2018-2019年高考数学(理)二轮专题复习突破精练专题对点练25 7.1-7.3组合练 及答案
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值附答案
专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值专题对点练第6页1.(2017辽宁大连检测,理20)已知函数f(x)=ln(x-1)+错误!未找到引用源。
(a∈R).(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线4x-3y-2=0相切,求a的值.解(1)f'(x)=错误!未找到引用源。
,∵函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,∴f'(x)≥0在(1,4)内恒成立,∴(x+1)2+a(x-1)≥0,即a≥错误!未找到引用源。
=-x-3+错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
-4在(1,4)内恒成立,∵x∈(1,4),∴x-1∈(0,3),∴x-1+错误!未找到引用源。
≥4,取等号条件为当且仅当x=3,∴-错误!未找到引用源。
-4≤-8,∴a≥-8.(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=错误!未找到引用源。
,4x0-3y0-2=0,y0=ln(x0-1)+错误!未找到引用源。
,∴错误!未找到引用源。
,①且错误!未找到引用源。
=ln(x0-1)+错误!未找到引用源。
. ②由①得a=错误!未找到引用源。
(x0+1)2,代入②得错误!未找到引用源。
=ln(x0-1)+错误!未找到引用源。
·(x0+1)x0,即ln(x0-1)+错误!未找到引用源。
=0,令F(x)=ln(x-1)+错误!未找到引用源。
,则F'(x)=错误!未找到引用源。
,∵8x2-19x+17=0的Δ=-183<0,∴8x2-19x+17>0恒成立.∴F'(x)在(1,+∞)内恒为正值,∴F(x)在(1,+∞)内单调递增.∵F(2)=0,∴x0=2代入①式得a=3.2.(2017辽宁鞍山一模,理21改编)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,其中a∈R.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解(1)因为f'(x)=错误!未找到引用源。
高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练12 3.1-3.3组合练 Word版含解析
专题对点练12 3.1~3.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(河南焦作二模,理3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A .29B .59C .-29D .-59答案 D解析 由cos (π-α)=√2,可得sin α=√2.∴cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin 2α)=2sin 2α-1=2×29-1=-59.2.角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边在直线y=2x 上,则tan 2θ=( ) A .2 B .-4C .-34D .-43答案 D解析 ∵角θ的始边与x 轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x 上,∴tan θ=2.∴tan 2θ=2tanθ1-tan 2θ=-43,故选D .3.(辽宁鞍山一模,理7)已知函数f (x )=cos (x +π)sin x ,则函数f (x )满足( ) A .最小正周期为T=2π B .图象关于点(π8,-√24)对称 C .在区间(0,π)上为减函数 D .图象关于直线x=π8对称 答案 D解析 f (x )=√22(cos x-sin x )sin x=√22[12sin2x -1-cos2x2] =√24[√2sin (2x +π4)-1],所以函数最小正周期为π,将x=π8代入sin (2x +π4),为sin π2,故直线x=π8为函数的对称轴,选D .4.(河北邯郸一模,理5)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 依次成等差数列,BC 边上的中线AD=√7,AB=2,则S △ABC =( ) A .3 B .2√3 C .3√3D .6答案 C解析 ∵A ,B ,C 成等差数列,且内角和等于180°,∴B=60°.在△ABD 中,AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD ·cos B ,即7=4+BD 2-2BD ,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S △ABC =12AB ·BC ·sin B=12×2×6×√32=3√3.5.若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2b sin 2A=3a sin B ,且c=2b ,则ab 等于( ) A .32B .43C .√2D .√3答案 C解析 由2b sin 2A=3a sin B ,利用正弦定理可得4sin B sin A cos A=3sin A sin B ,由于sin A ≠0,sin B ≠0,可得cos A=34,又c=2b , 可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+4b 2-2b ·2b ·34=2b 2, 则ab =√2.故选C . 6.(江西新余一中模拟七,理10)已知函数f (x )=A cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,其中N ,P 的坐标分别为(5π8,-A),(11π8,0),则函数f (x )的单调递减区间不可能为( ) A .[π8,5π8] B .[-7π8,-3π8] C .[9π4,21π8] D .[9π8,33π8] 答案 D解析 根据题意,设函数f (x )=A cos(ωx+φ)的周期为T ,则34T=11π8−5π8=3π4,解得T=π,又选项D 中,区间长度为33π8−9π8=3π, ∴f (x )在区间[9π,33π]上不是单调减函数.故选D . 7.(天津,理7)设函数f (x )=2sin(ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π)=2,f (11π)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=1,φ=-11πD.ω=1,φ=7π答案 A解析 由题意可知,2πω>2π,11π8−5π8≥14·2πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D .当ω=23时,f (5π8)=2sin (5π8×23+φ)=2sin (5π12+φ)=2,所以sin (5π12+φ)=1.所以5π12+φ=π2+2k π, 即φ=π12+2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π,所以φ=π12.故选A .8.(全国Ⅰ,理9)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2答案 D解析 曲线C 1的方程可化为y=cos x=sin (x +π2),把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线y=sin (2x +π2)=sin 2(x +π4),为得到曲线C 2:y=sin 2(x +π3),需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.9.(河北衡水中学三调,理11)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a (0<a<A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f (x )的单调递减区间是( ) 〚导学号16804186〛 A .[6k π,6k π+3](k ∈Z ) B .[6k π-3,6k π](k ∈Z ) C .[6k ,6k+3](k ∈Z ) D .[6k-3,6k ](k ∈Z ) 答案 D解析 由函数与直线y=a (0<a<A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,知函数的周期为T=2π=2(4+8-2+4),得ω=π,再由五点法作图可得π·2+4+φ=π,求得φ=-π,∴函数f (x )=A sin (π3x -π2).令2k π+π≤πx-π≤2k π+3π,k ∈Z ,解得6k+3≤x ≤6k+6,k ∈Z ,∴f (x )的单调递减区间为[6k-3,6k ](k ∈Z ). 二、填空题(共3小题,满分15分)10.(北京,理12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)= . 答案 -79解析 方法1:因为角α与角β的终边关于y 轴对称,根据三角函数定义可得sin β=sin α=13,cosβ=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-(2√23)2+(13)2=-79. 方法2:由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z ,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin 2α-1=2×(13)2-1=-79.11.(河北邯郸二模,理15)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,△ABC 的面积为S ,(a 2+b 2)tanC=8S ,则sin 2A+sin 2Bsin 2C= .