7－12，在⊙O 中，AB 是弦，∠AOB ＝120°，OA ＝5cm ，则圆心O 到AB 的距离是________cm ，弦AB 的长是________cm ．图7－12 图7－13 图7－1517．如图7－13，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝14cm ，CE ＝8cm ，则弦AB ＝________cm ，BC ＝________cm ．20．如图7－15，⊙O 半径为5cm ，AB 和CD 是两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离．21．如图7－16，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝15cm ，OE ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长和AC 的长．图7－1622．如图7－17，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且圆心O 到AB 的距离OE ＝5cm ，大圆半径OA ＝13cm ，小圆半径为41cm ，求CD 、AC 的长．图7－1724．如图7－18，⊙O 的半径为7cm ，弦AB 的长为64cm ，则由与弦AB 组成的弓形的高CD 等于________cm ．25．在⊙O 中，半径OC 为R ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长和∠AOB 的度数为（）．A ．R AB 23=，∠AOB ＝60° B ．R AB 23=，∠AOB ＝120° C ．R AB 3=，∠AOB ＝120° D ．AB ＝2R ，∠AOB ＝120°图7－1826．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交成30°角，且将直径分成1cm 和5cm 的两条线段，则圆心O 到弦CD 的距离为（）．A ．0.5cm B ．1cm C ．2cm D ．3cm27．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到这两条弦的距离分别是3cm 和4cm ，则这两条弦的长度分别是（）．A ．5cm 和10cm B ．6cm 和8cm C ．8cm 和12cmD ．6cm 和9cm28．⊙O 的半径为20cm ，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，则△AOB 的面积是（）．A ．2cm 325B ．2cm 350C ．2cm 3100 D ．2cm 3200 29．⊙O 的半径为5，P 为⊙O 内一点，OP ＝3，则经过点P 的最短的弦与最长的弦的长度的比是（）．A ．2∶5B ．3∶5C ．4∶5D ．3∶10。

27.1.2 第2课时垂径定理华师版九年级数学下册学案

27.2 圆的对称性2.圆的对称性第2课时垂径定理学习目标：1.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）2.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）自主学习一、知识链接1.圆是_____对称图形，它的对称轴是____________________________.2.如图，OA=_______,△OAB是_____三角形；若OD⊥AB，则AE=______,∠AOD=______,∴=_______.二、新知预习（预习课本P39-40）填空并完成练习：(1)垂径定理：垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径______弦，并且_________弦所对的弧.(3)平分弧的直径__________这条弧所对的弦.练习：合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做 1.剪一张圆纸片，任意画一条直径CD后，再画一条垂直于CD的弦AB，垂足为E.将纸片沿着直径CD对折，对比AE和BE，和，和，你有什么发现？请证明你的结论.【要点归纳】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，，.想一想下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）（2）（3）（4）归纳总结：垂径定理的几个基本图形【典例精析】例1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm.【针对训练】如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于点D，DC＝2cm，求半径OC的长.【方法归纳】运用垂径定理求线段长度时，常用做辅助线的方法如下：①连结半径；②过圆心作弦的弦心距；③作垂直于弦的直径，为应用垂径定理创造条件.思考探索如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？命题1 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.(1) CD⊥AB吗？为什么？(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?【要点归纳】垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.命题2 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使D为的中点.(1) CD⊥AB吗？请说明理由；(2) AE=BE吗？请说明理由.【要点归纳】垂径定理的推论——平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.【典例精析】例2 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.方法一：证明：作直径MN⊥AB.方法二：证明：取的中点M，连结OM.度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径．【针对训练】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD=10，EM=25．求⊙O的半径．【方法归纳】在圆中涉及弦长a，半径r，弦心距(圆心到弦的距离)d，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、课堂小结内容垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论(“知二推三”).辅助线两条辅助线：半径，弦心距.垂径定理基本图形及变式图形构造直角三角形利用勾股定理直接计算或建立方程求解.当堂检测1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则OE=____cm.第1题图第2题图第3题图2.如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于_____mm.3.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为________.4.如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的直径为5，BC=4，求AB的长.5.如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP=2，CD=8，求⊙O的半径.6.如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．参考答案自主学习一、知识链接1.轴直径所在的直线2.OB等腰BE∠BOD二、新知预习（1）平分平分（2）垂直于平分（3）垂直平分练习：（1）12 5 （2）12 24 （3）13合作探究一、要点探究探究点1：垂径定理及其推论做一做：1.AE=BE，，证明如下：∵OA=OB，OD⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD，∴.∵，∴，∴.想一想：解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心.【典例精析】例1 16【针对训练】解: 连结OA，∵CE⊥AB于点D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5cm.即半径OC的长为5cm.思考探索命题1 解：（1）CD⊥AB. 连结AO、BO，则AO=BO，又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得= ，= .命题2 解：（1）CD⊥AB，理由如下：∵D为的中点，∴，∴∠AOB=∠BOD.即OD平分∠AOB.∵OA=OB，∴OD⊥AB，即CD⊥AB.（2）AE=BE.理由如下：由（1）知OA=OB，OD⊥AB，则AE=BE.【典例精析】则（垂，∴∴.方法二：证明：取的中点M，连结OM.∴OM⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴，∴∴.径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连结OA OD．根据垂径定理，得AD=6，设圆的半径是r，则OD=r-4.根据勾股定理，得r2=36+（r-4）2，解得r=6.5，答：拱桥的半径是6.5米．【针对训练】解：连结OC，∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥CD．∴CM=MD．∵CD=10，∴CM=5．设OC=x，则OM=25-x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52+（25-x）2=x2．解得x=13．∴⊙O的半径为13．当堂检测1. 32. 53. 24.解：连结OB，∵AO⊥BC，垂足为D，BC=4，∴BD=CD=2，∠BDO=90°.由勾股定理得OD=，∴AD=OA+OD=4.在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=5.解：（1）画出弦CD，如图．依据：垂直于弦的直径平分弦．（2）如图，连结OD，∵OA⊥CD于点P，AB是⊙O的直径，∴PD=CD.∵CD=8，∴PD=4．设⊙O的半径为r，则OD=r，OP=OA-AP=r-2，在Rt△ODP中，OD2=OP2+PD2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5，即⊙O的半径为5．6.解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，OD的延长线交⊙O 于点E，则AD=BD=AB=×10=5（cm）.∵最深地方的高度是3cm，∴OD=r-3，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=52+（r-3）2，解得r=cm，∴输水管的半径为cm．。