答案 2 解析∵(a 2+b 2)tan C=8S ,∴a 2+b 2=4ab cos C=4ab ·a2+b 2-c 22ab,化简得a 2+b 2=2c 2,则sin 2A+sin 2B sin 2C=a 2+b 2c 2=2.故答案为2.12.(浙江,14)已知△ABC ,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD ,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 答案√152√104解析如图,取BC 中点E ,DC 中点F ,由题意知AE ⊥BC ,BF ⊥CD. 在Rt △ABE 中,cos ∠ABE=BEAB =14,∴cos ∠DBC=-14,sin ∠DBC=√1-116=√154.∴S △BCD =12×BD×BC×sin ∠DBC=√152.∵cos ∠DBC=1-2sin 2∠DBF=-1,且∠DBF 为锐角, ∴sin ∠DBF=√104.在Rt △BDF 中,cos ∠BDF=sin ∠DBF=√104. 综上可得,△BCD 的面积是√152,cos ∠BDC=√104. 〚导学号16804187〛三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分) 13.(江苏,16)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(3,-√3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值; (2)记f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)因为a =(cos x ,sin x ),b =(3,-√3),a ∥b ,所以-√3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin 2x+cos 2x=1矛盾,故cos x ≠0.于是tan x=-√33. 又x ∈[0,π],所以x=5π6. (2)f (x )=a ·b =(cos x ,sin x )·(3,-√3) =3cos x-√3sin x=2√3cos (x +π6). 因为x ∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6], 从而-1≤cos (x +π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f (x )取到最大值3; 当x+π6=π,即x=5π6时,f (x )取到最小值-2√3.14.(全国Ⅱ,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2B2. (1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B 2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =1ac sin B=4ac.又S △ABC =2,则ac=17.由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.15.(黑龙江大庆三模,理17)已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cosB b +cosCc=2√3sinA3sinC. (1)求b 的值;(2)若cos B+√3sin B=2,求a+c 的取值范围. 解 (1)△ABC 中,cosBb +cosCc =2√3sinA3sinC ,∴a 2+c 2-b 2+b 2+a 2-c 2=2√3a, ∴2a 22abc=2√3a3c,解得b=√32.(2)∵cos B+√3sin B=2,∴cos B=2-√3sin B ,∴sin 2B+cos 2B=sin 2B+(2-√3sin B )2=4sin 2B-4√3sin B+4=1,∴4sin 2B-4√3sin B+3=0,解得sin B=√32.从而求得cos B=12,∴B=π3.由正弦定理得asinA=b sinB=c sinC=√32sin π3=1,∴a=sin A ,c=sin C.由A+B+C=π,得A+C=2π3,∴C=2π3-A ,且0<A<2π3.∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin (2π-A)=sin A+sin2πcos A-cos2πsin A=3sin A+√3cosA=√3sin (A +π6),∵0<A<2π3,∴π6<A+π6<5π6, ∴12<sin (A +π6)≤1,∴√32<√3sin (A +π6)≤√3, ∴a+c 的取值范围是(√32,√3].〚导学号16804188〛。
高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练25 7.1-7.3组合练 Word版含解析
专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一 、选择题(共9小题,满分45分)1.(河南焦作二模,理8)已知M 是抛物线C :y 2=2px (p>0)上一点,F 是抛物线C 的焦点,若|MF|=p ,K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点,则∠MKF=( ) A .45° B .30° C .15° D .60° 答案 A解析 由题意,|MF|=p ,则设点M (p 2,p),∵K (-p2,0),∴k KM =1,∴∠MKF=45°,故选A .2.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A .-43B .-34C .√3D .2答案 A解析 由x 2+y 2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以√a 2+1=1,解得a=-43,故选A .3.(辽宁鞍山一模,理10)已知点P 在抛物线x 2=4y 上,则当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( ) A .(2,1)B .(-2,1)C .(-1,14)D .(1,14)答案 D解析 如图,由几何性质可得,从Q (1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x 2=4y ,可得y=14,点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为(1,14),故选D .4.(河北保定二模,理9)当双曲线x 2m 2+8−y 26-2m =1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为( ) A .y=±xB .y=±23xC.y=±1xD.y=±1x答案B解析由题意,焦距2c=2√(m2+8)+(6-2m) =2√m2-2m+14,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为x 29−y24=1,其渐近线的方程为y=±23x,故选B.5.(广西南宁一模,理11)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为√2cb,则双曲线C 的离心率为()A.√2B.2C.2√2D.2√3答案D解析双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称, 且|MN|=|OF|=c,∴x0=-c2,四边形OFMN的面积为√2cb,∴|y0|c=√2cb,即|y0|=√2b,∴M(-c2,√2b),代入双曲线可得x2a2−y2b2=1,整理得c24a2-2=1.由e=ca,∴e2=12,由e>1,解得e=2√3,故选D.6.(福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48√3,则p的值为()A.2B.2√3C.4D.4√3答案A解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,∴x22−x12+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=√33x,联立y2=2px,解得B(6p,2√3p),∴|OB|=√(6p)2+(2√3p)2=4√3p,∴√34·(4√3p)2=48√3,∴p=2,故选A.7.(河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|P A|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.√2+12B.√2+1 C.√5-12D.√5-1答案B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|P A|=m|PB|,∴|P A|=m|PN|,∴1m =|PN||PA|.设P A的倾斜角为α,则sin α=1m,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线P A与抛物线相切.设直线P A的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|P A|-|PB|=2(√2-1),∴双曲线的离心率为2(√2-1)=√2+1.故选B.8.(天津,理5)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x 24−y24=1 B.x28−y28=1C.x 24−y28=1 D.x28−y24=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线x 2c2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±bax.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=4c.由题意得4c =ba.①∵双曲线的离心率为√2,∴ca=√2.②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2√2,c=4.∴所求双曲线的方程为x 28−y28=1.故选B.9.(全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) 〚导学号16804224〛A .16B .14C .12D .10 答案 A解析 方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意.设直线l 1方程为y=k 1(x-1),联立抛物线方程,得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ(不妨令θ∈(0,π2)).作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得{|AF |·cosθ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cosθ. 同理可得|BF|=21+cosθ,所以|AB|=41-cos 2θ=4sin 2θ. 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2(π2+θ)=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=414sin 22θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .二、填空题(共3小题,满分15分)10.(河北邯郸一模,理16)已知点A (a ,0),点P 是双曲线C :x 24-y 2=1右支上任意一点,若|P A|的最小值为3,则a= . 答案 -1或2√5解析 设P (x ,y )(x ≥2),则|P A|2=(x-a )2+y2=54(x -45a)2+15a 2-1,当a>0时,x=4a ,|P A|的最小值为1a 2-1=3,解得a=2√5;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2√5.11.已知直线l :mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= . 答案 4解析 因为|AB|=2√3,且圆的半径R=2√3,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-√3=0的距离为√R 2-(|AB |2)2=3. 由|3m -√3|√2=3,解得m=-√33.将其代入直线l 的方程,得y=√33x+2√3,即直线l 的倾斜角为30°. 由平面几何知识知在梯形ABDC 中,|CD|=|AB |cos30°=4. 12.(北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是 ; (2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p 1,p 2,p 3中最大的是 . 〚导学号16804225〛答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 (1)连接A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3,分别取线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3的中点C 1,C 2,C 3,显然C i 的纵坐标即为第i 名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C 1最高,故Q 1,Q 2,Q 3中最大的是Q 1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y 1,y 2,工作时间分别为x 1,x 2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p=y 1+y2x 1+x 2=y 1+y 22x 1+x 22=k OC (C 为点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)的中点),由图可得k OC 2>k OC 1>k OC 3,故p 1,p 2,p 3中最大的是p 2.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(河北保定二模,理20)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,A (a ,0),B (0,b ),D (-a ,0),△ABD 的面积为2√3.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,设P (x 0,y 0)是椭圆C 在第二象限的部分上的一点,且直线P A 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求四边形ABNM 的面积.解 (1)由题意得{ c a =12,12(2a )b=2√3,a 2=b 2+c 2,解得a=2,b=√3.故椭圆C的方程为x 24+y 23=1. (2)由(1)知,A (2,0),B (0,√3),由题意可得S 四边形ABNM =12|AN|·|BM|,∵P (x 0,y 0),-2<x 0<0,0<y<√3,3x 02+4y 02=12.∴直线P A 的方程为y=y 0x0-2(x-2). 令x=0,得y M =-2y 0x 0-2. 从而|BM|=|√3-y M |=|√3+2y0x 0-2|.直线PB 的方程为y=y 0-√3x 0x+√3. 令y=0,得x N =-√3x 0y 0-3.从而|AN|=|2-x N |=|2√3x 0y 0-3|.∴|AN|·|BM|=|2√3x 0y0-3|·|√3+2y0x 0-2| =|0202√3x 000√3y 0x y 0-3x -2y 0+2√3|=|√3x 000√3y 0x y 0-3x -2y 0+2√3|=4√3.∴S 四边形ABNM =12|AN|·|BM|=2√3,即四边形ABNM 的面积为2√3.14.(河北邯郸一模,理20)已知F 为抛物线E :x 2=2py (p>0)的焦点,直线l :y=kx+p2交抛物线E 于A ,B 两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E 的方程;(2)过点A ,B 作抛物线E 的切线l 1,l 2,且l 1,l 2交点为P ,若直线PF 与直线l 斜率之和为-32,求直线l 的斜率.解 (1)联立{y =x +p,x 2=2py ,消去x 得y 2-3py+p 24=0,由题设得|AB|=y A +p2+y B +c2=y A +y B +p=4p=8,∴p=2,故抛物线E 的方程为x 2=4y.(2)设A (x 1,12p x 12),B (x 2,12p x 22),联立{y =kx +p2,x 2=2py ,消去y 得x 2-2pkx-p 2=0,∴x 1+x 2=2pk ,x 1·x 2=-p 2,由y=12p x 2得y'=1px ,∴直线l 1,l 2的方程分别为y=x 1p x-12p x 12,y=x 2p x-12p x 22, 联立{y =x 1x -1x 12,y =x 2p x -12px 22得点P 的坐标为(pk ,-p2), ∴k PF =-1k ,∴-1k +k=-32.∴k=-2或12, ∴直线l 的斜率为k=-2或k=12.15.(天津,理19)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12,已知A 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 的面积为√62,求直线AP 的方程.解 (1)设F 的坐标为(-c ,0).依题意,c a=12,p 2=a ,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x. (2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2m ),故Q (-1,2m ).将x=my+1与x 2+4y 23=1联立,消去x ,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-6m3m 2+4.〚导学号16804226〛。
2018届高考数学(理)二轮专题复习：规范练5-2-4 含答案
大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S 满足S ＝12[c 2－(a －b )2]．(1)求cos C ；(2)若c ＝4，且2sin A cos C ＝sin B ，求b 的长．解：(1)由S ＝12[c 2－(a －b )2]＝12[－(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ]＝－ab cos C ＋ab ，又S ＝12ab sin C ，于是12ab sin C ＝－ab cos C ＋ab ，即sin C ＝2(1－cos C )，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，可得5cos 2C －8cos C ＋3＝0，解得cos C ＝35或cos C ＝1(舍去)，故cos C ＝35.(2)由2sin A cos C ＝sin B 结合正、余弦定理，可得2·a ·a 2＋b 2－c 22ab＝b ，即(a －c )(a ＋c )＝0，解得a ＝c ，又c ＝4，所以a ＝4，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得42＝42＋b 2－2×4×35b ，解得b ＝245.2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，B 1B ＝B 1A ＝AB ＝BC ，∠B 1BC ＝90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D .(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)求直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值． 解：(1)取AB 的中点O ，连接OD ，OB 1. 因为B 1B ＝B 1A ，所以OB 1⊥AB .