垂径定理初中教案

垂径定理初中教案1. 知识与技能：通过观察、实验和证明，使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题。

2. 过程与方法：经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

3. 情感态度价值观：培养学生类比分析、猜想探索的能力，通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

二、教学重难点1. 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理。

2. 教学难点：垂径定理的证明。

三、教学过程1. 导入：回顾轴对称图形的概念和性质，引出圆也是轴对称图形，并提问：圆的轴对称性有哪些应用？2. 探索：让学生分组进行实验，观察和记录圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现垂径定理。

3. 证明：引导学生运用已学的三角形全等的知识，证明垂径定理。

在此过程中，教师应给予学生适当的提示和引导，帮助学生完成证明。

4. 应用：让学生运用垂径定理解决一些有关的证明与计算问题，巩固所学知识。

四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现垂径定理。

2. 利用分组实验，让学生亲身体验和观察圆的轴对称性，增强学生的实践能力。

3. 在证明过程中，引导学生运用已学的三角形全等的知识，培养学生的逻辑思维能力。

4. 设计一些有关的证明与计算问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

五、教学评价1. 课堂讲解：关注学生的参与度和理解程度，观察学生在探索和证明过程中的表现。

2. 课后作业：布置一些有关的证明与计算问题，检验学生对垂径定理的掌握程度。

3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，共同提高。

六、教学反思本节课通过观察、实验和证明，使学生掌握了垂径定理，并能够运用它解决有关的证明与计算问题。

在教学过程中，注重了学生的参与和实践，培养了学生的逻辑思维能力和应用能力。

同时，通过问题驱动的教学方法，激发了学生的学习兴趣和探索精神。

24.1.2-垂径定理(学案1)