又AB ⊥B 1D ，OB 1∩B 1D ＝B 1，所以AB ⊥平面B 1OD ， 因为OD ⊂平面B 1OD ，所以AB ⊥OD .由已知，BC ⊥BB 1，又OD ∥BC ，所以OD ⊥BB 1，因为AB ∩BB 1＝B ，所以OD ⊥平面ABB 1A 1. 又OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABB 1A 1.(2)由(1)知，OB ，OD ，OB 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴的正方向，|OB →|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .由题设知B 1(0,0，3)，D (0,1,0)，A (－1,0,0)，C (1,2,0)，C 1(0,2，3)． 则B 1D →＝(0,1，－3)，AC →＝(2,2,0)，CC 1→＝(－1,0，3)．设平面ACC 1A 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AC →＝0，m ·CC 1→＝0，即x ＋y ＝0，－x ＋3z ＝0，可取m ＝(3，－3，1)．设直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角为θ，故cos 〈B 1D →，m 〉＝B 1D →·m|B 1D →|·|m |＝－217.则sin θ＝217. ∴直线B 1D 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.分组 持赞同意见的人数占本组的频率[25,30) 4 0.80 [30,35)80.80[35,40) 12 0.80 [40,45) 19 0.95 [45,50) 24 0.80 [50,55]170.85解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为40.80＝5，其频率为5100＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为80.80＝10，其频率为10100＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为120.80＝15，其频率为15100＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为190.95＝20，其频率为20100＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为240.80＝30，其频率为30100＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为170.85＝20，其频率为20100＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为25＋302×0.05＋30＋352×0.1＋35＋402×0.15＋40＋452×0.2＋45＋502×0.3＋50＋552×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为20100＝15，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为15，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A ，则P (A )＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－154×⎝ ⎛⎭⎪⎫150＋C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153×15＝512625.(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 04C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 06C 34C 310＝130.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P16 12310130E (X )＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝5.4．(本小题满分12分)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，B ，C 是椭圆上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，线段AC 的中点为D ，且B ，F ，D 三点共线．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设F (1,0)，过F 的直线l 交E 于M ，N 两点，直线MA ，NA 分别与直线x ＝9交于P ，Q 两点．证明：以PQ 为直径的圆过点F .解：(1)解法一：由已知A (a,0)，F (c,0)，设B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则D ⎝⎛⎭⎪⎫a －x 02，－y 02，∵B ，F ，D 三点共线，∴BF →∥BD →，又BF →＝(c －x 0，－y 0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 02，－3y 02，∴－32y 0(c －x 0)＝－y 0·a －3x 02，∴a ＝3c ，从而e ＝13.解法二：设直线BF 交AC 于点D ，连接OD ，由题意知，OD 是△CAB 的中位线， ∴OD ═∥12AB ，∴AB →∥OD →， ∴△OFD ∽△AFB .∴ca －c ＝12，解得a ＝3c ，从而e ＝13. (2)证明：∵F 的坐标为(1,0)， ∴c ＝1，从而a ＝3，∴b 2＝8. ∴椭圆E 的方程为x 29＋y 28＝1.设直线l 的方程为x ＝ny ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋1x 29＋y28＝1⇒(8n 2＋9)y 2＋16ny －64＝0，∴y 1＋y 2＝－16n 8n 2＋9，y 1y 2＝－648n 2＋9，其中M (ny 1＋1，y 1)，N (ny 2＋1，y 2)． ∴直线AM 的方程为y y 1＝x －3ny 1－2，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫9，6y 1ny 1－2，同理Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，6y 2ny 2－2， 从而FP →·FQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 1ny 1－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8，6y 2ny 2－2＝64＋36y 1y 2n 2y 1y 2－2n y 1＋y 2＋4＝64＋36×－648n 2＋9－64n 28n 2＋9＋32n28n 2＋9＋4 ＝64＋36×－6436＝0.∴FP ⊥FQ ，即以PQ 为直径的圆恒过点F .5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－x ＋a ln x (a ＞0)．(1)若a ＝1，求f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性；(3)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ，f ′(x )＝x －1＋1x ，f ′(1)＝1，f (1)＝－12，∴y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝x －1，即y ＝x －32.∴f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为2x －2y －3＝0.(2)f ′(x )＝x －1＋a x ＝x 2－x ＋ax(a ＞0)．①若a ≥14，x 2－x ＋a ≥0，f ′(x )≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若0＜a ＜14，由x 2－x ＋a ＞0得0＜x ＜1－1－4a 2或x ＞1＋1－4a 2；由x 2－x ＋a ＜0得1－1－4a 2＜x ＜1＋1－4a 2. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．综上，当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜14时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增．(3)由(2)知0＜a ＜14时，f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1，x 2是方程x 2－x ＋a ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝a .∴f (x 1)＋f (x 2)＝12x 21－x 1＋a ln x 1＋12x 22－x 2＋a ln x 2＝12(x 1＋x 2)2－x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋a ln(x 1·x 2)＝12－a －1＋a ln a ＝a ln a －a －12.令g (x )＝x ln x －x －12⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜14，则g ′(x )＝ln x ＜0.∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，∴g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－3－2ln 24.∴f (x 1)＋f (x 2)＞－3－2ln 24.请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝2＋2sin φ(φ为参数)，所以圆心C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θθ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝3.7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＜－1－3x ，－1≤x ＜12，x －2，x ≥12作函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，∴1a＋4b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a＋4b(a＋b)＝5＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当ba＝4ab，即a＝13，b＝23时等号成立．∴1a＋4b≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，∴|2x－1|－|x＋1|≤3，结合图象知－1≤x≤5.∴x的取值范围是[－1,5]．。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练三：专题对点练25 7-1~7-3组合练(含解析)