永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。

学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。

沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。

③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。

垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。

四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。

请用符号语言描述垂径定理及其推论。

A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。

初中数学垂径定理精品学案

垂径定理（1）班级姓名【学习目标】：1．探索圆的轴对称性；2．掌握垂径定理并会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．【学习过程】一、探索圆的轴对称性1．用什么方法可以验证圆是一个轴对称图形？2．圆的对称轴是，有条．Array二、探索垂径定理3．依照P76的“合作学习”进行操作，然后回答：（1）叫做相等的圆弧；（2）相等的圆弧是、．（3）叫做这条弧的中点；⌒的中点，D是的中点．（4）在上图中，是AB4．垂径定理：5．用数学语言表示“垂径定理”：CD是⊙O的直径，AB⊥CD ，，．6．请证明垂径定理中的EA＝EB．已知：，．求证：EA＝EB．证明：三、理解例题7．已知AB⌒ （1）用直尺和圆规求这条弧的中点．（2）用直尺和圆规求这条弧的四等分点．（保留作图痕迹，不写作法）．8．如图，在半径为5的⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为M ，若OM ＝3，求CD 的长．四、弦心距9．到距离．．叫做弦心距． 10．请在右边图中分别画出弦AB 、CD 的弦心距OM 、ON ． 11．在右图中，若AB ＝CD ，则OM 与ON 的大小有什么关系？五、练习巩固1．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝2，求AB 的长．2．下列命题：①圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ②一个圆只有一条最长的弦；BB③垂直于一条弦的直径必平分这条弦所对的两条弧；④圆的对称轴有无数条．是真命题的是（填序号）．3．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝30°．求：（1）CD的弦心距；（2）弦CD的长．4．如图，已知以等腰△ABC的顶点A为圆心，交BC所在直线于D，E两点．求证：DB＝CE．5．已知：如图在⊙O中，弦AB//CD．求证：六、总结CADOBECAD B E找出垂径定理和等腰三角形三线合一的相同点（1）两者都是轴对称图形；（2）垂径定理：由弦的直径得到弦，并且弦所对的弧；等腰三角形：由底边上的高可以得到平分底边，并且平分顶角．（3）画半径或画弦心距，构造三角形，用勾股定理计算．。

16 垂径定理满分冲刺学案（学生版）

垂直于弦的直径【经典例题】知识点一利用垂径定理证明某些结论【例1】如图，△OAB 中，OA ＝OB ，以O 为圆心的圆交BC 于点C ，D 。

求证：AC ＝BD ．【分析】过O 作OE ⊥AB 于E ，则OE 满足垂径定理，并且OE 是等腰三角形底边上的高线，满足三线合一定理就可以得到．【解答】证明：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，∵OA ＝OB ，OE ⊥AB 于E ∴AE ＝BE又∵CD 是⊙O 的弦，OE ⊥CD ∴CE ＝DE∴AE －CE ＝BE －DE 即AC ＝BD ．知识点二运用垂径定理求涉及弦、半径、弦心距有关线段的长【例2】如图，已知AD 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，AE＝BC ＝16，试求DE 的长．【分析】连接OB ，根据垂径定理求出BE ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB ，设OB ＝OA ＝，则OE ＝16－R ，∵AD ⊥BC ，BC ＝16， ∴∠OEB ＝90°，BE ＝21BC ＝8，由勾股定理得：222BE OE OB ＋＝()222816＋－＝R R解得：R=10，∴OE ＝16-10＝6，∴DE ＝OD －OE ＝10－6＝4．知识点三垂径定理应用图形及圆心位置不确定的分类讨论【例3】已知，在半径为13的⊙O中，弦AB的长为24．（Ⅰ）如图，求点O到AB的距离；（Ⅱ）在⊙O中，弦MN的长为10，且MN∥AB，求MN与AB之间的距离【分析】（I）如图1，作辅助线；首先求出BC的长度；直接运用勾股定理求出OC的长度，即可解决问题．（II）分两种情况进行讨论：①弦AB和MN在圆心同侧；②弦AB和MN在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：（I）如图1，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C；则AC＝BC＝12；由勾股定理得：OC2＝OB2－BC2而OB＝13，BC＝12，∴OC＝5，则点O到AB的距离是5；（II）分两种情况进行讨论：①当弦AB和MN在圆心同侧时，如图2，∵AB＝24cm，MN＝10cm，∴AE＝12cm，MF＝5cm，∵OA＝OM＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF－OE＝12－5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图3，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，MF＝5cm，∵OA＝OM＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝12＋5＝17cm；∴AB与MN之间的距离为7cm或17cm．知识点四垂径定理的实际应用【例4】如图：水平放置的圆柱形排水管道内，水面的宽度AB ＝36cm ，水面的最大深度为3cm ，求排水管道截面圆形的半径．【分析】过O 作OC 垂直于AB ，利用垂径定理得到C 为AB 的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与水面宽度求出OA 的长．【解答】解：过O 作OC ⊥AB ，交AB 于点C ，可得出AC ＝BC ＝21AB=33cm ，水面的最大深度为3cm ，则OC ＝(OA －3)cm在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：222OA AC OC ＝＋即()22273OA OA ＝＋－解得AO ＝6cm ，答：排水管道截面圆形的半径6cm知识点五垂径定理在综合探究中的应用【例5】如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC 为8m ，宽AB 为1m ，该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），若现有一辆货运卡车高4m ，宽2.3m ．则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由．【分析】利用勾股定理求得EG ，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可．【解答】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下：根据题意可知，如图，在AD 上取G ，使OG ＝2.3m ，过G 作EG ⊥BC 于F 反向延长交半圆于点E ，则GF ＝AB ＝1m ，圆的半径OE ＝21AD ＝21×8＝4m ，在Rt △OEG 中，由勾股定理，得371.103.242222＞＝－＝－＝OG OE EG 所以点E 到BC 的距离为413171.10＝＋＞＋＝EF 故货车可以通过该隧道．【知识巩固】1. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ．若OC ＝3，则弦AB 的长为（）A．4 B．6 C．8 D．102. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )2 C. 6 D. 8A.7B. 73. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．54. 如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5. 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为（）A．6.5米B．9米C．13米D．15米【培优特训】6. 如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A＝28°，则∠D＝__________7. 在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为___________8. 已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC 的长为____________9. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF．（1）求证：BF⊥AF；（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．【中考链接】11.（2017•广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 12.（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝( )A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm13.（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为___________。