专题对点练257.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)专题对点练第41页一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°答案A解析由题意,|MF|=p,则设点M,∵K,∴k KM=1,∴∠MKF=45°,故选A.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(2,1)B.(-2,1)C.D.答案D解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.4.(2017河北保定二模,理9)当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案B解析由题意,焦距2c=2=2,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.5.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为()A.B.2 C.2D.2答案D解析双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb,∴|y0|c=cb,即|y0|=b,∴M,代入双曲线可得=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解得e=2,故选D.6.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB 是等边三角形,其面积为48,则p的值为()A.2B.2C.4D.4答案A解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.7.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.+1 C.D.-1答案B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴.设PA的倾斜角为α,则sin α=,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),∴双曲线的离心率为+1.故选B.8.(2017天津,理5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.由题意得. ①∵双曲线的离心率为,∴. ②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2,c=4.∴所求双曲线的方程为=1.故选B.9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a= .答案-1或2解析设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,解得a=2;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2.11.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x 轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.由=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|==4.12.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案(1)Q1(2)p2解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.解(1)由题意得解得a=2,b=.故椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|,∵P(x0,y0),-2<x0<0,0<y<,3+4=12.∴直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-.从而|BM|=|-y M|=.直线PB的方程为y=x+.令y=0,得x N=-.从而|AN|=|2-x N|=.∴|AN|·|BM|====4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2,即四边形ABNM的面积为2.14.(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l的斜率.解(1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2,由y=x2得y'=x,∴直线l1,l2的方程分别为y=x-,y=x-,联立得点P的坐标为,∴k PF=-,∴-+k=-.∴k=-2或,∴直线l的斜率为k=-2或k=.15.(2017天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A 是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练1 选择题、填空题的解法附答案
专题对点练1选择、填空题的解法专题对点练第1页一、选择题1.方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0答案C解析当a=0时,x=-错误!未找到引用源。
,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B.故选C.2.设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(错误!未找到引用源。
),q=f错误!未找到引用源。
,r=错误!未找到引用源。
[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C解析f(x)=ln x是增函数,根据条件不妨取a=1,b=e,则p=f(错误!未找到引用源。
)=ln错误!未找到引用源。
,q=f错误!未找到引用源。
>f(错误!未找到引用源。
)=错误!未找到引用源。
,r=错误!未找到引用源。
·[f(1)+f(e)]=错误!未找到引用源。
.在这种特例情况下满足p=r<q,所以选C.3.(2016河北衡水中学一模,理3)在等差数列{a n}中,错误!未找到引用源。
是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.{1}B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
答案B解析∵错误!未找到引用源。
是一个与n无关的常数,∴结合选项令错误!未找到引用源。
=1, 则数列{a n}是一个常数列,满足题意;令错误!未找到引用源。
,设等差数列的公差为d,则a n=错误!未找到引用源。
a2n=错误!未找到引用源。
(a n+nd),∴a n=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简,得a1=d,也满足题意;错误!未找到引用源。
=0,则a n=0,a2n=0,不满足题意.故选B.4.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+a3+…+a6=63,则实数m的值为()A.1B.-1C.-3D.1或-3答案D解析令x=0,则a0=1;令x=1,故(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.∵a1+a2+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26.∴m=1或m=-3.5.已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),且f(x)在(-∞,1]上单调递增.若x1<x2,且x1+x2=3,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.不能确定答案C解析由f(1+x)=f(1-x)知,函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在(-∞,1]上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减.设点A(x1,0),B(x2,0),因为x1<x2,且x1+x2=3,则点A在点B的左侧,且AB的中点坐标为错误!未找到引用源。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练7 导数与不等式及参数范围附答案
专题对点练7导数与不等式及参数范围专题对点练第7页1.(2017全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,错误!未找到引用源。
·…·错误!未找到引用源。