垂径定理学案

BACOM 3.2.1圆的对称性（垂径定理）课标转述：1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。

2、理解圆的对称性及相关性质。

3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

学习目标１、知道圆是轴对称图形．２、能说出弧、弦、直径等和圆有关的定义，并能说出他们之间的区别和联系． 3、能背诵垂径定理的的内容，并会对垂径定理进行推导证明．4、能熟练运用垂径定理解决有关弦、弧以及半径之间的证明和计算问题．学习过程一、自学教材96—98页，弄懂下列问题： 1、（回忆）：点与圆有哪几种位置关系？2、什么是圆？圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？3、快速填空弧：弦：直径：优弧：，如右图，记作：劣弧：，如右图，记作：弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

4、垂径定理的的内容是什么？（背诵）二、探究一：研究圆的对称性，完成“目标一”1、你是用什么方法解决上面第2个问题的？与同伴交流并在班里展示结论：圆是图形，对称轴是．针对训练：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）注意：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．三、探究二：牢记与圆有关的定义，并能区分它们之间的区别和联系，完成“目标二”：根据弧、弦、直径的定义，讨论以下问题 1）直径和弦的关系是什么？ 2）半圆和弧的关系是什么？ 3）半圆是优弧吗？是劣弧吗？结论：；；；四、探究三：牢记并证明垂径定理，完成“目标三” 如图：1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？你能用所学过的几何知识进行证明吗？先在小组内交流，然后在班级展示。

垂径定理（文字语言）：。

垂径定理（几何语言）：五、例题讲解，完成“目标四” 【例1】自学课本P99例1【例2】已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．解：小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．六、当堂训练1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．2．如下左图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（） A ．3 B ．6cm C ． cm D ．9cm注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦。