<m,求m 的最小值.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
+a ln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f'(x)=1-错误!未找到引用源。
知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+错误!未找到引用源。
得ln错误!未找到引用源。
.从而ln错误!未找到引用源。
+ln错误!未找到引用源。
+…+ln错误!未找到引用源。
+…+错误!未找到引用源。
=1-错误!未找到引用源。
<1.故错误!未找到引用源。
<e.而错误!未找到引用源。
>2,所以m的最小值为3.2.设f(x)=ax2-a+错误!未找到引用源。
,g(x)=错误!未找到引用源。
+ln x.(1)设h(x)=f(x)-g(x)+错误!未找到引用源。
,讨论y=h(x)的单调性;(2)证明对任意a∈错误!未找到引用源。
,∃x∈(1,+∞),使f(x)<g(x)成立.(1)解由h(x)=f(x)-g(x)+错误!未找到引用源。
=ax2-ln x-a(x>0),则h'(x)=2ax-错误!未找到引用源。
.①a≤0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)递减;②a>0时,令h'(x)>0,解得x>错误!未找到引用源。
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
2018年高考理科数学通用版三维二轮复习训练2解析及答案
寒假作业(二) 函数的图象与性质(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．已知函数y ＝2x ＋1，x ∈{x ∈Z|0≤x <3}，则该函数的值域为( ) A ．{y |1≤y <7} B ．{y |1≤y ≤7} C ．{1,3,5,7}D ．{1,3,5}解析：选D 由题意可知，函数的定义域为{0,1,2}，把x ＝0,1,2代入函数解析式可得y ＝1,3,5，所以该函数的值域为{1,3,5}．2．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)解析：选B由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．∴原函数的定义域为(0,1]．3．(2017·成都第一次诊断性检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258解析：选B 由f (x ＋3)＝f (x )知，函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 3＝18. 4．(2018届高三·长沙四校联考)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A 令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x－2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，22时，y ′＝1x－2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.故A 符合．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x >0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D 当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a >0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74. 6．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.7．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72解析：选B 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又因为函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a >0且a ≠1)是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义，所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.∴g (x )＝f x x＝x ＋a x－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若0<a <1，则g (x )＝x ＋a x－2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋a x－2a 在(1，＋∞)一定是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x >0，－ln －x ＋x ，x <0，则关于m 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m <ln 12－2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选C 因为函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，－x <0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理，当x <0时，也有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2，所以由偶函数的性质知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m <f (2)，且m ≠0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m >2，且m ≠0，解得0<m <12或－12<m <0.11．若函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )与g (x )＝x 2＋e x －12(x <0)的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e) D ．(0，e ]解析：选C 若函数f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点，则f (x )与g (－x )＝x 2＋e －x －12(x >0)的图象有交点，也就是方程ln(x ＋a )＝e －x －12有正数解，即函数y ＝e －x －12与函数y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，结合图象可知，只需ln a <e 0－12，∴ln a <12，∴0<a <e.12．已知函数f (x )的定义域为D ，若对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝2－f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝( )A.32 B ．1C ．2 D.52解析：选A 令x ＝1，可得f (1)＝2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝1，令x ＝12，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，因为函数是非减函数，所以12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝1＋12＝32.13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：因为f (x )是奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，所以当－1≤x <0时，0<－x ≤1，f (－x )＝－2x (1＋x )＝－f (x )，即f (x )＝2x (1＋x )(－1≤x <0)．又f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＝－12.答案：－1214．已知函数f (x )＝4＋x 2ln1＋x1－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上的最大值与最小值分别为M 和m ，则M ＋m ＝________.解析：令g (x )＝x 2ln1＋x 1－x， 则g (－x )＝(－x )2ln1－x 1＋x ＝－x 2ln 1＋x1－x＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，则函数g (x )＝f (x )－4的最大值M －4和最小值m －4之和为0，即M －4＋m －4＝0，∴M ＋m ＝8.答案：815．(2018届高三·江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －a 2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题的序号是________．解析：对于①，当x 1＝2，x 2＝－2时，f (x 1)＝4＝f (x 2)，故①错；对于②，f (x )＝2x 为单调递增函数，故②正确；而③④显然正确．答案：②③④二、能力拔高练1．当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B 由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，∵a >0，∴x ＝－2a <0，故排除A 、C ；当x 趋近于－∞时，e x 趋近于0，故f (x )趋近于0，排除D.2．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )，即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.3．