垂径定理学案

垂径定理学案姓名：一、基本知识：1.垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的 .2.推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 .3.以下五个论断，以其中的两个为条件，其余三个为结论能组成几个正确的命题？①CD是直径②CD⊥AB，垂足为H③AH=BH④弧AC=弧BC⑤弧AD=弧BD4.半径、弦心距、弦长三者，只要知道其中的两个量就能求第三个量.二、例题：例题1：如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆与CD两点，求证：AC=BD练习：1.如图AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若OA=10，AB=16，则弦心距OC的长是 .2. 如图⊙O中直径AB⊥CD，垂足为E，，AB=10,CD=6,则BE= .3.在⊙O内有一点M，过点M 最长的弦是10，最短的弦是8，则OM= .4.已知⊙O的弦AB长8cm，弦心距是3cm，则此圆的直径是 .5. 已知：在⊙O中,半径为5cm,AB,CD是两条弦.且AB∥CD,6CD cm.==AB cm,8求弦AB ,CD 之间的距离.6. 已知如图直径AB ⊥CD,垂足为点E ，(1)若半径R=2,AB=32,则OE= ；DE= .（2）若半径R=2, OE=1；则AB= ,DE= .7. 如图弓形的弦AB=6cm ，弓形的高是1cm ，求其所在圆的半径.8.某机械传动装置在静止时如图所示，连杆PB 与B 的运动所形成的⊙O 交于点A ，测量得PA=4cm ，AB=5cm ，⊙O 的半径是4.5cm ，求点P 到圆心O 的距离.9. 在⊙O 中,AB 为弦,AB OC ⊥于点C ,交⊙O 于点D ，若5=AO ,2=CD ,则弦AB 的长为（）A .4B .6C .8D .1010.如图,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,则四边形OACB （）A .是正方形B .是长方形C .是菱形D .以上答案都不对11.若圆的半径3,圆中一条弦为52,则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为 .12.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且BF AE =.求证：OF OE =.13.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是mm. 14.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m. 第10题图O C BA B A 8mm 第13题图第14题图O15.圆中一弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦长为________．16.已知：如图, ⊙O的直径CD垂直弦AB于P, 且PA=4cm, PD=2cm．求：⊙O的半径长．17.设P为半径6cm的圆内的一点,它到圆心的距离为3．6cm,则经过点P的最短弦的长度是_________．A．4.8cm B．7.2cm C．6.4cm D．9.6cm18.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB是60°，那么弦AB的弦心距是19.如图△ABC内接于⊙O, 且AB=AC, ⊙O半径等于6cm, O点到BC距离2cm, 则AB的长=_______．20.如图，已知：⊙O中，弦AB与弦CD互相垂直，垂足为E，又AE=3，EB=7，求O点到CD的距离．21.已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于H，A H=4，B H=6，C H=3，D H=8．求：⊙O的半径．22.如图, ⊙O的半径为5, P是⊙O外一点, PO=8, ∠OPA=30°求AB, PB的长．。

浙教版九年级数学上册 3.3 垂径定理教学设计 (2课时)

浙教版九年级数学上册 3.3 垂径定理教学设计 (2课时)
一、教学目标
1.理解什么是垂径定理；
2.掌握垂径定理的应用方法和解题思路；
3.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

二、教学内容
1.垂径定理的概念介绍；
2.垂径定理的常见应用。

三、教学过程
1. 导入 (5分钟)
教师出示一个图形，让学生观察图形并回答以下问题：
•这个图形有哪些特点？
•你能发现图形中有哪些直线？
•你能找出与某个直线相交的直线吗？
通过学生的回答，引导他们思考直线相交的性质，并引入垂径定理。

2. 讲解垂径定理的概念 (15分钟)
•通过示意图，讲解垂径的定义和性质；
•提示学生思考垂径的特点，并引导他们总结出垂径定理的基本内容。

3. 案例分析与解决 (40分钟)
•给出具体案例，让学生分析并解答相关问题；
•引导学生从图形角度、纵横坐标等不同角度入手思考问题，培养他们的分析能力；
•鼓励学生积极讨论，与同学合作解题；
4. 拓展应用 (35分钟)
•提供一些其他类型的垂径问题，让学生运用垂径定理解决；
•引导学生思考如何利用垂径定理解决更复杂的几何问题；
•鼓励学生提出自己的问题，并尝试解决。

四、教学反思
本节课使用了案例分析和问题导向的教学方法，帮助学生深入理解垂径定理的概念和应用。

在教学设计中，通过鼓励学生思考、讨论和合作解题，培养了他们的逻辑思维和分析问题的能力。

同时，通过拓展应用部分的设计，引导学生思考如何运用垂径定理解决更复杂的几何问题，激发了学生的求知欲和探究兴趣。

垂径定理教学设计(共19篇)

垂径定理教学设计〔共19篇〕篇1：垂径定理教学反思垂径定理教学反思本节课的教学目的是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。

垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要根据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比拟，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。