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9，故选C.4．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若不等式f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2327，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1 C ．[1,3]D ．(－∞，1]解析：选B ∵函数f (x )是定义域在R 上的偶函数，且－x 3＋x 2－a ＝－(x 3－x 2＋a )，∴f (x 3－x 2＋a )＋f (－x 3＋x 2－a )≥2f (1)对x ∈[0,1]恒成立等价于2f (x 3－x 2＋a )≥2f (1)对x ∈[0，1]恒成立，又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴－1≤x 3－x 2＋a ≤1对x ∈[0,1]恒成立．设g (x )＝x 3－x 2，则g ′(x )＝x (3x －2)，则g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－427，∴g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －427≥－1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2327，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，若f (a )＋f (g (2))＝0，则实数a 的值为________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，x ＋1，x ≤0，g (x )＝log 2x ，所以g (2)＝log 22＝1，f (g (2))＝f (1)＝1， 由f (a )＋f (g (2))＝0，得f (a )＝－1.当a >0时，因为f (a )＝a 2>0，所以此时不符合题意； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－1，解得a ＝－2. 答案：－26.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6)上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分 专题4 数列 第2讲 Word版含解析
第一部分 专题四 第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练5 1-1~1-6组合练附答案
专题对点练51.1~1.6组合练(限时45分钟,满分80分)专题对点练第5页一、选择题(共12小题,满分60分)1.(2017全国Ⅲ,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案B解析A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点错误!未找到引用源。
,故A∩B中有2个元素.2.(2017全国Ⅲ,理2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.2答案C解析由题意,得z=错误!未找到引用源。
=1+i,故|z|=错误!未找到引用源。
.3.(2017江西宜春二模,理3)命题“∀x>0,错误!未找到引用源。
≥0”的否定是()A.∃x≤0,错误!未找到引用源。
<0B.∃x>0,错误!未找到引用源。
<0C.∃x>0,0≤x<2D.∃x>0,0<x<2答案C解析∵命题“∀x>0,错误!未找到引用源。
≥0”⇔“∀x>0,x≥2”是全称命题, ∴否定为特称命题,即“∃x>0,0≤x<2”.故选C.4.(2017河南洛阳三模,理3)已知a,b∈R,则“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案C解析由ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行,可得ab=1.反之不成立,例如a=b=1时,两条直线重合.∴“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件,故选C.5.(2017湖北黄冈3月模拟,理4)下列四个结论:①若x>0,则x>sin x恒成立;②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”;③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件;④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0<0”.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析①由y=x-sin x的导数为y'=1-cos x≥0,函数y为递增函数,若x>0,则x>sin x,故①正确;②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”,故②正确;③“命题p∧q为真”则p,q都是真,则“命题p∨q为真”,反之不成立,故③正确;④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0≤0”,故④不正确.综上,正确命题的个数为3.故选C.6.(2017陕西咸阳模拟三,理15)学校艺术节对同一类的①、②、③、④四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四名同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下:甲说:“③或④作品获得一等奖”;乙说:“②作品获得一等奖”;丙说:“①,④项作品未获得一等奖”;丁说:“③作品获得一等奖”.若这四名同学中只有两名说的话是对的,则获得一等奖的作品是() A.③B.②C.①D.④答案B解析若①为一等奖,则甲、丙、丁的说法均错误,故不满足题意;若②为一等奖,则乙、丙说法正确,甲、丁的说法错误,故满足题意;若③为一等奖,则甲、丙、丁的说法均正确,故不满足题意;若④为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意.故若这四名同学中只有两名说的话是对的,则获得一等奖的作品是②.7.(2017全国Ⅱ,理8)执行右面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5答案B解析程序框图运行如下:a=-1,S=0,K=1,进入循环,S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2;S=-1+1×2=1,a=-1,K=3;S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4;S=-2+1×4=2,a=-1,K=5;S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6;S=-3+1×6=3,a=-1,K=7,此时退出循环,输出S=3.故选B.8.(2017山西临汾二模,理9)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则错误!未找到引用源。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练9 2-1~2-4组合练附答案
专题对点练92.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)专题对点练第9页一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f(x)=错误!未找到引用源。
则f(f(e))=()A.0B.1C.2D.ln(e2+1)答案C解析f(e)=ln e=1,所以f(f(e))=f(1)=12+1=2.故选C.2.(2017河南新乡二模,理4)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a答案B解析∵a=60.4>1,b=log0.40.5∈(0,1),c=log80.4<0,∴a>b>c.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D解析∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,y=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D.4.(2017山东潍坊二模,理4)函数f(x)=lo错误!未找到引用源。
cos x错误!未找到引用源。
<x<错误!未找到引用源。
的图象大致是()答案C解析-错误!未找到引用源。
<x<错误!未找到引用源。
时,y=cos x是偶函数,并且y=cos x ∈(0,1],函数f(x)=lo错误!未找到引用源。
cos x错误!未找到引用源。
是偶函数,cos x∈(0,1]时,f(x)≥0.∴四个选项,只有C满足题意.故选C.5.函数y=1+log0.5(x-1)的图象一定经过点()A.(1,1)B.(1,0)C.(2,1)D.(2,0)答案C解析∵函数y=log0.5x恒过定点(1,0),而y=1+log0.5(x-1)的图象是由y=log0.5x的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C.6.若函数f(x)=错误!未找到引用源。
2019年高考数学(理科)二轮专题复习：第二部分 函数的图象与性质
π4 ＝
2 2.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝ln( 1＋x2 －x)＋1＋ln( 1＋x2 ＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
所以f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝－2.
答案：(1)
2 2
(2)－2
命题视角 函数的单调性与最值
【例 3－2】 (1)(2018·河南六市一模)若函数 f(x)＝
因此M＝3116，m＝0，所以M－m＝3116.
(2)因为f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增 函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 由f(32a－1)≥f(－ 3)＝f( 3)， 所以32a－1≤ 3，则2a－1≤12，所以a≤34. 故a的最大值是34. 答案：(1)A (2)D
热点3 函数的性质及应用(高频考点) 1．函数的单调性 单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的 区间上可以有不同的单调性，判断函数单调性常用定义 法、图象法及导数法． 温馨提醒：函数的多个单调区间若不连续，不能用 符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
2．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，偶函 数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对 称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调 性．
|x|－x12在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为 M，最小值
为 m，则 M－m＝( )
31 A.16
B．2
9 C.4
11 D. 4
(2)(2018·佛山调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函
数，且在区间(－∞ ，0)上单调递增．若实数a满足f(32a－1)
≥f(－ 3)，则a的最大值是( )
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练2 函数与方程思想、数形结合思想附答案
专题对点练2函数与方程思想、数形结合思想专题对点练第2页一、选择题1.设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程log a x+log a y=3,这时a的取值的集合为()A.{a|1<a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|2≤a≤3}D.{2,3}答案B解析依题意得y=错误!未找到引用源。
,当x∈[a,2a]时,y=错误!未找到引用源。
.由题意可知错误!未找到引用源。
⊆[a,a2],即有错误!未找到引用源。
a2≥a,又a>1,所以a≥2.故选B.2.椭圆错误!未找到引用源。
+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=()A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.4答案C解析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则错误!未找到引用源。
故r2=错误!未找到引用源。
.3.若关于x的方程2sin错误!未找到引用源。
=m在错误!未找到引用源。
上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,错误!未找到引用源。
)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,错误!未找到引用源。
]答案C解析方程2sin错误!未找到引用源。
=m可化为sin错误!未找到引用源。
, 当x∈错误!未找到引用源。
时,2x+错误!未找到引用源。
,画出函数y=f(x)=sin错误!未找到引用源。
在x∈错误!未找到引用源。
上的图象如图所示:由题意,得错误!未找到引用源。
<1,则m的取值范围是[1,2),故选C.4.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足xf'(x)+2f(x)>0,则不等式错误!未找到引用源。
的解集为()A.{x|x>-2 011}B.{x|x<-2 011}C.{x|-2 016<x<-2 011}D.{x|-2 011<x<0}答案C解析由xf'(x)+2f(x)>0,则当x∈(0,+∞)时,x2f'(x)+2xf(x)>0,即[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x),所以函数x2f(x)为单调递增函数,由错误!未找到引用源。
高三数学二轮复习：专题二 数列
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
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专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C 的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°答案 A解析由题意,|MF|=p,则设点M,=1,∴∠MKF=45°,故选A.∵K,∴kKM2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案 A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(2,1)B.(-2,1)C.D.答案 D解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.4.(2017河北保定二模,理9)当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 B解析由题意,焦距2c=2=2,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.5.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为()A.B.2 C.2D.2答案 D解析双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称, 且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb,∴|y 0|c=cb,即|y0|=b,∴M,代入双曲线可得=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解得e=2,故选D.6.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48,则p的值为()A.2B.2C.4D.4答案 A解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴.又=2px 1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.7.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.+1 C.D.-1答案 B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴.设PA的倾斜角为α,则sin α=,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0, ∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),∴双曲线的离心率为+1.故选B.8.(2017天津,理5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案 B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.由题意得. ①∵双曲线的离心率为,∴. ②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2,c=4.∴所求双曲线的方程为=1.故选B.9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() 〚导学号16804224〛A.16 B.14 C.12 D.10答案 A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x 1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a= .答案-1或2解析设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,解得a=2;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2.11.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案 4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.由=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|==4.12.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.〚导学号16804225〛答案 (1)Q1(2)p2解析 (1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x 2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.解 (1)由题意得解得a=2,b=.故椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|,∵P(x,y0),-2<x0<0,0<y<,3+4=12.∴直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-.从而|BM|=|-y M|=.直线PB的方程为y=x+.令y=0,得x N=-.从而|AN|=|2-x N|=.∴|AN|·|BM|====4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2,即四边形ABNM的面积为2.14.(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l :y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l的斜率.解 (1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2,由y=x2得y'=x,∴直线l,l2的方程分别为y=x-,y=x-,1联立得点P的坐标为,=-,∴-+k=-.∴k=-2或,∴kPF∴直线l的斜率为k=-2或k=.15.(2017天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解 (1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.〚导学号16804226〛。