这节课我通过七个环节来完本钱节课的教学目的，采用了类比，启发等教学方法。

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

这点学生理解的很好。

根据这个性质先按课本进展合作学习1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探究的根底上，得出结论：〔先介绍弧相等的概念〕①EA=EB；②AC=BC，AD=BD.理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。

垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB〔OC⊥AB〕∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由根底到进步，层层深化，学生很有兴趣。

做完题目后总计解题的主要方法：〔1〕画弦心距是圆中常见的辅助线；〔2〕半径〔r〕、半弦、弦心距〔d〕组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长本节课缺乏之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。

《垂径定理》优秀学案

《垂径定理》学案
【挑战第一关】：
下列图形是否具备垂径定理的条件？
【探究3】：
五个元素：①过圆心（直径或直径的一部分）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论吗？
追问：你可以写出相应的命题吗?
【挑战第二关】：
如右图，半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是。

【挑战第三关】：
已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是.
【问题解决】：
解决求赵州桥拱半径的问题：
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．。

垂径定理教案

垂径定理教案垂径定理是初中数学重要的一条几何定理，它涉及到了线段、直线、垂直关系等多个概念。

下面是一个关于垂径定理的教案。

教学目标：1. 理解垂线和半径的概念；2. 掌握垂径定理的内容和应用方法；3. 能够用垂径定理解决实际问题。

教学重点：1. 垂线和半径的概念；2. 垂径定理的理解和应用。

教学准备：1. 教师准备黑板、粉笔、直尺等教学工具；2. 学生预习垂径定理的概念和原理。

教学过程：一、导入（5分钟）教师出示一张圆形图案的图片，问学生对圆有什么了解？引导学生讨论圆的特征和性质。

然后，教师介绍垂线和半径的概念，并与圆相关联。

二、展示与引入（10分钟）教师在黑板上画出一个圆，并画出两条直径，引导学生思考：圆上任意一点和它的两个直径的关系是什么？进一步引出垂径定理的内容。

三、讲解与演示（10分钟）教师简明扼要地讲解垂径定理的内容和原理，并通过示意图进行演示。

同时，解释垂线和半径之间的关系以及垂心的概念。

四、练习与巩固（15分钟）1. 学生进行基本概念练习。

教师出示几个有关垂线和半径的问题，要求学生回答并解释其原理。

2. 学生进行综合应用练习。

教师给出一道实际问题，要求学生用垂径定理解答，并解释其思路和过程。

五、拓展与应用（15分钟）教师出示几个较难的问题，要求学生用垂径定理进行解答。

同时，学生也可以提出自己的问题，用垂径定理进行求解。

六、归纳与总结（5分钟）学生对垂径定理的要点进行归纳总结，并完成笔记。

七、作业布置（5分钟）布置有关垂径定理的练习题，要求学生认真完成，并把思路和过程写在纸上。

教学反思：通过本节课的教学，学生对垂线和半径的概念、垂径定理的内容和应用有了初步的了解，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。

在教学中，教师通过图示、问题示例等方式，使学生更好地理解了垂径定理的原理和应用方法。

但是，由于时间的限制，学生对垂心等相关概念的理解还比较模糊，需要在以后的教学中加以强化。

同时，教师还需要不断提高教学方法，使学生对数学知识更加深入和全面的理解。

垂径定理教案范文

垂径定理教案范文一、教学目标1.知识目标：掌握垂径定理的概念和基本性质，理解垂径定理的证明方法。

2.技能目标：能够灵活应用垂径定理解决几何问题。

3.情感目标：培养学生对几何学习的兴趣和好奇心，激发学生的创造思维和解决问题能力。

二、教学重难点1.教学重点：掌握垂径定理的概念和性质，理解垂径定理的证明方法。

2.教学难点：能够运用垂径定理解决几何问题。

三、教学准备1.教具准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

2.教材准备：教科书、练习册。

四、教学过程步骤一：导入问题1.教师出示一张图片，上面有一个圆，让学生思考并回答：如何确定一个圆上其中一点的切线？2.引导学生思考，如果有一个点在圆上的直径上，这个点与圆上其他点的位置关系又如何呢？步骤二：引出垂径定理1.教师指导学生完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。

2.学生观察并进行推理，由实验现象引出垂径定理的概念。

3.教师从定义的角度向学生解释垂线与直径的关系，引出垂径定理的定义。

步骤三：垂径定理的性质分析1.教师让学生通过练习册中的一道题目，完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。

2.学生观察并进行推理，得出当直径上的点与圆上的其他点连接时，可以得到什么性质。

3.教师总结学生的推理过程，引导学生得出垂径定理的性质。

步骤四：垂径定理的证明方法1.教师给出垂径定理的证明过程，引导学生理解证明中每一步的推理过程。

2.学生在理解的基础上，尝试自己为垂径定理寻找其他的证明方法，并与同学进行交流和讨论。

步骤五：应用垂径定理解决问题1.教师给出一些实际问题，引导学生运用垂径定理解决问题。

2.学生在解决问题的过程中，可以结合学习到的知识和方法，提出自己的解决方案，并与同学进行交流和讨论。

3.教师在学生完成问题后，进行解题分析和总结，帮助学生理解和掌握垂径定理的应用方法。

五、课堂小结1.教师对本节课的教学内容进行总结，并鼓励学生提出问题和疑惑进行讨论。

3.3垂径定理(教案)

五、教学反思
今天我们在课堂上学习了垂径定理，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于课堂导入，我通过提出与日常生活相关的问题，激发了学生的好奇心和兴趣。这种方法让学生能够更快地进入学习状态，对今天的教学内容产生关注。在今后的教学中，我需要继续探索更多有趣的导入方式，让学生在轻松愉快的氛围中开始学习。
3.弓形面积的计算：利用垂径定理，推导并掌握弓形面积的计算方法。
本节课旨在让学生掌握垂径定理及其应用，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力，同时为后续学习圆的相关知识打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的空间观念：通过探究垂径定理，让学生在观察、操作、思考的过程中，形成对圆中弦、直径、弧等几何元素的空间认识和感知能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是，在一个圆中，垂直于弦的直径将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。这个定理在解决与圆有关的问题时非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示垂径定理如何帮助我们求解圆中弦长、弧长等问题。
3.3垂径定理（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学教材第三章第三节“垂径定理”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.垂径定理：通过直观演示和实际操作，让学生掌握圆中弦的中垂线性质，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂径定理的应用：通过典型例题，让学生学会运用垂径定理解决实际问题，如求圆中弦长、弧长、圆心角等。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

垂径定理教案

垂径定理教案[教案]主题：垂径定理教学方案教学目标：1. 了解垂径定理的概念和相关性质；2. 掌握垂径定理在几何问题中的应用方法；3. 提高学生的思维逻辑能力和问题解决能力。

教学重点：1. 掌握垂径定理的基本原理；2. 熟练应用垂径定理解决几何问题。

教学难点：1. 理解垂径定理的证明过程；2. 运用垂径定理解决复杂几何问题。

教学准备：1. 教学课件；2. 相关绘图工具；3. 示例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入垂径定理的概念，与学生分享一个相关的现实生活或几何问题，激发学生的兴趣；2. 提出问题，让学生思考并尝试解决，引入垂径定理。

二、理论讲解（15分钟）1. 通过课件或黑板，讲解垂径定理的定义和基本原理；2. 结合示意图，解释垂径定理的证明过程；3. 鼓励学生提问和互动，确保学生理解垂径定理的内涵。

三、例题演练（20分钟）1. 给出一个简单的几何问题，引导学生运用垂径定理解决；2. 逐步展示解题过程，引导学生思考和讨论；3. 鼓励学生展示自己的解题思路，培养合作学习和表达能力。

四、拓展练习（25分钟）1. 提供一些具有一定难度的练习题，要求学生独立解答；2. 学生在解答过程中可以相互交流和讨论，学习不同的解题方法；3. 教师及时给予指导和解答，引导学生更好地掌握垂径定理的应用。

五、归纳总结（10分钟）1. 教师帮助学生总结垂径定理的关键点和应用方法；2. 学生通过讨论和归纳，进一步理解和掌握垂径定理的本质；3. 教师给予肯定和激励，鼓励学生继续努力提高几何问题解决能力。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些相关的作业题目，要求学生独立完成；2. 鼓励学生自主思考和探索，加深对垂径定理的理解；3. 提醒学生按时提交作业，及时纠正错误。

教学反思：本节课通过引入实际问题、理论讲解、例题演练和拓展练习等环节，旨在帮助学生理解和应用垂径定理。

教学内容紧密结合实例，注重培养学生的思维逻辑能力和问题解决能力。

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